RAZONES Y

PROPORCIONES

RAZÓN

PROPORCIÓN

DIRECTA INVERSA COMPUESTA

PORCENTAJE

Las razones y proporciones son una manera de encontrar relaciones entre cantidades que aumentan o disminuyen

¿Qué son las razones y

proporciones?

Por ejemplo La cantidad de dinero que se paga por la compra de un kilo de pescado irá aumentando o disminuyendo en la medida que aumente o disminuya la cantidad de kilos de pescado a comprar

RAZÓN

Una RAZÓN es una comparación entre dos cantidades por medio del cuociente entre ellas.

Se puede escribir como

a:b Se lee " a es a bkb

a =ó

Antecedente

Consecuenteb

a

APLICACIONES DE RAZONES

En lenguaje de cartografía la razón se conoce como escala.

Si un mapa está a escala 1:1000, ¿Qué significa?

Cualquier distancia (digamos 1cm) en el mapa, representa 1000 cm en la vida real es decir 10m.

Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de

1000

13

Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 13 bebés.

APLICACIONES DE RAZONES

La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional.

Por ejemplo, se sabe que la población de Antofagasta es de 285.255 personas, y también se sabe que la superficie es de 30.718,1 kilómetros cuadrados.

Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de

habitantes por kilómetro cuadrado

¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 9 personas!

APLICACIONES

3,91,30718

285255 =

RAZONES EQUIVALENTES

Dos razones son equivalentes si el valor de la razón es el mismo.Ejemplo la razón 3:4 es equivalente a la razón 6:8,

ya que 3:4 = 6:8

3:4= 0,75 y 6:8=0,75

•2:4 es equivalente a 4:8

2:4= 0,5 y 4:8= 0,5

•5:2 es equivalente a 10:4

5:2 = 2,5 y 10:4 = 2,5

AMPLIFICAR Y SIMPLIFICAR

• Dado que una razón es una fracción, podemos amplificarla y simplificarla para obtener razones equivalentes, así:

Simplificar División

Amplificar Multiplicación

PROPORCIONESSe llama proporción a la equivalencia entre dos razones

d

c

b

a =

Se escribe

o a : b = c : d Se lee “a es a b como c es a d”

En toda proporción:

d

c

b

a =

Extremos

Medios

OBSERVACIÓNEl producto de los medios es igual al producto de

los extremos.

d

c

b

a =

Dada la proporción:

Se cumple:

cbda ⋅=⋅

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Dos o más cantidades a y b son directamente proporcionales cuando su cociente es constante (k)

OBSERVACIÓN

• Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta.

• Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye.Ejemplo:

Mas horas de trabajo mas producción

PORCENTAJE

Una aplicación del la proporcionalidad directa…

INTRODUCCIÓN

Para calcular un porcentaje, se divide el entero en 100 partes iguales y se toma de ella la cantidad requerida. Si una cantidad se divide en 100 partes iguales y se toma 25 de ellas, se está considerando el 25 % de la cantidad.

EJEMPLO

Si se dice que el 10% de los alumnos de este curso son niñas, se está diciendo que de cada 100 alumnos 10 son niñas.

CÁLCULO DE PORCENTAJE

Para trabajar con tantos por cientos, se procede como una proporción directa.

EJEMPLO

Calcular el 32 % de 459.

La proporción que se debe formar es:

EJEMPLO ¿Qué porcentaje es 142 de 568?

Solución:

La proporción que se debe formar es:

EJEMPLO De qué cantidad es 96 el 12%?

Solución:

La proporción que se debe formar es:

PROBLEMAS DE PLANTEO DE PORCENTAJES• Si hoy han faltado a clase  por enfermedad el 20% de los 30

alumnos/as, ¿cuántos alumnos han asistido? ¿Cuántos alumnos/as han faltado?

• En una población de 7.000 habitantes, el 80% tiene más de 18 años. Averigua el número de personas mayores de esa edad.

• De 500 mujeres encuestadas, 370 afirman que les gusta el fútbol. Expresa esa cantidad mediante un porcentaje.

• Juan cobra $26.000 al año y paga $5.200 de impuestos. ¿Qué porcentaje de impuestos paga?

• Los embalses de agua que abastecen a una ciudad tienen  una  capacidad  total  de  400  km3 ,  y  se encuentran al 27 % de su capacidad. ¿Cuantos km3 contienen?

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

OBSERVACIÓN

• Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra también aumenta.

• Dos cantidades se dicen que son directamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra también disminuye.Ejemplo:

Mas horas de trabajo mas producción

EJEMPLO

En una receta se incluyen tres huevos por cada 12 personas. ¿Cuántos huevos se necesitarán si se desea preparar la receta para 20 personas?

20

123 =x

Se tiene:

Huevos Personas

3 12

x 20

Formando la proporción

Multiplicando cruzado x⋅=⋅ 12203

x=5 Por lo tanto, se necesitan 5 huevos para 20 personas

Resolviendo para x, se tiene que:

EJEMPLO

Un vehículo recorre 150 m en 5 seg. Si no varía su velocidad, ¿que distancia puede recorrer en un minuto y medio?

EJERCICIOS

• Para tejer 2 chalecos de niño se utilizarán 240 gramos de lana. Si queremos tejer 5 chalecos, ¿cuántos gramos de lana necesitaremos?

• Con 6 litros de pintura, se puede pintar 40 m2 de pared. ¿cuántos litros de pintura se necesitan para pintar 96 m2?

• Una llave que arroja 40 litros de agua por minuto, llena un estanque en 100 minutos. ¿Cuánto tiempo demora en llenar el mismo estanque una llave que arroja 60 litros por minuto?

PROPORCIONALIDAD INVERSA

OBSERVACIÓN

El número de obreros y el tiempo para realizar una obra

Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al aumentar una de ellas la otra disminuye.

Dos cantidades se dicen que son inversamente proporcionales si y solo si al disminuir una de ellas la otra aumenta.

Ejemplo:

PROPORCIONALIDAD INVERSA

Dos o más cantidades son inversamente proporcionales si los productos que se obtienen al multiplicar los términos de cada una de las razones son constantes.

EJEMPLOEn una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

x

20

400

300 =

Se tiene:

Gallinas Días

300 20

400 x

Formando la proporción

Multiplicando cruzado x⋅=⋅ 40020300

Por lo tanto, en 15 días comerán la misma cantidad de granos

Resolviendo para x, se tiene que:

Se invierte la segunda razón

20400

300 x=

EJEMPLO

Un depósito de agua se llena en 2.25 horas empleando cinco llaves de agua de igual diámetro. ¿En cuánto tiempo se llenará, si se utilizan tres llaves?

EJEMPLO DE PROPORCIONALIDAD1. El número de leñadores y el número de árboles que pueden cortar

es una proporción es...

2. La velocidad de un avión y el tiempo que tarda en hacer un viaje es...

3. La cantidad de bebida que tomo y lo que gasto en comprarla es...

4. El número de cuadernos que compro y lo que tengo que pagar es...

5. El número de pintores y el tiempo que tardan en pintar una casa es...

EJERCICIOS • 3 grifos vierten agua de forma constante llenando un depósito en

10 horas, si usamos 6 grifos para llenar ese depósito ¿Cuánto tiempo tardarán en llenarlo?

• Cinco pintores tardan 24 días en pintar una fachada. ¿Cuánto tardarán doce pintores en hacer el mismo trabajo?

• Un grupo de alumnos para su viaje de estudios contrata un autobús a precio fijo. Inicialmente iban al viaje 20 alumnos siendo el precio por persona de $8000 . Si finalmente hacen el viaje 16 alumnos ¿Cuánto tiene que pagar cada uno?

• Un coche que circula a 70Km/h. invierte 3 horas en cubrir la distancia que separa dos ciudades, si vuelve a realizar el viaje y emplea 4 horas. ¿A qué velocidad circula en el segundo viaje?

PROBLEMAS DE RAZONES

En una escuela, la razón entre los alumnos del 7o y los alumnos del 8o es 7:5

He aquí un diagrama que muestra que la razón entre los alumnos del 7o y los alumnos del 8o

Alumnos de 7° Alumnos de 8°

Como se puede ver en el diagrama, el "total" se divide en 12 partes (7 + 5)

Podríamos usar este diagrama para resolver problemas tales como:Si hay 156 alumnos en los 7° y 8°, ¿cuántos alumnos hay en el 7°? (Divide el total en 12 partes, y luego toma 7 de las partes.)

156:12=13 13 ∙7=91

Respuesta: Hay 91 alumnos en el 7°