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RAMO: FINANZAS III

UNIDAD I

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE OPCIONES FINANCIERAS

Instituto Profesional Iplacex

CLASE 01

1. LOS MERCADOS FINANCIEROS DE DERIVADOS

La toma de decisiones financieras dentro de la empresa requiere de una cabal comprensión de las condiciones económicas y financieras de los mercados en los cuales la empresa se desenvuelve.

Actualmente, los mercados financieros están evolucionando a un ritmo acelerado y

dinámico, en donde se necesita de profesionales del área con capacidad y habilidad técnica para la toma de decisiones financieras, el manejo de instrumentos y herramientas que hoy existen en los mercados globales.

Los mercados financieros nos presentan las alternativas de financiamiento del

mercado, en virtud de los cuales un prestatario -ente que necesita dinero- puede emitir y poner en circulación Instrumentos Financieros a corto plazo para su financiamiento.

El utilizar un derivado financiero como forma de financiamiento es como fabricarse un

traje a la medida, si el prestatario quiere más riesgo, lo puede conseguir; si por el contrario prefiere reducir la volatilidad de su inversión, también lo puede hacer sin problemas; la decisión estará en sus manos y las de su contraparte.

Los derivados son instrumentos financieros, que tienen como característica hacer más

completo el mercado de capitales. Algunos de los derivados de uso más frecuente son las opciones, los futuros, los forward y el swap.

Estos instrumentos financieros tienen en común dos características:

- Son instrumentos off-balance-sheet, es decir, que no aparecen en el libro de

balances de la empresa.

- Son contratos entre dos partes; a través de los contratos uno se puede endeudar a una tasa más baja que pidiendo un préstamo en dólares directamente a un banco.

Estos productos financieros, se han desarrollado con la intención de limitar los

elevados tipos de interés, la volatilidad de los mismos y los tipos de cambio, que exponen cada vez más a las empresas a riesgo de pérdidas, derivadas de acontecimientos difíciles de predecir.

La creación de estos productos ha sido posible, fundamentalmente, por la aportación

de nuevas tecnologías (informáticas), las que han posibilitado la administración y control de gran un número de operaciones, en un espacio muy reducido de tiempo y en un ámbito geográfico muy amplio.


Antes de continuar con nuestro estudio, se deben aclarar algunos conceptos que permiten la mejor comprensión de los diferentes temas a abordar en este material de estudio.

Se denominan “mercados spot” al mercado en el que se compra y vende al momento,

por ejemplo, las acciones en la bolsa. El término spot hace referencia a lo instantáneo, a lo que ocurre en el momento.

El término Instrumentos derivados” se refiere a los instrumentos financieros,

generalmente contratos, que estipulan que las partes se comprometen a comprar o vender, en una fecha futura, un determinado activo; los cuales pueden ser bienes físicos -commodities1-, monedas o instrumentos financieros, a un valor que se fija en el momento de negociación.

Por Ejemplo:

Los principales commodities que se transan en la bolsa de comercio, para el caso de Chile, son el cobre, la harina de pescado y la celulosa.

Por último, el concepto de Forward se refiere a un contrato privado que representa la obligación de comprar o vender un determinado activo en una fecha futura determinada, en un precio establecido al inicio del período de vigencia del contrato.

A continuación se analiza brevemente cada uno de los derivados financieros, que

serán de mayor interés para nuestro estudio. 1.1. El Swap

El swap, es una palabra inglesa que significa, cambio o permuta financiera; y consiste

básicamente en una transacción financiera en la que dos partes, acuerdan contractualmente intercambiar flujos monetarios en el tiempo.

En otras palabras, el swap es un producto financiero utilizado desde 1981, con el

objetivo de reducir los costos y riesgos de financiamiento, o bien, para superar las barreras de los mercados financieros; por lo tanto, como se puede observar, tiene como finalidad mitigar las oscilaciones de las monedas y de los tipos de interés.

Estos instrumentos, se rigen y se encuentran regulados por el compendio de normas de cambios internacionales del Banco Central de Chile.

1 Término financiero que se utiliza para definir la materia a granel o más bien, la materia prima, cuyo concepto incluye también, los productos semielaborados base de algún proceso industrial más complejo; y que constituyen una alternativa más de inversión.


En cuanto a las operaciones que se realizan con este tipo de derivado financiero, se puede decir que los swap son contratos a términos fijos o variables, según se pacte -en la fecha de vencimiento- mediante los cuales una persona o empresa vende al Banco Central de Chile -a través de una institución financiera- una cantidad de dólares al tipo de cambio fijado por dicho organismo para este tipo de operaciones.

A la vez, por este hecho, adquiere el derecho de recomprar la misma cantidad de

dólares en una fecha fija, a un cambio que se determina tomando como referencia el tipo de cambio de venta original, más la variación de la Unidad de Fomento (UF) ocurrida hasta la fecha de la recompra, menos un porcentaje equivalente a la inflación externa que determine el Banco Central. Estos derechos, a su vez, generan normalmente al vendedor, un interés anual pagadero a su vencimiento, en la medida que se ejerza la citada opción de recompra.

A efectos de definir su tratamiento contable, se hace imprescindible analizar el espíritu

económico de la transacción. Es este sentido, generalmente, con ella no se persigue la venta de los dólares y su posterior recompra, sino la obtención de recursos financieros en moneda corriente nacional, entregando como garantía, la moneda extranjera. Lo anterior, protege a la entidad ante eventuales devaluaciones de la moneda local, pues en el fondo no se ha desprendido en forma definitiva de la moneda extranjera, sino que ha obtenido los recursos financieros necesarios.

Por lo general, la intención de las entidades que suscriben contratos swap es la de

ejercer la opción de compra establecida en ellos, a menos que circunstancias inusuales, se torne impracticable o inconveniente llevar a cabo esta opción.

Los swap se caracterizan por:

o Que se utilizan, normalmente, para evitar el riesgo asociado a la concesión de un

crédito, a la suscripción de títulos de renta fija (siendo el interés fijo o variable), o al cambio de divisas.

o Que el swap, como elemento de gestión del pasivo de una empresa, permite pasar de

un tipo de deuda a otra.

o Que las técnicas de intercambio que proporcionan las operaciones swap permiten, a dos o más partes, intercambiar el beneficio de las respectivas ventajas, que cada una de ellas pueda obtener sobre los diferentes mercados. Para ello debe cumplirse una doble regla básica, las partes deben tener interés directo o indirecto en intercambiar la estructura de sus deudas, y al mismo tiempo, cada parte obtiene gracias al swap, un menor costo por su obligación.


Entre las principales operaciones de swap, se encuentran: los swap de tasas de interés y los swap de divisas. A continuación, se podrán observar sus principales características de cada una de estas operaciones.

a) Swap de tasas de interés: actualmente, es el medio más común del mercado

financiero. Constituye un acuerdo entre dos partes, para intercambiar su riesgo de tipos de interés, de tipos fijos a variables, o viceversa. En otras palabras, son contratos para intercambiar los flujos de deudas de diferentes tasas de interés, por lo general, una fija y otra variable.

Este contrato implica que ambas partes tienen una deuda, de idéntico monto, pero con un costo financiero diferente. Uno de ellos tiene un costo financiero indicado, con respecto a un tipo de interés de referencia, pudiendo ser incluso en divisas diferentes.

Existen diversos tipos de swap de tasas de interés, ellos son:

- Cupón swap, en este caso, se intercambian tasas fijas por tasas variables, o

viceversa.

- Basis Swap, en este tipo de contrato, se intercambian tasas variables por tasas variables.

- Cross currency rate swap, en este caso, se intercambian tasas fijas en una

divisa, por tasas variables en otra.

b) Swap de divisas: también denominado swap de monedas, es un contrato financiero entre dos partes, las cuales desean intercambiar un monto en diferentes monedas, por un período de tiempo acordado. Al vencimiento, los montos deben ser intercambiados al tipo original de contado. En otras palabras, es un contrato para intercambiar, en el futuro, montos equivalentes denominados en diferentes monedas, a un tipo de cambio determinado al momento del contrato, en donde los participantes, al final (fecha de vencimiento del contrato), intercambian nuevamente el capital, al tipo de cambio fijado en el contrato.

Los swap de divisas, presenta tres tipos de contratos, ellos son:

- Swap de divisa fijo – flotante, en donde se intercambian tipos de cambio fijos

por tipos de cambio flotantes, o viceversa.

- Swap de divisa fijo – fijo, en donde ambos tipos de cambio intercambiados son fijos.


- Swap de divisa flotante, es decir, se intercambian tipos de cambio flotantes por flotantes.

Algunas características de los swap de divisas son:

- Rompe con las barreras de entrada en los mercados internacionales, esto se debe a que existe mayor facilidad de entrada al mercado de divisas, por el simple hecho de invertir en una moneda extranjera.

- Involucra a partes cuyo monto es de la misma cuantía.

- Este contrato tiene forma contractual, por lo tanto, obliga al pago de intereses recíprocos durante su período de vigencia.

- Retiene la liquidez de la obligación, ya que se asegura a recuperar, el mismo monto invertido a través de un swap.

- Se realiza a través de intermediarios, es decir, la persona que opta por un swap se contacta con intermediarios o “broker de monedas”, quienes se encargan de buscar el mejor lugar en donde efectuar operaciones swap.

CLASE 02 1.2. El Forward

Es un contrato entre dos partes, el cual obliga al titular, a la compra o venta de un

activo a un precio determinado, en una fecha futura predeterminada; en otras palabras, una de las cuales se compromete a vender, en una fecha futura, a una cantidad específica de producto a un precio determinado, y la otra se compromete a comprar esa misma cantidad a ese precio.

En este tipo de contrato, la parte que se compromete a vender una determinada

cantidad de producto, tiene como objetivo asegurar el monto de dinero que recibirá por su producto, de esta forma no estará sujeto a las condiciones del mercado al momento del vencimiento del contrato. En el caso de la contraparte, es decir, aquella que se compromete a comprar dicha cantidad de producto, al precio y fecha pactada, se cerciora de que tendrá que pagar un monto específico de dinero para obtener el bien, dejando de depender de lo que acontezca en ese mercado (ya que en caso de subir los precios en el mercado, al momento del vencimiento del contrato, la parte que se compromete a comprar, podrá ganar, en caso de que el precio pactado sea inferior al de mercado. Sin embargo, si el precio de mercado baja, quien ganará será la parte que se compromete a vender, al obtener un precio


superior).

Por ejemplo:

Si un productor desea asegurar lo que recibirá por las ventas de sus materias primas, y una empresa (que es la contraparte) desea fijar lo que deberá pagar por obtener las materias primas que necesita para su operación, podrán asegurar el precio de los productos transados mediante un contrato de este tipo (forward).

El sistema financiero chileno, actualmente, ofrece diferentes formas de

cobertura para protegerse de las fluctuaciones del dólar, siendo las operaciones de forward las más comunes. Es así como, para los exportadores e importadores nacionales, los contratos forward les son muy rentables y están orientados a ellos como un seguro de cambio.

El concepto de forward existe en forma de diversos instrumentos, cuya negociación es, básicamente, a través de los departamentos de tesorería y/o de comercio internacional y divisas de algunas instituciones financieras, dentro de un mercado llamado over the counter (OTC), es decir, un mercado paralelo al bursátil2. Existe también un mercado donde este tipo de activos se negocian como Futuros3.

Entre las principales características de los contratos forwards se destacan:

o Las partes que intervienen son dos, aquella que se compromete a comprar el bien a

un precio determinado (comprador), y aquella que se compromete a venderla a dicho precio (vendedor), por lo que el precio pactado, dependerá sólo de las expectativas que tengan ambas partes, respecto de la evolución del mercado del producto.

o El forward no exige ningún desembolso inicial, debido a que el precio es fijado por

ambas partes en mutuo acuerdo. Esto hace especialmente atractivo este instrumento financiero, ya que para contratarlo sólo es necesario una o dos llamadas telefónicas.

o Este instrumento sólo exige, al vencimiento del contrato, un flujo de dinero a favor del

“ganador”; por lo tanto, el valor del contrato se descubre a posteriori.

o Este contrato es vinculante, debido a que no permite ninguna elección en el futuro, como ocurre en el caso de las “opciones”4.

2 Existe un mercado oficial, en donde se realizan transacciones bursátiles dentro una bolsa de futuros; y existe un mercado secundario, siendo completamente legal, en donde se efectúan transacciones no bursátiles, las operaciones que se efectúan en este mercado, se realizan sin intermediación de la bolsa y se basa en la confianza que existe entre cada uno de los participantes. 3 Futuros: se compone exclusivamente de activos financieros, es decir, divisas. 4 Que se abordará más adelante en esta unidad.


o Normalmente, no es negociable después del cierre del contrato, no existiendo

mercados secundarios para los contratos forwards, como es el caso de algunos futuros y opciones.

o Los forwards de tipo de interés, en ocasiones pueden ser transferidos, esto ocurre

cuando el inversionista determina que ya no es rentable este tipo de inversión y lo cede a otro inversionista. En cambio, los forwards de divisas, no son transferibles y, generalmente, se espera que al vencimiento, se liquiden mediante la entrega efectiva de las divisas convenidas.

o El riesgo de crédito en un contrato forward puede llegar a ser bastante alto, debido a

las variaciones de precios y las especulaciones que se dan dentro del mercado, y además, es siempre bilateral, es decir, el “perdedor” puede ser cualquiera de las dos partes. En este tipo de contrato, el ganar o perder dependerá directamente de la variación de precios que experimenten los activos entre la fecha del contrato y la fecha de entrega de dicho activo (fecha de vencimiento del activo).

o En el mercado financiero nacional corresponde la denominación del contrato forward

como un instrumento financiero que da cobertura a las partes, para protegerse contra las fluctuaciones del dólar.

o Se pueden operar montos muy grandes con una pequeña garantía, dependiendo del

plazo.

Por último, se debe aclarar el concepto de “mercado forward” que es un mercado en el que se transan productos que, por lo general, son estandarizados, y consisten en un compromiso de comprar y vender un determinado bien en una fecha futura especial, es decir, específica.

Cabe señalar, que los contratos forward son muy parecidos a los contratos de

futuros, con la diferencia que cada contrato forward se confecciona de acuerdo a los requerimientos de las partes contratadas.

Las principales ventajas de este tipo de contrato son que garantizan el suministro de

materia prima con condiciones preestablecidas, permiten planificar la producción de las partes participantes del contrato, garantizan anticipadamente la comercialización, reduce la incertidumbre y se crean condiciones que facilitan los procesos de financiamiento.


Por Ejemplo:

Los contratos forward permiten a los agricultores fijar un precio de venta de su producción desde el mismo momento de la siembra. No obstante, un problema común se registra cuando su producción cae por debajo de la cantidad comprometida en el contrato y el agricultor no tiene la cantidad de producto para cumplir con el contrato. En consecuencia, tendría que adquirir el producto en el mercado, y estaría expuesto al riego de pérdidas adicionales por fluctuaciones de precios o por incumplimiento del contrato.

1.3. Los Futuros

Un Futuro se puede definir como un contrato o acuerdo estandarizado, vinculante entre dos partes, por medio del cual se comprometen -las partes- a intercambiar un activo físico o financiero, a un precio y fecha futura determinada.

Se dice que es un contrato estandarizado dado que la Bolsa de Futuros, diseña

documentos “tipo”, en donde se encuentran establecidas de antemano las condiciones, como por ejemplo, los activos que serán transados, la cantidad física que involucra cada uno de ellos, el grado de calidad, las fechas de vencimiento, y otros aspectos formales.

Los futuros financieros surgieron como respuesta a la aparición de una volatilidad

excesiva en los precios de las materias primas -commodities-, de los tipos de interés, de los tipos de cambio, etc., junto con otros instrumentos como los FRAs5 (Futuro de tasa de interés), los Swaps y las Opciones, todos ellos instrumentos de gestión del riesgo de fluctuación de las anteriores variables.

En el mercado de futuros, al contrario que los contratos forward, pueden participar

todos los agentes económicos que deseen transar un determinado producto en un período futuro.

Cuando se habla de mercado de futuros, nos referimos al mercado formal6 en el que se transan compromisos de compra o venta de productos altamente estandarizados, los cuales se denomina “commodities”, en una fecha predefinida del futuro y a un precio pactado hoy.

5 FRAs (Futuros de tasas de interés) es una operación que permite cubrir riesgo de variación de tasas de interés de activos o pasivos. Se negocia un contrato estandarizado de compra o venta a una tasa de interés determinada, en el cual se especifica la cantidad del activo, su precio y fecha de liquidación. En este acuerdo, las partes se comprometen a pagar o recibir pérdidas o ganancias, generadas por la diferencia de precios del contrato durante su vigencia. 6 El mercado cambiario formal está compuesto por todos los Bancos (obligatoriamente) y en forma voluntaria por las casas de cambio y corredoras autorizada.


Por ejemplo:

Ilustraremos el funcionamiento de un contrato de futuros tomando como ejemplo los contratos de futuros del maíz negociados en el “Chicago Board of Trade” , un inversor de Nueva York llama a su agente en el mes de marzo y le da instrucciones para que compre 5.000 bushels de maíz con entrega en el mes de julio. El agente traslada inmediatamente esas instrucciones a un operador del “Chicago Board of Trade”. En el mismo instante, otro inversor de Kansas podría dar instrucciones a su agente para que vendiese 5.000 bushels de maíz con entrega en el mes de julio, si estos dos operadores de encuentran y acuerdan un precio sobre el maíz a entregar en julio, el trato estaría ya incluido. Tipos de Contratos de Futuros

En la actualidad se contratan Futuros sobre casi todo, puesto que lo que realmente se

negocia es la volatilidad de los precios, y hoy en día, los precios de prácticamente todos los productos fluctúan. Por ejemplo, se puede observar que el precio del petróleo tiene una alta volatilidad, puesto que continuamente están variando.

Puede establecerse una clasificación de los tipos de contratos existentes, atendiendo

al activo subyacente que toman como base; en este caso, se encuentran básicamente dos: a) Futuros sobre activos físicos (Commodities futuros): los activos físicos o reales en los

contratos de Futuros provienen de dos grandes grupos; en primer lugar, los productos agrícolas, y en segundo lugar, los principales metales.

Actualmente, se ha extendido su uso a todo el mundo, y los principales mercados tienen estandarizados los contratos que negocian sobre “futuros” en commodities, así como las diferentes calidades de cada uno de los productos.

b) Futuros sobre instrumentos Financieros (Financial Futures): los futuros financieros

comenzaron a negociarse a partir de los años 70´ y por orden de aparición, los activos en los que se basan son: divisas, tipos de interés (en el caso de instrumentos de deuda y depósitos interbancarios) y en índices bursátiles.

Es posible identificar algunas ventajas en la contratación de futuros, tales como:

o En el mercado de futuros, el precio pactado de equilibrio refleja la interacción de todos

los agentes económicos, por lo que incorpora más información. Asimismo, cada vez que hay cambios de expectativas debido a nueva información, éstos se verán reflejados en el precio.

o El mercado de futuros, suele ser utilizado como cobertura del riesgo de fluctuación de

los precios al contado, antes del vencimiento.


o Los contratos de futuros ofrecen menores costos iniciales que otros instrumentos

equivalentes, puesto que sólo se debe depositar una fianza o margen sobre un activo subyacente mucho mayor (mayor apalancamiento7).

o La existencia de una bolsa organizada y unos términos contractuales estandarizados

proporciona liquidez, debido a que las Bolsas en las cuales se tranzan los Futuros, son conocidas internacionalmente, lo que implica garantías a la inversión y a la liquidez que persigue cualquier inversionista. Además, posibilita a los participantes a cerrar posiciones (comprar o vender) en fecha anterior al vencimiento, ya que se puede conocer la evolución de los precios, permitiendo determinar el valor de la inversión y los recursos de dicha operación, antes de saber los valores que regirán a la fecha de vencimiento real de ésta.

La cámara de compensación garantiza en todo momento la liquidación del contrato, es decir, las partes no asumen riesgo de insolvencia y siempre se recupera la inversión realizada; ya que esta cámara actúa como vendedor frente a cada comprador, y como comprador frente a cada vendedor. Esto significa que el compromiso contraído entre vendedor y comprador no es entre ellos, sino que con dicha cámara; por lo que ésta es la encargada de traspasar las pérdidas o ganancias de la inversión.

Por otro lado, también existen inconvenientes que derivan de la contratación de futuros, algunos de ellos son:

o Al igual que en los contratos a plazos, en el caso de los futuros existe una posible

exposición al riesgo, debido a que la visión que se tiene del mercado puede no ser la correcta, esto ocurre sobre todo en estrategias especulativas.

o Si se utilizan los contratos de futuros como un instrumento de cobertura, se perderán

los beneficios potenciales del movimiento de los precios a futuro, dado que en este tipo de contrato se fija el precio anticipadamente (hoy), asumiendo riesgo de pérdida en caso de que los precios bajen.

o No existen contratos de futuros para todos los instrumentos ni para todas las

mercancías. Generalmente, los contratos de futuros se tranzan en la comercialización de materias primas o productos con bajo valor agregado, por ejemplo, cobre, cuyos precios están determinados en Bolsas Comerciales conocidas internacionalmente.

o Al estar todos los términos del contrato estandarizados, pueden no cubrirse

exactamente todas las posiciones de contado. Estos contratos, son contratos “tipos”, lo cual implica que muchas veces no se establezcan condiciones particulares para cada una de las partes, según las propias necesidades y requerimientos en este tipo de inversión.

7 Se refiere a la composición de la deuda y capital para financiar los activos


A continuación se describen las diferencias de importancia que existen entre el

contrato de futuro con el forward.

Cuadro Nº 1: Principales Diferencias entre Forward y Futuros Financieros

MOVIMIENTO FORWARD FUTUROS Número de Participantes Un vendedor y un comprador Muchos vendedores y

compradores Vencimiento de Operaciones

Cualquier fecha Estandarizado, la Bolsa fija los ciclos de vencimiento

Términos del Contrato Ajustado a sus necesidades Estandarizado Mercado Tantos mercados como acuerdos

de compraventa Sede física concreta “la Bolsa”

Fijación de Precios Negociación entre las partes Cotización abierta, es decir, se rige por el juego entre oferta y demanda.

Fluctuaciones de Precios Precio libre, sin restricciones Fluctuación máxima fijada por la Bolsa.

Relación Comprador/ Vendedor

Directa o por intermedio de un broker.

Anónima

Depósito Previo No usual Es obligatorio depositar un margen.

Riesgo de Insolvencia Asumido por ambas partes Asumido por la Cámara de Compensación

Cumplimiento del Contrato

Entrega física del activo. Tres posibilidades de liquidación: 1. Entrega física. 2. Liquidación en Efectivo. 3. Cancelación Anticipada.

1.4. Títulos de Certificados de Recompra

Este tipo de instrumento financiero se utiliza para los bienes transables de la bolsa agrícola que cumplan las siguientes condiciones, ser productos agrícolas, almacenables, estacionables o ser productos exportables que tengan una marcada estacionalidad en la cosecha.

Este tipo de operaciones tienen a fin capturar un diferencial de precio positivo entre

el período de cosecha y el periodo mínimo stock del producto, es decir, el punto donde comienzan las importaciones, de un producto importable.

La operación, en términos generales, comienza cuando el interesado transa su producción en la bolsa, en donde decide dejar su producción a un agente privado acopiador el cual emite un certificado de depósito del producto, luego se gestiona el certificado ante la bolsa. Posteriormente, la Bolsa reconoce el certificado y sobre éste autoriza la emisión de un título que acredita la cantidad y calidad de la producción en base al precio spot de mercado.


El certificado de título emitido, es vendido en la bolsa a inversionistas interesados en transar con dicho producto.

Realizar Ejercicios del Nº 1 al Nº 4

CLASE 03 1.5. Las Opciones de Compra y Venta

Las opciones son instrumentos que dan a su poseedor (titular) el derecho, más no la

obligación de comprar o vender un activo subyacente8, a un precio establecido hoy, antes de una fecha futura determinada o en una fecha futura preestablecida. En caso de que la opción sea ejercida, la contraparte se encuentra obligada a cumplir lo pactado, ya sea a comprar o vender la opción, a dicho precio.

Las opciones existen debido a que los agentes económicos presentan expectativas

divergentes respecto de la evolución a futuro del precio del activo subyacente. Por lo tanto, este tipo de transacción puede llevar a grandes ganancias o pérdidas, lo que dependerá de las variaciones de precios que puedan experimentar los “títulos o activos subyacentes” a transar.

El activo subyacente estará sujeto a un precio por un período de tiempo determinado, el que se encuentra especificado en el contrato. El precio que se paga por la opción se denomina prima.

La opción, dentro del ámbito financiero, presenta numerosas variantes, tanto por la

finalidad del negocio, como por su utilización simple, o combinada con otros instrumentos financieros (futuros, otras opciones, etc.)

El contrato de opción tiene una diferencia con respecto al forward, futuros y swaps, y

es que en éstos se contraen obligaciones, mientras que en los contratos de opción se adquiere el derecho de comprar y vender un cierto activo. Este activo puede ser un tipo de interés, una acción, una divisa, cualquier papel de renta fija o variable, etc.

Características de las Opciones Este instrumento financiero presenta dos tipos de opciones, ellas son:

1) Opciones de compra u opciones call: estas opciones le dan a su tenedor el derecho

8 Activo subyacente, es un activo al que está asignado una garantía o warrant: acciones, índices bursátiles, divisas o tipos de interés.


(no la obligación) de comprar un activo subyacente, a un precio fijado hoy en una fecha determinada del futuro. Si en la fecha pactada, el activo se transa en el mercado spot9 a un precio más alto que lo que pacta el contrato, el tenedor de la opción comprará al emisor de la opción el activo subyacente al precio del contrato, obteniendo una ganancia, igual al precio spot y el precio pactado o de ejercicio10; en caso contrario, el activo subyacente se deja expirar sin ejercer.

2) Opciones de venta u opciones put: estas opciones le dan el derecho a su tenedor a

vender el activo subyacente (por ejemplo, acción) a un precio y en una fecha pactada hoy, del futuro. La opción put será ejercida si a la fecha pactada, el precio spot es menor que el precio pactado; en caso contrario, la opción se deja expirar sin ejercer.

Por lo tanto, el precio del ejercicio de la opción, en comparación con el precio de

mercado (precio spot), indica la conveniencia o no de ejercitar la opción, señalando la posibilidad de obtener una ganancia.

Por Ejemplo

Una opción de compra (call), a diferencia de un contrato de futuros, no involucra la obligación de comprar al precio establecido. Por lo tanto, si se tiene una opción call, que da el derecho de comprar una acción en $ 1.000 al día 10 de mayo de 20XX, y ese día la acción se está transando en $ 1.200, convendrá ejercer la opción, ya que se pagará $ 1.000 por un bien que tiene un precio spot (precio de mercado) de $ 1.200 (en el mercado formal), la transacción se efectuará a $ 1.200; sin embargo, la Cámara de Compensación será quien entregue los $ 200 de diferencia.

Si el precio de esta acción al 10 de mayo de 20XX fuera $ 900, no tiene sentido

ejercer la opción, por lo que convendrá dejarla expirar, dado que el precio de mercado es inferior al precio pactado en el contrato de la opción.

A continuación, se muestra un cuadro en donde se visualizan las posiciones que pueden originarse en las opciones, según se compren o vendan opciones de compra (call) u opciones de venta (put).

Cuadro Nº2: Posiciones de las Opciones

POSICIONES BÁSICAS

DE LAS OPCIONES COMPRADOR VENDEDOR

Call Derecho a Comprar Obligación de Vender Put Derecho a Vender Obligación de Comprar

9 Mercado spot, corresponde al mercado de transacciones instantáneas, donde se paga y despacha inmediatamente el bien. Por ejemplo, compra y venta de acciones en la Bolsa de Comercio. 10 Precio de ejercicio, es aquel pactado en el contrato, y que se hace efectivo al momento de ejercer la opción, es decir, al momento de comprarla o venderla.


El comprador de una opción call, tiene derecho, a cambio de una prima, a comprar un activo subyacente en la fecha de vencimiento (si se trata de una opción europea) o en cualquier momento (si se trata de una opción americana), a cambio de un precio prefijado en contrato.

El vendedor de una opción call, por tanto, y a cambio de la percepción de la prima,

tiene obligación de vender un activo subyacente en la fecha de vencimiento (si se trata de una opción europea) o en cualquier momento (si se trata de una opción americana); estando obligado a satisfacer los requerimientos contractuales del comprador.

El comprador de una opción put, tiene derecho, a cambio del pago de una prima, a

vender el activo subyacente, al precio determinado de ejercicio en la fecha de vencimiento (si se trata de una opción europea), o en cualquier momento (si se trata de una opción americana).

El vendedor de una opción put, tiene la obligación, a cambio de recibir la prima, a

comprar el activo en la fecha de vencimiento (si se trata de una opción europea) o en cualquier momento (si se trata de una opción americana), siempre a requerimiento del comprador de la opción.

Las clases de opciones que se pueden comprar o vender, según sea el caso, son:

Opciones de divisas, son aquellas inversiones que se transan en moneda extranjera.

Opciones sobre activos de renta fija, son aquellas inversiones con una rentabilidad cierta, es decir, inversiones que permiten conocer de manera anticipada cuáles serán las condiciones de plazo y rentabilidad por la compra o venta de títulos de valores.

Opciones sobre índices, corresponden a aquellas inversiones de acuerdo a índices bursátiles o valores que se cotizan en las Bolsas.

Opciones sobre mercancías, son aquellas inversiones en donde se transan valores de productos, los cuales están determinados por las Bolsas de recursos naturales o commodities.

Opciones sobre futuros, son aquellas inversiones en donde se transan activos financieros.


Existen dos tipos de opciones, de acuerdo a la fecha de vencimiento de la opción, ellas son:

- Opción americana: podrá ser ejercida en cualquier momento, entre la fecha de

inicio y la de término de contrato.

- Opción europea: la opción sólo podrá ser ejercida en la fecha de expiración del contrato.

A continuación, se explicará una clase particular de opciones, las opciones sobre

futuros, a fin de conocer sus características y funcionamiento. Las demás opciones no son analizadas, pues por esencia misma de la idea de una “opción” se considera la de Futuro la más relacionada con el tema de esta unidad.


Opciones sobre Futuros

En una opción de compra (call), el poseedor tiene derecho de adquirir contratos de futuros a un precio fijo, durante un período de tiempo determinado, o en una fecha concreta, y a cambio de esto debe pagar una prima, por concepto del precio de la opción.

En una opción de venta (put), el poseedor tiene el derecho a vender contratos de

futuros a un precio fijo, durante un período de tiempo determinado, o en una fecha fija, a cambio del pago de una prima, por concepto del precio de la opción.

Características

La diferencia esencial con las opciones físicas, radica en que las opciones sobre

futuros tienen como activo subyacente un contrato de futuros, sobre un activo determinado.

Los contratos de opciones tienen la característica principal de poder vencer sin ejercerse, mientras que los contratos de futuros deben compensarse o liquidarse de manera obligatoria.

Existen tres formas de cancelar la posición en opciones sobre futuros, ellas son:

- Dejar expirar la opción sin ningún valor, es decir, no se le asigna ningún valor

(pago) al momento del vencimiento de ésta.

- Compensar la posición, consiste en entregar un monto de dinero equivalente al monto de la inversión. Es un monto mínimo que todo contrato establece.

- Ejercer la opción, es decir, comprar o vender el activo según lo acordado en el

contrato.

En el cuadro que se presenta a continuación, se pueden visualizar las principales diferencias entre tres tipos de instrumentos financieros, ellos son: los forward, futuros y opciones.

2020


Cuadro Nº 3: Situación Comparativa entre Forwards, Futuros y Opciones Financieras

CARACTERÍTICAS FORWARDS FUTUROS OPCIONES Contrato Obliga al

Comprador y al Vendedor

Obliga al Comprador y al Vendedor

Obliga al Vendedor

Tamaño del Contrato

Determinado por las partes

Estandarizado Estandarizado

Fecha de Vencimiento

Determinada por las partes

Estandarizada Estandarizada: Opción Europea: fecha de ejercicio, coincide con fecha de vencimiento. Opción Americana: fecha de ejercicio, cualquiera, hasta la fecha de vencimiento.

Método de Transacción

Contratación directa entre las partes.

Abierta en el mercado. Abierta en el mercado.

Institución Garante Las Partes. Cámara de Compensación

Cámara de Compensación

Mercado Secundario11

No existe Mercado Secundario Mercado Secundario

Aporte Inicial y Garantías entre las partes.

Según acuerdo entre las partes.

Margen inicial otorgado por las partes contratantes. Garantías complementarias, en función de la evolución de los precios de mercado.

Margen inicial solo por parte del vendedor. Garantías complementarias, en función de la evolución de los precios de mercado.

El comprador de opciones tiene un riesgo limitado, ya que su máxima perdida se limita al precio pagado por la adquisición de la opción, el cual se denomina Prima. El vendedor de opciones asume un riesgo ilimitado, es por esto que el mercado solicita garantías cada vez que se abre una posición vendida.

La prima posee dos componentes: un valor intrínseco y un valor temporal. El Valor

Intrínseco es el valor que tendría la opción si se ejerciese en ese momento. En el caso de los Call esta determinada por la diferencia entre el precio de ejercicio y el precio de la acción, siendo su valor mínimo igual a cero. El valor temporal es la parte de la prima que supera el valor intrínseco de la opción.

11 Mercado secundario: corresponde al conjunto de negociaciones de compradores y vendedores que tienen por objeto adquirir títulos o valores que ya están en circulación, proporcionando liquidez a sus tenedores. El inversionista que ya adquirió un título o valor, decidirá venderlo a otro inversionista, por lo que el intercambio de flujo monetario y valores se da entre dos entes distintos al emisor

2121



CLASE 04

2. TEORIA DE OPCIONES FINANCIERAS

En este apartado se abordará más detalladamente la teoría de opciones financieras, como el principal instrumento financiero a estudiar, para tales efectos -aunque se redunden en algunos términos- es necesario conformar la base teórica de las opciones financieras.

Las opciones son instrumentos suscritos sobre acciones que le dan a su tenedor el

derecho a comprar o vender un determinado número de acciones, en una fecha preestablecida, a un precio pactado hoy entre las partes.

Las opciones, a su vez, pueden ser de compra las cuales se denominan “opciones

Calls”; o de venta las que se denominan como “opciones Puts”. Para fines de este material de estudio se definen -las opciones Call y Put- formalmente como:

Opciones Calls

Estas opciones (de compra o call) dan a su tenedor el derecho más no la obligación de compra de un número específico de acciones de una firma, en una fecha prefijada y a un precio acordado hoy, el cual recibe el nombre de “precio de ejercicio”.

Opciones Puts

En cambio, las opciones put o de venta dan a su tenedor el derecho, pero no la

obligación, de vender un número predeterminado de acciones de la firma sobre la cual están suscritas las opciones, en una fecha predefinida y a un precio pactado.

Los participantes en una transacción de opciones se pueden definir como:

o El tenedor de una opción, ya se de venta o de compra -put o call-, es quien compra el derecho;

o El emisor del derecho, es la persona que vende el derecho a comprar o vender

acciones. Este personaje a diferencia del tenedor, si tiene la obligación de entregar el derecho a vender o a comprar acciones, en este caso al tenedor de ellas.

En la figura Nº 1 se muestra el diagrama de cómo los participantes intervienen en la

operación de una opción financiera.

2222


Figura Nº 1: Diagrama de Operación Financiera de una Opción

TENEDOR Posee el derecho más no la obligación, de la

OPCIÓN Tiene la obligación por

medio de una

EMISOR

Derecho / Obligación que puede ser

COMPRAR VENDER

Por medio de una opción Por medio de una opción

CALL PUT

Es importante destacar que el participante que debe perfeccionar la transacción, es decir, quién completa formalmente la compra o venta de acciones es el emisor del derecho.

2323


2.1. Marco Conceptual de la Teoría de Opciones

Como ya se ha mencionado, las opciones son instrumentos financieros que otorgan a su tenedor el derecho más no la obligación de comprar o vender una acción (activo subyacente) en un período futuro y a un precio fijado hoy. Esta definición, es la que prima en el estudio de todo este material de estudio.

Las opciones existen porque hay expectativas divergentes respecto de la evolución a

futuro del precio del activo subyacente. Es decir, cuando esperamos que el precio de una acción específica aumente considerablemente con el tiempo, debido a diferentes causas, nuestra intención será comprar estas acciones para luego venderlas a un precio mayor.

En la introducción a este apartado, se adelanto que existen dos tipos de opciones a

saber, según si se trata de opciones de compra o de venta. A continuación se analiza cada una de ellas.

a) Opciones de Compra u opciones “Call”

Estas opciones le dan a su tenedor el derecho (no la obligación) de comprar una

acción (u otro activo – subyacente) a un precio fijado hoy en una fecha determinada del futuro.

Si en la fecha pactada la acción se transa en el mercado spot (instantáneo) a un

precio más alto que lo que pactado en el contrato, el tenedor de la opción comprará al emisor de la opción el activo subyacente (acción) al precio pactado o de ejercicio, en caso contrario la opción se deja expirar sin ejercer.

b) Opciones de venta u opciones “Put”

Son el derecho de su tenedor a vender el activo subyacente (acción) a un precio

pactado hoy, en una fecha acordada hoy del futuro.

La opción put será ejercida si a la fecha pactada el precio spot (del mercado instantáneo) es menor que el precio pactado. En caso contrario la opción se deja expirar sin ejercerla.

2424


Otra clasificación de las opciones, que ha sido introducida anteriormente y que no tiene que ver con la acción de compra o de venta, sino más bien con el período en el que se puede ejercer la opción, según le convenga al tenedor. De acuerdo a esto, podemos encontrar opciones “europeas y americanas”.

Opciones Europeas

Las opciones europeas se caracterizan porque pueden ser ejercidas en la fecha de expiración de la opción, sea esta de compra o de venta.

Opciones Americanas

Las opciones americanas son opciones de compra o de venta que se

caracterizan por poder ejercerse en cualquier momento entre el inicio y el fin del período de vigencia de la opción. Por esta característica, la cual permite comprar o vender cuando más le convenga al tenedor, la hace más conveniente que la opción europea.

Para simplificar el análisis de las opciones, por el momento sólo se trabajara con las opciones del tipo Europeo, y con opciones suscritas sobre acciones.

2.2. Pagos de una Call

Una opción call da derecho a su tenedor a comprar acciones a un precio pactado hoy,

si a la fecha de vencimiento el precio de mercado (precio spot) de la acción es inferior al precio pactado (precio de ejercicio), en este caso el tenedor no ejerce la opción de compra, pues recordemos que es un derecho y no una obligación; en conclusión la opción se deja expirar sin ejercerse.

Por el contrario, si a la fecha de espiración el precio de mercado de la acción es

superior al precio de ejercicio, se ejerce la opción, y el tenedor gana la diferencia entre el precio de mercado de la acción y el precio de ejercicio, así sea $1.

El valor de la call queda expresado, según la definición anterior, de acuerdo a la

máxima ganancia que se obtiene al ejercer la opción.

C* = Máx {0 ; S* - K}

2525


Donde K : Es el precio de ejercicio o precio pactado de la opción

S* : Es el precio de mercado de la acción, el día que espira la opción, o precio spot

C* : El valor de la Call suscrita sobre la acción, el día de la expiración del contrato

Por lo tanto, el valor de la call es el máximo entre cero y S* - K, lo que sucede cuando se ejerce la opción, es decir, si el precio de mercado de la acción es más alto que el precio de ejercicio (S* > K) el tenedor de la call ejerce su derecho de comprar en K algo que vale S*; por lo tanto gana S* - K.

Pero si S* < K no le conviene comprar al precio pactado o de ejercicio, ya que en el

mercado es más barato, por lo tanto, el tenedor deja expirar sin ejercer la opción, caso en el cual la call vale cero (C*= 0).

Casos Posibles en las Opciones Call

S* ≤ K Donde la call vale cero C* = 0

S* > K Donde la call es positiva mayor que cero C* = S* - K > 0

2626


Actividad Nº 1

Suponga que existe la posibilidad de que las acciones de la AFP de BBVA, Provida, suban en los próximos 6 meses. En el supuesto de que la acción cotizara, actualmente, en $100 y que usted tiene la opción de comprar un título para adquirir el derecho a comprar acciones de Provida a este precio. Lo que se conoce como un título Call de Provida a un precio de ejercicio de $100; ahora la prima de la call tiene un valor, es decir, la compra de este derecho cuesta $10.

Si pasados los 6 meses, Provida se cotiza en el mercado a precio spot de $130, usted como inversor habrá ganado $30 por acción, pues ejercerá la opción de comprar acciones a un valor de $100, cuando en el mercado están valoradas a $130.

Ahora la rentabilidad de la inversión de $10, prima de la call, es de un 200%. Lo que se obtiene al calcular la diferencia entre la ganancia de la call menos la inversión, y luego dividir por la inversión o prima de la call (30-10 = 20; 20/10 = 2; 2 x 100 = 200%).


CLASE 05 2.3. Pagos de una “Put”

La opción Put da a su tenedor el derecho a vender acciones de una firma en una fecha

predeterminada a un precio fijado con anterioridad. Si a la fecha de vencimiento de la opción el valor de mercado de la acción es mayor que el precio pactado de la put, ésta se deja expirar sin ejercer.

Por el contrario, si a la fecha de expiración el precio de mercado de la acción es

inferior al precio pactado, el tenedor venderá a la acción al precio de ejercicio y, por lo tanto, obtendrá una ganancia que se representa por la diferencia entre el precio pactado y el precio de mercado de la acción.

2727


La definición, anteriormente señalada, se representa como:

P*: máx {0 ; K – S*}

Donde K : El precio de ejercicio o precio pactado de la opción S*

P* : El valor de la Put en la fecha de expiración del contrato

S* : Es el precio de mercado de la acción el día que espira la opción o precio spot

En otras palabras, el valor de la put en la fecha del vencimiento corresponde a la ganancia, la cual se define como la diferencia entre el precio pactado (K) y el precio de mercado (S*), siempre y cuando K > S*. Pero si S* ≥ K, entonces no convendrá vender al precio K, algo que podemos vender a un precio S* en el mercado spot, por lo tanto, la opción se deja expirar sin ejercer y, en este caso, la put vale cero (P* = 0).

Casos Posibles en las Opciones Put

S* ≥ K Donde la put vale cero P* = 0

S* < K Donde la put es positiva mayor que cero C* = K - S* > 0

2828


Actividad Nº 2

Usted es accionista de Parque Arauco y tiene la opción de vender algunas de estas acciones, en una fecha y precio determinado, lo que se conoce como realizar una Put en la bolsa de comercio.

El precio de ejercicio de la put es de $80 por acción, el precio spot $85 y la fecha de vencimiento es en 6 meses.

Llegada la fecha de vencimiento, el precio de mercado de las acciones de Parque Arauco han observado una gran baja, debido a que el directorio de esta empresa ha decido aumentar el capital para solventar nuevos proyectos, por medio de la emisión de acciones a un valor de $55.

Dado lo anterior, a usted le conviene ejercer la acción -por regla general se ejerce la Put cuando S* < K, ya que el valor de la put es de $25.

2.4. Diagramas de Pago de las Opciones sobre acciones

Los diagramas de pago de las opciones se refieren al hecho gráfico de haber comprado o comprar, y haber vendido o vender una acción. Es decir, por un lado se denota como “estar largo en una acción” cuando el tenedor de la acción la ha comprado o tiene el derecho a comprarla; por el otro, se dice que “se esta corto en una acción” cuando el tenedor del instrumento financiero lo ha vendido o tiene el derecho a venderlo.

En nuestro estudio posterior, se abordará cada una de las posesiones antes

mencionadas, de manera de comprender a cabalidad el concepto de diagrama de pago de las opciones.

A continuación se estudian estas posesiones para una acción, como una forma de

introducir al alumno en esta materia de análisis. a) Largo en una acción

Estar largo en un instrumento financiero es haberlo comprado, tenerlo o tener el

derecho de comprarlo. En otras palabras, el inversionista está largo en una acción cuando lo ha comprado y sus pagos se representan gráficamente de la siguiente forma.

2929


Gráfico Nº 1: Posesión Larga de una Acción

Ganancia

0

- S0

45º

S*

S* = S0

Pérdida

El valor de la posesión largo en la acción es lineal, en donde el eje “y” representa la ganancia-pérdida del inversionista, el eje “x” representa los valores que puede tomar la acción -el mínimo valor de la acción es cero-, y de esta forma la posesión larga en la acción se representa en forma diagonal con un ángulo de 45º.

Lo más que puede perder este inversionista es –S, valor de la acción. Es decir, es el

precio que pago por la posesión larga de la acción -comprar la acción- lo cual sucede cuando el valor de la acción en el mercado es cero (S* = 0).

Como podemos observar en el gráfico Nº 1, las ganancias para el inversionista

comienzan cuando el precio de mercado de la acción (S*) es superior al precio pagado por la posesión larga de la acción (S* > S0) -por el inversionista-, las ganancias empiezan a ser positivas.

Por lo tanto, por regla general se tiene que:

S* > S0 Esto implica que las ganancias son positivas G>0

3030


Donde S* : Es el precio actual de la acción, precio de mercado

S0 : Es el precio inicial de compra

b) Corto en una acción (venta corta)

Estar corto en una acción quiere decir que la persona -el tenedor- pide prestada la

acción para venderla y, luego, debe recuperarla y devolverla, por lo que a fin del período la recompra.

A continuación se presenta el diagrama de pago de la posesión corta de una acción, la

cual se representa en forma lineal con un ángulo de 45º, pero a diferencia de la posesión largo en la acción, el diagrama de pago comienza de su máxima ganancia que corresponde al pago por la posesión corta (S0).

Gráfico Nº 2: Posesión Corta de una Acción

Ganancia

S0

S* = S0 S*

45º

Pérdida

El valor de la posesión corta en la acción es lineal, en donde el eje “y” representa la ganancia-pérdida del inversionista, el eje “x” representa los valores que puede tomar la acción -el mínimo valor de la acción es cero-, y de esta forma la posesión corta en la acción se representa en forma diagonal con un ángulo de 45º.

Al analizar el gráfico nº 2, es posible concluir que el inversionista gana cuando el

precio de mercado de la acción (S*), al día del vencimiento, es menor al precio al cual la vendió la acción (S0) al comienzo del período.

3131


El inversionista que esta corta en una acción, gana mientras el precio spot o de mercado es menor que el precio al cual vendió. En caso contrario, sus pérdidas comienzan cuando el precio de mercado de la acción es mayor que el precio al cual vendió

Por lo tanto, por regla general se tiene que:

S* < S0 Esto implica que las ganancias son positivas G>0

S* > S0 Esto implica pérdidas para el inversionista P>0 o G<0 Donde

S* : Es el precio actual de la acción, precio de mercado

S0 : Es el precio inicial de venta de la acción

Realizar Ejercicio Nº 15

CLASE 06 2.5. Diagrama de Pago de una Call

En este punto, es preciso recordar que una call es el derecho pero no la obligación a

comprar un activo o acción a un valor K o precio de ejercicio.

La posesión larga de una call, se refiere a cuando un inversionista compra una opción call -compra el derecho a comprar un activo o acción- y apuesta a que el precio de mercado de la acción va a subir.

En este caso el inversionista gana en la medida en que el precio de mercado de la

acción supera al precio de ejercicio (S* > K), situación en la cual se ejerce la opción call, es decir, se ejerce el derecho a comprar la acción a un valor K. Lo que se puede observar en el gráfico número 3, que se presenta a continuación.

En caso contrario, que se da cuando el precio de mercado -a la fecha de vencimiento

de la opción- es menor al precio de ejercicio (S* < K), se deja expirar la opción sin ejercer y

3030


pierde el monto pagado por el derecho12 (C). Cabe señalar, que la opción se deja expedir pues le conviene más comprar la acción en el mercado que ejerciendo su derecho a comprar.

Para comprender el diagrama de una call, se debe recordar la regla de decisión para

ejercer o no el derecho de compra de la opción.

C = máx {0, S* - K} Gráfico Nº 3: Posesión Larga de una Call

12 La Call (C) es un pago en dinero que compra el derecho a comprar un activo o una acción, pero no la obligación.

Ganancia (+)

S*=K S*

S* = K + C

Pérdida

-C

(-)

45º

El gráfico nos muestra como se comporta el pago de una posesión larga en una call, es decir, cómo el inversionista pasa de pérdida a ganancia, dependiendo del precio de mercado de la acción.

En el tramo de S* = 0 a S* = K, el inversionista pierde el valor de la call, pues no

ejerce la opción de comprar acciones, ya que en el mercado su precio es menor, por lo cual el diagrama de pago se presenta como una línea horizontal en este tramo.

3131


En el tramo de S* = K a S* = K + C, el inversionista aún pierde, pero no la cantidad del valor de la call, sino menos. Lo que se traduce en un diagrama de pago lineal pero en forma diagonal ascendente hasta cruzar el eje x.

Desde S* = K + C en adelante, en este tramo el inversionista ejerce la opción pues

sus ganancias son positivas, lo que se presenta con un diagrama lineal en forma diagonal ascendente, en el cuadrante positivo del gráfico.

Cuando se habla de posesión corta de una opción, en este caso la persona o

inversionista ha vendido el derecho a que le compren la acción a un precio de ejercicio K, en la fecha de vencimiento pactada, y se la compran si y sólo si cuando S* > K.

Por lo tanto, el inversionista gana cuando la opción expira (el contrato madura) y la

contraparte no la ejerce, donde su máxima ganancia es C -el pago del derecho de la opción- y pierde cuando la opción se ejerce.

Lo anterior, se representa gráficamente de la siguiente forma.

Gráfico Nº 4: Posesión Corta de una Call

Ganancia (+)

C

S*=K

S* S*=k+c

Pérdida (-)

El gráfico nos muestra como se comporta el pago de una posesión corta en una call,

es decir, cómo el inversionista pasa de ganancia a pérdida, dependiendo del precio de mercado de la acción.

En el tramo de S* = 0 a S* = K, el inversionista gana el valor de la call, pues a quien

le vende el derecho a comprar las acciones no lo ejerce, ya que en el mercado su precio es menor, por lo cual el diagrama de pago se presenta como una línea horizontal en este tramo, en el cuadrante positivo del gráfico.

3232


En el tramo de S* = K a S* = K + C, el inversionista aún gana, pero no la cantidad del valor de la call, sino menos. Lo que se traduce en un diagrama de pago lineal pero en forma diagonal descendente hasta cruzar el eje x, todavía en el cuadrante positivo del gráfico.

Desde S* = K + C en adelante, en este tramo el inversionista que compra la opción la

ejerce, pues sus ganancias son positivas; por lo que nuestro inversionista comienza a perder al ser ejercida la opción de compra de las acciones a una valor K, es decir, debe vender a pesar que en el mercado el precio de la opción es mayor. Lo que se presenta con un diagrama lineal en forma diagonal descendente, en el cuadrante negativo del gráfico.

CLASE 07 2.6. Diagrama de Pago de una Put

Los diagramas de pago de una opción de venta, más conocido como opciones put,

también se analizan en forma separada dependiendo de la posición que adopte el inversionista en cuanto la opción, es decir, si estará largo o corto en la put.

Antes de comenzar con el análisis, se debe exponer nuevamente la regla de decisión

en el ejercicio de una opción put.

P* : máx {0 ; K – S*}

La posesión larga en una put, se refiere aquel inversionista que compro el derecho a vender la acción, por lo tanto, en este caso el inversionista está apostando a que el precio de la acción -precio spot o de mercado- va hacer inferior al precio pactado en el derecho a venta de la acción -precio de ejercicio de la opción K-, caso en el cual él obtendrá ganancias.

La posesión larga en una put se analiza en forma gráfica en la siguiente

representación visual, que como en los casos anteriores, es la mejor herramienta a utilizar para la comprensión del alumno.

3333


Gráfico Nº 5: Posesión Larga en una PUT

Ganancia (+)

K

S*=K-P

Pérdida

S*

-P S*=K

(-)

El gráfico nos muestra como se comporta el pago de una posesión larga en una put, es decir, cómo el inversionista pasa de ganancia a pérdida, dependiendo del precio de mercado de la acción, el cual determina el ejercicio o no de la opción.

En el tramo de S* = 0 a S* = K-P, el inversionista gana al ejercer la opción, es decir

vende la acción a un valor K (que es superior al precio de mercado), ganancia que se traduce en el valor de ejercicio (K) menos lo que pago por el derecho a compra (P, put), es decir K-P. Se ejerce la opción ya que se estará vendiendo a K (K>S*) algo que vale S* en el mercado. Por lo cual, el diagrama de pago se presenta como una línea en forma diagonal descendente, en el cuadrante positivo del gráfico.

En el tramo de S* = K - P a S* = K, el inversionista comienza a perder al ejercer la

opción. Recordemos que se ejerce la opción cuando el precio de ejercicio es mayor que el precio de mercado (K > S*), por lo tanto, en este tramo el inversionista ejerce la opción de vender la acción a un precio K -superior al del mercado-, pero pierde el valor de la put, que en este tramo el valor de la put es mayor que el precio de ejercicio (K). Lo que se traduce en un diagrama de pago lineal pero en forma diagonal descendente, en el cuadrante negativo del gráfico.

Desde S* = K en adelante, en este tramo el inversionista que compra la opción de

vender la acción no la ejerce, pues obtendría pérdidas. Lo anterior, quiere decir que el inversionista comienza a perder al ser ejercida la opción de vender las acciones a una valor K, debido a que el precio de mercado o spot de la acción es mayor. No obstante, se pierde por el pago del derecho a vender -el valor de la put-. Lo que se representa con una línea horizontal en el cuadrante negativo del gráfico.

3434


Estar corto en una put corresponde al caso en que un inversionista vende el derecho a que le vendan la acción, por lo tanto, él obtendrá ganancias mientras no se ejerce la opción put, sin embargo la opción se ejerce cuando el valor de mercado de la acción es menor que el precio pactado, caso en el cual el inversionista que tiene una posesión corta en una put comienza a perder.

En otras palabras, al vender una put se esta vendiendo el derecho a que nos vendan

una acción cuyo precio de mercado es S* a un precio K. De esta manera, la regla de decisión es que la acción se venda si S* < K, es decir, en este punto el inversionista empieza a perder porque la opción será ejercida.

A continuación se presenta el diagrama de pago de la posesión corta de la put.

Gráfico Nº 6: Posesión Corta en una PUT

Ganancia

(+)

P

S*=K

S* S*= K-P

Pérdida (-)

El gráfico nos muestra como se comporta el pago de una posesión corta en una put, es decir, cómo el inversionista pasa de pérdida a ganancia, dependiendo del precio de mercado de la acción, el cual determina el ejercicio o no de la opción que ha sido vendida.

En el tramo de S* = 0 a S* = K-P, el inversionista pierde pues a quien le vendió la

opción le conviene ejercerla, es decir, a nuestro inversionista le exigen el derecho de venta, por lo cual el inversionista se ve obligado a comprar una acción a un valor K (que es superior al precio de mercado), pudiendo comprarla en el mercado a un menor valor. Por lo cual, el diagrama de pago se presenta como una línea en forma diagonal ascendente, en el cuadrante positivo del gráfico.

En el tramo de S* = K - P a S* = K, el inversionista comienza a ganar aun cuando le

ejercen la opción. En este tramo, quien compro el derecho de venta -posesión corta de una

3535


put- aun le conviene ejercerla, dado que estaría vendiendo a K algo que vale S* en el mercado (K > S*). Pero en este caso, a nuestro inversionista -quien vendió el derecho de venta, dueño de la posesión corta de la put- a pesar que le ejercen la opción obtiene ganancia, que derivan de la diferencia entre el valor de la put -venta del derecho de la opción- y la pérdida en la compra de acciones más caras que en el mercado, lo cual entrega un diferencial positivo. Lo que se traduce en un diagrama de pago lineal pero en forma diagonal ascendente, en el cuadrante positivo del gráfico.

Desde S* = K en adelante, en este tramo el inversionista que compra la opción de

vender la acción no la ejerce, pues obtendría pérdidas. Lo anterior, quiere decir que el inversionista comienza a perder al ser ejercida la opción de vender las acciones a una valor K, debido a que el precio de mercado o spot de la acción es mayor. Lo que se traduce, en que nuestro inversionista -que vendió el derecho de venta o la put- gana pues no le ejercen la opción, y recibe el pago del derecho a vender -el valor de la put-. Lo que se representa con una línea horizontal en el cuadrante positivo del gráfico.

De las características preliminares que hemos analizados para las opciones put y call,

podemos concluir que son instrumentos financieros que complementan el mercado de los derivados. En síntesis, las put y call son instrumentos básicos o elementales que pueden ser combinados, por los inversionistas, de distintas formas dando origen a estrategias financieras de mayor complejidad13.


CLASE 08 2.7. Pagos de un Instrumento Libre de Riesgo

Cuando se habla de un Instrumento libre de riesgo, nos referimos a aquel instrumento

financiero que entrega la misma corriente de flujos en cualquier estado de la naturaleza, como por ejemplo un bono libre de riesgo, que en la literatura financiera se denota como B.

A continuación se presenta el diagrama de pago de un bono libre de riesgo, tanto para

una posesión larga “compra de un bono” como para una posesión corta “venta de un bono”. A partir de este punto, se denotará como posesión larga de un bono a +B y posesión corta a –B.

13 Que serán abordadas más adelante en esta unidad de estudio.

3636


Gráfico Nº 7: Diagrama de un Bono Libre de Riesgo

Ganancias (+)

+B Compro un bono libre de riesgo

S*

Pérdida

(-)

-B Vendo un bono libre de riesgo

En el gráfico número 7, se indica que si se compra un bono se recibirá el mismo pago +B, sin importar el cambio en el precio de las acciones; por otro lado, si se vende el bono, en este caso significa que se debe pagar –B cualquiera sea el precio de las acciones.

2.8. Relación entre Instrumentos Financieros Básicos

Los instrumentos básicos o elementales -put, call, acciones y bonos- pueden

combinarse de varias formas de acuerdo a la siguiente relación:

S + P = B +C Donde

S = Acción

P = Put suscrita sobre una acción

C = Call suscrita sobre una acción

B = Bono libre de riesgo

Esta relación significa que tener una acción y una Put, la cual se encuentra suscrita

sobre esa acción, es equivalente -en términos de flujo- a tener una call suscrita sobre la acción y tener un bono libre de riesgo.

3737


Al reordenar la relación, anteriormente presentada, que une a los instrumentos financieros elementales, de manera de expresar la ecuación en un bono libre de riesgo (despejar en términos del bono libre de riesgo), nos queda:

S + P - C = B

Lo anterior, se interpreta como “es posible obtener un pago libre de riesgo si se toma una posición larga en la acción (se compra la acción), una posición larga en la put suscrita sobre esa acción (se compra la opción put) y una posición corta en una call suscrita sobre esa acción (se vende la opción call).

La equivalencia anterior se presenta y demuestra, a continuación, en forma gráfica. De

forma de mostrar al alumno la complejidad que puede representar esta combinación financiera.

Gráfico Nº 8: Estrategia Financiera “compra acción, compra put y venta call”

Ganancia Largo una acción

+B

Combinación Estrategia

S*

Pérdida

-S

Largo en Put

Corto Call

La línea punteada es el resultado de la estrategia de inversión que adopto el agente que toma la decisión de comprar la acción, comprar la put y vender la call, la cual se obtiene a través de la suma vertical de los flujos, donde a los flujos positivos (tramos de los diagramas de pago que se encuentran en el cuadrante positivo) se les resta los flujos negativos (tramos de los diagramas de pago que se encuentran en el cuadrante negativo)

3838


para encontrar el resultado neto de la estrategia de inversión aplicada. Es decir, a la ganancia de la acción se les resta la pérdida que deriva de la posición larga de la put y corta de la call.

Analicemos detalladamente como se obtiene la combinación de estrategia:

Gráfico Nº 9: Estrategia Combinada

+1 -2

+3

Corto Call +B

S* Largo una acción

-S Largo en Put

El tramo de la fecha número +1, corresponde al flujo positivo de la posesión larga en put, que se contrarresta flecha número -2, que corresponde al flujo negativo por la posesión larga en la acción, de esta forma nos queda la ganancia de la posesión corta en la call que se representa con la flecha número +3. Por lo tanto, el flujo neto de la combinación de estrategia es el representado por la flecha número +3, que corresponde al flujo de un bono libre de riesgo.

De igual forma se puede realizar el análisis para diferentes tramos de las estrategias

de inversión implementadas. Ahora bien, es posible que dado que no se trabaja con un papel milimetrado es posible que las distancias no se expresen exactamente, pero se debe comprender esta inexactitud y dar credibilidad a las combinaciones estratégicas que se exponen, como material de estudio.

En esta estrategia que hemos graficado no esta presente el riesgo, dado que si el

precio de la acción baja lo que perdemos por la posición larga en acciones es compensado por las ganancias de la posición larga en put y por los ingresos de la venta de la call.

3939


En el caso que el precio de la acción suba lo que ganamos por la posición larga en la acción es parcialmente compensado por la pérdida de la posición corta de la call que se ejerce en nuestra contra y por el derecho pagado por la put.


CLASE 09

3. ANÁLISIS GRÁFICO DE LAS ESTRATEGIAS FINANCIERAS

A partir de las conocidas opciones simples -put y call- es posible construir combinaciones de opciones. Es decir, cuando se combinan dos o más opciones simples pueden construirse opciones con diversas funciones de ganancia.

El análisis gráfico de estas combinaciones más complejas de opciones, nos permiten

evaluar la posición del inversionista, quien toma las estrategias financieras, frente a las posibles variaciones del precio de la acción. Lo que nos permite determinar los flujos netos, positivos o negativos, que derivan o que dan origen las muchas combinaciones de instrumentos financieros que es posible formar.

A continuación se mostrará, en forma separada, cuales son las estrategias

tradicionales más comunes a realizar con las opciones put y call. a) Spread

Un spread es una combinación de dos o más opciones de un mismo tipo, en un solo

contrato, en el cual el precio de ejercicio de una de las opciones es, usualmente, menor que el precio de ejercicio de la otra.

Una estrategia Bear Spread o diferencial bajista se construye con una posición en dos

o más opciones de un mismo tipo. En otras palabras es una estrategia de inversión que utiliza opciones de compra y de venta, en donde el precio de ejercicio de la posición larga en la call es mayor al de la posición corta en la call. Por lo tanto, en este tipo de estrategia el inversionista apuesta a un precio en baja del activo subyacente.

Actividad Nº 3

Supongamos la siguiente estrategia bear spread, la cual se construye comprando

una call con precio de ejercicio K1, y vendiendo una call con precio de ejercicio K2, donde K2 < K1. Si analizamos esta estrategia, podemos concluir que otorga pérdidas al subir el precio del activo o acción, por lo tanto limita las ganancias y pérdidas del poseedor de la opción.

4040


Grafiquemos la estrategia financiera de la actividad número 3, de manera de guiar al alumno en la construcción de estrategia financiera de combinación de opciones.

Grafico Nº 10: Bear Spread

Ganancia

+C

-C

K1

K2

Largo en Call

Corto en Call


4141


Una estrategia Bull Spread se forma con la mezcla de opciones de compra y de venta,

es decir, se compra una call con un precio de ejercicio K1 y se vende una opción call, con un precio de ejercicio K2, en donde K2 > K1. Esta estrategia, otorga ganancias al subir el precio del activo subyacente.

Grafico Nº 11: Bull Spread

Otra combinación spread es la conocida estrategia Butterfly Spread se realiza comprando dos opciones call con precio de ejercicio K1 y K3 y vendiendo dos opciones call a precio K2 , donde K1 < K2 < K3. Este tipo de estrategia genera ganancias cuando el precio de mercado del activo se mantiene dentro del rango K1 y K3 es decir, el inversionista apuesta a que el precio de la acción se mantenga estable dentro del rango de K1 y K3.

Actividad Nº4 Supongamos la siguiente estrategia spread, la cual se construye comprando una call

con precio de ejercicio K1, comprando una call con precio de ejercicio K3, y vendiendo dos calls con precio de ejercicio K2, donde K1 <K2 < K3. Si analizamos esta estrategia, podemos concluir que otorga ganancias cuando el precio de la acción se mantienen entre K1 - K3. Grafiquemos la estrategia, que corresponde a una Butterfly Spread.

Ganancia

Largo en Call

Corto en Call

+C

-C

K1

K2


4242


Grafico Nº12: Butterfly Spread b) Straddles

Es una combinación de opciones put y call en un mismo contrato, donde el precio de

ejercicio y la fecha de maduración son idénticos para ambas opciones. Esta estrategia limita la pérdida por variaciones en el precio y el beneficio se produce si hay un movimiento suficientemente grande en el precio de la acción, no importando la dirección que tome.

Es utilizada por lo inversionistas que apuestan a que el precio de la acción variará pero saben en que dirección.

Actividad Nº 5

La estrategia Straddles es una combinación diseñada para protegerse de una alta volatilidad en el precio de la acción. En este caso la apuesta de la persona que toma esta estrategia es que el precio de la acción “o va subir mucho o va a bajar mucho”.

Desarrollemos el gráfico de esta combinación, de forma que el alumno pueda

analizar la apuesta del inversionista y visualizar los límites de ganancias y pérdida, al tomar esta estrategia.

K3 K2 K1

+C

-C

S*


Largo en Call

Corto en Call

Largo en Call

4343


Gráfico Nº 13 Estrategia financiera “Straddles”

Ganancias

Compra call

Straddle

0 Ganan

S*=K Ganancia S*

Pérdidas Compra un put

Área de Pérdida

El gráfico anterior se interpreta de la siguiente forma “que el inversionista compensa lo que ha perdido con la posesión larga de la put (fragmento de color fucsia) con la ganancia obtenida por la posesión larga de la call (fragmento de color verde), y la diferencia es la ganancia de la estrategia”.

También existe el cono vendido, éste se crea vendiendo una opción de compra y una

opción de venta con igual precio de ejercicio y fecha de vencimiento, se trata de una estrategia muy arriesgada. Si el precio de las acciones en la fecha de vencimiento es similar el precio de ejercicio, se produce un beneficio significativo. No obstante, la pérdida que surge de un gran movimiento en cualquier dirección es ilimitada.

c) Straps y Strips

Este tipo de combinación financiera se refiere a una combinación de dos opciones call

y una opción put ó la combinación de dos opciones put y una call, respectivamente. En estas estrategias o combinación de opciones, la fecha de vencimiento es la misma pero el precio de ejercicio es distinto.

Se puede concluir que las combinaciones Straps y Strips son estrategias derivadas de

los straddles.


4444


CLASE 10

4. DETERMINANTES DEL VALOR DE UNA OPCIÓN

El valor de una opción está condicionado a diversos factores, es decir, existen algunos determinantes del valor de las opciones; factores que afectan tanto positiva como negativamente en el importe de la put o call, y que por lo tanto influyen en la toma de decisión sobre la estrategia financiera a seguir por el agente o inversionista.

Los principales factores que condicionan el valor de la opción son:

a) Tiempo de vencimiento o de expiración de la opción

El tiempo de vencimiento es una variable que afecta en forma positiva tantos a las

opciones put como a las opciones call, porque mientras mayor sea el período de maduración de la opción más oportunidad existe que el precio de la acción experimente un cambio favorable a nuestra posición -la posición del inversionista- en opciones.

Lo anterior implica que “a mayor tiempo, el valor de la call o put tiende a aumentar”, y

se denota como:

Cuando > sea el t ; ↑ C y ↑ P

En general, como las opciones permiten participar principalmente de los buenos períodos, es decir, las pérdidas se encuentran acotadas, un mayor plazo aumenta el valor de las opciones. En otras palabras, con el tiempo hay más probabilidad que varíe el precio a nuestro favor.

Por Ejemplo:

Supongamos que tenemos una opción, cuyo plazo al vencimiento es t = ½ (el plazo al vencimiento se expresa en fracción del año, por lo tanto esta opción madura en 6 meses), si su plazo se prolonga hasta t = 3/4, se tendrá una mayor probabilidad que el valor de la opción aumente.

4545


b) Precio de la acción y precio de ejercicio

Otra variable que afecta el valor de la opción es el precio de la acción en el mercado (S*) y el precio pactado de la acción en la opción o precio de ejercicio (K). Esta relación puede ser definida como:

“Si el precio de ejercicio K es constante, ante una aumento del precio de la acción en

el mercado (S*), el valor de la call aumenta y la put disminuye”

⎛ − ⎞ Cuando k = cte. y ∆ + S* ⇒ el valor de call, aumenta ↑ C⎜ S * − K ⎟ ↑ ⎝ ⎠ ⎛ − ⎞ ∆ + S* ⇒ el valor de put, diminuye ↓ P⎜ K − S * ⎟ ↓ ⎝ ⎠

Para el caso de la call, la función de ganancia esta dada por la diferencia entre el precio de mercado o spot y el precio de ejercicio; por tanto, el valor de una call aumenta al subir el precio del activo subyacente o precio spot -manteniendo constante el precio de ejercicio-.

Debido a que la función de ganancia de una put es la inversa de la call, el valor de la

put aumenta al bajar el precio del activo -manteniendo constante el precio de ejercicio-. Por otro lado, ante un aumento del precio de la acción, la put disminuye su valor.

“En el caso, que el precio de la acción sea constante (S), ante un aumento del precio de ejercicio k, el valor de la call disminuye y la put aumenta”

⎝ ⎠

4646


c) Desviación Estándar o Volatilidad del precio de la acción

La desviación estándar del precio de la acción es una medida de la volatibilidad del precio de la misma. La votatilidad es un indicador de la incertidumbre acerca del comportamiento del precio del activo subyacente.

Debido a que las opciones tienen un área de pérdida acotada, es favorable para este

tipo de opción una mayor volatililidad.

Como se puede observar en el gráfico Nº 13, dado que generalmente, el área de pérdidas posible esta acotada en el caso de las opciones, en general una mayor volatilidad del precio de la acción es positivo para las opciones Call y para los Put no siempre.

Gráfico Nº 13: Volatibilidad de una Opción

Esta es el área relevante, mientras más amplitud se obtiene mejores ganancias

0 σ S *

Ganancia

S* σ ff S

En el caso de la put, no siempre la volatibilidad es buena noticia pero si para las opciones call, debido a que la volatibilidad de la put se ve afectada por otros factores que no son considerados o pertinentes a la medida de dispersión de la desviación estándar.

d) Tasa de interés

El aumento de la tasa de interés no afecta al precio (S) de la acción, que es el valor

presente de ésta, pero si afecta al precio de ejercicio (k) de la opción, ya que este monto se pagará a fin de período y ante una variación positiva (aumento) de la tasa de interés (i) su valor presente será menor, es decir, si llevamos K a valor presente con una nueva tasa de interés, más alta, este valor experimenta una caída.

4747


Lo anterior, nos permite concluir que ante un aumento de la tasa de interés, el valor de la call se ve favorecido, pero -por las mismas razones de volatibilidad- para la opción put no lo es.

Supongamos que se produce un aumento en la tasa de interés, en este caso como el

precio de ejercicio k es a la madurez (fecha final de periodo) de la opción, su valor presente ⎛ − ⎞

disminuye. Es decir, cuando ↓ k el valor de la call aumenta dado ↑ C⎜ S * − K ⎟ ↑ , y utilizando ⎝ ⎠ ⎛ − ⎞ la misma lógica podemos concluir que el valor de la put cae dado que ↓ P⎜ K − S * ⎟ ↓ . ⎝ ⎠


CLASE 11

5. EL PATRIMONIO COMO OPCIÓN CALL

La teoría de opciones tiene múltiples aplicaciones en las finanzas corporativas, una de éstas es planteada por Black y Sholes14. Estos autores sostienen que la posición de los accionistas se puede explicar, para el caso de una firma endeudada, como la tenencia de una opción call suscrita sobre el valor de la firma y con precio de ejercicio igual al valor de la deuda, y plazo de vencimiento igual al de la deuda.

Esto sucede porque los accionistas son reclamantes de última instancia para la firma,

vale decir, son los últimos en recibir algún ingreso en caso de liquidación de la firma. Por lo tanto, si al vencimiento de la deuda el valor de la firma (V) es menor que el de la deuda (B), los accionistas tendrán que pagar entregando la firma. En caso contrario, es decir, el valor de

14 Options Markets, Literatura de Finanzas Corporativas donde se exponen la teoría planteada por Black y

Sholes.

4848


la empresa (V) es mayor que el valor de la deuda (B), los accionistas pueden pagar la deuda quedándose con el remanente.

Es decir:

S = C(V, B, T) = máx{0, V − B} Donde:

S = Es el patrimonio de los accionistas (acciones)

V

=

El valor de la empresa

B

=

El valor de la deuda contraída por la empresa

T

=

Impuestos

De esta forma se representa el patrimonio de la empresa como una opción call, donde su máxima ganancia se encuentra entre el cero y la diferencia entre el valor de la empresa (V) y el valor de la deuda (B) de la misma.

5.1 Los Warrants

Los warrants son opciones que emite la empresa, que en caso de ser ejercidas, la empresa emitirá acciones en contra de la entrega de los warrants y el pago de un precio por las acciones recibidas.

El valor de la empresa se expresa como:

V = nS + mW

Donde

n : número de acciones

4949


m : número de los warrants (cuando cada uno se convierte en una acción)

S : precio de la acción

W : precio por warrant K : precio de ejercicio del warrant

V : valor de la empresa

Supuestos de los warrants

1. Ejercicios en Bloque

Se supondrá que se produce un efecto de ilusión de tal modo que si un dueño de warrants los ejerce todos, éstos se ejercerán al mismo tiempo.

2. La empresa no tiene otra venta fuera de los warrants y las acciones

Cabe destacar que los warrants son una especie de deuda.

Cuando se emiten warrants los accionistas están corriendo todo el riesgo, porque si se convierten los warrants se produce una dilución del patrimonio. Para evitar que los warrants sean ejercidos, los accionistas deben disminuir la varianza del valor de la firma.

En el caso de otorgar dividendos se perjudica directamente a los tenedores de los

warrants, debido a que al disminuir el valor de la firma se disminuye su posibilidad de ejercicio, por esta razón, a menudo los contratos de warrants contienen cláusulas que las protegen de los dividendos.

5.1.1. Warrants Europeos

Son warrants que pueden ser ejercidos en un momento determinado del tiempo, en

donde V* es el valor de la empresa al momento del vencimiento.

En cuanto al valor de la empresa, al momento en que se ejercen los warrants será:

5050


Valor Empresa = V* + mK

Lo que se designa como mK hace referencia al monto que recibe la empresa al ejercerse los warrants, y el número de acciones al ejercerse los warrants será n+m; recordemos que se emiten acciones en contra los warrants.

Por lo tanto, el precio de la acción será:

S* = V* + mk n + m

Los warrants serán ejercidos (en bloque) cuando se cumpla que el porcentaje de la empresa a que accedan los tenedores de warrants tienen una valor mayor al precio de ejercicio (que tiene que pagar) de los warrants; es decir, se ejercen en bloque cuando se da que:

K < S* = V* + mk n + m

Luego el precio de warrants -w es el precio del warrant al final del ejercicio- es: ⎪⎧

Si despejamos y remplazamos algunos términos semejantes a la función de una

opción call, se obtiene el siguiente valor de l total de warrants al final del período:

5050


mW = m C{V, nk, T}

n + m


CLASE 12 5.2. Bonos Convertibles

Los bonos convertibles son aquellos bonos no rescatables durante el periodo de

vigencia y también vamos a suponer que no existe un nuevo flujo de ingresos por parte de los tenedores de estos bonos ni por parte de la empresa.

Sea

n : número de acciones

mK : número de acciones en que se convierte el bono

S : precio de la acción

B : valor de mercado del bono

V : valor de la empresa

δ : porcentaje de acciones de la firma que puede manejar el bonista si convierte sus bonos

5151


δ = mK n +mK

δ = número de nuevas acciones número total de acciones

Actividad Nº 6

Suponga que se tiene:

- 2.000 Bonos - Valor del Bono es $1.000 - Cada Bono se puede convertir en 10 acciones - Inicialmente hay 50.000 acciones

Se pide calcular el porcentaje de acciones de la firma que puede manejar el bonista si convierte sus bonos.

δ = mK n +mK

δ = 2000*10 50.000+20.000

δ = 20.000 = 0.2857 70.000

Este tópico se basa en dos supuestos, que son:

1. La opción de los bonistas se ejerce en bloque

2. No existe otra deuda para la empresa que los bonos

5252


Las condiciones o criterio de decisión que presentan los bonos convertibles dan origen al siguiente cuadro de pagos de los bonos convertibles, al final del periodo según el valor de la firma y su relación con el valor de la deuda.

Cuadro Nº4: Tabla de Pagos para los Bonos Convertibles (al final del período) Valor Actual V* < K K < V* < K/δ K/δ < V* Bonistas B V* K δ V* Accionistas nS 0 V* - K V* - δ V* Neto nS + V V* V* V* Representación en Call de la Posición Bonista

V – C(V,K,T) +δC(V, K/δ, T)

Representación en Call de la Posición Accionistas

C(V,K,T) - δC(V, K/δ, T)

Actividad Nº 7

La Empresa “San Daniel” tiene activos con un valor de mercado de $100. La varianza anual de la tasa de retorno de los activos es de un 20% por año.

La empresa tiene dos tipos de instrumentos financieros:

- Acciones comunes que no pagan dividendos - Deuda con valor nominal de $80 y una fecha de maduración de 2 años - La tasa de interés libre de riesgo es de 10% anual.

Se pide el valor de la deuda y del patrimonio hoy.

A continuación se presenta el desarrollo de la actividad número 6, de forma de aplicar la determinación del patrimonio como una opción call para los inversionistas.

Datos:

Valor de Mercado de los activos = 100

Varianza = 20%

K1 = 80

T = No hay

5353


Tabla de Pagos Valor actual Valor a la madurez Representación en

Call V* < K V* > K Bonos B V* K V – C(V,K) Acciones nS 0 V* - K C(V,K) Total V* V*

Representación Gráfica

B

0 K

1

K1 V

nS

K 1

0

K1 V

B = V – C(V,T,K)

5454


B = (0-1)C(V,T,K) + (1-0)C(V,T,0)

B = -C(V,T.K) +C(V,T,0)

V

B = V – C(V,T,K)

B = 100-C(100,2,80)

nS = (1-0)C(V,T,K)

nS = C(100,2,80)

No podemos continuar con el desarrollo de este ejercicio, dado que necesitamos utilizar la relación Put – Call Parity, concepto que se abordará en la segunda unidad de este material de estudio.


RAMO: FINANZAS III

UNIDAD II

PARIDAD “PUT – CALL” Y LA VALORIZACIÓN DE OPCIONES

Instituto Profesional Iplacex 2

CLASE 01

1. PARIDAD OPCIÓN DE COMPRA Y VENTA (PUT – CALL)

La Paridad Put – Call es una relación de no arbitraje1 de opciones, es aplicable tanto para opciones americanas como europeas, pero la relación cambia según se trate de una o de la otra. En nuestro estudio, primero se va a analizar la paridad Put – Call para opciones del tipo europeas, las que se pueden ejercer sólo en la fecha del vencimiento o maduración de la opción. Luego se analizará la variación que debe sufrir la paridad para las opciones del tipo americanas, que pueden ser ejercidas en cualquier momento hasta la fecha de vencimiento.

Esta relación fue derivada por Stoll2, que se traduce en la condición de que cuando se

conoce el precio de una call suscrita sobre un activo, es posible -de una forma sencilla- conocer o determinar el precio de la put suscrita sobre el mismo activo y con la misma fecha de maduración y precio de ejercicio.

Definición de la Paridad de Opciones de Compra y Venta “Put – Call Parity”

En el año 1969 Stoll demostró que para las opciones europeas existe una relación

fija entre el precio de mercado de las opciones de compra (Call) y venta (Put), suscritas sobre el mismo activo (S, acción), fecha de maduración (T) y precio de ejercicio (K).

Si esta relación, Paridad Put – Call, no se cumple en el mercado significa que existe la posibilidad de arbitrar los precios de las opciones de compra y venta. A la paridad de opciones de compra y venta americanas la podemos definir como la relación por la cual la diferencia entre la prima de la opción call (C) y la prima de la put (P) debe ser igual a la diferencia entre el precio de la acción (S) y el precio de ejercicio (K).

Paridad Put – Call C - P = S - K

Si se despeja el valor de la acción, se tienen que la paridad Put – Call queda:

S = C - P + K Americanas S = c - p + K Europeas

1 Arbitrar las opciones significa realizar una compra-venta simultánea, comprando aquella que esta más barata y vendiendo aquella que esta más cara. 2 Stoll y Whaley (1993) “Futures and Options, Theory and Applications


Como ya hemos adelantado, a continuación se analizará la paridad para opciones de

compra y venta del tipo europeo, de manera de simplificar el aprendizaje del alumno. Para que se pueda cumplir esta relación, que se representa con la igualdad antes entregada, se deben cumplir tres condiciones:

• Las opciones de compra y venta deben estar suscritas sobre el mismo activo subyacente.

• Las opciones de compra y venta deben tener la misma fecha de maduración (T), es decir, el mismo vencimiento.

• Y, por último, ambas opciones deben tener el mismo precio de ejercicio (K).

Para una mayor comprensión del alumno, se analiza la relación de paridad entre una opción de compra y una de venta, suscritas sobre la misma acción, con igual fecha de maduración y mismo precio de ejercicio, con el siguiente ejemplo.

Ejemplo práctico:

Supongamos que tenemos un portafolio formado por la compra de una acción, la

compra de una put, suscrita sobre dicha acción, y la venta de una call, también suscrita sobre la misma acción. Además ambas opciones maduran en T y tienen el mismo precio de ejercicio K.

A la fecha de maduración de las opciones de compra y venta, habrá dos estados

posibles -mutuamente excluyentes- para el precio del activo o acción, que son: 1) Que el precio de la acción sea menor o igual al precio de ejercicio S ≤ K , o

2) Que el valor de la acción en el mercado supera al precio de ejercicio S > K

Los resultados de este portfolio se presentan en la siguiente tabla de ganancias o pérdidas, en donde se observan lo que pasa en cada una de las posibilidades antes mencionadas.


Tabla de Arbitraje: Ejemplo Práctico S* ≤ K S* > K Por la acción comprada (-S*) S* S* Por la put comprada (-p) K – S* 0 Por la call que se vende (+c) 0 - (S*-K)

Neto K K

En caso que el valor de la acción sea menor o igual al precio de ejercicio de las opciones de compra y venta (S* ≤ K), la put comprada se ejerce, es decir, nos convienen ejercer la opción de vender a un precio K algo que en el mercado tiene un valor menor de S*, y en cuanto a la call, esta opción no tiene valor, por lo que no es ejercida, ya que la persona que nos compro la call preferirá comprar en el mercado las acciones pues su valor es menor.

Cuando el precio de la acción es mayor que el precio de ejercicio de las opciones de

compra y de venta, que componen el portfolio, (S* > K), la opción de venta no tiene valor, no se ejerce, dado que podemos vender en el mercado las acciones y obtendremos un precio mejor, y en cuanto a la opción de compra esta si tiene valor, es ejercida por quien la compro ya que estará comprando a un precio menor (K) acciones que el mercado están valoradas a un precio mayor (S*).

Ahora bien, lo interesante de este análisis es que independiente del estado a la fecha

de expiración, es decir, no importando que suceda con el precio de la acción, el portfolio valdrá siempre lo mismo y se ganará K.

Por lo tanto, la ganancia es libre de riesgo y en consecuencia se debe descontar la

tasa libre de riesgo. Razón por la cual podemos descontar su valor a la tasa libre de riesgo “rf”, lo cual usando tiempo discreto, se tiene que:

S0 = c0 - p0 + K 1

Donde el subíndice “0” indica período actual, y el subíndice “1” período futuro. Al descontar su valor a la tasa libre de riesgo, nos queda:

S0 = c0 - p0 + K

1 + rf

Si despejamos el precio de ejercicio descontado, tenemos:

S0 + p0 - c0 = K 1 + rf


⎜ ⎟

De las igualdades antes definidas, se tienen que S0 es el precio actual del activo o acción, p0 es el precio actual de la opción de venta, c0 es el precio actual de la opción de compra y rf es la tasa libre de riesgo.

Esto significa que si formamos un portfolio con una posesión larga de una acción y de

una put, y una posesión corta de una call, se sabe que al madurar las opciones se recibirá siempre una ganancia equivalente al precio de ejercicio de las opciones (K). Por lo tanto, como no se conocen los valores actuales de la acción, put y call, pero, si se sabe lo que valdrá esta estrategia a futuro, necesariamente para que los mercados estén en equilibrio, el costo de adquirir esta estrategia (So + po – co) debe ser igual al valor presente de los ingresos

esperados ⎛ K ⎞

. ⎝ 1 + rf ⎠ Esta es la relación que se conoce con el nombre de “Put – Call Parity”, para el tipo de

opciones europeas, y se define en tiempo discreto como:

So = co − po + K (1 + rf )− t t = 1, 2, …. N

Cabe señalar, que se despejo el valor de la acción y el denominador se elevo a menos t, para no quedar expresado como fracción, recuerde que t indica el número de períodos en que maduran las opciones. No obstante, es la misma relación definida con anterioridad.

En tiempo continuo, suponiendo tasas de interés continuas, la relación de Paridad Put

– Call se expresa como:

S = c − p + Ke− rft t = 1, 2, …. N

Lo que es equivalente a:

c = S + p − Ke− rft

p = c − S + Ke− rft

Para que el mercado este en equilibrio se debe cumplir que S + p − c − Ke− rft = 0 , si no se cumple habrán posibilidades para el arbitraje en el mercado, es decir, comprar los instrumentos subvaluados y venderlos sobrevalorados para obtener ganancias.


Las posibilidades de arbitraje que se dan se muestran en el siguiente cuadro:

Cuadro Nº1: Posibilidades de Arbitraje

Condición de la Paridad Put - Call Se debe

S + P − C − Ke− rft > 0

Tomar la estrategia de vender una acción, vender una put y comprar una call, y se presta el valor presente del precio de ejercicio. Ambas opciones suscritas sobre la misma acción, con igual fecha de vencimiento y precio de ejercicio.

− S − P + C + Ke−rft < 0

Se reversa la estrategia y se toma, reversar significa multiplicar por -1. En este caso se compra una acción, se compra una put y se vende una call, y se pide prestado el valor presente del precio de ejercicio. Las opciones deben ser suscritas sobre la misma acción, y con igual fecha de vencimiento y precio de ejercicio.

Ejercicio práctico: Sea:

t = 1/3 K = 40 S = 40 rf = 0,05 p = 2 c = 3 ¿Se cumple la Paridad Put - Call?

Se tiene que demostrar si se cumple o no la paridad c = S + p − Ke− rft , para lo cual se

reemplazan los datos entregados en la igualdad antes derivada de la siguiente manera:

c = S + p − Ke− rft

3 ? 40 + 2 − 40e −0,05∗ 1

3

3 > 2,66114184

C > S + P − Ke− rft


C − S − P + Ke− rft > 0

3 − 2,66114184 > 0

0,33885816 > 0

Es decir, en el mercado la call vale $3, pero en equilibrio de mercado debería valer menos ($2,661141), por lo tanto, la opción de compra (call) esta sobrevalorada en el mercado y la estrategia a seguir es vender la opción call.

La estrategia desde el punto de vista de los flujos es lo contrario que desde el punto

de vista de la tenencia de las opciones de compra y venta, razón por lo cual, si para obtener ganancia, un instrumento nos quedo con signo + es por que tenemos que venderlo para recibir el flujo positivo.

En el ejercicio práctico que acabamos de terminar, la opción call esta sobrevalorada y

es de signo positivo, por lo cual para obtener ganancia la estrategia a seguir es venderla. Para obtener una ganancia libre de riesgo, se debe tomar toda la estrategia dada por la paridad Put – Call, es decir, se vende la call y compramos la acción y la put, y pedimos prestado el valor presente del precio de ejercicio (Ke − rft ).

Esta estrategia da origen a la siguiente tabla de arbitraje al vencimiento de las opciones de compra y venta.

Tabla Nº1: Tabla de Arbitraje al Vencimiento de las Opciones

T = 0 T = t Flujo Actual S* ≤ K S* > K Por la call que se vende + 3 0 - (S*-K) Por la acción que se compra - 40 S* S* Por la put comprada - 2 (K – S*) 0 Pido prestado Ke − rft , VP de K + 39,338 -K -K

Neto + 0,338 0 0

Esta tabla ilustra la presencia de arbitraje libre de riesgo porque comprando la acción y la put, y vendiendo la opción call y pidiendo prestado el valor presente del precio de ejercicio, obtenemos una ganancia hoy (T=0) que no es compensada por una pérdida futura (T=t).


Otra manera de observar esta situación es ver como opera la estrategia paso a paso, desde la mesa del operador hasta finalizar la inversión u oportunidad de arbitraje: Un inversor analiza las siguientes cotizaciones para opciones y toma la siguiente estrategia, para aprovechar la oportunidad. Estrategia: T=0 1) Vende la opción de compra 2) Compra la opción de venta 3) Compra la acción Realizar la estrategia genera una inversión de $3 -$2 -$40 = -$39, entonces se pide prestado dicha cantidad, Resultado: T=1 Independiente del precio de la acción y si se ejerce o no las opciones, se tiene que devolver el préstamo de 39e0,05*1/3 = 39,655,entonces se pueden generar dos estados de la naturaleza diferente: 1) El precio de las acciones es mayor que K= $40, entonces la parte contraria me ejerce la opción de compra, por ende estoy obligado a vender la acción en K, sin embargo la opción de venta expira sin ejercer, ya que en el mercado se puede vender a un precio mas alto. El beneficio neto seria $40 - $39,655 = $0,3446. 2) El precio de las acciones es menor que K=$40, entonces el inversionista ejerce la opción de venta y vende la acción en K=$40, sin embargo la parte contraria no ejerce la opción de compra, ya que la acción se encuentra mas barata en el mercado, El beneficio neto seria $40 - $39,655 = $0,3446. Los beneficios con esta estrategia se generan en la fecha de vencimiento de las opciones, si hacemos el ejercicio de llevar el beneficio $0.3446 al presente, con la tasa libre de riesgo 0,05, obtendríamos 0,3446e-1/3*0,05 = $0,3389


Hemos visto que esta igualdad c = S + p − Ke− rt debe cumplirse en toda circunstancia, en caso contrario, existirán oportunidades de arbitraje.

Esta relación de paridad es muy útil para la evaluación de opciones europeas, pues si

se conoce el valor de la opción de compra, la relación anterior entrega el valor de la correspondiente opción de venta.

Realizar ejercicio nº1 al 3

CLASE 02

1.1. Analicemos Casos Especiales

La paridad Put – Call no se presenta de igual forma, dependiendo del conocimiento o desconocimiento de los valores de las opciones de compra y venta. Es decir, ¿Qué sucede cuando desconocemos el valor, ya sea de la Put o Call, pero conocemos el resto de los determinantes de la paridad?

Es posible, entonces, identificar dos casos especiales de la relación Put – Call Parity,

a saber:

• Se desconoce el valor de la opción de venta o Put • Se desconoce el valor de la opción de compra o Call

Antes de analizar que pasa en cada caso, se debe señalar que siempre la Put y la Call deben tener un valor positivo tanto para las opciones del tipo europeo como americano (p >,0, P > 0 o c >,0, C > 0) o a lo sumo cero. Nunca un valor negativo, ya que las opciones de compra o venta son derechos y no obligaciones.

Caso 1: Se Desconoce el Valor Put

Suponga que se conocen todos los valores determinantes de la Put – Call Parity o Paridad de opciones de compra y venta, excepto el valor de la opción Put, y se desea determinar si existe o no oportunidades de arbitraje. Se sabe que, para que no existan oportunidades de arbitraje se debe cumplir la siguiente igualdad:


C = S + P − K − rt Americana

c = S + p − K − rt

Europea

En este caso, como p es desconocido y, además, debe cumplirse que la opción de venta (Put) debe ser mayor o igual a cero (p ≥ 0 o P ≥ 0), podemos transformar la igual de la paridad en la siguiente inecuación:

Limite inferior para opciones de compra Europea sobre acciones

C ≥ S − Ke − rt Dado que P ≥ 0 Americana

c ≥ S − Ke− rt

Dado que p ≥ 0 Europea

Si esta inecuación se cumple, no es posible concluir que existen oportunidades de arbitraje, pero en caso contrario si se da la siguiente inecuación:

C < S − Ke− rt Dado que P ≥ 0 Americana

c < S − Ke− rt

Dado que p ≥ 0 Europea

Lo que nos indica, que existe un desequilibrio, en donde la opción de compra –call- se encuentra subvalorada y el mercado esta en desequilibrio. Por lo tanto, existiría oportunidad de arbitraje cuando se dan las siguientes inecuaciones:

C < S − Ke − rt

− C > −S + Ke −rt

Americana

c < S − Ke− rt

− c > −S + Ke− rt

Europea


Por lo tanto, estas condiciones representan estrategias que pueden ser tomadas y

obtener ganancias, como por ejemplo S − Ke− rt − C > 0 , que significa comprar una opción call, vender la acción y prestar el valor presente del precio de ejercicio de la opción. Ejemplo practico: Supongamos: S0= $20 K= $18 rf = 10% T= 1 año, tenemos que: $20 - $18e-0,1 = $3,71 Ahora supongamos que la opción de compra europea se encuentra a $3, siendo menor que el mínimo teórico, C < S0 – Ke-rt. T = 0 El inversionista se encuentra con una oportunidad de arbitraje, en donde puede comprar la opción de compra y vender corto la acción, lo anterior proporciona un ingreso de $20 - $3 = $17 T= 1 Si invierte los $17 durante el año a una tasa del 10%, al final del año obtendrá $17e0,1 = $18,79, también madura la opción y nos encontramos con 2 estados de la naturaleza diferentes 1) Si el precio de la acción es mayor que k=$18, el inversionista ejerce su derecho sobre la opción cerrando su posición en corto con la acción, que pidió prestada, su beneficio seria de $18,79 - $18 = $0,79 2) Si el precio de las acciones fuese menor que K=$18, compraría la acción en el mercado y no ejercería la opción compra y cerraría la posición en corto de la acción, si el precio de las acciones es de $17, el beneficio seria $18,79 - $17 = $1,79

Caso 2: Se Desconoce el Valor Call

Esta vez, se desconoce el valor de la Call, lo que presenta la siguiente modificación de

la paridad Put – Call, tomando las igualdades que representan el equilibrio del mercado y que no permiten la oportunidad de arbitraje, se tiene que:

C = S + P − Ke − rt P = C − S + Ke − rt

Americana

c = S + p − Ke− rt p = c − S + Ke− rt

Europea

Cuando el valor de la Call es desconocido, y partiendo de la base que éste debe ser positivo por representar un derecho y no una obligación (c ≥ 0, equilibrio del mercado se transforma en la siguiente inecuación:

C ≥ 0 ), la igualdad de


Limite inferior para opciones de venta Europeas sobre acciones

P ≥ Ke − rt − S

Dado que C ≥ 0 Americana

p ≥ Ke− rt − S Dado que c ≥ 0 Europea

Si esto se cumple no debemos determinar oportunidades de arbitraje en ausencia de

la call o el desconocimiento del valor de ésta, pero en caso contrario si se dan las siguientes inecuaciones:

P < Ke−rft − S − P ≥ −Ke−rft + S

Americana

p < Ke−rft − S − p ≥ −Ke−rft + S

Europea

En estos casos, es posible concluir que el mercado esta en desequilibrio y, por lo tanto, pueden darse oportunidades de arbitraje en las opciones de compra y venta.

Ejemplo practico:

Supongamos: S0= $37 K= $40 rf = 5% T= 0,5 años, tenemos que: $40e-0,05*0,5 - $37 = $2,01 Ahora supongamos que la opción de venta europea se encuentra a $1, siendo menor que el mínimo teórico, P < Ke-rt – S0 . T = 0 El inversionista se encuentra con una oportunidad de arbitraje, en donde puede comprar la opción de venta y comprar la acción, para ello puede pedir un préstamo de $38 con una tasa libre de riesgo de 5% a 6 meses. T= 1 Al final del periodo el inversionista deberá devolver $38e0,05*0,5 = $38,96, también madura la opción de venta y nos encontramos con 2 estados de la naturaleza diferentes: 1) Si el precio de la acción es mayor que k=$40, el inversionista no ejerce su derecho sobre la opción de venta, ya que en el mercado se encuentra mas cara y vende la acción, por ejemplo S1= $42 devolviendo el préstamo, su beneficio seria de $42 - $38,96 = $3,04 2) Si el precio de las acciones fuese menor que K=$40, no vendería la acción en el mercado y ejercería la opción de venta, el beneficio seria $40 - $38.96 = $1,04


1.2. Las Opciones Americanas y la Paridad Put - Call

Recordemos, las opciones de compra y venta americanas tienen la característica de ser ejercidas en cualquier momento del período de vigencia. Dado lo anterior, la paridad Put – Call debe sufrir una modificación, a raíz de que el precio de ejercicio no podrá ir en valor presente dado que se desconoce cuándo se ejercerá la opción de compra o venta.

forma:

Por lo tanto, la paridad de opciones de compra y venta americanas es de la siguiente

Paridad Put – Call C = S + P − K

Lo que puede expresarse, también, de las siguientes formas y que de igual forma representan el equilibrio del mercado, por lo tanto, si se dan estas condiciones no existirá oportunidad de arbitraje en las opciones de compra y venta americanas.

C ≥ S − K

P ≥ K − S


CLASE 03

1.3. El Efecto de los Dividendos en la Paridad Put - Call

Es necesario analizar los efectos de los dividendos (D) en la paridad de opciones de compra y venta, de manera de realizar las modificaciones y correcciones necesarias a la relación Put – Call Parity.

Si se pudiera conocer la fecha y el monto exacto de los dividendos, se podría realizar

un ajuste correcto a la paridad Put – Call e incorporar el efecto de los dividendos, en dicha relación, en la siguiente forma:


C = S + P – D – K ert

Analicemos la ecuación definida anteriormente, de conocer los dividendos -que se denotan con la letra D-, esta fórmula nos indicaría que al cambiar cualquier otro parámetro que la conforma, como el valor de la acción (S), la tasa de interés (r), o el precio de ejercicio (K); el valor de la put y el de la call debería cambiar en la misma forma. Por ejemplo, en el caso que se produzca un aumento en la varianza de los retornos -que afecta al precio de ejercicio en valor presente-, se debe esperar u observar un aumento en el valor de la opción de compra (C) o en la opción de venta (P).

Sin embargo si un aumento en la tasa de crecimiento del precio de la acción afectará

positivamente el valor de la call, también debería afectar en la misma forma el valor de la Put, cosa que no sucede en la realidad. Entonces dado que esto es falso y que además la fórmula de la paridad funciona en forma correcta, entonces la tasa de crecimiento del precio de la acción no afectará el valor de la call.

1.4. Relación Entre las Opciones de Venta y de Compra

Cuando se cumplen los supuestos de i) ausencia de costos de transacción, ii) no existen requerimientos de margen3, y iii) no hay impuestos, en la relación entre las opciones de compra y venta, es posible concluir que los postulados de la paridad Put – Call se cumplen, que el mercado se encuentra en equilibrio y que si algo afecta el valor de la Call también afectará el valor de la Put. Lo anterior, se resume en que se cumple la igualdad de la paridad, que se ha definido como:

C = S + P – Ke-rt

A continuación se pondrá a prueba la relación de paridad que debe darse entre las opciones de compra venta, cuando se cumplen los supuestos antes mencionados. Consideremos en primer lugar, únicamente opciones europeas las cuales sólo pueden ser ejercidas a la fecha de maduración, no antes. En segundo lugar, se supondrá que no existen dividendos (D = 0), lo cual hará valido los postulados -ya estudiados- para acciones protegidos de dividendos.

3 Requerimientos de Margen: es un requisito que consiste en que la persona o inversionista haya realizado un depósito previo para tener derecho a transar en el mercado.


Nota: cuando existen dividendos el valor de la acción antes de dividendos ( Sum ) es mayor que el valor de la acción después de dividendos ( SEX ), es decir, se da que Sum > SEX . Por esta razón la paridad Put – Call se transforma en una inecuación, que da oportunidad de arbitraje.

Ejercicio práctico:

Supongamos que tenemos las siguientes posiciones, de opciones de compra y venta, sobre la misma acción y con igual plazo de madurez (t):

• Se vende una call (+C) • Se compra una put (-P)

• Se compra acción (-S)

• Se pide prestado el valor presente del precio de ejercicio ( Ke −rft )

La estrategia, antes descrita, da origen a la siguiente tabla de arbitraje.

T = 0 T = t (Flujo en t)

Flujo Actual S* ≤ K S* > K Por la call que se vende C 0 - (S*-K) Por la acción que se compra -S S* S* Por la put comprada -P (K – S*) 0 Pido prestado Ke − rft , VP de K Ke − rt -K -K

Neto 0 0 0

Por lo tanto, es posible concluir que se cumple la igualdad de la paridad Put – Call, que se define como C = S + P- Ke − rt .

Para el caso de las opciones de compra y venta europeas, la relación que se declara

con la paridad Put – Call se denota como:

c = p (s, t , k ) + S − ke − rt


Esta relación de paridad, para opciones que pagan dividendos, se ve modificada que de acuerdo al caso de las opciones de compra y venta europea queda como:

c (S, t , k ) = p (s, t , k ) + (S − VP ( D )) − ke −rt (S − VP ( D )) − ke − rt + p (s, t , k ) − c(S, t , k ) = 0

Donde:

(S - VP(D)) : SEx que es el valor de la acción después de dividendo

S : Sum que es el valor de la acción antes de dividendo

Nota: cuando existen dividendos el valor de la acción antes de dividendos ( Sum ) es mayor que el valor de la acción después de dividendos ( SEX ), es decir, se da que Sum > SEX . Por esta razón la paridad Put – Call se transforma en una inecuación, que da oportunidad de arbitraje.

Entonces para opciones de compra y venta europeas, se da la siguiente desigualdad, que da oportunidad de arbitraje en el mercado.

S – VP(D) – Ke-rft + P – C > 0 Lo anterior, se demostrará desarrollando la tabla de arbitraje para obtener los resultados de la estrategia que seguirá el inversionista.



Flujo Actual S* ≤ K

S*>K Ex - Dividendos

Por la venta de la acción + S* - S* - S* -D Por prestar el VP de los dividendos - VP (D) 0 0 D Por prestar el VP del precio de ejercicio

- ke-rt K K 0

Por la compra de la call - c 0 (S* – K) 0 Por la venta de una put - p -(k- S*) 0 0

Neto 0 0 0 0

Por lo tanto, los resultados nos indican que no existen oportunidades de arbitraje y que la paridad, para opciones de compra y venta europeas, con dividendo, se cumple cuando:

S – VP (D) - Ke-rt – c + p = 0

Si esta ecuación no se cumpliera y se da que:

S – VP (D) - Ke-rt – c + p > 0

El inversionista deberá tomar la siguiente estrategia, vender la acción, prestar el valor presente de los dividendos, prestar el valor presente del precio de ejercicio, comprar una opción de compra europea y vender una opción de venta europea. De esta forma aprovechar el arbitraje que se da en el mercado.

En caso contrario, si la inecuación que da origen al arbitraje es de la siguiente forma:

S – VP (D) - Ke-rt – c + p < 0


El inversionista deberá tomar la estrategia inversa, es decir, se debe reversar la estrategia y luego tomarla. Lo que se traduce en multiplicar la estrategia por -1, y el resultado es la estrategia inversa:

- S + VP (D) + Ke-rt + c - p > 0 Que significa comprar la acción, pedir prestado el valor presente de los dividendos, pedir prestado el valor presente del precio de ejercicio, vender una opción de compra europea y comprar una opción de venta europea. De esta forma aprovechar el arbitraje que se da en el mercado.


CLASE 04

1.5. Las Opciones y Otros Tipos de Instrumentos Financieros

El primer punto a tratar en este apartado, es analizar las diferentes transacciones que podemos alcanzar con opciones de compra y venta, y que no son posibles de realizar con el instrumento “bonos”.

• Podemos pedir o prestar (en forma indirecta) a una tasa que no alcanzaríamos de otra forma. Dado que comprar una acción es equivalente a comprar una opción a una tasa libre de riesgo.

• Tomar posiciones en los mercados accionarios con muy bajos márgenes, es decir, por medio de las opciones de compra y venta podemos ingresar a un mercado accionario con bajo margen -pequeño depósito o ausencia de éste, que nos permite participar del mercado-.

• El tomar posiciones en los mercados con un bajo margen, también hace referencia a los límites que imponen los requerimientos de margen en la compra y venta de acciones, los que se determinan como:

a) Un límite de deuda sobre las posiciones largas de las acciones, es decir, en la compra de acciones.


b) Un límite en el uso de los fondos que provienen de una posición corta en las acciones, es decir, los fondos productos de una venta de acciones.

c) Dar una garantía en la posición corta de acciones, es decir, el inversionista en el mercado accionario de entregar una garantía requerida para la venta de acciones.

• Es posible hacer especulaciones sobre la volatilidad de la acción, lo que nos permite obtener ganancias de nuestras operaciones en con opciones de compra y venta.

• Por último, las opciones nos permiten tomar protección contra el aumento en los dividendos.

Como un segundo punto, se analiza las restricciones de arbitraje en las opciones de compra y venta. Se debe recordar que, el arbitraje consiste en obtener pagos futuros positivos (o a lo sumo cero), con certeza en cualquier estado de la naturaleza mediante una inversión inicial cero o negativa.

Para la mayor comprensión del alumno, en este punto no se harán supuesto sobre la

distribución de los precios de las acciones, de manera de simplificar el análisis. Antes de entrar en ametría, se denotan y definen algunos términos a fines.

C(S, t, K) : Valor de una Call Americana, con t meses hasta el vencimiento o la madurez, con precio de ejercicio K y un precio corriente (actual) de la acción S. Esta opción puede ser ejercida en cualquier momento hasta la fecha de vencimiento.

c (S, t, K) : Valor de la opción Call Europea, con t meses hasta el vencimiento o la madurez, con precio de ejercicio K y un precio corriente (actual) de la acción S. Esta opción sólo puede ser ejercida a la fecha de su maduración o vencimiento.

P(S, t, K) : Valor de una Put Americana, con t meses hasta el vencimiento o la madurez, con precio de ejercicio K y un precio corriente (actual) de la acción S. Esta opción puede ser ejercida en cualquier momento hasta la fecha de vencimiento.

p(S, t, K) : Valor de una Put Europea, con t meses hasta el vencimiento o la madurez, con precio de ejercicio K y un precio corriente (actual) de la acción S. Esta opción sólo puede ser ejercida a la fecha de su maduración o vencimiento.

Las restricciones de arbitraje se basan en los límites sobre las opciones de compra y venta, por lo que se comenzará con el estudio del arbitraje sobre las opciones de compra y luego el arbitraje de las opciones de venta.


a) Límites del arbitraje sobre opciones de compra (Call) Primero, es considerar que una opción de compra -europea o americana- no puede valer menos que cero, puesto que la opción o tiene valor o no lo tiene. Es decir, cuando se tiene el derecho a hacer algo se tiene o un valor positivo o no se tiene nada -no se ejerce el derecho cuando es negativo-, lo que también se explica porque es un derecho y no una obligación. De esta forma:

C(S, t, K) ≥ 0

c (S, t, K) ≥ 0 Segundo, una opción no puede valer más que su activo subyacente, es decir, la acción (S) o un activo cualquiera. Es lógico, pues si una opción sobre una acción de X vale $120, y las acciones de X en el mercado accionario tienen un valor de $100, sería preferible adquirir las acciones directamente en el mercado que en vez que con títulos de derecho de compra (call).

c (S, t, K) ≤ S

Por otro lado, el valor de una opción de compra americana (C), que puede ser ejercida en cualquier momento hasta la fecha de vencimiento, es superior o igual a la diferencia entre el precio del activo subyacente (S) y el precio de ejercicio (K) de la opción. Es decir, mayor o igual que su valor intrínseco:

C ≥ S - K

Dado lo anterior, como tercer punto debemos considerar que el valor de una opción americana es mayor que el valor de la opción de compra europea, dado que esta última para ser ejercida debe ser menor que el precio del activo subyacente (S). Lo que se denota como:

C(S, t, K) ≥ c(S, t, K)


Cabe señalar, que:

- Cuando no existen dividendos el valor de la call americana es igual al valor de la opción de compra europea.

- En el caso que sucediera que c > C, es decir, que el valor de la opción de compra

europea es mayor a la opción de compra americana, se debe vender la europea y comprar la americana.

La cuarta consideración es, cuando se dan dos fechas de vencimiento o de maduración de las opciones de compra, es decir:

t2, > t1, T: 1,2….n

Lo que se traduce en: C(S, t 2 , K ) ≥ C(S, t1 , K )

Esto no siempre es valido para opciones europeas, por ejemplo en el caso de un dividendo en la fecha de liquidación.

Un quinto punto de consideración es, cuando se dan dos precios de ejercicio para la opción de compra, es decir:

K2, > K1,

Lo que se traduce en: C(S, t, K1 ) ≥ C(S, t, K 2 ) c(S, t, K1 ) ≥ c(S, t, K 2 )

A continuación, se demostrará la relación para opciones europeas suponiendo que se cumple lo contrario; es decir, que una c(S, t, K 2 ) > c(S, t, K1 ) y se verá que si eso se diera, en el mercado existiría oportunidad de arbitraje. Lo anterior, en un mercado en equilibrio no es posible y es razón, por lo cual, necesariamente debe darse una relación c(S, t, K 2 ) < c(S, t, K1 ).


Ejercicio práctico Se toma la siguiente estrategia, venta de la opción de compra con el precio de ejercido mayor (K2 ) y compra de la opción europea call, con un precio de ejercicio menor (K1), la que nos entrega la siguiente tabla de arbitraje.


S* ≤ K1 K1 < S* ≤ K 2 S*> K 2

Por la venta call + c(K 2 ) 0 0 - (S*-K2)

Por la compra call − c(K 1 ) 0 S* - K1 S* - K1

Neto 0 S* - K1 > 0 K2 - K1 > 0

Los resultados de la estrategia de vender c(K 2 )

y comprar

Existe arbitraje

c(K 1 ) , dado que se cumple que

c(K 2 ) > c(K1 ), en el mercado existirán oportunidades de arbitraje, por lo tanto, la condición

que debe cumplirse es:

c(K 2 ) ≤ c(K1 ) Ejemplo práctico: Considerando la condición c(K1) > c(K2), podemos señalar y demostrar que no existirán oportunidades de arbitraje. Tomando la siguiente estrategia c1 > c2 ; c1 – c2 ≥ 0 .se tomaría la estrategia de vender una opción de compra con K1 y comprar la opción de compra con K2.

T = 0 T = t (Flujo en t) S* ≤ K1 K1 < S* ≤ K 2 S*> K 2

Por la compra call - c(K 1 ) 0 0 S*-K2

Por la venta call + c(K 2 ) 0 -(S* - K1 ) -(S* - K1)

Neto 0 K1 - S* < 0 K1 - K2 < 0 No existen oportunidades de arbitraje



Para la opción de compra americana, se supondrá el mismo ejercicio dada la condición de

C(K 2 ) > C(K1 ) . Se toma la misma estrategia, venta de la opción de compra con el precio de

ejercicio mayor (K2 ) y compra de la opción americana call, con un precio de ejercicio menor (K1), la que nos entrega la siguiente tabla de arbitraje.


(S* > K2)

0 < T < t S* ≤ K1 K1 < S* ≤ K 2 S*> K 2

Por la venta call + C(K 2 ) - (S*-K2) 0 0 - (S*-K2)

Por la compra call − C(K 1 ) S* - K1 0 S* - K1 S* - K1

Neto K2 - K1 > 0 0 S* - K1 > 0 K2 - K1 > 0

Existe arbitraje Existe arbitraje


La segunda columna de esta tabla de arbitraje representa la posibilidad de que el valor de la acción en el mercado (S) sea mayor que el precio de ejercicio (K2) más alto, en este caso la persona que nos compra el derecho a comprar la acción a un precio de ejercicio K2, menor que el precio de mercado de la acción S*, la ejercerá en contra de nosotros, lo que nos dará un pérdida valorada en - (S*-K2). En cuanto a la compra de la call con un precio de ejercicio K1, que es menor que el precio de mercado de la acción S*, nos conviene ejercerla y obtener una ganancia de S* - K1, lo que en términos netos de resultado de la estrategia se obtiene K2

- K1 , que es mayor que cero.

Los resultados de la estrategia de vender C(K 2 ) y comprar C(K1 ) , dado que se cumple que

C(K 2 ) > C(K1 ) , en el mercado existirán oportunidades de arbitraje, por lo tanto, la condición

que debe cumplirse -por analogía al caso de las opciones europeas- es:

C(K 2 ) ≤ C(K1 ) Realizar ejercicio nº11 al 13

CLASE 05 El sexto punto de consideración, en el arbitraje de las opciones de compra (call), es que el límite de ganancia de la call americana es:


En este caso cuando el valor de la call es C < S − K , la estrategia sería comprar la call americana y luego ejercerla inmediatamente. Esta relación no se cumple para opciones europeas, puesto que estas opciones de compra sólo pueden ejercerse a la madurez.

Séptimo, para una opción que no paga dividendo se tiene que cumplir que:

C(S, t, K ) ≥ máx{0;S − Ke−rt } c(S, t, K ) ≥ máx{0;S − Ke−rt }

Lo anterior se puede demostrar, para el caso de una opción europea se supondrá que se da

lo contrario, es decir, se cumple que c(S, t, K ) < S − Ke−rt , lo que dará origen a oportunidades de arbitraje en el mercado. Lo anterior, se pueden analizar en la siguiente tabla de arbitraje

que deriva de la estrategia S − Ke−rt − c > 0 .


Flujo Actual S* ≤ K S*> K

Por la venta de una acción (en corto) + S* - - S* Por la compra de una call - c 0 S* - K Se presta el valor presente (VP) del recio de ejercicio

-Ke-rt + K

+ K

Neto > 0 K - S* > 0 0

Lo que nos permite concluir, dado los resultados de la estrategia, que existirán oportunidades de arbitraje, razón por la cual sólo puede darse la siguiente condición limite del arbitraje de las opciones de compra:

c (S , t , K ) ≥ S − Ke − rt

Esta condición se traduce en que el valor de la call europea, que se ejerce sólo a la fecha de vencimiento, debe ser mayor o igual a la diferencia entre el precio de mercado de la acción (S) y el valor presente del precio de ejercicio; de lo contrario -si no se cumple esta condición- existirán oportunidades de arbitraje en el mercado.


Como ya hemos señalado, en la tercera consideración de los límites de arbitraje para las opciones de compra, en donde se define que C(S, t, K) ≥ c(S, t, K), es decir, que el valor de la call europea es menor que el valor de la opción de compra americana. Por analogía es posible concluir que, para el caso de la call americana también debe darse la condición:

C(S, t, K ) ≥ c(S, t, K ) ≥ S − Ke − rt

En caso contrario, el mercado esta en desequilibrio y, por lo tanto, existirán oportunidades de arbitraje.

En este grado de avance, del apartado en estudio, es necesario probar que:

i) Para opción call americana sobre acciones que no pagan dividendos, nunca es

óptimo ejercer antes de que la opción expire, dado que el valor presente del precio de ejercicio que se presta en el mercado, es menor que el precio de ejercicio actual. Lo anterior, nos permite concluir que:

C(S, t, K ) ≥ S − Ke−rt ≥ S − K

La condición anterior se denota como “valor de paridad o valor de la opción muerta o ejercida”.

ii) Para opciones que pagan dividendos, ejercer una opción es óptimo en la fecha de madurez o inmediatamente ante de pagarse los dividendos. Lógicamente nos estamos refiriendo a las opciones de compra americanas, que pueden ser ejercidas antes de la fecha de vencimiento.

Sea t1 la próxima fecha de pago de dividendo y c(S, t1, K) el valor de una opción de compra europea que expira justo antes del pago de dividendos; si estas condiciones se dan se cumple que:

C(S, t1

, K ) ≥ c(S, t1

, K ) ≥ S − Ke − rt1 ≥ S − K


La octava consideración, a tomar en cuenta en los límites de arbitraje de las opciones de compra, es que para opciones que pagan dividendos, suponiendo que los dividendos sobre la acción se conocen con certeza, se tiene que dar la siguiente condición de no arbitraje:

C(S, t, K ) ≥ c(S, t, K ) ≥ máx{0; S − VP(D) − Ke − rt } Para comprobar la posibilidad de arbitraje que se da en el caso contrario, se realiza el siguiente supuesto S − PV(D) − Ke − rt

> c(S, t, K ), que se interpreta con la estrategia de vender la acción (S), prestar el valor presente de los dividendos (VP(D)), prestar el valor presente del precio de ejercicio (Ke-rt), y comprar la opción call europea.

El resultado de la estrategia S − PV(D) − Ke−rt − c(S, t, K ) > 0, se representa en la siguiente tabla de arbitraje. El día “D” es aquel antes de la fecha de vencimiento y antes de los dividendos.


Flujo S* ≤ K S*>K Día D

Por la venta de la acción (en corto) + S* - S*

- S* - PV (D)

Por prestar el VP de los dividendos

- PV (D)

0 0 + PV (D)

Por prestar el VP del precio de ejercicio

- Ke-rt K K 0

Por la compra de la call - c 0 S* - K 0 Neto > 0 K - S* > 0 0

Con estos resultados de la estrategia existirían oportunidades de arbitraje, por lo que al vender la acción pierde de recibir el valor presente de los dividendos (PV(D)) y si, además, fue una venta corta deberá pagar los dividendos, por lo tanto ahorra desde un principio PV(D) para protegerse.


CLASE 06 Otra consideración, novena, es que se debe dar la siguiente condición de no arbitraje para las opciones de compra:

Es decir, la call americana tendrá un valor igual al de la acción, siempre y cuando el precio de ejercicio de esta opción de compra sea igual a cero, y el valor de esta acción u opción americana será mayor al valor de call europea con un precio de ejercicio mayor que cero.

Para continuar, se presenta la décima consideración para que no exista arbitraje en las opciones de compra, que hace referencia que para una acción que no paga dividendo cuando el tiempo de la opción call tiende a infinito (t ~ ∞), es decir, el plazo de vencimiento o maduración de la opción de compra sobre la acción es muy largo, se debe cumplir que:

C(S, t, k) ~ S

Es decir, el valor de la opción de compra (call) debe tender o aproximarse al valor de la acción, en caso contrario existirán oportunidades de arbitraje dado que se dará la siguiente

condición C ≥ S − Ke−rt , lo que desequilibra el mercado. Debemos recordar que, por la condición novena el valor de la acción se iguala al valor de la opción de compra, cuando su precio de ejercicio es cero (S = C (K = 0)). Recordemos, cuando en esta expresión Ke-rt, t tiende a infinito, el término e tiende a cero, por lo tanto el valor presente del precio de ejercicio tenderá a cero.

La condición décimo primera, hace referencia a los valores que toman los precios de ejercicio para dos opciones de compra (call). En cuanto a esto, sea k 2 > k 1 se tiene que dar la siguiente condición:


1 1

C(S, t, K ) + K ≤ C(S, t, K 2 ) + K 2

Americana

c(S, t, K1 ) + K 1e − rt ≤ c(S, t, K 2 ) + K 2 e − rt

Europea Note que para acciones que no paga dividendos, se da que:

C(S, t, K ) = c(S, t, K )

Por lo tanto, no conviene ejercer una call antes de que expire su fecha de vencimiento, a menos de que ésta tenga dividendos, ya que en este cado se dan las siguientes condiciones para las opciones de compra:

C(S, t, K ) + k1 ≤ C(S, t, K ) + k 2 Americana

c(S, t, K ) + k1e−rt ≤ c(S, t, K ) + k 2e−rt

Europea

Lo anterior, nos permite concluir que la opción de compra no tiene probabilidad de ser ejercida antes de la madurez, si ésta no entrega dividendos antes de su fecha de expiración.


Suponga la siguiente estrategia de opciones de compra (call), vender una call (K1), comprar una call (K2) y prestar la diferencia que se da entre los precios de ejercicio ( k2 - k1 ), cuyas opciones se encuentran suscrita sobre la misma acción y con precio de ejercicios K2 > K1.

c(k1) − c(k 2 ) > ( k 2 − k 1 ) e − rt

Es decir, con esta estrategia estamos suponiendo que se cumple lo contrario a la consideración décimo primera, de no arbitraje. A continuación se demostrará que si esta desigualdad se da en el mercado, es posible hacer arbitraje. Entonces sí:

c(k1) − c(k 2 ) > (k 2 − k1)e−rt


Lo que implica que:

c(k1) − c(k 2 ) - (k 2 − k1) >0

En donde, podemos observar que:

(k 2 − k1) > (k 2 − k1)e−rt , lo cual se cumple cuando r >0

Luego, se tiene la siguiente tabla de arbitraje


Flujo Actual S* ≤ K 1

k1 < S* < k2 S*>K2

Por vender una call c(k1) 0 -(S* - k1) -(S* - k1) Por comprar una call -c(k2) 0 0 S* - k2 Por prestar la diferencia de los precios de ejercicios

-( k2 - k1 ) ( k2 - k1 ) e-rt ( k2 - k1 ) e

-rt ( k2 - k1 ) e-rt

Neto > 0 ( k2 - k1 ) e-rt > 0 ( k2 - k1 )e

-rt - (S* - k1) > 0

(k1 – k2) + ( k2 - k1 ) e

-rt >0 Recuerde que lo que se presta es devuelto a valor futuro, por lo tanto, esta condición hace que exista oportunidad de arbitraje, como se demuestra en los resultados de la estrategia que presenta la tabla de arbitraje.

De lo anterior se desprende que si la desigualdad fuera:

c(k1) − c(k 2 ) > (k 2 − k1)e−rt

Existirán oportunidades de arbitraje en el mercado, luego se tiene que dar la siguiente condición:

c(k1) − c(k 2 ) ≤ (k 2 − k1)e−rt


Lo que debe darse, para que en el mercado este en equilibrio y no exista oportunidad de arbitraje. Duodécimo, esta consideración de no arbitraje dice que los precios de las opciones de compra (call) -tanto europeas, como americanas- son convexas en el precio de ejercicio (k). Para una mejor comprensión de esta consideración, suponga que se tienen los siguientes precios de ejercicios k3 > k1, tal que se da la siguiente relación:

k2 = α k1 + (1 – α) k3 Por lo tanto, se concluye que k1 < k2 < k3, es decir, que el precio de ejercicio k2 se encuentra entre los precios de ejercicios k1 y k3. Donde el término alfa, que se denota como α, se encuentra definido entre 0 ≤ α ≤ 1. Dado estos supuestos, se deben cumplir las siguientes condiciones:

C(k2 ) ≤ αC( k1 )+ (1 – α)C( k3 ) Americana

c(k2 ) ≤ αc( k1 )+ (1 – α)c( k3 ) Europea

Para demostrar sin se cumple o no esta condición, en el caso de opciones de compra europeas, se supondrá que se cumple lo contrario y que eso origina oportunidades de arbitraje. Es decir, se da lo siguiente:

c(k2 ) > αc( k1 )+ (1 – α)c( k3 ) , que se traduce en

c(k2 ) - αc( k1 ) - (1 – α)c( k3 ) > 0

Lo que representa la siguiente estrategia, vender una opción call con precio de ejercicio K2, comprar una cantidad α de opciones call con precio de ejercicio K1, y comprar una cantidad (1-α) de call con precio de ejercicio K3. Los resultados de esta estrategia se presentan en la siguiente tabla de arbitraje.


T = 0 T = t (Flujo en t) S* ≤ k1 k1 < S* ≤ k2 k2 < S* ≤ k3 S*>K3

Por vender una call c(k2)

0 0 -(S* - k2) -(S* - k2)

Por comprar α de call -αc(k1)

0 α(S* - k1) α(S* - k1) α(S* - k1)

Por comprar (1-α) de call -(1-α)c( k3)

0 0 0 ( 1 - α ) (S* - k3)

Neto 0 α(S* - k1) > 0 * **

Los resultados netos de la estrategia, cuando el valor de la acción se encuentra entre k2

< S* ≤ k3 y S*>K3, serán analizados en forma separada y detallada de manera de reforzar la comprensión del alumno.

* ) En el primer caso cuando el valor de la acción se encuentra entre k2 < S* ≤ k3 , el resultado de la estrategia deriva del trabajo algebraico que pueda desarrollarse con la sumatoria de los resultados independientes de las operaciones realizadas por el inversionista.

-(S* - k2) + α(S* - k1) ? 0

α(S* - k1) - (S* - k2) ? 0

αS* - αk1 - S* + k2 ? 0

αS* - αk1 - S* + (α k1 + (1 – α) k3 ) ? 0

αS* - αk1 - S* + α k1 + k3 - α k3 ? 0

αS* - αk3 - S* + k3 ? 0

(1 – α) (k3 - S) ? 0

Se ordenan las

expresiones, luego se desarrollan los paréntesis, se

reemplaza K2 por la relación de convexidad

entregada, se vuelve a desarrollar el paréntesis, se

eliminan los términos semejantes y se

concluye.

> 0 > 0 > 0


** ) En el segundo caso cuando el valor de la acción se encuentra entre S*>K3, el resultado de la estrategia deriva del trabajo algebraico que pueda desarrollarse con la sumatoria de los resultados independientes de las operaciones realizadas por el inversionista.

-(S* - k2) + α(S* - k1) + ( 1 - α ) (S* - k3) ? 0

α(S* - k1) - (S* - k2) + ( 1 - α ) (S* - k3) ? 0

αS* - αk1 - S* + k2 + S* - k3 - αS* + αk3 ? 0

αS* - αk1 – S* + (αk1 + (1 – α)k3) + S* - k3 – αS* + αk3 ? 0

- αk1 + (α k1 + (1 – α) k3 ) - k3 + αk3 ? 0

-α k1 + αk1 + k3 – αk3 - k3 + αk3 ? 0

0 = 0

Se ordenan las expresiones, luego se

desarrollan los paréntesis, se

reemplaza K2 por la relación de convexidad entregada, se vuelve a

desarrollar el paréntesis, se eliminan

los términos semejantes y se

concluye.

Es importante destacar que cuando los flujos después de “T = 0” sean positivos, no es que el inversionista haya perdido la ganancia inicial, sino más bien ha ganado algo más; pero si cuando “t > 0” existieran flujos negativos habría que comparar con la ganancia inicial para saber la posición neta del inversionista. Para el caso de una opción de compra (call) americana la estructura del arbitraje y el tipo de estrategia son idénticos que para las europeas, la única diferencia es que al trabajar con opciones americanas se debe contemplar la posibilidad del ejercicio prematuro. En dicho caso, de ejercicio prematuro, es posible asegurar un flujo de caja no negativo ejerciendo nuestras opciones y vendiendo nuestras posesiones largas.

Esta última consideración de limite del arbitraje o también conocida como propiedad de convexidad de las opciones de compra (call), se presenta gráficamente a continuación.


Gráfico Nº1: Propiedad de Convexidad de las Opciones de Compra (CALL)

C

C(K1) αC( k1 )+ (1 – α)C( k3 )

C(K2)

C(K3)

C(k2 ) ≤ αC( k1 )+ (1 – α)C( k3 )

K K1 K2 K3

CLASE 07 b) Límites del arbitraje sobre opciones de venta (Put)

Las restricciones al arbitraje de las opciones de ventas (put) son parecidas a las que

se estudiaron para el caso de las opciones de compra (call). Por lo tanto, podemos decir que los límites del arbitraje sobre las opciones de venta surgen directamente de las restricciones sobre las call y de la paridad Put – Call, o bien algunas son la contraparte de las restricciones sobre las opciones de compra.

Primero, la opción de venta -europea o americana- tomará siempre un valor positivo o nulo, es decir, no puede valer menos que cero, puesto que la opción o tiene valor o no lo tiene, dado que es un derecho no una obligación. De esta forma:

P(S, t, K) ≥ 0

p (S, t, K) ≥ 0

Americana Europea


Segundo, una opción no puede valer más que el precio de ejercicio de la opción (K). Lo que parece lógico, pues si una opción de venta sobre una acción de X vale $120, y el precio de ejercicio de esta opción es de $100, no es rentable para el inversionista pues el costo de adquirir el derecho de venta de la opción es mayor que el beneficio que obtendrá por la venta de las acciones.

p (S, t, K) ≤ K

Por otro lado, el valor de una opción de venta americana (P), que puede ser ejercida en cualquier momento hasta la fecha de vencimiento, será mayor o igual a la diferencia entre el precio de ejercicio (K) de la opción y el precio del activo subyacente (S). Es decir, mayor o igual que su valor intrínseco:

P ≥ K - S

Dado lo anterior, como tercer punto debemos considerar que el valor de una opción americana es mayor que el valor de la opción de venta europea, dado que esta última para ser ejercida debe ser menor que el precio de ejercicio de la opción (K) Lo que se denota como:

P(S, t, K) ≥ p(S, t, K)

La cuarta consideración es, cuando se dan dos fechas de vencimiento o de maduración de las opciones de venta, es decir:

t2, > t1, T: 1,2….n

Lo que se traduce en: P(S, t 2 ,K ) ≤ P(S, t 1,K )

Esto no siempre es valido para opciones europeas, aún cuando los dividendos tienden a

aumentar, en lugar de disminuir, el valor de una opción de venta europea. Cabe señalar que, para las opciones de venta (Put), además de su efecto sobre los dividendos el tiempo repercute en:


- Al aumentar el tiempo (+t), implica que aumenta la dispersión del valor de la acción (S*), por lo que, disminuye el valor de una put.

- Al aumentar el tiempo (+t), implica que disminuye el valor presente del precio de

ejercicio (-VP(k)), por lo tanto disminuye el valor de la put.

Un quinto punto de consideración es, cuando se dan dos precios de ejercicio para la opción de venta, es decir:

K2, > K1,

Lo que se traduce en: P(S, t, K 2 ) ≥ P(S, t, K1 ) p(S, t, K 2 ) ≥ p(S, t, K1 )

Una sexta consideración, consiste en que el valor de una opción de venta de tipo europeo será mayor o igual a la diferencia entre el valor actual del precio de ejercicio y el valor del activo subyacente, lo que se denota como:

p ≥ Ke-rt – S*

Para demostrar que debe darse esta condición o de lo contrario existirán oportunidades de arbitraje en el mercado, se hace el siguiente supuesto:

i) El inversionista podrá adquirir una acción pagando un precio de mercado S*.

ii) El inversionista podrá vender una opción de venta (put) del tipo europeas, e invertir el valor actual del precio de ejercicio (Ke-rt ), al tipo de interés sin riego (rf).

El resultado de las estrategias que se derivan de los supuestos antes mencionados,

se presenta en la siguiente tabla de arbitraje, en donde se detalla por alternativa de estrategia:



Flujo Actual S* < K S* ≥ K

Alternativa Estrategia i) Por la compra de la acción - S* S* S* Alternativa Estrategia ii) Por la venta de una put + p -(K – S*) 0 Por prestar el VP del precio de ejercicio

- Ke-rt K K

Como se puede apreciar en la tabla de arbitraje presentada, si el precio del activo es

inferior al precio de ejercicio de la opción (S* < K), ambas alternativas de estrategias son similares, puesto que el flujo neto de cada una será el mismo “S*”. Pero que ocurre cuando se da que el precio de la acción es mayor o igual al precio de ejercicio de la opción, (S* ≥ K), entonces la alternativa de estrategia ii) proporciona un flujo neto de K que es inferior al que proporciona la alternativa i), que es de S*.

Lo que nos permite concluir que la alternativa de estrategia i) deberá ser hoy igual o

más cara que la alternativa de estrategia ii), con lo que se cumple que p ≥ Ke-rt

– S*, para que no existen oportunidades de arbitraje.

Del análisis anterior podemos concluir que una opción de venta (P), del tipo americana,

vale más muerta que viva, es decir, vale más ejercida que vencida. Lo anterior, debido a que el límite de que esté “viva” es más pequeño que el valor intrínsico (muerta) antes del vencimiento. Lo que se denota como:

S = 0 P(S ,t, k)=k

P(S, t, k) ≤ Ke-rt

P ≥ p

La diferencia entre la opciones de venta europeas y americanas es bastante importante puesto que, a diferencia de lo que se estudio de las opciones de compra, es necesario contar con dos modelos distintos para valorar ambos tipo de opciones de venta. Dado que, si el precio del activo subyacente es bajo el valor de la opción de venta americana se aproxima a K – S*, al no haber incertidumbre que aumente su valor. Por el contrario, si el precio del activo es claramente alto el valor de la opción de venta se aproxima a cero, puesto que casi no existirá probabilidad de ejercerla con beneficios para el inversionista.


Séptimo, para una opción que paga dividendo se tiene que cumplir que:

P(S, t, K ) ≥ máx{0; K − S, Ke − rt − (S − VP(D))}

Ejercidas prematuramente Ejercidas al plazo de vencimiento

p(S, t, K ) ≥ máx{0; Ke − rt − (S − VP(D))} De lo contrario existirán oportunidades de arbitraje en el mercado.

La condición octava, hace referencia a los valores que toman los precios de ejercicio

para dos opciones de venta (put). En cuanto a esto, sea k 2 > k 1 se tiene que dar la siguiente condición:

P(S, t, k2) - P(S, t, k1) ≤ k2 - k1 Americana

p(S, t, k2) - p(S,t, k1) ≤ k2 - k1 Europea

Noveno, esta consideración de no arbitraje dice que los precios de las opciones de venta (put) -tanto europeas, como americanas- son convexas en el precio de ejercicio (k). Para una mejor comprensión de esta consideración, suponga que se tienen los siguientes precios de ejercicios k3 > k1, tal que se da la siguiente relación:

k2 = α k1 + (1 – α) k3

Por lo tanto, se concluye que k1 < k2 < k3, es decir, que el precio de ejercicio k2 se encuentra entre los precios de ejercicios k1 y k3. Donde el término alfa, que se denota como α, se encuentra definido entre 0 ≤ α ≤ 1. Dado estos supuestos, se deben cumplir las siguientes condiciones:

P(k2) ≤ α P(k1) + (1- α )P(k3) Americana

p(k2 ) ≤ αp( k1 )+ (1 – α)p( k3 ) Europea


La propiedad de convexidad de las opciones de venta se puede graficar como sigue.

Gráfico Nº2: Propiedad de Convexidad de las Opciones de Venta (PUT)

P

P(K3)

αP( k1 )+ (1 – α)P( k3 ) P(K2)

P(K1)

P(k2 ) ≤ αP( k1 )+ (1 – α)P( k3 )

K K1 K2 K3

Realizar ejercicios nº14 al 17

CLASE 08

1.6. Problema Básico en las Opciones de Compra del Tipo Americanas (CALL)

El problema básico en las opciones de compra (Call), del tipo americano, es cuando: a) Se ejerce esta opción justo antes que la acción, con dividendo, entregue los dividendos por lo que el inversionista obtendrá:

Sum – K o lo equivalente que es SEX + D – K Donde:

Sum = precio de la acción antes de dividendo

SEX = precio de la acción después de dividendo


b) Cuando se espera para ejercer la call, una vez que se han entregado los dividendos de la acción, en este caso la opción valdrá:

C(SEX, t -, k) Donde:

t – es el tiempo que queda para la madurez t – < t.

Dado los dos casos, mencionados anteriormente, para el ejercicio de opciones de

compra del tipo americana, entonces nuestro problema se centra en encontrar el valor de los dividendos (D), tal que se cumplan las siguientes igualdades.

Sum – k = C (SEX, t -, k) SEX

+ D – k = C (SEX, t -, k)

Es decir, lo que significa que el valor de los dividendos “D” es un monto total, que deja

indiferente al inversionista entre mantener viva la opción después que se repartan los dividendos o ejercerla muerta.

Gráfico Nº3: Problema Básico en Opciones Call Americanas

EX -

SEX + D – K C(S

+

, t , K)

SEX – Ke-rt

D – K

-Ke-rt

A K - D Ke-rt

SEX

-


El anterior apoyo gráfico se interpreta como, cuando el valor de la opción es menor de lo que el inversionista recibe al ejercerla, lo que se cumple si:

Sum – k < (SEX + D - k)

C(SEX, t-, K),

Por lo tanto le conviene ejercer la opción de compra. Regresemos al análisis del gráfico número 3, en donde esta situación se produce en todos los puntos que están a la derecha del “punto A”. Es decir, a la derecha de A siempre se va a ejercer antes de la madurez, dado que SEX + D – K > C(SEX, t-, K), la línea roja mayor que la curva verde, que representa el valor de la call.

A la izquierda del “punto A” el valor de la opción de compra (call) es mayor de lo que el

inversionista puede recibir por su ejercicio, por lo tanto, el inversionista nunca va ejercer la opción de compra

En el “punto A”, el precio de la acción después de dividendo (SEX) es igual al precio

que nos deja indiferente entre ejercer o no antes de la madurez y que se denota como ^SEX. Por lo que podemos concluir, que si se da:

*) ^SEX + D – K > C(SEX , t, k) la opción call se ejerce antes de la madurez

**) SEX + D – K < SEX – K-rt lo que se puede transformar en

D < K - ke-rt

D < K(1- e-rt) la opción call, nunca se

ejerce en forma anticipada

La última condición, en donde K(1- e-rt) es el valor de los intereses ganados, quiere decir que la utilidad de ejercer, una cantidad x determinada de los dividendos no es suficiente como para compensar las ganancias de mantener el monto del precio de ejercicio ganando intereses en el banco, caso en cual no se ejercerá. Lo que nos permite concluir, que nunca se ejercerá anticipado, si se cumple que:


C(SEX, t -, k) > SEX + D – k En este caso la opción siempre vale más viva que muerta.


Supóngase que las opciones de compra europeas (calls) suscritas sobre las acciones de Blanco y Negro se están vendiendo a $ 194, maduran a un año plazo y tienen un precio de ejercicio de $ 240. Las opciones de venta europeas (puts) con los mismos términos se están vendiendo en $ 80. Considere que Blanco y Negro no pagará dividendos antes del año, y que la tasa de interés es de un 25% mensual, se pide que el alumno sea capaz de explicar cuantitativamente:

a) Cómo podría el inversionista obtener los flujos de una venta corta de 10 calls hoy, se

recomienda utilizar una tabla de arbitraje (flujos), y especifique la estrategia a seguir.

b) Si las acciones de Blanco y Negro, ahora, se están vendiendo a $ 250 demuestre con una tabla de flujos que se puede arbitrar.

Datos:

c(s,t,k) : 194 t : 1 año o 12 meses r : 0,25 mensual k : 240 p(s,t,k) : 80

a) Flujos de una venta corta de 10 calls

De la paridad put – call se tiene que c = S+ p – Ke-rt, igualdad que debe darse para que

no existan oportunidades de arbitraje. En términos de la tenencia de instrumento, lo anterior se traduce en que tener una call es equivalente a tener una acción, una put y haber pedido prestado el valor presente del precio de ejercicio. Por lo tanto, estar corto en una opción de compra (call) es equivalente a estar corto en una acción, corto en una put sobre la acción y largo en el valor presente del precio de ejercicio.


Estar corto en 10 call, significa vender 10 call, con un ingreso de = 194 x 10 = $ 1940

T = 0 T = 12 meses

Flujo Actual S* ≤ K S* > K

Por vender 10 acciones +10 S* -10 S* -10 S* Por vender 10 put +10 x 80 = 800 -10 (k - S*) 0 Por depositar el valor presente del precio de ejercicio

240e-0.25*12x10=-119,48 10 k 10 k

Neto (**) 800 -119,48+10S* 0 -10 (S* - k ) < 0

(**) De la paridad put – call, bajo el supuesto de equilibrio, se tiene que

S = c – p + K e-rt

S* = 194 – 80 + 240e-0.25*12

S* = 194 – 80 + 11,94889632

S* = 125,9488963 Por lo tanto, reemplazando el valor de S* en el resultado neto (**) se obtiene:

(**) 800 -119,48+10S*

800 -119,48+10 x 125.9488963

1940,008963 ≈ 1940 Por lo tanto, no existen oportunidades de arbitraje.

b) ¿Qué pasa si S* = 250?

En equilibrio, se tiene que dar la condición de S = c – p + K e-rt, por lo tanto, no se

debe cumplir que:

250 > 194 - 80 + 240e-rt

250 > 125,9488963

En este caso, se cumple la condición de arbitraje, en donde S > c – p + K e-rt, de

manera el inversionista puede seguir un estrategia y obtener ganancias. La estrategia a seguir es:

S - c + p - K e-rt > 0


Si en el mercado la acción tiene un precio de 250 y su precio de equilibrio es 125,9488963, el instrumento está sobrevalorado y se puede obtener ganancias al venderlo. La estrategia a utilizar es:

T = 0 T = 12 meses

Flujo Actual S* ≤ K S* > K

Por vender la acción +250 - S* - S* Por comprar la call -194 0 (S* - k) Por vender la put +80 -(k - S*) 0 Por depositar el valor presente del precio de ejercicio

240e-0.25*12=-11,94889 k k

Neto 124,051104 0 0


CLASE 09

2. MODELOS DE VALORIZACIÓN DE OPCIONES

Es sabido por el alumno que una opción, ya sea de compra o de venta, es el derecho, pero no la obligación de realizar una acción en el futuro. Por ello, las opciones resultan valiosas cuando se está frente a una situación de incertidumbre., es decir, cuando un contrato de opción de compra transable en los mercados de capitales le brinda la oportunidad al inversionista de comprar una determinada acción a un precio predeterminado en una fecha específica, éste se traduce a un derecho que será ejercido, si y sólo si el precio de esa acción -en la fecha específica- es superior al precio estipulado en la opción de compra.

Ahora bien, la problemática de la valorización de opciones ha sido tratada desde hace

un largo tiempo, en donde los dos métodos más usados de valorización de opciones resultan ser familiares en el ámbito financiero. Los cuales son: el Modelo Binomial y el Modelo Black & Scholes desarrollado por Fischer Black y Myron Scholes, posteriormente complementado por Robert Merton.

Ambos métodos de valorización de activos, que serán abordados a continuación, se

basan en criterios, esencialmente, muy simples que se derivan de la utilización de portfolios equivalentes y en los principios de comportamiento de los modelos de arbitraje. Debemos considerar, siempre, que muchas decisiones de carácter estratégico crean oportunidades subsecuentes que pueden ser tomadas, por diversos inversioncitas, en el caso que el mercado evolucione de manera favorable a éstas.


2.1. Modelo Binomial

Este modelo fue desarrollado por Cox, Ross y Rubinstein4 para valorizar opciones, que posee una ventaja importante sobre el modelo continuo de Black & Scholes5, que además de ser muy intuitivo utiliza una matemática muy simple, dado que este modelo se basa en el cálculo del precio de dos activos puros.

Definición de Activo Puro o Pure Security:

Un activo es un activo financiero puro (PURE SECURITY) cuando da como resultado 1, en un estado natural, y 0 en los otros estados. Es decir, se da una certeza del resultado en uno de los escenarios posibles.

Iniciaremos el análisis del enfoque binomial suponiendo “dos estados posibles”, de la naturaleza, en donde se ubicará el activo puro y se usará su precio para valorar opciones.

Supongamos que existen dos estados de la naturaleza:

1 1 π1 π2

0 0

Por Ejemplo:

Realicemos el siguiente supuesto, que se invierte un peso en una acción, cualquiera sea ésta. Entonces, diremos que ésta puede dar los siguientes resultados posibles:

u

$1 d

4 Cox, J., Ross, S., y Rubinstein, M., “Options Pricing: a Simplified Approach” 1979. 5 Que se explicará a continuación, en el punto 2.2.


Expliquemos un poco más el ejemplo, si se forma un portafolio en el cual se invierte $1

en la acción suscrita y se pide prestado el valor presente de d, es decir, (d) / (1+r), se obtendrán los siguientes resultados:

a) Se obtiene “u” si se da el estado 1 y, el inversionista, tendrá que pagar “d”.

b) Pero, en caso contrario, cuando se da el estado natural 2, el inversionista obtendrá “d” y deberá, a su vez, pagar “d” con lo que se queda en cero.

Apliquemos la metodología del modelo binomial, en el ejemplo señalado

anteriormente. Lo primero, es replicar los resultados en los distintos estados de la naturaleza.

$ 1 Se define el estado de la naturaleza π1 como:

u - d d – d = 0

π1 = r * − d

(u − d)r *

, donde r* = (1 + r)

Diremos que π1 es el precio de un activo puro que nos da $1 en el estado natural 1 y cero en el estado natural 2.

Π1 =

r * − d 1 (u − d)r *

0

Si se realiza el mismo procedimiento para calcular el precio de un activo puro que rinde un $ 1 en el estado natural 2 y cero en el estado natural 1. Lo que deriva, esta vez, en

que el inversionista deberá invertir $ 1 en la acción y pedir el valor presente u. Es decir u

. 1 + r

Cuando se da el estado natural 1, por la inversión recibimos u y debemos pagar u, obteniendo un neto igual a cero. En el caso que se de el estado natural 2, por la inversión se recibirá “d” y se pagará el préstamo de u, quedando con d – u.


u - u = 0

$1

d - u Luego, como queda la ecuación para el caso del estado natural 2 es:

Π 2 = u − r *

(u − d)r *

En donde π2 es el precio de un activo financiero puro que queda en $1 en el estado natural 2 y cero en el estado natural 1.

Π 2 = u − r *

0

(u − d)r * 1

Procediendo en forma análoga, podemos valorar portfolio de distintos flujos en distintos estados.

Por Ejemplo:

Tenemos el portfolio 1, que denotaremos como P1, el que nos entrega el valor de “a” en el estado natural 1 y el valor “b” en el estado natural 2.

a P1

b


Lo que es equivalente, cuando se invierte un peso en el portfolio 1, a:

a*1

π1a π2b

0

0 b*1

La pregunta acerca de cuanto debemos pagar por este portfolio (P1) se responde de la siguiente manera:

a) π2b es el valor actual de una inversión que da cero en el estado natural 1 y “b” en el estado natural 2.

b) π1a es el valor actual de una inversión que da “a” en el estado natural 1 y cero en estado natural 2.

Por lo tanto, para obtener “a” en estado natural 1 y “b” en el estado natural 2, se deben realizar ambas inversiones, luego se entiende el rendimiento del portfolio 1 como:

P1 = π1a + π2b Lo que se lee de la siguiente forma “portfolio 1 tiene un costo de P1, el cual rinde “a” en el estado natural 1 y “b” en el estado natural 2. “Cabe señalar que, a y b” son excluyentes.

A continuación, se va a demostrar que estos conceptos se pueden generalizar para

valorar distintos tipos de activos financieros, por medio de un ejemplo el alumno podrá entender mejor este proceso.


Por Ejemplo:

Supongamos que queremos conocer el precio a pagar por un activo libre de riesgo, lo que denotaremos como portfolio rf. Además, sabemos que un activo libre de riesgo rinde los mismos flujos cualquiera sea el estado natural. Es decir:

Prf

El valor del portfolio Prf esta dado por:

1+r 1+r

P = π1 (1 + r ) + π2 (1 + r )

Ahora, si reemplazamos π1 y π2, además recuerde que (1+ r) = r*, se tiene que:

⎛ * ⎞ ⎛ * ⎞ * *

P = ⎜ r − d ⎟r * + ⎜ u − r ⎟r * , lo que es igual a P = r − d + u − r

= 1 ⎜ (u − d)r * ⎟ ⎜ (u − d)r * ⎟ (u − d ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Nota: recuerde que r* = 1 + r, dado que se esta dispuesto a pagar un $ 1 por algo que ofrece “(1 + r)” en cualquier estado natural.

Continuemos con nuestro análisis al modelo binomial, supongamos el caso de una

acción, en donde el precio de la acción actualmente, que se denota como el período cero, es S*; y este precio tiene dos alternativas a futuro, que se entenderá como el período 1, puede subir a “u” o bajar a “d”, por lo que tenemos un portfolio P que rinde:

u

P = S*

d

El valor de este portfolio será:

P = S* = π1u + π2d Ahora, si reemplazamos π1 y π2, se tiene que:


(r * −d)u + (u − r *)d P = (u − d )r *

P = S* = ur * −r * d (u − d )r *

(u − d )r * = (u − d )r * = 1

Por lo que podemos concluir que el precio de la acción que da “u” estado natural 1 y

“d” en el estado natural 2 será un peso ($1).

En este punto de nuestro estudio, se debe introducir al análisis las opciones de compra o venta -call y put- y valorizar las estrategias de inversión en opciones por medio del modelo binomial. A modo de simplificar nuestro estudio analizaremos los casos por separado, primero la opción de compra y luego la de venta.

En el caso de un call

Supondremos que se tiene una opción de compra (call), la que se denota con la letra c pues es del tipo europeo, la cual cumple con que:

u > k > d k: precio de ejercicio En donde, sabemos que “u” es el rendimiento del estado natural posible 1 o superior y que “d” es el rendimiento del estado natural posible 2 o inferior. Si se da el estado superior y el inversionista ejerce la opción de compra, como la acción “S” vale “u” en tal estado se dice que el inversionista obtiene (u – k).

En caso contrario, si se da el estado inferior en donde la acción “S” vale “d” y como d < k -que el precio de ejercicio- esto implica que el inversionista no ejerce la opción y obtendrá una ganancia igual a cero.

Luego, el esquema de pago de la opción call será:

u -k

C

0


Por lo tanto, el precio de la call será:

C = π1 (u – k ) + π2 0

Como π2 se multiplica por cero, el precio de la call se representa sólo por:

C = π1 (u – k ) Al reemplazar π1 , nos queda:

(u − k )(r * −d ) C

Para analizar lo que pasa con el valor de la opción en varios períodos, se debe primero introducir al alumno al análisis del rendimiento de la acción en varios períodos, de manera de clarificar algunos conceptos. En general el valor de la acción se traduce en un rendimiento igual a “Su” o “Sd” en los respectivos estado naturales -superior o inferior, respectivamente-. A continuación, se presenta por medio del modelo binomial.

Su So

Sd

Por ejemplo si “u”, el estado natural superior, es igual a 1,1 esto quiere decir que se da el alza del precio, el precio de la acción (S) sube en un 10%. En caso contrario si “d” es igual a 0,9, en el estado natural inferior, se da un precio en baja lo que quiere decir que le precio de la acción baja en un 10%.


Esto se puede generalizar para varios períodos de la siguiente forma:

Su2

Su So

Sud Sd

Sd2

Su3

Su2d

Sud2

Sd3

Si suponemos que el precio de la opción sigue un random walk (camino aleatorio) es decir con covarianza cero y, por lo tanto, los movimientos del precio de la acción son independientes entre si. Podemos además considerar que el % de alza y el de baja permanecen constantes en el tiempo y que la probabilidad de alza o baja también es constante en el tiempo. Lo que es posible generalizar como:

Cd = máx [0, ds – k]

C

Cu = máx [0, us – k]


Cabe destacar que no necesariamente π1 y π2 van a hacer los mismos en todas las secuencias. Por lo que, si eso no ocurriera el diagrama de pago de la acción sería como:

Su1

So

Sd1

S u1 u2

S u1 d2

S d1 u2

S d1 d2

Es importante tener presente que hasta el momento hemos trabajado con sólo dos estados naturales y, por lo tanto, sólo requerimos de π1 y π2. Sin embargo, en el caso que existan más de dos estados naturales posibles se requerirían tantos valores financieros puros como estados naturales hubieran.

A continuación veremos como replicar los pagos de una call mediante una inversión

en acciones y bonos. Sabemos que si consideramos sólo un período la acción presenta el siguiente diagrama de pagos.

S u ( con probabilidad “p”)

S

S d ( con probabilidad “(1-p)”

En el caso de la opción call los valores posibles son:

Cd = máx [0; ds – k]

C

Cu = máx [0; us – k]


Se tiene un portfolio conformado por una cantidad delta de acciones (∆S) y un monto B en bonos libres de riesgo; de modo que al cabo de un período el portfolio formado tendrá los siguientes valores:

∆Sd + r* B (con P “(1-p)”)

∆S + B

∆Su + r* B (con P “p”) r*=1+r

Dado que podemos elegir ∆ y B como queramos, a conveniencia de nuestro análisis lo que deseamos es replicar los pagos de la opción call. Se supondrá que elegimos ∆ y B de modo de igualar los valores -a fin de período de nuestro portfolio- con los valores a fin de período de la call; de tal forma se requiere que se cumplan las siguientes condiciones:

∆Su + r* B = Cu

∆Sd + r* B = Cd

Esto corresponde a un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas son ∆ y B. Luego resolviendo este sistema se tiene que:

∆ = Cu − Cd

(u − d)S

, es el % a invertir en acciones

B = uCd − dCu

, es el monto a invertir en bonos (u − d)r *

Como se debe cumplir que: C = ∆S + B


Se reemplaza los valores de ∆ y B, se tiene que:

⎛ Cu − Cd ⎞ ⎛ uCd − dCu ⎞ C = ⎜ ⎟S + ⎜ ⎟ ⎝ (u − d)S ⎠ ⎝ (u − d)r * ⎠

⎡⎛ − ⎞ ⎛ − ⎞ ⎤ r * d u r * ⎢⎜ ⎟Cu + ⎜ ⎟Cd⎥

C = ⎣⎝ (u − d) ⎠ ⎝ (u − d) ⎠ ⎦ r *

como, p = (r * −d) y

(u − d)

[pCu + (1 − p)Cd] (1 − p) = (u − r*)

(u − d)

C = = π1Cu + π2Cd r *

Verifiquemos con un ejemplo lo expuesto anteriormente. Supóngase que una acción que con probabilidad de obtener “p” vale Su y con probabilidad de obtener “(1-p)” vale Sd, para lo cual se tienen dos períodos y dos rendimiento ( π2 y π1 ) estables, entonces el diagrama de pago de la acción será:

Su2

Su

Sud So

Sd Sud

Sd2


Expresemos lo anterior, en el caso de una call suscrita sobre dicha acción el esquema de pago de la call será el siguiente:

Cuu = máx [0;Su2 – k]

Cu = π1Cuu + π2Cud

C Cud = máx [0;Sud – K]

Cd=π1Cud + π2Cdd

Cdd = máx [0;Sd2 – K]

En el caso que se conocieran u, d y la tasa de interés del período, se podrían calcular los rendimientos π1 y π2, por lo tanto conocer el valor de la call en el instante cero. Lo anterior, se debe a que:

C = π1 C u + π2 Cd Lo que es equivalente a:

C = π1 [π1 Cuu + π2 Cud] + π2 [π1 Cud + π2 Cdd]

Para que π1 y π2 sean iguales en los dos períodos, solo y solo sí, la tasa de crecimiento es constante, es decir, si u y d son constantes (iguales para los 2 períodos) y si r* también lo es (r* = constante). Cuando esto sucede se dice que el proceso es estacionario.

Realizar ejercicios nº23 al 26


Clase 10

En el caso de un put Ahora es el turno de valorar una opción de venta (put) teniendo en cuenta que puede ejercerse anticipadamente, si se trata de una opción de venta del tipo americana (C), y que este ejercicio anticipado puede ser preferible a esperar a ejercerla en la fecha de maduración.

A continuación, al igual que se hizo con la opción de compra (call) se muestra un esquema con los posibles movimientos de la acción y el valor de la opción de venta en la fecha de vencimiento.

u > k > d k: precio de ejercicio En donde, sabemos que “u” es el rendimiento del estado natural posible 1 o superior y que “d” es el rendimiento del estado natural posible 2 o inferior. Si se da el estado superior y el inversionista no ejerce la opción de venta, dado que puede vender en el mercado a un precio superior, por lo que obtendrá una ganancia igual a cero.

En caso contrario, si se da el estado inferior en donde la acción “S” vale “d” y como d < k -que el precio de ejercicio- esto implica que el inversionista ejerce la opción y obtendrá una ganancia igual a k - d.

Luego, el esquema de pago de la opción put será:

0 p

k - d

Por lo tanto, el precio de la put será:

p = π1 0 + π2 (k – d)


Como π1 se multiplica por cero, el precio de la put se representa sólo por:

= π2 (k - d)

Al reemplazar π2 , nos queda:

Expresemos lo anterior, en el caso de una put suscrita sobre dicha acción el esquema

de pago de la put será el siguiente:

puu = máx [0; k – Su2]

pu = π1puu + π2pud

p pud = máx [0; k - Sud ]

pd=π1pud + π2pdd

pdd = máx [0; k - Sd2]

En el caso que se conocieran u, d y la tasa de interés del período, se podrían calcular los rendimientos π1 y π2, por lo tanto conocer el valor de la put en el instante cero. Lo anterior, se debe a que:

p = π1 pu + π2 pd

p



p = π1 [π1 puu + π2 pud] + π2 [π1 pud + π2 pdd]

Para que π1 y π2 sean iguales en los dos períodos, solo y solo sí, la tasa de crecimiento es constante, es decir, si u y d son constantes (iguales para los 2 períodos) y si r* también lo es (r* = constante). Cuando esto sucede se dice que el proceso es estacionario.

2.1.1. Proceso Binomial para Un Estado

La rentabilidad en términos continuos de una acción, que puede valer Su con probabilidad “p” y Sd con probabilidad “(1-p)”, es la siguiente:

Ln (S*/S) = ln u

En el caso que siga el patrón Su, es decir, que el precio de la acción va en alza.

Ln (S*/S) = ln d

En el caso que siga el patrón Sd, es decir, que el precio de la acción va a la baja.

En general, la rentabilidad tiene el siguiente valor esperado y varianza:

Valor Esperado de la Rentabilidad

E [ln(S*/S)] = p ln u + (1-p) ln d

Varianza de la Rentabilidad

var [ln(S*/S)] = p(1-p)ln (u/d)2

Ahora qué pasa cuando se subdividen los períodos, se convierte el anterior

proceso en los resultados de un proceso binomial de dos estados


2.1.2. Proceso Binomial para dos Estados

El período de tiempo se puede subdividir, por ejemplo se tiene la proyección de los valores de la acción en un período de 6 meses, lo que se puede dividir en dos períodos de tres meses. Lo anterior, nos permite obtener valores intermedios y mayor cantidad de precios posibles así como también mayor información para calcular “u” y “d” suponiendo que el proceso es estacionario.

Su = S1*

S

Sd = S2*

Si parcelamos en dos períodos de tres meses cada uno, se tiene que:

Su2

Su

S Sud

Sd

Sd2

Por lo tanto, para dos estados la esperanza de la rentabilidad se expresa como:


E [ln(S*/S)] = p2 ln (u2) + 2p(1-p) ln (ud) + (1-p)2ln(d2)

E [ln(S*/S)] = 2[p ln (u/d) + ln d]


Y la varianza de la rentabilidad para 2 estados será:


var [ln(S*/S)] = p2 {lnu2 – E[ ln(S*/S)]}2 + p(1-p) 2 { lnud – E (ln(S*/S))}2 + (1-p)2 { lnd – E[ln(S*/S)]}2

var [ln(S*/S)] = 2 [ p(1-p)(ln(u/d))2]

2.1.3. Proceso Binomial para “N” Estados

El valor esperado y la varianza para “n” períodos6 se encuentra establecidas como:


E[ln(S*/S)] = n [p ln (u/d) + ln d]


Var [ln(S*/S)] = n [ p(1-p) (ln (u/d))2]

2.1.4. Fórmula General de una Binomial

A continuación se define la fórmula general para una binomial, de manera que el alumno pueda trabajar y realizar ejercicios con simples cálculos.

Sea:

n : número de experimentos binomiales (períodos)

k : número de subidas del precio de la acción

n – k : número de bajadas del precio de la acción

6 No es el fin de este material el cálculo algebraico de cada una de las formulas establecidas, si no más bien

que representan éstas en el análisis financiero de opciones, bonos y acciones.


Entonces el precio de una opción de compra (call) se puede calcular de la siguiente fórmula:

Recordemos que los valores de p y (1 - p), son:

En esta fórmula también se utiliza el n factorial, que se denota como n! y que indica

que se debe multiplicar los números hasta n (1*2*3……….*n). Luego si se tiene un 2! = 1*2 = 2.

En resumen, la expresión antes establecida considera que la opción vale simplemente

el valor actual de los flujos de caja esperados a lo largo de un árbol de binomial con “n” pasos, cuyos principales supuestos básicos son:

1) La distribución de los precios de las acciones es una binomial multiplicativa.

2) Los multiplicadores “u” y “d” y, por ende, las varianzas de los rendimientos son los

mismos en todos los períodos.

3) No hay costos de transacción, por lo que se pude establecer una cobertura sin riesgos para cada período entre la opción y el activo sin necesidad de realizar ningún costo irrecuperable.

4) Los tipos de interés sin riesgo se suponen constantes.

Es importante recalcar que no es necesario asumir que los inversionistas tengan una determinada actitud contra el riego, de hecho el modelo supone una neutralidad ante el riesgo porque se pude construir un portfolio de arbitraje que elimina totalmente el riego de la inversión. Si el valor de la opción no coincide con éste, entonces se puede conseguir un beneficio sin riesgo.


Ejercicio S0 = 160 u = 1,15 d = 0,85 r* = 1,09 n = 4 k = 150

Calcule el precio de la call actual en el instante cero suponiendo que no hay dividendo.

S0 = 160

160*1.15*1.15

Su=160*1,15=184

160*1.15*0.85 Sd=160*0,85=136

160*1.153

Su2=211,6 160*1.152*0.85

Sud=156,4

160*1.15*0.852

Sd2=115,6

243,34

179,86

132,94

279,84 206,834 152,88 112,994

160*0.85*0.85

160*0.853

98,26

83,52

** ** Al final de los experimentos C = máx [0 ; S-K]

• Cu4 = 160*1.15*1.15*1.15*1.15 = 279,84; Cu4 = máx [0 ; Su4 - K], por lo tanto 279,84 -150 = 129,841 • Cu3d = máx [0 ; Su3d – K] = (160*1.15*1.15*1.15*0.85) – 150 = 56,834

• Cu2d2 = máx [0 ; Su2d2 - K] = (160*1.15*1.15*0.85*0.85) -150 = 2,881

• Cud3 = máx [0 ; Sud3 - K] ; si realizamos el calculo (160*1.15*0.85*0.85*0.85) -150

= -37,001, dado que el valor es negativo no se ejercerá la opción; por lo que la call vale cero C=0.

• Cd4 = máx [0 ; Sd4 - K] ; si realizamos el calculo (160*0.85*0.85*0.85*0.85) -150 = -66, 47, dado que el valor es negativo no se ejercerá la opción; por lo que la call vale

cero C=0.


A continuación se deben calcular los valores π1 y π2 , lo que se realiza de la siguiente forma:

Por lo tanto, el valor de la call se obtiene de las posibilidades en alza del precio de la opción, que en el flujo esta señalado con azul, lo que nos da:

Cu3= π1Cu4 + π2Cu3d

Cu3= π1Cu4 + π2Cu3d = 0,7339449*129,84 + 0,1833486239*56,834

Cu3= π1Cu4 + π2Cu3d = 105,7236


CLASE 11

2.2. Modelo Black y Scholes: Valorización en Tiempo Continúo

El modelo desarrollado por los profesores Fischer Black y Myron Scholes7 para valorar las opciones venta y compra del tipo europeo es importante, no sólo por tener en cuenta la valorización del arbitraje, sino por proporcionar una solución analítica en un solo paso, es mucho más rápido de calcular que el binomial, aunque también es menos flexible, y asume que los rendimientos de los activos se distribuyen normalmente lo que es teóricamente razonable.

Los supuestos de este modelo son:

• El precio del activo sigue una distribución normal logarítmica, por lo que los rendimientos se distribuyen normalmente.

7 Black, Fischer y Acholes, Myron: “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”.


• El valor de los rendimientos es conocido y es directamente proporcional al paso del tiempo.

• No hay costos de transacción o impuestos, así que se puede establecer una cobertura sin riesgo entre el activo y la opción sin ningún costo.

• Los tipos de interés son conocidos, a corto plazo y constantes. • Durante el período de ejercicio, la acción subyacente no pagará dividendos. • Las opciones son del tipo europeas. • La negociación de los valores financieros es continua • No existen oportunidades de arbitraje libres de riesgo • Weiner Process, significa que el precio de la acción varia en el tiempo y las

desviaciones que se producen son estocásticas (movimientos no autocorrelacionados)

El modelo desarrollado por Black y Scholes, cuya fórmula de valoración de opciones europeas mostramos a continuación, resuelve el problema fundamental de la valorización de las mismas, que consiste en que dado el tiempo que falta para su vencimiento (t), el tipo libre de riesgo (rf), el precio de ejercicio de la opción (k) y la varianza de la tasa de rentabilidad instantánea (VAR), habrá que determinar la relación existente entre el costo de la opción de compra europea (call) y el precio de la acción sobre la que recae (S0). Disponiendo de un modelo que ofreciese tal relación, cada día se podría determinar que opciones se encuentran subvaloradas y cuales sobrevaloradas, mediante la simple introducción en la fórmula del precio de la acción ese día.

Su formulación indica que el precio de una call en tiempo continuo es:

C = S N(d1) – K e-rft N(d2)

Y la put en tiempo continuo:

P = K e-rft N(d2) - S N(d1)

Donde N(d1) es la función de distribución de la variable aleatoria normal de media 0 y

desviación típica igual a 1, es decir, la normal estándar N (0,1). Ahora el N(d1) y N(d2) corresponden respectivamente a una normal evaluada en d1 + d2.


Donde: d1 = ln (S/K) + rft + ½ σ √t o Tambien se puede expesar

σ√t

d1 = ln (S/K) +(r + σ2) t

σ√t

d2 = d1 - σ√t

Cabe señalar que N(d1) es la probabilidad de encontrar un valor menor a d1.

d2 d1

Supongamos que C* es el precio de mercado de la call, si C* > C, precio de ejercicio calculado por Black y Scholes, entonces conviene vender la call y replicarla con una posición en acciones y en bonos.

En tiempo continuo:

• N(d1) es el porcentaje que se invierte en acciones para formar un portfolio con el mismo comportamiento de la call.

• N(d2) es el porcentaje que se invierte en bonos para formar un portfolio con el mismo comportamiento de la call.

A medida que pasa el tiempo, el precio de la acción (S) cambia y también cambia

N(d1) y N(d2), por lo cual tendremos que re-balancear el portfolio. Arbitrar el mercado significa encontrar una acción sobre o subvalorada y adaptar los porcentajes invertidos para obtener una ganancia.

Para estos autores un inversor racional nunca ejercería una opción de compra antes

de su madurez y, por lo tanto, el valor de la opción de compra americana coincidirá con la europea. Por otra parte, dado que la opción de venta americana incorpora sobre la europea la ventaja de poder ser ejercida en cualquier momento del período, su valor superará a su correspondiente europea, proporcionando la valoración de esta última un límite mínimo para aquella.

Para una opción de venta, la fórmula de valorización con el modelo de tiempo continuo es:


p = c – S + VP(k)

p = [SN(d1) – k e-rft N(d2)] – S + k e-rft

p = [SN(d1) – 1] – k e-rft [N(d2) – 1]

Como se puede observar en la fórmula antes señalada, se aplica una ponderación de

N(d1) a S y otra de N(d2) a Ke-rft. Si la fórmula se completa dando valores por encima del límite inferior, entonces N(d1) deberá ser mayor que N(d2).

2.3. Ajustes por Conceptos de Dividendos

Existen dos formas de incurrir en un pago de dividendo en la formulación de Black y Scholes, para calcular el precio de la opción de compra (call), las que se mencionan a continuación:

1. Suponiendo que sabemos que en un determinado período de tiempo -en el presente- la acción entregará un dividendo de monto “D”. En este caso si la opción no se encuentra protegida de dividendo, su valor cambiará si se sabe de antemano que habrá un dividendo, entonces lo que pierde el inversionista se le es devuelto.

Vamos a suponer en este caso, la opción no está protegida de dividendo, por lo tanto el valor de la call debe cambiar de la siguiente forma:

C = S N(d1) – K e-rft N(d2)

Ajustar Ajustar

C = (S - De-rft ) N(d1`) - K e-rft N(d2`)

Es decir, se descuenta el valor presente de los dividendos (D) del valor de la call, lo que cambia los valores de N(d1) y N(d2). Se debe recordar que:

d1` = ln (S* / K) + rft + ½ σ√t σ√t


En este caso, el existir dividendo hace variar el valor de la acción (S). 2. Vamos a suponer que es un flujo permanente, es decir, que no sabemos en que momento se va a dar dividendo, pero si sabemos que históricamente un porcentaje de la acción se da en forma de dividendo.

Donde:

Sα : Dividendos

Lo que se conoce como “Dividendos Yield” = αS, con lo que se tiene que:

S* = e-αtS

Es decir, se trae a valor presente este escape, en términos continuos. Esto para T = 1 y por ejemplo si T = 2 implica que:

S* = e-2αS Por lo tanto, el valor de la call después de dividendo será:

C = Se-αt N(d1`) - K e-rft N(d2`)

Ajustado Ajustado

Antes de dividendo

d1` = ln (S / K) + rft + ½ σ√t σ√t

Después de dividendo

d1` = ln (Se-αt / K) + rft + ½ σ√t σ√t

Cabe señalar que el precio de la acción no cambia, sino al contrario, cambia lo que

recibe el que compra la opción de compra (call).


Ejercicio práctico: Datos: S0= $42 K=$40 rf = 10% T= 6 meses (0,5 años) y σ= 20% Determinar el precio de la call y la put.

d1 = ln (42/40) +(0,1 + 0,22) *0,5 = 0,7693

0,2√0,5 d2 = 0,7693 – 0,2√0,5 =0,6278

- K e-rft = - 40e-0,1*0,5 = 38,049

El precio de una call seria C = 42N(0,7693) – 38,049N(0,6278) El precio de una put seria: P= 38,049N(0,6278)- 42N(-0,7693) , para buscar los números que se encuentran en paréntesis se utiliza una tabla de aproximación polinómica P= 0,81 C= 4,76


CLASE 12

2.4. Dividendos y su Efecto en la Valorización de Opciones Caso 1: Call Americana con Dividendos

El precio de la acción cae cuando se da un dividendo. Por esta razón las opciones call americanas tendrán un valor mayor que las opciones call europeas, ya que pueden ejercerse antes de la maduración y, de ser conveniente se ejercerán antes de dividendo para obtener una ganancia mayor.

Las opciones americanas y europeas tienen el mismo valor de ausencia de dividendo

durante un período de vigencia. Ejemplo:

Datos S = 80 K = 60 u = 1.5 d = 0.5 r* = 1.1 n = 3 y suponga que en el segundo período se da un dividendo de 10.

Calcule el precio de la call actual en el instante cero suponiendo que hay dividendo.

80*1.5*1.5 170*1.5

S0 = 160

Su=80*1.5=120

80*1.5*0.5

Sumu2=180 Sexu2=170 Sumud=60

Su3

Su2d Su2d

255

85

75

170*0.5

50*1.5

Sd=80*0,5=40

Sex

ud=50

Sud2 25 Sud2 15

50*0.5

80*0.5*0.5

Sumd2=20 Sexd2=10

Sd3

5

10*0.5

10*1.5

Recordemos que Sum es el valor de la acción antes de dividendo y Sex es el valor de las acciones después de dividendos. Por lo que, Sex = Sum – D.


Calculemos el valor de la call para cada uno de los períodos, antes se debe calcular los valores de π1 , π2 , p y (1-p). Nota, para hacer los cálculos estos los puede hacer con los π o utilizando las fórmulas para el p y (1-p).

El valor de la call para el período 3 resulta de su máxima ganancia y la decisión de ejercer o no la opción, C = máx [0 ; S -K].

CA=CE= máx[0, S-k] = 255-60=195

S0 = 160

Su=80*1.5=120

Sumu2=180 Sexu2=170

Su3

Su2d Su2d

255

CA=CE= máx[0, S-k] = 85-60=25

85

Sumud=60

ex

75 CA=CE= máx[0, S-k] = 75-60=15

Sd=80*0,5=40 S ud=50 Sud2

Sud2

25 CA=CE= máx[0, S-k] =0; S<k 15

Sumd2=20 Sexd2=10

Sd3

CA=CE= máx[0, S-k] =0; S<k

5

CA=CE= máx[0, S-k] =0; S<k


Para el segundo período el valor de la call, dependerá del tipo de opción -americana o europea-, las que se calculan como sigue.

Su=80*1.5=120

Sumu2=180 Sexu2=170

E A

Su3

Su2d

S0 = 160 C = 115,45 C = 120 Su2d

Sumud=60 ex

Sd=80*0,5=40 S ud=50

Sud2

CE = 8,2 CA = 0 o 8,2 **

Sumd2=20 Sexd2=10

CE = 0 CA = 0

Sud2

Sd3

El inversionista no ejerce la opción, por lo tanto, se toma el valor más alto, el europeo.

Para call del tipo europea, se tiene que (utilizando las fórmulas π):

CE = Cu2= π1Cu3 + π2Cu2d = 0.5454*195+0.3636*25= 115,45

CE = Cud= π1Cu2d+ π2Cud2 = 0.5454*15+0.3636*0= 8,18

CE = Cd2= π1Cud2+ π2Cd3 = 0.5454*0+0.3636*0= 0

Para call del tipo americano, se tiene que el valor de la call para el período 2 resulta de su máxima ganancia y la decisión de ejercer o no la opción, C = máx [0 ; S -K].

CA = máx [0 ; S -K] = 170 – 60 = 120

(la ejerce antes de dividendos)

CA = máx [0 ; S -K] = 50 – 60 = 0, dado que S < K (no la ejerce antes de dividendos, su tratamiento es igual al europeo)

CA = máx [0 ; S -K] = 10 – 60 = 0, dado que S < K

(no la ejerce antes de dividendos, su tratamiento es igual al europeo) Para el primer período el valor de la call, dependerá del tipo de opción -americana o europea- las que se calculan como sigue.


S0 = 160

Su=80*1.5=120

CE = 65,95 CA = 68,4

Sd=80*0,5=40

Sumu2=180 Sexu2=170

CE = 115,45 CA = 120

Sumud=60 Sexud=50

CE = 8,2 CA = 0 o 8,2 **

CE = 4,47 CA

= 4,47

Sumd2=20 Sexd2=10

CE = 0 CA = 0 Para call del tipo europeo, se tiene que (utilizando las fórmulas p):

CE = p Cu2 + (1-p)Cud

r*

CE = 0.6*115.455+0.4*8.2 = 65.95

1.1

CE = p Cud + (1-p)Cd2

r*

CE = 0.6*8.2+0.4*0 = 4.47

1.1 Para call del tipo americano, se tiene que el valor de la call para el período 1 resulta de la fórmula utilizada para las opciones de tipo europeo, pues se ha ejercido la opción en el período 2.

CA = p Cu2 + (1-p)Cud r*

CA = 0.6*120+0.4*8,2 = 68.43

1.1

CA = p Cud + (1-p)Cd2

r*


CA = 0.6*8.2+0.4*0 = 4.47 1.1

Por lo tanto, el valor de la call se obtiene de las posibilidades del precio de la opción, lo que nos da:

Cu= π1Cu + π2Cd = 0.5454*65,95 + 0.3636*4,47 = 37,6 Europea

Cu= π1Cu + π2Cd = 0.5454*68,4 + 0.3636*4,47 = 38,92 Americana

Caso 2: Put Americana sin Dividendos En el caso de una put, cuando existe o no dividendo puede convenir ejercer una put americana. Se debe recordar que una opción americana (Put – Call) siempre toma el valor más alto que el resultado de ejercicio, valor de la opción europea o cero.

Realizar ejercicio nº29 Caso 3: Put Americana con Dividendos

Las opciones put americanas se ejercen antes de la madurez, por lo tanto, es conveniente hacerlo después de dividendo y no antes de dividendos, en un determinado periodo o en el período que se dan los dividendos.

Realizar ejercicio nº30

RAMO: FINANZAS III

UNIDAD III

LOS DERECHOS CORPORATIVOS


CLASE 01

1. LOS DERECHOS CORPORATIVOS

El ámbito de estudio de las finanzas abarca tanto la valorización de activos1

como el análisis de las decisiones financieras tendientes a crear valor para la empresa. Bajo este concepto integral de las finanzas es posible contemplar tres áreas de estudio independiente:

Finanzas Corporativas (Corporate Finance): la que se centra en la forma en que las empresas pueden crear valor y mantenerlo, esto último por medio del uso eficiente de los recursos financieros. Esta área de estudio, a su vez se divide en tres partes a saber:

i) Decisiones de inversión, las cuales se centran en el estudio de los activos reales -tangibles o intangibles- en los que la empresa debería invertir;

ii) Decisiones de financiación, la que estudia la obtención de fondos, los que provienen de los inversores que adquieren los activos financieros emitidos por la empresa; lo que permite a la empresa adquirir los activos en los que ha decidido invertir.

ii) Decisiones directivas, las que hacen referencia a las decisiones directivas que toma la alta gerencia de la empresa y las cuales implican decisiones operativas y financieras. Como por ejemplo: el tamaño de la empresa, su ritmo de crecimiento, el tamaño del crédito concedido a sus clientes, la remuneración del personal de la empresa, etc.

Esta área de estudio de las finanzas incluye el análisis del equilibrio financiero, la inversión en nuevos activos, los proyectos de reemplazamiento de viejos activos, las fusiones y adquisiciones de empresas, del endeudamiento, la emisión de acciones y obligaciones.

Inversión Financiera (Investment): esta área de estudio se examina las transacciones financieras, pero desde el punto de vista de los inversores, es decir, de la otra parte participante de la transacción, la cual adquiere los activos financieros emitidos por las empresas. No debemos olvidar que, las funciones de los activos financieros son la transferencia de fondos y la transferencia de riesgos.

Algunas actividades de inversión financiera son la valoración de acciones, la selección de activos financieros, el análisis de bonos, el uso de opciones y futuros, la medida del comportamiento de la cartera, todos temas ya analizados por el alumno.

1 La valorización de activos es un tema ampliamente abordado con anterioridad a esta unidad.


Mercados Financieros y los Intermediarios: dichas decisiones abordan las formas de financiación de la empresa, ahora bien, desde el punto de vista de un tercero. Las funciones de los mercados financieros se centran en la determinación de precios, la generación de liquidez y la reducción de los costos de transacción. En otras palabras el mercado financiero, analiza las transacciones desde el punto de vista de un observador independiente, en donde las actividades que tienen lugar en ellos son las operaciones de compra y venta de los activos financieros, que son analizados por los intermediarios financieros, quienes son los que los hacen posibles estas operaciones. Lo anterior, dado que los intermediarios financieros adquiere los activos para mantenerlos como inversiones, financiando de este modo las inversiones financieras al emitir derechos sobre ellas.

En la siguiente figura se ilustra las tres áreas de estudio de las finanzas y el

cómo interactúan con la empresa y los mercados financieros.


Figura N°1: Áreas de Estudio de las Finanzas

Transacciones de dinero y de activos reales

ADMINISTRACIÓN FINANCIERA

Que incluye áreas como:

DECISIONES DE INVERSIÓN

LA EMPRESA

DECISIONES DIRECTIVAS

DECISIONES DE FINANCIAMIENTO

INTERMEDIARIOS FINANCIEROS

MERCADOS FINANCIEROS

Intercambio de dinero y de

activos

INVERSIONES FINANCIERAS

El estudio de las finanzas corporativas comienza con el análisis de la estructura del capital, que nos da indicios de la composición financiera que posee la empresa. La estructura de capital se encuentra directamente relacionada con la situación financiera a largo plazo de la empresa, incluso con la forma de planear sus operaciones futuras.


Definición de Capital:

Se entenderá por capital a los fondos que posee la empresa, es decir, es toda aquella cantidad de dinero o riquezas que dispone una persona o empresa. Los que se dividen entre los que son aportados por los socios y los que se obtienen de los préstamos a terceros. El aporte de los socios, siempre, estarán relacionados con la cantidad de tiempo en que los recursos están en poder de la entidad y la participación del socio en la misma.

Como se extrae de la definición anterior, los tipos de capital son: Aportaciones de capital: que consisten en todos los fondos a largo plazo que proporcionan los socios o sueños de la empresa para comenzar a operar. Estos fondos provienen de tres fuentes principales de obtención de recursos, las cuales son:

- Las acciones preferentes - Las acciones comunes - Las utilidades retenidas

Cada una de estas fuentes, de recursos de aporte de capital, se encuentra asociada a un costo diferente. La definición de estos conceptos no es pertinente al fin de nuestro estudio.

Capital por deuda: que hace referencia a cualquier tipo de fondos a largo plazo que se obtengan por préstamos, con o sin garantía, ya sea por medio de la venta de obligaciones o negociando.

Para continuar con nuestra introducción al tema que nos convoca, que son los

derechos corporativos, se debe distinguir la procedencia de los fondos y el capital en una empresa, entre el propio y el ajeno o de terceros.

El capital propio es el que fue deliberadamente acotado para la constitución de

una empresa, y que, en principio, no tiene por qué ser reembolsado. El capital ajeno lo integran fondos prestados por elementos exteriores a la empresa, deudas que asume la empresa con empresas del mercado financiero.

En este material de estudio se abordaran las diferentes formas mediante las

cuales las empresas pueden obtener financiamiento para sus operaciones, por medio de la emisión de instrumentos de deuda que hacen que los accionistas de la empresa como reclamantes residuales -reclamantes del excedente-, puedan ser representados


en su posición de derecho sobre la empresa a través del uso de opciones. Lo mismo, sucede con la posición de los acreedores de la empresa.

Los principales instrumentos de financiamiento corporativo, desde la lógica de los

inversionistas, se pueden clasificar en los siguientes rubros:

• Instrumentos de Renta Variable, son aquellos donde la magnitud de la rentabilidad esperada no es segura ni fija desde un inicio y de existir está será, en todo caso, de acuerdo a los resultados de la actividad a la cual sea destinada la inversión.

• De renta fija o determinable, para esta clase de instrumentos de inversión la

rentabilidad está previamente fijada o es determinable desde un inicio, a las que se les conoce como inversiones de renta fija, radicando en este caso el riesgo sólo en la seguridad de su pago.

• Instrumentos mixtos, es la combinación de los dos anteriores, es decir, que la

inversión no hace al inversionista partícipe del negocio, pero le ofrece utilidades similares a los que obtienen quienes realizan inversiones de participación y riesgo

A continuación se presenta un cuadro resumen con los principales instrumentos

de financiamiento corporativo.

Cuadro N°1 : Principales Instrumentos Financieros

BONOS Un bono es una promesa de pago por parte de un emisor que toma fondos de uno o varios inversores. Es posible comparar un bono con un cheque de pago diferido o un pagaré, dado que en todos los casos los ahorristas invierten su dinero y esperan una retribución en un plazo determinado -lo que sucede a causa del valor del dinero en el tiempo, recordemos que “un peso hoy vale más que un peso mañana”-. A grandes rasgos, un bono es una inversión a largo plazo con un nivel de riesgo moderado, con un flujo de fondos conocido o predecible.

BONOS SIMPLE Un bono simple o típico paga intereses semestralmente y devuelve el capital al vencimiento. Es decir, paga intereses periódicos y la amortización principal al vencimiento.

BONOS SUBORDINADOS

Son obligaciones emitidas por empresas bancarias y financieras. Deben ser emitidos necesariamente por oferta pública y no pueden ser pagados antes de su vencimiento ni procede su rescate por sorteo. Los "bonistas" están subordinados en la prelación de acreedor de la empresa bancaria emisora de estos bonos. En caso que la empresa emisora se encuentre en una situación financiera desfavorable, dentro de las posibilidades legales que se brindan para rehabilitar a la empresa emisora, puede dar -al tenedor del bono- la posibilidad de convertir dicho título en acciones de la misma empresa con la finalidad de capitalizarla. En caso de ser liquidada la empresa, el bonista está al final y después de todos los acreedores,


pagándoseles con los activos de la empresa liquidada y sólo en la medida que haya

recursos para ello. WARRANTS Son instrumentos financieros derivados que dan a su poseedor el derecho, pero no

la obligación, a comprar (call) o vender (put) un número determinado de activos (activo subyacente) a un precio de ejercicio determinado en una fecha prefijada (vencimiento). Los activos subyacentes más comunes de un warrants son las acciones, índices bursátiles y divisas.

WARRANTS EUROPEOS

Al igual que las opciones, éstos se clasifican en europeos y americanos en función de cuándo puede ejercerse el derecho. Los warrants europeos solo se ejercerán al vencimiento del mismo; en cambio los warrants americanos pueden ser ejercicios en cualquier momento desde su emisión hasta el vencimiento.

BONOS CONVERTIBLES EN ACCIONES

Son títulos que representan una obligación contraída por parte del emisor, el cual le da al tenedor el derecho de optar por recuperar el importe del bono o adquirir acciones de la empresa emisora. Es el dueño del bono rescatable, quien decide si convertible a acciones a una razón predeterminada.

BONOS RESCATABLES

La mayoría de los bonos corporativos de mercados financieros desarrollados son rescatables; lo que quiere decir que el emisor puede recompararlos a un precio pre- especificado. Esta opción de compra puede ser ejercida por el emisor sólo después de un período de protección al rescate.

BONO RESCATABLES Y CONVERTIBLES

La característica de rescate de estos bonos es similar a aquélla de los bonos rescatables ordinarios, excepto que los dueños de los bonos pueden decidir si convertir a acciones a una razón predeterminada, en el momento del rescate.

BONOS LIGADOS A LOS COMMODITIES

Son aquellos bonos que se encuentran ligados al precio de algunos commodities, lo que pueden ser considerados como un mecanismo de diversificación y cobertura.

Realizar Ejercicio N°1 al 3

CLASE 02

A continuación se analizan a profundidad cada uno de los principales instrumentos de financiamiento corporativo, en cuanto a la valorización de los mismos con teoría de opciones y la determinación de la estrategia a seguir por el accionista de la empresa y/o un tercero que invierte -acreedor-.

En el célebre artículo de 1973, los autores Black y Scholes, ilustraron por primera

vez que los instrumentos financieros corporativos podían ser valorados con las herramientas de la teoría de opciones. Posteriormente, diversos autores han desarrollado e ilustrado cómo valorar instrumentos tales como warrants, bonos convertibles y bonos rescatables-convertibles; lo que a posibilitado una comprensión más acabada del conflicto de intereses entre accionistas y acreedores de una empresa.

En general, tres son las fuentes que dan valor a un instrumento corporativo:

• El valor final del instrumento en el momento del vencimiento;


• Los flujos de caja intermedios, tales como dividendos e intereses;

• El valor del instrumento en el evento de una recapitalización de la empresa.

Por Ejemplo:

Para el caso de un bono simple el valor final del bono es usualmente su valor de nominal o de cara -su amortización principal o pago de capital- y los flujos intermedios están dados por el pago de intereses o cupones. La recapitalización de la empresa, en tanto, puede tener efecto por la realización de algún evento incierto, tal como un cambio de política de tasas de interés en la economía, pero no sobre el valor final del bono o sobre los flujos intermedios.

En el caso de un bono rescatable, su comprador no necesariamente

recibirá el valor nominal o de cara del bono. Por ejemplo, si las tasas de interés caen lo suficiente, el emisor del bono puede decidir rescatarlo a fin de emitir deuda nueva a un costo más bajo. En dicho caso, el comprador del bono recibe un precio de rescate, que usualmente es más alto que el valor nominal o de cara, antes de la fecha de vencimiento del bono.

A fin de ilustrar la propuesta de valorización de instrumentos financieros corporativos, se hará uso de la teoría de opciones -ampliamente analizada por el alumno- para valorar el capital (patrimonio) y bonos simples de una empresa, warrants, bonos rescatables, bonos convertibles, bonos subordinados y bonos rescatables convertibles.

1.1. Bonos Simples

Los bonos son valores que incorporan una parte proporcional de un crédito

colectivo, de corto o largo plazo, constituido a cargo de la sociedad o entidad emisora. Pueden tener rendimiento fijo o variable, según lo determine el emisor.

Es posible interpretar una deuda simple de la empresa como un bono simple,

instrumento de financiamiento corporativo que no paga cupones sino hasta al vencimiento. Es decir, en otras palabras se trata de un bono que paga intereses y amortización del capital al final del período, que es cuando madura la deuda contraída por la empresa.

Para una mayor comprensión, supongamos que los pasivos de una empresa


pueden dividirse entre capital y bonos cero-cupón2. Los bonos tienen un vencimiento a T años y un valor nominal de K. El patrimonio de una empresa se puede valorizar con una opción de compra sobre los activos que posee dicha empresa, en otras palabras, el capital es como una opción de compra sobre el valor de la empresa, en donde su precio de ejercicio es igual a K, valor nominal o de cara total de los bonos y su fecha de ejercicio es T, esto es, la fecha de vencimiento de los bonos.

A continuación se ejemplifica y gráfica lo anteriormente expuesto, si se han

emitido 20.000 bonos cada uno con un valor cara de $ 500 entonces el valor K es igual a $10 millones.

Gráfico N°1: Patrimonio del valor de la empresa

Valor Patrimonio

Accionistas

En el gráfico número 1 se muestra el pago en dinero, a la fecha de vencimiento asociado al patrimonio que poseen los accionistas

K Valor de la Empresa

Grafico Nº 2: Posición de los acreedores (obligacionistas, prestamistas, etc)

K

2 Es decir, que no paga intereses o cupones hasta la fecha de vencimiento del bono

K

Valor de la deuda

Se observa la posición de los acreedores, los cuales venden una Call a los accionistas, básicamente están obligados a vender los activos de la empresa si la deuda es menor que el valor de la empresa

Valor de la deuda

Valor de la empresa

K=D


Los accionistas tienen limitada su responsabilidad, entonces si el valor de la empresa (V) fuese menor que el de las deudas (D) ellos solo responderían por el valor de su inversión personal en la empresa. Por tanto, tendríamos en consideración los siguientes flujos, con E = el valor de las acciones: Si V > D --> E = V – D (S1 – K) Se ejerce la opción de los accionistas, en donde los acreedores están obligados a vender los activos de la empresa, básicamente los accionistas compran la deuda y se quedan con la diferencia, K=D Si V ≤ D -->E = 0 , los accionistas no ejercen la opción de compra La mecánica es que mientras se permanezca en la fecha de ejercicio, el activo de la empresa podría valer más que el endeudamiento, entonces las acciones tomaran un valor positivo, pero si ocurriese lo contrario, la empresa se encontraría en una difícil situación de pagos y probablemente en quiebra, es decir, el activo pasaría a manos de los acreedores, en efecto los accionistas no ejercerían su opción de compra sobre aquel (las acciones tomarían un valor nulo).

Grafico Nº 3: Venta de una opcion de compra sintética (acreedores)

En el caso de los acreedores la gráfica que aparece es la de la venta de una opción de venta en dicho instante, pero lo que realmente se esta contemplando es la suma de dos graficas: por un lado una diagonal representando del valor del activo de la empresa (propiedad de los acreedores) –mientras los accionistas no ejerzan su opción de compra- y, la grafica de la venta de una opción de compra sobre el activo, lo anterior finaliza con el grafico que muestra la venta de una opción de venta sintética.

Activos; propiedad de los acreedores

Venta da una opción de compra (Call)

Venta da una opción de venta sintética

Valor PAT

Valor de la empresa

Valor deuda

Valor de la empresa K K


Gráfico N° 4 : Deuda del valor de la Empresa

En el gráfico número 2 se muestra el pago en dinero, a la fecha de vencimiento asociado a la deuda. Recordemos, que los bonos simples libres de riesgo más una put subscrita sobre la acción, con un precio de ejercicio igual a K, representan la posición de los bonitas. Es decir, los poseedores de los bonos han emitido una put a los dueños de la empresa.

Valor de la Deuda

K

Acreedores

Valor de la Empresa

Es importante señalar que existen dos diferencias importantes entre una call común y el patrimonio de una empresa.

i) En primer lugar, el gerente de una empresa representa los intereses de los accionistas como contrapartida a aquéllos de los acreedores.

ii) En segundo término, el gerente puede afectar el valor de la empresa de distintas formas, a saber: con la política de inversión, es decir con proyectos de inversión con alta varianza que aumentan el valor de la opción de compra -aumentan la volatilidad del valor de la empresa- y disminuyen el valor de los bonos corporativos -hacen caer el valor de la put (opción de venta) emitida por los acreedores en bonos-; con la política de dividendos, los dividendos altos aumentan la probabilidad de quiebra y, por consiguiente, incrementan el valor de la call (opción de compra); y con una política de financiamiento, la empresa puede aumentar el valor nominal de K al emitir más deuda con la misma antigüedad o mayor.

Por Ejemplo:

Supongamos que la empresa tiene tres clases de instrumentos financieros

corporativos:

i) Deuda de primera prioridad (seniors) con un valor cara de K1, ii) Deuda de segunda prioridad (junior) con un valor cara de K2, iii) Patrimonio.

En el gráfico número 1 se puede observar los pagos a los accionistas y los acreedores o bonistas, que en su conjunto conforman la posición o flujo de pago del bono simple.


Gráfico N°5: Posición de los acreedores o “bonistas” de un bono simple

Perfil de pago de K los accionistas.

Bonista

Accionista

K

Posición de los bonistas

K V

Del gráfico es posible extraer que, sea: B : el valor del bono, el cual se observa en el mercado

K : es el valor par del bono, es decir, el valor nominal del bono a su vencimiento

El valor del bono se presenta como una línea en el tiempo, que comienza del valor cero hasta un valor “k” positivo, que puede ubicarse en cualquier punto entre el cero y “t”. Se denota con la letra t al tiempo de vencimiento que establece el acreedor para el bono.

t 0 K

También se deben definir el número de acciones que conforman el patrimonio de la empresa, lo que se denota con la letra “n”. Se sabe que “S” es el precio de mercado de la acción, lo que nos concluir que el valor de mercado del patrimonio se denota como “ns”.


V

Lo anterior, se puede ilustrar con la ecuación contable que se fundamenta en el principio de dualidad económica, que nos dice que en toda empresa se puede reconocer una igualdad entre los recursos económicos (activo) que ella posee y las obligaciones contraídas, sean éstas a favor de terceros (pasivo) o de los propietarios (patrimonio), la que se expresa en la siguiente forma:

ACTIVO = PASIVO + PATRIMONIO

Si consideramos ahora el valor de los activos de la empresa, lo cual se denota con la letra “V”, el principio de dualidad económica determina que el valor de mercado de la empresa se debe igualar al valor del bono “k” más el valor de mercado del patrimonio “ns”.

Figura N°2 : Estructura de la ecuación contable de la empresa

k ns

CLASE 03 Retomemos el ejemplo en donde la empresa tiene tres clases de instrumentos

financieros corporativos, en este caso la deuda -con diferentes prioridades- y patrimonio en función del valor de la empresa se representa en forma gráfica de la siguiente forma.

Gráfico N°6: Patrimonio del valor de la empresa

Valor de la Deuda Senior

Acreedor

Valor de la Deuda Junior

Acreedores

K2

Valor Patrimonio Accionistas

K1

K1

Valor de la Empresa

K1 K2 Valor de la Empresa

K1 + K2

Valor de la Empresa


Retomemos nuestro análisis, la posición de los accionistas puede representarse como una opción call subscrita sobre la empresa, con precio de ejercicio igual al valor par o nominal de la deuda, con vencimiento igual al de la deuda y varianza igual a la del valor de la empresa.

Es decir, la call se denota como:

C( V, K, σv, T, r ) Donde

σv : Desviación estándar del valor de la empresa

T : Plazo vencimiento de la deuda

r : Tasa de interés de la deuda, o sea del bono

El valor de mercado del patrimonio que se denota como “ns”, se puede representar en función del valor de una call subscrita sobre el valor de la empresa y con precio de ejercicio igual a k, como:

ns = C( V, K, σv, T, r ) Donde

r : Es la tasa de interés de un bono libre de riesgo con madurez equivalente al bono emitido por la empresa.

Suponiendo que se desea conocer el precio de equilibrio de las acciones, se

debe utilizar la fórmula establecida -por los autores Black y Scholes- para la valorización de opciones.

Su formulación indica que el precio de una call en tiempo continuo es:


2

C = S N(d1) – K e-rft N(d2) Nota: donde N(d1) es la función de distribución de la variable aleatoria normal de media 0 y desviación típica igual a 1, es decir, la normal estándar N (0,1). Ahora el N(d1) y N(d2) corresponden respectivamente a una normal evaluada en d1 + d2.

Pero, esta vez en lugar de colocar la denotación de acción “S” se reemplaza por la denotación del valor de la empresa “V”.

ns = VN(d1 ) − Ke −rTN(d )

Donde:

Como el valor de la empresa, dada la ecuación contable, el valor de la empresa

debe ser igual a las sumas de sus pasivos, por lo que se tiene que:

V = ns + B

B = V – ns

B = Ke-rT

En que “r” es la tasa de interés implícita del bono, la cual no tiene porque ser igual a la tasa libre de riesgo. El valor presente del bono es Ke-rT.


De lo anterior, se puede deducir la posición de los acreedores o bonistas de la empresa como el valor total de la misma menos la posición en call subscrita sobre el valor de la empresa y precio de ejercicio igual al valor para del bono (K), de la siguiente forma:

B = V - C( V, K, T )

De la posición de los acreedores se puede concluir que, mientras más endeudada esté la empresa, el valor de la call se aproxima a cero, por lo que los bonistas reciben la mayor proporción del valor de la empresa y los accionistas la menor proporción. Explicado de otra forma:

mayor sea K; menos es lo que reciben los accionistas dado que C = K – V = 0

Cabe destacar que en la medida que la deuda alcanza cada vez mayor proporción

del valor de la empresa, existe un incentivo perverso por parte de los accionistas “de expropiar a los bonistas”, por medio de un aumento considerable en el reparto de los dividendos o bien un aumento del riesgo de las operaciones; es decir, si K tiende a infinito el valor de la call también lo hará. Los acreedores saben que existen estos instrumentos, por lo que van a protegerse mediante cláusulas que limiten el acceso a nuevas deudas y el riesgo de las operaciones.

Cabe estacar que este tipo de razones hace que la historia pasada de la empresa,

y no la rentabilidad de sus proyectos futuros, sea fundamental al momento de decidir si prestarle o no fondos, como también determina las garantías exigibles.

A continuación se analizan dos situaciones específicas y que modifican la posición

de los acreedores y accionistas, lo que deriva en el valor de la empresa. a) Bono que entrega cupones en t1

Analicemos que sucede cuando el bono da cupones o entrega intereses que se

pagan en un cierto período t1 menor a T (t1 < T).

0 t1 T


Cuando el bono da derecho a un cupón antes de la fecha de vencimiento, hace caer el valor de los activos y, por lo tanto, el valor de la deuda. Lo que se visualiza como:

ns = C( V – e-rt1 Hi ; K0, T, r ) K0 < K

Donde:

e-rt

1 Hi : Es el valor presente de los cupones que entrega el bono en t1

K0 : El valor de la deuda en el vencimiento, que ha disminuido en el valor presente de los cupones (K0 < K)

b) Acciones que entregan dividendo, antes de la fecha de vencimiento del bono

Si se reparten dividendos, la posición de los accionistas queda representada con

una call subscrita sobre el valor de la empresa menos los dividendos que se repartes, y con precio de ejercicio igual a K, más el valor presente de los dividendos; lo que se denota como:

ns = C( V – e-rt D; K, T, r ) + e-rtD Donde:

e-rtD : Es el valor presente (VP) de los dividendos que entregan las acciones antes de la fecha de vencimiento del bono

Analicemos lo que sucede, al haber dividendo el valor de la empresa disminuye

en N(d1), en donde N(d1) es el cambio en el valor de la empresa por el reparto de un $1 en dividendo. Lo que se traduce, en que los accionistas disminuyen su derecho sobre la empresa en N(d1) a cambio de recibir un peso ( $1 ) en dividendo.

Como 0 ≤ N(d1) ≤1, se cumple que los accionistas ganan más de lo que pierden

con el reparto de dividendo. La distribución de dividendos se hace cuando la empresa está muy “out the money”, de esta forma a los inversionistas les conviene el reparto de


dividendos, dado que a la fecha de vencimiento el valor de la call se aproximará a cero y su proporción de ganancia será muy inferior a la de los acreedores.

Según se encuentren las posiciones relativas entre el precio de mercado o spot de la acción (S) y el precio de ejercicio de la opción (K), se entenderá que la empresa se encuentra:

- “at the money” cuando el precio spot es igual al precio de ejercicio (S=K)

- “in the money” cuando el precio spot es igual al precio de ejercicio (S>K)

- “out of the money” cuando el precio spot es igual al precio de ejercicio (S<K)

Nota: donde N(d1) es la función de distribución de la variable aleatoria normal de media 0 y desviación típica igual a 1, es decir, la normal estándar N (0,1). Ahora el N(d1) y N(d2) corresponden respectivamente a una normal evaluada en d1 + d2.

Realizar Ejercicio N°4

CLASE 04

1.2. Bonos Subordinados

Los bonos subordinados son emitidos por empresas bancarias con el fin de incrementar el patrimonio efectivo de la empresa. Las características de los bonos son determinadas por las entidades emisoras, existiendo un límite para las emisiones. Se colocan siempre por oferta pública.

La rentabilidad de los bonos subordinados depende de la tasa de interés

determinada por el banco y del valor al que se adquiere el instrumento de financiamiento corporativo. Este tipo de instrumento tiene un rendimiento mayor al pagado por los depósitos a plazos debido a que tienen la última prioridad en el cumplimiento de las obligaciones de los bancos.

Los "bonistas" están subordinados en la prelación o prioridad del acreedor de la

empresa bancaria emisora de estos bonos, es decir, en caso de ser liquidada la empresa, el bonista está al final y después de todos los acreedores, pagándoseles muchas veces con los activos de la empresa liquidada y sólo en la medida que haya


recursos para ello. La valorización de este instrumento de financiamiento corporativo también utiliza

la teoría de opciones, lo que se analiza de manera práctica. Se comienza con realizar el siguiente supuesto, que la empresa ha emitido dos tipos de deuda:

i) Deuda preferente, que es una deuda que tiene prioridad a las demás deudas en caso de liquidación de la empresa;

ii) Deuda subordinada o no protegida, la cual en caso de liquidación de la empresa se debe pagar luego de liquidar el compromiso con los acreedores preferentes, y en la medida de que existan los recursos.

Un segundo supuesto, que debe considerar por el momento, es que ambas

deudas tienen el mismo plazo al vencimiento (T). Sea:

ns : El valor de las acciones en el mercado, es decir, el valor de mercado del patrimonio

B : El bono subordinado o también denotado como “Junior bonds”

K : El valor par o nominal del bono subordinado

T : El plazo al vencimiento de la deuda, tanto preferente como subordinada A : Es la deuda preferente adquirida por medio de bonos preferentes o también denotada como “Seniors bonds”

J : El valor par o nominal del bono preferente

T t B K A J

El valor de la empresa con deuda preferente (bonos señor) y deuda subordina (bono junior o subordinados), dada la ecuación contable, se representa de acuerdo a los estudios realizados por Black y Scholes de la siguiente forma:


V = ns + B + A

En el gráfico número 7 se presenta la posición de los accionistas, dado los supuestos de las deudas asumidas por la empresa.

Gráfico N°7: Posición de los accionistas

Valor Patrimonio (ns) Posición de los Accionistas

La posición de los accionistas se representa desde el punto K + J, con pendiente positiva. El punto K + J representa la suma del valor nominal de los bonos preferentes y subordinados.

K+J

J K + J

Valor de la Empresa

El valor de capital con estas características, puede asimilarse a un call subscrita sobre el valor de una empresa y con precio de ejercicio igual a la suma del valor par de ambas deudas (K+J), es decir:

ns = C ( V, J + K; σv, r )

La tasa de interés para valorar esta call es la libre de riesgo, por medio de un instrumento que es emitido en el periodo cero o inicial y con vencimiento en “T”. La varianza de los activos se denota como σv, y que coincide con la varianza de la opción de compra (call).

Para una mayor comprensión, a continuación se analiza gráficamente la posición

de los acreedores, cuando la empresa adquirido deuda preferente y subordinada. Observe el gráfico número 8, en el cual se presenta el pago de los bonistas subordinados.


Gráfico N° 8: Posición de los bonistas subordinados

Entre el valor del patrimonio V = 0 y V = J, el valor de la empresa se entrega integro a los bonos seniors. De allí en adelante, desde V = J se empiezan a pagar los bonos junior, y cuando V > J + K, los accionistas empiezan a recibir progresivamente una proporción del valor de la empresa.

Valor Patrimonio (V)

ns + B

J K + J

Posición de los Accionistas

Valor de la Empresa

El supuesto esencial es que el mercado se encuentra en equilibrio por tanto se cumplen las siguientes condiciones:

ns + B = C ( V, J, T )

B = C ( V, J, T ) – ns

B = C ( V, J, T) – C ( V, J+K, T )

La primera condición nos dice que el valor del patrimonio “ns” más la deuda emitida en bonos preferentes debe ser igual a la posición de una call subscrita sobre el valor de la empresa (V) y con precio de ejercicio igual a J, que es el valor par o nominal del bono preferente.

De la primera condición es posible despejar la segunda, de tal forma de aislar el

término B, que representa la deuda en bonos preferentes que se iguala a la call subscrita sobre el valor de la empresa (V) y con precio de ejercicio igual al del bono preferente (J), menos el valor del patrimonio “ns”.

Luego, en la tercera condición se reemplaza el valor del patrimonio “ns” por su

valorización con la teoría de opciones, en donde el patrimonio se representa con una posición call subscrita sobre el valor de la empresa (V) y con precio de ejercicio J + K, que representa la suma de los valores par de los bonos preferentes y subordinados.


Es así como, el valor del bono senior se valoriza por medio de la teoría de opciones de la siguiente forma:

A = V – C ( V, J; T )

“A” es la deuda preferente adquirida por medio de bonos seniors que se puede representar con el valor de la empresa (V) menos la posición call subscrita sobre el valor de la empresa (V) y con precio de ejercicio J.

Al análisis anterior, se debe agregar la consideración de que las deudas -

preferente y subordinada- vencen en diferentes momentos del tiempo, por lo que no es tan claro que la deuda seniors sea más ventajosa que la junior.

Por Ejemplo:

Si la deuda junior (bonos subordinados) vence antes y la empresa puede pagarla, ésta se cancela, pero si al vencer la deuda seniors (bonos preferentes) la empresa se encuentra en malas condiciones financieras puede ser que no se alcance a cubrir esta deuda.

Además, es importante destacar que el valor de los bonos están en función de los atributos que estos tengan.

Por Ejemplo:

Supongamos que K = 100, J = 100; sin embargo, si todo lo demás -precio de ejercicio, fecha de vencimiento- es igual excepto que el bono seniors tiene prioridad sobre el junior en caso de liquidación de la empresa, por lo que los inversionistas estarán dispuestos a pagar más por el bono protegido - bono seniors-.

Realizar Ejercicio N°5 y 8


CLASE 05

1.3. Los Warrants y Warrants Europeos

Los warrants son instrumentos derivados, también conocidos como opciones, emitidos en forma de un título de valor que cotiza en la Bolsa. De esta forma, su precio está vinculado a la cotización de otros activos financieros sobre los que se emiten, denominados "activos subyacentes". Los warrants serán bien opciones de compra (call) o de venta (put) del activo subyacente sobre el que son emitidos.

Un warrant call, es una opción que otorga al inversor el derecho a comprar el activo subyacente en unas condiciones preestablecidas. Por el contrario un warrant put, otorgará al tenedor del mismo el derecho a vender el subyacente en unas condiciones preestablecidas, y ya conocidas por el inversor de antemano.

Un warrant es similar a una call ordinaria emitida por una firma. La principal diferencia entre un warrant y una call ordinaria es que, si el warrant es ejercido, la firma emite nuevas acciones. Esto implica que se produce un efecto dilución al aumentar el número de acciones emitidas. Sin embargo, el precio de ejercicio de los warrants pagado a la firma aumenta el valor de ésta.

Es decir, los warrants son opciones que emite la empresa, que en caso de ser

ejercidos, la empresa emite acciones en contra de la entrega de los warrants y el pago de un precio por las acciones recibidas.

Sea:

n : es el número de acciones emitidas a la fecha.

m : es el número de acciones que serán emitidas en caso de que el warrants sea

ejercido. Cuando cada uno de los warrants se convierte en una acción, m es el número de warrants emitido por la empresa.

s : es el precio de mercado o spot de la acción.

W : es el valor total de los warrants.

k : es el precio de ejercicio por warrant. Km : es el precio total de ejercicio de los warrants.


Por lo que el valor de la empresa se representa por:

V = ns + m W

Para analizar la valorización del instrumento financiero “warrants” se deben establecer algunos supuestos, los que permiten segregar los factores que afectan al valor de la empresa y una mejor comprensión del tópico.

Supuestos:

1) Ejercicio en bloque, se supondrá que se produce un efecto de ilusión de tal modo que si un dueño de warrants los ejerce, todos se ejercerán al mismo tiempo.

2) La empresa no tiene otra venta fuera de los warrants y las acciones.

Cabe destacar que los warrants son una forma de deuda financiera. Cuando se emiten warrants los accionistas están corriendo todo el riesgo porque si se convierten los warrants se produce una dilución del patrimonio.

Para evitar que los warrants sean ejercidos, los accionistas deben disminuir la

varianza del valor de la empresa. Si se dan dividendos se perjudica directamente a los tenedores de warrants, porque al disminuir el valor de la empresa se disminuye la probabilidad de ejercicio, por esta razón, a menudo los contratos de warrants contienen cláusulas que los protegen de dividendos.

En este apartado se analiza en forma específica los warrants europeas, los que

se definen como las opciones -warrants- que pueden ser ejercidos en un momento determinado del tiempo. Por lo que, el valor de la empresa al momento del vencimiento se denota como V*.

El valor de la empresa al momento en que se ejercen los warrants será:

V = ns + mK


Lo que se interpreta como, el valor de la empresa es igual al valor de la empresa al momento del vencimiento (V*) más el monto que recibe la empresa al ejercerse los warrants (mK).

El número de acciones al ejercerse los warrants es igual al número de acciones

emitidas (n) más el número de warrants -cada warrant se convierte en una acción- (m). Por lo que, se define el precio de la acción como:

S* = V * + mK

n + m

Los warrants serán ejercidos en bloque cuando, se cumpla que “el porcentaje de la empresa más el porcentaje a que acceden los tenedores de warrants” es mayor al precio de ejercicio -que se tienen que pagar- de los warrants; es decir, se ejercen en bloque cuando se cumplen las siguientes condiciones:

V * +mK > K

n + m

Es decir: S* > K

Luego, se define el precio del warrants como:

W = máx { 0, V * +mK − K }

n + m

Sea: W : es el precio del warrant al final del ejercicio


Despejando, se obtiene el precio del warrant al final del ejercicio es:

V* + mk _ K = V* + mk – (n-m)K n – m n – m

W* = máx [ 0,

V * −nK ]

* *

V + mk – nK +mK = V + nk n – m n – m

n + m

CLASE 06

Un warrant puede interpretarse como una call subscrita sobre una fracción α de la empresa con un precio de ejercicio de (1-α)K. Por lo tanto, el valor de los warrants, antes de la expiración, está dado por la fórmula de establecida por Black y Scholes:

W(t)=C(αV, (1-α)K, T-t, σv)

Donde: α : es una fracción de la empresa que será de propiedad de los dueños de los warrants en caso de ejercicio de los mismo, α = n / (n+m).


Por lo tanto, el valor del warrant se representa como:

W* = n

n + m

[ 0, V * − K ]

n

C ( V/n, K, T )


W* =

n

n + m

C ( V/n, K, T )

Luego un warrants, se define como:

W* = 1

n + m

C ( V, nK, T )

El total de warrants:

mW* =

m

n + m

C ( V, nK, T )

Si se dan dividendos inesperados, y los warrants no están protegidos disminuye su precio; también al afectarse la varianza del valor de la empresa se afectaría el valor de los warrants.

El warrant será ejercido, si y sólo si, se cumple la siguiente condición:

αV > (1-α)K ; o su equivalente que es V > ((1-α) K ) / α

Cuando no se da esta condición y el valor de la empresa es menor a ((1-α) K ) / α, el valor del capital coincide con el valor de la empresa porque los warrants no son ejercidos. Lo que coincide con la lógica de las opciones de compra (call, que se ejercen cuando S* > k). Por contraste, cuando el valor de las empresa es mayor que ((1-α) K ) /


α, los warrants son ejercidos y, en consecuencia, los accionistas reciben un (1-a) delvalor de la empresa.

En el gráfico número 9, se puede apreciar lo afirmado anteriormente.

Gráfico N° 9: Valorización de los warrants y patrimonio de la empresa

Valor total de los warrants Valor del Capital

1-α

α 45

((1-α)K )/ α Valor de la Empresa

((1-α)K )/ α

Valor de la Empresa


CLASE 07 1.4. Bonos Convertibles

Son aquellos bonos que al vencimiento, en lugar de pagar el capital al

inversionista, le otorgan el derecho de propiedad sobre acciones de la empresa emisora. En otras palabras, un bono corporativo da a su dueño la opción de convertir el bono en un número específico de acciones. Existen los bonos obligatoriamente convertibles en acciones, así como bonos opcionalmente convertibles en acciones.

Para el análisis de los bonos convertibles, se va a realizar los siguientes

supuestos: i) Que son bonos no rescatables durante el período de vigencia

ii) Que no existe un nuevo flujo de ingresos por parte de los tenedores de estos bonos ni por parte de la empresa.

iii) La opción de los bonistas se ejerce en bloque.

iv) No existe otra deuda para la empresa que los bonos.


Sea: n : es el número de acciones emitidas de la empresa

S : es el precio de mercado de la acción

K : el valor para del bono convertible k

: razón de conversión del bono

B : es el valor de mercado del bono convertible T : fecha de maduración de los bonos

mK : es el número de acciones en que se convierte el bono

V : es el valor de la empresa

� : es el porcentaje de acciones de la empresa que puede manejar el bonista si convierte sus bonos o factor de dilución

El factor de dilución se obtiene con la siguiente formula:

γ = mK n + mK

Número de nuevas acciones

= Número total de acciones

Por Ejemplo:

Supongamos que se tienen 2000 bonos, a un valor de $ 1000 por cada uno, en donde cada bono se puede convertir en 10 acciones. Además, se sabe que existen 50.000 acciones inicialmente. Calcule el factor de dilución del bonista.

γ =

2000 *10 =

20000 = 0,2857

50000 + 20000 70000


Luego al final del período vamos a tener tres restricciones en cuanto al valor de la deuda (k) con respecto al valor de la empresa.

1. Que el valor de la empresa sea menor o igual al valor de la deuda emitida por los bonistas (V* ≤ K). En este caso el valor del bono convertible es igual al valor de la empresa (B* = V) y el valor del patrimonio es igual a cero (ns = 0), es decir, los accionistas pierden su proporción del valor de la empresa y la empresa esta en poder de los acreedores.

2. Que el valor de la empresa es mayor que el valor de la deuda emitida por los bonistas (V* > K ). En este caso se debe tomar la decisión de convertir o no los bonos. Para lo cual se convierte, si y sólo si, se cumple la siguiente condición:

V * × mK V + γ =

n + mK

En caso contrario, no se convierte si lo que se recibe es menor que K.

Luego se ejerce el bono convertible cuando �V* > K, es decir, se ejerce cuando el valor del porcentaje de la empresa al cual accede el bonista es mayor que el valor par de la deuda. No ejerce cuando el porcentaje del empresa al cual accede el bonista es menor al valor par de la deuda �V* < K.

Estas condiciones dan origen al siguiente cuadro de pagos de los bonos

convertibles, al final del período según el valor de la empresa y su relación con el valor por la deuda.

Cuadro N°1: Tabla de arbitraje para los pagos para los bonos convertibles

Al final del periodo

Valor actual V* < K K < V* < K/� K/� < V* Bonistas Accionistas Neto

B ns

ns + V

V* 0 V*

K V* - K

V*

� V* V* - �V* V*


Representación con opciones de compra (call) de la posición bonista es:

V – C(V,K,T) + �C(V;K/�,T)

Es posible representar con opciones de compra (call) la posición accionista:

C(V,K,T) - �C(V;K/�,T)

En un bono convertible la posición de los accionistas puede representarse con

opciones de compra (call), de la siguiente forma:

ns = C(V,K,T) - C(�V;K,T)

Cabe destacar que el bono convertible les otorga a los bonistas la posibilidad de participar de las ganancias de la empresa, cosa que con un bono simple no es posible. Esta característica es un atributo valorado por el bonista lo que hace aumentar el valor del bono, la posición de los bonistas será:

B = V – ns

B = V - C(V,K,T) + C(�V;K,T) bono simple atributo o valor de la

característica de la conversión

En el siguiente gráfico se puede observar el valor de un bono con opción de conversión europea al momento del vencimiento.


Gráfico N° 10: Valor de un Bono con Opción de Conversión a la Fecha de Vencimiento

Pago Bono Convertible Valor del Capital

�

45

K K/� Valor de la Empresa

Como podemos observar, cuando el valor de la empresa es menor al valor del bono convertible (V<K), en caso de liquidar la empresa los bonistas reciben el valor total de la empresa (V); cuando el valor de la empresa es menor al valor del bono convertible divido por el factor de dilución y mayor al valor del bono (K<V<K/�), los bonistas reciben el valor de los bonos (K) y los accionistas el valor de la empresa menos el valor de los bonos (V-K); cuando el valor de la empresa es mayor al valor del bono dividido por el factor de dilución (V> K/�), los bonistas deciden convertir sus bonos en acciones, por lo que reciben un porcentaje � del valor de la empresa y los accionistas reciben el valor de la empresa menos el valor de las acciones convertidas por los bonistas (�V).


CLASE 08

1.5. Bonos Rescatables

En general, tanto los bonos ordinarios como los bonos convertibles en acciones, contemplan cláusulas de rescate por parte de la empresa emisora, que puede ser en cualquier momento entre la fecha de emisión y la de vencimiento. Este valor de rescate se entiende como un precio previamente especificado por la entrega del bono a la empresa emisora, el cual recibe el nombre de “precio de recate” más los intereses acumulados desde la fecha del último cupón pagado.

En los mercados desarrollados, el instrumento de financiamiento corporativo más utilizado es el bono rescatable, dado que permiten al emisor recomprarlos al precio de


rescate ha sido establecido, esta opción de compra puede ser ejercida usualmente sólo después del período de “protección de rescate”. Debido a que es una ventaja para el emisor del bono, los bonistas estarán dispuestos a pagar un menor precio por estos bonos que el que pagarían por bonos sin cláusula de protección de rescate. En general el precio de rescate será mayor que el valor par del bono (K), luego va disminuyendo gradualmente a medida que transcurra el tiempo o pasa el período de protección de rescate.

¿Por qué la empresa desearía rescatar el bono que ha emitido? Esta respuesta

puede ser variada y depende, en realidad, de la situación en que se encuentra o se encontraba la empresa. Sin embargo, por mencionar algunas causas se tiene que, la empresa rescatará sus bonos:

• Para reestructurar su deuda a una tasa de interés más baja, o

• Para obtener una mayor flexibilidad en la realización de proyectos de inversión,

adquisiciones o fusiones que puedan estar actualmente restringidas por restricciones legales sobre el accionar de los dueños del capital, o

• Porque otorga a la empresa la facilidad de buscar fuentes alternativas de

financiamiento de menor costo

Para el caso de los emisores del bono, empresa o accionistas, durante el período de rescate, el capital de la empresa puede considerarse como una opción de compra americana, “call”, la que puede ser ejercida en cualquier momento entre la fecha de emisión y la fecha de maduración.

Dado que el ejercer una opción antes de su expiración, se realiza cuando la

opción tiene valor, el capital de la firma con el bono rescatable no debiera tener un valor más bajo que aquél de una firma con un bono no rescatable comparable. Por el mismo razonamiento, el valor de un bono rescatable no debiera ser más alto que aquél de un bono no rescatable. Lo anterior, nos permite presentar la siguiente expresión:

Br = Bnr - C

Donde: Br : Es el precio del bono rescatable


Bnr : Es el precio del bono no rescatable C : Valor de una opción de compra americana

La igualdad que se ha presentado indica que, el precio de un bono rescatable, “Br”, se puede expresar como la diferencia entre el valor de un bono no rescatable, “Bnr”, y el valor de una opción de call, “C”.

La call para reestructurar la deuda de la empresa será ejercida cuando el nivel

general de tasas de interés haya declinado o cuando los prospectos de la empresa hayan mejorado, de modo tal que el premio por riesgo en una nueva emisión de bonos sea más bajo.

Los pagos al vencimiento, para los bonos rescatables, se pueden representar de

la siguiente forma como se ilustra en el cuadro número 2.

Cuadro N°2: Tabla de arbitraje para los pagos para los bonos rescatables

Valor actual

Valor si se rescata el Bono

Valor al vencimiento del bono no rescatado

Representación en Call

Bonistas Accionistas Neto

B ns V

t1 < t K ξ

V ξ – K ξ V*

V* < K V* 0 V*

V* > K K

V* - K V*

V – C(V,Kξ,K,T)

C(V,Kξ,K,T)

Donde: V ξ : Valor en que ha crecido la empresa

K : Valor par de la deuda, es decir, el valor del bono

Kξ : Valor del rescate del bono, ξ este valor es mayor que uno

La interpretación del cuadro de pagos del bono rescatable es la siguiente, es similar al análisis que se debe realizarse antes de ejercer una opción de compra (call), ya analizado por el alumno. No obstante, realicemos nuevamente este razonamiento pero desde el punto de vista del gerente de la empresa, quien representa los intereses de los accionistas y, por lo tanto, trata de minimizar el valor del bono.


Cuando la empresa ha mejorado su situación, es decir V ξ > V, el gerente de la empresa no debiera dejar de rescatar el bono, dado que este tiene un valor de mercado mayor al precio de recompra (K ξ < K). En este caso el bonista recibe el valor par del bono por el valor de rescate (K ξ) y los accionistas reciben el valor en que ha crecido la empresa menos el valor par del bono por el valor de rescate (V ξ – K ξ).

Cuando la empresa no ha mejorado su estructura de deuda, ello implica que el

gerente no debiera rescatar el bono, dado que su valor de mercado es menor que el precio de recompra. En este caso, dependiendo si el valor de la empresa es mayor o menor al valor par de la deuda (bono) a la fecha de vencimiento, los bonistas reciben el valor del bono (K) o el valor total de la empresa (V), respectivamente. Por lo que, los accionistas reciben el valor de la empresa menos el valor del bono (V – K) o cero, respectivamente.

La regla óptima de rescate dicta que la empresa debiera rescatar el bono apenas

su valor -después del pago de cupones- sea mayor al precio de recompra en el mercado.


CLASE 09

1.6. Bono Convertible y Rescatable

Se definen de este modo aquellos bonos que son convertibles en acciones pero que contienen una cláusula de rescate, estipulada por el emisor del bono a un precio preestablecido más los intereses devengados a la fecha (entre cupones).

Estos bonos tienen diferentes características, las que dependen del período

previo en el que se de anuncio de que la empresa quiere realizar el rescate, en caso contrario el bonista no podría ejercer la opción de convertirse en accionista, es decir, no podría ejercer la opción de convertir el bono en acción.

La característica de rescate de estos bonos es similar a aquélla de los bonos

rescatables ordinarios, excepto que los dueños de los bonos pueden decidir si convertir (a acciones a una razón predeterminada) cuando se produce el rescate. La decisión de conversión es la misma que en el caso de bonos convertibles no rescatables. La diferencia radica en que en este caso los dueños de los bonos pueden escoger entre recibir el precio de rescate (más intereses ganados) y convertir a acciones.

Sea:


Vξ : Es el valor en que ha crecido la empresa B : Es el valor de mercado del bono

K : Es el valor par del bono

Kξ : Es el valor de rescate del bono

�: : Es el factor de dilución del patrimonio, que es equivalente a ( mk

) n + mk

n : El número de acciones

Kξ > K: Condición para realizar el rescate, porque de lo contrario jamás se rescataría

El valor del bono convertible y rescatable es menor que el valor del bono

convertible, dado que con la cláusula de rescate el bonista no puede participar de las utilidades de la empresa superiores al valor de rescate del bono (Kξ).

El valor del bono convertible y rescatable representado con opciones de compra

(call) se presenta a continuación.

Valor del Bono Convertible:

B = V – C(V, K, T) + C(�V, K, T)

Valor del bono convertible y rescatable:

B = V – C(V, K, T) + C(�V, K, T) – C(Vξ, Kξ, T)

De esta forma, se define la posición de los accionistas en bonos convertibles y rescatables, que se presenta a continuación.

ns = C(V, K, T) - C(�V, K, T) + C(Vξ, Kξ, T)

En el siguiente cuadro se presentan las diferentes situaciones posibles y las respectivas posiciones que toman los bonistas y accionistas.


Cuadro N°3: Posición de Bonistas y Accionistas

Escenarios Bonistas Accionistas i) V*

≤ K ii) K < V*

≤ K/� iii) K/� < V*

≤ Kξ/� iv) Kξ/� < V*

B* = V*

B* = K B* = �V*

B* = Kξ

ns* = 0 ns* = V* – K ns* = V* - �V*

ns* = V* – Kξ

En el primer escenario el valor de la empresa es menor o igual al valor del bono, por lo que la posición de los bonistas es igual al valor total de la empresa y la posición de los accionistas es igual a cero.

En el segundo escenario el valor de la empresa es mayor al valor del bono, pero

menor o igual al valor del bono dividido por el factor de dilución del patrimonio o valor del bono convertible, por lo que la posición de los bonistas es igual al valor del bono y la posición de los accionistas es igual a el valor de la empresa menos el valor del bono.

En el tercer escenario el valor de la empresa es mayor al valor del bono

convertible (valor del bono dividido por el factor de dilución del patrimonio), pero menor o igual al valor del bono rescatable y convertible, por lo que la posición de los bonistas es igual al valor de la empresa por el factor de dilución del patrimonio y la posición de los accionistas es igual a el valor de la empresa menos el valor de la empresa por el factor de dilución del patrimonio.

En el cuarto escenario el valor de la empresa es mayor al valor del bono

convertible y rescatable, por lo que la posición de los bonistas es igual al valor de rescate de los bonos y la posición de los accionistas es igual al valor de la empresa menos el valor de rescate de los bonos.


CLASE 10

2. FUTURO: BONO LIGADOS A LOS COMMODITIES

Se definen como bonos ligados a los commodities aquellos que se encuentran atados a Bienes altamente estandarizados, es decir, son conocidos por el bien al que se encuentran ligados más que por ser bonos. Un ejemplo, son los bonos que se encuentran ligados a la compra y venta de acciones que se transan en la bolsa.


Antes de introducir al alumno a la materia de estudio, se deben analizar algunos conceptos centrales del tópico.

Mercado Spot:

Es el mercado donde se paga y despacha de inmediato el bien, por ejemplo compra y venta de acciones en la bolsa.

Mercado Forward:

Es un mercado para el pago y despacho en el futuro, es decir, las partes

negocian y pactan hoy de transar un bien en el futuro.

Mercado de Futuros:

Es muy similar al mercado de Forward, la diferencia está en el tipo de bienes que se transan, los que son bonos. Por lo que, en este mercado las partes también acuerdan transacciones de pago, compra y despacho en el futuro, pero de bonos.

2.1. Características de los Contratos Futuros

Es importante que, el alumno conozca las características que diferencian a los contratos de futuros con los contratos forward, para lo cual se presenta el siguiente cuadro comparativo.


Cuadro N°4: Comparación entre contratos futuros y forward

Contrato Futuros Contrato Forward Productos estandarizados, es decir, los montos y cantidades están determinados, se negocian en mercados organizados.

Los productos no son estandarizados, por lo que los montos y cantidades no se encuentran determinados, además son acuerdos privados entre dos instituciones financieras o entre una institución financiera y sus clientes

Las transacciones son a través de la cámara de compensaciones (traspasar las pérdidas y ganancias). Posibilidad de cambio en las posiciones y de anular el contrato en cualquier momento.

Las transacciones se perfeccionan, es decir, se realizan a través de un contrato, el cual expira a la fecha del vencimiento (No existe posición en cualquier momento del tiempo).

Existe un mercado secundario donde se puede obtener liquidez. Por ejemplo, no se transan por primera vez las acciones, etc.

Es un mercado poco líquido y no existe mercado secundario.

No se da mucha importancia a la entrega física del bien.

La entrega física del bien es esencial en este tipo de contratos.

Existe una garantía en dinero por el riesgo de incumplimiento del contrato.

Finalmente, este tipo de contrato no entrega una garantía.

Para una mejor comprensión de estas características, es importante que el alumno analice algunos aspectos sobre los contratos forward.

Pagos de los contratos forward

El pago de una posición larga (compra) en un contrato forward sobre una unidad de bien o activo, se representa de la siguiente forma:

Pago por la posición larga de un contrato forward = ST - K

Donde:

K : Precio de entrega por la unidad de bien o activo

ST : Precio spot o de mercado por la unidad de bien o activo, a la madurez del contrato


El tenedor de un contrato forward esta “obligado” a comprar un bien o activo, valorado en un monto ST en el mercado, a un precio establecido en el contrato de K. Lo anterior, es lo que se conoce como posición larga en un contrato forward. La ganancia del tenedor se da cuando ST > K.

A continuación se presenta gráficamente los pagos de una posición larga en un

contrato forward.

Gráfico N° 11: Pagos Posición Larga de un Contrato Forward

Pago +

K ST

Pago - El pago de una posición corta (venta) en un contrato forward sobre una unidad de bien o activo, se representa de la siguiente forma:

Pago por la posición corta de un contrato forward = K - ST Donde:

K : Precio de entrega por la unidad de bien o activo

ST : Precio spot o de mercado por la unidad de bien o activo, a la madurez del contrato

El que vende un contrato forward esta “obligado” a vender un bien o activo, valorado en un monto ST en el mercado, a un precio establecido en el contrato de K. Lo anterior, es lo que se conoce como posición corta en un contrato forward. Este agente del mercado gana cuando K > ST.


A continuación se presenta gráficamente los pagos de una posición corta en un contrato forward.

Gráfico N° 12: Pagos Posición Corta de un Contrato Forward

Pago +

K ST

Pago -

Cuando se aproxima el mes de entrega, en un contrato futuro, el precio futuro converge al precio spot del activo subyacente. Es decir cuando se llega al período de entrega, el precio futuro se iguala o es muy similar al precio spot o de mercado; en caso contrario existirían oportunidades de arbitraje. Lo anterior, se puede visualizar en el siguiente gráfico.

Gráfico N° 13: Convergencia de los precios futuros a los precios spot

Precio Spot

Precio Futuro Precio Spot

Precio Spot Precio Futuro

Tiempo

Al vencimiento, en ambos casos ya sea con precio futuro mayor o menor que el precio spot, los precios -futuro y sopt- tienden a ser iguales.


Para visualizar esta convergencia en los precios, supongamos que al comienzo el precio del futuro esté por encima del precio de contado durante el periodo de entrega, lo que generaría una oportunidad de arbitraje: 1. Venta de un contrato fututo 2. Compra del activo 3. Entrega del activo Estas operaciones producirán una serie de beneficios seguros igual a la diferencia entre el precio del fututo y el precio al contado (spot), sin embargo a medida que los operadores exploten esta oportunidad de arbitraje, el precio del futuro caerá. Ahora supongamos que el precio del futuro esté por debajo del precio al contado (spot) en el periodo de entrega, los operadores se encontraran en una buena posición para adquirir el activo y comprarán el contrato de futuro y esperarán la entrega, a medida que esto ocurra el precio del futuro tenderá a subir. El resultado final en los dos casos será la convergencia del precio del futuro respecto al precio spot.

CLASE 11

2.2. Uso de los Futuros para Protección

Una empresa que sabe que debe vender un activo en una fecha futura, a un precio previamente establecido el que puede ser mayor o menor a su precio de mercado a la fecha de vencimiento, puede protegerse tomando una posición corta en futuros, lo que se conoce como “Short Hedge” más específicamente como un hedge corto. En este caso, si el precio del activo disminuye la empresa pierde por la venta del activo, pero obtiene una ganancia con la posición corta en futuros.

También existen las protecciones tomando una posición larga en el contrato de

futuros conocidas como “Long Hedges”, esta cobertura será apropiada cuando la empresa sepa que va a tener que comprar cierto activo en el futuro queriendo asegurar el precio que pagará por él.

Existen diversas razones por las cuales la protección -de las empresas que deben

vender un activo en una fecha futura- mediante el uso de contratos futuros, no es un método perfecto en la práctica. Las que se pueden resumir en los llamados riegos de base que deben considerarse, a saber:

• El activo cuyo precio es protegido, puede no ser exactamente el mismo que da

origen al contrato futuro.


• El Hedger (persona que se está asegurando) puede no estar seguro de la fecha

exacta en que el activo será comprado o vendido.

• La protección puede requerir que los contratos futuros sean cerrados antes de su fecha de expiración o vencimiento.

La base, en una situación en que se usen los futuros para protección, se define

de la siguiente forma:

Base:

Precio Spot del activo a ser protegido (ST)

Menos Precio Futuro del contrato usado (F)

ST - F = Base

Si el activo a ser protegido y el activo subyacente al contrato futuro son

equivalentes, como por ejemplo el jugo de naranja es igual en calidad, la base calculada será igual a cero, a la expiración o fecha de vencimiento del contrato futuro.


Ejemplo práctico: una cobertura corta Para ilustrar la operativa de una cobertura corta, consideremos que hoy es 15 de mayo y que la empresa JP acaba de negociar un contrato para vender 1 millón de barriles de petróleo, debido a la volatilidad del precio de este producto en los mercados internacionales. Precio de contado (mayo) del petróleo: $19.00 dólares por barril Precio del futuro del petróleo en agosto: $18,75 dólares por barril Estrategia de cobertura 15 de mayo: posición corta en 1.000.000 de contratos de futuros de petróleo de agosto. 15 de agosto: Cerrar la posición de futuros. Resultado La empresa se asegura que recibirá un precio de cierre de $18,75 dólares por barril Ejemplo 1: El precio del petróleo el 15 de agosto es $17,50 dólares por barril, la operación es la siguiente ($18,75 - $17,50)*1.000.000 = $1.250.000 dólares Ejemplo 2: El precio del petróleo el 15 de agosto es de $19,50 dólares por barril, la operación es la siguiente ( $18,75 - $19,50)*1.000.000 = - $750.000 dólares.


Ejemplo práctico: una cobertura larga Hoy estamos a 15 de enero y un fabricante de cobre sabe que necesitara comprar 100.000 libras de cobre el 15 de mayo para cumplir con un contrato, esto debido a la volatilidad del cobre en los mercados internacionales. Precio al contado (enero) del cobre: 140 centavos de dólar (¢) por libra Precio del futuro del cobre en mayo: 120 centavos de dólar por libra Estrategia de cobertura 15 de enero: toma una posición larga en 100.000 contratos de futuros de mayo sobre el cobre. 15 de mayo. Cierra la posición de futuros. Resultado: La empresa se asegura que su costo se cerrará a $120 centavos la libra Ejemplo 1: El costo del cobre el 15 de mayo es de 125 centavos la libra, la operación es la siguiente (¢125 - ¢120)*100.000 = ¢500.000 ($5.000 dólares) la empresa gana. Ejemplo 2: El costo del cobre el 15 de mayo es de 105 centavos la libra, la operación es la siguiente (¢105 - ¢120)*100.000= - ¢1.500.000 ($15.000 dólares) el fabricante pierde.


Antes de la expiración, la base puede ser positiva o negativa. Cuando el precio spot aumenta más que el precio futuro, la base aumenta, esto se conoce como “Fortalecer la Base” o Reforzamiento de la base Si el precio futuro aumenta más que el precio spot, la base baja, y esto se llama “Debilitar la Base”. Grafico Nº 14: Variación de la base con el tiempo

El grafico Nº 14 ilustra cómo una base puede cambiar a lo largo del tiempo. En este ejemplo, la base es positiva antes del vencimiento del contrato de futuros. Sea:

S1 : Precio spot al tiempo t1

S2 : Precio spot al tiempo t2

F1 : Precio futuro al tiempo t1

F2 : Precio futuro al tiempo t2

B1 : Base al período t1

B2 : Base al período t2

Precio del futuro

Tiempo

T1 T2

Precio al contado


Ejercicio:

ST1 = 2,5 ; ST2 = 2 ; F1 = 2,2 ; F2 = 1,9

De la definición de base, se obtiene para cada período las siguientes bases:

b1 = S1 – F1 = 2,5 – 2,2 = 0,3 b2

= S2 – F2 = 2 – 1,9 = 0,1

Supongamos que el Hedger, es el que está protegiendo, sabe que el activo será vendido en el período t2 y, por lo tanto, se adelanta y toma una posición corta en el período t1.

En este caso, el precio que se obtiene por el activo es S2, y la ganancia por la posición futura es F1 – F2. Por lo que, el precio efectivo que se obtiene por el activo que es protegido será:

S2 + F1 – F2 = F1 + b2


En el ejemplo, S2 + F1 – F2 = F1 + S2 – F2

2 + 2,2 – 1,9 = 2,2 + 0,1 se cumple la igualdad y la ganancia es 2,3

El valor futuro uno se conoce en el período uno (t1), si el valor futuro del período dos (t2) también fuera conocido a esa fecha (en t1), se podría obtener una protección perfecta, es decir del 100 % cubierta. Sin embargo, el riesgo de la protección (cobertura), es la incertidumbre asociada a la base de riesgo dos (b2), la cual se conoce como riesgo de base.

Cuando el activo que genera el riesgo para el Hedger, es algo diferente al activo

subyacente a la protección, el riesgo base usualmente es mayor. Sea:

S2 : Precio del activo que está siendo protegido en el período t2

Para protegerse con un activo ligeramente diferente, diremos que S*2 será el

precio del activo subyacente al contrato futuro en el período t2. Para protegerse la empresa que busca cobertura asegura que el precio que será pasado (o recibido) por el activo es:


S2 + F1 – F2

Lo que se recibe del

mercado spot

Ganancia por el contrato de

futuro

Se da la siguiente forma:

F + ( S*2 – F2 ) + ( S2 – S*

2 )

Los términos, como se ha analizado, S*2 – F2 y S2 – S*

2 representan los dos componentes de la base.

S*

2 – F2 : Es la base que existiría si el activo subyacente fuera el mismo que el que quiere proteger.

S2 – S*

2 : Es la base que proviene de la diferencia entre los dos activos.

Cabe destacar que el riesgo en la base puede llevar a un mejoramiento o bien un empeoramiento de la posición del Hedger.

Por Ejemplo:

Si en una posición corta (Hedger corto), la base se ve fortalecida inesperadamente la posición del Hedger mejora, y si se debilita la base inesperadamente la posición del Hedger empeora. Lo que nos permite concluir que, a más tiempo la posición del Hedger empeora.

En este punto del análisis, es necesario reconocer que no siempre es óptimo protegerse a un 100%, por lo que los inversionistas o la alta gerencia de la empresa utilizan la razón de cobertura óptima para decidir la cobertura a tomar en contrato futuro.


Razón de Cobertura Óptima:

La razón cobertura, es la razón del tamaño de la posición tomada en contratos a futuro, sobre el tamaño de la exposición. Es decir, es el tamaño del riesgo que se va asumir en la posición en el contrato.

En general hemos supuesto un hedge ratio igual a 1, pero si el objetivo del hedger es minimizar el riesgo, un hedge de 1 no necesariamente será óptimo. Supóngase que:

∆S : Es un cambio en el precio spot durante un período de tiempo igual a la vida o duración del hedge

∆F : Es el cambio en los precios futuros F, durante un período de tiempo igual a la vida o duración del hedge

σS : Es la desviación estándar de la variación del precio spot (∆S)

σF : Es la desviación estándar de la variación del precio futuro (∆F)

F : Es el coeficiente de correlación entre la variación del precio spot (∆S) y la variaciñon del precio futuro (∆F)

λ : Es el Hedge ratio

Cuando el hedger está largo en el activo, que se traduce en la obligación a comprar un activo o bien, y corto en el futuro, el cambio en el valor de la posición del hedger durante la vida del hedger es:

∆S - λ∆F Para un hedge es:

λ∆F - ∆S


F S F

En cualquier caso, la varianza (V) del cambio en el valor de la posición cubierta es:

V = σ2S + λ2σ2

F – 2λfσSσF

De modo que:

dV = 2λσ 2 − 2fσ σ

dλ

Cambio en el riesgo al aumentar la razón de cobertura.

Cuando esta expresión se igual a cero, para minimizar el riesgo y notando que:

d 2 V

> 0 d2 λ

Vemos que el valor de λ que minimiza la varianza es:

λ = fσS

σF

Razón de Cobertura Óptima

Si f = 1 σS = σF implica que λ = 1

Sólo en ese caso, convendría una cobertura del 100 %.

CLASE 12

2.3. Precio Forward y Futuros

A continuación se analiza como se calculan los contratos forward en las siguientes casos:

i. Activos o valores que no rindan ingresos

ii. Valores que proporcionan un flujo de caja conocido

iii. Valores que proporcionan un rendimiento en términos de dividendos conocidos


Supuestos:

• No existen costos de transacciones

• Todas las ganancias o pérdidas están sujetas a la misma tasa de impuesto

• Los participantes de mercado pueden pedir o prestar a la tasa libre de riesgo

• Los participantes del mercado toman ventaja de las oportunidades de arbitraje si ellas existen

Sea:

T : El período en el cual madura el contrato forward

S : El precio del activo subyacente al contrato forward en el período inicial (actual)

St : El precio del activo subyacente al contrato forward a la fecha de vencimiento (St

es desconocido hoy) K : El precio de entrega del bien o de ejercicio del bien en un contrato forward. f :

El valor de un contrato forward hoy

F : El precio forward hoy R : La tasa de interés libre de riesgo, compuesta continuamente para una inversión que madura en t.

Cabe destacar que el precio forward (F) es distinto al valor del contrato forward (f), porque el precio forward (F) en cualquier momento es el precio de ejercicio que hace que el contrato tenga un valor de cero (f = 0).

Cuando se inicia el contrato, el precio de ejercicio normalmente es igual al precio

forward, de tal forma que F = K y f = 0. Sin embargo cuando el tiempo pasa F y f cambian.

En el caso de un contrato forward sobre un activo que no proporciona ingresos,

por ejemplo acciones que no pagan dividendos, bonos que no dan cupones, etc. Para que no existan oportunidades de arbitraje la relación entre el precio forward (F) y el precio spot (S) para un activo que no rinde ingresos debe ser lo siguiente.


F = Sert

Si F > Sert, implica que un inversionista puede pedir S dólares a un plazo t y tasa de interés libre de riesgo, comprar el activo y tomar una posición corta en el contrato forward, para obtener una ganancia en el período t de:

F - Sert

Cabe destacar que el valor del contrato forward (f) será:

f = S – Ke-rt

Cuando se inicia un contrato forward, el precio forward (F) iguala al precio de ejercicio especificado en el contrato (F=K en t=0), y es elegido de modo que el valor del contrato (f) es cero; por lo tanto, el precio forward F, es el valor de K que hace cero a f; es decir cuando se cumple que:

F = Sert

2.4. Tipos de Contratos Futuros a) Contrato Forward sobre un activo que rinde Flujos de Cajas, supongamos un activo que proporciona un flujo de caja perfectamente predecible por ejemplo acciones que pagan dividendos o un bono con cupones.

I : Es el valor presente a la tasa libre de riesgo, del flujo a ser recibido durante la vida del contrato forward.

Para que no existan oportunidades de arbitraje la relación entre F y S debe ser:


F = (S - I)ert

Valor presente del precio spot menos el valor presente de los ingresos

Si F>(S – I)ert un árbitrador puede pedir dinero, comprar el activo y vender corto un contrato forward, obteniendo una ganancia igual a F – (S_I)e-rt en el período t.

El valor del contrato forward (f) será:

f = S_I - Ke-rt

El contrato forward sobre un activo que proporciona un rendimiento en términos de dividendos conocidos.

Ejemplo practico:

Consideremos un contrato a plazo a 10 meses sobre una acción con un precio de $50 dólares, el interés libre de riesgo (compuesto continuo) es del 8% anual para todos los vencimientos, además se esperan unos dividendos de $0,75 dólares por acción después de tres, seis y nueve meses, el valor actual de los dividendos es: I= 0,75* e-0,08*3/12

+ 0,75* e-0,08*6/12

+ 0,75* e-0,08*9/12

= 2,162 Con T=10 meses, tenemos: F= (50 - 2,162) e-0,08*10/12

= $51,14 Si el precio a plazo fuera menor o mayor que éste, un arbitrajista podría comprar o vender contratos dependiendo el caso y aprovechar la oportunidad.


Tanto los índices sobre monedas, como los índices sobre acciones pueden ser analizados como valores que proporcionan rendimientos en dividendos conocidos. Un dividendo conocido significa que el ingreso, cuando es expresado como porcentaje del precio del activo, es conocido.

Supongamos por ejemplo que el dividendo se paga continuamente a una tasa

anual que, por ejemplo: q = 0,05, lo que implica un 5% del precio del activo se da en dividendo por año. En este caso el valor del contrato forward (F) será:

f = Se-qt – Ke-rt

El precio forward (F) dado por el precio de ejercicio (K) que hace cero el valor del contrato forward será:

F = Se(r-q)t

b) Contratos Forward y Futuros en Monedas, en este caso, S es el precio actual en dólares de una unidad de la moneda extranjera, K es el precio de entrega acordada en

el contrato forward. La moneda extranjera tiene la característica que su tenedor puede ganar interés a la tasa libre de riesgo que prevalezca en el país extranjero (rf).

Para determinar el precio forward si r es la tasa de interés interna se cumplirá

que, el valor del contrato forward (f) será:

f = Se-qt – Ke-rt

Y el precio forward, a tipo de cambio forward, F, es el valor del precio de entrega que hace cero el valor del contrato, por lo tanto F será:

F = Se(r-rf)t – Ke-rt

En el campo de las finanzas internacionales esta relación se conoce con el


nombre de “paridad de tasas de interés”. c) Futuros sobre Commodities

Aquí es posible distinguir entre commodities usados sólo para consumo de los

que son usados para inversión. Oro y Plata: generalmente se mantienen con propósito de inversión. Si el costo de almacenaje es cero, pueden ser considerados análogos a los activos que no rinden ingresos.

Sea:

S : Es el precio actual del oro (spot) El precio futuro estaría dado por:

F = Se-rt

Sin embargo, por lo general, existen costos de almacenaje los cuales pueden ser tratados como un ingreso negativo.

U : Es el valor presente de todos los costos de almacenaje

F = (S + U)ert


Ejemplo práctico:

Se subscribe un contrato de futuros sobre el oro a un año, supongamos que almacenar el oro tiene un costo de $2 dólares por onza al año, con liquidación al final del año, el precio al contado es de $450 dólares y el interes libre de riesgo es de 7% anual, el valor presente de los costos de almacenaje seria; U= 2e-0,07*1 = $1,865 El precio del futuro viene dado como; FO = (450 + 1,865) e0,07*1 = $ 484.63 Dependiendo si F0 es mayor o menor que $484,93 existirán diferentes oportunidades de arbitraje.

Y si los costos de almacenaje fueran proporcionales al precio del commodity; entonces:

F = Se(r+u)t


ramo: finanzas iiibiblioteca.iplacex.cl/med/finanzas iii.pdf · 2018-06-28 · desprendido en forma...

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