Resumen El problema de reconfiguracin de sistemas de distribucin consiste en obtener el estado de todas las llaves existentes en un conjunto de alimentadores de distribucin primarios, de forma tal que se optimice una determinada funcin objetivo, tpicamente para minimizar la prdida elctrica total.

Se trata de un problema de optimizacin no lineal entero mixto, en el cual las variables enteras representan el estado de las llaves, y las variables continuas representan el flujo de corriente en los tramos de la red. En este artculo se presentan nuevas formulaciones cuadrticas para la parte continua del problema. Se demuestra que todas las formulaciones conducen a problemas convexos, lo que garantiza que exista una solucin global nica (en este caso un mnimo) y permite utilizar el Mtodo de Newton de forma eficiente. Se presenta tambin una nueva variante de busca entera basada en el Mtodo Ramifica y Corta conocido en la literatura como Branch and Bound. Las formulaciones propuestas se aplicaron a tres sistemas de distribucin distintos y se muestran y analizan los resultados obtenidos.

Palabras clave Distribucin de energa (power distribution),

Minimizacin de prdidas (loss minimization), Reconfiguracin de sistemas (system reconfiguration).

I. NOMENCLATURA p ndice de tensin de barra vp tensin en la barra p (p.u.) Ip corriente inyectada en la barra de carga p (p.u.) cjk factor de capacidad del tramo jk (p.u.) rjk resistencia elctrica del tramo jk (p.u.) xjk reactancia elctrica del tramo jk (p.u.) Ijk corriente elctrica a travs del tramo jk (A) ijk corriente elctrica a travs del tramo jk (p.u.) B conjunto de tramo en la red Bp conjunto de tramos conectados a la barra de carga p i~ vector de las corrientes en los trechos (p.u.) v~ vector de las tensiones en los nodos (p.u.)

H.P. Schmidt, N.Kagan y M.R.Gouva imparten docencia en la Escuela Politcnica de la Universidad de So Paulo, CP 61548, 05424-970, So Paulo, Brasil (correos e.: hernanps@usp.br; nelsonk@pea.usp.br; gouvea@pea.usp.br).

A.M.G. Cabezas es candidata al ttulo PhD en la Escuela Politcnica de la Universidad de So Paulo, CP 61548, 05424-970, So Paulo, Brasil (correo e.: acabezas@pea.usp.br).

P.Agozzini imparte docencia en el Instituto de Matemticas y Estadstica de la Universidad de So Paulo, 05508-090, So Paulo, Brasil (correo e.: agozzini@ime.usp.br).

II. INTRODUCCIN L tema de reconfiguracin de sistemas de distribucin ha sido estudiado en las ltimas dcadas a travs de distintos

enfoques. En [2]-[6] los autores utilizan tcnicas heursticas, en [7]-[9] se emplean algoritmos genticos y lgica difusa, y en [10] el problema de reconfiguracin se aborda mediante la tcnica de recocido simulado. Con dicha finalidad tambin se utilizaron las redes neuronales artificiales [11]. En el trabajo que se presenta, la funcin objetivo a ser minimizada est representada por la prdida total del sistema. Ante el rpido desarrollo de la automatizacin de los sistemas de distribucin, las prdidas estn desempeando un papel importante en la planificacin operacional de estos sistemas. En el caso de los sistemas de distribucin en Brasil, las prdidas tcnicas tienen un gran impacto sobre las tarifas de distribucin de electricidad.

En la formulacin propuesta las variables independientes se encuentran en las siguientes categoras: (a) binaria, destinadas a representar el estado de las llaves (abierto o cerrado), y (b) continuas, para representar el flujo de corriente elctrica en los tramos, as como la tensin en cada barra. Como la prdida total es una funcin cuadrtica del flujo de corriente, este problema se incluye en la categora de Programacin No Lineal Entera Mixta. Adems del aspecto no lineal, este tipo de problema es difcil de resolver debido a que el nmero de soluciones posibles crece exponencialmente con la cantidad de llaves, lo que impide la aplicacin de tcnicas sencillas como la busca exhaustiva. Tambin hay que considerar la restriccin de radialidad, que exige soluciones sin mallas. No existe una forma simple de incorporar la radialidad en la formulacin del problema de forma analtica, la mejor estrategia consiste en hacer que la busca entera examine e identifique soluciones radiales. En [1] se impuso esta restriccin igualando el nmero de tramos de conduccin al nmero de nodos de carga, lo cual representa una condicin necesaria pero no suficiente para garantizar la radialidad. En ese mismo trabajo se desarroll una formulacin preliminar para el problema de reconfiguracin de sistemas de distribucin, formulacin que fue probada con xito en varios sistemas de distribucin. La parte continua del problema se resolvi mediante el Mtodo de Newton convencional. En todos los casos de estudio los autovalores de la matriz Hessiana resultaron positivos, lo que significa que los problemas eran convexos y de esta forma se garantiz que cada solucin encontrada por el Mtodo de Newton era nica.

H. P. Schmidt, A.M.G.Cabezas, N. Kagan, Senior Member, IEEE, M.R. Gouva, y P. Agozzini

Reconfiguracin de sistemas de distribucin utilizando el Mtodo de Newton en

formulaciones cuadrticas

E

162 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 2, JUNE 2008

En cuanto a la parte entera del problema, se utiliz una eficiente tcnica de busca en profundidad, la cual proporcion soluciones sub-ptimas de alta calidad pero no garantiz una solucin ptima particular.

En el presente artculo se demuestra que la formulacin original siempre conduce a problemas convexos. Adems, la nueva formulacin cuadrtica desarrollada en este trabajo elimina las principales hiptesis asumidas en el trabajo precedente para simplificar este problema, tambin permite el clculo de las tensiones de barras manteniendo tiempos de procesamiento pequeos, inclusive para redes grandes. El beneficio principal de la aplicacin del Mtodo de Newton convencional a problemas cuadrticos consiste en la convergencia en una nica iteracin, beneficio este que se mantiene en la nuevas formulaciones. Adems, la introduccin del Mtodo Branch-and-Bound en la parte entera del problema permite identificar soluciones ptimas, as como otras soluciones mejores que las soluciones sub-ptimas obtenidas a travs de la busca en profundidad.

El artculo est organizado de la siguiente forma. En la seccin III se presentan los aspectos ms importantes de la metodologa propuesta, incluyendo la caracterstica convexa de todas las formulaciones, las formulaciones en s y la aplicacin del Mtodo Branch-and-Bound. En la seccin IV se describe la aplicacin de las formulaciones en tres casos, que incluye un sistema de validacin con 96 tramos y 28 llaves, y un sistema real con 1128 tramos y 129 llaves. Por ltimo, en la seccin V se presentan las conclusiones del artculo y se plantean algunas orientaciones para trabajos posteriores.

III. METODOLOGA

A. Formulacin 1 y problema de convexidad En este trabajo, se utiliza el Mtodo de las Penalidades

Externas [11] para convertir un problema de optimizacin con restricciones en un problema sin restricciones. La Ecuacin (1) muestra la funcin objetivo sin restricciones correspondiente a la primera formulacin (Formulacin 1), para un determinado perfil de llaves:

2

22)~(min

++=

p jkpjkjk

jkjkjkjk

BpB

IicKicriL (1)

En esta ecuacin, el smbolo i~ representa el vector de

todas las corrientes de tramos, cuyo valor tiene que ser determinado. El smbolo )~(iL representa la funcin a minimizar, la cual tiene en cuenta la prdida total y los trminos de penalizacin. El parmetro K permite controlar el peso relativo de los trminos de penalizacin, y puede determinarse por experimentacin como se describe en la Seccin III. El trmino de penalizacin representa la contribucin de la componente de la Ley de Corrientes de Kirchhoff (LCK) aplicada a todas las barras de carga p; est elevado al cuadrado debido a que los desvos de las corrientes negativas e positivas tienen que ser igual a cero.

El factor de capacidad cjk, que es constante para cada tramo, se define como:

base

trechojk I

Ic max= , (2)

Donde Imax trecho es la corriente mxima por el tramo jk (A) y Ibase es la corriente de base (A) del sistema por unidad adoptado. Tambin, la corriente de tramo en p.u est definida como la corriente de tramo real en amperes como una fraccin de su corriente mxima:

trecho

jkjk I

Ii

max

= . (3) De (2) y (3) se deriva que la corriente de tramo en p.u en el

sistema por-unidad es jkjk ic . Estas definiciones permiten que la restriccin de capacidad para el tramo jk se exprese de forma simple como: 12 jki (4)

La convexidad de la Formulacin 1 ser mostrada a travs de un simple sistema representado en la Fig. 1.

i13 i23

G

1 2

3

I3

I2

i12

Fig. 1. Sistema de 3 barras

En este caso, la funcin objetivo toma la forma:

( )( )2323231313

2223231212

223

22323

213

21313

212

21212231312 ),,(

IicicK

IicicK

icricricriiiL

++++++

++= (5)

Ntese que el signo de los factores de capacidad en (5)

tiene que seleccionarse correctamente para la aplicacin de la LCK; por ejemplo, 2323 cc = .

La Ecuacin (5) puede reescribirse como: ( )

( )( )

( )( )( )( )232323131312

2

22323131212

2

2323231312

2

2313131312

2

2313121212231312

0

0

000

000

000),,(

IKicKicKi

IKicKiicK

icrii

iicri

iiicriiiL

++++++

++++++++=

o, usando notacin matricial:

GARCA CABEZAS et al.: RECONFIGURATION OF DISTRIBUTION 163

2

2

3

223

13

12

231312 000

),,( bw

IKIKi

ii

AiiiL =

= (6)

donde la matriz A est dada por:

352313

2312

2323

1313

1212

0000

0000

xcKcKcKcKcr

crcr

A

=

. (7)

En (6), el vector w puede verse como una combinacin

lineal de las columnas C1, C2 y C3 de la matriz A; por tanto, el vector w yace en el espacio S generado por estas columnas, como se representa en la Fig. 2.

w

w-b

w-b

b

w

S - espacio generado por las columnas de A

C1 C2

C3

Fig. 2. Representacin grfica de la ecuacin (6)

En esta figura se representan dos combinaciones lineales diferentes (w y w). El vector independiente b en (6) est representado tambin. En (6), la funcin objetivo L(.) se puede ver como el cuadrado de la norma del vector (w-b). Observando la Fig. 2 queda claro que la funcin objetivo tendr su valor mnimo cuando el vector (w-b) sea ortogonal a S. La condicin de ortogonalidad se fuerza haciendo el producto escalar del vector (w-b) con cada una de las columnas de la matriz A igual a cero, lo cual lleva a la siguiente expresin:

bAiii

AA tt =

23

13

12. (8)

La ecuacin (8) permite calcular el vector i~ justamente por

la resolucin de un conjunto de ecuaciones lineales. Adems, ntese que las tres primeras filas de la matriz A tienen solamente elementos no-cero en la diagonal, y asumiendo que todas las resistencias y factores de capacidad son estrictamente positivos, se concluye que el rango de la matriz A es igual a 3, o sea, el nmero de tramos en la red. Por esta razn, la matriz ( )AA t en (8) no es singular, lo cual prueba que la formulacin (1) es convexa. La propiedad de convexidad es

vlida tambin para cualquier red, debido a que los trminos de prdidas solo contribuyen en los elementos de la diagonal, como se puede apreciar en (5) y (7).

En lugar de resolver (8), en este trabajo las corrientes de los trechos se calculan mediante la aplicacin del Mtodo de Newton convencional directamente en (1). Esto permite incorporar fcilmente otras restricciones, como la restriccin de capacidad del tramo. Al mismo tiempo, el costo computacional no se incrementa porque el Mtodo de Newton converge en una nica iteracin cuando se aplica a formulaciones cuadrticas, como la (1).

La aplicacin del Mtodo de Newton convencional a (1) conduce a la siguiente regla de actualizacin [11]: [ ] )~(~~ )0(11)0()1( iGHii = , (9) donde los superndices 0 y 1 indican el orden de la iteracin (la iteracin 0 se refiere a la condicin inicial), H1 es la matriz Hessiana y G es el vector gradiente en la iteracin 0. En particular, la matriz Hessiana es constante ya que la funcin objetivo es cuadrtica. Debe notarse que la matriz Hessiana refleja la topologa de la red y de esta manera es una matriz altamente dispersa.

La Formulacin (1) puede modificarse para incorporar las restricciones de capacidad de trecho. En este caso, para cada trecho sobrecargado se aade un trmino de penalizacin a la funcin objetivo (1):

)( jkifC , (10) donde C es un parmetro que permite controlar el peso relativo de la restriccin de capacidad en la funcin objetivo completa, y la funcin f(.) est dada por:

( )( )

+>+

( )

2

,,

2

,,

2,

2,

2)~,~(min

++

++

+=

p jkIpIjkjk

p jkRpRjkjk

jkIjkRjkjkjkIR

Bp

Bp

B

IicK

IicK

iicriiL

. (13)

En esta ecuacin se consideran las partes real e imaginaria

de las corrientes de los tramos para el clculo de la prdida total y la ejecucin de la LCK. La aplicacin del Mtodo de Newton convencional en (13) produce la siguiente regla de actualizacin (ntese que existe una simetra de las partes real e imaginaria de las corrientes de tramos con respecto a la funcin objetivo):

=

)~()~(

00

~~

~~

)0(

)0(1

1

1)0(

)0(

)1(

)1(

I

R

I

R

I

R

iGiG

HH

ii

ii , (14)

donde )0(~Ri indica el vector columna que contiene la parte real de todas las corrientes de tramo en la iteracin 0, )~( )0(RiG es el vector columna formado por las derivadas de la funcin objetivo con respecto a la parte real de cada una de las corrientes de trecho, y el subndice I indica la entidad correspondiente para la parte imaginaria.

Debe sealarse que la submatriz H1 en (14) es exactamente igual a la que aparece en la Formulacin 1. La ecuacin (14) tambin representa dos sistemas de ecuaciones independientes, lo cual permite ensamblar y factorizar la matriz H1 una sola vez siempre que se resuelva (14). Esta caracterstica permite economizar esfuerzo computacional, especialmente para redes grandes.

C. Formulacin 3 Esta formulacin incorpora el clculo de las tensiones de

barra en el problema de optimizacin, lo que constituye un aspecto importante dentro del contexto de calidad del servicio. La Ecuacin (15) representa la cada de tensin a travs de un tramo genrico jk:

( ) ( )

( ) ( )[ ]( )IjkjkRjkjkjk

RjkjkIjkjkIjkjkRjkjkjk

jkjkIjkRjkjkkj

ixircixirjixirc

jxrjiicvv

,,

,,,,

,,

++=

++= &&. (15)

El ltimo paso en (15) es comn en sistemas de

distribucin. La componente imaginaria de la cada de voltaje se puede despreciar en la mayora de las situaciones sin comprometer la precisin de los resultados. Esto se debe a la separacin de fase y los conductores tpicos utilizados en sistemas de distribucin. Asumiendo que la cada de voltaje a travs de cualquier trecho puede representarse mediante un nmero real puro (como se indica en (15)), y tambin que la

tensin en el extremo receptor (barra k) tiene ngulo cero, entonces la tensin en el extremo de envo tiene ngulo cero tambin (y as para todas las barras de la red). Por tanto, la cada de tensin en cualquier trecho se puede representar por la siguiente expresin real: ( )IjkjkRjkjkjkkj ixircvv ,, = (16) La incorporacin de (16) en la funcin objetivo se logra a travs dos trminos de penalizacin asociados, de la misma forma que la LCK. La expresin (17) muestra la funcin objetivo para la Formulacin 3:

( )

( )

++

++

++

+=

B

Bp

Bp

B

jkIjkjkjkRjkjkjkkj

p jkIpIjkjk

p jkRpRjkjk

jkIjkRjkjkjkIR

ixcircvvV

IicK

IicK

iicrviiL

2,,

2

,,

2

,,

2,

2,

2)~,~,~(min

, (17)

donde el parmetro V permite controlar el peso relativo del trmino de penalizacin para la cada de tensin.

Igual que en el caso precedente, la aplicacin del Mtodo de Newton convencional en (17) produce la siguiente regla de actualizacin:

=

)~()~()~(

00

~

~~

~

~~

)0(

)0(

)0(1

1

1

)0(

)0(

)0(

)1(

)1(

)1(

vGiGiG

HHHHHHH

vii

vii

I

R

VVVIVR

IV

RV

I

R

I

R. (18)

En (17) se puede agregar un trmino de penalizacin

adicional para considerar las necesidades de tensin mnima. En este caso, para cada barra que presente un valor de tensin menor que la tensin mnima Vmin especificada, se aade el siguiente trmino de penalizacin a la funcin objetivo (17):

)( jM vgV , (19) donde el parmetro VM permite controlar el peso relativo de la restriccin de tensin mnima, y la funcin g(.) est dada por:

( )

determinado, la restriccin de tensin mnima aumenta la tensin en ese nodo. Como consecuencia, deben modificarse las corrientes de los tramos restringiendo la cada de tensin. Al final, estas nuevas corrientes pueden no satisfacer la LCK. En este trabajo la restriccin de tensin mnima no se incorpora en las iteraciones de Newton, evitando as este conflicto (significa que los trminos de penalizacin dados en (19) no tienen contribucin en la matriz Hessiana ni en el vector gradiente). No obstante, los valores de penalizacin asociados a esta restriccin se consideran durante la bsqueda entera.

La ltima expresin en (17) representa los trminos de penalizacin asociados a la restriccin de cada de tensin (Ley de Ohm). Es importante observar que la restriccin de cada de tensin no provoca ningn conflicto con la LCK, debido a que las tensiones de los nodos solo aparecen en la restriccin de cada de tensin.

E. Bsqueda Entera Mtodo Branch-and-Bound El propsito de la bsqueda entera es determinar el estado

de todas las llaves (abierto o cerrado), considerando que la solucin final debe ser radial. Se utiliz una simple tcnica de bsqueda en profundidad, donde todas las llaves estn inicialmente cerradas y el algoritmo va abriendo una a una hasta alcanzar el nmero necesario de llaves abiertas. La decisin sobre la eleccin de apertura de una llave se basa en el incremento de prdida que podra originar la llave candidata. Para estimar este incremento se utilizaron dos mtodos, denominados Mtodo A y Mtodo B [1].

El Mtodo A, que es ms rpido pero menos preciso, utiliza una estimacin aproximada del incremento de prdida, calculada a partir de los elementos de la diagonal de la matriz Hessiana. El Mtodo B considera una llave de cada vez; abre temporalmente una llave candidata y ejecuta un flujo de potencia completo mediante la resolucin de (9), (14) o (18). Al finalizar este proceso, la llave que produjo el menor incremento de la funcin objetivo se abre de forma permanente.

A pesar que la tcnica de bsqueda en profundidad produce soluciones sub-ptimas de alta calidad, no garantiza que la solucin final sea la solucin ptima deseada. Por esta razn, se realizaron estudios adicionales para mejorar la bsqueda entera. La nueva estrategia de busca se basa en el Mtodo Branch and Bound [12]. En este trabajo el Branch and Bound se implement como un algoritmo de bsqueda en profundidad complementado con retroceso en el rbol de bsqueda, como se representa en la Fig. 3. Con respecto al diagrama de la Fig. 3, la solucin inicial corresponde a la red operando con todas las llaves cerradas. Las condiciones para decidir ejecutar un retroceso son las siguientes: Test T1 [12] descarta una solucin no radial porque su

prdida total es mayor que la prdida total de la mejor solucin radial encontrada hasta ahora (todas las soluciones radiales descendientes de una solucin no radial determinada tendrn un valor de prdida total mayor o igual que la prdida total de la solucin no radial), o

La solucin ya es radial (no se pueden abrir ms llaves porque dejara barras desconectadas), o

La solucin no tiene llaves libres para abrir.

No Si

Generar solucin inicial (solucin)

Mientras exista solucin

Realizar retroceso ?

solucin solucin padre

Generar solucin hija

solucin solucin hija

Aplicar Test T3 si solucin es radial

Fig. 3. Bsqueda entera con Branch and bound

Si la solucin actual es radial, el algoritmo Test T3 [12] en la Fig. 3 la compara con la mejor solucin radial encontrada hasta ahora, actualizando esta ltima si la prdida total de la solucin actual es menor que el valor obtenido hasta ahora.

El concepto de llave libre es extremadamente importante en esta implementacin. El est asociado a las llaves que permanecen cerradas en una determinada solucin. En la solucin inicial todas las llaves estn cerradas y el atributo librede cada una es puesto en on. Para generar soluciones hijas de la solucin actual, se selecciona la primera llave libre en la lista ordenada de llaves candidatas (esta lista contiene todas las llaves cerradas, en orden ascendiente segn el incremento de prdida que su apertura causara). Si existe una llave libre, entonces se abre y se genera una solucin hija.

Finalmente, debe puntualizarse que tanto el Mtodo B (bsqueda en profundidad) como el Mtodo Branch and Bound utilizan la funcin objetivo completa (dada por (1), (13) o (17)), e incluyen trminos de la restriccin de tensin mnima (si existe) para seleccionar la mejor opcin de apertura de llave durante la bsqueda entera.

IV. RESULTADOS La metodologa descrita en la seccin precedente fue

implementada como un programa computacional. El programa permite combinar las dos estrategias de bsqueda (bsqueda en profundidad y Branch and Bound) con las tres formulaciones (F1, F2 y F3). En esta seccin se presentan y muestran los resultados de la aplicacin de la metodologa a tres casos de estudio (Caso 1, 2 y 3). En todos los casos fue utilizado un computador con procesador de 3 GHz.

A. Caso 1 La Fig. 4 muestra la red elctrica para el Caso 1, la cual fue

propuesta por Baran y Wu [4] y se ha tornado un estndar de comparacin para algoritmos de reconfiguracin. La red est

166 IEEE LATIN AMERICA TRANSACTIONS, VOL. 6, NO. 2, JUNE 2008

constituida por 32 barras de carga, 1 barra de alimentacin, 37 tramos con llave y 0 tramos sin llave. El nmero necesario de llaves abiertas es 37-32 = 5. En este caso, los intereses principales son la prdida total y los niveles de tensin.

Fig. 4. Caso 1

En la Tabla 1 se muestran los resultados ms relevantes para la bsqueda en profundidad con el Mtodo A (con el Mtodo B se obtuvieron resultados exactamente iguales en este caso). La Tabla 2 muestra los resultados correspondientes para el Branch and Bound. TABLA 1. RESULTADOS PARA EL CASO 1 BSQUEDA EN PROFUNDIDAD CON

MTODO A Formulacin Parmetro F1 F2 F3 Prdida inicial (todas las llaves cerradas) (kW) 124.5023 113.3862

Llaves abiertas

6-7 8-9

13-14 24-28 31-32

6-7 8-9

13-14 24-28 31-32

Prdida final (kW) 139.6280 127.3557 Llaves incorrectamente abiertas1. 31-32 -

Llaves incorrectamente cerradas1. 30-31 -

Diferencia de Prdidas1 0.5358 kW 0.39 % -

Flujos de potencia calculados 6 Tiempo de procesamiento (s) < 0.001 < 0.001 0.016 1 Con respecto a la solucin optima determinada travs del Branch and Bound (Tabla 2)

TABLA 2. RESULTADOS PARA EL CASO 1 - BRANCH AND BOUND (SOLUCIN

PTIMA) Formulacin Parmetro F1 F2 F3 Llaves abiertas

6-7 8-9

13-14 24-28 30-31

6-7 8-9

13-14 24-28 31-32

Prdida final (kW) 139.0922 127.3557 Flujos de potencia calculados 13531 13531 13657 Tiempo de procesamiento (s) 3.468 4.703 9.816

En las Tablas 1 y 2 se puede observar que con la bsqueda

en profundidad se obtuvo la solucin ptima con las

Formulaciones 2 y 3 (igual para ambas). En el caso de la Formulacin 1, se encontr una solucin sub-ptima muy prxima de la solucin ptima (diferencia de 0.3558 kW). Tambin, el tiempo de procesamiento para la bsqueda en profundidad fue insignificante.

La solucin que se obtuvo a travs de la Formulacin 1 es diferente de la solucin ptima con las Formulaciones 2 y 3. Esto se debe a que en la Formulacin 1 se aplic a todas las cargas un factor de potencia de 0.85, mientras que en las Formulaciones 2 y 3 se consider el valor de factor de potencia real de cada carga.

La Tabla 3 muestra una comparacin entre la solucin ptima alcanzada a travs de la Formulacin 3 sin restriccin de tensin mnima, y la solucin correspondiente al incluir esta restriccin.

TABLA 3. IMPACTO DE LA RESTRICCIN DE VOLTAJE MNIMO

Restriccin de Voltaje Mnimo No includa Includa Parmetro VM (19) - 100 Parmetro Vmin (pu) (20) - 0.98 Llaves abiertas

6-7 8-9

13-14 24-28 31-32

7-20 8-9

13-14 27-28 31-32

Prdidas (kW) 127.3557 131.7623 Term. de penaliz. Voltaje Mnimo (pu) 0 1,.046342

Funcin Objetivo (pu) 0.001273585 1.047659 Cuando el trmino de penalizacin de tensin mnima es mayor que cero significa que esta restriccin no se satisfizo para todas las barras. Esta situacin se origina por la carga del sistema y los valores para tensin mnima relativamente altos (0.98 p.u). Tambin debe sealarse que la aplicacin de esta restriccin produce una solucin ptima diferente, en la cual la prdida total aumenta de 127.3557 kW a 131.7623 kW.

B. Precisin del modelo de flujo de potencia En esta subseccin se comparan los resultados del modelo

de flujo de potencia propuesto con los resultados del modelo convencional de Newton-Raphson. La Tabla 4 muestra esta comparacin; slo se incluyeron en la tabla los 5 valores con mayor diferencia de tensin.

TABLA 4. PRECISIN DEL MODELO DE FLUJO DE POTENCIA

Barra Tensin Newton-Raphson (pu) (A) Tensin modelo

propuesto (pu) (B) Diferencia (%) [100*(B-A)/A]

8 0.9609 0.9610 0.01 7 0.9641 0.9642 0.01 9 0.9641 0.9642 0.01

10 0.9642 0.9643 0.01 11 0.9645 0.9646 0.01

El valor de prdida calculado a travs del modelo Newton-Raphson es 127.4820 kW, mientras que el modelo propuesto obtuvo 127.3557 kW. Estas diferencias mnimas muestran una excelente concordancia entre ambos modelos.

GARCA CABEZAS et al.: RECONFIGURATION OF DISTRIBUTION 167

C. Caso 2 La red elctrica mostrada en la Fig. 5 contiene 83 barras de

carga, 3 barras de alimentacin, 68 tramos sin llaves y 28 tramos con llave. El nmero necesario de llaves cerradas es 83-68 = 15; por tanto, son necesarias 28-15 = 13 llaves abiertas.

Fig. 5. Caso 2

En este caso la bsqueda en profundidad requiri 14 pasos, 1 para el clculo de flujo de potencia inicial con todas las llaves cerradas, y 13 para operaciones de apertura.

En la Tabla 5 se muestran los resultados obtenidos con los Mtodos A y B de bsqueda en profundidad, mientras que la Tabla 6 muestra los resultados correspondientes para el Branch and Bound.

TABLA 5. RESULTADOS PARA EL CASO 2 BSQUEDA EN PROFUNDIDAD

Mtodo A Mtodo B Formulacin Parmetro F1 F2 F3 F1 F2 F3 Prd. inicial (llaves cerradas) (kW) 1065.360 1065.360

Prdida final (kW) 132.070 1253.222 Llaves abiertas incorrectamente1 23-26 38-64 23-26

Llaves cerradas incorrectamente1 20-36 23-25 20-36

Diferencia de prdidas1 68.54 kW 5.48% 1.692 kW 0.14%

Tiempo de procesamiento (s) 0.015 0.016 0.078 0.047 0.062 0.265 1 Con respecto a la solucin ptima determinada a travs del Branch and Bound (Tabla 6)

TABLA 6. RESULTADOS PARA EL CASO 2 - BRANCH AND BOUND (SOLUCIN

PTIMA) Formulacin Parmetro F1 F2 F3 Llaves abiertas

12 -61 13-76 14-17 15-19 18-34 20-24 20-36 23-25 39-43 48-69 50-51 52-85

70-86 Prdidas (kW) 1251.530 Tiempo de procesamiento (s) 496.719 891.954 1247.406

En este caso las tres formulaciones llegaron a la misma

solucin. Esto se debe a que el factor de potencia para todas las cargas es 1.0, significa que la red elctrica es la misma en las tres formulaciones.

El Mtodo A de bsqueda en profundidad gener una solucin sub-ptima en la cual se abrieron dos llaves de forma incorrecta, por tanto, otras dos llaves se cerraron incorrectamente. La diferencia de prdida total con relacin a la solucin ptima fue del 5.48%. Por otra parte, el Mtodo B gener una solucin sub-ptima muy prxima de la ptima: slo se abri incorrectamente una llave. Con este mtodo la diferencia en trmino de prdida total fue del 0.14%.

D. Caso 3 Este caso corresponde a un sistema de distribucin real,

constituido por 5 alimentadores primarios con caractersticas rurales y urbanas mezcladas, 1107 barras de carga, 999 tramos sin llave y 129 tramos con llave. La solucin radial para este sistema debe tener 108 llaves cerradas (= 1107-999) y 21 llaves abiertas (= 129-108).

La Tabla 7 muestra los valores de prdida total y tiempo de procesamiento para la bsqueda en profundidad utilizando los Mtodos A y B. En este sistema todas las cargas tienen factor de potencia igual a 1.0, lo que ocasiona que las 3 formulaciones generen la misma solucin con cada mtodo.

TABLA 7. RESULTADOS PARA EL CASO 3 BUSCA EN PROFUNDIDAD

Mtodo A Mtodo B Formulacin Parmetro F1 F2 F3 F1 F2 F3 Prdida inicial (todas las llaves cerradas) (kW) 103.7189 103.7189

Prdida final (kW) 144.9565 129.7397 Flujos de potencia calc. 22 64 Tiempo de procesamiento (s) 4.48 5.12 10.69 32.31 33.81 107.51

En la tabla anterior se puede observar que la solucin que se

obtuvo con el Mtodo B es mejor que la del Mtodo A, a expensas de un tiempo de procesamiento mayor. En esta red grande se tornan evidentes las diferencias en trmino de tiempos de procesamiento entre las 3 Formulaciones.

El Mtodo Branch-and-Bound en la Formulacin 1 obtuvo 204 soluciones en 8 segundos aproximadamente. De stas, 9 soluciones fueron mejores que la mejor solucin encontrada a travs de la bsqueda en profundidad con el Mtodo A (Prdida total de 144.9565 kW, Tabla 7). La mejor solucin identificada por el Mtodo Branch and Bound obtuvo un valor de prdida total de 126.1418 kW.

V. CONCLUSIN El problema de reconfiguracin de sistemas de distribucin

manifiesta ciertas caractersticas que dificultan su resolucin. Entre ellas destacan: (a) la relacin cuadrtica entre las corrientes en los tramos y las prdidas elctricas, (b) la naturaleza combinatoria originada por las variables binarias que representan las llaves, y (c) la restriccin de radialidad, que no permite la existencia de mallas en la solucin optimizada.

Este trabajo present tres nuevas formulaciones para la parte continua del problema de reconfiguracin de sistemas de distribucin, particularmente para el clculo de corrientes en los

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tramos y tensiones de barra. La Formulacin 2 proporciona un modelo de carga ms detallado con relacin a la Formulacin 1, adems, dado que la matriz Hessiana se factoriza una sola vez para resolver dos conjuntos independientes de ecuaciones lineales, el costo computacional se mantiene en niveles equivalentes. La Formulacin 3 proporciona las tensiones de barra resultantes en el sistema, pero la matriz Hessiana es grande y no se puede subdividir como en la Formulacin 2, lo que eleva el costo computacional.

Se comprob analticamente la convexidad de todas las formulaciones. Esta caracterstica garantiza la existencia de un mnimo global nico y hace que Mtodo de Newton sea el candidato por excelencia, al converger en una sola iteracin cuando el problema es cuadrtico, como es el caso aqu presentado.

La Formulacin 3 obtiene las corrientes en los tramos y las tensiones de barras mediante una simplificacin comn en sistemas de distribucin, en los que el ngulo de desvo entre nodos normalmente es muy pequeo. Los resultados de esta formulacin muestran una excelente concordancia con los resultados del modelo completo de Newton-Raphson, el cual valida el modelo de flujo de potencia propuesto.

En cuanto a la parte entera, se incorpor el Mtodo Branch and Bound con el objetivo de validar las soluciones suministradas por la bsqueda en profundidad. Adems, permiti identificar rpidamente soluciones sub-ptimas de alta calidad. Si el tiempo de procesamiento no es una preocupacin, el Branch and Bound se puede utilizar eficazmente para identificar estas soluciones. La implementacin del algoritmo bsico Branch and Bound utilizada en este trabajo est siendo perfeccionada actualmente con el propsito de reducir su costo computacional.

La bsqueda en profundidad tambin identifica soluciones sub-ptimas de alta calidad, aunque no tantas como el Mtodo Branch and Bound. Con tiempos de procesamiento extremadamente bajos, la bsqueda en profundidad es una fuerte candidata para aplicaciones en tiempo real.

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Hernn Prieto Schmidt naci en Montevideo, Uruguay, el 6 de marzo de 1960. Recibi los ttulos de BSc y MSc en Ingeniera Elctrica en la Escuela Politcnica de la Universidad de So Paulo, Brasil, en 1982 y 1989, respectivamente. En 1994 recibi el ttulo de Ph.D. en Ingeniera Elctrica en la Universidad de Londres, GB. Desde 1985 es profesor de la Escuela Politcnica de la Universidad de So Paulo, y desde 2005 es Profesor Asociado. Durante 2002-2003 trabaj en un proyecto de pos-doctorado en el rea de optimizacin de sistemas, en la Universidad de Akron (Ohio, EE. UU.). Su rea de inters incluye la aplicacin de tcnicas de optimizacin y redes neurales artificiales a problemas de planificacin y operacin en sistemas de distribucin, y el desarrollo de herramientas GIS para la operacin de sistemas elctricos de potencia. Ana Mara Garca Cabezas naci el La Habana, Cuba, el 5 de marzo de 1967. Recibi el ttulo de Ingeniera en Control Automtico en el Instituto Superior Politcnico Jos Antonio Echeverra, La Habana, Cuba, en 1990. En 2002 recibi el ttulo MSc em Ingeniera Elctrica en la Escuela Politcnica de la Universidad de So Paulo, Brasil. Actualmente est trabajando para obtener el ttulo Ph.D en la misma universidad en el rea de optimizacin de sistemas de distribucin. Nelson Kagan (M88SM04) naci en So Paulo, Brasil, el 8 Octubre de 1960. Recibi los ttulos BSc y MSc en Ingeniera Elctrica en la Escuela Politcnica de la Universidad de So Paulo, Brasil, en 1982 y 1988, respectivamente. En 1993 recibi el ttulo Ph.D. en Ingeniera Elctrica en la Universidad de Londres, GB. Desde 1983 es profesor del Departamento de Ingeniera Elctrica de la Universidad de So Paulo. En 1999 present su tesis de posdoctorado y pas a desempear funciones de Profesor Asociado. La mayora de sus trabajos de investigacin se relaciona con la calidad de la energa y la planificacin de la distribucin de energa elctrica. Se interesa en el rea de aplicacin de sistemas inteligentes y optimizacin con mltiples objetivos. Marcos Roberto Gouva recibi los ttulos BSc, MSc y PhD en la Escuela Politcnica de la Universidad de So Paulo, Brasil, en 1972, 1979 y 1994, respectivamente. Trabaj desde 1972 hasta 1995 en la Themag Ingeniera, una firma de consultora lder en Brasil. Entre 1998 y 2000 trabaj en la comisin de Servicios Pblicos del Estado de So Paulo como jefe de Comisin. Es profesor de la Escuela Politcnica de la Universidad de So Paulo desde 1989. El Dr. Gouva es autor de ms de 50 artculos tcnicos, presentados en congresos y publicados en revistas especializadas. Paulo Agozzini Martin naci en So Paulo, Brasil, el 25 de enero de 1959. Recibi el ttulo BSc en Ingeniera Elctrica en la Escuela Politcnica de la Universidad de So Paulo, Brasil, en 1982 y el ttulo MSc en Matemticas en el Instituto de Matemtica y Estadstica de la Universidad de So Paulo, Brasil, en 1986. En 1991 recibi el ttulo PhD en Matemticas en el Instituto de Matemtica y Estadstica de la Universidad de So Paulo.

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