raquel rodríguez aller tutor: oriol busquets curs: 2011-2012 · haver grans precursors de la...

Raquel Rodríguez Aller

Tutor: Oriol Busquets

Curs: 2011-2012

INS Joan Fuster

La probabilitat: una realitat quotidiana Raquel Rodríguez

1

La probabilitat: una realitat quotidiana

Raquel Rodríguez

Agraeixo al meu tutor del treball de recerca Oriol Busquets tota l‟ajuda i recolzament

que m‟ha donat al llarg de l‟elaboració d‟aquest treball.

També vull mencionar la col·laboració que he tingut per part del senyor Jeffrey S.

Rosenthal, escriptor del llibre “A cara o cruz”, que em va ajudar a entendre d‟una forma

més simple diversos càlculs sobre les probabilitats que hi ha en el blackjack.

Per últim, no em vull oblidar de totes les persones que han fet possible la realització

d‟aquest treball de recerca.


2

ÍNDEX

1. Introducció .............................................................................................. Pàg. 3

2. Orígens i història del càlcul de probabilitats .......................................... Pàg. 5

3. Exemples de percepció errònia de la probabilitat

3.1 Probabilitat condicionada: el problema de les fitxes .................... Pàg. 9

3.2 El problema de Monty Hall ........................................................... Pàg. 10

4. Aplicacions del càlcul de probabilitats en la societat

4.1 Esperança matemàtica. Diferents classes de loteries .................... Pàg. 14

4.2 Alguns jocs d‟atzar

4.2.1 La ruleta ............................................................................ Pàg. 21

4.2.2 El blackjack ....................................................................... Pàg. 23

5. Exemples del càlcul de probabilitats a pel·lícules

5.1 21: blackjack ................................................................................. Pàg. 28

5.2 Rosencrantz i Guildenstern han mort ............................................ Pàg. 32

5.3 El caçador ...................................................................................... Pàg. 35

6. Enquestes

6.1 Alumnes de segon de l‟ESO

6.1.1 Joc dels dotze cavalls .......................................................... Pàg. 38

6.1.2 Monty Hall .......................................................................... Pàg. 39

6.1.3 Loteria ................................................................................. Pàg. 39

6.2 Alumnes de primer de batxillerat


6.2.2 Monty Hall .......................................................................... Pàg. 40

6.2.3 Loteria ................................................................................. Pàg. 41

6.3 Persones adultes


6.3.2 Monty Hall .......................................................................... Pàg. 42

6.3.3 Loteria ................................................................................. Pàg. 42

6.4 Comparació de les tres franges d‟edat


6.4.2 Monty Hall .......................................................................... Pàg. 44

6.4.3 Loteria ................................................................................. Pàg. 44

7. Conclusions ............................................................................................ Pàg. 46

8. Bibliografia i bibliografia electrònica i web ........................................... Pàg. 49


3

1. Introducció

L‟interès de realitzar aquest treball de recerca prové de la meva afició al cinema, ja que

després de la visualització de la pel·lícula “21 blackjack”, en la qual un grup

d‟estudiants, que són uns excel·lents estudiants de matemàtiques i uns experts en

comptar cartes, van cada cap de setmana a Las Vegas per guanyar als casinos una gran

suma de diners jugant al blackjack, no em va quedar cap dubte de quin seria el tema del

meu treball de recerca.

Vaig decidir estudiar el càlcul de probabilitats per diverses causes. La primera era

perquè no és un tema que freqüentment es trobi en el temari de matemàtiques de

l‟escola. Una altra de les causes era perquè trobo que és un tema molt apassionant i del

qual puc aprendre moltes coses. De totes formes, és interessant veure com els jocs

d‟atzar, les assegurances, les loteries, etc., poden dependre de diversos càlculs

probabilístics.

Al principi del treball vaig establir els següents objectius:

Comprendre més a fons la teoria de la probabilitat.

Detectar i analitzar situacions de la vida ordinària de las persones on apareix el

càlcul de probabilitats. (Assegurances, jocs d‟atzar, pel·lícules, etc.)

Conèixer la percepció que les persones tenen d‟algunes qüestions relacionades

amb el càlcul de probabilitats.

La hipòtesi d‟aquest treball és:

Hi ha situacions en les quals la gent té una percepció errònia de la probabilitat.

Les enquestes realitzades al final del treball de recerca serviran per verificar o rebatre

aquesta hipòtesi.

El treball s‟estructurarà en diversos apartats. En primer lloc hi haurà una explicació

sobre la història del càlcul de probabilitats des de l‟antic imperi grec fins la formulació

de la teoria axiomàtica de la probabilitat. Tot seguit es parlarà de l‟aplicació de la

probabilitat a diversos camps de la nostra societat, com per exemple els jocs d‟atzar. Per

últim es realitzaran diverses enquestes en què es plasmarà l‟opinió i coneixements de

part la població sobre qüestions relacionades amb el càlcul de probabilitats.

Aquest treball es limitarà a parlar de les diverses aplicacions del càlcul de probabilitats,

així com a realitzar un estudi sobre la resposta que pot tenir la població davant de

diversos problemes de probabilitat.


4

La metodologia emprada en el treball de recerca ha estat la següent:

En primer lloc vaig estudiar la teoria de la probabilitat per entendre bé sobre què

estava treballant.

A continuació vaig haver de decidir sobre quins temes del càlcul de probabilitats

treballaria, ja que és una teoria molt àmplia i s‟havia d‟acotar.

Tot seguit vaig començar a recopilar informació sobre els diversos temes que

tractaria aquest treball a través de diversos mitjans com els llibres, Internet o gràcies

a la col·laboració de diverses persones que em van ajudar a comprendre millor algun

dels apartats del treball.

Per últim, després d‟haver aconseguit tota la informació que necessitava, vaig

començar a redactar el treball de recerca.

Quan em trobava realitzant l‟estudi del joc d‟atzar anomenat blackjack em vaig trobar

amb una sèrie de percentatges que descrivien la probabilitat que té el crupier d‟obtenir,

sumant les seves cartes, 17, 18, 19, 20, 21 o passar-se. El fet de calcular aquests

percentatges em va suposar un gran treball manual molt laboriós. Per això, i gràcies al

llibre “A cara o cruz. El sorprendente mundo de las probabilidades”, vaig poder

contactar amb en Jeffrey S. Rosenthal, l‟autor d‟aquest llibre, via e-mail, el qual em va

enviar un programa informàtic que calculava aquests percentatges en pocs segons, cosa

que em va permetre saber com obtenir aquests percentatges en poc temps. Així que

agraeixo enormement al senyor Rosenthal el fet de brindar-me la seva ajuda encara que

es trobés al Canadà.

La realització d‟aquest treball m‟ha permès aprendre molts aspectes interessants de la

probabilitat que abans no coneixia, i a més m‟ha ajudat a aprendre com realitzar un

treball ampli i notable de cara al futur.


5

2. Orígens i història del càlcul de probabilitats

Els jocs d‟atzar ja existien en l‟antiga Grècia, com per exemple els astràgals (tabes,

ossets) i els daus. Encara que es creia que els resultats que s‟obtenien en tirar els daus o

les tabes no eren producte de la aleatorietat sinó que eren el desig dels déus.

Posteriorment, en els temps dels romans, les matemàtiques van deixar de ser una part

important del coneixement humà i van passar a ser utilitzades com una tècnica útil, és a

dir, que les feien servir per mesurar, comptar i calcular, les aprofitaven per tenir una

vida més còmode i aconseguir una gran superioritat militar. A més a més, pel que fa a la

probabilitat, tenien un pensament semblant al dels grecs, és a dir, creien que els resultats

dels jocs d‟atzar eren un desig dels déus. Malgrat això, van començar a parlar de la

probabilitat. El primer en contrariar el fet que els resultats dels jocs d‟atzar eren per

desig dels déus i no a causa de l‟aleatorietat va ser Marc Tul·li Ciceró (106 a.C-43 a.C).

A més, Ciceró va ser el qui ens va llegar el terme de probabilitat (deriva de probabilis).

En l‟Edat Mitjana tampoc es va estudiar la probabilitat a causa de la força amb que les

idees religioses havien arrelat en les persones de la època. Segons aquestes idees,

semblants a les gregues i les romanes, les coses no es produeixen per atzar sinó que

venen determinades per un déu.

Però no va ser fins al Renaixement que van aparèixer els primers indicis del que

posteriorment seria la teoria de la probabilitat. En l‟època del Renaixement italià van

haver grans precursors de la probabilitat com Niccolò Fontana, anomenat també

Tartaglia (1499-1557), Giovanni Francesco Peverone, Girolamo Cardano (1501-1576) i

Galileo Galilei (1564-1642). Cardano és l‟autor del llibre Liber de ludo aleae, que és el

primer que tracta sobre el món de l‟atzar. Un dels seus objectius era calcular les

diferents possibilitats que podrien sortir en llançar diferents daus. Però va ser Galileo

qui va fer una gran contribució a la teoria de la probabilitat amb la creació de la mesura

d‟errors. Segons ell els errors de mesura eren inevitables i els va classificar en dos tipus:

els errors de mesura sistemàtics, que són els que apareixen a causa dels mètodes que es

fan servir i de les eines de mesura, i els errors de mesura aleatoris, que varien de forma

impredictible d‟una mesura a una altra. Aquesta idea no només va permetre el

desenvolupament de la teoria de la probabilitat, sinó que també va comportar

l‟establiment de les bases del naixement de l‟estadística.

El naixement de la teoria de la probabilitat

Anteriorment al segle XVII, que és quan s‟inicia la

teoria de la probabilitat tal i com la coneixem

actualment gràcies a la correspondència entre Blaise

Pascal (1623-1662) i Pierre de Fermat (1601-1665)

cap el 1654, la probabilitat encara formava part dels

jocs d‟atzar, però a partir d‟aquesta data es van

començar a construir els fonaments de la teoria de la

probabilitat.


6

Cap als voltants de 1652 Blaise Pascal va coincidir amb Antoine Gombauld, també

conegut amb el nom de cavaller de Méré (1607-1684). El cavaller de Méré era un noble

aficionat als jocs de cartes o de daus, i creia que estudiar amb més profunditat aquests

jocs li proporcionaria un avantatge enfront els seus contrincants. Per això Antoine

Gombauld va proposar una sèrie de problemes a Pascal, un dels quals era el següent:

Si es llencen tres daus a l‟aire qui té més probabilitats de guanyar, una persona que

aposta al número nou o una persona que aposta al número deu?

El cavaller de Méré va dir a Pascal que pensava que la persona que guanyaria

l‟aposta seria aquella que apostés per el número 10, però no sabia argumentar cap

teoria a favor d‟aquesta resposta ja que el número de descomposicions d‟aquests dos

números en tres sumands era el mateix. Tots dos tenen sis possibles sumes.

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3

10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4

Però la intuïció de Antoine Gombauld no era incorrecta, ja que gràcies a les eines de

la probabilitat podem saber que:

Probabilitat de guanyar si hem apostat al número 9:

Demostració:

Són els casos possibles

(1, 2, 6)

(1, 3, 5)

(1, 4, 4)

(2, 2, 5)

(2, 3, 4)

(3, 3, 3) 1

Total = 6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1 = 25 Són els casos favorables

Probabilitat de guanyar si hem apostat al número 10:


7

Són els casos possibles

(1, 3, 6)

(1, 4, 5)

(2, 2, 6)

(2, 3, 5)

(2, 4, 4)

(3, 3, 4)

Total = 6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3 = 27 Són els casos favorables

Pascal també va estar estudiant el problema de la repartició de diners, del qual ja havia

palat uns quants anys abans Pacioli (1445-1517) i Cardano (1501-1576).

Estan dos jugadors jugant a un joc amb un total de tres partides i cadascun ha apostat

32 monedes. Cada vegada que un jugador guanya una partida guanya un punt, per

tant, guanyarà aquell jugador que aconsegueixi tres punts, és a dir, guanyar les tres

partides. El primer jugador té dos punts i el segon només en té un. Com que no tenen

més temps decideixen acabar la partida i repartir-se els diners. Però com ho faran?

Blaise Pascal va resoldre el problema amb la següent solució: Si juguessin una altra

partida i guanyés el primer jugador, aquest s‟emportaria 64 monedes, però si guanyes

el segon jugador cadascú es quedaria amb les monedes que ha apostat, és a dir, 32

monedes cadascú. Però com que decideixen no fer una altra partida Pascal deia que

el primer jugador s‟hauria d‟emportar 32 monedes, ja que encara que perdi se les

quedaria igualment, més 16 monedes, que són la meitat de les 32 monedes que

correspondrien al segon jugador si guanyés. És a dir, el primer jugador es quedaria

amb 48 monedes i el segon amb 16.

Sobre aquest problema ja havien palat uns quants anys abans Pacioli (1445-1517) i

Cardano (1501-1576). A més a més, Pierre de Fermat també va estar reflexionant sobre

aquest problema, encara que amb un mètode totalment diferent que el de Pascal.

L‟holandès Christian Huygens (1629-1695), que era físic matemàtic i astrònom, cap a

l‟any 1655 es va interessar enormement per la correspondència entre Pascal i Fermat i

per les recents investigacions que havien fet sobre la probabilitat. Va començar un

treball sobre problemes de càlcul de probabilitats que va incloure en el seu llibre De

ratiocinis in ludo aleae (El càlcul en els jocs d‟atzar) que va publicar en el 1657. Avui

http://es.wikipedia.org/wiki/1501





8

dia es considera que aquest llibre és el primer treball dedicat exclusivament a la

probabilitat. A més, en el 1669 va publicar Application of Mathematical of probability

to expectation of human life, que va ser l‟origen del que avui coneixem com a

assegurances. Huygens va ser qui va explicar el concepte d‟esperança matemàtica en

una variable amb un nombre finit de valors.

Posteriorment, Jakob Bernoulli (1654-1705) va ser qui va aportar els fonaments de

l‟aplicació del càlcul de probabilitats. Va escriure el llibre Ars conjectandi (Art de la

conjectura) a finals del segle XVII, però no va ser publicat fins l‟agost de 1713 a

Basilea, vuit anys després de la seva mort, pel seu nebot. Aquesta obra consta de quatre

parts. La primera recull els estudis de Huygens; la segona parla de les permutacions, les

variacions i les combinacions; la tercera s‟ocupa de l‟aplicació dels teoremes de la

teoria de les permutacions al càlcul de probabilitats i en la quarta es dedica a la

demostració de la teoria dels grans nombres introduint la idea d‟interval de confiança.

Una de les contribucions més importants a la teoria del càlcul de probabilitats va ser la

realitzada per Bernoulli. Fou el qui va dir que hi ha dos tipus de situacions aleatòries. La

primera, on les probabilitats es poden conèixer a priori a causa de les regles del joc. I les

probabilitats a posteriori, que es coneixen després d‟haver efectuat un gran nombre de

proves.

Un altre personatge conegut que va ajudar al desenvolupament de la teoria de la

probabilitat va se Abraham de Moivre (1667-1754). Va ser qui deduí la fórmula que

relacionava la distribució binomial amb la funció error o distribució normal.

Pierre-Simon Laplace (1749-1827), astrònom i matemàtic francès, és el responsable

d‟alguns dels avanços més importants de la probabilitat, el que és conegut com la “regla

de Laplace. Va escriure en el 1773 el seu primer manuscrit sobre probabilitat. En aquest

es parlava de tots els aspectes matemàtics deixant de banda els aspectes filosòfics. Més

endavant, en el 1820, va escriure Assaig filosòfic sobre les probabilitats. El seu tractat

consta de dues parts: la primera és on desenvolupa la teoria de les funcions generatrius i

les teories que serveixen per aproximar les expressions de les fórmules dels grans

nombres, i en la segona part es parla de la teoria general de la probabilitat.

Després de Laplace destaquen alguns personatges com Johann Carl Friedrich Gauss

(1777-1855), Adrien-Marie Legendre (1752-1833), Siméon Denis Poisson (1781-

1840), Augustus De Morgan (1806-1871), Antoine Augustin Cournot (1801-1877),

Pafnuti Lvóvich Tchebycheff (1821-1894). I Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-

1987) que va destacar per ser el qui va formular la teoria axiomàtica de la probabilitat.


9

3. Exemples de percepció errònia del càlcul de probabilitats

3.1 Probabilitat condicionada: el problema de les fitxes

Abans d‟explicar del problema de Monty Hall m‟agradaria parlar d‟un exemple que

guarda una similitud amb el problema i que permetrà entendre‟l millor.

Tens tres fitxes de la mateixa mida però de diferent color. La primera es troba pintada

de negre per les dues cares, la segona té una cara de color vermell i una cara de color

negre i l‟última es troba pintada per les dues cares de color vermell.

Primer, introdueixes les tres fitxes en una urna opaca i que, per tant, no es pot veure res

del que hi ha en el seu interior. Tot seguit remenes les fitxes, n‟extreus una i la

col·loques sense mirar a sobre d‟una taula de manera que només puguis visualitzar una

de les seves cares. En un principi, tens la mateixa possibilitat que la fitxa que s‟hagi tret

de l‟urna tingui les dues cares de color negre, o una cara negre i l‟altre vermella o les

dues cares de color vermell. Posem que, per exemple, la cara que veiem de la fitxa que

hem tret és de color vermell, per tant, descartem que sigui la fitxa amb les dues cares de

color negre. Com a conseqüència, ara sabem que la fitxa que tenim sobre la taula

només pot ser la que tingui les dues cares vermelles o la que tingui una cara vermella i

l‟altra negra.

Per saber quina és la probabilitat que la fitxa tingui les dues cares vermelles realitzarem

els següents càlculs:

Casos possibles = V, N, V

Casos favorables = V, V

p(cara oculta sigui vermella) =

=

Esquema

Fitxa 1: Fitxa 2: Fitxa 3:

Casos possibles Casos favorables

De totes les cares de les tres

fitxes, tres són de color vermell.

Dues d‟aquestes cares tindran la

cara oposada de color vermell

(casos favorables) mentre que

la tercera fitxa tindrà la cara

oposada de color negre. En total

hi haurà tres cares oposades,

dues de color vermell i una de

color negre (casos possibles).


10

La majoria de la societat pensa que com que el color de l‟altre costat de la fitxa només

pot ser vermell o negre hi ha un 50 % de probabilitats que sigui d‟un color o de l‟altre.

Però tal i com demostra la probabilitat condicionada això no és cert, ja que la

probabilitat que l‟altre costat de la fitxa sigui de color vermell és del 66,7 % enfront del

33.3% del color negre.

Com a conclusió només cal dir que abans de treure les fitxes de l‟urna teníem la mateixa

probabilitat d‟haver tret qualsevol de les tres, però al visualitzar una de les cares de la

fitxa que havíem tret ens ha donat una informació que abans no teníem i ens ha permès

calcular quina era la probabilitat que la fitxa que haguéssim tret tingués les dues cares

de color vermell. Per tant, la probabilitat condicionada ens permet calcular les

probabilitats d‟una situació sabent que anteriorment ha passat alguna cosa, és dir, quina

és la probabilitat que es realitzi l‟esdeveniment B sabent que l‟esdeveniment A s‟ha

realitzat.

3.2 El problema de Monty Hall

Als Estats Units d‟Amèrica es publicava en la revista Parade una

columna on els lectors podien fer preguntes a la Marilyn vos Sabant,

que era la dona que tenia el coeficient intel·lectual més elevat, fins i

tot es troba en el llibre Guiness dels rècords. Aquesta columna

s‟anomenava Pregunteu a la Marilyn. Entre moltes altres preguntes,

el lector Craig F. Whitaker de Colúmbia (Maryland) li va enviar la

següent pregunta:

Et trobes concursant en un programa de televisió en el que has d‟escollir una de

les tres portes darrera de les quals es troben dues cabres i un cotxe nou. Primer

escollim una de les tres portes, per exemple la porta número 1. Però resulta que

el presentador, que sap on es troben el cotxe i les dues cabres, et diu que et vol

ajudar i t‟obre una porta en què darrera es troba una cabra. Aleshores, el

presentador et dóna l‟oportunitat de poder canviar de porta o quedar-te amb la

mateixa. Què hauries de fer, quedar-te amb la mateixa porta o canviar?

Aquesta pregunta està basada en la fase final d‟un concurs nord-

americà que s‟anomenava Let’s make a deal (Fem un tracte). El

problema va se batejat amb el nom de Monty Hall a causa que el

concurs era presentat pel “showman” Monty Hall.

Resposta

La Marilyn deia que si canviaves de porta, un cop el presentador havia obert la porta en

la qual hi havia una cabra, tenies

de possibilitats d‟emportar-te el cotxe enfront

de

possibilitats si resulta que no canviaves.

http://1.bp.blogspot.com/_yGohRMSv1SU/SMrFcxz9AEI/AAAAAAAAAp4/mnLXBz-0rB4/s1600-h/lets+make+a+deal.jpg


11

Aquesta resposta a la pregunta va ocasionar que molta gent, de la qual molts eren

matemàtics i científics, escrivissin a la Marilyn dient-li que s‟equivocava, ja que la

intuïció els feia pensar que tenien les mateixes possibilitats d‟encertar on es trobava el

cotxe tant si canviaven de porta com si no, és a dir, que un cop el presentador havia

obert la porta on hi havia a l‟interior una cabra tenies un 50 % d‟emportar-te el cotxe, en

els dos casos.

Alguns fragments d‟aquelles cartes es poden veure a continuació:

“Ja hi ha prou analfabetisme matemàtic en aquest país i no cal que la persona

amb el coeficient intel·lectual més elevat del món també el prediqui. Quina

vergonya!”1

Dr.Scott Smith,

Universitat de Florida

“Estic segur que rebrà moltes cartes d’alumnes d’instituts i d’universitats.

Potser hauria de conservar algunes de les seves adreces perquè l’ajudin a

escriure les seves pròximes columnes.”2

Kent Ford,

Dickinson State University

“S’equivoca sense cap mena de dubte… ¿Quants matemàtics irats calen per

fer-la rectificar?”3

Dr. E. Ray Bobo,

Unoversitat de Georgtown

Resolució del problema

Aquest problema es pot resoldre de dues formes:

Fent-ho matemàticament amb l‟ajuda de la fórmula de la probabilitat

condicionada.

1 HADDON, Mark: El curiós incident del gos a mitjanit.

2 HADDON, Mark: El curiós incident del gos a mitjanit.

3 HADDON, Mark: El curiós incident del gos a mitjanit..


12

Primer, anomenem a les tres portes amb les lletres A, B i C.

Tot seguit designarem els esdeveniments que indiquen la situació del cotxe en

cada una de les tres portes:

I els esdeveniments que informen quina de les tres portes obrirà el presentador:

Suposant que triïs la porta A, representem l‟esdeveniment en que el cotxe estigui

en la porta B o en la porta C, condicionat a que el presentador obri l‟altra porta,

és a dir, la porta contrària:

Aquests dos esdeveniments són incompatibles, per tant, la seva probabilitat és la

següent:

El fet de no canviar de porta (succés contrari) suposa que la seva probabilitat és

la següent:

.


13

Si realitzem una simulació d‟aquest problema podem observar que si canviem de

porta cada vegada obtenim que4:

Nombre de vegades que s‟ha jugat: 200

Hem guanyat Hem perdut

128 72

64 % 36 %

En canvi, si no canviem de porta obtenim que:



70 130

35 % 65 %

Però si anem alternant de porta, és a dir, si meitat de vegades canviem de porta i

l‟altre meitat no obtenim que:



90 110

45 % 55 %

Fent-ho amb l‟ajuda d‟un diagrama.

4 La simulació es troba extreta de la web:

http://nlvm.usu.edu/es/nav/frames_asid_117_g_3_t_5.html?from=topic_t_5.html

El presentador et diu que has de triar una

porta

Tries una porta en la

que hi ha una cabra

No canvies

Guanyes una

cabra

Canvies

Guanyes un cotxe


que hi ha un cotxe

No canvies

Guanyes una

cotxe

Canvies

Guanyes una

cabra


que hi ha una cabra

No canvies

Guanyes una

cabra

Canvies

Guanyes un cotxe


14

4. Aplicacions del càlcul de probabilitats en la societat

4.1. Esperança matemàtica. Diferents classes de loteries

Esperança matemàtica

L‟esperança matemàtica, també anomenada mitjana d‟una variable aleatòria discreta X,

és el producte entre els valors de la variable ( ) i les seves respectives probabilitats ( ).

L‟esperança matemàtica és una eina que ens permet saber quins són els guanys que

podem obtenir en una aposta de qualsevol joc d‟atzar.

Loteries

L‟esperança matemàtica és una eina estadística útil que et permet calcular els guanys i

les pèrdues en diversos jocs d‟atzar.

El que nosaltres estudiarem seran els guanys i les pèrdues que podem tenir en jugar a

diversos tipus de loteria.

Loteria de Nadal

En la loteria de Nadal, que es celebra el 22 de

desembre, participen 85.000 números, és a dir, des del

número 00000 fins al 84999.

Els premis que es poden guanyar per cada bitllet en el

sorteig de la loteria de Nadal són els següents:

1r. premi (el Gros) 3.000.000 euros

2n. premi 1.000.000 euros

3r. premi 500.000 euros

4t. premi Dos premis de 200.000 euros

5è. premi Vuit premis de 50.000 euros

“Pedrea” 1.774 premis de 1.000 euros

Números anterior i posterior al 1r. premi dos premis de 20.000 euros

Números anterior i posterior al 2n. premi dos premis de 12.500 euros

Números anterior i posterior al 3r. premi dos premis de 9.600 euros

Centenes del 1r., 2n. i 3r. premi 297 premis de 1.000 euros

Centenes del 4t. i 5è. Premi 198 premis de 1.000 euros

Números amb les dues últimes xifres del 1r., 2n. i 3r.

premi

2.547 premis de 1.000 euros

Reintegrament 8.499 premis de 200 euros

http://4.bp.blogspot.com/_Uj1tlKqswuc/TExUnN3N-aI/AAAAAAAAAG8/m9VJCn817uE/s1600/boleto+loteria.jpg


15

Com que en la loteria de Nadal es juguen 85.000 números la probabilitat que toqui el

primer premi és de:

Igual que la que toqui el segon i el tercer premi. En canvi, la probabilitat que toquin

el quart i el cinquè premi és de:

També et pots consolar amb la “pedrea”, on la probabilitat que toqui és superior.

La seva probabilitat és de:

D‟altra banda, també pot ser que el número que jugues sigui anterior o posterior al

primer, segon o tercer premi. En aquest cas la probabilitat que toqui per a cada un

dels tres és de:

També és possible que les centenes del teu número coincideixin amb les del primer,

segon o tercer premi i, per tant, la probabilitat que toqui és de:

O que coincideixin les centenes del número que jugues amb les centenes del quart o

cinquè premi, en aquest cas la probabilitat que toqui aquest premi és de:

La probabilitat que les dues últimes xifres del número que jugues en la loteria

coincideixin amb les del primer, segon o tercer premi i que, per tant, et toqui aquest

premi és de:

Per últim, la probabilitat que toqui el reintegrament és de:


16

Un cop vistes les probabilitats que tenim de guanyar qualsevol dels 13.334 premis

que hi ha en la loteria de Nadal calcularem quina és l‟esperança matemàtica de

guanys d‟aquesta loteria. Ho farem multiplicant les probabilitats que tenim d‟obtenir

cada un dels premis pel valor econòmic de cada un d‟ells (cada premi serà dividit per

deu ja que volem saber els guanys que podem obtenir d‟un dècim de loteria i no d‟un

bitllet). Un cop fet això ho sumarem tot i li restarem vint euros, que és el cost d‟un

dècim de loteria.

Per últim, només cal restar-li els 20 euros que ens ha costat el dècim:

Observant quin ha estat el resultat del càlcul de l‟esperança matemàtica podem

deduir que el joc de la loteria de Nadal és desfavorables per a les persones que

juguen i favorable a l‟Estat, perquè la resolució del càlcul de l‟esperança matemàtica

és un número negatiu.

El que vol dir l‟esperança matemàtica és que, de mitjana, les persones que juguen a

la loteria de Nadal perden aproximadament 6 euros.

La 6/49

La lotto 6/49 és un tipus de loteria que

consisteix en encertar 6 números dels 49

que hi ha. Depenent de quants números

hagis encertat rebràs un premi o un altre. En

cada sorteig varien els premis segons la

recaptació que s‟hagi obtingut d‟aquesta

loteria durant la setmana. Per tant, ens centrarem en el sorteig del dissabte dos de

juliol en el qual els premis que es sortejaven eren els següents:

1r. premi (6 números) 3.203.000 euros

2n. premi (5 números + C) 5.429,38 euros

3r. premi (5 números) 2.714,69 euros

4t. premi (4 números) 44,87 euros

5è. premi (3 números) 7,61 euros

http://www.lotocatalunya.net/cat/02/jocs_02_02_g.htm


17

A continuació calcularem quina és la probabilitat que toqui cada un dels cinc premis

de la loteria.

Casos possibles:

Primer premi (6 números):

En aquest cas, els casos favorables són igual a 1.

Per tant, la probabilitat de guanyar aquest premi és de :

Segon premi (5 números + C):

Per poder calcular els casos favorables d‟aquest premi, primer s‟han de trobar les

combinacions de 6 números agrupats de 5 en 5:

Acabades de calcular les possibles combinacions només ens falta multiplicar-les

pel número de complementaris que hi ha, que és 1, per obtenir els casos

favorables:

Per tant, la probabilitat que toqui aquest premi és de:

Tercer premi (5 números):

Si tens cinc números encertats d‟una combinació guanyadora de sis números,

quants nombres, diferents dels guanyadors, es poden afegir per completar la sèrie

de sis números? Aquesta pregunta té fàcil solució. Només cal restar al nombre

total de números que es troben en el bombo (49) els sis números guanyadors; es a

dir, .

Per arribar a trobar els casos favorables, primer cal multiplicar totes les

combinacions dels sis números guanyadors agrupats de cinc en cinc per els

números que es poden afegir a la combinació de cinc números guanyadors.


18

Per últim, només cal restar-li les sis possibles combinacions que es poden realitzar

amb el número complementari per trobar els casos favorables.

Per tant, la probabilitat d‟aconseguir aquest premi és de:

Quart premi (4 números):

Ara, com que els nombres que s‟han d‟encertar són quatre, els sis possibles

números guanyadors s‟han d‟agrupar de quatre en quatre, és a dir, . Però per

obtenir els casos favorables d‟aquesta aposta s‟ha de multiplicar per

, ja que

al ser només quatre encerts queden dues vacants de la sèrie dels sis números

guanyadors per als 43 números restants diferents dels sis que han sortit

guanyadors.

Per tant, la probabilitat de guanyar aquest premi és de:

Cinquè premi (3 números):

Per trobar els casos favorables d‟aquesta aposta s‟han de realitzar les mateixes

operacions que en el cas del quart premi. És a dir, s‟ha de multiplicar per

.

Per tant, la probabilitat d‟obtenir aquest premi és de:

Ara que ja sabem la probabilitat que hi ha que toqui cada un dels cinc premis de la

loteria 6/49 podrem calcular quins poden ser els guanys que podem obtenir en

aquesta loteria i saber si ens és favorable jugar-hi o no. Per saber quina és

l‟esperança matemàtica s‟ha de multiplicar el valor econòmic de cada premi per la

seva probabilitat. I al final se li ha de restar el que costa la loteria que és 1 euro.


19

Per tant, observant el resultat podem deduir que la loteria 6/40 és desfavorable per a

la persona que juga i, en canvi, favorable per a l‟Estat (en aquest cas la Generalitat de

Catalunya).

Un cop vist les pèrdues que podem obtenir en les dues loteries ens podíem fer la següent

pregunta: en quina de les dues loteries les pèrdues serien més elevades?

Per contestar aquesta pregunta cal fer el següent:

Multipliquem els euros per 20, perquè en la lotto 6/49 només et jugues un euro

i, en canvi, en la loteria de Nadal t‟hi jugues 20.

Observant el resultat podem deduir que en la loteria de Nadal s‟obtenen, de mitjana,

menys pèrdues que en la lotto 6/49 ja que les pèrdues de la loteria de Nadal eren de

5,99 euros i, per tant, és menys desfavorable per al jugador.

Inventem una loteria

Són les festes del poble i per animar-les volem organitzar un sorteig de loteria. El

sorteig està compost per 500 números, del 000 fins el 499. En aquest sorteig es troben

inclosos els següents premis:

1r. premi Un premi de 1.000 euros

2n. premi Un premi de 600 euros

3r. premi Dos premis de 250 euros

4t. premi Dos premis de 100 euros

5è. premi Quatre premis de 50 euros

La probabilitat que toqui cada un dels premis és la següent:

Primer premi:

Segon premi:

Tercer premi:

Quart premi:

Cinquè premi:


20

Un cop vistes les probabilitats que hi ha que toqui cada un dels premis calcularem quins

són els guanys que pot tenir cada persona que jugui al sorteig de loteria.

Càlcul de l‟esperança de la variable premi:

Havent calculat l‟esperança matemàtica del sorteig de loteria només ens falta saber

quant costarà cada número de loteria depenent de si volem que el joc sigui favorable per

als jugadors, que sigui favorable per a qui organitza el sorteig o que sigui equitatiu per a

les dues parts.

Si el joc és favorable per als jugadors.

En aquest cas cal tenir en compte que al restar-li el que costa cada número de loteria

el resultat obtingut ha de ser positiu. És a dir, el número de loteria ha de costar menys

de 5 euros.

Si el joc és desfavorable per als jugadors.

En aquesta ocasió el resultat obtingut en restar el que costa el número de loteria de

l‟esperança matemàtica ha de ser negatiu, per tant, el número de loteria de costar més

de 5 euros. Si en organitzar el sorteig de loteria volem obtenir beneficis haurem de

triar aquesta opció per calcular el que costa el número de loteria.

Si el joc és equitatiu per a les dues parts.

Si resulta que volem que el sorteig no sigui favorable ni per la persona que

l‟organitza ni pels jugadors que hi participen hem de preveure que el resultat de

restar el que costa el número de loteria a l‟esperança matemàtica ha de ser igual a

zero. Per tant, el cost del número de loteria haurà de ser de 5 euros.

Posaré un exemple per entendre-ho millor:


21

4.2 Alguns jocs d’atzar

4.2.1 La ruleta

La ruleta americana consta de 38 caselles: del número 1

al 36 alternant el color negre i el color vermell més dues

caselles especials de color verd en les que es troben el

zero i el doble zero (00). És a dir, 18 caselles són de

color negre, 18 són de color vermell i dues són de color

verd.

El joc consisteix en que el crupier gira la ruleta i tira dins una bola de marfil en la

direcció contrària en la que ha girat la ruleta. La bola va rebotant en les diferents

caselles fins que es para en una.

Els jugadors han d‟apostar en quina casella creuen que caurà la bola en la següent

jugada. Hi ha diferents opcions de realitzar aquesta aposta, i on a cada una de les quals

li correspon un premi diferent:

Apostes Guanys

A un número 35:1

A un color (vermell o negre) 1:1

A la 1a, 2a o 3a dotzena5 2:1

Vistes quines són les apostes que un jugador pot fer en una ruleta americana,

observarem quin és el guany que es pot obtenir en cada una d‟aquestes, apostant sempre

5 euros. Abans de parlar dels guanys que es poden obtenir en cada una de les diferents

apostes m‟agradaria especificar que quan en el càlcul de l‟esperança matemàtica s‟obté

un nombre positiu significa que el joc és favorable per al jugador, si s‟obté un número

negatiu vol dir que el joc és desfavorable per al jugador, i si el resultat obtingut és un

zero significa que el joc és equitatiu per a les dues parts (en aquest cas és equitatiu per al

jugador i el casino).

Quan realitzes l‟aposta només a un número.

Aquest tipus d‟aposta consisteix en apostar a un dels 38 números que comprenen la

ruleta americana.

La probabilitat de guanyar quan apostes només a un número és de:

5 La primera dotzena compren els números de l‟1 al 12, la segona dotzena inclou els números del 13 al

24, i la tercera dotzena integra els números del 25 al 36.


22

I la probabilitat de perdre quan apostes només a un número és de:

Si un jugador aposta els 5 euros a que la bola caurà en el número 11 guanyarà 175

euros si finalment cau en aquesta casella ( , ja que si apostes a un sol

número els guanys que pots obtenir són de 35:1), però perdrà els 5 euros si resulta

que la bola cau en un altre número. Per tant, si es vol saber quins són els guanys

mitjans que es poden obtenir en la ruleta americana apostant només a un número s„ha

de realitzar la següent operació:

Observant els resultats obtinguts podem deduir que el joc és desfavorable per al

jugador i favorable per la banca, que en aquest cas és el casino.

Quan realitzes l‟aposta a un color (vermell o negre).

Aquesta aposta consisteix en apostar a les 18 caselles de color vermell o a les 18 de

color negre.

La probabilitat de guanyar que un jugador té quan aposta a un color és:

La probabilitat de perdre que un jugador té quan aposta a un color és:

Si un jugador aposta, per exemple, que la bola caurà en el color vermell rebrà 5 euros

si resulta que la bola cau en alguna de les 18 caselles de color vermell que hi ha en la

ruleta, però perdrà els 5 euros que havia apostat si cau en alguna casella de color

negre. Per tant, podem saber quin són els guanys que el jugador pot obtenir en

realitzar aquesta aposta amb una simple operació.

Com es pot observar ens dóna el mateix resultat que en l‟anterior aposta. Això també

ens permet saber que aquesta aposta és desfavorable per als jugador i, en canvi,

favorable per al casino.


23

Quan realitzes l‟aposta a la primera, segona o tercera dotzena.

Aquesta última aposta consisteix en apostar als números que es troben compresos

entre l‟1 i el 12 (primera dotzena), entre el 13 i el 24 (segona dotzena) i entre el 24 i

el 36 (tercera dotzena).

La probabilitat de guanyar en aquest cas és de:

I la probabilitat de perdre en aquest aposta és de:

Si resulta que el jugador aposta 5 euros a que la bola caurà, per exemple, en la

segona dotzena guanyarà 10 euros, però si resulta que a bola no cau en cap dels

números que es troben inclosos entre el 13 i el 24 perdrà els 5 euros que havia

apostat. Per tant, amb l‟ajuda de la fórmula de l‟esperança matemàtica podem

aconseguir quin són els guanys que podem obtenir.

El resultat obtingut ens permet saber que aquesta aposta és desfavorable per al

jugador i favorable per al casino, ja que el número que ens ha sortit és negatiu.

Com es pot observar, totes les apostes són desfavorables per al jugador i favorables per

al casino, però això no vol dir que en un moment donat puguis guanyar 175 euros

apostant a un número. El que vol indicar el resultat és que si resulta que jugues

moltes vegades a la ruleta americana apostant sempre a un sol color perdràs a llarg

termini 26 euros encara que pot se que en una o dues jugades tinguis sort i guanyis 200

euros. Per tant, si tens una jugada bona i guanyes és millor que pleguis perquè sinó

perdràs tot el que has guanyat. Cal recordar que el casino mai perd, sinó no seria

rendible.

4.2.2 El blackjack

El blackjack és un joc de cartes que té com objectiu que cada

jugador, sumant les seves cartes, obtingui una puntuació més

alta que el crupier apropant-se tant com puguin a 21 sense

passar-se. A més a més, si un jugador, sumant les seves cartes,

obté 21 guanya al crupier (a no ser que les cartes del repartidor


24

també sumin 21, aleshores es deixa en un empat).

El joc consisteix en anar demanant cartes fins que les cartes sumin 21 o apropar-te tant

com es pugui. El blackjack també et permet plantar-te quan ho creguis convenient. En

iniciar-se el joc cada jugador rep dues cartes de cap per amunt de forma que tothom

pugui visualitzar-les. Després el crupier es reparteix a si mateix dues cartes, una cap per

amunt i l‟altre cap per avall de manera que només es pugui veure una sola carta de les

dues que té. Tot seguit cada jugador decideix si demana una carta, fins que la seva

puntuació sigui 21 o s‟apropi, o si es planta amb les cartes que té. El joc finalitza

comparant les sumes de les cartes del jugador i del crupier. El jugador guanyarà si la

suma de les seves cartes s‟apropa més a 21 que la del crupier o si no es passa.

En el blackjack s‟utilitza una baralla de pòquer formada per 52 cartes i on cada carta té

un valor propi. Les figures (J, Q i K) i el deu valen deu punts, les cartes del dos al nou

valen el que indica cada carta, és a dir, el dos val dos punts, el tres val tres punts, i així

successivament, per últim tenim l‟as que pot valer tant un com onze punts, segons

vulgui el jugador.

En el joc del blackjack també es poden fer diferents apostes. Si resulta que en iniciar-se

el joc el jugador rep dues cartes idèntiques (amb el mateix número) pot separar-les i

jugar dues mans diferents. Una altra tipus d‟aposta és l‟aposta doble en que després de

rebre les dues primeres cartes pots doblar l‟aposta realitzada a l‟inici del joc, però

només podrà rebre una carta més. Per últim, hi ha una aposta anomenada assegurança en

la que si la carta descoberta del crupier és un as el jugador pot apostar que la carta que

es troba de cap per avall és un deu o una figura.

Si resulta que un jugador empata amb el crupier,és a dir, obtenen la mateixa puntuació,

aquest rebrà la mateixa quantitat que havia apostat. D‟altra banda, si el jugador obté un

blackjack (la suma de les seves cartes és igual a 21) rebrà el 1,5 de la seva aposta.

Per últim, només cal dir que el crupier haurà d‟anar descobrint cartes fins que la suma

de les seves cartes sigui 17 o més.

Aleshores, com és que el casino guanya constantment, si sembla que totes les normes

afavoreixen al jugador? El casino mai perd, perquè sempre que un jugador es passi (que

la suma de les seves cartes sigui major que 21) perdrà, tingui el crupier les cartes que

tingui.

Imaginem que ens trobem jugant al blackjack en un casino i que en iniciar-se el joc ens

toca un deu o una figura (J, Q, K) i una de les tretze cartes que formen cada pal de la

baralla. Si decidim demanar una carta més al crupier quina és la probabilitat que ens

passem i que, per tant, perdem la partida? Per calcular aquestes probabilitats s‟ha de

tenir en compte que els casinos utilitzen moltes baralles juntes i que, per tant, qualsevol

carta, de l‟as al rei, té la mateixa probabilitat de sortir. Les cartes que ja han sortit no es

tindran en compte a l‟hora de calcular les probabilitats i que els casos possibles són les

tretze cartes que et poden sortir quan demanis una carta.


25

Amb un deu o una figura i un dos:

10 o figura + 2 = 12

Amb un deu o una figura i un tres:

10 o figura + 3 = 13

Amb un deu o una figura i un quatre:

10 o figura + 4 = 14

Amb un deu o una figura i un cinc:

10 o figura + 5= 15

Amb un deu o una figura i un sis:

10 o figura + 6 = 16

Amb un deu o una figura i un set:

10 o figura + 7 = 17

Amb un deu o una figura i un vuit:

10 o figura + 8 = 18

El número 4 fa referència a les

cartes que faran que et passis de

21 si resulta que en vols

demanar una altra. Aquestes

cartes són el deu i les tres

figures. Un total de quatre

cartes.

En aquest cas, les cartes que

faran que et passis són el nou, el

deu i les tres figures, és a dir, un

total de cinc cartes.

Les cartes que faran que et

passis són el vuit, el nou, el deu

i les tres figures, per tant, un

total de sis cartes.

Si resulta que tens un deu o una

figura i un cinc i demanes una

altra carta, les que faran que et

passis seran el set, el vuit, el

nou, el deu i les tres figures. Un

total de set cartes.

En aquest cas, les cartes que

faran passar-te són el sis, el set,

el vuit, el nou, el deu i les tres

figures, és a dir, un total de vuit

cartes.

Les cartes que provocaran que

et passis són el cinc, el sis, el

set, el vuit, el nou, el deu i les

tres figures, és a dir, un total de

nou cartes.

Si en iniciar-se el joc et surt un

deu o una figura i un vuit i vols

demanar una altra carta, les que

faran que et passis seran el

quatre, el cinc, el sis, el set, el

vuit, el nou, el deu i les tres

figures. Per tant, un total de deu

cartes.


26

Amb un deu o una figura i un nou:

10 o figura + 9 = 19

Amb un deu o una figura i un deu:

10 o figura + 10 = 20

Amb un deu o una figura i un as (comptat com un onze):

10 o figura + as= 21

Vistos els resultats, podem deduir que si la suma de les nostres cartes no és inferior a 15

tenim més del 50 % de possibilitats de passar-nos i, per tant, de perdre si demanen una

altra carta. Però no hem de jugar només amb les nostres cartes sinó que també ho hem

de fer amb les del crupier, ja que depenent de quina carta sigui la que tingui de cap per

amunt demanarem una carta més o ens plantarem.

Segons les normes dites anteriorment el repartidor haurà d‟anar traient cartes fins que la

seva suma sigui 17 o més, per tant, calcularem quina és la probabilitat que obtingui 17,

18, 19, 20, 21 o que es passi observant quina és la seva primera carta.6

Primera

carta

17 18 19 20 21 Passar-se

As 13,41 % 13,41 % 13,41 % 13,41 % 36,48 % 9,89 %

2 14,64 % 14,03 % 13,37 % 12,66 % 11,90 % 33,41 %

3 14,16 % 13,59 % 12,98 % 12,32 % 11,61 % 35,33 %

4 13,68 % 13,15 % 12,60 % 11,97 % 11,31 % 37,32 %

5 13,19 % 12,70 % 12,17 % 11,61 % 10,99 % 39,33 %

6 12,48 % 12,03 % 11,54 % 11,01 % 10,44 % 42,50 %

7 38,50 % 9,51 % 9,05 % 8,56 % 8,03 % 26,34 %

8 14,31 % 37,39 % 8,39 % 7,94 % 7,45 % 24,52 %

9 13,28 % 12,28 % 36,36 % 7,36 % 6,91 % 22,82 %

10 o figura 12,31 % 12,31 % 12,31 % 35,39 % 6,39 % 21,28 %

6 Quadre extret del llibre A cara o cruz, ROSENTHAL, Jeffrey S. El càlcul d‟aquests percentatges es

troba en l‟annex 3.

En aquest cas, les cartes que faran

que et passis són el tres, el quatre,

el cinc, el sis, el set, el vuit, el nou,

el deu i les tres figures, és a dir, un

total d‟onze cartes.

Les cartes que faran que et passis

són el dos, el tres, el quatre, el

cinc, el sis, el set, el vuit, el nou, el

deu i les tres figures, és a dir, un

total de dotze cartes.

En aquesta situació, les cartes que

provocaran que et passis són l‟as,

el dos, el tres, el quatres, el cinc, el

sis, el set, el vuit, el nou, el deu i

les tres figures, és a dir, un total de

tretze cartes. En aquest cas, al tenir

una suma de 21 no cal demanar

més cartes.


27

Després d‟haver examinat detingudament el quadre podem observar que les cartes amb

les que podem obtenir més fàcilment 17, 18, 19, 20 i 21 són, respectivament, la 7, la 8,

la 9, la 10 i l‟as. Això és a causa que amb una de les cinc cartes dites anteriorment i un

deu o una de les tres figures és més probable obtenir 17, 18, 19, 20 i 21 que amb una

altra carta qualsevol.

D‟altra banda, l‟as és la carta amb la que el crupier té menys probabilitats de passar-se

ja que pot valer tant un com onze punts. I la carta que farà que el repartidor es passi més

fàcilment és la carta 6, perquè si es combina amb qualsevol de les 13 cartes de la baralla

mai passarà de 17 i, per tant, haurà de tornar a demanar una altra carta. El fet d‟haver de

demanar una tercera carta fa que tingui més probabilitats de passar-se que amb

qualsevol de les altres cartes.

Un cop vist les probabilitats visualitzant les nostres cartes i les del crupier posem un

exemple per veure quina és la nostra probabilitat de guanyar.

Suposem que al començar la partida et donen un deu i un quatre, la suma de les quals és

catorze, i la primera carta del crupier és un sis. Com hem vist abans, si demanes una

altra carta la probabilitat de passar-te és del 46,15 %, ja que les cartes que et faran

passar-te seran un 8, un 9, un 10 o una de les tres figures. Per tant, si demanes una carta

les probabilitats de passar-te dependran d‟aquesta carta, tal i com mostra la taula

següent:7

Següent carta Probabilitat Total Probabilitat de guanyar Probabilitat

d‟empatar

As 1/13 15 42,50 % 0 %

2 1/13 16 42,50 % 0 %

3 1/13 17 42,50 % 12,48 %

4 1/13 18 42,50 + 12,48 = 54,98 %

12,03 %

5 1/13 19 54,98 + 12,03 = 67,01 % 11,54 %

6 1/13 20 67,01 + 11,54 = 78,55 % 11,01 %

7 1/13 21 78,55 + 11,01 = 89,56 % 10,44 %

8 1/13 22

9 1/13 23

10/figura 4/13 24

Total 32,12 % 4,42 %

La taula indica que la probabilitat total de guanyar si demanes una altra carta és del

32,12 % amb una probabilitat addicional del 4,42 % d‟empatar.

Per la seva part, el crupier comença amb un sis, que és una carta dolenta. I sabem,

gràcies a la taula anterior (la de la probabilitat que el crupier obtingui 17, 18, 19, 20, 21

o que es passi observant quina és la seva primera carta) que té una probabilitat de

passar-se del 42,50 %. Per tant, si ens plantem amb el deu i el quatre tenim una elevada

probabilitat de guanyar (42,50 % de guanyar), enfront del 32,12 % si demanem una altra

carta. Inclús amb la probabilitat d‟empatar només tindríem una probabilitat de guanyar

del 36,54 % demanant una altra carta.

Per tant, depenent de les cartes que ens hagin repartit en començar el joc i de la carta

descoberta del crupier podem saber si és millor plantar-nos o demanar una altra carta, és

a dir, tenim un petit avantatge enfront de la banca.

7 Quadre extret del llibre A cara o cruz, ROSENTHAL, Jeffrey S. El càlcul d‟aquests percentatges es

troba en l‟annex 4.


28

5. Exemples del càlcul de probabilitats a les pel·lícules

5.1 21: BLACKJACK

Argument

En Ben Campbell és un noi que està a punt de llicenciar-se en el MIT (“Massachusetts

Institute of Technology”, Institut Tecnològic de Massachusetts ) i que vol entrar a la

facultat de medicina de Harvard, però necessita pagar més de 300.000 dòlars per poder

accedir-hi. Un dia, però, la seva sort canvia. És reclutat clandestinament pel seu

professor d‟estadística per anar a jugar al blackjack a Las Vegas, desbancar la banca i

guanyar una gran suma de diners. En Ben és ensinistrat pel seu professor, Mike Rosa,

en l‟art de comptar cartes. Aquest equip de brillants estudiants té un mètode infalible

per no ser descoberts pels casinos. Les paraules són números, per exemple dolç significa

+16. I utilitzen diferents signes, com per exemple, per indicar que la baralla està calenta

(significa que és el moment de fer grans apostes, ja que és quan es pot guanyar a la

banca) es creuen els braços per darrera del cos, o per dir que la baralla es refreda (hi ha

més probabilitats de perdre per al jugador) es toquen el front o, per informar que s‟ha

d‟abandonar el joc es toquen el cabell. L‟equip esta compost per un gran jugador, qui fa

les grans apostes, i els observadors que són els que realitzen apostes baixes i porten el

compte de les cartes fins que la taula es calenta.

Quan creuen que en Ben ja està preparat decideixen anar-se‟n a Las Vegas. La primera

nit en els casinos, en Ben i els seus companys d‟equip aconsegueixen desbancar-los

gràcies al simple fet de comptar cartes. Després d‟aquesta nit en Ben assaborirà el poder

de guanyar més diners dels que pogués haver somniat. Però aquesta espiral en què s‟ha

introduït el portarà a distanciar-se dels seus millors amics i a perdre tots el diners a

causa de la seva avarícia. En Ben, dolgut, torna a casa i es troba que li han robat tots els

diners que havia guanyat, no l‟han llicenciat en el MIT i no l‟han admès a la facultat de

medicina de Harvard. Ho ha perdut tot. Per això decideix proposar al seu antic

professor, Mike, tornar a formar el grup de blackjack on ell hi participaria. Viatgen a

Las Vegas, arriben al casino i comencen a jugar. Però enmig d‟una partida són sorpresos

per en Cole Williams, l‟encarregat de la seguretat del casino, i en Ben i els seus amics

han de fugir. Resulta, però, que en Ben havia fet anteriorment un tracte amb el Cole per

atrapar a en Mike i els deixa que se‟n vagin a canvi de les fitxes que havien guanyat

durant la partida de blackjack.

Finalment en Ben es llicencia al MIT i torna a poder intentar accedir a la facultat de

medicina de Harvard.

Aquesta història està basada en el llibre anomenat “Bringing Down the House: The

Inside Story of Six MIT Students Who Took Vegas for Millions” de Ben Mezrich, que

alhora està basat (amb alguns trets ficticis) en una història real sobre uns estudiants del

MIT que comptaven cartes i que van guanyar al voltant de 5 milions de dòlars en

diferents casinos a la dècada dels anys 90. Aquest grup d‟estudiants era denominat

equip de Blackjack del MIT.

http://es.wikipedia.org/wiki/D%C3%B3lar_estadounidense


29

Part probabilística de la pel·lícula8

En la pel·lícula “21: blackjack” apareixen dos aspectes referents a la probabilitat. El

primer que es presenta fa referència al problema de Monty Hall o, com diuen en la

pel·lícula, el problema del presentador de concursos. I el segon, i a partir del qual es

basa tota la pel·lícula, és la probabilitat que tens de guanyar a la banca comptant cartes.

L‟escena on es parla del problema de Monty Hall es desenvolupa quan en Ben es troba a

la classe amb el seu professor d‟estadística. Aquest li explica el problema dient-li que el

presentador del concurs li demana que elegeixi una de les tres portes darrera de les quals

hi ha un cotxe nou i dues cabres. Aleshores en Ben li diu que tria la porta número 1. A

continuació el professor li diu que el presentador, que sap on es troben les cabres i el

cotxe, decideix obrir la porta número 3, on hi ha una cabra, i li pregunta a en Ben si vol

seguir amb la mateixa porta o si vol canviar-la per

la número dos. El problema el resol de la següent

manera: en un principi tenia un 33.3 % d‟encertar

la porta correcta, però quan el presentador ha

obert una de les dues portes que no havia escollit i

ha pogut tornar a triar una de les portes la

probabilitat que s‟emporti el cotxe ha augmentat

fins al 66.7 %.

Per tant, es pot observar que, encara que no s‟especifiqui que es fa a partir de la

probabilitat condicionada tal i com s‟ha vist en l‟apartat de deduccions errònies del

càlcul de probabilitats, el resultat de la probabilitat de canviar de porta és el correcte.

L‟altre aspecte que apareix en la pel·lícula és el fet de comptar cartes.

El mètode, utilitzat en el joc de cartes del blackjack, et permet saber quina és la

probabilitat d‟obtenir cartes favorables al jugador i cartes favorables al crupier.

Les cartes favorables al jugador seran les que tinguin un valor més elevat (10, J, Q, K i

as) i les cartes favorables al crupier seran aquelles que posseeixin un valor més baix (2,

3, 4, 5 i 6). Les cartes amb un valor baix són favorables al crupier, perquè ha de seguir

demanant cartes fins que la seva suma sigui 17 o més sense passar-se, és a dir, el que

intenta el repartidor és apropar-se tant com pugui a 21 i, les cartes amb un valor baix li

permeten dur a terme aquest objectiu sense el temor que es passi, ja que sinó el jugador

podria guanyar. Per altra banda, les cartes elevades són propícies per al jugador perquè

li permet sumar 21 o apropar-s‟hi moltíssim.

A més a més, sabent les cartes que han sortit en el joc es poden saber quines són les

cartes que encara queden a la baralla. Perquè, si prenen com a referència una sola

baralla, un cop s‟han repartit totes les cartes el compte d‟aquestes hauria de ser igual a

zero.

8 L‟explicació teòrica del joc del blackjack es troba explicada en l‟apartat 5.3.2 del treball de recerca.


30

Valor de cada una de les cartes de la baralla:

Del 2 al 6 valor de +1

Del 10 al as valor de -1

Del 7 al 9 valor de 0 (neutre)

Si resulta que al cap d‟un temps el compte es troba en +15 significa que han sortit

moltes cartes amb un valor petit i poques amb un valor elevat. Això vol dir que en les

pròximes jugades és més probable que surtin més cartes elevades (amb un valor de -1) i,

per tant, són jugades més favorables per al jugador ja que les cartes elevades faran que

el crupier es passi. En canvi, si resulta que el compte es troba en -5 equival a dir que en

les jugades anteriors han sortit més cartes amb un valor de -1 (10, J, Q, K i as) que amb

un valor de +1 (2, 3, 4, 5, 6). Per tant, és més probable que el crupier guanyi més cops

que el jugador, ja que les cartes que es troben en la baralla són més favorables per al

crupier.

Aquest mètode, inventat pel professor Edward O. Thorp (1932- ) i anomenat Hi-Lo, va

aparèixer per primer cop al 1962 en el llibre anomenat “Beat the dealer”. La publicació

d‟aquest llibre va ser tot un èxit ja que demostrava que el blackjack no era un joc on

actués l‟atzar al 100 %. A més a més, va provocar que la por s‟apoderés dels casinos

d‟Estats Units a causa que pensaven que tota la població podria utilitzar aquest mètode

per guanyar sempre i desposseir de diners totes les seves arques. Per això van adoptar

un seguit de contramesures. Com per exemple, tal i com mostra la pel·lícula, hi ha un

moment en que en Ben és descobert comptant cartes, se l‟emporten per donar-li una

pallissa i després el treuen del casino. Aquesta és una de les mesures més brutals. Però

n‟hi ha d‟altres, com per exemple, fent servir més baralles, o posant una carta d‟un altre

color en les baralles, cosa que provoca que el crupier hagi de tornar a barallar les cartes i

que el jugador hagi de tornar a començar el compte de les cartes.

Posem, per entendre millor aquest mètode, un exemple que surt a la pel·lícula 21

blackjack:

En el joc hi participen dos jugadors (que en la pel·lícula corresponen a un gran

jugador i a un observador). El compte es troba en +16, això vol dir que les pròximes

jugades seran favorables per al jugador.

Comença el joc i la primera carta que reparteixen al

primer jugador és un 8, per tant, el compte segueix en

+16.

A continuació, reparteixen una primera carta al segon

jugador. Resulta que aquesta carta és un deu que té un

valor de -1, per tant, ara el compte es troba en +15.


31

Tot seguit el crupier reparteix una segona carta al

primer jugador que resulta ser un 8, per tant, el compte

segueix en +15.

Després d‟això el crupier reparteix una segona carta

al segon jugador. Aquesta carta resulta ser un 9, per

tant, el compte segueix estant en +15.

Aleshores el crupier es reparteix a si mateix dues

cartes, una carta boca amunt i l‟altra boca avall. La

carta que s‟observa és un 5, per tant, el compte es

troba en +16.

A continuació, el primer jugador decideix separar els

dos vuits. Al separar els dos vuits el jugador podrà

rebre només una carta més per cada 8, és a dir, el

crupier només li podrà repartir dues cartes més.

Tot seguit el crupier reparteix al primer jugador una

carta més per a cada un dels dos vuits. La primera

carta és una J i la segons és un 10. Per tant, el compte

es troba en +14.

El segon jugador es queda amb les cartes que tenia, és

a dir, no demana més cartes.

Per últim el crupier aixeca la seva segona carta i

resulta ser una K, per tant, el compte es troba en +16.

Però com que la suma de les seves cartes és menor

que 17 se n‟ha de repartir una altra.

Aquesta carta resulta ser un 9. Per tant, el compte

segueix en +13.

A l‟acabar el joc, la suma de les cartes dels dos jugadors són 18 i 18, pel que fa al

primer jugador, i 19 pel que fa al segon. En canvi, la suma de les cartes del crupier és

24. Per tant, gràcies al mètode de comptar cartes els dos jugadors han pogut apropar-se

molt a 21, mentre que el crupier s‟ha passat.


32

5.2 Rosencrantz i Guildenstern han mort

Argument

Rosencrantz i Guildenstern són dos personatges secundaris de “Hamlet” (de William

Shakespeare) que són requerits per la reina de Dinamarca i el seu futur marit per curar

els mals que pateix Hamlet, el príncep de Dinamarca. Durant el camí Rosencrantz troba

una moneda i comença a llançar-la. Resulta que, en contra del que diuen les lleis de la

probabilitat, sempre surt cara. Posteriorment els dos personatges protagonistes es creuen

amb un grup de còmics amb els quals realitzen una aposta a favor que al tirar la moneda

sortirà cara, però en contra de tots els pronòstics surt creu.

Tot seguit, el dos aventurers arriben al palau del príncep de Dinamarca, Hamlet, que és

el seu amic i intenten, mitjançant diversos mètodes, saber perquè es troba tan trist.

Durant l‟estada de Rosencrantz i Guildenstern al palau es troben un altre cop amb els

còmics amb els que havien realitzat una aposta que vénen al palau per millorar l‟estat de

Hamlet. Per poder obtenir el seu objectiu, representen una obra en la qual es veu com el

rei és mort pel seu germà i com aquest es casa amb la vídua per arribar a ser rei. Enmig

de l‟obra, el rei, entenent el que s‟estava representant, s‟aixeca enfadat de la cadira i

marxa fent crits de la representació. Intuint que Hamlet s‟hagués adonat del que havia

fet per ser rei, l‟envia cap a Anglaterra amb el dos protagonistes, Rosencrantz i

Guildenstern.

Finalment, Rosencrantz, Guildenstern i Hamlet es troben en el vaixell rumb cap a

Anglaterra on els dos primers porten una carta escrita pel rei que diu que a Hamlet, li

han de tallar el cap. Hamlet se n‟assabenta del que diu la carta i la canvia per una altra

en la que diu que els que han de morir són Guildenstern i Rosencrantz. Al finalitzar la

pel·lícula es pot observar que Hamlet i el rei (oncle de Hamlet) moren en un duel amb

espases, mentre que Rosencrantz i Guildenstern moren finalment penjats mitjançant una

soga.

Part probabilística de la pel·lícula

Al començar la pel·lícula, Rosencrantz troba una moneda en el camí i la recull.

Comença a llençar-la a l‟aire i resulta que les 20 primeres vegades surt cara. A

continuació, mentre els dos protagonistes prossegueixen el seu camí, Rosencrantz la

continua tirant, però resulta que sempre surt cara. Al parar-se per descansar i menjar

Rosencrantz i Guildenstern discuteixen sobre l‟estrany fenomen que al tirar la moneda

sempre surti cara. Segons Guildenstern, “Estamos

ante fuerzas sub o sobrenaturales”. A més a més,

dóna una raó per la qual al tirar la moneda sempre

surt cara: “El tiempo se detuvo. La experiencia de

arrojar una moneda una vez, se repitió 156 veces.

[…] O una espectacular prueba del principio de que

cada moneda lanzada al aire tiene las mismas

probabilidades de caer cara o cruz y por eso no debe

sorprender cada vez que lo hace”. Durant la seva aventura tiren la moneda unes 157

vegades, de les quals 157 surt cara. Però resulta que es troben amb uns còmics, els


33

quals, a canvi d‟unes monedes, els volen representar una obra. Guildenstern, una mica

enfadat pel tracte que ha rebut dels còmics, decideix apostar amb el seu cap què sortirà

si tira la moneda. Aquest li diu que sortirà cara i, aleshores, Guildenstern, veient que

perdrà, se‟n va. Rosencrantz torna a tirar la moneda a l‟aire, però en contra del que

havia passat anteriorment surt creu. Per tant, de les 158 vegades que han tirat la moneda

157 han sortit cara i 1 ha sortit creu.

La idea que de les 157 vegades que es tira la moneda, totes surten cara es pot rebatre

fàcilment gràcies a la llei dels grans nombres, ja que aquesta diu que la freqüència

relativa d‟un experiment tendeix a estabilitzar-se cap a una constant quan el nombre de

proves de l‟experiència esdevé molt gran. En aquest cas la constant correspon al 50 %.

És a dir, si es tira una moneda n vegades, aproximadament la meitat de les ocasions

sortirà cara i l‟altre meitat sortirà creu. Aquest pensament també apareix en la pel·lícula

quan Guildenstern diu “La ley de las probabilidades, si no me equivoco, dice que si

arrojas al aire a seis monos, caerán de cola tan a menudo como caerán de… […] cara

(respon Rosencrantz)”.

El fet que totes les vegades que Rosencrantz tira la moneda a l‟aire surti cara

(exceptuant l‟última tirada) és quasi impossible, com s‟ha dit anteriorment a causa del

que afirma la llei dels grans nombres. Aquest fet és perfectament comprovable amb la

simple experiència de llançar a l‟aire una moneda n vegades.

En aquest cas s‟ha llançat la moneda deu vegades, després vint, després trenta i així

successivament fins un total de 2100 vegades:

Nombre de vegades 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Cara 4 10 17 20 26 34 39 35 47 54

Creu 6 10 13 20 24 26 31 45 43 46


Cara 55 59 67 70 75 79 84 89 96 101

Creu 55 61 63 70 75 81 86 91 94 99

A continuació he calculat les freqüències relatives i absolutes de l‟esdeveniment obtenir

cara i de l‟esdeveniment obtenir creu.


freqüència absoluta cara 4 10 17 20 26 34 39 35 47 54

freqüència relativa cara 0,40 0,50 0,56 0,50 0,52 0,56 0,55 0,43 0,52 0,54

freqüència absoluta creu 6 10 13 20 24 26 31 45 43 46

freqüència relativa creu 0,60 0,50 0,43 0,50 0,48 0,43 0,44 0,56 0,47 0,46


34


freqüència absoluta cara 55 59 67 70 75 79 84 89 96 101

freqüència relativa cara 0,50 0,49 0,51 0,50 0,50 0,49 0,49 0,49 0,50 0,505

freqüència absoluta creu 55 61 63 70 75 81 86 91 94 99

freqüència relativa creu 0,50 0,50 0,48 0,50 0,50 0,50 0,50 0,50 0,49 0,495

Per últim, he plasmat en un gràfic els resultats obtinguts en llançar a l‟aire la moneda.

Com es pot veure en el gràfic, com més vegades es llença la moneda a l‟aire més

s‟apropa la freqüència relativa a 0,500, és a dir, s‟estabilitza; tal i com diu la llei dels

grans nombres.

Encara que, com s‟ha vist anteriorment, el fet de llançar la moneda a l‟aire 158 vegades,

i que d‟aquestes 158 les 157 primeres vegades surtin cares sigui un fet bastant

improbable no vol dir que no sigui possible. La probabilitat que succeeixi això és la

següent:

També cal esmentar que és possible que la moneda que els protagonistes llencen al llarg

de la pel·lícula sigui defectuosa pel que fa al repartiment homogeni de la massa o del

pes. En aquest cas, els resultats obtinguts al tirar aquesta moneda a l‟aire un nombre de

vegades no complirien el que diu la llei dels grans nombres, és a dir, que la freqüència

relativa de l‟experiment de llançar a l‟aire 158 vegades no s‟aproparia al 50 %.

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

freqüència

relativa

cara

freqüència

relativa

creu


35

5.3 EL CAÇADOR

Argument

La història comença amb l‟amistat de sis amics, en Michael, l‟Stan, l‟Steven, en Nick,

en John i l‟Axel. Un d‟ells, l‟Steven, es casa amb Àngela just abans que tres dels sis

amics, en Michael, en Nick i ell mateix es dirigeixin a lluitar com a voluntaris en la

guerra del Vietnam.

Durant la guerra els tres amics són capturats per uns soldats vietnamites que els

obliguen a jugar a un joc d‟atzar anomenat la ruleta russa. Mentre ells intenten no morir

els soldats aposten qui serà, dels dos presoners que juguen, el que morirà. Finalment,

quan els toca jugar a en Michael i a en Nick, aconsegueixen matar als responsables de la

seva captura i escapar-se d‟aquell lloc a través del riu juntament amb l‟Steven. Mentre

els tres es troben al riu són rescatats per un helicòpter, però només puja en Nick, ja que

els altres dos cauen a l‟aigua i, encara que sobreviuen, l‟Steven es trenca les dues cames

al caure sobre unes roques. En Michael el treu del riu i els porta fins un camí on uns

policies vietnamites el socorren. Mentre passa això en Nick es traslladat a un hospital on

es va recuperant físicament però no psicològicament, ja que el temps que van estar tos

tres capturats els ha afectat d‟una manera brutal.

Quan en Michael torna a Amèrica es troba distant amb els seus amics a causa de les

greus seqüeles que li deixat la guerra. Mentre en Michael està amb els seus amics

s‟assabenta que l‟Steven ha tornat a casa i decideix anar a veure‟l. En Michael li diu que

ha de tornar a casa, però l‟Steven no vol tornar perquè sent que no serveix per res a

causa que l‟amputació de les cames que li han hagut de fer. A més a més, l‟Steven li diu

que algú, a qui no coneix, li envia unes figures d‟elefants i molts diners des d‟una ciutat

del Vietnam anomenada Saigon. En Michael, que sospita que és en Nick, decideix

tornar a Saigon per portar el seu amic a casa, a Pennsylvania. En Michael troba el seu

amic en una casa on es juga a la ruleta russa. Intenta treure‟l d‟allà però no ho

aconsegueix. Finalment decideix enfrontar-se a en Nick en el joc de la ruleta russa per

fer-lo entrar en raó, però resulta fatal, ja que en un moment de l‟enfrontament en Nick

es posa el revòlver al cap, apreta el gatell i mor. En Michael, tal i com havia promès,

porta el cos d‟en Nick a Pennsylvania on serà enterrat pels seus amics.

Part probabilística de la pel·lícula

La ruleta russa és un joc d‟atzar letal en el qual competeixen dos jugadors per la seva

vida o per guanyar diners.

En iniciar-se el joc, la persona que dirigeix el joc agafa una bala i la introdueix dins

d‟un dels sis llocs buits de la recambra del revòlver. Tot seguit gira el tambor i el tanca

ràpidament sense que cap dels dos jugadors pugui veure on es troba la bala. A

continuació un dels dos jugadors es posa la boca del canó del revòlver apuntant el cap i

dispara. Si la bala no surt, el joc continua i, aleshores, li toca disparar-se a l‟altre

jugador. Si resulta que la bala tampoc es dispara li torna a passar el revòlver al primer

jugador, i així successivament fins que la bala es dispari i mori algun dels dos jugadors.

Hi ha una escena de la pel·lícula on en Michael i en Nick juguen a la ruleta russa.

Aquesta escena es produeix quan en Michael torna al Vietnam per portar a casa en Nick.


36

Però resulta que aquest últim es troba en una casa d‟apostes on es juga a la ruleta russa.

En Michael intenta fer-lo entrar en raó però no ho aconsegueix i s‟enfronta a ell en el

joc de la ruleta russa. En aquesta, cada cop que un dels dos jugadors es dispara, la

persona que organitza el joc (com un crupier en un joc de cartes) treu la bala d‟on

estava, la torna a introduir en un lloc diferent de la recambra i torna a girar el tambor.

Això fa que cada vegada que un jugador es dispara té

de probabilitats que la bala es

dispari. El que vull calcular és si hi ha cap diferència, pel que fa a la probabilitat que la

bala es dispari, entre l‟escena on es passen el revòlver sense que es tregui la bala i es

torni a donar voltes el tambor i l‟última escena on passa tot el contrari.

Probabilitat que la bala surti el segon cop que es dispara (amb una sola bala):

Probabilitat que la bala surti el tercer cop que es dispara (amb una sola bala):

Probabilitat que la bala surti el quart cop que es dispara (amb una sola bala):

Probabilitat que la bala surti el cinquè cop que es dispara (amb una sola bala):

Probabilitat que la bala surti el sisè cop que es dispara (amb una sola bala):

Dels resultats anteriors podem concloure que la probabilitat que es mati el primer

jugador és la següent:

El número tres correspon als torns en els quals li toca disparar-se, i

correspon a la

probabilitat que la bala surti disparada en cada un dels tres torns.

I la probabilitat que es mati el segon jugador és la següent:

El número tres correspon als torns en els quals li toca disparar-se, i

correspon a la

probabilitat que la bala surti disparada en cada un dels tres torns.


37

Per tant, és el mateix ser el primer jugador en disparar-se que el segon, ja que tots dos

tenen les mateixes probabilitats que la bala surti disparada i que el jugador es mori.

En relació amb el dilema plantejat anteriorment de si hi havia cap diferència en el fet

que es giri el tambor del revòlver un cop que un dels dos jugadors s‟ha disparat o si, pel

contrari, no es gira, només cal dir que no hi ha cap diferència. Perquè la probabilitat

quan es gira el tambor és de:

Número de bales = 1 (casos favorables)

Número total de llocs de la recambra del revòlver = 6 (casos possibles)

I la probabilitat quan no es gira el tambor, com s‟ha vist anteriorment quan he calculat

la probabilitat que la bala es dispari en el segon, tercer, quart, cinquè o sisè cop és

sempre de

.

Per tant, el fet de girar o no el tambor del revòlver quan un dels dos jugadors ha pitjat el

gatell no condiciona la probabilitat que la bala es dispari.

D‟altra banda, ens podem formular la següent pregunta: quantes vegades es podrà jugar

a la ruleta russa en el cas que quan un jugador ha apretat el gatell es canvia la bala de

lloc i es gira el tambor del revòlver i en el cas que no es canviï de bala ni es giri el

tambor?

En el primer cas, les vegades que es podran jugar seran infinites, mentre que la bala no

surti. I en el segon cas el número màxim de vegades que es podrà jugar serà de sis abans

que la bala surti, perquè només hi ha sis llocs del revòlver on la bala pot estar-hi, és a

dir, en aquest cas només es podran realitzar sis jugades abans que la bala surti, ja que en

la sisena jugada, si la bala no ha sortit abans, serà la jugada mortal.

És possible que molta gent que sap com es jugada a la ruleta russa o que hagi llegit les

explicacions anteriors pensi que només es pot donar en la ficció, com per exemple en la

pel·lícula de “El caçador”. Però resulta que al març de 2010, en una boda russa, quan es

disposaven a brindar i a recitar els discurs, un convidat

treu una arma suposadament descarregada i amb més

convidats comença a jugar a la ruleta russa. Primer es va

disparar ell i tot seguit va passar la pistola a un convidat.

Resulta que quan aquest va disparar una bala de goma va

sortir de la pistola i va impactar contra el crani d‟aquest

segon convidat. L‟home va ser ingressat a un hospital

amb greus danys cerebrals i amb un pronòstic greu.9

9 Noticia extreta de la web

http://www.telecinco.es/informativos/internacional/noticia/100017662/El+juego+de+la+ruleta+rusa+ac

aba+en+tragedia+en+una+boda

http://www.telecinco.es/informativos/internacional/noticia/100017662/El+juego+de+la+ruleta+rusa+acaba+en+tragedia+en+una+boda



38

6. Enquestes

La mostra seleccionada per realitzar aquesta enquesta es divideix en tres franges d‟edat.

La primera franja corresponen a un total de 52 alumnes de segon de l‟ESO, la segona

correspon a 54 alumnes de primer de batxillerat i, per últim, la tercera franja correspon a

32 persones adultes. A cada persona li vaig fer diverses preguntes sobre tres aplicacions

del càlcul de probabilitats: el joc dels dotze cavalls, el problema de Monty Hall i la

loteria.

Cal dir també que per poder realitzar l‟enquesta calia complir el següent requisit: les

persones l‟havien de realitzar en un interval màxim de trenta minuts, ja que volia que

aquestes posessin en pràctica la seva intuïció sense haver de realitzar cap càlcul de

probabilitats ni cap consulta a Internet o a un altre suport d‟informació.

Primer, analitzaré els resultats de cada franja d‟edat per separat i, després, compararé

tots els intervals d‟edat per saber les diferències que hi poden haver.

6.1 Alumnes de segon de l’ESO

6.1.1 Joc dels dotze cavalls10

Conclusions

Després d‟haver analitzat els dos gràfics anteriors es pot dir que molts dels alumnes de

segon de l‟ESO que van ser enquestats tenen una percepció errònia de la probabilitat,

perquè han dit que el cavall que té més probabilitats de guanyar és el 6 o el 8 i no el 7,

que és el que en realitat té més probabilitats de guanyar.

10

La resolució d‟aquest problema es troba en l‟annex 2.

46%

42%

12%

Per què ha triat aquest

cavall?

L'he triat a

l'atzar

Té més

probabilitats

de guanyar

No sap/no

contesta

1 3 1 2

4

9 8

9

6

4

2 3

0

2

4

6

8

10

Quin creu que és el cavall guanyador?


39

6.1.2 Monty Hall11

Conclusions

En aquest gràfic es pot veure clarament que la majoria dels alumnes de dotze i tretze

anys tenen una percepció errònia, ja que pensen que a l‟haver-hi al final del concurs

dues portes el percentatge de guanyar el cotxe és del 50 %, encara que no és així, perquè

si canvies de porta el percentatge de guanyar el cotxe és del 66,6 %.

6.1.3 Loteria12

Conclusions

Després d‟observar els dos gràfics es pot deduir que la majoria dels alumnes no tenen

una percepció errònia de la probabilitat, ja que diuen al trobar-se tots els números en el

bombo tots tenen les mateixes probabilitats de sortir i, a més a més, el que hagi tocat els

anys anteriors no condiciona el que toqui aquest any. També es pot observar que la

majoria no creu que sigui més favorable comprar en un establiment de loteria on l‟any

passat hagi tocat la grossa. En tot cas, la probabilitat que toqui en un establiment on

l‟any anterior va tocar la grossa augmenta perquè es venen més bitllets de loteria, però

això no t‟afavoreix a tu sinó que afavoreix a l‟establiment.

11

La resolució d‟aquest problema es troba en l‟apartat 3.2 del treball de recerca. 12

L‟explicació de la loteria es troba en l‟apartat 4.1 del treball de recerca.

13%

12%

75%

Quan creu que és més probable guanyar el cotxe?

Si no canvio tinc més probabilitas de

guanyar

Si canvio tinc més probabilitas de

guanyar

Tinc les mateixes probabilitats si

canvio de porta que si no

4%

21%

75%

Si els dos últims anys la grossa de la loteria de

Nadal ha acabat en 7 que creu que passaria

amb la d'aquest any?

Aquest any és més

probable que la loteria

acabi en 7

Aquest any és més


acabi en 3

És igual de probable

que acabi en 3 que en 7

33%

67%

Creu que és més favorable

comprar loteria en un

establiment on l'any passat

va tocar la grossa?

Sí

No


40

6.2 Alumnes de primer de batxillerat

6.2.1 Joc dels dotze cavalls

Conclusions

En el cas dels alumnes de primer de batxillerat només el 53,70 % dels enquestats tenen

una bona percepció de la probabilitat, ja que creuen que el cavall que té més

probabilitats de guanyar és el número set. De tota manera, hi ha un considerable número

de gent que creu que el cavall que ha triat, i que no és el correcte, és el que té més

probabilitats de guanyar, aproximadament un 36 %, i això demostra que no tenen una

percepció correcta del càlcul de probabilitats.

6.2.2 Monty Hall

Conclusions

Després d‟haver observat el gràfic es pot dir que bastant més de la meitat dels alumnes

enquestats de quinze i setze anys tenen, en aquest cas, una percepció errònia de la

probabilitat, ja que s‟equivoquen al dir que hi ha les mateixes probabilitats de guanyar

el cotxe tant si canvio de porta com si no. També cal dir que el 21 % de la població de

quinze i setze anys a contestat correctament a la pregunta, encara que això no vol dir

que la població enquestada tingui una bona percepció de la probabilitat, ja que qui ha

respòs correctament a la resposta és menys de ¼ de la població.

9%

21%

70%


Si no canvio tinc més probabilitas de

guanyar


guanyar

Tinc les mateixes probabilitats si canvio

de porta que si no

0 0 0 1 2 11

29

8 2 0 1 0 0

5

10

15

20

25

30

35


17%

81%

2%

Per què ha triat aquest cavall?

L'he triat a

l'atzar

Té més

probabilitats

de guanyar

No sap/no

contesta


41

6.2.3 Loteria

Conclusions

En el cas de la loteria, la majoria de la població enquestada, un 81 %, té una percepció

correcta de la probabilitat, perquè creuen que tots els números tenen les mateixes

probabilitats de sortir. A més a més, una bona part d‟aquesta població creu que no és

més favorable, per a la persona que compra la loteria, comprar-la en un establiment on

l‟any anterior va tocar la grossa, perquè alguns creuen que el fet de vendre més loteria

en un establiment no t‟afavorirà a tu, sinó que afavorirà a l‟establiment.

6.3 Persones adultes


Conclusions

Un 56,25 % de les persones de més de divuit anys han respòs que el cavall número set

és el que té més probabilitats de guanyar, per tant, bona part de la població enquestada

té una percepció correcta del càlcul de probabilitats. D‟altra banda, el 43,75 %

d‟aquestes persones no tenen una percepció correcta de la probabilitat ja que han respòs

un número diferent del set, que és el cavall que té més probabilitats de guanyar.

2%

17%

81%

Si els dos últims anys la grossa de la loteria de

Nadal ha acabat en 7 que creu que passaria amb

la d'aquest any?

Aquest any és més


acabi en 7

Aquest any és més


acabi en 3

És igual de probable que

acabi en 3 que en 7

15%

85%



establiment on l'any

passat va tocar la grossa?

Sí

No

39%

61%

0%

Per què ha triat aquest

cavall?

L'he triat a l'atzar

Té més probabilitats de guanyar

No sap/no contesta

0 0 0 0 1 5

18

4 3 0 0 1 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12



42

6.3.2 Monty Hall

Conclusions

Observant aquest gràfic es pot extreure que un 56 % de les persones adultes enquestades

tenen una percepció errònia de la probabilitat, perquè han dit que al haver-hi dues portes

al final del concurs és igual si canvio que si no canvio. I que el 28 %, que són 9

persones de 36, creuen que si canvio de porta tinc més probabilitats de guanyar el cotxe

que si no canvio. D‟altre banda, també hi ha un 16 % de persones que tenen una

percepció errònia de la probabilitat, ja que diuen que si no canvio de porta tinc més

probabilitats de guanyar. En total, hi ha un 72 % de la població enquestada de més de

divuit anys que té una percepció errònia de la probabilitat.

6.3.3 Loteria

Conclusions

De l‟observació dels anteriors gràfics es pot observar que gairebé totes les persones

enquestades tenen una percepció correcta de la probabilitat, ja que diuen que és igual de

probable que surti qualsevol dels 85.000 números de loteria que es troben en el bombo.

Bastant gent, exactament un 56 %, també diu que tenen més probabilitats que els toqui

la loteria si compren en un establiment on l‟any passat havia tocat la grossa i això no és

cert. El que és cert és que si la gent compra molta loteria en un determinat establiment

és més probable que toqui allà, però això no t‟afavorirà a tu, sinó que afavorirà a

l‟establiment de venta de loteria perquè es vendran més números de loteria.

16%

28% 56%


Si no canvio tinc més probabilitas

de guanyar


guanyar

Tinc les mateixes probabilitats si

canvio de porta que si no

0% 6%

94%

Si els dos últims anys la grossa de la loteria

de Nadal ha acabat en 7 que creu que

passaria amb la d'aquest any?

Aquest any és més

probable que la

loteria acabi en 7

Aquest any és més

probable que la

loteria acabi en 3

És igual de

probable que acabi

en 3 que en 7

56%

44%



establiment on l'any passat

va tocar la grossa?

Sí

No


43

6.4 Comparació de les tres franges d’edat


0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

90,00%

L'he triat a

l'atzar

Té més

probabilitats

de guanyar

No sap/no

contesta


2n d'ESO

1r de

Batxillerat

Adults

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12


2n d'ESO

1r de

Batxillerat

Adults

Conclusions

Analitzant els gràfics es pot

observar que la franja

d‟edat que té una percepció

més correcta de la

probabilitat, de les tres

franges enquestades, és la

formada pels adults, encara

que no són tots, ja que un

43,75 % de les persones

enquestades que són adultes

no han respòs de forma

correcta a aquesta pregunta

i, per tant, no tenen una

bona percepció de la

probabilitat. A continuació

dels adults es troba la franja

formada pels alumnes de

primer de batxillerat, en

relació a la quantitat de

persones que han respòs bé

a aquesta pregunta i que,

per tant, tenen una bona

percepció de la probabilitat.

En referència als alumnes

De segon de l‟ESO es podria dir que un 84,62 % de la població enquestada no té

una percepció correcta de la probabilitat. Per tant, les persones adultes tenen una

percepció més correcta de la probabilitat, perquè són persones més grans i tenen

més experiència acadèmica.


44

6.4.2 Monty Hall

Conclusions

En aquest gràfic es pot observar que la majoria de la població total enquestada no

posseeixen una percepció correcta de la probabilitat, ja que la majoria diu que seria

igual de probable guanyar el cotxe tant si canvies com si no, quan la resposta correcta

hauria d‟haver estat que si canvies de porta tens més probabilitats de guanyar el cotxe.

També es pot observar que les persones més grans de divuit anys, és a dir, la franja que

correspon als adults, tenen una percepció de la probabilitat més bona que la resta,

mentre que són els alumnes de segon de l‟ESO els que tenen una percepció de la

probabilitat més errònia que la resta de les franges enquestades.

6.4.3 Loteria

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Sí No

Creu que és més favorable comprar loteria en un establiment on l'any

passat va tocar la grossa?

2n d'ESO

1r de

Batxillerat

Adults

0,00%

10,00%

20,00%

30,00%

40,00%

50,00%

60,00%

70,00%

80,00%

Si no canvio tinc més

probabilitas de guanyar

Si canvio tinc més

probabilitas de guanyar

Tinc les mateixes

probabilitats si canvio de

porta que si no


2n d'ESO

1r de

Batxillerat

Adults

0,00%

20,00%

40,00%

60,00%

80,00%

100,00%

Aquest any és més


acabi en 7

Aquest any és més


acabi en 3

És igual de probable que

acabi en 3 que en 7

Si el dos últims anys la grossa de la loteria de Nadal ha acabat en 7 que creu que

passaria amb la d'aquest any?

2n d'ESO

1r de

Batxillerat

Adults


45

Conclusions

De la anàlisi dels gràfics es pot deduir que bona part de la població total enquestada té

una percepció correcta del càlcul de probabilitats. També es pot observar que els

alumnes de segon de l‟ESO enquestats són els que més han fallat en aquesta pregunta

dient que aquest any és més probable que la loteria acabi en tres i no en set. Però el que

és cert és que tots els números tenen les mateixes probabilitats i, per tant, pot ser que la

grossa torni a acabar en set encara que no ho sembli. En aquest cas, també són la

majoria dels adults els qui han respòs de forma correcta a aquesta pregunta, això és

possible, tal i com he dit anteriorment, perquè els adults van adquirint experiència a

mesura que van creixent, encara que, com es pot observar en el segon gràfic, un

56,26 % dels adults pensen que seria més favorable comprar en un establiment de venda

de loteria on l‟any passat hagués tocat la grossa. Això pot indicar que bastants adults

pensen que com que aquests establiments venen molta loteria és més probable que els

toqui a ells.

Conclusions generals

Les enquestes que he realitzat m‟han permès verificar la hipòtesi realitzada al

començament d‟aquest treball de recerca, ja que una bona part del total de la població

enquestada no té una percepció correcta de la probabilitat.

En el cas del joc dels dotze cavalls un 60,14 % té una percepció errònia de la

probabilitat, perquè ha triat un altre cavall que no era el set. En canvi, el 39,86 % ha

respòs de forma correcta a la pregunta. En aquest cas, han estat els alumnes de segon de

l‟ESO els que han respòs de forma menys correcta a aquesta Pel que fa al problema de

Monty Hall es pot veure clarament a través dels gràfics que la majoria de les persones

enquestades tenen una percepció errònia de la probabilitat. Ja que el 81,16 % del total

de persones enquestades han dit que si canvies de porta tens més probabilitats de

guanyar o que és igual de probable guanyar el cotxe tant si canvio de portat com si no.

Les dues respostes són incorrectes. I només el 18,84 % de la població total ha respòs

que si canvies de porta tens més probabilitats de guanyar de porta. Per tant, la majoria

d‟aquestes persones no tenen una percepció correcta de la probabilitat.

El cas de la loteria és l‟excepció, perquè la majoria de la població enquestada diu que és

igual de probable que el número de la grossa acabi en 7 que en 3. Concretament, un

81,88 % del total ha respòs correctament a aquesta pregunta. Això és possible perquè la

loteria de Nadal és un tema cultural molt arrelat al nostre país i del qual la majoria de la

gent sap que tots els números del bombo tenen les mateixes probabilitats de sortir.


46

7. Conclusions

Aquest treball de recerca ha volgut fer un aprofundiment en la teoria de la probabilitat

així com detectar situacions de la vida ordinària de les persones on apareix el càlcul de

probabilitats. Aquests dos objectius marcats abans de realitzar el treball s‟han anat

complint al llarg de tot el treball de recerca, ja que durant tot aquest treball he intentat

aplicar la teoria de la probabilitat a diversos exemples com en el cas del problema de

Monty Hall o el joc de cartes anomenat blackjack.

En referència a la hipòtesi formulada al principi d‟aquest treball de recerca, que era la

següent: Hi ha qüestions en les quals la gent té una percepció errònia de la probabilitat,

els resultats obtinguts mitjançant la realització de les enquestes m‟han permès descobrir

que en alguns casos, com en el cas del problema de Monty Hall, la gent té una percepció

errònia de la probabilitat.

El treball de recerca que he realitzat m‟ha ensenyat que la probabilitat ja existia en

l‟antiga Grècia en jocs d‟atzar, com és el cas dels daus, i que ha anat evolucionat al llarg

del temps. O com gràcies a la correspondència entre Blaise Pascal i Pierre de Fermat es

van formar els primers fonaments de la teoria de la probabilitat i com s‟ha anat

desenvolupant fins que Andrei Nikolaevich Kolmogorov va formular la teoria

axiomàtica de la probabilitat.

També m‟ha permès descobrir com la probabilitat ens pot fer veure coses que en realitat

no són veritat, com en el cas del problema de les fitxes o el problema de Monty Hall. El

qual la probabilitat et fa creure que tens un 50 % de guanyar el cotxe si canvies de porta

com si no canvies, encara que la realitat et diu que si canvies de porta tens un 66,67 %

de guanyar el cotxe. Aquest és el cas de la probabilitat condicionada, és a dir, al principi

del concurs hem triat una de les tres portes, però resulta que el presentador, per ajudar-

nos, decideix obrir una de les portes que tu no havies triat darrera de la qual hi ha una

cabra. Si decideixes quedar-te amb la porta que tenies la probabilitat de guanyar un

cotxe és del 33.33 %, mentre que si decideixes canviar de porta la probabilitat de

guanyar el cotxe augmenta fins un 66,67 %. És un dels casos que m‟ha semblat més

interessants del càlcul de probabilitats perquè molts matemàtics creien que la

probabilitat de guanyar el cotxe era del 50 % i no del 66,67 % com deia la Marilyn vos

Savant. En un principi, abans d‟estudiar aquest cas, jo també creia que la probabilitat de

guanyar el cotxe era del 50 %, i em va deixar bocabadada veure que no tenia raó i que

en realitat la probabilitat de guanyar el cotxe era de 2/3. És un cas que sorprèn a molta

gent i que no deixa indiferent a ningú.

El treball també m‟ha donat a conèixer el món de les loteries que existeixen actualment.

El que he fet ha estat estudiar dos tipus de loteria que es juguen a Espanya, la loteria de

Nadal que es celebra el 22 de desembre i la lotto 6/49 que només es juga a Catalunya.

De cada loteria he calculat els guanys o les pèrdues que pots obtenir. En la loteria de

Nadal les persones que hi juguen perden de mitjana 6 euros per cada 20 que en juguen,

i, en cas de la lotto 6/49, les persones perden de mitjana uns 0,768 euros per cada 1 euro

que juguen. Els premis de les loteries són tant grans ja que perquè una persona guanyi

tant totes les altres persones que hi han jugat han de perdre. Les loteries sempre són


47

favorables per a qui les organitza, perquè són utilitzades per recaptar diners. Després

d‟això, i gràcies al que havia après de les loteries, he inventat una loteria en la qual el

joc sigui favorable per als jugadors, sigui desfavorable per als jugadors, és a dir

favorable a qui ven la loteria, i que sigui equitatiu per a les dues parts. De l‟estudi de les

loteries he extret la conclusió que sempre que jugues a qualsevol loteria a llarg termini

sempre perds, ja que és possible que un cop et toqui algun premi, però si tornes a jugar

més cops finalment el que has guanyat o perdràs. Com he dit abans, perquè uns pocs

puguin guanyar ha d‟haver-hi molts que hagin de perdre.

També he estudiat els jocs d‟atzar on la probabilitat té un paper molt important.

Concretament he estat estudiant la ruleta americana i el blackjack. En el cas de la ruleta

americana he analitzat quins han estat els guanys o les pèrdues de tres tipus d‟apostes:

apostar a un número, a un color i apostat a la primera, segona o tercera dotzena. En cada

un dels tres casos he arribat a la conclusió que a llarg termini sempre acabaràs perdent,

és a dir, com en el joc de loteria, és possible que en una aposta guanyis però si continues

jugant el que has guanyat ho acabaràs perdent. Per això cal no ser avariciós i retirar-te a

temps. Cal recordar que el casino mai perd, ja que sinó no seria rendible. En els cas del

joc de cartes anomenat blackjack el que he estat analitzat ha estat la probabilitat de

passar-se quan tens un deu o una figura (J, Q, K) i una de les tretze cartes que formen

cada pal de la baralla, la probabilitat que el crupier (el que reparteix les cartes) obtingui

17, 18, 19, 20, 21 o que es passi observant quina és la seva primera carta i, per últim, la

probabilitat total de guanyar i d‟empatar que tu tens amb un deu i un quatre quan la

carta descoberta del crupier és un sis. Aquest anàlisi em porta a dir que el fet de saber

quan tens més probabilitats de guanyar o de perdre enfront del crupier et dóna un

avantatge per saber quan apostar molts diners o quan retirar-te i quan demanar una carta

o plantar-te.

Del blackjack també en parla la pel·lícula “21: blackjack”. En aquesta pel·lícula es parla

del mètode de comptar cartes. Aquest mètode et permet saber quan has d‟apostar molts

diners en una jugada de blackcjack i quan no. És a dir, aquest mètode dóna a les cartes

del 2 al 6 el valor de +1, a les del 10 al as un valor de -1, i a les cartes del 7 al 9 un valor

de 0 (un valor neutre). Si al cap d‟un temps el compte es positiu vol dir que a la baralla

queden moltes cartes elevades (del 10 al as) i si resulta que el compte surt negatiu vol

dir que a la baralla queden cartes petites. Les cartes elevades faran que el crupier es

passi, per tant, són favorables al jugador, i les cartes petites faran que el crupier no es

passi i que el jugador tingui menys probabilitats d‟obtenir 21, per tant, són cartes

favorables al crupier. La conclusió extreta després de veure la pel·lícula i d‟haver

estudiar el mètode que utilitzen és que el fet de comptar cartes et dóna un avantatge de

guanyar a la banca, ja que els jocs d‟atzar, com he explicat anteriorment, sempre són

favorables per a qui els organitza i desfavorables per a qui juga, és a dir, la banca

sempre guanya.

Les altres dues pel·lícules que he analitzat i en les quals surten referències a la

probabilitat són “Rosencrantz i Guildenstern han mort” i “El caçador”. En la primera

pel·lícula es veu reflectida l‟aplicació de la llei dels grans nombres, ja que durant tota la

pel·lícula Rosencrantz tira una moneda 158 vegades, de les quals 157 surten creu i una

surt cara. Segons la llei dels grans nombres, que diu que la freqüència relativa d‟un


48

experiment tendeix a estabilitzar-se cap a una constant quan el nombre de proves de

l‟experiment és molt elevat, seria pràcticament impossible que això passés. No obstant,

la probabilitat que surtin cara 157 vegades és de , si la moneda no està

trucada.

En el cas de la pel·lícula de “El caçador” apareix el joc d‟atzar anomenat la ruleta russa.

A partir del que surt a la pel·lícula sobre la ruleta russa he calculat la probabilitat que la

bala surti i, per tant, que mati a algun dels jugadors, en diverses escenes de la pel·lícula.

He observat que el fet de ser el primer en disparar el revòlver o el segon no afectarà en

ser el primer que mor ja que tots dos tenen les mateixes probabilitats de morir. També

he observat que el fet de girar o no el tambor del revòlver quan un dels dos jugadors ha

disparat el revòlver no condiciona la probabilitat que la bala es dispari, és a dir, és igual

si es gira o no el tambor un cop un dels dos jugadors ha pitjat el gatell ja que la

probabilitat que la bala surti i que mati al jugador és la mateixa. D‟altra banda també he

analitzat el fet que si el tambor no es gira al llarg del joc els jugadors només podran

jugar sis vegades abans que un dels dos mori, en canvi, si el tambor del revòlver es gira

un cop el jugador a pitjat el gatell es podrà jugar un nombre indefinit de vegades, fins

que la bala surti.

Finalment, tal i com he explicat al principi d‟aquestes conclusions, les enquestes m‟han

servit per verificar o rebatre la hipòtesi que havia formulat abans de començar el treball.

Aquestes enquestes m‟han permès observar que la majoria de les persones enquestades

tenen una percepció errònia de la probabilitat pel que fa al joc dels dotze cavalls i al

problema de Monty Hall. En relació amb el problema de Monty Hall es podria dir que

com que al final del concurs les persones veuen que només queden dues portes pensen

que la probabilitat d‟emportar-se el cotxe era del 50 % i no pensen que el fet que el

presentador ens obri una de les portes que no havíem escollit darrera de la qual hi ha

una cabra ens aporta informació extra que fa variar la probabilitat d‟on es pot trobar la

segona cabra i el cotxe. En el cas de la loteria la majoria de les persones enquestades

han respòs correctament a la pregunta, ja que el joc de les loteries es troba arrelat en la

nostra societat i, per tant, la gent té un coneixement més gran sobre aquest.

Al llarg de la realització d‟aquest treball de recerca he trobat algunes dificultats, com

per exemple saber destriar la informació que no calia o que no feia falta per a la

redacció d‟aquest treball i després saber-la escriure de forma correcte i entenedora

perquè tothom la pogués entendre.

Crec que ha estat un treball molt útil perquè m‟ha fet descobrir coses que abans

ignorava i que m‟han semblat molt interessants, com per exemple el fet que quan jugues

a qualsevol joc d‟atzar sempre perds o el problema de Monty Hall. També he après tota

la teoria de la probabilitat, ja que és un tema que no es troba en el temari de la ESO ni

del batxillerat.

Pel que fa al treball de recerca crec que no tindria una continuïtat en el futur acadèmic,

perquè l‟únic que es podria ampliar serien nous exemples de l‟aplicació de la

probabilitat. Tampoc crec que em serveixi per als estudis posteriors que faré ja que no

tinc en ment dedicar-me al món de les matemàtiques. Vaig fer aquest treball perquè em

va semblar un tema molt interessant del qual podia aprendre moltes coses i no perquè

posteriorment em dediqués a estudiar matemàtiques.


49

8. Bibliografia i bibliografia electrònica i web

ASENCIO, Mª J. i altres: “Estadística”. “Mc Graw Hill” (Madrid)

CORBALÁN, F. i SANZ G.: La conquista del azar. La teoria de probabilidades. “El

mundo es matemático”. RBA Villatuerta (Navarra).

EQUIPO RESEÑA: “Cine para leer”. Mensajero Bilbao.

HADDON MARK: “El curiós incident del gos a mitjanit”. La Magrana Barcelona.

HELMUT, Swoboda: “El libro de la Estadística Moderna”. Omega. Barcelona.

POBLACION SAEZ Alfonso Jesus: “Las matemáticas en el cine”. Proyecto sur de

ediciones. Granada.

PUJOL, R. i altres: “Estadística”. Casals. Barcelona

ROSENTHAL Jeffrey S.: “A cara o cruz” (el sorprendente mundo de las

probabilidades). Tusquets Editores. Barcelona.

VIZMANOS, J.R. i ANZOLA, M.: “Algoritmo. Matemáticas I”. SM. Madrid.

Casino onlinea.es: “Contar cartas en el Blackjack”. http://www.casinoen-

linea.es/conteo-de-cartas.html. Setembre 2011 (consulta).

Editorial Prensa Iberica: “Sorteo de Navidad”.

http://www.laloterianavidad.com/sorteo-navidad/. Setembre 2011 (consulta).

Informativos Telecinco: “el juego de la ruleta rusa acaba en tragedia en una boda”. http://www.telecinco.es/informativos/internacional/noticia/100017662/El+juego+de+la+rulet

a+rusa+acaba+en+tragedia+en+una+boda. 23.03.2010 (informativos Telecinco)

Loteries de Catalunya: “Lotto 6/49”.

http://www.lotocatalunya.net/jsps/cat/l649Last.jsp. Setembre 2011(consulta).

Ministerio de Economia y Hacienda: “Juegos. Informació general”.

http://www.onlae.es/inicio/botes. Setembre 2011 (consulta).

Nuestro casino: “Ruleta Europea”. http://www.nuestrocasino.com/ruleta.htm.

Setembre 2011 (consulta).

Ramón: “Tres puertas”: http://barcomasgrande.blogspot.com/2008/09/tres-

puertas.html. 12 de setembre de 2008 (publicació).

Wiquipedia: “Conteo de cartas”. http://es.wikipedia.org/wiki/Conteo_de_cartas. Aquesta

pàgina va ser modificada per última vegada el 28 de setembre de 2011.

Wiquipedia: “Ruleta rusa”. http://es.wikipedia.org/wiki/Ruleta_rusa. Aquesta pàgina va

ser modificada per última vegada el 5 de desembre de 2011.

http://www.casinoen-linea.es/conteo-de-cartas.html

http://www.casinoen-linea.es/conteo-de-cartas.html

http://www.laloterianavidad.com/sorteo-navidad/



http://www.lotocatalunya.net/jsps/cat/l649Last.jsp

http://www.onlae.es/inicio/botes

http://www.nuestrocasino.com/ruleta.htm

http://barcomasgrande.blogspot.com/2008/09/tres-puertas.html

http://barcomasgrande.blogspot.com/2008/09/tres-puertas.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Conteo_de_cartas

http://es.wikipedia.org/wiki/Ruleta_rusa

Raquel Rodríguez Aller

Tutor: Oriol Busquets

Curs: 2011-2012

INS Joan Fuster


1

ANNEXOS

Annex 1. La teoria de la probabilitat

1.1 Experiències aleatòries .................................................................. Pàg. 2

1.2 Esdeveniments o successos ........................................................... Pàg. 2

1.3 Tipus d’esdeveniments .................................................................. Pàg. 3

1.4 Operacions amb esdeveniments .................................................... Pàg. 3

1.5 Probabilitat a través de la freqüència ............................................ Pàg. 6

1.6 Regla de Laplace ........................................................................... Pàg. 7

1.7 Definició axiomàtica de probabilitat ............................................. Pàg. 7

1.8 Probabilitat de la unió d’esdeveniments ....................................... Pàg. 9

1.9 Probabilitat condicionada .............................................................. Pàg. 9

1.10 Probabilitat composta o de la intersecció d’esdeveniments .......... Pàg. 11

1.11 Teorema de la probabilitat total .................................................... Pàg. 11

1.12 Teorema de Bayes ......................................................................... Pàg. 12

Annex 2. Combinatòria ................................................................................. Pag. 14

Annex 3. Resolució de la primera taula de percentatges del blackjack ......... Pag. 15

Annex 4. Resolució de la segona taula de percentatges del blackjack .......... Pag. 35

Annex 5. Fitxes tècniques de les pel·lícules

5.1 21: blackjack ................................................................................. Pàg. 37

5.2 Rosencrantz i Guildenstern han mort ............................................ Pàg. 37

5.3 El caçador ...................................................................................... Pàg. 38

Annex 6. Model d’enquesta ........................................................................... Pàg. 39

Annex 7. Resultats de l’enquesta ................................................................... Pàg. 44

Annex 8. Resolució del problema dels dotze cavalls .................................... Pàg. 45


2

Annex 1. La teoria de la probabilitat

1.1 Experiències aleatòries

Les experiències es divideixen en dues classes: aleatòries i deterministes.

Experiències aleatòries: una experiència és aleatòria o d’atzar si en repetir-la en les

mateixes condicions és impossible predir-ne el resultat.

Un exemple d’una experiència aleatòria seria l’extracció d’una carta d’una baralla

espanyola.

Experiències deterministes: una experiència és determinista si en repetir-la en les

mateixes condicions s’obté sempre el mateix resultat.

Un exemple d’experiència determinista seria mesurar la longitud d’una

circumferència de radi 5 m.

1.2 Esdeveniments o successos

L’espai universal associat a una experiència aleatòria és el conjunt de tots els resultats

que es poden obtenir. Es representa amb la lletra E, encara que també es pot trobar

representat per la lletra grega omega Ω. Els elements de l’espai universal s’escriuen

entre claus i separats per comes.

Exemple: l’espai universal associat a l’experiment que consisteix en llençar dues

monedes a l’aire i anotar els resultats de les cares superiors.

E = CC, CX, XC, XX

Un esdeveniment d’una experiència aleatòria és cada un dels subconjunts de l’espai

universal E. Es designen amb lletres majúscules A, B, C, D, … i els elements s’escriuen

entre claus i separats per comes.

Exemple: espai universal associat a l’experiment de llançar un dau a l’aire i anotar els

resultats de la cara superior.

E = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Esdeveniments de E:

Sortir número primer: A = 2, 3, 5

Sortir número parell: B = 2, 4, 6

Sortir múltiple de 5: C = 5


3

Un esdeveniment es verifica si en fer una prova de l’experiència aleatòria s’obté un

resultat que és un element de l’esdeveniment. També es diu que es presenta o es

realitza.

Exemple: En l’experiència de tirar un dau numerat de l’1 al 6 en les seves cares i anotar-

ne els resultats de la cara superior, si l’esdeveniment A és obtenir un número primer,

A = 2, 3, 5, es verificarà si en llançar el dau s’obté com a resultat el 2, el 3 o el 5.

1.3 Tipus d’esdeveniments

Esdeveniment elemental: és cada un dels resultats simples que s’obté en dur a terme

l’experiència. És cada un dels esdeveniments de l’espai universal.

Exemple: experiència que consisteix en llançar a l’aire una moneda i anotar els

resultats de la cara superior.

Espai universal: E = C, X

Esdeveniments elementals: C, X

Esdeveniment segur: és aquell que sempre es verifica. És l’espai universal.

Esdeveniment impossible: és aquell que mai no es realitza. Es representa amb el

símbol Ø.

1.4 Operacions amb esdeveniments

Unió d’esdeveniments

L’esdeveniment A unió B és l’esdeveniment que es verifica quan es realitza algun

dels dos. La seva representació és . També es poden representar de la següent

forma: A o B.

Exemple: considerem, en l’experiment del llançament d’un dau, l’espai universal del

qual és E = 1, 2, 3, 4, 5, 6, els següents esdeveniments:

Sortir parell A = 2, 4, 6

Sortir número primer B = 2, 3, 5


4

Intersecció d’esdeveniments

L’esdeveniment A intersecció B és l’esdeveniment que es verifica quan es realitza A

i es realitza B. La seva representació és També es pot representar de la

següent manera: A i B.

Exemple: considerem un altre cop els mateixos esdeveniments que en la unió.

Sortir parell A = 2, 4, 6

Sortir número primer B = 2, 3, 5

Esdeveniments compatibles i esdeveniments incompatibles:

Dos esdeveniments són compatibles si es poden verificar a la vegada, és a dir, si els dos

es realitzen de manera simultània. Si , aleshores A i B són compatibles.

Exemple:

Números parells: A = 2, 4, 6

A i B són

Números més grans que 4: B = 5, 6 compatibles

Dos esdeveniments són incompatibles si no es poden verificar a la vegada, és a dir, quan

dos esdeveniments no es realitzen de manera simultània. Si aleshores A i B

són incompatibles.


5

Números parells: A = 2, 4, 6

A i B són

Números primers incompatibles

més grans que 2: B = 3, 5

Esdeveniment contrari

Donat un experiment A, s’anomena esdeveniment contrari d’A un esdeveniment que

es verifica quan no es realitza A, és a dir, és un esdeveniment que es realitza quan no

es realitza A. La seva representació és . També es pot representar mitjançant A’ o

bé Ac. Es verifica que el contrari d’A és .

També es verifica que:

1. L’esdeveniment contrari de l’esdeveniment segur és l’esdeveniment impossible:

=

2. L’esdeveniment contrari de l’esdeveniment impossible és l’esdeveniment segur:

= E

Exemple: Sent l’experiment que consisteix en el llançament d’un dau, l’espai

universal del qual és E = 1, 2, 3, 4, 5, 6

Esdeveniment sortir número senar A = 1, 3, 5

Esdeveniment contrari

Esdeveniment sortir número parell


6

Sistema complet d’esdeveniments

Un sistema complet d’esdeveniments és un conjunt d’esdeveniments A1, A2, A3,…,

An de manera que verifiquen:

1. .

2. A1, A2, A3, …, An són incompatibles dos a dos.

Exemple: En l’experiment que consisteix en llançar a l’aire un dau i apuntar els

resultats, el qual té un espai universal E = 1, 2, 3, 4, 5, 6, considerem els següents

esdeveniments:

A = 1, 2, 6 B = 3, 4 C = 5

1.5 Probabilitat a través de la freqüència

La freqüència absoluta de l’esdeveniment A, quan es du a terme l’experiència N

vegades, és el nombre de vegades que es verifica l’esdeveniment A. La seva

representació és .

La freqüència relativa de l’esdeveniment A és el quocient de la freqüència absoluta

pel nombre N de vegades que es du a terme l’experiència. La seva representació és .

=


7

Llei dels grans nombres

La llei dels grans nombres diu que la freqüència relativa d’un experiment tendeix a

estabilitzar-se cap a una constant quan el nombre de proves de l’experiència esdevé

molt gran.

1.6 Regla de Laplace

Formulada per Pierre Simon Laplace (1749-1827).

Si tenim un espai universal E format per esdeveniments elementals equiprobables (són

esdeveniments que tenen la mateixa possibilitat de ser obtinguts), la probabilitat d’un

experiment A és igual al nombre de casos favorables dividit pel nombre de casos

possibles.

Anomenarem casos favorables als elements que formen l’esdeveniment A.

Anomenarem casos possibles a tots els resultats de l’experiment, és a dir, a tots els

elements que componen l’espai universal.

Exemple: Llancem dues monedes que tenen per espai universal E = CC, CX, XC, XX

L’esdeveniment és obtenir almenys una cara.

Casos possibles E = CC, CX, XC, XX

Casos favorables A = CC, CX, XC

1.7 Definició axiomàtica de probabilitat

El problema de la definició de probabilitat de Laplace és que per poder aplicar-la s’ha

de suposar que tots els esdeveniments elementals d’un experiment són equiprobables.

La definició axiomàtica de probabilitat és deguda al matemàtic rus Andrei Nicolaievich

Kolmogorov (1903-1987).

La idea fonamental de la definició axiomàtica de probabilitat descrita per Kolmogorov

és que existeix una gran relació entre el concepte de freqüència relativa d’un

esdeveniment i la seva probabilitat, quan el número de proves efectuades de

l’experiment és molt gran.


8

S’anomena probabilitat a una llei que associa a cada esdeveniment A, d’un espai

universal, un número real que anomenem probabilitat de A i es representa de la següent

manera p(A), i que compleix els següents axiomes o propietats:

1. La probabilitat d’un esdeveniment qualsevol de l’espai universal és sempre més

gran o igual a zero.

p(A)

2. La probabilitat de l’esdeveniment segur és 1.

p(E) = 1

3. La probabilitat de la unió de dos esdeveniments incompatibles és igual a la suma

de les seves probabilitats.

Conseqüències dels axiomes o de les propietats

a) Probabilitat de l’esdeveniment contrari.

La probabilitat de l’esdeveniment (que és el contrari de l’esdeveniment A) és

igual a 1 menys la probabilitat de l’esdeveniment A.

p( ) = 1 p(A)

Demostració:

1 = p(E) = 1 = p(A) ); p(

b) Probabilitat de l’esdeveniment impossible.

La probabilitat d’un esdeveniment impossible sempre és zero.

p( ) = 0

Demostració:

p( ) = p(


9

1.8 Probabilitat de la unió d’esdeveniments

Probabilitat de la unió d’esdeveniments incompatibles.

Si A i B són dos esdeveniments incompatibles d’un mateix experiment, es

verifica que la probabilitat de la unió d’aquests dos esdeveniments és igual a la

suma de les seves probabilitats.

Equació general:

…

Probabilitat de la unió d’esdeveniments compatibles.

Si A i B són dos esdeveniments compatibles d’un mateix experiment, es verifica

que la probabilitat de la unió de A i B és igual a la suma de les seves

probabilitats menys la probabilitat de la intersecció de A i B.

p

Aquesta expressió no és només es pot aplicar a dos esdeveniments. També és

possible utilitzar-la amb tres o més esdeveniments.

1.9 Probabilitat condicionada

La probabilitat condicionada de l’esdeveniment B condicionat per l’esdeveniment A és

la probabilitat que es realitzi B havent-se realitzat l’esdeveniment A. La seva

representació és P(B/A).


10

Exemple: tenim en una urna vuit boles blava i onze verdes de la qual s’ha extret

successivament dues boles sense tornar-les a la urna. Quina és la probabilitat que havent

tret una bola de color blava la segona sigui de color verda?

Esdeveniment A = treure bola blava en la primera extracció

Esdeveniment B = treure bola verda en la segona extracció.

Blava

Blava

Verda Verda

Verda

Propietats de la probabilitat condicionada

Els esdeveniments A i B seran dependents si P(A) P(A/B) i P(B) P(B/A).

Els dos esdeveniments seran dependents si les extraccions es realitzen sense

devolució. És a dir, si vols saber quina es la probabilitat de treure un as en una

baralla espanyola havent tret primer un as sense haver tornat la carta a la baralla.

Els esdeveniments A i B seran independents si P(A) = P(A /B) i P(B) = P(B/A).

Els dos esdeveniments seran independents si les extraccions es realitzen amb

devolució. És a dir, si tens tres boles vermelles i dues negres en una urna i vols saber

la probabilitat de treure una bola de color negre havent tret una bola de color vermell

i que posteriorment has tornat a deixar a la urna.


11

1.10 Probabilitat composta o de la intersecció d’esdeveniments

Probabilitat de la intersecció d’esdeveniments independents.

Si A i B són dos esdeveniments independents, la probabilitat de la intersecció d’A i

B és igual a producte les probabilitats de cadascun d’ells.

Probabilitat de la intersecció d’esdeveniments dependents.

Si A i B són dos esdeveniments dependents, la probabilitat de la intersecció d’A i B

és igual al producte de la probabilitat d’un d’ells per la probabilitat condicionada de

l’altre.

Teorema de la probabilitat composta

Si són esdeveniments independents d’una experiència i la probabilitat

de la verificació simultània dels n esdeveniments no és nul·la, aleshores es verifica

que:

1.11 Teorema de la probabilitat total

Donat un sistema complet d’esdeveniments tals que la probabilitat de cada

un d’ells sigui diferent de zero i que B sigui un esdeveniment qualsevol, la probabilitat

total de B ve donada per la següent expressió:

Demostració:

Aplicant les propietats de les operacions amb esdeveniments, podem obtenir que:

Aplicant les propietats de les probabilitats simple i condicionada, podem obtenir que:


12

Exemple: Provem quatre vacunes, en 100 persones. La vacuna es prova en

40 pacients, la vacuna en 25 i la vacuna en 35. Després que hagi passat el temps

adequat perquè les vacunes hagin causat algun efecte s’observa que del grup al qual

s’havia subministrat la vacuna no han contret la malaltia 27 persones, del grup no

l’han contret 19 persones i del grup no l’han contret 20 persones. Quina és la

probabilitat d’escollir a l’atzar una persona sana.

Esdeveniment T = persones sanes.

1.12 Teorema de Bayes

Donat un sistema complet d’esdeveniments tals que la probabilitat de cada

un d’ells sigui zero i que un esdeveniment B qualsevol, la probabilitat que es verifiqui

, condicionat el fet que abans s’hagi verificat l’esdeveniment B, és la següent:

Les probabilitats s’anomenen a priori, perquè són conegudes.

Les probabilitats p(B/A) s’anomenen versemblances, perquè són creïbles i no

brinden cap dubte.

Les probabilitats s’anomenen a posteriori, perquè són les que s’han de

calcular, és a dir, no són conegudes.

Demostració:

Partint de la definició de probabilitat condicionada tenim que:

Aplicant la definició de probabilitat condicionada podem obtenir que:


13

Per la definició del teorema de la probabilitat podem obtenir que:

Per últim, substituïm en la definició de probabilitat condicionada i obtenim que:

Exemple: Sabem que la probabilitat que un cotxe que va des de Madrid cap a Barcelona

pateixi un accident en un dia amb núvols és de 0,09 i que pateixi un accident en un dia

que faci sol és de 0,005. Durant un període de 10 dies hi ha hagut 8 dies que ha fet sol i

2 dies que han estat nuvolosos. Sabem que s’ha produït un accident en algun d’aquests

dies i volem saber quina és la probabilitat que hagi estat en un dia amb núvols i la

probabilitat que hagi passat en un dia amb sol.

Probabilitats de patir un accident:

a) Esdeveniment A: Probabilitat que hagi estat en un dia amb núvols.

Esdeveniment B: sabem que s’ha produït un accident

b) Probabilitat que hagi passat en un dia amb sol.


14

Annex 2. Combinatòria

El factorial d’un número m es representa de la següent forma m! i es defineix com

m! = m (

Cal tenir en compte que 0! = 1.

Exemple:

5!

S’anomena combinacions d’ordre n dels elements a les agrupacions

de n elements que es poden formar amb ells i que es diferencien les unes de les altres en

algun element.

La seva fórmula general és:

Exemple:

Tenim que A = a, b, c, d i anem a formar les combinacions de n elements i calcular el

seu número. Sigui el conjunt A = a, b, c, d, de m= 4 elements

n = 1 a b c d

n = 2 ab ac ad

bc bd

cd

n = 3 adc abd

acd

bcd

n = 4 abcd


15

Annex 3. Resolució de la primera taula de percentatges del

blackjack

En aquest cas, la carta descoberta del crupier correspon a un as, que pot valer tant un

com onze punts. El que calcularé amb l’ajuda de les següents taules és quina és la

probabilitat que té el crupier d’obtenir 17 punts. El funcionament d’aquestes taules és el

següent: es van agrupant els diferents números que formen la baralla (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9, 10, F1, F2, F3) d’un en un, de dos en dos, de tres en tres, etc. De manera que les

agrupacions de números que sumen 17 es trobaran marcades de color verd i les que

sumin 21 de color vermell.

En un principi, l’as descobert del crupier valdrà onze punts, però si resulta que la suma

de les seves cartes és superior a 21 (valent l’as onze punts) aleshores l’as valdrà 1 punt.

Ara el que faré serà sumar els onze punts que val l’as amb les diferents puntuacions de

les cartes que formen la baralla per veure quina és la que suma 17 punts.

1)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 F1

A continuació agafarem els números inferiors a 6 i els agruparem amb les diferents

cartes que formen la baralla a causa que la seva suma és inferior a 17. Ja que segons diu

la normativa el crupier haurà d’anar traient cartes fins que la suma d’aquestes sigui 17 o

superior. També hauré d’agafar els números que tenen una suma superior a 21, ja que

poden sumar 17 si resulta que l’as val un punt en comptes d’onze.

2)

11 12 13 14 15 16 17 18 19 1F

21 22 23 24 25 26 27 28 29 2F

31 32 33 34 35 36 37 38 39 3F

41 42 43 44 45 46 47 48 49 4F

51 52 53 54 55 56 57 58 59 5F

3)

111 112 113 114 115 116 117 118 119 11F

121 122 123 124 125 126 127 128 129 12F

131 132 133 134 135 136 137 138 139 13F

141 142 143 144 145 146 147 148 149 14F

1F1 1F2 1F3 1F4 1F5 1F6 1F7 1F8 1F9

1 La F correspon a les cartes que valen 10 punts, és a dir, al 10 i les tres figures.


16

211 212 213 214 215 216 217 218 219 21F

221 222 223 224 225 226 227 228 229 22F

231 232 233 234 235 236 237 238 239 23F

291 292 293 294 295 296 297 298 299

2F1 2F2 2F3 2F4 2F5 2F6 2F7 2F8

311 312 313 314 315 316 317 318 319 31F

321 322 323 324 325 326 327 328 329 32F

381 382 383 384 385 386 387 388 389

391 392 393 394 395 396 397 398

3F1 3F2 3F3 3F4 3F5 3F6 3F7

411 412 413 414 415 416 417 418 419 41F

471 472 473 474 475 476 477 478 479

481 482 483 484 485 486 487 488

491 492 493 494 495 496 497

4F1 4F2 4F3 4F4 4F5 4F6

561 562 563 564 565 566 567 568 569

571 572 573 574 575 576 577 578

581 582 583 584 585 586 587

591 592 593 594 595 596

5F1 5F2 5F3 5F4 5F5

4)

1111 1112 1113 1114 1115 1116 1117 1118 1119 111F

1121 1122 1123 1124 1125 1126 1127 1128 1129 112F

1131 1132 1133 1134 1135 1136 1137 1138 1139 113F

1191 1192 1193 1194 1195 1196 1197 1198 1199

11F1 11F2 11F3 11F4 11F5 11F6 11F7 11F8

1211 1212 1213 1214 1215 1216 1217 1218 1219 121F

1221 1222 1223 1224 1225 1226 1227 1228 1229 122F

1281 1282 1283 1284 1285 1286 1287 1288 1289

1291 1292 1293 1294 1295 1296 1297 1298

12F1 12F2 12F3 12F4 12F5 12F6 12F7

1311 1312 1313 1314 1315 1316 1317 1318 1319 131F

1371 1372 1373 1374 1375 1376 1377 1378 1379

1381 1382 1383 1384 1385 1386 1387 1388

1391 1392 1393 1394 1395 1396 1397

13F1 13F2 13F3 13F4 13F5 13F6

1461 1462 1463 1464 1465 1466 1467 1468 1469

1471 1472 1473 1474 1475 1476 1477 1478

1481 1482 1483 1484 1485 1486 1487

1491 1492 1493 1494 1495 1496

14F1 14F2 14F3 14F4 14F5

1F11 1F12 1F13 1F14 1F15 1F16 1F17 1F18

1F21 1F22 1F23 1F24 1F25 1F26 1F27

1F31 1F32 1F33 1F34 1F35 1F36

1F41 1F42 1F43 1F44 1F45


17

2111 2112 2113 2114 2115 2116 2117 2118 2119 211F

2121 2122 2123 2124 2125 2126 2127 2128 2129 212F

2181 2182 2183 2184 2185 2186 2187 2188 2189

2191 2192 2193 2194 2195 2196 2197 2198

21F1 21F2 21F3 21F4 21F5 21F6 21F7

2211 2212 2213 2214 2215 2216 2217 2218 2219 221F

2271 2272 2273 2274 2275 2276 2277 2278 2279

2281 2282 2283 2284 2285 2286 2287 2288

2291 2292 2293 2294 2295 2296 2297

22F1 22F2 22F3 22F4 22F5 22F6

2361 2362 2363 2364 2365 2366 2367 2368 2369

2371 2372 2373 2374 2375 2376 2377 2378

2381 2382 2383 2384 2385 2386 2387

2391 2392 2393 2394 2395 2396

23F1 23F2 23F3 23F4 23F5

2911 2912 2913 2914 2915 2916 2917 2918

2921 2922 2923 2924 2925 2926 2927

2931 2932 2933 2934 2935 2936

2941 2942 2943 2944 2945

2F11 2F12 2F13 2F14 2F15 2F16 2F17

2F21 2F22 2F23 2F24 2F25 2F26

2F31 2F32 2F33 2F34 2F35

3111 3112 3113 3114 3115 3116 3117 3118 3119 311F

3171 3172 3173 3174 3175 3176 3177 3178 3179

3181 3182 3183 3184 3185 3186 3187 3188

3191 3192 3193 3194 3195 3196 3197

31F1 31F2 31F3 31F4 31F5 31F6

3261 3262 3263 3264 3265 3266 3267 3268 3269

3271 3272 3273 3274 3275 3276 3277 3278

3281 3282 3283 3284 3285 3286 3287

3291 3292 3293 3294 3295 3296

32F1 32F2 32F3 32F4 32F5

3811 3812 3813 3814 3815 3816 3817 3818

3821 3822 3823 3824 3825 3826 3827

3831 3832 3833 3834 3835 3836

3841 3842 3843 3844 3845

3911 3912 3913 3914 3915 3916 3917

3921 3922 3923 3924 3925 3926

3931 3932 3933 3934 3935

3F11 3F12 3F13 3F14 3F15 3F16

3F21 3F22 3F23 3F24 3F25

4161 4162 4163 4164 4165 4166 4167 4168 4169

4171 4172 4173 4174 4175 4176 4177 4178

4181 4182 4183 4184 4185 4186 4187

4191 4192 4193 4194 4195 4196

41F1 41F2 41F3 41F4 41F5

4711 4712 4713 4714 4715 4716 4717 4718

4721 4722 4723 4724 4725 4726 4727


18

4731 4732 4733 4734 4735 4736

4741 4742 4743 4744 4745

4811 4812 4813 4814 4815 4816 4817

4821 4822 4823 4824 4825 4826

4831 4832 4833 4834 4835

4911 4912 4913 4914 4915 4916

4921 4922 4923 4924 4925

4F11 4F12 4F13 4F14 4F15

5611 5612 5613 5614 5615 5616 5617 5618

5621 5622 5623 5624 5625 5626 5627

5631 5632 5633 5634 5635 5636

5641 5642 5643 5644 5645

5711 5712 5713 5714 5715 5716 5717

5721 5722 5723 5724 5725 5726

5731 5732 5733 5734 5735

5811 5812 5813 5814 5815 5816

5821 5822 5823 5824 5825

5911 5912 5913 5914 5915

5)

11111 11112 11113 11114 11115 11116 11117 11118 11119 1111F

11121 11122 11123 11124 11125 11126 11127 11128 11129 1112F

11181 11182 11183 11184 11185 11186 11187 11188 11189

11191 11192 11193 11194 11195 11196 11197 11198

111F1 111F2 111F3 111F4 111F5 111F6 111F7

11211 11212 11213 11214 11215 11216 11217 11218 11219 1121F

11271 11272 11273 11274 11275 11276 11277 11278 11279

11281 11282 11283 11284 11285 11286 11287 11288

11291 11292 11293 11294 11295 11296 11297

112F1 112F2 112F3 112F4 112F5 112F6

11361 11362 11363 11364 11365 11366 11367 11368 11369

11371 11372 11373 11374 11375 11376 11377 11378

11381 11382 11383 11384 11385 11386 11387

11391 11392 11393 11394 11395 11396

113F1 113F2 113F3 113F4 113F5

11911 11912 11913 11914 11915 11916 11917 11918

11921 11922 11923 11924 11925 11926 11927

11931 11932 11933 11934 11935 11936

11941 11942 11943 11944 11945

11F11 11F12 11F13 11F14 11F15 11F16 11F17

11F21 11F22 11F23 11F24 11F25 11F26

11F31 11F32 11F33 11F34 11F35

12111 12112 12113 12114 12115 12116 12117 12118 12119 1211F

12171 12172 12173 12174 12175 12176 12177 12178 12179

12181 12182 12183 12184 12185 12186 12187 12188

12191 12192 12193 12194 12195 12196 12197


19

121F1 121F2 121F3 121F4 121F5 121F6

12261 12262 12263 12264 12265 12266 12267 12268 12269

12271 12272 12273 12274 12275 12276 12277 12278

12281 12282 12283 12284 12285 12286 12287

12291 12292 12293 12294 12295 12296

122F1 122F2 122F3 122F4 122F5

12811 12812 12813 12814 12815 12816 12817 12818

12821 12822 12823 12824 12825 12826 12827

12831 12832 12833 12834 12835 12836

12841 12842 12843 12844 12845

12911 12912 12913 12914 12915 12916 12917

12921 12922 12923 12924 12925 12926

12931 12932 12933 12934 12935

12F11 12F12 12F13 12F14 12F15 12F16

12F21 12F22 12F23 12F24 12F25

13161 13162 13163 13164 13165 13166 13167 13168 13169

13171 13172 13173 13174 13175 13176 13177 13178

13181 13182 13183 13184 13185 13186 13187

13191 13192 13193 13194 13195 13196

131F1 131F2 131F3 131F4 131F5

13711 13712 13713 13714 13715 13716 13717 13718

13721 13722 13723 13724 13725 13726 13727

13731 13732 13733 13734 13735 13736

13741 13742 13743 13744 13745

13811 13812 13813 13814 13815 13816 13817

13821 13822 13823 13824 13825 13826

13831 13832 13833 13834 13835

13911 13912 13913 13914 13915 13916

13921 13922 13923 13924 13925

13F11 13F12 13F13 13F14 13F15

14611 14612 14613 14614 14615 14616 14617 14618

14621 14622 14623 14624 14625 14626 14627

14631 14632 14633 14634 14635 14636

14641 14642 14643 14644 14645

14711 14712 14713 14714 14715 14716 14717

14721 14722 14723 14724 14725 14726

14731 14732 14733 14734 14735

14811 14812 14813 14814 14815 14816

14821 14822 14823 14824 14825

14911 14912 14913 14914 14915

1F111 1F112 1F113 1F114 1F115 1F116 1F117

1F121 1F122 1F123 1F124 1F125 1F126

1F131 1F132 1F133 1F134 1F135

1F211 1F212 1F213 1F214 1F215 1F216

1F221 1F222 1F223 1F224 1F225

1F311 1F312 1F313 1F314 1F315

21111 21112 21113 21114 21115 21116 21117 21118 21119 2111F

21171 21172 21173 21174 21175 21176 21177 21178 21179


20

21181 21182 21183 21184 21185 21186 21187 21188

21191 21192 21193 21194 21195 21196 21197

211F1 211F2 211F3 211F4 211F5 211F6

21261 21262 21263 21264 21265 21266 21267 21268 21269

21271 21272 21273 21274 21275 21276 21277 21278

21281 21282 21283 21284 21285 21286 21287

21291 21292 21293 21294 21295 21296

212F1 212F2 212F3 212F4 212F5

21811 21812 21813 21814 21815 21816 21817 21818

21821 21822 21823 21824 21825 21826 21827

21831 21832 21833 21834 21835 21836

21841 21842 21843 21844 21845

21911 21912 21913 21914 21915 21916 21917

21921 21922 21923 21924 21925 21926

21931 21932 21933 21934 21935

21F11 21F12 21F13 21F14 21F15 21F16

21F21 21F22 21F23 21F24 21F25

22161 22162 22163 22164 22165 22166 22167 22168 22169

22171 22172 22173 22174 22175 22176 22177 22178

22181 22182 22183 22184 22185 22186 22187 22188

22191 22192 22193 22194 22195 22196 22197 22198

221F1 221F2 221F3 221F4 221F5 221F6 221F7 221F8

22711 22712 22713 22714 22715 22716 22717 22718

22721 22722 22723 22724 22725 22726 22727

22731 22732 22733 22734 22735 22736

22741 22742 22743 22744 22745

22811 22812 22813 22814 22815 22816 22817

22821 22822 22823 22824 22825 22826

22831 22832 22833 22834 22835

22911 22912 22913 22914 22915 22916

22921 22922 22923 22924 22925

22F11 22F12 22F13 22F14 22F15

23611 23612 23613 23614 23615 23616 23617 23618

23621 23622 23623 23624 23625 23626 23627

23631 23632 23633 23634 23635 23636

23641 23642 23643 23644 23645

23711 23712 23713 23714 23715 23716 23717

23721 23722 23723 23724 23725 23726

23731 23732 23733 23734 23735

23811 23812 23813 23814 23815 23816

23821 23822 23823 23824 23825

23911 23912 23913 23914 23915

29111 29112 29113 29114 29115 29116 29117

29121 29122 29123 29124 29125 29126

29131 29132 29133 29134 29135

29211 29212 29213 29214 29215 29216

29221 29222 29223 29224 29225

29311 29312 29313 29314 29315


21

2F111 2F112 2F113 2F114 2F115 2F116

2F121 2F122 2F123 2F124 2F125

2F211 2F212 2F213 2F214 2F215

31161 31162 31163 31164 31165 31166 31167 31168 31169

31171 31172 31173 31174 31175 31176 31177 31178

31181 31182 31183 31184 31185 31186 31187

31191 31192 31193 31194 31195 31196

311F1 311F2 311F3 311F4 311F5

31711 31712 31713 31714 31715 31716 31717 31718

31721 31722 31723 31724 31725 31726 31727

31731 31732 31733 31734 31735 31736

31741 31742 31743 31744 31745

31811 31812 31813 31814 31815 31816 31817

31821 31822 31823 31824 31825 31826

31831 31832 31833 31834 31835

31911 31912 31913 31914 31915 31916

31921 31922 31923 31924 31925

31F11 31F12 31F13 31F14 31F15

32611 32612 32613 32614 32615 32616 32617 32618

32621 32622 32623 32624 32625 32626 32627

32631 32632 32633 32634 32635 32636

32641 32642 32643 32644 32645

32711 32712 32713 32714 32715 32716 32717

32721 32722 32723 32724 32725 32726

32731 32732 32733 32734 32735

32811 32812 32813 32814 32815 32816

32821 32822 32823 32824 32825

32911 32912 32913 32914 32915

38111 38112 38113 38114 38115 38116 38117

38121 38122 38123 38124 38125 38126

38131 38132 38133 38134 38135

38211 38212 38213 38214 38215 38216

38221 38222 38223 38224 38225

38311 38312 38313 38314 38315

39111 39112 39113 39114 39115 39116

39121 39122 39123 39124 39125

39211 39212 39213 39214 39215

3F111 3F112 3F113 3F114 3F115

41611 41612 41613 41614 41615 41616 41617 41618

41621 41622 41623 41624 41625 41626 41627

41631 41632 41633 41634 41635 41636

41641 41642 41643 41644 41645

41711 41712 41713 41714 41715 41716 41717

41721 41722 41723 41724 41725 41726

41731 41732 41733 41734 41735 41736

41811 41812 41813 41814 41815 41816

41821 41822 41823 41824 41825

41911 41912 41913 41914 41915


22

47111 47112 47113 47114 47115 47116 47117

47121 47122 47123 47124 47125 47126

47131 47132 47133 47134 47135

47211 47212 47213 47214 47215 47216

47221 47222 47223 47224 47225

47311 47312 47313 47314 47315

48111 48112 48113 48114 48115 48116

48121 48122 48123 48124 48125

48211 48212 48213 48214 48215

49111 49112 49113 49114 49115

56111 56112 56113 56114 56115 56116 56117

56121 56122 56123 56124 56125 56126

56131 56132 56133 56134 56135

56211 56212 56213 56214 56215 56216

56221 56222 56223 56224 56225

56311 56312 56313 56314 56315

57111 57112 57113 57114 57115 57116

57121 57122 57123 57124 57125

57211 57212 57213 57214 57215

58111 58112 58113 58114 58115

6)

111111 111112 111113 111114 111115 111116 111117 111117 111119 11111F

111171 111172 111173 111174 111175 111176 111177 111178 111179

111181 111182 111183 111184 111185 111186 111187 111188

111191 111192 111193 111194 111195 111196 111197

1111F1 1111F2 1111F3 1111F4 1111F5 1111F6

111261 111262 111263 111264 111265 111266 111267 111268 111269

111271 111272 111273 111274 111275 111276 111277 111278

111281 111282 111283 111284 111285 111286 111287

111291 111292 111293 111294 111295 111296

1112F1 1112F2 1112F3 1112F4 1112F5

111811 111812 111813 111814 111815 111816 111817 111818

111821 111822 111823 111824 111825 111826 111827

111831 111832 111833 111834 111835 111836

111841 111842 111843 111844 111845

111911 111912 111913 111914 111915 111916 111917

111921 111922 111923 111924 111925 111926

111931 111932 111933 111934 111935

111F11 111F12 111F13 111F14 111F15 111F16

111F21 111F22 111F23 111F24 111F25

112161 112162 112163 112164 112165 112166 112167 112168 112169

112171 112172 112173 112174 112175 112176 112177 112178

112181 112182 112183 112184 112185 112186 112187

112191 112192 112193 112194 112195 112196

1121F1 1121F2 1121F3 1121F4 1121F5 1121F6 1121F7 1121F8


23

112711 112712 112713 112714 112715 112716 112717 112718

112721 112722 112723 112724 112725 112726 112727

112731 112732 112733 112734 112735 112736

112741 112742 112743 112744 112745

112811 112812 112813 112814 112815 112816 112817

112821 112822 112823 112824 112825 112826

112831 112832 112833 112834 112835

112911 112912 112913 112914 112915 112916

112921 112922 112923 112924 112925

112F11 112F12 112F13 112F14 112F15

113611 113612 113613 113614 113615 113616 113617 113618

113621 113622 113623 113624 113625 113626 113627

113631 113632 113633 113634 113635 113636

113641 113642 113643 113644 113645

113711 113712 113713 113714 113715 113716 113717

113721 113722 113723 113724 113725 113726

113731 113732 113733 113734 113735

113811 113812 113813 113814 113815 113816

113821 113822 113823 113824 113825

113911 113912 113913 113914 113915

119111 119112 119113 119114 119115 119116 119117

119121 119122 119123 119124 119125 119126

119131 119132 119133 119134 119135

119211 119212 119213 119214 119215 119216

119221 119222 119223 119224 119225

119311 119312 119313 119314 119315

11F111 11F112 11F113 11F114 11F115 11F116

11F121 11F122 11F123 11F124 11F125

11F211 11F212 11F213 11F214 11F215

121161 121162 121163 121164 121165 121166 121167 121168 121169

121171 121172 121173 121174 121175 121176 121177 121178

121181 121182 121183 121184 121185 121186 121187

121191 121192 121193 121194 121195 121196

1211F1 1211F2 1211F3 1211F4 1211F5

121711 121712 121713 121714 121715 121716 121717 121718

121721 121722 121723 121724 121725 121726 121727

121731 121732 121733 121734 121735 121736

121741 121742 121743 121744 121745

121811 121812 121813 121814 121815 121816 121817

121821 121822 121823 121824 121825 121826

121831 121832 121833 121834 121835

121911 121912 121913 121914 121915 121916

121921 121922 121923 121924 121925

121F11 121F12 121F13 121F14 121F15

122611 122612 122613 122614 122615 122616 122617 122618

122621 122622 122623 122624 122625 122626 122627

122631 122632 122633 122634 122635 122636

122641 122642 122643 122644 122645


24

122711 122712 122713 122714 122715 122716 122717

122721 122722 122723 122724 122725 122726

122731 122732 122733 122734 122735

122811 122812 122813 122814 122815 122816

122821 122822 122823 122824 122825

122911 122912 122913 122914 122915

128111 128112 128113 128114 128115 128116 128117

128121 128122 128123 128124 128125 128126

128131 128132 128133 128134 128135

128211 128212 128213 128214 128215 128216

128221 128222 128223 128224 128225

128311 128312 128313 128314 128315

129111 129112 129113 129114 129115 129116

129121 129122 129123 129124 129125

129211 129212 129213 129214 129215

12F111 12F112 12F113 12F114 12F115

131611 131612 131613 131614 131615 131616 131617 131618

131621 131622 131623 131624 131625 131626 131627

131631 131632 131633 131634 131635 131636

131641 131642 131643 131644 131645

131711 131712 131713 131714 131715 131716 131717

131721 131722 131723 131724 131725 131726

131731 131732 131733 131734 131735

131811 131812 131813 131814 131815 131816

131821 131822 131823 131824 131825

131911 131912 131913 131914 131915

137111 137112 137113 137114 137115 137116 137117

137121 137122 137123 137124 137125 137126

137131 137132 137133 137134 137135

137211 137212 137213 137214 137215 137216

137221 137222 137223 137224 137225

137311 137312 137313 137314 137315

138111 138112 138113 138114 138115 138116

138121 138122 138123 138124 138125

138211 138212 138213 138214 138215

139111 139112 139113 139114 139115

146111 146112 146113 146114 146115 146116 146117

146121 146122 146123 146124 146125 146126

146131 146132 146133 146134 146135

146211 146212 146213 146214 146215 146216

146221 146222 146223 146224 146225

146311 146312 146313 146314 146315

147111 147112 147113 147114 147115 147116

147121 147122 147123 147124 147125

147211 147212 147213 147214 147215

148111 148112 148113 148114 148115

1F1111 1F1112 1F1113 1F1114 1F1115 1F1116

1F1121 1F1122 1F1123 1F1124 1F1125


25

1F1211 1F1212 1F1213 1F1214 1F1215

1F2111 1F2112 1F2113 1F2114 1F2115

211161 211162 211163 211164 211165 211166 211167 211168 211169

211171 211172 211173 211174 211175 211176 211177 211178

211181 211182 211183 211184 211185 211186 211187

211191 211192 211193 211194 211195 211196

2111F1 2111F2 2111F3 2111F4 2111F5

211711 211712 211713 211714 211715 211716 211717 211718

211721 211722 211723 211724 211725 211726 211727

211731 211732 211733 211734 211735 211736

211741 211742 211743 211744 211745

211811 211812 211813 211814 211815 211816 211817

211821 211822 211823 211824 211825 211826

211831 211832 211833 211834 211835

211911 211912 211913 211914 211915 211916

211921 211922 211923 211924 211925 211926

211F11 211F12 211F13 211F14 211F15 211F16

212611 212612 212613 212614 212615 212616 212617 212618

212621 212622 212623 212624 212625 212626 212627

212631 212632 212633 212634 212635 212636

212641 212642 212643 212644 212645

212711 212712 212713 212714 212715 212716 212717

212721 212722 212723 212724 212725 212726

212731 212732 212733 212734 212735

212811 212812 212813 212814 212815 212816

212821 212822 212823 212824 212825

212911 212912 212913 212914 212915

218111 218112 218113 218114 218115 218116 218117

218121 218122 218123 218124 218125 218126

218131 218132 218133 218134 218135

218211 218212 218213 218214 218215 218216

218221 218222 218223 218224 218225

218311 218312 218313 218314 218315

219111 219112 219113 219114 219115 219116

219121 219122 219123 219124 219125

219211 219212 219213 219214 219215

21F111 21F112 21F113 21F114 21F115

221611 221612 221613 221614 221615 221616 221617 221618

221621 221622 221623 221624 221625 221626 221627

221631 221632 221633 221634 221635 221636

221641 221642 221643 221644 221645

221711 221712 221713 221714 221715 221716 221717

221721 221722 221723 221724 221725 221726

221731 221732 221733 221734 221735

221811 221812 221813 221814 221815 221816

221821 221822 221823 221824 221825

221911 221912 221913 221914 221915

227111 227112 227113 227114 227115 227116 227117


26

227121 227122 227123 227124 227125 227126

227131 227132 227133 227134 227135

227211 227212 227213 227214 227215 227216

227221 227222 227223 227224 227225

227311 227312 227313 227314 227315

228111 228112 228113 228114 228115 228116

228121 228122 228123 228124 228125

228211 228212 228213 228214 228215

229111 229112 229113 229114 229115

236111 236112 236113 236114 236115 236116 236117

236121 236122 236123 236124 236125 236126

236131 236132 236133 236134 236135

236211 236212 236213 236214 236215 236216

236221 236222 236223 236224 236225

236311 236312 236313 236314 236315

237111 237112 237113 237114 237115 237116

237121 237122 237123 237124 237125

237211 237212 237213 237214 237215

238111 238112 238113 238114 238115

291111 291112 291113 291114 291115 291116

291121 291122 291123 291124 291125

291211 291212 291213 291214 291215

292111 292112 292113 292114 292115

2F1111 2F1112 2F1113 2F1114 2F1115

311611 311612 311613 311614 311615 311616 311617 311618

311621 311622 311623 311624 311625 311626 311627

311631 311632 311633 311634 311635 311636

311641 311642 311643 311644 311645

311711 311712 311713 311714 311715 311716 311717

311721 311722 311723 311724 311725 311726

311731 311732 311733 311734 311735

311811 311812 311813 311814 311815 311816

311821 311822 311823 311824 311825

311911 311912 311913 311914 311915

317111 317112 317113 317114 317115 317116 317117

317121 317122 317123 317124 317125 317126

317131 317132 317133 317134 317135

317211 317212 317213 317214 317215 317216

317221 317222 317223 317224 317225

317311 317312 317313 317314 317315

318111 318112 318113 318114 318115 318116

318121 318122 318123 318124 318125

318211 318212 318213 318214 318215

319111 319112 319113 319114 319115

326111 326112 326113 326114 326115 326116 326117

326121 326122 326123 326124 326125 326126

326131 326132 326133 326134 326135

326211 326212 326213 326214 326215 326216


27

326221 326222 326223 326224 326225

326311 326312 326313 326314 326315

327111 327112 327113 327114 327115 327116

327121 327122 327123 327124 327125

327211 327212 327213 327214 327215

328111 328112 328113 328114 328115

381111 381112 381113 381114 381115 381116

381121 381122 381123 381124 381125

381211 381212 381213 381214 381215

382111 382112 382113 382114 382115

391111 391112 391113 391114 391115

416111 416112 416113 416114 416115 416116 416117

416121 416122 416123 416124 416125 416126

416131 416132 416133 416134 416135

416211 416212 416213 416214 416215 416216

416221 416222 416223 416224 416225

416311 416312 416313 416314 416315

417111 417112 417113 417114 417115 417116

417121 417122 417123 417124 417125

417211 417212 417213 417214 417215

418111 418112 418113 418114 418115

471111 471112 471113 471114 471115 471116

471121 471122 471123 471124 471125

471211 471212 471213 471214 471215

472111 472112 472113 472114 472115

481111 481112 481113 481114 481115

561111 561112 561113 561114 561115 561116

561121 561122 561123 561124 561125

561211 561212 561213 561214 561215

562111 562112 562113 562114 562115

571111 571112 571113 571114 571115

7)

1111161 1111162 1111163 1111164 1111165 1111166 1111167 1111168 1111169

1111171 1111172 1111173 1111174 1111175 1111176 1111177 1111178

1111181 1111182 1111183 1111184 1111185 1111186 1111187

1111191 1111192 1111193 1111194 1111195 1111196

11111F1 11111F2 11111F3 11111F4 11111F5

1111711 1111712 1111713 1111714 1111715 1111716 1111717 1111718

1111721 1111722 1111723 1111724 1111725 1111726 1111727

1111731 1111732 1111733 1111734 1111735 1111736

1111741 1111742 1111743 1111744 1111745

1111811 1111812 1111813 1111814 1111815 1111816 1111817

1111821 1111822 1111823 1111824 1111825 1111826

1111831 1111832 1111833 1111834 1111835

1111911 1111912 1111913 1111914 1111915 1111916

1111921 1111922 1111923 1111924 1111925


28

1111F11 1111F12 1111F13 1111F14 1111F15

1112611 1112612 1112613 1112614 1112615 1112616 1112617 1112618

1112621 1112622 1112623 1112624 1112625 1112626 1112627

1112631 1112632 1112633 1112634 1112635 1112636

1112641 1112642 1112643 1112644 1112645

1112711 1112712 1112713 1112714 1112715 1112716 1112717

1112721 1112722 1112723 1112724 1112725 1112726

1112731 1112732 1112733 1112734 1112735

1112811 1112812 1112813 1112814 1112815 1112816

1112821 1112822 1112823 1112824 1112825

1112911 1112912 1112913 1112914 1112915

1118111 1118112 1118113 1118114 1118115 1118116 1118117 1118121 1118122 1118123 1118124 1118125 1118126

1118131 1118132 1118133 1118134 1118135

1118211 1118212 1118213 1118214 1118215 1118216

1118221 1118222 1118223 1118224 1118225

1118311 1118312 1118313 1118314 1118315

1119111 1119112 1119113 1119114 1119115 1119116

1119121 1119122 1119123 1119124 1119125

1119211 1119212 1119213 1119214 1119215

111F111 111F112 111F113 111F114 111F115

1121611 1121612 1121613 1121614 1121615 1121616 1121617 1121618

1121621 1121622 1121623 1121624 1121625 1121626 1121627

1121631 1121632 1121633 1121634 1121635 1121636

1121641 1121642 1121643 1121644 1121645

1121711 1121712 1121713 1121714 1121715 1121716 1121717

1121721 1121722 1121723 1121724 1121725 1121726

1121731 1121732 1121733 1121734 1121735

1121811 1121812 1121813 1121814 1121815 1121816

1121821 1121822 1121823 1121824 1121825

1121911 1121912 1121913 1121914 1121915

1127111 1127112 1127113 1127114 1127115 1127116 1127117

1127121 1127122 1127123 1127124 1127125 1127126

1127131 1127132 1127133 1127134 1127135

1127211 1127212 1127213 1127214 1127215 1127216

1127221 1127222 1127223 1127224 1127225

1127311 1127312 1127313 1127314 1127315

1128111 1128112 1128113 1128114 1128115 1128116

1128121 1128122 1128123 1128124 1128125

1128211 1128212 1128213 1128214 1128215

1129111 1129112 1129113 1129114 1129115

1136111 1136112 1136113 1136114 1136115 1136116 1136117

1136121 1136122 1136123 1136124 1136125 1136126

1136131 1136132 1136133 1136134 1136135

1136211 1136212 1136213 1136214 1136215 1136216

1136221 1136222 1136223 1136224 1136225

1136311 1136312 1136313 1136314 1136315

1137111 1137112 1137113 1137114 1137115 1137116

1137121 1137122 1137123 1137124 1137125

1137211 1137212 1137213 1137214 1137215

1138111 1138112 1138113 1138114 1138115

1191111 1191112 1191113 1191114 1191115 1191116

1191121 1191122 1191123 1191124 1191125


29

1191211 1191212 1191213 1191214 1191215

1192111 1192112 1192113 1192114 1192115

11F1111 11F1112 11F1113 11F1114 11F1115

1211611 1211612 1211613 1211614 1211615 1211616 1211617 1211618

1211621 1211622 1211623 1211624 1211625 1211626 1211627

1211631 1211632 1211633 1211634 1211635 1211636

1211641 1211642 1211643 1211644 1211645

1211711 1211712 1211713 1211714 1211715 1211716 1211717

1211721 1211722 1211723 1211724 1211725 1211726

1211731 1211732 1211733 1211734 1211735

1211811 1211812 1211813 1211814 1211815 1211816

1211821 1211822 1211823 1211824 1211825

1211911 1211912 1211913 1211914 1211915

1217111 1217112 1217113 1217114 1217115 1217116 1217117

1217121 1217122 1217123 1217124 1217125 1217126

1217131 1217132 1217133 1217134 1217135

1217211 1217212 1217213 1217214 1217215 1217216

1217221 1217222 1217223 1217224 1217225

1217311 1217312 1217313 1217314 1217315

1218111 1218112 1218113 1218114 1218115 1218116

1218121 1218122 1218123 1218124 1218125

1218211 1218212 1218213 1218214 1218215

1219111 1219112 1219113 1219114 1219115

1226111 1226112 1226113 1226114 1226115 1226116 1226117

1226121 1226122 1226123 1226124 1226125 1226126

1226131 1226132 1226133 1226134 1226135

1226211 1226212 1226213 1226214 1226215 1226216

1226221 1226222 1226223 1226224 1226225

1226311 1226312 1226313 1226314 1226315

1227111 1227112 1227113 1227114 1227115 1227116

1227121 1227122 1227123 1227124 1227125

1227211 1227212 1227213 1227214 1227215

1228111 1228112 1228113 1228114 1228115

1281111 1281112 1281113 1281114 1281115 1281116

1281211 1281212 1281213 1281214 1281215

1282111 1282112 1282113 1282114 1282115

1291111 1291112 1291113 1291114 1291115

1316111 1316112 1316113 1316114 1316115 1316116 1316117

1316121 1316122 1316123 1316124 1316125 1316126

1316131 1316132 1316133 1316134 1316135

1316211 1316212 1316213 1316214 1316215 1316216

1316221 1316222 1316223 1316224 1316225

1316311 1316312 1316313 1316314 1316315

1317111 1317112 1317113 1317114 1317115 1317116

1317121 1317122 1317123 1317124 1317125

1317211 1317212 1317213 1317214 1317215

1318111 1318112 1318113 1318114 1318115

1371111 1371112 1371113 1371114 1371115 1371116

1371121 1371122 1371123 1371124 1371125

1371211 1371212 1371213 1371214 1371215

1372111 1372112 1372113 1372114 1372115

1381111 1381112 1381113 1381114 1381115

1461111 1461112 1461113 1461114 1461115 1461116


30

1461121 1461122 1461123 1461124 1461125

1461211 1461212 1461213 1461214 1461215

1462111 1462112 1462113 1462114 1462115

1471111 1471112 1471113 1471114 1471115

1F11111 1F11112 1F11113 1F11114 1F11115

2111611 2111612 2111613 2111614 2111615 2111616 2111617 2111618

2111621 2111622 2111623 2111624 2111625 2111626 2111627

2111631 2111632 2111633 2111634 2111635 2111636

2111641 2111642 2111643 2111644 2111645

2111711 2111712 2111713 2111714 2111715 2111716 2111717

2111721 2111722 2111723 2111724 2111725 2111726

2111731 2111732 2111733 2111734 2111735

2111811 2111812 2111813 2111814 2111815 2111816

2111821 2111822 2111823 2111824 2111825

2111911 2111912 2111913 2111914 2111915

2117111 2117112 2117113 2117114 2117115 2117116 2117117

2117121 2117122 2117123 2117124 2117125 2117126

2117131 2117132 2117133 2117134 2117135

2117211 2117212 2117213 2117214 2117215 2117216

2117221 2117222 2117223 2117224 2117225

2117311 2117312 2117313 2117314 2117315

2118111 2118112 2118113 2118114 2118115 2118116

2118121 2118122 2118123 2118124 2118125

2118211 2118212 2118213 2118214 2118215

2119111 2119112 2119113 2119114 2119115

2126111 2126112 2126113 2126114 2126115 2126116 2126117

2126121 2126122 2126123 2126124 2126125 2126126

2126131 2126132 2126133 2126134 2126135

2126211 2126212 2126213 2126214 2126215 2126216

2126221 2126222 2126223 2126224 2126225

2126311 2126312 2126313 2126314 2126315

2127111 2127112 2127113 2127114 2127115 2127116

2127121 2127122 2127123 2127124 2127125

2127211 2127212 2127213 2127214 2127215

2128111 2128112 2128113 2128114 2128115

2181111 2181112 2181113 2181114 2181115 2181116

2181121 2181122 2181123 2181124 2181125

2181211 2181212 2181213 2181214 2181215

2182111 2182112 2182113 2182114 2182115

2191111 2191112 2191113 2191114 2191115

2216111 2216112 2216113 2216114 2216115 2216116 2216117

2216121 2216122 2216123 2216124 2216125 2216126

2216131 2216132 2216133 2216134 2216135

2216211 2216212 2216213 2216214 2216215 2216216

2216221 2216222 2216223 2216224 2216225

2216311 2216312 2216313 2216314 2216315

2217111 2217112 2217113 2217114 2217115 2217116

2217121 2217122 2217123 2217124 2217125

2217211 2217212 2217213 2217214 2217215

2218111 2218112 2218113 2218114 2218115

2271111 2271112 2271113 2271114 2271115 2271116

2271121 2271122 2271123 2271124 2271125

2271211 2271212 2271213 2271214 2271215


31

2272111 2272112 2272113 2272114 2272115

2281111 2281112 2281113 2281114 2281115

2361111 2361112 2361113 2361114 2361115 2361116

2361121 2361122 2361123 2361124 2361125

2361211 2361212 2361213 2361214 2361215

2362111 2362112 2362113 2362114 2362115

2371111 2371112 2371113 2371114 2371115

2911111 2911112 2911113 2911114 2911115

3116111 3116112 3116113 3116114 3116115 3116116 3116117

3116121 3116122 3116123 3116124 3116125 3116126

3116131 3116132 3116133 3116134 3116135

3116211 3116212 3116213 3116214 3116215 3116216

3116221 3116222 3116223 3116224 3116225

3116311 3116312 3116313 3116314 3116315

3117111 3117112 3117113 3117114 3117115 3117116

3117121 3117122 3117123 3117124 3117125

3117211 3117212 3117213 3117214 3117215

3118111 3118112 3118113 3118114 3118115

3171111 3171112 3171113 3171114 3171115 3171116

3171121 3171122 3171123 3171124 3171125

3171211 3171212 3171213 3171214 3171215

3172111 3172112 3172113 3172114 3172115

3181111 3181112 3181113 3181114 3181115

3261111 3261112 3261113 3261114 3261115 3261116

3261121 3261122 3261123 3261124 3261125

3261211 3261212 3261213 3261214 3261215

3262111 3262112 3262113 3262114 3262115

3271111 3271112 3271113 3271114 3271115

3811111 3811112 3811113 3811114 3811115

4161111 4161112 4161113 4161114 4161115 4161116

4161121 4161122 4161123 4161124 4161125

4161211 4161212 4161213 4161214 4161215

4162111 4162112 4162113 4162114 4162115

4171111 4171112 4171113 4171114 4171115

4711111 4711112 4711113 4711114 4711115

5611111 5611112 5611113 5611114 5611115

8)

11111611 11111612 11111613 11111614 11111615 11111616 11111617 11111618

11111621 11111622 11111623 11111624 11111625 11111626 11111627

11111631 11111632 11111633 11111634 11111635 11111636

11111641 11111642 11111643 11111644 11111645

11111711 11111712 11111713 11111714 11111715 11111716 11111717

11111721 11111722 11111723 11111724 11111725 11111726

11111731 11111732 11111733 11111734 11111735

11111811 11111812 11111813 11111814 11111815 11111816

11111821 11111822 11111823 11111824 11111825

11111911 11111912 11111913 11111914 11111915

11117111 11117112 11117113 11117114 11117115 11117116 11117117

11117121 11117122 11117123 11117124 11117125 11117126

11117131 11117132 11117133 11117134 11117135


32

11117211 11117212 11117213 11117214 11117215 11117216

11117221 11117222 11117223 11117224 11117225

11117311 11117312 11117313 11117314 11117315

11118111 11118112 11118113 11118114 11118115 11118116

11118121 11118122 11118123 11118124 11118125

11118211 11118212 11118213 11118214 11118215

11119111 11119112 11119113 11119114 11119115

11126111 11126112 11126113 11126114 11126115 11126116 11126117

11126121 11126122 11126123 11126124 11126125 11126126

11126131 11126132 11126133 11126134 11126135

11126211 11126212 11126213 11126214 11126215 11126216

11126221 11126222 11126223 11126224 11126225

11126311 11126312 11126313 11126314 11126315

11127111 11127112 11127113 11127114 11127115 11127116

11127121 11127122 11127123 11127124 11127125

11127211 11127212 11127213 11127214 11127215

11128111 11128112 11128113 11128114 11128115

11181111 11181112 11181113 11181114 11181115 11181116

11181121 11181122 11181123 11181124 11181125

11181211 11181212 11181213 11181214 11181215

11191111 11191112 11191113 11191114 11191115

11216111 11216112 11216113 11216114 11216115 11216116 11216117

11216121 11216122 11216123 11216124 11216125 11216126

11216131 11216132 11216133 11216134 11216135

11216211 11216212 11216213 11216214 11216215 11216216

11216221 11216222 11216223 11216224 11216225

11216311 11216312 11216313 11216314 11216315

11217111 11217112 11217113 11217114 11217115 11217116

11217121 11217122 11217123 11217124 11217125

11217211 11217212 11217213 11217214 11217215

11218111 11218112 11218113 11218114 11218115

11271111 11271112 11271113 11271114 11271115 11271116

11271121 11271122 11271123 11271124 11271125

11271211 11271212 11271213 11271214 11271215

11272111 11272112 11272113 11272114 11272115

11281111 11281112 11281113 11281114 11281115

11361111 11361112 11361113 11361114 11361115 11361116

11361121 11361122 11361123 11361124 11361125

11361211 11361212 11361213 11361214 11361215

11362111 11362112 11362113 11362114 11362115

11371111 11371112 11371113 11371114 11371115

11911111 11911112 11911113 11911114 11911115

12116111 12116112 12116113 12116114 12116115 12116116 12116117

12116121 12116122 12116123 12116124 12116125 12116126

12116131 12116132 12116133 12116134 12116135

12116211 12116212 12116213 12116214 12116215 12116216

12116221 12116222 12116223 12116224 12116225

12116311 12116312 12116313 12116314 12116315

12117111 12117112 12117113 12117114 12117115 12117116

12117121 12117122 12117123 12117124 12117125

12117211 12117212 12117213 12117214 12117215

12118111 12118112 12118113 12118114 12118115

12171111 12171112 12171113 12171114 12171115 12171116

12171121 12171122 12171123 12171124 12171125

12171211 12171212 12171213 12171214 12171215

12172111 12172112 12172113 12172114 12172115

12181111 12181112 12181113 12181114 12181115

12261111 12261112 12261113 12261114 12261115 12261116


33

9)

12261121 12261122 12261123 12261124 12261125

12261211 12261212 12261213 12261214 12261215

12262111 12262112 12262113 12262114 12262115

12271111 12271112 12271113 12271114 12271115

12811111 12811112 12811113 12811114 12811115

13161111 13161112 13161113 13161114 13161115 13161116

13161121 13161122 13161123 13161124 13161125

13161211 13161212 13161213 13161214 13161215

13162111 13162112 13162113 13162114 13162115

13171111 13171112 13171113 13171114 13171115

13711111 13711112 13711113 13711114 13711115

14611111 14611112 14611113 14611114 14611115

21116111 21116112 21116113 21116114 21116115 21116116 21116117

21116121 21116122 21116123 21116124 21116125 21116126

21116131 21116132 21116133 21116134 21116135

21116211 21116212 21116213 21116214 21116215 21116216

21116221 21116222 21116223 21116224 21116225

21116311 21116312 21116313 21116314 21116315

21117111 21117112 21117113 21117114 21117115 21117116

21117121 21117122 21117123 21117124 21117125

21117211 21117212 21117213 21117214 21117215

21118111 21118112 21118113 21118114 21118115

21171111 21171112 21171113 21171114 21171115 21171116

21171121 21171122 21171123 21171124 21171125

21171211 21171212 21171213 21171214 21171215

21172111 21172112 21172113 21172114 21172115

21181111 21181112 21181113 21181114 21181115

21261111 21261112 21261113 21261114 21261115 21261116

21261121 21261122 21261123 21261124 21261125

21261211 2126121 21261213 21261214 21261215

21262111 21262112 21262113 21262114 21262115

21271111 21271112 21271113 21271114 21271115

21811111 21811112 21811113 21811114 21811115

22161111 22161112 22161113 22161114 22161115 22161116

22161121 22161122 22161123 22161124 22161125

22161211 22161212 22161213 22161214 22161215

22162111 22162112 22162113 22162114 22162115

22171111 22171112 22171113 22171114 22171115

22711111 22711112 22711113 22711114 22711115

23611111 23611112 23611113 23611114 23611115 23611116

31161111 31161112 31161113 31161114 31161115

31161121 31161122 31161123 31161124 31161125

31161211 31161212 31161213 31161214 31161215

31162111 31162112 31162113 31162114 31162115

31171111 31171112 31171113 31171114 31171115

31711111 31711112 31711113 31711114 31711115

32611111 32611112 32611113 32611114 32611115

41611111 41611112 41611113 41611114 41611115

111116111 111116112 111116113 111116115 11111611 11111611 11111611

111116121 111116122 111116123 111116125 11111612 11111612

111116131 111116132 111116133 111116135 11111613

111116211 111116212 111116213 111116215 11111621 11111621


34

10)

11)

11111611111 11111611112 11111611113 11111611114 11111611115

Resolució

Cada fracció correspon a la probabilitat que té el crupier d’obtenir 17 si demana una

carta, dues cartes, tres cartes, etc., fins un total d’onze cartes.

111116221 111116222 111116223 111116225 11111622

111116311 111116312 111116313 111116315 11111631

111117111 111117112 111117113 111117115 11111711 11111711

111117121 111117122 111117123 111117125 11111712

111118111 111118112 111118113 111118115 11111811

111811111 111811112 111811113 111811115 11181111

112711111 112711112 112711113 112711115 11271111

113611111 113611112 113611113 113611115 11361111

121161111 121161112 121161113 121161115 12116111 12116111

121161121 121161122 121161123 121161125 12116112

121161211 121161212 121161213 121161215 12116121

121162111 121162112 121162113 121162115 12116211

121171111 121171112 121171113 121171115 12117111

121711111 121711112 121711113 121711115 12171111

122611111 122611112 122611113 122611115 12261111

131611111 131611112 131611113 131611115 13161111

211161111 211161112 211161113 211161115 21116111 21116111

211161121 211161122 211161123 211161125 21116112

211161211 211161212 211161213 211161215 21116121

211162111 211162112 211162113 211162115 21116211

211171111 211171112 211171113 211171115 21117111

211711111 211711112 211711113 211711115 21171111

212611111 212611112 212611113 212611115 21261111

221611111 221611112 221611113 221611115 22161111

311611111 311611112 311611113 311611115 31161111

1111161111 1111161112 111116111 111116111 111116111 111116111

1111161121 1111161122 111116112 111116112 111116112 111116112

1111161211 1111161212 111116121 111116121 1111161211 1111161211

1111162111 1111162112 111116211 111116211 111116211 111116211

1111171111 1111171112 111117111 111117111 111117111 111117111

1211611111 1211611112 121161111 121161111 121161111 121161111

2111611111 2111611112 211161111 211161111 211161111 211161111


35

Annex 4. Resolució de la segona taula de percentatges del

blackjack

Probabilitat total de guanyar:

Probabilitat de guanyar = G

Probabilitat total d’empatar:

Probabilitat d’empatar = E


36

Explicació de la taula

Següent carta Probabilitat Total Probabilitat de guanyar Probabilitat

d’empatar

As 1/13 15 42,50 % 0 %

2 1/13 16 42,50 % 0 %

3 1/13 17 42,50 % 12,48 %

4 1/13 18 42,50 + 12,48 = 54,98 %

12,03 %

5 1/13 19 54,98 + 12,03 = 67,01 % 11,54 %

6 1/13 20 67,01 + 11,54 = 78,55 % 11,01 %

7 1/13 21 78,55 + 11,01 = 89,56 % 10,44 %

8 1/13 22

9 1/13 23

10/figura 4/13 24

Total 32,12 % 4,42 %

L’apartat que fa referència a la carta següent indica la carta que et podria sortir si

decideixes demanar una altra carta.

L’apartat de la probabilitat expressa la probabilitat d’obtenir la carta indicada en un sol

pal de la baralla. Per exemple, en un sol pal hi ha tretze cartes i un sol dos, per tant, la

probabilitat que et surti aquest dos és de 1/13.

La columna titulada com total fa referència a la suma total que tindrien les teves cartes

si et sortís la carta indicada.

La secció que fa referència a la probabilitat de guanyar i d’empatar indica quina és la

probabilitat de guanyar o d’empatar al crupier amb les cartes que tens. La probabilitat

de guanyar si la següent carta és un as o un dos prové de la probabilitat que el crupier es

passi tenint com a carta destapada un sis. Amb aquestes dues el crupier no podrà

empatar amb ningú ja que ha de demanar cartes fins que sumin 17 o més. En el cas que

la pròxima carta sigui un tres no canvia la probabilitat de guanyar però si la d’empatar,

ja que el crupier no es pot plantar fins que les seves cartes no sumin 17 o més. Aquesta,

prové de la probabilitat que el crupier obtingui 17 amb el seu sis, que és la carta

destapada. La probabilitat de guanyar en el cas que la següent carta sigui un quatre

prové de la suma de la probabilitat quan el crupier es passi amb un sis més la

probabilitat d’empatar amb una suma de 17, perquè el repartidor pot arribar fins 17

punts i no demanar més cartes, però com que tens una suma de 18 el guanyes. La

probabilitat d’empatar prové de la probabilitat que el crupier obtingui 18 amb la seva

carta que es troba destapada, que és el número 6. Pel que fa a la probabilitat de guanyar

si la següent carta és un 5 s’obté sumant la probabilitat de guanyar i la d’empatar quan

la següent carta és un 4. Això es fa així, perquè parteixo de la idea que la probabilitat de

guanyar és sempre 42,50 % i li vaig sumant les probabilitats d’empatar anteriors. És

acumulativa. La probabilitat de guanyar o d’empatar en els casos en els quals les cartes

següents seran el 6 i el 7 provenen de la mateixa forma que quan la següent carta és un 5

i per la mateixa raó.


37

Annex 5. Fitxes tècniques de les pel·lícules

5.1 21:blackjack

Títol: 21: blackjack.

Títol original: 21.

Producció: Columbia Pictures, Relativity Media, Trigger

Street i Michael De Luca.

Nacionalitat: Estats Units

Gènere: Drama

Direcció: Robert Luketic.

Guió: Peter Steinfel i Allan Loeb, basat en el llibre “Bringing

Down the House: The Inside Story of Six MIT Students Who

Took Vegas for Millions” de Ben Mezrich.

Fotografia: Russell Carpenter.

Música: David Sardy.

Muntatge: Elliot Graham.

Intèrprets: Jim Sturgess (Ben Campbell), Kate Bosworth (Jill Taylor), Laurence

Fishburne (Cole Williams), Kevin Spacey (Micky Rosa), Aaron Yoo (Choi), Liza

Lapira (Kianna), Jacob Pitts (Fisher), Josh Gad (Miles), Sam Golzary (Cam).

Any: 2008

5.2 Rosencrantz i Guildenstern han mort

Títol: Rosencrantz i Guildenstern han mort.

Títol original: Rosencrantz i Guildenstern are dead.

Producció: Emanuel Azenberg i Michael Brandman.

Nacionalitat: Gran Bretanya/Estats Units

Gènere: Drama

Direcció: Tom Stoppard.

Guió: Tom Stoppard, basat en els personatges de Hamlet

creats per William Shakespeare.

Fotografia: Peter Biziou.

Música: Stanley Myers.

Muntatge: Nicolas Gaster.

Intèrprets: Gary Oldman (Rosencrantz), Tim Roth (Guildenstern), Richard Dreyfuss

(l’Actor), Livio Badurina (comediant), Tomislav Maretic (comediant), Mare Mlacnik

(comediant), Srdjan Soric (comediant), Mladen Vasary (comediant), Zeljko Vukmirica

(comediant), Branko Zavrsan (comediant), Joanna Roth (Ofelia), Iain Glen (Hamlet),

Donald Sumpter (Claudio), Joanna Miles (Gertrudis).

Any: 1990


38

5.3 El caçador

Títol: El caçador.

Títol original: The deer hunter. Producció:

Nacionalitat: Estats Units.

Gènere: Drama.

Direcció: Michael Cimino.

Guió: Deric Washburn.

Fotografia: Vilmos Zsigmond.

Música: Stanley Myers.

Muntatge: Peter Zinner.

Intèrprets: Robert de Niro (Michael), John Cazale (Stan), John Savage (Steven),

Christopher Walken (Nick), Meryl Streep (Linda), George Dzundza (John), Chuck

Aspegren (Axel), Rutanya Alda (Angela).

Any: 1978

http://www.google.com/imgres?q=the+deer+hunter&hl=es&biw=1440&bih=757&gbv=2&tbm=isch&tbnid=4M57geR6LdZT4M:&imgrefurl=http://en.wikipedia.org/wiki/The_Deer_Hunter&docid=8g3ZM-qDK2fr2M&imgurl=http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/thumb/5/57/The_Deer_Hunter_poster.jpg/220px-The_Deer_Hunter_poster.jpg&w=220&h=336&ei=Zz-0Tp_MDtH4sgaVoLjSAw&zoom=1


39

Annex 6. Model d’enquesta

Edat: Sexe: Estudis: primaris secundaris superiors

Monty Hall

Es troba en un concurs en què ha d’elegir entre tres portes darrera de les quals hi ha,

respectivament, dues cabres i un cotxe. Naturalment, el concursant no veu què hi ha

darrera de cada porta. El concursant s’emporta com a premi el que hi ha darrera de la

porta seleccionada.

En iniciar-se el joc el presentador li demana que elegeixi una de les tres portes.

Després d’elegir-la, el presentador anul·la una de les dues portes que el concursant no

ha triat i li assegura que en la que ha anul·lat no hi havia el premi.

2 1 3

2 1 3


40

A continuació, li pregunta si vol canviar de porta o quedar-se amb la mateixa que ja

havia triat.

Quina de les tres afirmacions següents creu que és certa?

Si no canvio de porta tinc més probabilitats de guanyar que si canvio.

Si canvio de porta tinc més probabilitats de guanyar que si no canvio.

Tinc les mateixes probabilitats de guanyar el premi si canvio de porta que si no

canvio

Podria justificar la seva resposta?


41


Joc dels dotze cavalls

El joc consisteix en una carrera de dotze cavalls, numerats de l’1 al 12.

Al començament del joc els dotze cavalls estan situats a la primera casella d’una taula,

tal com s’indica a continuació:

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Els cavalls avancen de la següent manera: es tiren dos daus, se sumen els resultats i el

cavall que porta el número corresponent a aquesta suma, avança una casella.

La carrera acaba després d’haver llançat 100 vegades els dos daus.

Si hagués d’apostar per un cavall guanyador, per quin apostaria?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12


42


L’he triat a l’atzar.

Perquè és el que té més probabilitats de guanyar.

No sap/no contesta.

Si ha contestat que creu que és el que té més probabilitats de guanyar, per què ho creu?


43


Loteria

Si els dos últims anys la grossa de la loteria de Nadal ha acabat en 7,

Creu que aquest any és més probable que la loteria torni a acabar en 7 que no

que acabi en 3.

Creu que aquest any és més probable que la loteria acabi en 3 que no que acabi

en 7.

Creu que és igual de probable que la loteria, aquest any, acabi en 3 que acabi en

7

Pot justificar la seva resposta?

Independentment del que ha respòs en la pregunta anterior, compraria un número de

loteria que tingués la mateixa terminació que el premi gros de l’any anterior?

Sí.

No.

Està comprovat que quan un establiment de venda de loteria ven el número de la grossa

un any, a l’any següent li augmenta considerablement les vendes. Per tant, la

probabilitat que aquest establiment vengui la grossa augmenta. Creu que per a vostè és

més favorable comprar loteria en aquest establiment que no pas en d’altres.

Sí.

No.

Pot justificar la seva resposta?


44

Annex 7. Resultats de l’enquesta

2n de l’ESO 1r de

Batxillerat Adults

Joc dels dotze cavalls

Pregunta 1

Cavall 1 1 0 0

Cavall 2 3 0 0

Cavall 3 1 0 0

Cavall 4 2 1 0

Cavall 5 4 2 1

Cavall 6 9 11 5

Cavall 7 8 29 18

Cavall 9 9 8 4

Cavall 10 6 2 3

Cavall 11 4 0 0

Cavall 12 2 1 0

Pregunta 2

L'he triat a l'atzar 24 9 12

Perquè és el que té més

probabilitats de

guanyar

22 44 20

No sap/No contesta 6 1 0

Monty Hall

Si no canvio de porta

tinc més probabilitats

de guanyar

7 5 5

Si canvio de porta tinc

més probabilitats de

guanyar

6 11 9

Tinc les mateixes

probabilitats si canvio

de porta que si no

39 38 18

Loteria

Pregunta 1

Aquest any és més


acabi en 7

2 1 0

Aquest any és més


acabi en 3

11 9 2

És igual de probable

que acabi en 3 que en 7 39 44 30

Pregunta 2

Sí 10 8 17

No 42 46 15

Pregunta 3

Sí 17 8 18

No 35 46 14


45

Annex 8. Resolució del problema dels dotze cavalls

Probabilitats de guanyar de cada cavall:

Número 1:

Número 2:

Número 3:

Número 4:

Número 5:

Número 6:


46

Número 7:

Número 8:

Número 9:

Número 10:

Número 11:

Número 12:

Com es pot observar, el número que surt més vegades com a resultat de la suma dels

dos daus i que té una probabilitat major que els altres nombres és el número 7, per tant,

serà el cavall número 7 el que tindrà més possibilitats de guanyar la carrera.

raquel rodríguez aller tutor: oriol busquets curs: 2011-2012 · haver grans precursors de la...

Documents