I<C]ZOf/ Y proPOtclOI7(J/Ic/¥/

, , CAPITULO 6

RAZON Y PROPORCIONALIDAD

6.1 Un prefacio intermedio

Una primera version de este capitulo fue el primer espeCimen de fenomenologia didactica que produje - en 1973 y en aleman. La causa inmediata de ello fue una exposicion teorica sobre objetlvos de instruccion por parte de un pedagogo, en la que el autor trato el tema "raz6n" como ejemplo paradigmatico. Eliglo este ejemplo porque, en el trabajo mas amplio del que 10 sacaba, era un tema que podia cubrirse con un unico objetivo. Yo he argumentado reiteradas veces que formular objetivos de instruccion debe venir precedido por la observacion de los procesos de aprendizaje que puedan revelar 10 que se esta aprendiendo y, por tanto, 10 que deberia ensefiarse. Tambien he argumentado que tanto para observar procesos de aprendizaje como para el desarrollo curricular, una condicion previa indispensable es una fenomenologia didactica. Sin embargo, en esa epoca los obJetivos de instrucci6n se destilaban a partir de los libros de texto que prevalecen y de colecciones de tests. Con el fin de mostrar cuanto se pierde con este enfoque, me vaH de "razon" como ejemplo que sirviera para explicar 10 que es la fenomenologia didactlca 0 10 que deberia ser. A quienquiera que lea 10 que escribi entonces -y no suena muy diferente en la version presente- Ie chocara una rigidez de estilo que no es habitual en mi. Visto desde ahora, debe confesar que este estilo fue condicionado al menos tanto por el tema concreto como por mi intencion de escribir un especimen de fenomenolog!a didactica -mas adelante dare razones de ello.

En mayo de 1975 di unas conferencias en Berlin. Alii conod en persona a Christine I(eitel, con quien ya me habra carteado. Le habie de un manuscrito, que mas adelante se publico con el titulo de Desbrozar y sembrar, y sobre una fenomenologia didactica de conceptos matematicos fundamentales, que serra mi empresa siguiente. Le prometi una obra escrlta en un estilo cientifico riguroso, sin tomar en consideracion su iegibilJdad. Christine me Imploro "no 10 hagas" con un cierto tono, como si qulsiera decir "no tienes nlnguna obllgacion de hacerlo asi". Durante mucho tiempo esas palabras me obsesionaron.

En el verano de 1975 el capitulo sobre razon ya existia, as! como un esbozo provisional de "Fracciones", pero aun tenia que comenzar el que fuera el primer capitulo. "Conjuntos", por supuesto. Luche con el, pero no tuve exito. EI tema se resistia y el estilo terso, que con tanta destreza habra domlnado en "Razon", me abandono. No escribr ni una linea.

Camble de opinion. Nada de conjuntos. Numeros, no. Geometria, no. Finalmente elegi "Longitud", y al poco habia concebido en detalle el capitulo, (Tiene lagunas, deberfa volverse a pensar.) Pero de nuevo fui Incapaz de escribirlo, es decir,

RifZOI7 Y ptopotcio/}q/iJ,'Jr:I

fill Inca paz de escrlblrlo en el estila terso de Raz6n -un Idea! que encadenaba mi mente. lDeberia encorsetar un tema que no estaba hecho para efto, solo para que tuviera un aspecto que no Ie era propio?

Par otra parte, no tenfa ninguna obligaci6n de hacerla asi. No necesitaba astlmir un lenguaje ac;ademicamente rimbombante para despertar expectativas de profundidad. No empiezo una carrera en la Que un lenguaje de este estilo sea recomendable. y no me siento fellz proporcionando unas obras a las generaciones futuras que hayan de sondear profundidades en obras Uegibles. MI retrato espirltual esta establecida y mls Ideas sabre 10 que es cientifico no necesitan ser corregidas. Simplex veri sigll/um -10 que traduzco asi: 10 Que es verdadero puede decirse en lenguaje llano.

Ya sabra que hacer, pero todavia no sabia como hacedo. Lei y reler "Raz6n"~ Pareda estar bien y bien esclito. Era claro y el estllo era honesto. (Por que era incapaz de escriblr sabre "Longitud" de la mlsma manera? Intente formulaciones diversas,. en vano. En fin, debia Uberarme de Ese modelo. Me sabia "Razon" como sl dijeramos "de memoria". Debia cerrar ese cajon de mr mente y aMr otro.

Asi que dec/di cambiar del aleman al holandes. Escriblria la fenamenolagia en holandes, para traducirla despues al aleman. EI lenguaje es una infeccion. EI holanctes es la unica prosa en la que nunca he lntentado ser profunda.

Tras tamar la decision sobre el idioma, brotaron argumentos nuevos. Habra comenzado la fenomenologfa para ayudar a los que hadan desarrollo curricufar c;anmigo en su trabaja cot/diana y en las discusiones sabre el, y esa era su Intencionj a carta plaza nadie mas [ha a beneficfarse de ello -estuviera traducida 0 no. Estaba pensada para nuestro habla coloquial y debfa ser escrita en nuestro lenguaje coloquial.

Este era Un prefaclo colocado en el lugar erroneo. Escriblre otro wando vuelva sobre este trabajo.

6.2. EI estatIJto 16gico de Razon

Aunque algo tarde, entendi final mente que el estatuto !ogico de razOn esta muy lejos de los conceptos discutidos hasta aqu;' Tambien entendi por Que debia separar la razon de fracclones.

La raz6n es una funci6n de un par orden ado de nllmeros 0 valores de magnitud. Tamblen 10 son la suma, Is diferencia, el producto y el coc:iente, perc estos . 10 son en sentido algorftmico: hay una receta para obtener el valor de la funcion correspondlente a un par determinado 0 at menos para actuar como si se hubiera

obtenfdo -en efecto, tque se ha obtenido si se contesta a 3 : 4 con ~.?

RqZOI7 .v proporciOflq/;d.tc!

La razon tam bien puede obtenerse: transformitndola en un cociente, esto es, leye[1do

como 3 es a 4

como SI dijera

~ dividido por 4,

pero esto es la violad6n de la razon . 5i se hace, se priva a la razonde 10 que la haec valiosa como tazon.

La razon e5 una funci6n de un par ordenado de n(Jmeros 0 valores de magnitud. Pero, l.que hay de los val ores de esa funcion? LNtimeros 0 valores de magnitud, de nuevo? 5e puede interpretar asi, pera es la manera erronea de hacerlCi. En efecto, esto identificarfa razon con cociente. EI significado propio de ta razon es. Ilablar sobre igualdad (0 desigualdad) de razones sin conocer el tamano de la razon, ser capaz de decir con sentido

nes a b como c es a d

sin anticipar que

a es a b

puede reducirse a un numero 0 valor de magnitud

J

4

de modo que entonces ya que

c esa d

as 10 mismo:

a c - =-b d

Gracias a la oportunidad ofrecida por la numerosidad y la longitud, subraye· que fenomenologicamente el reconocimiento de la igualdad yla desigualdad, de mas grande y mas pequeno; precede a la operaci6n de sumar y medir -es una lastima · que este hecho simple este danado en su credlbilidad por principios de conservacion interpretados erroneamente. 5i se tomara la razon tan en serio como la numerosidad

RJzon y PtopotciotJJllci¥!

y la longitud, entonces la igllaldad y la desigualdad, mas grande y mas pequeno, desempefiarian un papel similar. En cualquier caso, la exploraci6n fenomeno16gica debedescubrir las mismas ralces.

Si se confinman estas suposiclones -y to seran-, entonees el estatuto logico de la Taz6n en su contexte fenomenol6gico se parafrasearia como sigue:

la razan es una relaci6n de equivalencia en el conjunto de pares ordenado5 de nurneros (0 valores de magnitud), indicada formal mente por

a:b=r: :d

5i el par r a, b 1 es equivalente al par fc, d 1.

No formulamos [05 postulados (axiomaticos) que esta relaci6n de equivaiencia particular ha de satisfacer.

Es un hecho que, una vez se ha elegido una unidad e , Ia clase de equivaiencia del par r a, b 1 puede expre5arse mediante un numero (un valor de magnitud), en

concreto e/ /I para el que

pero este enfoque es una intuicion ~ posteriori, que de hecho solo importa 51 e no depende de nada arbitrario (por ejemplo, 51 es la unidad numerica). A priori, la ra.zon depende de dos datos y ( por consigulente, cada proposicion sobre razones -Ia proporcionalldad- depende de cuatro datos.

Este complejo comportamiento era 10 que yo querfa decir cuando en el primer parrafo de esta seccion coloque la razon, par 10 que respecta a su estatuto logico, muy por encima de otros conceptos tratados antes de el. Cocientes y fracclones son medios para reduclr esta complicaci6n, para bajar su estatuto loglco, a costa -como suele suceder- de intuicion. Uno debe dudar de que las fracciones puedan ensefiarse Intultivamente, si falta intuicion de 1a razon -esta duda es precisamente la que influyo la comp05icion del capitulo sobre fracciones. La infiuencia podia iwber sido mas fuerte, perc no me atrevi a integrar el amllisis fenomenol.ogico de las fracclones y la razan. lAcaso no deberia proseguirlos capftulos "Fracciones" y "Razon y Proporcion" con un capitulo "Fracciones, Razon y Proporcion"?

~I estatuto loglco de razan que he expllcado aquf Implica que "razon y proporcjon" es matell1aticas mas profundas, matematicas en un nivel mas alto que 10 que se ha discutido hasta ahora. Este hecho, pienso, influyo el estilo terso de mi primer ejemplo de fenomenologia didactlca. Debldo a la eleccion del tema, el mas matell1atico en el nlvel elemental, me encontre mi pan matematico untado con mantequilla por ambos lados. Mas que por mi deseo de escribir una fenomenologia

didactica, e! estilo terse vlno sugerido por 113 e[eccion del tema. EI lntento de imitarlo con otros temas estaba mal motivado y condenado 131 fracaso.

EI lector tendra que contentarse con esta ca6tica alternancla de estilos. Esta enraizada en 105 temas y 105 p(mtos de vista sabre los temas, mas que en estados de animo.

6,3. La razon como una re/adon en una magnitud y entre magnitudes

Para no sobrecargar 113 exposiciOn de las ideas mas relevantes, comienzo con unos pocos conceptos, terminos y notaciones. Usare un lenguaje algo vago, con un minimo de formalizaci6n. Par ejemplo, hablare de tamanos iguales 51 se trata de objetos del mismo tamaiia, de espacios\ pesos 0 tiempos Iguales alii dande deberia decir en estricta propiedad camlnos de la mlsma 10l1gitud, cuerpos del mlsmo peso, Intervalos de 113 misma duracion. lnduso podra suceder que hable de la razon de dos objetos, cuando deberia ser la razon del tamano, eI volumen a eI peso de los objetos, a de la razon de dos metales en una alead6n en vez de la de sus maSilS.

Comenzare can un ejemplo fuertemente matematizado,

el movimiento uniforme:

(1) en tlempos iguales se ret;orren espacios iguales,

10 quees equivalente a

(~a) los espacios son proporcionales a los tlempos,

tan pronto como se asume que ef movlmiento es contfnuo, como debe ser;

(Zb) el espado es proporcional al tlempo

no es mas que otra manera de escribir (2a), y

(3) el espaclo es una funcl6n lineal del tlempo

1 En esta terminologia que Freudenthal usa de. forma poco precisa, segun el mlsmo dice, hay das palabras 'path' y 'distance' cuya traducd6n al castellano he deddido que sea siempre In misma: '<;amino' y ' espado', respectivamente. Esto hace qu~ alguna de las ITases que he escrito en las que aparece 'camino' chirrien, pero he querido conservar el significado "fisko" que tiene 'path' y d.el que carece 'espada' . Par otro lado, no he traducido 'distance' por 'distanda' para no if en conl1'a del usa en ellenguaje escolar de 'distanda' (entre los dcs puntos inicial y final de un camino) y 'espacio recorrido' (desde el punto inicial hasta el final, a 10 largo del camino).

en un sistema sean Iguales a las razones eorrespondientes en el otro -este es el postulado de la unlformidad del movimlento.

Uamamos

intemas a las razones formadas dentro de un sistema

para dlstlngulrlas de las externas que se discuten mas adelante.

SI III 12 son tiempos y sll s, 105 eamlnos correspondlentes, el postulado de uniformjdad dice que

51 nos sentimos tentades a Intercambiar los termlnos medias, obtenemos

de nuevo la Igualdad de dos razones, aunque razones del camino al tlempo.

uamamos

extemas a las rezones entre dos sistemas.

La unlformidad del movimlento se. expresa ahara por el postulado

la razon "camino a tlempo" es constante.

Las razones pueden interpretarse tamblen como

coclentes.

En esta interpretacion

la razan Interne es un numera,

la razan extema es una magnitud,

esto es, en el caso actual del mov!miento uniforme,

el cociente de camino y tiempo : rapidez.

EI conjunto de! razonamiento, en particular et intercambio de los terminos medias en una propordon, nos es bastante familiar. Me pregunto sl nos percatamos

!<.qzGn y ptOPOlciolxtiMac/

5uficientemente de que no .bene por que ser tan obvio para el que aprende. La instruccion aritmetica anterior era bastante consciente de este salta. En vez de pasar por encima del abstaculo, en ella se ihventaban dos tipos de division: la division razon y la division distributiva. Junto con este monstrua de das cabezas parece haberse desvanecido tambien la conciencia previa mente existente de este problema y ya nadie es consciente hoy en dfa del salta mental de las razones internas a las externa5, nadie plantea la cuestion de si no sera un salta demasiado largo para el que a prende.

La tradicion geometrica de la antigUedad griega solo permitfa formulaciones con razones intemas, solo se permitian operaciones algebraicas 0 magnitudes en un milrco geonletrico complicado. Es un inconveniente de la geometria griega que, a causa de la Falta de razones externas, intercambiar los terminos medias en las proporciones no estaba permitido en general y habfa que sortear ese inconveniente mediante complicados procedimientos. La tradiclon antigua se ha mantenido en las ciencias te6ricas dUrante largo tiempo. Ejemplos notables de esta costumbre son la segunda y la terceraleyes de I(epler:

en tiempos iguales el radio vector desde el Sol a un planeta barre areas iguales;

los cuadrados de los tiempos de revolucion estan en la rnisma razon que los cubos de los ejes mayores de las orbitas.

Esta tradicion impregno las ciencias teorieas mas tiempo de 10 que 10 hizo en las matematlcas comerciales y tecnicas, en las que se admitieron antes las operaciones algebraicas directas y no geometrizadas y, en particular, las razones externas; incluso hoy en dfa las matematicas puras muestran una escasa comprension de I05calculos can magnitudes.

He usado el movimiento uniforme como paradigm". La generaHzacion puede quedarse para ellector. Ya estara suficientemente claro 10 que quiero decir can

razon interna (en una magnitud)

y

razon extern a (entre dos magnitudes).

Es igualmente obvio que al establecer una aplicacion entre magnitudes,

la invarianza de razones internas

y

la constancia de razones externas,

Ri/zon y propordonaltclacl

que Ie as equivalente, significa

Ifnealidad de la funclon;

en nuestro ejempio,

el movimiento uniforme as una func:!6n lineal del nempo en el camino.

La IInealidad de ia funCi6n J se define correlativamente de dos maneras:

impUeitamente (postl,llatoriarnente),

ala suma corresponde la suma, f{x + y)= f{x}-r l{Y);

explidtamente (algoritmicamente).

J(x}= ax, para todo .\: y un derto a.

Una vez mas: todo esto es. tan obvio ·que como matematitos ya no nos preocupamos de ella, pero no esperemos que pase desde nuestro inconsciente al de nuestros atumnos par mera difusi6n.

Las casas son aun mas enrevesadas: un movimiento uniforme tiene todos los intervalos de tiempo de la misma fongitud, sea cual sea esta, aplicados sobre lntervalos de camino iguales. No se menciona de forma explfcita que la composicion de dos lntervalos de tiempo conectados se apliea sobre la composici6n de los Intervalos de camino correspondientes porque esta implicito en la idea de movimlento. Lo mismo sucede con otros pares de magnitudes, tales como volumen y peso de derta sustanda. Sin embargo, si J es una funci6n que aplica magnitudes,

ya me he abstraido de los intervalos particulares de tiempo y de camino (y similares); han sldo suplantados par longItudes y duraciolles {y cosas asi). Asi que estoy obligado a eXigir explicitamente que, de 1a misma manera que sucede en la esfera de los objetos en la que compuestos se corresponden can compuestos, en 1a esfera de las magnItudes sumas se corresponden can sumas. En un marco mas formalizado podrfa haber formuiado esto de forma mas aguda, pera quisiera evitar un formalismo exceslvo.

6.4. Exposiciones y composiaones

La razon debe considerarse en un contexte masamplio que el de las relae/ones en llna magnitud y entre magnitudes. Quiero esbozar esto por medio de ejemplos tan diversos como los que. siguen:

6.4.1. un conWnto de espedes animales con sus pesos medios (u otn'l caracteristica cuantitativa ),.

y

6.4.2. un conjunto de vue los en aVion can sus precios (0 distanclas),

6.4.3. un conjunto de parses con sus poblaciones (0 sus superficies),

6.4.4. un conjunto de articulos con sus precios (o pesos),

6.4.5. el conlunto de (:omponentes de una aleacion can sus masas,

6.4.6. el conjunto de las clases de edades de una poblacion con sus numeros,

6.4.7. el conJunto de tipos. de lIS0 del suelo de una nacion, con las superficies correspondientes,

6.4.8. el conjunto de enfermedades con el numero de casas de cada una,

6.4.9. el conjunto de pares de puntas de un plano can sus distancias mutuas.

EI rasgo comlin de todos estos ejempJos es

un conjunto, indicado general mente en 10 que sigue por Q I Q', ...

una funcion, denotada generaimente en 10 que sigue por 11', w', ... , que toma valores de una deterrnlnada magnitud.

Entre los cuatro primeros ejemplos (6.4.1-4) y los cuatro siguientes (6.4.5-8) Ilay una diferencia profunda:

En el primer grupo, los elementos de Q son

objetos, en un sentide primitive, y Q se define par los rasges comunes de sus elementos (especies de ani males, vuelos ef\ aVion, paises, articuios),

en 121 segundo grupo los elementos de n son

dases de un universa, formado segun ciertos criterios que son importantes para ese universo (ecfades en una poblacion, etc.).

En el primer grupo

la funcion II ' describe propiedades intetnas de 105 elementos de n;

R.cizon y ptoporcioDillkI¥1

en el segundo grupo

la fuil.cion 111 describe el tamaRa de la clase (no necesariamente un oumero entera, cr. 6.4.5).

Liamare, de forma algo arbitrarla, a la primera y la segunda clases, respectiva mente,

Exposiclones,

composlciones,

EJ ejempl.o noveno, que no es un ejemp!o que carezca de importancia, es totalmente dlferente de lOS 8nteriores: en la seccion 6.5 volveremos sobre el.

Las exposiciones y las composiciones dif'ieren en la manera en que se usan. Usual mente aparecen por parejas; 10 explicare con unos ejemplos.

PiIrejas de exposiciont:;S';

n un conjunto de palses,

IV la funcion que 351goa a cada pais su numero de habitantes,

w' la funcion que asigna a cada pais su area;

la razon w a w' (densidad de peblacion) es variable: un pais tiene "en proporclon" eJ mismo I1lJmero de habitantes (0 un numero menor a mayor),

n un conjunto de paquetes de plastico !tenos en un supermercado, en 105

que hay indica do:

et precio 11',

el peso w';

la razon IV a 11" (precio unltarlo) es variable, para los paquetes que contengan el "mismo" articulo, sera la mlsma; sobre elias II' Y 11" son IInealmente dependientes.

Parejas de composlcioneS';

Consideramos des aleadones con 105 mismos componentes. Los componentes de las aleaciones forman .d05 conJuntos

n y n'

R;JZOfl r proporcio/)<11k/;:;d

can las carrespandientes funciones de masa

w y w',

par ejemplo,

30 kg de bronce estao formadas par 20 kg de cobre y 10 kg de zinc;

65 kg de bronce estan formados por 40 kg de cobre y 25 kg de zinc.

Tanto Q como Q' son eI conjunta

{ cobre, zinc} ,

En las dos aleaciones tenemos, correspondientemente

II{ cobre) = 20 kg , It{Zlnc}=lO kg

w' ( cobre ) '" 40 I<g I 1\" (zinc) = 2SI<g

En general la raz6n de w a w' puede varlar; 51 ft' Y Wi son hnealmente dependlentes, es la "mlsma" aleaclon.

Dos pobladones -las de los Paises Bajos y Ltis Filipinas- se divlden en clases deedades.

Q Y Q'

estan farmados par las clases de edades

([OJ). [1,10), [10,20) •..• j.

II' Y w'

son el numero de personas en las clases respectivas.

En una pobladon hay "en proportion" menOS ninos, mas personas de edad, etc., que en la otra.

E! caso de una pareja de exposidonesconsiste en

un conjunto Q I

con dos funciones w, 1\1' en el,

Riiz6n y pwporciol}<l/iq¥!

cuya razan -externa, en la mayor parte de los casos- se considera,

EI caso de una pareja de composidones consiste en

particianes en clases n y n' de dos unlversos, obtenidas segun el misrno prlnclplo e Identificadas de forma natural una can otra,

can dos funciones \I' r W· en elias,

cuya5 razanes -Intemas, en la mayor parte de 105 casas-- se consideran y qulzii se camparan.

6.5. Constructos

Pasamos al ejemplo 6.4.9, que muestra

un conjunto n basado en una estructura 1: fuerte -preferentemente geometrica- can una funcian medjda.

En nuestro caso partlCLflar, l: era una flgura plana, par ejemplo, el plano completo; n et conjunto de los pares de puntosj 11', la distancia.

Otras posibilidades serian:

n el canjunta de CUNas planas, can 11' como la longitud del area;

n el conjunto de rectangulas, con 1\1 como el area.

Designare un sistema n, 11' como

un constructo,

0, can mas precision,

un :E -constructo

(51 t es la estructura en que se basa).

Los constructos tambh~n se usan par parejas, n , 11' y !2' w' I en las que puede suceder que n", n' y 11' '" IV' ,

Una pare}a de constructos.

n es el conjunto de pares de puntas de. una figura plana 1:,

n' es el conjunto de pares de puntas de una figura plana L' ,

Ii' Y 11" son las fundones distancia correspondientes,

Mas aun, hay una aplic:aclon

jdei:enL'

que se extiende de forma natural a una aplicacion

f de D. en D.' .

Una propiedad de f I que puede ser pertinente, es

la semejanza.

De la Inlsma manera que sucedia con la unWormidad del movimfento en la secclon 6.3, la semejanza se puede caracterizar en primer lugar mediante la conc1Jclon

o

j hace corresponder pares que tienen la misma dtstanda entre si con pares que tlenen la mlsma distancia entre si,

I conserva la igualdad de distandas,

o -una formulaci6n mas rica, pero equlilalente-

a

I hace correspond.er pare$ de figuras congruentes et'ltre si con pares de figuras congruentes entre si;

.r cOflserva ta congruencia.

Esta formulation no ImpUca auo la razon, pero, bajo la condition -natural­de continuidad, esta caracterizadon es equivalente a

r conserva las razones, esto es,

Esto es

conservacl6n de razones internas,

I<4zon Y Ptopol'ciOJ];Jilc/qc/

tomadas respectivarnente en n y n'. Igual que en fa secdon 6.3, en el caso de las magnitudes, el que .f sea una

semejanza

puede expresafse mediante ICl

constancia de razones extemas:

w'{f a): w(jJ )= 11" (j f3) : ll>(a) (a , jJ En).

Otro ejemp/o:

n un conjunto de segmentos, IV la funcion tongitud,

n' ef conjunto de cuadrados sobre esos segmentos, w' la funcion area.

EI uso de esta pareja es obvio.

6.6. La aparicion de las razones en las seccibnes 6.3-5 comparadas

En la seccion 6.3, las fazones aparecen en una magnitud y entre magnitudes, en la seccion 6.4 en exposiciones y composiciones y entre elias, en la seccion 6.5 .en constructos y entre construct05.

Los casos 6.3 y 6.5 5e parecen el uno al otro a Cilusa de la fuerte estructura matematica subyacente, mientras que en la seccian 6.4 eSilS estructuras son debiies. Las secciones 63 y 6.5 tambien tienen en comun que

fa propordonalidad y la semejanza

se pueden definjr

sin Involucrar ta raz6n

simplemente por

ta conservacion de la Jgualdad 0 la congruencia.

En el caso de fa seccion 6.4 esto no es posible 0 requerirfa un razonamiento compllcado.

Comparado con la seccion 6.3, el casa 6.5 tiene la ventaja de que

la congruenGla de figuras se puede visualizar con mas fuerza que 103 iguald<!d de valores de magnitud.

Veremos que estas distinciones tienen consecuencias didikticas importantes.

6.7. La razon en semejanzas

Hacemos girar ahora el enfasis de nuestra fenamenologia hada la didactlca.

La razon en cuanto concepto e incluso en cuanto objeto mental requlere un nivel de desarrol lo considerablemente alto. Pese a eilo, la sensibilidad y la vista3 para las razones se presenta en el desarrollo notable mente pronto. Segun Pia get, ios conceptos topologicos deben preceder a los euclfdeos. Anticipamos que esto es valido como mucho para reiaciones espaclales tales como inclusion, exclusion y solapamiento, pero estas 50n reJaciones que ningun matematico considerara topologicas, como 10 hacen los psicologos. La aceptacion de p.ropiedades verdaderamente topologicas -esto es, que establecen equivalencias mediante biyecciones continuas- no es, con toda certeza, una actitud que pueda situarse en la prlmera infancia; es demasiado compleja para que pueda esperarse de los ninos pequeiios. Piaget y los investlgadores que repitieron sus afirmacfones a sus experimentos se confundleron seriamente. A partir de la Falta de destreza de los ninos pequefios para dibujar circulos y cuadrados can la 5uficiente nltidel como para que difieran Linos de otros, extrajeron la conclusion del predominio topologico, Sin embargo, desde una edad muy temprana los ninos pueden distinguir ciaramente los circulos y los cuadrados,. que es 10 wnico que importa. Es elerto que los ninos juzgan 105 dibujos de los libros 0 los dibujos hechos por adultos can criterios distintos que sus propios dibujos -un tipo de separacion entre sistemas que valdria 103 pen a estudiar en detalle.

No puede caber, empero, duda alguna de que los nlnos reconocen muy pronto los tamanos diferentes de los objetos y el que sean mas grandes 0 mas pequefios unas de otros. Es igualmente cierto que. pueden manejar la semejanza como una equivalencia operativa. lnciuso lIegaria hasta el extrema de afirmar que las congruencias y las semejanzas son rasgos incorporados en la parte del sistema nervioso central que procesa nuestras percepcioliles opticas. La reidentificacion inmedlata de los objetos despues de una rotacian (del objeto a del que percibe) y despues de un cambia de distancia. presupone en el cerebro alga como un programa de ordenadof para fa eliminacion de este tipo de aplicacion -para mi es un enigma et aspecto de tal programa; su existencia, de la que no tengo dtlda alguna, es para ml como un milagro.

A una edad temprana, un nino reconoce dibujos y modelos de ani males, muebles, coches! bicicietas, barcos como Imagenes de esos objetos -no Importa a

--------.-3 En ingles, 'the feel and look' ,

R.qzon y propotciono'1fidqd

que escala ni st estan dibujados a diferentes escalas uno al lado del otro, "leomo de grande es real mente una ballena?", puede preguntar un nino, convencido de que el dibujo, salvo por la escala, es exacto. Bueno, a veces se esbozan ballenas mediante dlbujos de un solo trazo, pero inch.lso la diferenda entre una fotografia y un boceto caracterfstico se entiende pronto.

Pesadas reallzadas por Bastlaan (5; 6) can una bascuta de muelle fueron indicadas por el mismo en una "bascula de mueHe" horizontal mecanografiada a escala diferente. Bastiaan not6 desviaciones innecesarias en las figuras (1 en vez de 1) pero no de la diferencia de orlentad6n ni de escala. La imagen mecanografiada era estructuralmente fief.

DespUes de una serie de dias soleados, Bastlaan (5; 1) ve nubes de nuevo y dice; "Uovera". Le digo: "No, estas son nubes muy altas, de las que no cae Ifuvia; las nubes de Huvia son bajas y oseuras". EI : "LA que altura estan estas nUbes?" Yo (exClgerando): "A diez mil metros". EI: "i..Y las nubes de Uuvia?" Yo: "A mil metros". EJ (sefialando hacia el 5uelo): "0 sea, si estamos aqui y e5m (senalando una altura de 30 em aproximadamente} es nubes de "uvia, entences esto (sef\ala 1 metro aproximadamente) es nubes sin lIuvia".

Los niiios aceptan sin vaeilar 10 mas minima que se dfbujen objetos en ta pjlarra diet veces mas grandes que los de la haja de trabajo, que la recta numerica de la pizarra tenga una unidad de 1 dm mientras que la de la hoja de trabajo sea de 1 em. Aceptan rectas nUme-ricas una junto a otra en las que intervalos del mismo tamafio significan una unldad, ° diez, a den. Sin embargo, los nifios protestatian inmedlatamente ante modificaciones estructurales que violan la semejanza de la imagen:

10 que es mutua mente rgual en el original,

debe ser mutuamente igual en la Imagen,

10 que Implica, como sabemos,

la Invarianeia de razonc:~s Internas,

caracterizando las aplrcaciones como

semeJanzas.

los nlnos se familiarizan a Una edad muy temprana con estas

aplicaciones que. conservan las razones

como las fiamaremos, al ver figuras planas 0 espaCiales dibujadas -cuadros, capias de cuadras, modelos de edifidos. Las desvi.aciones sistematicas de este principio de aplicacion se perdben; por ejemplo,

el uso de escalas distintas en direcctones dlstlntas,

et uso de escalas distintas para figuras distlntas,

el uso de escalas dlstintas para partes de la misma flgura.

Sin embargo, esto no 5e haee haciendo explicftas laS escalas, sino con formulaciones como

la cabaza es demasiado grande -51 se campara con el tronco-,

esto es demasia.do largo -51 se compara con et anello--

objeciones respecto a la falta de semejanza, aunque sin que las razones S6 hagan explidtas.

Requiere una intuicion mayor de las relaciones geometrlcas aducir otros crltenos, tales como

10 que es un angulo recto en el original,

debe ser un angulo recto en la lmagen.

Can este aja a sensfbilidad para la semejanza, coma 10 he lIamado, el nHio esta todavia par supuesto bien lejos de la semejanza como objeto mental, no digam05 como coocepto. Indica algunos de los pasos intermedios:

Reconocer la conservaci6n 0 no conservacl6n de la razon bajo apHcaciones,

Construir aplicaciones que conservar) la razon.

Resolver conflictos en la construcclon de aplicaciones que conservan la razon.

Manejar operativ8mente,

formular,

relacionar unos can atras:

criterios para Ie conservac16n de la raz6n, tates como

Rilz6r; y proporcfOflil!!dqc!

conservacion de la igualdad de longitudes,

conservaci6n de la congruencia,

conservaci6n de las razones Internas,

constancia de la raz6n externa,

conservaci6n de los angulos,

y decidir acerca de la necesid13d y suficiencia de tales criterios.

En los primeros p13sos de esta secuencia

las razones no se presentan explicitamente,

mas tarde

la igualdad de razones {interna y external se torna explicita,

Y fi nalmente

las propias razones se hacen explfcitas.

Es una secuencla semejante a la observada a propoSito de la longltud y otra~ magnitudes.

La fuerte visualizacion es una ventaja del contexto geometrico de la razon, er comparac16n con otros contextos. Lo que did.kticamente importa es la

verbalizaci6n gradual del razonamiento visual.

Mucho mas frecuentemente los contextos de la razan no son visuales, perc son acceslbles a la vlsualizacion. Una temprana familiaridad con las apHcaciones que conservan la raz6n es un soparte para visualizar los contextos de fa razon que no son visuales a priori. Sin embargo, esto requiere que la razan visualizada se suelte en cierta forma del contexto de las semejanzas globales. Para construir un puente de razones no visuales a razones visuales, la visualizacion estricta par semejanza ha de ser debilitada.

La semejanza, tal. como se entlende matematlcamente, es una aplicacian de planas completos sabre planas completos. En cada vlsuaHzacion uno se contenta con figuras lineales 0 planas que sugieren el plano completo gracias a su tamaiia y estructura: trozos del mundo real y sus dibujos, patrones en el papel para paredes y etras estructuras que pueden continuarse hacia adentro y hacia afuera. Para todas las actlvidades y sus distintos niveles que se enumeran,

R4zol7 Y pIOporcio17",lir.la4

una estructura rica de original e imagen

y el hectlo de que una es la imagen de la atra (0 par 1o menos la sugerencia de ella)

son cuanto menos ventajas, 51 no requisitos.

Demasiada paca estructura puede ser un bbstaculo para el recanocimienta visual de la semejanza de ftguras -esto es asi indusa para adultos. En un materiaJ mas rica mente estructurado, los critenos mas 0 menos afgoritmiCos para el recof1ocimiento de la semejanza pueden ser alslados y ejerdtados siguiendo el flujo de actiilidades anterior, para que lIeguen a ser operativos en un material 111enos estructurado.

Es un paso carta desde el hecho a la sugerencia de que alga es de alguna manera la imagen de alguna otra cosa. La falta de tada 5ugerencia puede ser un impedimento IndusQ para pensar en semejanzas excepto s1 la dispensabllidad y ia reposkion de tal sugerencia haya sido preparada en un proceso de ensenanza.

5i unos rectangulos dibujados han de ser comparados con respecto a la semejanza, ta mera ad1cion estructurante de las diagonaies puede transformar el fracaso en exito. Es mas fad! comparar Ja longitud de caminos en mapas y en la realidad que comparar drcunferencias 0 rectangulos desnudos. La intulcfon de que todos 105 circulos son semejantes se puede adquirir con mucha mayor facilldad con drculos estructurados, tales como nuestras4 monedas, cuyos anversos son semejantes incluso en detalles de la supemcie. El drculo desnudo no es un buen media para revelar la razon interna de la circunferencla (o fa distaocla recorrida al hacerla girar) al diametra. EI enfaque via las razones y circunferencias externas usanda circulos distintos (y estructurados de forma similar) es mas titil,

Resumo esta exposicion can una Iista de actividades:

Transferir 10 que 5e ha

ejercitado, reconoddo, hecho explidta

respecto a razones y la conservation de fa razon

en un contexto rlcamente estructurado

a un contexte> menos 0 popremente estructurado.

Mediante razones y la conservacion de fa razon

oj 'Nuestras' aqui significa 'holandesas',

Razor; y proporciotlqlk/<ic!

enriquecer lin contexte pobremente estructurado,

introduclr una estructura geometrlca en un contexto no-geometrico,

trildudr un contexte no-geometrlco a uno geome.trico,

entendiendo y usando contextos que pueclen ser geometricos 0 no serh como imagenes geometricas uno de otm.

6.B. Re/ativamente

Mlentras que uno puede recorrer un buen trecho con aplitaclones qUE conservan la razon sin verballzar todo 10 que puede ser visto, experimentado ( construido como razon, otros contextos requieren Una verbalization mas tempram (aunque no de la raz6n) de ideas tales como

relativamente (0 comparativamente).

En tanto objeto mental, esto puede suponerse que ocurre al final de 18 educador lnfantll.

Este chocolate es mas dulce porque contlene - relativamente- rna! azucar.

Una pulga puede saltar -relatlvamente- mas alto que un hombre.

Un pasaje de aVi6n a Sudamerica es -relativamente- mas caro queunc dentro de Europa.

En Ho[anda hay -relatlvamente- mas bich:letas que en Alemania,

En la formulaclon explicita, la palabra 'refattvamente' puede que falte, ya que esti daro 10 que se quiere dedr, Los term!nos

relativamente mas, tanto ... como, menos

pueden reciblr varios matices de slgnific;ado

desde c;:u;ilttativo grosero hasta cuantitatlvo preciso.

En particular, par;! establecer "mas" 0 "menos#, pueden bastar las estlmac1ones, auoque pueden refinarse mediante anadidos como

mucha, realmente mucha, una plzcas•

A "relatlvamente" Ie falta un termino de relaclon, que puede ser aiiadldo de forma

obvla 0 expffcita.

Par ejempJo:

51 se compara con el mimero de habltantes, hay mas bicictetas en !-Iolanda que las que hay en Alemania.

Una secuencia. posible de niveles:

entender que las ordenaciones (mayor y menor, mas y menos) pueden retativizarse (relatlvamente mayor, menor, mas, menos),

entender "relativamente" en el sentido de "en relaeion con6

criteria de comparacion rellenando los puntas suspensivos,

usar con sentido "relativamente" y "en relacion can",

completar "relativamente" y "en relacfoncoo" en un contexto,

" .. . I con el

conocer operativamente 10 que "relativamente" y"en relaci6n con" significan en general,

expficar to que "relativamente" y "en relaci6n con" slgnlfican en general.

!-lay un derto numero de estadios

desde cualitativo grosero hasta cuantltativo predso,

en el que finalmente el criteria, segun el asunto, es

una razon interna 0 externa.

las tareas en las que tales adividades pueden tener Iligar pueden tener un carikter visual:

casas, gente, arboles a escalas c1iferentes -,que va con que y par que?

5 En ingles, 'much, very milch, a hit'. & En castellano, tambien 'con respedo a .. .'

R4z6n y proporcionq!ic/qcf

un grupo de personas y, a otra escala, trajes -<-que va con que?

mures a escalas diferentes y de grosores distintos -i.cuilles son mas gruesos?

prados con f1ores,charcas con ranas, cielos con nubes -(.donde hay mas relativamente?

Otros sentidos pueden desempefiar tambie,n un papel:

una gran orquesta que produce sonidos relativamentes suaves.

6.9-11, Normalizar

5.9. Se daran a contlnuacion unos pocos ejemplos para Introdudr el complejo de tecnicas, uso erroneo de tecnicas, actitudes que estas tecnfcas fomentan (0, mas bien, no fomentan) -un complejo Que yo he bautizado como normalizar.

Si imaginamos la 1ierra como la cabeza de un atfiler (I mm de diametro), el Sol aparece como una esfera can un dlametro de J 0 em a una distancia de 10 m.

La reduccion de escala tiene la intencion de visualizar razones drastlcas: uno elige una escala familiar para empezClr, sin que importe cual sea la escala.

SI el desarrollo de la vida en la -nerra se imagina que 5e haya producido en un dia, el hombre aparecio hace un mlnuto y la cultura hurnana comenzo hace un segundo.

Se .parece mucha al primer ejempla: una reducdon temporal que puede lIustrarse mediante un dibujo lineal. Para el componente mayor, "dia" se ha elegido como unidad, mientras que en el primer ejemplo se empezo con la cabeza de un alfiler.

Las ejemplos

Uno de cada cinco ninos que nacen es chino,

uno de cada cuatro coches es un Fiat,

muestran una preferencta par las razones normallzadas par "uno de cada ... "

Una receta "Breuf a trois moutardes" para cuatro personas,

10 unload de eomlda es cualro, 10 que en muehos casas puede ahorrar conversiones. (Sin embargo, no es recomendable eonfiar en razones al (ocinar 0 haeer pastelerfa.)

La caUdad del ag\Jo potable a para bafiarse se indica par

tal cantidad7 de sal en un Iitro

o

tal cantidad de bacterias coli en un ce,

mlentras que las cantidades que realmente se beben a en las que real mente uno se bana son de un orden de magnitud harta distlnto, y las cantidades q\Je real mente se analizan, tamblen.

La produccion de basura se mide can \Jna unldad vaga

equivalente de habitante,

que s610 sirve para estimar y eargar con impuestos la producci6n de basura de las famillas y la.s industrias.

La potencia de las explosiones nudeares se mide en

kilotoneladas de TNT,

una normalizaci6n extrana que slrve para comparar las bombas nucieares entre sf mas que para compararlas con los explosivos convenclonales.

5i el coste de ta vida se fija en 100 en 1955, es 147 en 1975 -un ejemplo de los frecuentemente usados numeros indices, en los que preferentemente se elige 100 como base. En otros casos, una media se normaHza a 100 I par ejemplo, para el L Q.:

la med.ia de las puntuaclones en una cierta poblaci6n (a Una cierta edad) se fija en 100 para medir las puntuaclones individua!es can ella.

Este numero 100 liga con el sistema deCimal, mientras que, par otro lado, se evitan las fracciones declmales todo 10 posible. En la enseiianza tradicional de la aritmetica, los porcentajes y el Interes estaban estrethamente vinculados. Sin embargo, esto no es una tradicion antigua; ellnten:!s se expresaba mas bien pOl' "uno a .... " (el ·"diezmo"

7 En ingles, 'this much'.

Rc;zol7 Y wopol'efol)C)/ic/c;q

significa un decimoB). Gracias a la decimallzaci6n del dinero, la aritmetjca de los

porcentajes de Interes 5e torne eflcaz, Hoy en dla la aplicacion mas usual de los porcentajes es en "composiclones":

el todo se fijaen 100 con el fin de expresar las partes numericamente.

La intenci6n es

hacer que composiciones diferentes sean comparables.

La comparaclon. puede estar

apoyada poria visuaIizacion,

por ejemplo, mediante diagramas de. sectores. La necesidad de hacer com parables los datos de composlciones es actual mente la motivacion mas fuerte para los porcentajes; ademas, el porcentaje es un artefacto que se presenta como 10 mas natural en el momenta en que, en beneficio de fa comparabilidad, los totales deban ser normaUzados unlformemente. Esto es, nl

nl

sino

si Holanda fuera tan grande como Alemania Federal

sl Alemania Federa[ fuera tan grande como Holanda

fija el area (numero de habitantes) de ambas en 100 (0 quiza 1000), entonces .. ,

Resumiendo el ami1isis precedente, 5e pueden enunciar unos pocos niveles

con respecto a hacer las composiciones y los constructos mas perspicuos normalizando un componente,

con respecto a hacer las composldones comparables normalizando el todo C en general en 100), mientl'as que los datos absolutos. y el factor de escala

8 En ingles, 'the "tithe" means one tenth' , En castellano, Ia paIabra ' di.ezma,' proviene de la costumbre de elegir uno de cad a diez prisioneros para malarIos, contando de uno a. diez reiteradamente y eligiendo cada decmo; en 5U significado actual, no queda [astra del mimero diez: un ejercito queda diezmado b'asuna batalla cuando ha sufrido perdidas cODsiderables, probablemente mayores que la decima parte de sus miembros.

desempefian un papel tan subordinado que en cierta medida se desprecian a[

entender [a normalizacion,

entender la razan de ser de la normallzacion,

ejecutar normalizaciones cuando se piden,

ejecutar normalizaclones cuando son utiles,

entender esta activ[dad operativamente,

describirla,

y colocarla en un marco mayor.

6.lD. Un error re[acionado con .Ia normalizacion es: olvidar [os datos sin normallzar y el factor de escala:

se adscribe un significado absoluto a datos que dependen de la normalizaci6n, en particular, datos derivados de normalizaciones distintas se comparan sin volvertos a normaIizar;

elnumero 100 desempefia un papel magico, como 5i 10 fuera;

porcentajes derivados de procedimientos de normalizaclon distintos se suman y se procesan en medias -sin ponderar;

causa sorpresa y no se entiende si, por ejemplo, un partido en unas elecciones ve crecer su porcentaje en todos los distritos mientras que el porcentaje sobre el total desciende;

se aplica una doble normalizadon como en el siguiente ejemplo tomado de un periodico: en 1972, el producto nacional per capita del Brasil aumento un 5%, perc ese aumento ha sido absorbido en SLI mayor parte pOl' el 4 1/2"1., de aumento de la poblacion durante el mismo periodo de tiempo.

6.11. Un rasgo mas sutil y mas peligroso es olvidar los datos sin normalizar, por ejemplo, en estadistica, cuando esto incluye olvidar

la preciSion de los datos normalizados:

"uno de cada dos" 0 50% puede haberse obtenido de un total de dos 0 mediante una estil1lacion grcsera de un total de mil 0 un millon.

RlJzor; yptOPOtciOf)</Iic/qq

Los problemas de precision pueden ser causados por medidas I

aleatoriamente -de hecho, fa Fuente de Imprecision en [as medidas, ya sean exacta o estimadas, \:amblen es aleatoria. La predslon se tratara en otto capitufo, pert mfentras tanto tiene sentido haber aludido a este tema ya, en conexion can I; normalizaCion de datos relativos. Incluso en este capitulo vo[veremos a tratarlo.

6.12. Puede suceder que 5e produ:z.can normaJizaciones, 0 se pida que S1

hagan, en doncte no importa hacerlas 0 inciuso en don de hacerfas trastorna Ejemplos:

Una cuerda cerrada alrededor de) Ecuador 56 alarga un metro y se vuelve i cerrar, con hofgura, alrededor del Ecuador. LPuede arrastrarse un hombre bajo ella?

EI problema se contesta a menudo con una pregunta sobre el diametro de Ii Tierra, que, dada fa relaciOn lineal entre el diametro y la clrcunferencia, no Importa.

John y Pete viven y trabajan en la misma dlrecclon postal. En bicic!eta, Johr tarda 30 minutos en if de casa al trabajo y Pete, 40 minutos; John sale 5 minuto! mas tarde que Pete. Wonde Ie alcanzara?

La reaccion usual es preguntar par la distancia entre la casa y el trabajo, Ie que, de nuevo par razones de linealidad, no importa.

Un ejemplo aun mas drasGeo. Un estudiante que tlene que pasar del sistemi metfico al anglosajon pregunta: tcvanto vale If: aqui?

Lo que precede puede resumirse como 5igue:

Intuicl6n de la no pertinencia de [a normalizaclon en el caso de relacione! lineales.

6.13. Visualizaclones

La. comprension de la razan puede guiarse y profundizarse mediante visuaUzaciones. Uno puede ilustrar

exposlclones mediante histogramas y pictogramas,

composiciones mediante diagramas de sectores y otras divisiClnes planas.

Ejemplo de expos/dones visuallzadas. Los paises de la CEE. se representan, respectc a sus areas, mediante

rectilOgulos can ta mlsma base y alturas proporcionales a las areas

Rqzon Y PI'Opol-ciOf)q/ic/qc/

que se colocan uno junto a otro como en un histograma; sus numeros de habitantes se representan mediante

un grupo de figuras humanas (por ejemplo, cada una representa un millan),

pudiendo combinarse ambas representaciones

colocando las figuras humanas en los rectimgulos correspondientes,

con el fin de visualizar las diferentes densidades de poblacian (razan del numero de habitantes al area).

Ejemplo de composiciones visualizadas: Un circulo dividido en sectores cuyas areas son

proporcionales a las areas correspondientes a categorras de uso del suelo de un pars

para varios parses uno junto a otro, can el fin de ilustrar

las diferencias can respecto al uso del suelo

(mas 0 men os agricultura, etc.).

Tales visualizaciones son una especie de aplicaciones que conservan la razan, con razones distintas de las razones entre distancias de pares de puntos considerados -en el ultimo ejemplo, por un lado,

las razones de areas, numero de habitantes, categorras de usa,

por otro lado,

areas de figuras planas.

Una secuencia de niveles podrfa ser:

entender histogramas, pictogramas, divisiones de areas y representaciones visuales similares como aplicaciones que conservan la razan de exposiciones y composiciones,

construir tales representaciones visuales,

decidir ante conflictos al construirlas,

/<qzon y ptopotcionq/td¥/

entender los principios de tales representaciones visuales y desaibirlos;

reconocel' fa coflservacion de la razon como el principia comun en la representacion visual, y

describirlQ.

AUn mas, por 10 que respectaa la comparacion entre dos 0 mas exposiciones y composiciones representadas de esta manera :

deddir preguntas del estilo de "relativamente mas, tanto .. . como, menos" mediante esas representaciones visuales,

hacer posibles taJes decisiones mediante la manipulacion del material; entender 105 principios de tales decisiones, y

describirlos.

6 . .14. Visualizaciones mediante constructos

Los constructos pueden servir para visualizar no solo razones y proporciones, sino tambien conexiones lineales completas. Se puede distinguir entre rnetodos grMicos y nomogriificos:

la grafica de Ia funci6n lineal (figura 55),

la sombra del 501 (figura 56),

la sombra de una lampara (figura 57) ..

yl---..."".-r-

x

Fig. 55

Fig. 56

R.qzon y ptopotcio17"lic!.'lq

y

Fig . 57

Aunque se usen muy poco, estes visualizaciones son particularmente eficaces didaeticamente. Son modelos que encajan bastante bien con las ideas sabre 13 geometrizaci6n de ta instrucci6n elemental. Tienen buen3s oportunidades de ser explotadas en serio.

Las rezones internas y e)(ternas

y sus reiaciones mutuas

pueden ser

vistas, entendidas. descritas

con eficacla por estos modelos.

AI leer la secci6n 6.15 hay que tener en mente estehecho.

6.15. Algoritmizaciones

La contraparte de visualizar es procesar numericamente. Verificar que una apllcacion I conserva la razon queda muy sfmplificado par la observaci6n de que la validez de

1I'(A): w(S}'" IV'(J(A)): w'(f(a))

no necesita verificarse para todos los pares A J B E Q . En efeeto, la

validez para A. B Y B. C

Implica la

validez para Aye,

transitMdad de la conservaci6n de la razcn.

R;Jzon y propOrcionq!ic/;:;J

(En e[ caso de los constructos, pueden usarse mas. slmpliflCaciones que 5 sustentan en hechos. geometricos; en el plano, basta con comprobar fa conservacio de la razon para las distanclas desde dos puntas fijos; el resto queda garantlzada pc )os teoremas decongruem;ia.)

Es menos trivial captar que la conservacion de la tazon se puede describir pc la existencia de un factor de escela constante, esto es, por una razon extema.

Otra intuicion importante es que la

y saber

composidon de apl/caclones que conservan la razon da de nuev, aplicaclanes queconservan Ie razon

como se comportan los factores de escala (razones extemas) bajo 11 composiciem de aplicaciones que conservan la razon.

En e.l caso de las magnitudes es importante darse cuenta de que la conservacion dt la razon se reconoce esencialmente COmO

un Jsomomsmo con respecto a la adleion de mtlgnitudes.

Voy a formular unos pecos nlveles:

Simplificar la verlficaci6n de la conservation de la razen mediante

la transltlvidad de la conservacien de la razon,

propledades de congruencia geometrica,

18 razon externa y el fa etor de eseala,

ef lsomorfismo con respecto a 16. adicion entre magnitudes,

el comportamiento bajo ta composldon de aplieaciones;

slmpllficar la construccion de las aplicaeiones que conservan la razon gracias a los mismo5 prlnciplos;

resolver conflictos al apliear estos prinefplosj

entender estos princlplos de forma operatlva y de;;crlbirlos;

entender las relaeiones entre estos principlos operativamente y descrlblrlos.

En el curso de la al.goritmizacion, esto se complementa con

entender las razones de forma operctiva en el contexto de la aritmetica de frccciones, Y

describir esa relacion;

entender las propiedades dela razon operiltivamente como propJedades de las fracciones, Y

describir esa relacion;

entender la cOl)servacion de la razon de filS aplicaciones entre magnitudes operativamente como linealidad, Y

describirla como tal;

entender sus propiedades operativamente como propiedades de aplicaciones lineales, Y

describirlas como tales.

Lo contra rio, que pertenece con mas propiedad al capitulo sobre fracciones, puede an<ldirse explfcitamente:

entender l<ls fracciones operativamente en el contexto de la razon, Y describir esa rel<l(lOn;

entender las propiedades de las fracclones operativa mente como propied<ldes de la taZOn, y

describir esa relation;

entender las aplicaciones lineales en el dominio numerico operativamente como aplicaciones que conservan la razon, Y

describlrlas como tales;

entender sus propiedades operativamente como propiedades de las aplicaciones que conservan la razon, Y

describirl<ls como t.i3les.

Las aplicaciones que conservan la razon no s610 sirven en las visualizaciones, sino que tam bien tienen SlJ propia funcion cognitiva como modelos, como 10 muestra

R:')zol7 yproporciofJ.i/Ik/i1d

nuestro primer ejemplo, el movimiento unlforme como una aplicaci6n que conserva la razon de la magnitud tiempo sabre la magnltud longitud,

las propias aplicadones que conservan la razon se tlustran

graficamente (Ia linea recta como una imagen de la funci6n lineal),

nomograFic:amente,

mediante Ja regia de c:alculo,

y algoritmicamente mediante

tablas de proporc:ionalidad (matrices de proporcionalidad),

formulas par<l las funciones lineales.

Los niveles que padrian meneionarse sedan

leer;

eonstruir;

entender operatlvamente los principios de los artefactosi Y

describirlos;

aislados y en sus conexiones mutuas.

6.16, Crlterios para fa conservaci6n de fa raz6n

Los principlos par los que uno

reconoce y predice

que una aplicacion conserva 103 raz6n estan mucho mas profundamente arraigados y son menos accesibles, Apenas pueden ser aciarados Sin una fenomenotogia didi3ctiva previa de magnitudes partlculares. La discuslon subsigulente s610 intenta esbozar como puede producirse esto.

Comlenzo con una lista ejemplar de adjetivos, r.uyo Significado se tamara claro sin dlfaci6n!

muchos, grande, fargo, ancho, alto, grueso, mucho, ileno, duradero, pesado, rapldo;

Ri/z6n y proporciofJ.Jik{::;c/

fuerte, viejo. afilado, ramo, blando, denso;

brillante,. calida, raja, atronador, humedo, alto;

dulce, bello, dolorosoi

!nteligente, interesante. somnofiento, difldl;

vafioso, caro, rico.

Algunas de estas pa!abras tienen varios s!gnfficados (par ejemplo, "bril/ante") .. EI adjetivo "alto" ilparece dos veces en esta listp, en el primer lugar puede signlficar una propiedad de las montanasj en el seg\.J/ldo. una propledad de los sonidos. jJero esto aqui no nos importa.

Uno puede hacer las preguntils:

i.Que propiedades admiten comparativos?

LQue propiedades admiten la accion de dupllcar?

("Dupllcar" FIgura aqui como paradigmoj mas general seria "multiplicar", qulza tilmbil§n partir por mltad. dividir; finalmente, tambien anadir.)

tComo comprobar comparativos?

LComo comprobar el duplicar?

lComo hacer comparativos?

LComo hacer dobles?

Estas son preguntas sabre hechDs; aunque con un toque analftleD considerablemente 16glco 0 HngU.istico.

La pregunta central es la de duplicar. EI proceso de dupliear es el de combinar dos iguales. Este es como transformar una torre en una de altura doble, a saber poniendo una torre "Igual" enelma de ella. Un peso de azucar se dobla aiiadiendo uno igual. La temperatura muestra que las casas no son siempre asi de facHes: la temperatura de un liqu!do no se dobra par aoadir un liquldo de Ia misma temperatura; de la misma manera,. la velocidad de una pelota que rueda no se dobla uniendola can una de 18 misma veloddad.

Los parametres que, wando las cosas se combinan, se comportan aditlvamente se Haman

extensivos

-numero, longttud, area, volumen, peso, energia, lumlnosidad (de una fuentE !uminosa), carga electrica, todos tienen esta propiedad; otros como temperatura, ,color, dulzura se lIaman

intensivOs.

No obstante, incfuso para metros como la temperatura, 0 mas bien fa diferencla de temperaturas, pueden interpretarse como parametrQs extensivos, aunque de un proceso mas que de un estado. Asi que 10 que se comblnan son los procesos y no 105 estados. Por 10 que respecta a la temperatura, por ejemplo, una dlferencia de temperatura que se obtiene medIante el calentamiento con una Fuente de calor 11"

durante un tiempo I, se dobla si el "mismo" proceso se repite (real mente, esto se cumpfe solo dentro de cjertos timites). En el caso de veloddades -vectoriales-esta comblnacion can el animo de dupllcar tiene de nuevo aspecto diferente: sl A can respecto a B y B can respecto a C tlenen la misma velocidad, II trene doble velocidad con respecto a C •

E! prlncipio gracJas al eual la conservacion de la raz,on par aplicaciones puede recol1ocerse y predecirse puede formularse ahara de la slguiente manera:

Dos pariJmetros que son extensivos bajo la misma operacion de. combinacI6n esMn en tina relaci6n q/le conserva la razon.

No pre tendo que este ahondar haya traido una sabiduria profunda a la superficle. EI resuftado es, dicho de forma valiosa, el criteria al que cada profesor competente reClirrira, mas a menos cOl1sclentemente, 51 quiere corwencer a sus alumnaE sobre ruando pueden usar fa "regia de tres" y cuando no. "Quien trabaja el doble de tiempo consigue ef doble de dinero" -dice, par ejemplo, quiza mfentras coloea dos veces una cantidad de dinero bajo dos interval as iguaJes en un eje temporal. 0 "doble espacio en tiempo dobJefl

, con una ilustraclon similar.

Esta claro por que no se puede extraer nlnguna inferencia sabre e! !lumero de viudas de Enrique IV a partir del numero de. viudas de Enrique VIII, ya que el numero de orden de los reyes del mlsmo nornbre no hay manera de expllcarto mediante comblnaci6n alguna como un parametro extensivo. La regia de tres no se aplica al problema "51 un hombre reeorre ulla distancla en 3 horas y su hijo 10 hace en 2, ,cuanta tiempo necesitan sl camlnan juntos?", ya que ir juntos, para. gente que van iguaJmente rapldo, no cambia en absoluto el tiempo requerido, Aun asi, tambien en eJ problema de los trabajadores que hacen un cierto trabajo primero indlvidualmente y luego juntos, la pregunta central es: lei tiempo que 5e requiere se dobla sl dos iguales trabajan juntos? No, se .reduce a ta mltad, asi que el tiempo redproco emerge como un parametro extensivo. Y 10 misrno sueede en el caso del hombre y 5U hljo, can tal que no caminen juntos sino que camlnen para encontrarse.

Anoto los nlvefes slgulentes:

deddir sobre la propiedad de conservar la razon de aplicaciones en contextos de hecho y situaciones probtematicas;

reformular contextos y problemas de manera que las propiedades de conservar ta razon ganen promlnencia;

decidir conflictos bajo estas circunstanciaSi

entender principios de tales declsiones y construcciones operativamente, y

descrjbirlos.

Pueden requerirse actividades auxlliares en los niveles siguientes:

Con eI fin de orientarse hacla la conservacion de la razon

considerar pares de para metros que son extensivos bajo la mlsma combinacion, y

buscar tales para metros;

captar la importancia de tal.es parametros para la conservacion de la razon, y explicarla.

En estas actividades auxiliares, se pueden dlstingulr estos nivetes:

deddir respecto a para metros de estados y procesos si son extensivos segun una clerta manera de combinar,

encontrar parametros extensjvos para formas dadas de combinar,

encontrar formas de combinar que conviertan en extensivQs unos parametres dados;

encontrar para metros y formas de combinar que encajen unos con otras;

en tender 10 que son los parametres extensivos operativamente, y

describirl05.

6.17. No lineal/dad

Una gran variedad de fenomenos sugieren que la proporcianalidad, I, conservacion de la fazon, la nneandad, son modelos universales; I.a fe en esto modelos se refuerza por su uso frecuente~ AI menDs aproximadamente la relaeio, lineal parece apropiada en muchas casas como una herramienta fenomenologica tit descripcion. Indlcamas casos en los que esta fenomenologia primitiva Falla po razones tearicas:

ef comportamlento no lineal de areas y vofumenes bajo la multiplicaCior lineal;

la variabilldad no lineal de la precision en las medidas y los datos aleatorio~ bajo la multlplica.cion del tamano de la muestra.

Un ejemplo hist6rico notable;

la apuesta par al meno.s un seis en 4 lanzamientos de un dado S€

considero equivalente a la de al menos una vez dos seiseserl 24 lanzamientos de dos dados.

Otro ejemplo hlst6rico:

la idea de resolver el "probleme des partls'" mediante un procedimientc lineal.

iFe, adquirida por (.Ina practica prolongada, en la linealidad (0 la regia de tres), cuando nuevas principlos estaban en juego!

5.18. EI usa de razones y proporciones

EI usa gene.ral es para pre.deck Un cUarto termino cuando se dan tres en

o ;b=c;d.

Las razones en ambos lados pueden pensarse como

fnternas,

y relacionadas con

magnitudes iguales 0 diferentes,

par ejemplo

• Mtl.tilel1wlics liS tIll Edllcatiollu/ Task, pag. 584 ..

dos ciotas a, b y dos valores monetarios C I d,

o

dos caminos en un mapa (I, b Y dos longitudes c, d.

o pueden pensarse como

externas,

pOl' ejemplo

dos cintas II, c y dos val ores monetarios b, d,

o

dos caminos en un mapa a , C V dos longitudes b, d.

Tambfen puede suceder que una de las razones este

dada explicitarnente como tal,

10 que significa realmente sofa dcs datos, por ejemplo, en el caso de la razen extern a

camino a tiempo, peso a volumen

explicltamente como

velocidad, densidad.

En la seccion 4.199, anaHzarnos una estrategia para comparar cardinales

aproximadamente de 10 que designamos entollces como

conjuntos k-homogeneos.

En nuestra terminologia actual, la relacion entre el cardinal # y el caracter Ie de un conjunto se denominaria conservacion (aproximada) de fa razon. Como va anunciamos en esa seccion, puede usarse para estimar cardina.les V razones entre cardinales.

Un uso practico de las proporciones en general incluye

9 Esta secci6n dellibro de Freudenthal no aparece en esta seleccion. EI capitulo 4 se titula "Nlimeros naturales" , y su seccion 19, "Comparar nltmeros nat.ura les mediante estimaciones" .

{(;]z6/7 ,v ptopofCfOnq!k/q;:J

cambiar 105 terminos medias para sacar provecho de la relatiOn entre razones Internas y externas,

proc€sar los datos, Indepenclientemente de la posicion de 10 conoddo,

expJotar las propledades que definen las razanes interna.s y extemasJ

usando modelos que las vfsualicen,

componer y descomponer proporciones,

estfmar parametres mediante parametros apro)(lmadamente Jlnealmente dependientes;

6.19 < "RazOr!,' en el proceso de apreiJdizaje

Esta seccion ha sido sugetida por experienclas en lostitucione:; de formacion de profesores, aunque estim enraizadas en prlncipios qiJe se lIustraran mas adeiante mediante ejemplos ulterlores.

En la section 6,7 subraye que en contextos visuales los niiios - induso en ectad preescolar- pueden captar el punto de vista relativD y las razones (figuras 58 y 59).

Fig. 58

No! rt .3 (ed-amY'Jv! ~J,r;o~~ !!ui'(/S, .L am. In)m

1 IndtrJ hLL!

Fig. 59

Rqz6n y proporcionq!ic/4c/

R<lzon y proporcioll<//ic/.i!c!

En el tema desarroUado en IOWa "Los saludos del gigante" los nlfios estiman el tamaRa detgigante (y otros muchos tamanos reladonados) a partir de la huella de la mano del gigante en la pizarra, Este enfoque directo es posible porque el texto no introduce ninglin data numerfto. EI tema "terreno de camping", sin embargo, es mucho menos acceslble de forma dlrecta porql,le introduce datos numericos explfcitamente y se dirige a ninos que han aprendido a identiffcar fa mediclon con el uso de la regia.

Un caso similar;

Monica (5; 8) construye torres con bloques congruentes. Es bastante buena comparando tones de alturas. diferentes, Inclusa sl estan colocadas sobre bases dlferentes. Ha colacado II bloques uno sobre atro. Le pldo que me muestre la altura de una torre de 20 . Senala una altura 2 - J bloques mayor. La deja que continue construyendo. A ios 13, Ie repito fa pregunta; su contestaci6n es algo mejor, Le pregunto cuantos habria que anadir. Sus labios se mueven. Obviamente esta contando de 14 a 20 y una y otra vez se lIeva una decepdon porque no sabe cuantos debe i;lnadlr. Le enseiio a !levar la cuenta can los dedos mlentras cuenta.

Cuento esta hlstoria para desvelar mi comportamiento didactico incompetente; la traducCion prematura e innecesaria de una razon a un problema numerico. Esto es bastante caracteristico del domlnlo tradlclona! de la aritmetica sobre la instru.ccion matematiea.

Para los profesores en formacion a los que he observado, "razon" es 0 bien una relaci6n imprecisa que no ha sido hecha consdente, 0 un fen6meno completamente algorltmizado 0 automatizado -e·n el case mas favorable, expresado mediante matrices de proporcron. Los objetos mentales " relattvamente" y "razon" han stdo bloqueados par asociaciones numerfcas. Los que estudlan para profesor tienen grandes dificultades para crear modelos mediante los cuales puedan abrir a sus alumnos la entrada a los objetos mentales: ni siqufera eaptan la pertlnencia de tales modelos. abviamente esto es una consewencla de sus propios procesos de aprendizaje de la razon que han sido dirigidos directamente hada los aigoritm05.

Con esto no quiero decir que estos estudiantes no han pasado nunea por un perfocto de intlliciones con respecto a "relatlvilmente" y "razon". No hace falta suponer - . y probablemente no sea 3S[- que han experlmentado €Stas nociones desde el comlenzo de forma algoritmica (para automatizarlas mas tarde). Es mas probable -y esto es tipico de muchos procesos de aprendizaje-- que las fuentes originates de intulcioo hayan sido embozadas y et camino de vuelta a la intuicion esre bloqueado por los procesos de algoritmlzaclon y 611tomatizadon. La autonomfa de los atgoritmos y 105 automatismos es una propension fuerte que es comprensible: demasiada intulcion puede ser un estorbo bajo clertas clrcunstanclas. De todas maneras, tenemos que mirar criticamente las malas consecuencias de tales bloqueos. LQue podemos hacer contra eHos?

Contestare esta pregunta en varias ocasiones. Muy a menudo e5 necesarfo, pero no 5uffciente, que los algoritmos 5e adqu;eran por intulcfOn. EI proceso de aprendizaje debe ser conducido de tal manera que las Fuentes de la intui.cion no se embocen dUrante el proce50 de aJgoritmizacion y esquematizaclon. Esto puede conseguirse, en mi opinion, votviendo una y otra vez durante el proceso de algoritmizacion y esquematizacion e inc!uso despues donde sea factible, a las Fuentes de la int1Jicion. Este proceso apunta a una conciencia cada vez mayor de to que inicialmente era subsconsciente y una verbalizacion cada vez mas precisa de 10 que inidalmente no 5e verbalizaba en absoluto. Can respecto a "relativamente" y "razon", esto significa que los modelos vtsuale..'i se invocan y se abstraen en modelos de pensamiento reiteradarnente. La que es erroneo en muchos metodos es una satrsfaccion con la unicidad de ciertos pasos decislvos en el proceso de aprendizaje y can ejerdcios repetidos de las conSEcuEf/cias de tales pasos, en vez de repetir los mismos paso5~ Una medida correctlva: repetir el paso sl algo va mal en el automatismo, Pero es mas importante la prevendon: repetir el paso de la intuicion al automatiSf11o antes de que las cosas S8 tuerzan, con e1 fin de garantizar la capaddad de repetlr el paso.