I. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN

POSICIÓN NORMAL

1. REVISIÓN DE ALGUNOS CONCEPTOS

PLANO CARTESIANO: Sistema de coordenadas que consta de dos

rectas dirigidas perpendiculares llamadas ejes.

El eje Horizontal se llama EJE DE LAS ABSCISAS o EJE “ X” y el eje

vertical se llama EJE DE LAS ORDENADAS o EJE DE LAS Y.

UBICACIÓN DE UN PUNTO: Se ubica en el Plano Cartesiano por medio

de sus COORDENADAS escritas en forma de par ordenado.

A(1;3) se lee “Punto A cuyas coordenadas son 1 y 3”

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS: Cuando se ubican dos puntos en el

Plano Cartesiano, se forma un triángulo rectángulo. La distancia entre los

+X-X

Q4Q3

Q1Q2

-Y

+Y

r b

a

A(1;3)r2=a2+b2

1 2 3 4 5 6

6

5

4

3

2

1

+X-X

B(3;5)

-Y

+Y

dos puntos recibe el nombre de RADIO VECTOR y hallar su valor

consistirá en hallar el valor de la hipotenusa de dicho triángulo.

2. ELEMENTOS DE UN ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL: Su vértice coincide con el origen de las coordenadas del Plano

Cartesiano.

Uno de sus lados coincide siempre con el semieje positivo de las

abscisas.

El otro de sus lados puede ubicarse en cualquier parte del plano

cartesiano.

En la figura siguiente los ángulos y β están en posición normal.

3. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL

Sea el ángulo “” en Posición normal.

r es el radio vector

x es la abscisa y

y es la ordenada

αX

x

P(x;y)

Y

y

-X -x

P(-x;y)

Y

y

“α” es un ángulo en Posición Normal “” es un ángulo en Posición Normal

αX

x

P(x;y)

Y

y

“α” es un ángulo en Posición Normal

Las razones trigonométricas de “” son las siguientes:

sen α= yr= ordenadaradio vector

cot g α= xy= abscisaordenada

cos α= xr= abscisaradio vector

sec α= rx= radio vector

abscisa

tg α= yx=ordenadaabscisa

csc α= ry= radio vector

ordenada

SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

En el cuadro siguiente muestra los signos de las razones trigonométricas en

cada cuadrante.

R.T. I C II C III C IV C

Sen + + - -

Cos + - - +

Tg + - + -

Cotg + - + -

Sec + - - +

cosec + + - -

4. VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

1 ≤ seno ≤ 1

coseno

∞ ≤ tangente ≤ +∞

cotangente

Secante ≤ - 1

cosecante

Secante ≥ 1

Cosecante

-1 1-∞ +∞

-∞ +∞

+∞-∞ 1-1

5. EJERCICIOS

1) Se tiene el punto P (-3;4), determinar las 6 razones trigonométricas.

2) Se tiene el punto Q (-8;-6), determinar las 6 razones trigonométricas.

3) Los cuadrantes en que el Cos y Tg; tienen el mismo signo son:

A) I y II B) I y III C) II y III D) III y IV E) I y IV

4)

5) Se sen = -0,8; III C. Hallar:

E = tg - sec

a) 3 b) -3 c) 1/3 d) – 1/3 e) 6

6) Si Tg = 0,75; III C. Hallar:

E = sec - tg

a) 1/2 b) -1/2 c) 2 d) – 2 e) 4

7) Calcular la Tg en:

8) Calcular Senβ en:

II. ANGULOS COTERMINALES

x

(-4,-3)

α

Y

x

(15,-8)

β

Y

2.1. PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS ÁNGULOS COTERMINALES

EN POSICIÓN NORMAL

Si dos ángulos coterminales y β están en posición normal, se

cumple la siguiente propiedad:

R.T.() = R.T.(β)

En general:

R.T.() = R.T. (n° vueltas + β) = R.T.(β)

Ejemplo: sen 415° = sen(360° +55°) = sen55°

Sen 415° = sen 55°

II.2. REPRESENTACIÓN DE LOS ÁNGULOS COTERMINALES EN EL

PLANO CARTESIANO

EJERCICIOS

1. Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones y señalar cuales

son coterminales

a) Sen 405°

b) Cos 80°

c) Sen 45°

d) Sen 1520°

2. Si: α y son ángulos coterminales. Además

90º <α <180º y Tg2 = -0,5. Calcular

M=√5 (Sen2α+Cos2β )A) 1 B) 1,5 C) 2 D) 2,5

3. Si el punto P(-1;2) pertenece al lado final del ángulo en posición normal “”

( Q2) Hallar:

E=√5 Secθ − Tgθ

A) 1 B) 6 C) -7 D) -2 E) -3

4. Si el punto Q (-√3 ; -1) pertenece al lado final del ángulo en posición normal

“” ( Q3)

Hallar: Sec . Cosec

A)

5√33 B) 3 √3 C) 2 √3 D)

4 √33 E)

2√33

5. Si: Sen = 1/3 Calcular “Cotg . Sec”

A) −2√2 B) -3 C) 3 D) – 1/3 E) 1/3

6. Siendo: Tgβ = -0,75; B Q2. Calcular:

K = Cscβ + Ctgβ

A) 1 B) -1 C) -3 D) – 1/3 E) 1/3

III. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTES

ÁNGULOS CUADRANTALES:

Son aquellos ángulos que además de encontrarse en posición normal, tienen

como lado final a uno de los semiejes coordenadas. Los ángulos cuadrantales

no pertenecen a ningún cuadrante y sus valores son múltiplos de 90º ó /2.

0º 90º 180º 270º 360º

0 /2 3/2 2

3.1. LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO

CUADRANTAL: Se determinan aplicando las definiciones de razones

trigonométricas de ángulos de cualquier magnitud.

r

rr

r

90°(x;y)(0;r)

0° - 360°180°(-x;y)(-r;0)

(x;y)(r;0)

(-x;-y)(0;-1)

270°

En el siguiente cuadro se sintetizan los valores de las razones

trigonométricas de los principales ángulos cuadrantales.

Ángulo Sen Cos Tg Ctg Sec Csc0º 0 1 0 N.D. 1 N.D.

90º 1 0 N.D. 0 N.D. 1

180º 0 -1 0 N.D. -1 N.D.

270º 1 0 N.D. 0 N.D. -1

360º 0 1 0 N.D. 1 N.D.

N.D.: No se puede determinar

3.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NEGATIVOS

Del gráfico hallamos las razones trigonométricas del ángulo y de -:

Sen = y/r Sen (-) = -y/r

Cos = x/r Cos (-) = x/r

Tg = y/x Tg (-) = -y/x

Ctg = x/y Ctg (-) = -x/y

Sec = r/x Sec (-) = r/x

Csc = r/y Csc (-) = -r/y

-

r

r

Y

X

P’(x,-y)

P(x,y)

Y obtenemos que:

Sen = Sen (-)

Cos = Cos (-)

Tg = Tg (-)

Ctg = Ctg (-)

Sec = Sec (-)

Csc = Csc (-)

EJERCICIOS

1. Sen180º . Cos + Tg0º

2. Cos90º + 4Sen270º . Sec180º

3. 2Cos . Csc 3/2 + 3Cos2 . Sen0º

4. Hallar:

a) sen (-45º) d) csc (-90º)

b) tg (-60º) e) sec (-360º)

5. Hallar el valor numérico de:

E=3Tg260 º−2 Csc (−270 º )

4 Ctg (−60º )

6. Hallar el valor numérico de:

R=Cos(−180 º )+Cos2 (−45 º )Sec 2 (180 º )−Tg2 (−180 º )

IV. REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL I CUADRANTE

REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE

Reducir al primer cuadrante un ángulo mayor a 90º; es escribir el valor de

su razón trigonométrica, en función de otra razón trigonométrica de un

ángulo equivalente al primer cuadrante.

CASOS DE REDUCCIÓN DE ÁNGULOS AL PRIMER CUADRANTE:

1. Razones Trigonométricas Equivalentes para Ángulos Positivos

1 CASO

Para los ángulos que tienen la siguiente forma:

(180º + α) ó (360º - α), también

( + α) ó (2 - )

Entonces:

R.T. (180º + α)

+ R.T. (α)

R.T. (360º + α)

Ejemplos: Reducir al primer cuadrante:

1) Tg(180º - α)

(180º - α) al Q2. En este cuadrante la tangente es negativa, por lo tanto al

resultado se colocará el signo negativo. Así:

Tg (180º - α) = -Tgα Rpta.

2) Sen (2 + α)

Sen (2 + α) al Q1. En este cuadrante el seno es positivo, luego al

resultado se colocará el signo positivo. Así:

Sen (2 + α) = senα Rpta.

2 CASO

Para los ángulos que tienen la siguiente forma:

(90º + α) ó (270º + α), también

( π2 +α) ó ( 3π2 ±α)Entonces:

R.T. (90º + α)

= + Co - R.T. (α)

R.T. (270º + α)

OBSERVACIÓN:

“El signo (+ ó -), depende del signo que tiene la razón en el cuadrante al cual

pertenece al ángulo a reducir”

Ejemplos: Reducir al primer cuadrante:

1) Sen(90º + α)

(90º + α) al Q2, en este cuadrante seno tiene signo positivo, por lo que el

resultado llevará este signo acompañado de la confusión del seno.

Así:

Sen (90º + α) = + Cosα

2) Sec(3/2-α)

(3/2-α) al Q3, la secante en ese cuadrante tiene signo negativo, por lo

que el resultado llevará este signo acompañado de la confusión de la

secante. Así:

Sec(3/2-α) = -Cscα

EJERCICIOS

1. Reducir al primer cuadrante:

a. Sen(180º - α)

b. Tg (180º - α)

c. Cos (2 + α)

d. Ctg 410º

e. Csc 275º

f. Sen 5/4

2. Reducir al primer cuadrante

a. Sen(90º - α)b. Tg (90º - α)c. Sec (90º - α)

d. Sec( 3 π2 +α)

e. Csc (270º + α)f. Tg 4/3

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Si el punto P (-5;2) es un punto que pertenece al lado final del ángulo en

posición normal “α”. Calcular:

E=√29 Cos α + Tg α

A)

275 B)

−275 C)

527 D)

−235 E)

215

2) Si el punto P (5; -3) es un punto que pertenece al lado final del ángulo “” en

posición normal. Calcular:

S=√Senθ . Cosθ . Tgθ

A)

3

√34 B)

34

√3 C)

5

√34 D)

−3√34 E) N.A.

3) Si Tgα = -3/2 y cumpliéndose que: α Q2. Hallar el valor de: R = (Senα +

Cosα)2

A) 13 B) 1/13 C) 2/13 D) 5/13 E) N.A.

4) Si: Senα = -15/17 siendo “α” del Q4.

Hallar:

T= Tgα + CosαSec α + Ctg α

A)

−817 B)

817 C)

−1715 D)

−57 E)

−1517

5) Si Q2 y αQ4; tal que: Cos = -3/5 y Tgα = -4/3. Hallar el valor de: K =

Sen.Cosα + Cos . Senα

A)

125 B)

2425 C)

225 D)

425 E) N.A.