recordes què és…? · d) hores al dia que mir la televisió i la quantitat de dies de pluja. 4...
TRANSCRIPT
Magnitud
És tot allò que podem mesurar. Tota magnitud té la seva pròpia unitat de mesura. Són magnituds el temps, la distància, la tempera-tura…
El conjunt de nombres enters
El conjunt dels nombres enters està format pels nombres naturals i els seus oposats. Es representen i or-denen de la forma següent:
Z = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, …}
Representació en la recta dels nombres enters:
Recordes què és…?
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
A l’esquerra, els
nombres enters
negatius
A la dreta, els
nombres enters
positius
13GRÀFIQUES. FUNCIONS I ESTADÍSTICA
Si llegeixes un diari, sigui esportiu o d’infor-mació general, veuràs que moltes notícies van acompanyades de gràfi cs. En ells es representen dades relacionades amb el tema que apareix en la notícia. Els gràfi cs per-meten resumir una informació de manera senzilla i en faciliten la comprensió.
Per exemple, recorda les gràfi ques que ens informen sobre el recorregut d’una etapa del Tour de França, les variacions de la classifi -cació dels equips al llarg de la temporada de futbol, els gràfi cs que representen el nombre de vots que tenen els diferents partits polí-tics en època d’eleccions, els resultats ob-tinguts en una enquesta realitzada sobre els programes de televisió més vists, etc.
Hi ha molts de casos semblants de gràfi cs que veim i interpretam, però no sabem quin tractament han tengut prèviament aquestes dades abans de quedar refl ectides en aquell tipus de representació.
Els objectius d’aquesta Unitat són:
• Aprendre a fer i interpretar gràfi ques a partir d’una taula de dades.
• Conèixer els conceptes bàsics d’estadís-tica, els seus paràmetres principals i el tractament de dades.
230
13 EIXOS DE COORDENADES I REPRESEN-TACIÓ CARTESIANA DE PUNTSSegur que més d’una vegada has vist o fi ns i tot has arribat a jugar a enfonsar vaixells del jugador contrari encertant la seva posició, que s’indica amb dues coordenades.Fins ara hem representat sempre punts sobre una recta i quedaven ordenats tant els nombres enters com els decimals.
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5
Per estudiar molts fenòmens necessitam representar punts sobre un pla, no sobre una recta. I per a això s’utilitzen els eixos de coordenades o eixos cartesians.
S’utilitzen dos eixos col·locats perpendicularment: un horitzontal i l’altre vertical:
• A l’eix horitzontal se’l denomina «eix X» o eix d’abscisses.
• A l’eix vertical se’l denomina «eix Y» o eix d’ordenades.
Aquests dos eixos perpendiculars divideixen el pla en quatre parts iguals que anomenam quadrants i en ells es representen els punts.
Tots els punts que es representen vénen donats mitjançant un valor d’x i un altre d’y. Fixa’t bé en l’exemple següent:
Per defi nir la posició de qualsevol punt en qualsevol quadrant, s’ha de definir la «coordenada a x» o abscissa i la «co-ordenada a y» o ordenada. S’expressen entre parèntesi separades per una coma. Primer s’escriu l’abscissa i després l’orde-nada. El punt que defi neixen s’anomena amb una lletra majúscula. Per exemple A(1, 2), B(–3, 1), C( –2, –4), D( 2, –2).
11
1 Representa els punts següents en els eixos de coordenades:
A (–3,2), B (6,2), C (4,–3), D (–2,1) i E (7,3)
2 Indica les co-ordenades carte-sianes dels punts següents:
Exercicis
1 2 3
(2, 2)
(0, 0)
(–2, –2)
4 X
Y
–4 –3 –2 –1
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
X
Y
1r quadrant:
valor x: positiu
valor y: positiu
2n quadrant:
valor x: negatiu
valor y: positiu
4t quadrant:
valor x: positiu
valor y: negatiu
3r quadrant:
valor x: negatiu
valor y: negatiu
X
A
BC
D
E
F Y
1 2 3
B(1, 2)
D(2, –2)
C(–2, –4)
A(–3, 1)
4 X
Y
–4 –3 –2 –1
1
2
3
4
–4
–3
–2
–1
En els eixos de coordenades es representen punts del pla. Els punts s’ano-menen amb una lletra majúscula i són defi nits per dos nombres escrits entre parèntesi i separats per una coma. El primer nombre representa la coordenada a x i el segon la coordenada a y.
CDhttp://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Coordenadas_cartesianas/Coordenadas_cartesianas.htm
Tracta de les coordenades cartesianes i, a la pàgina següent, de la representació de punts en el pla.
WEB@
231
TAULA DE VALORS I GRÀFIQUESEls punts que es representen en els eixos de coordenades poden correspondre a dades d’una determinada situació que hom vol estudiar. Aquestes dades es recullen primer en una taula que anomenam taula de valors.
Exemple 1
Per celebrar una festa, decideixes comprar caramels. A la bo-tiga més propera els venen per quilos i llegeixes el cartell se-güent: «2 € el quilo de caramels».
Automàticament penses que la quantitat a pagar dependrà dels quilos que compris: si compr 1 quilo pagaré 2 €, si compr 2 qui-los pagaré 4 €, si compr 3 quilos pagaré 6 €. En aquest exemple es relaciona la quantitat de quilos amb la quantitat d’euros que has de pagar.
Així es crea una taula de valors:
Quantitat de quilos 1 2 3 4 5
Euros a pagar 2 4 6 8 10
Amb la taula s’obtenen parelles de nombres que podem usar com a coorde-nades de punts del pla i amb ells es representarà la situació mitjançant una gràfi ca.
Es tracen els eixos de coordenades i se situen els punts.
Així, la gràfi ca associada a aquesta situació és una línia, perquè a cada quantitat de caramels li correspon un preu.
Per fer la gràfi ca se segueixen les passes següents:1. S’ordenen en una taula les dades a representar.2. Es tracen els eixos de coordenades i es dibuixen els punts.
22
AdvertènciaCom a coordenada en x se situen els quilos i com a coordenada en y se situen els euros.
3 Indica si les magnituds següents es podran relacionar o no mitjançant una gràfi ca:
a) Quilos de pomes que compr i diners que paga-ré.
b) Assistents a una festa i diners que es recapten.
c) A una velocitat constant, metres que es recor-reran en un interval de temps.
d) Hores al dia que mir la televisió i la quantitat de dies de pluja.
4 Fes la taula de valors que relacioni l’altitud en què es troba un alpinista en funció del temps, si puja a una velocitat de 300 metres per hora i ha partit d’una altitud de 1 400 metres.
5 Un ciclista du una velocitat de 2 metres per segon. Fes una taula i una gràfi ca en què es rela-cionin el temps transcorregut i els metres recor-reguts.
Exercicis
A(1, 2)
B(2, 4)
C(3, 6)
X
A(1, 2)
B(2, 4)
C(3, 6)Y
CDhttp://descartes.cnice.mec.es/1y2_eso/Interpretacion_de_grafi cas/Grafi cas.htm
En aquesta pàgina s’estudien les gràfi ques de les funcions; primer es calcula una taula de valors i després es comprova si està bé a la representació gràfi ca.
WEB @
232
13
6 Relaciona cada situació amb una de les grà-fiques:
a) Frenada d’un cotxe.
b) Cost d’una telefonada per segons.
c) Un recorregut amb tres aturades d’avitualla-ment.
d) Canvis de temperatura d’un líquid al llarg del temps fins que es gela totalment.
7 La gràfica següent representa el moviment d’un cos. Interpreta-la i respon les preguntes se-güents:
a) Quant de temps ha estat caminant?
b) Quant ha recorregut?
c) Ha fet alguna aturada?
d) Què més observes?
Exercicis
LECTURA I INTERPRETACIÓ DE GRÀFIQUESLes gràfiques són representacions que relacionen entre si dues magnituds amb l’objectiu d’aportar informació sobre com varia una magnitud en funció d’una altra. Per això, quan s’examina o interpreta una gràfica, el primer que ha de fer-se és observar quines són les magnituds que es relacionen.
Fixa’t en la gràfica següent:
A(1, 10)
B(2, 20)
D(4, 30)
E(5, 20)
F(6, 30)
H(8, 40) G(7, 40)
C(3, 30)
0 0
10
20
30
40
1 2 3 4 5 6 7 8 temps (min)
distància (m)
La gràfica relaciona el temps transcorregut d’un cos en moviment i la distància que el separa del punt de partida. Com veus, temps i distancia són les mag-nituds representades en els eixos de coordenades. La primera ve donada en minuts i la segona en metres.
a) En els tres primers minuts, s’allunya 30 m.
b) En el minut següent (entre el minut 3 i el 4) està aturat, ja que el temps avança però no hi ha increment de distància.
c) En el minut següent retrocedeix els 10 m, i torna a estar a la mateixa dis-tància del punt de partida que en el minut 2.
d) En els dos minuts següents (el sisè i el setè) avança 20 m: de la posició 20 m a la posició 40 m.
e) Durant el vuitè minut ha quedat aturat.
Per interpretar gràfiques, hem de saber primer quina magnitud està repre-sentada en cada eix per comprendre com varia una magnitud en funció d’una altra.
33
0 0
20
40
60
80
90
10
30
50
70
2 4 6 8 10 12 14 1 3 5 7 9 11 13 temps (min)
distància (m)
A B C D
CDhttp://descartes.cnice.mec.es/1y2_eso/Interpretacion_de_graficas/Graficas.htm
Es construeixen gràfiques a partir d’una taula de valors i de l’enunciat d’un problema, però también s’interpreten, mitjançant preguntes, altres gràfiques ja elaborades.
WEB@
233
CONCEPTE DE FUNCIÓCom hem vist, les gràfiques relacionen dues magnituds que depenen una de l’altra. Si una varia, l’altra també varia en funció d’aquella.
Per a la festa de l’institut et demanes quants doblers has de dur. La resposta és clara: «en funció del que vagis a consumir». L’anunci de la festa deia el següent:
Llavors, s’ha de calcular i fer una taula:
Quantitat de consumicions Quantitat d’euros
1 2
2 4
3 6
… …
Fixa’t que la quantitat d’euros varia en funció dels entrepans i els refrescs que compris. En aquest cas es relacionen consumicions i euros. S’observa que si la primera augmenta, la segona també, és a dir, estan relacionades. Sempre que es relacionen dues magnituds, una és independent perquè anem donant-li els valors que vulguem, i l’altra és dependent perquè varia en funció dels valors que donem a la primera.
Així, la primera s’anomenarà variable independent i es representa sobre l’eix X i la segona s’anomena variable dependent i es representa sobre l’eix Y.
Funció es una relació entre dues variables, de manera que a cada valor de la variable independent li correspon, com a màxim, un valor de la variable dependent.
Perquè una relació entre dues magnituds sigui una funció, s’ha de complir que a cada valor de la variable independent s’associï, com a molt, un de la variable dependent.
Quan es relacionen dues magnituds, una serà la variable independent, que varia sense dependre de res, i l’altra serà la variable dependent, que varia en funció de la variable independent.— Variable independent: es representa a l’eix X.— Variable dependent: es representa a l’eix Y
44
8 En els casos següents, indica quina serà la variable independent i quina la dependent:
a) Temps que un vehicle va a velocitat constant i recorregut que realitza.
b) Temps d’escalfament d’un litre d’aigua i graus centígrads a què arriba.
c) Consum d’energia elèctrica d’una llar i la quan-titat a pagar.
d) Quantitat de quilos que compres i euros a pa-gar.
9 Vols convidar els teus amics al cine, però no saps quants hi aniran. Si saps que cada entrada costa 4 €, fes la taula i la gràfica en funció del nom-bre d’amics que hi vagin.
10 Completa:
Dues magnituds estan relacionades quan una ___________ i l’altra també varia en ________ de l’anterior. La que varia sense dependre de res s’anomena _____________________ i la que varia depenent de l’anterior s’anomena ___________ .
Exercicis
FESTA DE L’INSTITUT DIVENDRES A LES 19:00 ENTRADA LLIURE PANETS: 2€REFRESCS: 2€
234
13 ESTUDIS I ELEMENTS ESTADÍSTICS: POBLACIÓ, MOSTRA I INDIVIDUL’Institut Nacional d’Estadística ha fet un estudi sobre el nombre d’hores al dia que veim la televisió. Els resultats fi nals queden refl ectits en la gràfi ca del marge.
És una gràfi ca estadística i ens dóna informa-ció sobre una població.
Les dades recollides a la gràfi ca es donen en percentatges i fan referència als membres d’una població, però, creus realment que per aconseguir la informació necessària s’han en-trevistat o han enquestat totes i cadascuna de les persones d’una població? Òbviament, no.
Les dades es recullen d’una sèrie d’enquestes que només fa un grup reduït i representatiu, ja que demanar-ho a tothom seria massa car i duria molt de temps. Aquest grup reduït i signifi catiu de la població s’anomena mostra.
La població es compon d’individus. Si l’estudi estadístic que volem realitzar tracta d’obtenir dades sobre el nombre de televisors que hi ha a cada llar d’Espanya, la població serien les llars espanyoles. Si volem estudiar l’índex de natalitat dels animals en captivitat, la població estaria formada pels animals que estan en captivitat en els zoològics.
Posteriorment, la informació que es dedueix de les dades obtingudes de la mostra s’extrapola a tota la població, és a dir, es generalitza per al total d’in-dividus de la població.
Població: grup d’elements sobre els quals es fa una investigació.
Mostra: part seleccionada d’una població d’on es recullen dades signifi -catives.
Individu: tots i cada un dels components d’una població.
Per fer un estudi estadístic sobre una població se’n tria una mostra, com-posta per una selecció d’individus representatius per a l’estudi.
55
11 En aquests estudis estadístics, indica quina seria la població i quina mostra triaries en cada cas perquè sigui representativa:
a) Les afi cions dels joves entre 15 i 20 anys.
b) Consum en famílies d’un nou producte de neteja.
c) Atur social entre homes i dones de 25 a 35 anys.
d) Nota mitjana de tots els alumnes de 1r d’ESO d’un institut
Exercicis
Has de tenir en compteLa mostra triada per a un estudi estadístic ha de ser signifi cativa. Per exemple, si s’estudia a què dediquen el seu temps d’oci els alumnes d’ESO, no s’han d’escollir només alumnes de 1r d’ESO sinó de tots els nivells, i a parts iguals, al·lots i al·lotes.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
No veuen la TV
Veuen la TV menys d’1 hora al dia
Veuen la TV entre 1 i 3 hores al dia
Veuen la TV més de 3 hores al dia
Població (%)
10%
25%
35%
30%
235
TAULES ESTADÍSTIQUESCom has vist fins ara, en les gràfiques estadístiques les dades s’indiquen nor-malment en percentatges. Per a això es fa primer una taula estadística.
Es vol fer un estudi sobre les notes obtingudes en un examen de Matemàti-ques i es disposa d’una llista d’alumnes i la seva qualificació. Per crear la taula estadística s’observa que els valors que pren la variable són: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 i 10. Es tria una mostra (N) de 33 individus. Comptam ara quants alumnes han tret cada qualificació i aquest valor s’anomena freqüència absoluta, que es representa per fi.
En la columna següent relacionam la freqüència absoluta amb el nombre total d’individus de la mostra. La dada obtinguda s’anomena freqüència relativa i es representa per Fi.
Fixa’t en aquesta taula i treu-ne conclusions:
Nota Freqüència absoluta fi Freqüència relativa Fi = fi / N % Fi · 100
0 2 2 / 33 = 0,06 6%
1 1 1 / 33 = 0,03 3%
2 0 0 / 33 = 0 0%
3 3 3 / 33 = 0,09 9%
4 5 5 / 33 = 0,15 15%
5 7 7 / 33 = 0,21 21%
6 4 4 / 33 = 0,12 12%
7 5 5 / 33 = 0,15 15%
8 3 3 / 33 = 0,09 9%
9 1 1 / 33 = 0,03 3%
10 2 2 / 33 = 0,06 6%
N = 33 TOTAL = 1 TOTAL = 100%
Qualsevol taula estadística recollirà per columnes les dades següents:
• Columna de la variable a estudiar: Es col·loquen els diferents valors que pot tenir la variable. En aquest cas les notes de 0 a 10.
• Freqüència absoluta (fi): En aquesta columna s’indiquen les vegades que es repeteix aqueixa dada de la variable o la freqüència d’aparició de cada un dels valors de la variable. Si sumam totes les freqüències absolutes obtenim la grandària de la mostra (N). En aquest exemple són 33 alumnes.
• Freqüència relativa (Fi): És el quocient entre la freqüència absoluta i el nom-bre total d’individus de la mostra (N). La suma de totes les freqüències relatives és 1.
• Columna de %: Es calculen els percentatges d’aparició de cada valor de la variable multiplicant la freqüència relativa per 100. Sumant tots els percen-tatges s’obté el 100%.
66
12 Defineix i explica amb les teves pròpies pa-raules de quines columnes es componen les taules estadístiques.
13 Es van visitar diferents famílies i es va ano-tar el nombre de fills en cada una d’elles. Fes una taula estadística si saps que el resultat de l’anàlisi va ser el següent:
2, 1, 0, 3, 4, 2, 2, 1, 2, 4, 5, 2, 3, 0, 3, 1, 5
Exercicis
Vocabularifi i Fi són notacions per a les freqüències absolutes i relatives, respectivament.
La «i» que apareix en cada expressió s’anomena subíndex i indica el següent en el nostre exemple:
f1 és la freqüència de la qualificació 0.
f2 és la freqüència de la qualificació 1.
…
f9 és la freqüència de la qualificació 8
CDhttp://descartes.cnice.mec.es/m_Estadistica_y_probabilidad/12_Hijos/hijos.htm
Es fa un recompte i després es dibuixa el diagrama de barres.
WEB @
CDhttp://descartes.cnice.mec.es/m_Estadistica_y_probabilidad/color_preferido/index.htm
En aquest cas también es construeix un diagrama de sectors.
WEB @
236
13 GRÀFICS ESTADÍSTICS. REPRESENTACIÓ DE LA INFORMACIÓUna taula estadística ens aporta informació, però cal representar-la mitjançant gràfics estadístics perquè es pugui interpretar. A continuació veuràs dos tipus
de gràfiques molt emprades en Estadística per represen-tar la informació:
Gràfics de sectors. Fixa’t en l’exemple següent sobre les opcions de carreres d’una classe de 2n de Batxillerat.
En un cercle es representa cada valor del percentatge en un sector proporcional del mateix sabent que 360° es correspon al 100%.
Diagrama de barres. El mateix exemple es pot repre-sentar mitjançant un diagrama de barres.
15%
25%
10%
30%
0%
10%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
10% Economia
Psicologia
Biologia
Dret
Filosofia
Belles Arts
En aquest exemple, a l’eix Y es col·loquen els valors numèrics i a l’eix X les distintes opcions de la variable.
Tota la informació recollida en una taula estadística es representa mitjan-çant un gràfic estadístic.
— Gràfic de sectors: s’assigna a cada freqüència absoluta un sector circular proporcional a aquest valor. El 100% total es correspon amb 360°.
— Diagrama de barres: es representa mitjançant barres el percentatge o la freqüència absoluta de cada una.
77
14 En una classe, les notes obtingudes en un examen de Matemàtiques són les següents:
10, 4, 3, 2, 7, 7, 8, 9, 9, 3, 4, 6, 5, 5, 9
Amb aquestes dades, fes la taula estadística i la seva representació gràfica.
15 Els litres d’aigua recollits per metre quadrat a una ciutat a causa de les pluges en l’any 2005 es re-parteixen entre els 12 mesos de la manera següent:
Gener: 15% Febrer: 12% Març: 20%Abril: 22% Maig: 3% Juny: 1%Juliol: 1% Agost: 1% Setembre: 2%Octubre: 5% Novembre: 7% Desembre: 11%
Representa les dades mitjançant un diagrama de barres.
Exercicis
15%
25%10%
30%
10% 10%
Economia
Psicologia
Biologia
Dret
Filosofia
Belles Arts
CDhttp://www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/proyectos2003/matematicas_red/index.html
Situa al lloc que s’indica els valors i les freqüències, i dibuixa el diagrama de barres.
WEB@
237
PARÀMETRES ESTADÍSTICS. MITJANA ARITMÈTICA I MODA88
16 Un nedador que vol superar el seu rècord fa els temps següents en els 100 metres (les dades estan expressades en minuts):
1,5 2 1,5 1,85 1,15 1,35
Quina és la mitjana i quina és la moda?
17 S’han entrevistat 15 famílies sobre el nombre de televisors que hi ha a ca seva i s’han obtingut aquestes dades:
• 1 televisor: 3 famílies • 2 televisors: 10 famílies • 3 televisors: 2 famílies
Basant-te en aquestes dades, quina és la moda?
Exercicis
Exemple 2
Al llarg del curs, les teves notes dels exàmens de Llengua Catalana han estat les següents:5 7,5 8,5 7 7 7
Si la nota final és la mitjana de les teves qualificacions de tot el curs, quina nota et posaran?
Per calcular la nota mitjana del curs, sempre que tots els exàmens tenguin el mateix valor sobre la nota final, se sumen totes les notes obtingudes i es divideix entre el nombre total d’exàmens que has tengut.
5 + 7,5 + 8,5 + 7 + 7 + 76
= 7 Nota mitjana.
Exemple 3
Cada dia, quan vas a l’institut empres un temps, però no tots els dies tardes el mateix. Vols saber quina és la mitjana dels temps emprats en els darrers quatre dies. Per a això et cronometres durant 4 dies i les dades obtingudes les apuntes perquè no se t’oblidin:
1r dia: 4 minuts
Per calcular el temps que empres com a terme mitjà, se sumen tots els minuts i el resultat es divideix entre 4 (nom-bre de dies que cronometres):
2n dia: 3 minuts
3r dia: 4 minuts
4t dia: 5 minuts
4 + 3 + 4 + 54
= 164
= 4 Temps mitjà.
En ambdós casos hem calculat la mitjana d’una sèrie de valors. La mitjana és un paràmetre estadístic.
Un altre paràmetre estadístic és la moda. La moda és el valor de la variable que més es repeteix, és a dir, el valor que té major freqüència absoluta.
Tornant als exemples anteriors:• Exemple A: la moda, és a dir, la nota que més es repeteix és el 7.• Exemple B: La moda, és a dir, el temps que més es repeteix és 4 minuts.
Els paràmetres estadístics més importants són:— Mitjana: és el paràmetre estadístic que indica el valor mitjà de varis
valors.— Moda: és el paràmetre estadístic que indica quin valor té major freqüèn-
cia absoluta.
238
NOMBRE SECCIÓN13EXERCICIS RESOLTS 1 Anàlisi gràfi ca del moviment d’un cotxe.
Anem a fer una anàlisi sobre la velocitat d’un cotxe. Per a això farem una taula que relacioni dues magnituds: el temps i l’espai recorregut.
Variable independent (x): temps A velocitat constant com més temps estem conduint, més espai es recorrerà.Variable dependent (y): espai
Passes:
a) Dades recollides:
1r minut: 200 metres
2n minut: 400 metres
3r minut: 600 metres
b) Les dades es duen a una taula:
Temps (min) x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Espai (m) y 200 400 600 800 1 000 1 200 1 400 1 600 1 800 2 000
c) Es troben els punts:
(1, 200) (2, 400) (3, 600) (4, 800) (5, 1 000)
(6, 1 200) (7, 1 400) (8, 1 600) (9, 1 800) (10, 2 000)
d) Es representen els punts en els eixos de coordenades.
Els punts s’uneixen entre si, perquè es podia haver calculat l’espai recorre-gut en 1,5 minuts, en 2,3 minuts…, i s’obtenen altres punts de la funció.
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
00
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x = tiempo (minutos)
y = espacio (metros)y = espai (metres)
x = temps (minuts)
239
2 S’ha fet un estudi sobre la quantitat d’hores que veuen la televisió al dia els joves de 15 anys, i després d’entrevistar una petita mostra, les dades obtingudes han estat les següents:
2, 4, 3, 2, 2, 1, 0, 2, 5, 4, 3, 2
Representa les dades en un diagrama de barres i calcula la taula esta-dística, la moda i la mitjana.
Amb les dades obtingudes, elaboram la TAULA ESTADÍSTICA:
Hores que es veu la TV al dia fi Fi = fi / N % (Fi · 100)
0 1 0,08 8%
1 1 0,08 8%
2 5 0,416 41,6%
3 2 0,16 16%
4 2 0,16 16%
5 1 0,08 8%
N = 12. Nombre total d’individus de la mostra
Moda: 2 hores de TV (41,6% de la població)
Mitjana = 2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 0 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2
12 =
30
12 = 2,5 hores/dia
3 Diagrama de sectors: Anem a representar mitjançant diagrama de sectors les opcions de carrera de 60 alumnes. S’han recollit les dades següents: 10 alumnes Belles Arts, 5 Dret, 7 Medicina, 20 Periodisme, 10 Farmàcia, 8 Turisme. Primer hem de calcular sobre la mostra de 60 alumnes quin percentatge del total correspon a cada opció. Confi guram la taula estadística:
Opcions fi Fi = fi / N % (Fi · 100)
Belles Artes 10 0,16 16%
Dret 5 0,08 8%
Medicina 7 0,11 11%
Periodisme 20 0,33 33%
Farmàcia 10 0,16 16%
Turisme 8 0,13 13%
En el diagrama hem d’assignar de 360°, que és el 100%, diferents sectors pro-porcionals a cada un dels percentatges. En aquest cas el nostre total són 360°, per la qual cosa els valors obtinguts en fer fi /N els hem de multiplicar per 360, de manera que obtenim el valor (en angle o en graus) que es correspon amb cada opció i que serà el que representi la porció del sector corresponent:
Belles Arts: 16% 0,16 × 360° = 57,6°; Dret: 8% 0,08 × 360° = 28,8°;
Medicina: 11% 0,11 × 360° = 39,6°; Periodisme: 33% 0,33 × 360° = 120°;
Farmàcia: 16% 0,16 × 360° = 57,6°; Turisme: 13% 0,13 × 360° = 46,8°
Turisme
Farmàcia
Periodisme
Medicina
Dret
Belles Arts
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
8% 8%
16%
8%
16%
41,6%
240
NOMBRE SECCIÓN13EXERCICIS PROPOSATS
Eixos i representació
1 Defi neix eixos de coordenades i punt cartesià.
2 Dibuixa els punts següents en uns eixos carte-sians:
A(1, 3) B(–2, 4) C(7, 2) D(–10, 1) E(2, –9)
3 Identifi ca els punts següents i in-dica les coordenades de cada un d’ells:
4 Representa en els eixos de coordenades les si-tuacions següents:
a) Un punt en el primer quadrant.
b) Dos punts que siguin simètrics entre el segon i el ter-cer quadrant.
c) Un punt en el tercer quadrant on la coordenada d’xdupliqui en valor absolut la coordenada d’y.
Taules de valors i gràfi ques
5 Sabent que un cotxe es mou a velocitat constant, completa la taula i fes la gràfi ca associada:
Temps (hores) 1 2 3 4 5 6 7
Espai recorregut (km) 150 600
6 Completa la taula i fes la gràfi ca corresponent a aquesta taula de valors.
Quilograms que compr 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Euros a pagar 0 1,5 3
Quant costa mig quilo?
Quant costa un quilo?
Quant costaran 10 quilos?
7 En un contenidor que té 100 litres d’aigua han deixat l’aixeta oberta i es perden 10 litres d’aigua per minut. Fes la taula en què es refl ectesgui aquesta pèrdua d’aigua per minut i després representa-la gràfi cament. Què observes?
8 Vols comprar barres de pa que costen 0,75 €. Fes una taula que indiqui quant hauràs de pagar en funció de quantes barres compris.
9 Penses convidar els teus amics al cine. Sabent que sou un total de 15 amics i que el cine costa 4,5 €, fes la taula i la gràfi ca en funció de la possible quantitat d’amics que hi vagin.
Lectura de gràfi ques
10 Què signifi ca interpretar una gràfi ca?
11 Interpreta el gràfi c següent de l’escalfament d’aigua des de l’estat sòlid fi ns l’estat gasós.
0–5
–10–15–20
5101520253035404550556065707580859095
100
x = tiempo (minutos)
y = temperatura (°C)
12 Fixa’t en el gràfi c següent, que representa el moviment d’un cotxe. Interpreta’l i respon les preguntes següents.
01 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
10
20
30
40
50
60
70
x = tiempo (minutos)
y = velocidad (m/s)
a) En quins intervals la velocitat és constant.
b) En quins intervals hi ha acceleració.
c) En quins intervals està frenant.
d) Té en algun moment velocitat zero?
x
A
F
CH
D
G
E
I
B
y
y = temperatura (°C)
x = temps (minuts)
y = velocitat (m/s)
x = temps (minuts)
241
13 Relaciona una gràfi ca amb l’enunciat més apro-piat:
a) Nombre d’assistents a un concert i doblers que es re-capten.
b) Frenada d’un cotxe fi ns a aconseguir velocitat zero.
c) Un vianant que va a velocitat constant.
I II III
14 Quina d’aquestes dues taules representa major velocitat, la corresponent a la taula A o a la taula B? Rao-na la resposta.
Tabla A
Temps (hores) 1 2 3 4 5 6 7 8
Espai (km) 75 150 225 300 375 450 525 600
Tabla B
Temps (hores) 1 2 3 4 5 6 7 8
Espai (km) 25 50 75 100 125 150 175 200
Concepte de funció
15 Assenyala quines són les magnituds que es rela-cionen i digues quina és la variable independent i quina és la variable dependent:
a) Temps de consum d’aigua d’un bidó i volum que que-da.
b) Temps que s’escalfa un metall i temperatura que acon-segueix.
16 Defi neix amb les teves paraules i posa un exem-ple:
a) Magnitud.
b) Eix d’ordenades
c) Variable dependent.
d) Variable independent.
e) Funció.
17 He anat a una festa on hi havia un cartell que posava:
Fes una taula del que pots gastar, que estarà en funció de les consumicions que compris. Recorda que consumes-quis el que consumesquis, sempre pagaràs l’entrada.
(Recorda: Zero consumicions: pagaràs només 3 €. Una con-sumició: pagaràs 5 €.)
18 Assenyala quines són les magnituds que es relacionen i digues quina és la variable x i quina és la variable y.
a) Temps que està encesa una bombeta i mesura del comptador.
b) Altura a què vola un avió i temperatura exterior.
19 Dels supòsits següents, digues en quins casos les variables es relacionen i en quins no:
a) Temperatura exterior i quantitat d’estrelles visibles.
b) Utilització d’un bolígraf i tinta restant.
c) Temps de cicle d’una rentadora i aigua consumida.
d) Temps d’exercici físic realitzat i calories consumides.
e) Velocitat d’un cotxe i temperatura interior del cotxe.
20 En un supermercat, compris el que compris, sempre et cobren per la bossa 0,5 €. Fes la taula del que pagaràs en funció dels quilograms de pomes que compris, sabent que avui estan d’oferta a 1,5 €/kg.
Població, mostra
21 Què és un estudi estadístic? Posa un exemple i defi neix què és una taula estadística.
22 Quina diferència hi ha entre població, mostra i individu?
23 Vols estudiar l’estatura mitjana dels joves entre 14 i 16 anys del teu poble. Quina mostra et sembla més adequada? Raona la resposta.
a) Una mostra de 15 al·lotes pertanyents a un club de bàsquet.
b) Dues classes de 4t d’ESO del teu centre.
c) Agafar a l’atzar 50 persones d’una sala de jocs.
d) Els 30 al·lots d’un equip de natació del teu poble.
242
NOMBRE SECCIÓN13EXERCICIS PROPOSATS
24 Indica quina serà la població, la mostra i els in-dividus per als estudis estadístics següents:
a) Índex de mortalitat a Balears.
b) Mitjana de calories consumides per dia en nins d’entre 8 i 10 anys.
c) Consum mitjà d’aigua per família, en famílies nom-broses de Palma.
Taules estadístiques
25 Per triar el delegat d’una classe, s’ha votat entre els voluntaris per ser-ho, i el resultat és el següent:
Aina: 3 Laura: 8
Joan: 4 Rosa: 0
Pere: 5 Isabel: 6
Maria: 7 Saïd: 4
Fes-ne la taula estadística i el diagrama de barres.
26 En una enquesta sobre el nombre d’idiomes que parla una persona, el resultat va ser el següent:
1, 1, 1, 4, 2, 2, 2, 2, 3, 2, 3, 4, 1, 1, 1
a) Fes-ne la taula estadística.
b) Fes-ne la representació gràfi ca.
c) Quina és la moda i quina és la mitjana?
27 En una classe, les notes d’un examen de Ciències Naturals són les següents:
7, 8, 9, 2, 9, 3, 5, 5, 3, 10, 10, 4, 9, 5, 2, 5, 5, 4, 9, 7
Fes-ne la taula estadística, el diagrama de barres i indica quina és la moda i quina és la mitjana.
28 S’ha enquestat un grup de treballadors sobre les hores de treball a la setmana i s’han obtingut els resultats següents:
30, 35, 40, 45, 40, 32, 35, 40, 35, 40
Fes-ne la taula estadística, el diagrama de barres i indica quina és la moda i quina és la mitjana.
29 En una enquesta sobre el nombre de cafès que prenia una persona al dia, el resultat va ser el següent:
2, 4, 3, 2, 5, 3, 4, 1, 4, 3, 1, 3
a) Fes-ne la taula estadística.
b) Fes-ne la representació gràfi ca.
c) Quina és la moda i quina és la mitjana?
30 A la sortida d’un institut s’ha consultat el nom-bre d’hores dedicades a les tasques domèstiques:
1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 1, 2, 3, 0, 1
a) Fes-ne la taula estadística.
b) Fes-ne la representació gràfi ca.
c) Quina és la moda i quina és la mitjana?
Gràfi cs estadístics
31 Interpreta el gràfi c estadístic següent i explica com s’obté:
Preferències alimentàries dels joves de Balears
30%
10%
25%
5%
30%
arròs
pasta
ciurons
pizza
espinacs
32 Per quina mostra optaries per a l’estudi següent? Quines passes duries a terme en l’estudi total?
«Els alumnes de 17 anys, escolten o no música mentre estudien? En cas afi rmatiu, preferències musicals a l’hora d’estudiar».
33 Interpreta la representació gràfi ca següent:
0%
5%
10%
15%
20%
25%
20% 20%
15% 15%
1% 1% 1% 1%
5%7% 7% 7%
% de dies plujosos a una ciutat A
GenFebMarAbrMaiJun
JulAgoSetOctNovDes
Com creus que s’ha fet l’estudi?
243
Paràmetres
34 Defi neix els paràmetres estadístics moda i mit-jana i posa’n un exemple de cada.
35 Associa la moda corresponent a cada un dels casos:
2, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 2, 3, 2 20
20, 25, 22, 22, 21, 20, 20 2
5, 7, 2, 5, 5, 7, 9 5
36 En aquesta seqüència de dades, quina és la mit-jana i quina és la moda?
15, 15, 20, 25, 10, 15, 20, 10, 15, 15
37 En un grup de 10 persones hem mesurat l’altura de cada una d’elles i el resultat ha estat el següent:
1,80; 1,74; 1,82; 1,60; 1,50; 1,72; 1,50; 1,75; 1,65; 1,50
Calcula l’altura mitjana en aquest grup.
38 Quina és la moda entre els esports preferits dels pares?
Esports preferits dels pares
60%
20%
5% 15%
Natació
Futbol
Bàsquet
Tennis
39 En la seqüència de dades següent, quina és la mitjana i quina és la moda?
2,5; 3; 3; 1; 2,5; 4; 3; 1; 4; 4,5; 4,5
40 En una tenda d’electrodomèstics, han consultat els clients sobre el nombre d’avaries que han patit els seus electrodomèstics en un any i aquests han estat els resultats obtinguts:
7, 4, 1, 0, 5, 6, 3, 2, 4, 3, 2, 1, 3
a) Quina és la moda i quina és la mitjana?
b) Després de fer la taula estadística, representa el dia-grama de barres.
41 Representa les dades de l’enquesta de l’exercici anterior mitjançant un diagrama de sectors.
42 Imagina un estudi estadístic i representa’l mit-jançant un diagrama de barres.
43 Hem consultat als encarregats d’un menjador infantil la freqüència al mes dels aliments següents:
Nota: El mes es considera de 22 dies lectius.
a) Quina és la moda?
b) Després de fer-ne la taula estadística, representa el diagrama de barres.
44 A cent enquestats en un concessionari, se’ls ha consultat sobre les preferències que exigeixen de sèrie en un cotxe:
Aire condicionat 28
Alçavidres elèctric 15
Ràdio MP3 17
Llantes d’aliatge 12
Pintura metal·litzada 3
Coixins de seguretat 18
Tapisseria de cuiro 2
Telèfon 5
a) Quina és la moda?
b) Després de fer-ne la taula estadística, representa el diagrama de barres.
45 Després del mes d’agost, en una agència de turisme han confeccionat la taula següent sobre les desti-nacions més sol·licitades dels clients
a) Quina és la moda?
b) Fes el diagrama de barres i el diagrama de sectors.
Platja 37%
Muntanya 23%
Balnearis 11%
Cultural 18%
Neu 2%
Variat 7%
Llenties 4
Ciurons 3
Macarrons 3
Espagueti 2
Beines 3
Col-i-fl or 2
Sopes 5
244
13PER REPASSAR EN GRUP
Elabora amb el teu grup de treball un esquema amb els conceptes de la Unitat següents i posa un exemple de cada un d’ells.
CONCEPTE DEFINICIÓ
Eixos de coordenades
Són dos eixos, un horitzontal (eix X o abscisses) i un altre vertical (eix Y o d’ordenades) col·locats perpendicularment, i s’anomena origen de coordenades el punt de tall.
Punts del pla Vénen donats per dues coordenades expressades entre parèntesi: (x, y).
Taula de valorsTaula on queda expressada la relació dels valors de la primera magni-tud, anomenada x, i els de la segona magnitud, anomenada y.
Funció
Quan es relacionen 2 magnituds, una serà la variable independent, que varia sense dependre de res, i l’altra serà la variable dependent, que varia en funció de la variable independent.
- Variable independent: es representa en l’eix X.- Variable dependent: es representa en l’eix Y.
Una funció és una relació entre dues variables de manera que a cada valor de la variable independent li correspon, com a màxim, un valor de la variable dependent.
EstadísticaBranca de les Matemàtiques mitjançant la qual s’obtenen dades sobre una població per analitzar-les i interpretar-les.
Població, mostra i individu
Població: Grup d’elements sobre els quals es realitza una investigació.
Mostra: Part seleccionada d’una població d’on es recullen dades signifi catives.
Individu: Tots i cadascun dels components de la població.
Taules estadístiques
Freqüència absoluta (fi): Recull les vegades que apareix cada un dels valors que pot tenir la variable estudiada. La suma de totes les freqüències absolutes es representa per N, que signifi ca a la vegada el nombre total d’individus de la mostra o grandària de la mostra.
Freqüència relativa (Fi): És la divisió entre la freqüència absoluta i N.
Percentatge (%): Es troba multiplicant la freqüència relativa per 100.
MitjanaÉs la suma de tots els valors de la variable comptats tantes vegades com es repeteixen, dividida entre la grandària de la mostra.
Moda És el valor més repetit de la variable estudiada.
Representacions estadístiques gràfi ques
Diagrama de barres:
Diagrama de sectors:
0%
10%
20%
30%
40%
50%
No veuen la TV
Veuen la TV menys d’1 hora al dia
Veuen la TV entre 1 i 3 hores al dia
Veuen la TV més de 3 hores al dia
Població (%)
10%
25%
35%
30%
15%
25%10%
30%
10% 10%
Economia
Psicologia
Biologia
Dret
Filosofi a
Belles Arts
245
CURIOSITATS, JOCS I REPTESENFONSAMENT DEL VAIXELL PIRATA
Per dur a terme aquest joc es necessita un mínim de dos jugadors. Cada jugador fa una plantilla com la del marge en la qual en cinc dels quadres col·loca un vaixell.
Recorda que el teu contrincant no pot veure on col·loques la fl ota!
Una vegada feta la quadrícula i col·locats els vaixells, comença la batalla! Surt qualsevol dels dos, dient una coordenada, per exem-ple: (A, 3).
Si resulta que el contrari ha col·locat un vaixell en aquesta posició: enfonsat! Tendràs una altra oportunitat, però si no ha col·locat cap vaixell en aquesta posició: aigua! Llavors serà el torn de l’altre jugador. El guanyador serà el que enfonsi primer els vaixells del contrari. Ànim i a guanyar!
LES MATEMÀTIQUES SÓN…Quin és el mot clau…? Posa en aquest eix de coordenades els punts de la taula i assigna’ls la lletra que els correspon. Després llegeix d’esquerra a dreta.
I (–4, 6); V (–3, 0); R (0, 0); S (10, –10); E (6, 3); U (–6, 3);
L (3, –7); S (1, 3); N (–5, 3); E (–2, 2); A (2, 4)
DESAFIAMENT MATEMÀTIC
Anem a simular que som periodistes!
Feu a classe grups de quatre persones i organitzau un petit estudi sobre les hores que dediquen cada dia a la lectura els joves d’entre 15 i 18 anys. A més a més, us heu proposat analitzar si estadísticament hi ha relació entre que els pares siguin lectors i que ho siguin els joves.
Aquí proposam unes pautes a seguir:
• Tenir clar quina és la població.
• Escollir una mostra de la població (recorda que ha de ser una mostra re-presentativa).
• Hauràs de fer una enquesta per informar-te si cada individu llegeix o no. En cas afi rmatiu, demana quantes hores llegeix al dia i, independentment de la resposta inicial, pregunta per la inclinació dels pares i mares envers la lectura.
• Ordenar les dades obtingudes en una taula estadística.
• Trobar els paràmetres estadístics.
• Per acabar, feu un petit informe sobre les conclusions obtingudes.
Ànim, periodistes!
1 2 3 4 5 6 7ABCDEFG