EN LA ACADEMIA DONDE PLATÓN IMPARTÍA SUS ENSEÑANZAS SE LEÍA:

“NADIE ENTRA SIN SABER GEOMETRÍA”

CONOCIENDO MÁS CONOCIENDO MÁS

DE LOS DE LOS

TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS

Triángulo....

Más que un polígono de tres

lados...

Postulado de existencia de un triángulo, llamado también desigualdad triangular

Un triángulo queda determinado cuando ocurre que la suma de las medidas de dos de sus lados es siempre mayor que el tercer lado o la diferencia de las medidas de dos de sus lados es siempre menor que el tercer lado.

Clasificación de triángulos

Los triángulos según la medida de sus lados pueden ser:

Según sus ángulos internos los triángulos pueden ser:

1) Equilátero.2) Isósceles.3) Escalenos.

1) Acutángulos (ángulos internos agudos).

2) Rectángulos (un ángulo recto).

3) Obtusángulos (un ángulo obtuso).

Triángulo isóscelesTriángulo isósceles

IsóscelesIsósceles: se : se denomina al triángulo denomina al triángulo que posee dos lados que posee dos lados iguales (AC y BC) y iguales (AC y BC) y uno desigual, este se uno desigual, este se llama base (AB) y son llama base (AB) y son los ángulos que se los ángulos que se encuentran en sus encuentran en sus extremos los extremos los idénticos. (ángulos a)idénticos. (ángulos a)

A B

C

a a

b

Triángulo equiláteroTriángulo equilátero ..

Equilátero: es el único triángulo regular; o sea tiene sus tres lados iguales y por ende sus tres ángulos miden lo mismo (60° cada uno).

A B

C

60° 60°

60°

Triángulo escaleno.Triángulo escaleno.

Escaleno: se denomina al triángulo que posee sus tres lados diferentes y por ende, sus ángulos también lo son.

A B

C

a b

c

Otra clasificación es.. .Otra clasificación es.. .

Según sus ángulos.Según sus ángulos. Pero para eso Pero para eso

debes saber que la debes saber que la suma de los tres suma de los tres ángulos interiores ángulos interiores de cualquier de cualquier triángulo es 180°.triángulo es 180°.

35°

57°

88°

Triángulo obtusánguloTriángulo obtusángulo ..

Obtusángulo: se le : se le llama al triángulo llama al triángulo que tiene uno de sus que tiene uno de sus ángulos interiores ángulos interiores obtuso; o sea uno de obtuso; o sea uno de ellos mide más de ellos mide más de 90°.90°.

105° 29°

46°

Triángulo acutánguloTriángulo acutángulo ..

Acutángulo: se : se denomina al denomina al triángulo que posee triángulo que posee sus tres ángulos sus tres ángulos interiores agudos o interiores agudos o sea, cada uno de sea, cada uno de sus ángulos miden sus ángulos miden menos de 90°.menos de 90°.

59°

47°

74°

Triángulo rectánguloTriángulo rectángulo

Rectángulo:: se se denomina al triángulo denomina al triángulo que posee uno de sus que posee uno de sus ángulos interiores ángulos interiores recto o sea, mide recto o sea, mide 90°.90°.

Los lados que forman Los lados que forman el triángulo recto el triángulo recto reciben el nombre de reciben el nombre de catetos y, el tercer catetos y, el tercer lado, o sea, el lado, o sea, el opuesto al ángulo opuesto al ángulo recto se le llama recto se le llama hipotenusa.hipotenusa.

A

BC a

bc

Rectas y puntos notables en el triángulo (elementos secundarios)

Las rectas secundarias en el triángulo son:

1. Altura2. Bisectriz3. Mediana4. Simetral5.Transversal de gravedad

… Y los elementos del triángulo?

Los triángulos están formados por lo que se conoce como “Elementos Secundarios del triángulos”, estas son:

Bisectriz

Altura

Simetral

Transversal de

Gravedad

ALTURA DE TRIANGULOSALTURA DE TRIANGULOS

Se llama altura de un triangulo al segmento Se llama altura de un triangulo al segmento perpendicular a cada lado que se une con el vértice perpendicular a cada lado que se une con el vértice opuestoopuesto

La altura se designa con una La altura se designa con una hh

BISECTRIZ DE UN TRIANGULOBISECTRIZ DE UN TRIANGULO

Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un Es la recta notable que corresponde a la bisectriz de un ángulo interior. Hay tres bisectrices, una para cada ángulo interior. Hay tres bisectrices, una para cada ángulo, que se nombran generalmente con una letra griegaángulo, que se nombran generalmente con una letra griega

El punto donde se cortan se llama incentroEl punto donde se cortan se llama incentro

ba ∩ bb ∩ bc =

{ I }

A B

C

bc

ba bb

I = incentro I

La propiedad de la mediana consiste en que cada mediana trazada en el triángulo es paralela al tercer lado y además la medida de su longitud corresponde a la mitad de la longitud del lado paralelo.

Como corolario (consecuencia de lo anterior) al trazar las tres medianas en un triángulo, éste se subdivide en 4 triángulos congruentes y semejantes al triángulo inicial.

MEDIANA DE TRIANGULOSMEDIANA DE TRIANGULOSSe llaman medianas de un triangulo a los Se llaman medianas de un triangulo a los segmentos determinados por cada vértice y el segmentos determinados por cada vértice y el punto medio del lado opuestopunto medio del lado opuestoLas medianas se cortan siempre en un punto Las medianas se cortan siempre en un punto interior del triangulo.interior del triangulo.El punto donde se cortan las medianas se llama El punto donde se cortan las medianas se llama baricentrobaricentro

Simetral

Es el segmento perpendicular levantado en el punto medio de cada lado del triangulo. Se denota por la letras S y según el lado al cual dimidian.

Se Sd

Sa ∩ Sb ∩ Cc = {

C }C = circuncentro C

D E

F

Sf

Transversal de Gravedad

Corresponde a un trazo que está determinado por el vértice y el punto medio del tercer lado.

S

C

A

T

BR

• GT

La propiedad está dada por el punto G o baricentro que determina en cada transversal dos segmentos menores que están en razón 2 : 1

Teoremas Relativos a Ángulos en el TriánguloTeoremas Relativos a Ángulos en el Triángulo

Teorema 1: Suma de ángulos interiores: Si α, β y γ son ángulos interiores de un triángulo, la suma de sus medidas es siempre 180º.

A

α β

B

R C S

γ L1

Hipótesis: α, β y γ ,ángulos interiores del triángulo ABC

Demostración:

Afirmación Justificación

• L1 // V postulado de Euclides.

• m ∠RCA + γ + m ∠ SCB = 180º son ángulos adyacentes que están a un mismo lado de la recta.

• m ∠ RCA = α son ángulos alternos internos entre paralelas.

• m ∠ RCB = β son ángulos alternos internos entre paralelas.

5) α + γ + β = 180º reemplazando 3 y 4 en 2.

AB

Tesis: α + β + γ = 180º

Teorema 2 : La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es de 360º.

A α’ B

β β’

γ’ C

γ

α

Teorema 3 : Ángulos exteriores de un triángulo: todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de las medidas de los ángulos interiores no adyacentes a él.

β β’

γ’ C

γ

α

α’

A B

•Dibuje un triángulo rectángulo de catetos 6 y 8 cm. Determine la medida de la hipotenusa.

Relaciones Métricas en el Ángulo

6 cm x (a)

8 cm (b)

Cateto a Cateto b Hipotenusa

3 4

6 8

9 12

12 16

15 20

18 24

Teorema de Pitágoras

Sea ABC triángulo rectángulo en C, se cumple que la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa.

a2 + b2 = c2

Observación:

Los números 3, 4 y 5 son llamados números pitagóricos, por cuanto son los únicos tres números naturales consecutivos, que satisfacen la relación pitagórica

Aplicación del Teorema de Pitágoras en la clasificación de triángulos.

32 + 42 = 52

2 + 16 = 25

25 = 25

Postulado

En un triángulo cualesquiera se cumple siempre que un ángulo menor se opone al lado menor, o bien a un ángulo mayor se opone un lado mayor

Actividad 3: Considerando los lados obtenidos anteriormente compare la suma de a2 + b2 con c2.

Conclusión: a través del teorema de Pitágoras es posible reconocer el tipo de triángulo.

En el triángulo rectángulo c2 = a2 + b2.

En el triángulo obtusángulo c2 > a2 + b2.

En el triángulo acutángulo c2 < a2 + b2.

Propiedades de la semejanza de triángulos

Entre las propiedades que se establecen para semejanza de triángulos se encuentran:

Propiedad Reflexiva o Idéntica.Todo triángulo se considera semejante a sí mismo, esto es ∆ ABC ~ ∆ ABC

Propiedad Simétrica o Recíproca.Si un triángulo es semejante a otro, éste es semejante al primero.Si ∆ ABC ~ ∆ A’B’C’ ⇒ ∆ A’B’C’ ~ ∆ ABC

Propiedad transitiva.Si un triángulo es semejante a un segundo y éste es semejante a un tercero, entonces el tercero es semejante al primero.Si ∆ ABC ~∆ A’B’C’ ∧ ∆ A’B’C’ ~ ∆ RST ⇒ ∆ ABC ~ ∆RST

TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS TEOREMA FUNDAMENTAL DE EXISTENCIA DE TRIANGULOS SEMEJANTES SEMEJANTES

““Toda paralela a un Toda paralela a un lado de un triangulo lado de un triangulo forma con los otros forma con los otros dos lados un dos lados un triangulo semejante triangulo semejante al primeroal primero

1Posición1Posición

2Posición2Posición

3Posición3Posición

LOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADESLOS TRIANGULOS Y SUS PROPIEDADES

1° TEOREMA1° TEOREMA: : En todo En todo triángulo isósceles, la triángulo isósceles, la bisectriz correspondiente al bisectriz correspondiente al ángulo del vértice es la ángulo del vértice es la altura, transversal de altura, transversal de gravedad y simetralgravedad y simetral

HIPOTESIS:HIPOTESIS: ∆∆ABC IsoscelesABC Isosceles CD = bCD = bχχ

2° TEOREMA2° TEOREMA: : En todo los En todo los triángulos isósceles, los triángulos isósceles, los ángulos básales son igualesángulos básales son iguales

HIPOTESIS:HIPOTESIS: ∆∆ABC ISOSCELESABC ISOSCELES ____

CD = CD = t t CC

3° TEOREMA: En 3° TEOREMA: En todo triángulo, el todo triángulo, el ángulo mayor se ángulo mayor se opone al lado mayoropone al lado mayor

HIPOTESIS:HIPOTESIS:

∆∆ABC cualquieraABC cualquiera

__ _____ ___

CD> CBCD> CB

4°TEOREMA: 4°TEOREMA: TODO TODO LADO DE UN TRIANGULO LADO DE UN TRIANGULO CUALESQUIERA ES MENOR CUALESQUIERA ES MENOR QUE LA SUMA DE LOS QUE LA SUMA DE LOS OTYROS LADOSOTYROS LADOS

HIPOTESIS:HIPOTESIS: ∆∆ABC cualquieraABC cualquiera TESIS:TESIS: ___ ___ _______ ___ ____

AB < AC + BCAB < AC + BC

5° TEOREMA: Todo 5° TEOREMA: Todo lado de un triangulo lado de un triangulo cualquiera es mayor cualquiera es mayor que la diferencia de que la diferencia de los otros lados.los otros lados.

HIPOTESIS:HIPOTESIS:

∆∆ABC cualquieraABC cualquiera TESIS:TESIS: ___ ___ ______ ___ ___ AB> AC + BC AB> AC + BC

PODEMOS DARNOS CUENTA QUE PODEMOS DARNOS CUENTA QUE A TRAVÉS DE LA GEOMETRIA A TRAVÉS DE LA GEOMETRIA

TODO TODO LO QUE ESTA EN NUESTROLO QUE ESTA EN NUESTRO ENTORNO TIENE SENTIDOENTORNO TIENE SENTIDO . .

FINFIN