Discovering Geometry: Una guía para los padres 9

El razonamiento en la geometría C A P Í T U L O

2Resumen del contenidoUno de los principales propósitos de cualquier curso de geometría es el de mejorar lacapacidad de razonamiento lógico de los estudiantes. El Capítulo 2 se concentra endos tipos básicos de razonamiento: inductivo y deductivo. Los estudiantes utilizan elrazonamiento inductivo para identificar patrones visuales y numéricos y hacerpredicciones basadas en estos patrones. Luego se les presenta el uso del razonamientodeductivo para explicar por qué estos patrones son ciertos. Los estudiantes exploranlas relaciones entre las medidas de los ángulos formados por rectas transversales yparalelas, formulan conjeturas sobre estas relaciones y aprenden a utilizarargumentos lógicos para explicar por qué estas conjeturas son ciertas.

Razonamiento inductivoCada vez que congela su botella de agua, el agua se expande. Usted aprenderápidamente a no poner demasiada agua en la botella para evitar que salte la tapa ose rompa la botella. El razonamiento por el cual se llega a conclusiones a partir de laexperiencia es inductivo.

Los matemáticos utilizan el razonamiento inductivo para tratar de predecir quépuede ser cierto. Por ejemplo, si suma los números impares positivos comenzandodesde el 1, obtiene un patrón.

1 � 3 � 4

1 � 3 � 5 � 9

1 � 3 � 5 � 7 � 16

Las sumas parecen ser cuadrados perfectos: 4 � 2 � 2, 9 � 3 � 3, 16 � 4 � 4. Inclusosi usted “suma” sólo el primer número impar, 1, la suma es un cuadrado: 1 � 1. Ustedpuede concluir que la suma de cualquier cantidad de números impares positivosconsecutivos, comenzando desde el 1, es un cuadrado perfecto.

Pero el razonamiento inductivo no es infalible. Puede pasar que alguna vez que ustedponga su botella de agua en el congelador, el agua no se expanda. (Quizás elcongelador no funciona, o el agua está saborizada de alguna manera.) Por ende, losmatemáticos no están satisfechos con el razonamiento inductivo. El razonamientoinductivo sólo lleva a predicciones, o conjeturas. Una conjetura se convierte en hechomatemático, o teorema, sólo si alguien demuestra que es la conclusión de unrazonamiento deductivo.

Razonamiento deductivoEl razonamiento deductivo, también llamado demostración o prueba, es el razonar apartir de hechos demostrados, utilizando pasos lógicamente válidos para llegar a unaconclusión. Una demostración puede servir varios propósitos. Los matemáticos amenudo utilizan la demostración para verificar que una conjetura es verdadera paratodos los casos, no sólo para aquellos examinados, o para convencer a otros. Lasdemostraciones a menudo ayudan a responder a la pregunta: ¿Por qué? El uso de lademostración para explicar el por qué, es una extensión natural para los estudiantesen este punto del curso y les ayuda a profundizar su comprensión. Este capítuloresalta este propósito iluminador de la demostración o prueba.

Si usted tomó un curso de geometría, puede haberse encontrado con pruebasescritas en dos columnas: una columna con afirmaciones y una columna conjustificaciones, donde cada afirmación está justificada con una razón. Sin embargo,la mayoría de los estudiantes se sienten abrumados por este enfoque. Lo encuentrandifícil de seguir y pierden la idea general. En Discovering Geometry, las pruebas endos columnas aparecen en el Capítulo 13 con el estudio de la geometría como un

(continúa)

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Capítulo 2 • El razonamiento en la geometría (continuación)

sistema matemático, punto en el cual los estudiantes se encuentran en el nivel dedesarrollo adecuado. Por ahora, se anima a los estudiantes a usar argumentosdeductivos informales escritos en forma de párrafos. En el Capítulo 4, se lesmostrarán otras formas de presentar las pruebas.

Estrategias de razonamientoLa parte más difícil del proceso de redactar un argumento deductivo es determinarla lógica subyacente del argumento y qué información incluir. Comenzando en elCapítulo 2 y continuando a lo largo de todo el libro, se enseñan estrategias derazonamiento a los estudiantes, formas de pensar que ayudan a construir unargumento deductivo. Quizá quiera hablar sobre estas formas de pensar con suestudiante. En este capítulo se presentan las primeras tres de estas estrategias derazonamiento y se presenta una estrategia más en cada capítulo subsiguiente comose indica.

● Dibuja un diagrama rotulado y marca lo que sabes.

● Representa una situación algebraicamente.

● Aplica conjeturas y definiciones previas.

● Divide un problema en partes. (Capítulo 3)

● Agrega una recta auxiliar. (Capítulo 4)

● Piensa de atrás para adelante. (Capítulo 5)

Problema resumenDibuja dos rectas transversales. ¿Qué notas acerca de los ángulos opuestos por elvértice? ¿Puedes explicar cualquier patrón que veas?

Preguntas que puede hacerle en su rol de estudiante a su estudiante:

● ¿Qué significa el término ángulos opuestos por el vértice?

● ¿Qué pares de ángulos son ángulos opuestos por el vértice?

● ¿Qué conjetura puedes expresar acerca de las medidas de los ángulos opuestospor el vértice?

● La conjetura que haces, ¿aplica a todos los pares de rectas transversales que hasprobado, o puedes hallar un contraejemplo?

● ¿Piensas que tu conjetura es válida para todos los pares de rectas transversales?

● ¿Cómo demostrarías que es verdadera para todos los pares?

Ejemplos de respuestasCuando dos rectas se intersecan, forman cuatro ángulos diferentes. Dos ángulos noadyacentes formados por las rectas transversales son ángulos opuestos por el vértice.Dos rectas transversales forman dos pares de ángulos opuestos por el vértice. Losángulos de cada par tienen medidas iguales. Explicar el por qué puede implicarhablar acerca de las líneas rectas y los diferentes pares de ángulos adyacentes, o de larotación alrededor del vértice. Puede redactar un argumento deductivo para probarque la conjetura de ángulos opuestos por el vértice sigue lógicamente a la conjeturade pares lineales, tal como se ve en la página 124.

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1. (Lección 2.1) Usa la regla dada para generar los próximos cinco términosde la secuencia.

2, 5, 9, 14, . . . , �n(n

2� 3)� , . . .

2. (Lecciones 2.2, 2.3, 2.4) Halla la regla para el número de círculos en lafigura número n y úsala para hallar el número de círculos en la figuranúmero 20. ¿Estás usando razonamiento inductivo o deductivo paracontestar esta pregunta?

3. (Lecciones 2.5, 2.6) Halla la medida de cada ángulo con letra. ¿La recta les paralela a la m? Explica tu razonamiento.

4. (Lección 2.6) Las rectas l y m son paralelas entre sí. Halla x.

ml

4x40 � 3x

55�

126�

c

a

bm

l

Discovering Geometry: Una guía para los padres 11

Número de figura 1 2 3 4 . . . n . . . 20

Número de círculos 1 6 11 16 . . . . . .

Capítulo 2 • Ejercicios de repaso

Nombre Período Fecha

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3. a � 55° según la conjetura de los ángulos opuestospor el vértice.

b � 126° según la conjetura de los ángulos opuestospor el vértice.

c = 54º según la conjetura del par linear.

Si las rectas l y m fueran paralelas, entonces c seríaigual a 55° según la conjetura de los ángulos corre-spondientes. Sin embargo, c � 54° como se indicó anteriormente, entonces l y m no son paralelas.

4. 40 � 3x � 4x � 180 Conjetura de los ángulos corre-spondientes y conjetura del parlinear.

40 � 7x � 180 Combina términos similares.

7x � 140 Resta 40 de ambos lados.

x � 20 Divide ambos lados entre 7.

1. 20, 27, 35, 44, 54

Los primeros cuatro términos provienen de sustituir an por 1, 2, 3 y 4 en la regla dada. Sustituye n por 5, 6,7, 8 y 9 para hallar los siguientes cinco términos. Veral final de la página.

2. 5n � 4 (ó 5(n � 1) � 1, que es equivalente); 96;razonamiento inductivo

Primero busca la diferencia entre los términos. Eneste caso sumamos cinco a cada término para llegar al término siguiente.

�5 �5 �5

Como la diferencia entre los términos consecutivos essiempre cinco, la regla es 5n � “algo”. Supongamosque c sea el “algo” desconocido, entonces la regla es5n � c. Para hallar c, reemplaza la n en la regla por unnúmero del término. Por ejemplo intenta n � 3 y quela expresión sea igual a 11, el número de círculos en latercera figura.

5(3) � c � 11

15 � c � 11

c � �4

Por lo tanto la regla es 5n � 4. Para averiguar cuántoscírculos hay en la figura número 20, sustituye n por20 en la regla.

5(20) � 4 � 96

12 Discovering Geometry: Una guía para los padres

n 5 6 7 8 9

�n(n

2� 3)� �

5(52� 3)� � 20 �

6(62� 3)� � 27 �

7(72� 3)� � 35 �

8(82� 3)� � 44 �

9(92� 3)� � 54

Número de figura 1 2 3 4 . . .

Número de circulos 1 6 11 16 . . .

1.

SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE REPASO DEL CAPÍTULO 2

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