reconocimiento unidad 2 control analogico

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

299005 - CONTROL ANALÓGICO

Actividad 07: Reconocimiento Unidad 2

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ESPACIO DE ESTADOS

Cuando se necesita automatizar algún proceso, se requiere hacer un modelamiento matemático que describa el comportamiento dinámico del sistema y cuando el sistema es de múltiples entradas y múltiples salidas se hace un poco mas complejo, aquí es donde la Ingeniería de control hace uso de la representación en espacios de estados, el cual modela matemáticamente un sistema físico que se describe mediante un conjunto de entradas, salidas y variables de estado relacionadas por ecuaciones diferenciales de primer orden que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. Para prescindir del número de entradas, salidas y estados, las variables son expresadas como vectores y las ecuaciones algebraicas se escriben en forma matricial (esto último sólo puede hacerse cuando el sistema dinámico es lineal e invariante en el tiempo). La representación de espacios de estado (también conocida como aproximación en el dominio del tiempo ) provee un modo compacto y conveniente de modelar y analizar sistemas con múltiples entradas y salidas. Con p entradas y q salidas, tendríamos que escribir varias veces la transformada de Laplace para procesar toda la información del sistema. A diferencia de la aproximación en el dominio de la frecuencia, el uso de la representación de espacios de estado no está limitado a sistemas con componentes lineales ni con condiciones iniciales iguales a cero. El espacio de estado se refiere al espacio de n dimensiones cuyos ejes coordenados están formados por variables de estados. El estado del sistema puede ser representado como un vector dentro de ese espacio.

Estado: El estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables de modo que el conocimiento de estas variables en t=t0, junto con el conocimiento de la entrada para t>=t0, determina por completo el comportamiento del sistema para cualquier tiempo t>=t0.




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Variables de estado: Las variables de estado de un sistema dinámico son las que forman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado del sistema dinámico. Si se necesitan al menos n variables X1 , X2... Xn para describir por completo el comportamiento de un sistema dinámico (por lo cual una vez que se proporciona la entrada para t>=t0 y se especifica el estado inicial t=t0 el estado futuro del sistema se determina por completo), tales n variables son un conjunto de variables de estado.

Vector de estado : Si se necesitan n variables de estado para describir por completo el comportamiento de un sistema determinado, estas n variables de estado se consideran los n componentes de un vector x. Tal vector se denomina vector de estado. Por tanto un vector de estado es aquel que determina de manera única el estado del sistema x(t)para cualquier tiempo t>=t0, una vez que se obtiene el estado en t= t0 y se especifica la entrada u(t) para t>=t0.




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FORMULACIÓN DE LA ECUACIÓN DE ESTADO DE UN SISTEMA

En el análisis en el espacio de estados, nos concentramos en tres tipos de variables en el modelado de sistemas dinámicos:

• Variables de entrada. • Variables de salida. • Variables de estado.

Suponemos que un sistema de entradas y salidas múltiples contiene n integradores. También suponemos que existen r entradas y n salidas. También suponga que existen r entradas U1(t), U2(t);.....,Ur(t) y n salidas y1(t), y2(t),..,yn(t). Definimos n salidas de los integradores como variables de estado. El sistema se describe mediante:

Ecuación de espacio de estados

Las salidas y1(t), y2(t),..,yn(t), del sistema se obtiene mediante

Por lo tanto la ecuacion de espacio de estados se puede expresar:




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Si se linealizan las ecuaciones anteriores alrededor del estado de

operación, tenemos las siguientes ecuaciones de estado y salida

linealizadas:

en donde A se denomina matriz de estado, B matriz de entrada, C matriz de salida y D matriz de transmisión directa.




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REPRESENTACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

EN EL ESPACIO DE ESTADO

Ecuaciones diferenciales en las cuales no contiene derivada de excitación

Representación en el espacio de estados de sistemas de n-ésima orden representados mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cuales no contiene derivadas de la función de entrada.

Definimos:

A continuación, la ecuación se escribe como

O bien:




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En donde:

La salida se obtiene mediante:

O bien:

Vemos que el valor de D es cero.




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ECUACIONES DIFERENCIALES EN LAS CUALES CONTIENE DERIVADA DE EXCITACIÓN:

Ecuaciones diferenciales en las cuales contiene der ivada de excitación

Representación en el espacio de estados de sistemas de n-ésima orden representadas mediante ecuaciones diferenciales lineales en las cuales contiene derivadas de la función de excitación.

No se puede usar el método directo que utilizamos cuando no contenía derivadas de la función de excitación. Esto se debe a que n ecuaciones diferenciales de primer orden en donde x1= y, pueden no conducir a una solución única.

Una forma de obtener una ecuación de estado y una ecuación de salida es definir las siguientes n variables como un conjunto de n variables de estado:

Con esta elección de variables de estado está garantizada la existencia de una única solución de la ecuación de estado.




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O bien:

En este caso D=B0=b0

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