Ecuaciones DiferencialesDr. Rogerio

Oscilador armónico simple

Péndulo simple

Movimiento senoidal,

2

( ) cos( )

cos( ) cos cos t sin sin

cos t sin

( ) cos( )

(t) sin( t )

a(t) cos( )

z t A t

A t t

a b t

z t A t

v A

A t

Cuando la fuerza de restitucion es lineal

Condiciones iniciales

2

( ) cos( )

cos( ) cos cos t sin sin

cos t sin

( ) cos( )

(t) sin( t )

a(t) cos( )

z t A t

A t t

a b t

z t A t

v A

A t

( ) cos( )

para 0 esta en A e implica 0

(t) sin( t ) 0 en 0

si 0

( ) cos( )

(0) A

correcto

z t A t

t v

como

v A t

solo

z t A t

ademas

z

Condiciones iniciales

2

( ) cos( )

(t) sin( t )

a(t) cos( )

z t A t

v A

A t

0

para 0 esta en 0 y se golpea dandole 0

(0) cos( )

cos( )

si 2

que depende si (0) es positiva o negativa

con el sistema de referencia!!!!

suponga que es positiva la

t v

z A t

A

solo

v v

cuidado

0

velocidad hacia arriba

(0) sin( ) 0 solo si 2

( ) cos( / 2) Asin( t)

(t) A cos( t)

(0) 0 correcto

v A

z t A t

asi

v

v v

Ejemplo: Amortiguadores de un carro

Cuando una familia de 4 personas con una masa total de200 kg se sube a su automóvil de 1 200 kg, los resortesse comprimen 3.0 cm ¿Cuál es la constante de los resortes suponiendo que actúan como un solo resorte?

¿Cuánto mas bajara el automóvil si se carga con 300 kg?

200 9.86.5 4 65000

3.0 2

F Xk E

x E

300 9.84.5 2 4.5

6.5 4

F Xk E cm

x E

Ejemplo: Amortiguadores de un carro

¿Cuál es la frecuencia de vibración del automóvil despuésDe golpear un tope? Suponga que los amortiguadores del carro están en mal estado por lo que el carro realmenteoscila hacia arriba y hacia abajo.

6.5 46.814 / s

1400

2

1.084 1/

1/ 0.92

k Erad

mnotese

f

f s Hz

ademas

T f s

Ejemplo: cono de una bocina

El cono de una bocina está tocando un Do central del piano.La amplitud en el centro del cono es de 1.5E-4 m¿Cuál es la velocidad máxima y la aceleración máxima?

Ejemplo: cono de una bocinaC central del piano es de 262 Hz El cono se mueve como un oscilador armónicoLa amplitude máxima ocurre en t=0

4

4

2 2

cos( t)

t 0, 1.5 10

2 6.28 262 1650

1.5 10 cos(1650 t)

como

sin( t)

maximo ocurre en 0.25m/s

y la aceleracion es maxima cuando

410 /

es mas que 40g

o

x A

x X

como f X

x X

v A

el

a A m s

que

Ejemplo: cono de una bocinaC central del piano es de 262 Hz ¿Cuál es la posición del cono en 1ms?

¿Es mucho o poco?

4

4

4 3 5

cos( t)

t 0, 1.5 10

2 6.28 262 1650

1.5 10 cos(1650 t)

t=1ms

1.5 10 cos(1650 10 ) 1.2 10

o

x A

x X

como f X

x X

en

x X X X m

1/ 0.0038 3.8

milisegundo esta a menos de 1/4 de su carrera total

T f s ms

al

Circuito LC

2

2

2

2

0

porque disminuye la corriente

0

ecuación diferencial análoga

al oscilador harmónico

0

cos( )

1

Q dIL

C dtpero

dQI

dt

d Q QL

dt C

d xm kx

dtsolución

Q Q t

con

LC

2

2que significara ?

d Q

dt

2

2

cambio de la corriente!!!

d Q dI

dtdt

GRAFICAAAA????

Circuito LC

0 0 0

0

2

2

2 2

2 2

porque disminuye la corriente

10

10

ecuación diferencial análoga

al oscilador harmónico

0 0 co

Q t t

t

Q dIL

C dtpero

dQI

dt

dQ Idt dQ Idt Q Idt

dIL Idtdt C

derivando

d IL Idt C

d x d x km kx x

dt dt m

2

0

2

n

cos( )

1

k

msolución

I I t

con

LC

Circuito LC2

2

2 22

2 2

0

2

10

ecuación diferencial análoga

al oscilador harmónico

0 0 con

cos( )

1

d IL Idt C

d x d x k km kx x

dt dt m msolución

I I t

con

LC

I

I

I

I

Corr

ient

e

Cam

iode

co

rrie

nte

Resonancia

ResonanciaForma distintade verla

Movimiento armónico amortiguado

Movimiento armónico amortiguado

Campos Direccionales y Curvas Solucion

Ecuaciones de Segundo grado

Lo que nos está proporcionando la ecuación diferencial es una serie de curvas con

Y las condiciones iniciales nos indican unasola curva de entre todas las posbibles

Así, las diferentes pendientes definen un conjunto de curvas que además son un indicativo de la curva únicasolución

Y proporcionan información extra: Equilibrio