radicales homogÉneos

RECUERDASon aquellos que poseen el mismo índice radical.

n√x , n√ y

3√6 , 3√8

¿qué hacer con las multiplicaciones o divisiones de radicales que no son

homogéneos?

En estos casos podemos HOMOGENIZAR.Multiplicando el índice de un radical y el exponente del radicando por una misma cantidad, el valor aritmético de la raíz no se altera.

Institución Educativa “MANCO II”

Si dos radicales son homogéneos podemos multiplicar o dividir sus radicandos, escribiendo el mismo radical, pero no podemos hacer nada con la suma o la resta de los mismos:

Ejemplo:

3√2 x 3√5 x 3√7 =

3√2 x 5 x 7 = 3√70

5√645√2 =

5√642 = 5√32 = 5

5√7 x 5√25√3 =

5√145√3 =

5√143

Ejemplo 1: 3√25 expresarlo como un radical de índice 12.

Solución:Logramos esto multiplicando el índice y el exponente por 4, sin que el valor aritmético de la raíz se altere; es decir:

3√25= 4 x 3√25 x 4 =12√220

Ejemplo 2 : Escribir bajo un solo radical 3√72 x 4√73 x 6√75

Solución:

Primero: Nos damos cuenta que el mcm (3 ; 4 ; 6) índices de las raíces es 12.Segundo: Llevamos cada radical como índice 12.

3√72= 3 x 4√72 x 4 =12√78

4√73 = 3 x 4√73 x 3 =12√79

6√75 = 2 x 6√75 x 2 =12√710

Tercero: Operamos: 3√72 x

4√73 x 6√75

12√78 x

12√79 x 12√710

¡radicales homogéneos!

= 12√78 x 79 x 710 =

12√727

= 72712 = 7

94 =

4√79

Para sumarlo o restarlo operamos con los factores que le anteceden escribiendo luego el mismo radical, así:

5 5√3 +7 5√3=12 5√3Para multiplicarlos o dividirlo, procedemos como en RADICALES HOMOGÉNEOS, así:

(5√2 ) (3√2 ) = 15√2√2 = 15√2 x 2 = 15√4= 15 x 2 = 30

I. Homogenizar los siguientes radicales:

1)4√25 ; √23 =

2)5√36 ; 15√32 =

3)7√52 ; 14√5 =

4)3√27 ; 4√23 =

5)6√83 ; 5√82 =

6)3√7 ; 6√723 ; 12√75 =

7)8√27 ; 24√25 ; 6√25 =

8) √113 ; 4√113 ; 9√112 ; 6√115

9)3√132 ; 12√135 ; 8√133 ; 6√13 =

10)7√192 ; 3√19 ; 81√194 ; √19 =

RADICALES HOMOGÉNEOS

Ejercicios de aplicación

Tarea Domiciliaria Nº 11

RADICALES SEMEJANTES

Son aquellos que tienen el mismo índice radical, y el mismo radicando.

83√2 , 6

3√2

105√6 , 21

5√6

n√am =nk√amk

1


I. Homogenizar los siguientes radicales

1)3√32 ; 6√34 ; 81√321 =

2) √53 ; 6√54 ; 8√510 ; 12√59 =

3)7√192 ; 3√19 ; 21√194 =

4)7√52 ; 19√5 ; 21√55 =

5)3√27 ; 4√23 ; 6√2 =

6) √120 ; 3√122 ; √125 =

7)3√132 ; √13 ; 10√311 =

8)5√113 ; 2√115 ; 3√118 =

9)2√7 ; 3√75 ; 5√73 ; 2√73 =

10)3√9 ; 5√92 ; 4√93 =

I. Extraer un factor de:

1)4√59 x 6 =

3√48 =

2)5√68 x 3 =

7√139 x 3 =

3)3√74 x 2 x 5 x 3 =

II. Introducir el factor mostrado en el respectivo radical:

1) 24 4√2 = 52

5√2 =

2) 43 3√3 x 5 = 2√100 =

3) 33√2 = 2√1/2 =

4) 8√1/16 = 32√1/64 =

III. Simplificar los siguientes raíces:

1) √1200 = √882 =

2) √1875 =5√300000 =

3)3√29160 = √7938 =

4) √13122 =5√21504 =

Resuelve las siguientes operaciones

a) √5 - 3√5 + 2 √7 + 7√7 + 2√5 - 9√7 =

b)3√11 - 3

3√11 + 53√11 + 9

3√11 =

c) 10√3 + 3√3 - 5√3 =

d) 37√2 -

7√2 + 7√2 + 9√2 - 5√2 =

e) 86√9 + 7

6√9 - 56√9 =

f) -63√2 + 3

3√2 - 103√2 =

g) √5 + √5 + √5 =

h) 6√3 + 3√3 - 2√3 =

i) -23√7 + 3

3√7 - 13√7 =

j) 11√5+ √5 - 2√5

k) 13√7+ √5 - 19√5 + √7

l) √8+√2+√32 =

m) 5√8+7√18−2√50 =

n) 33√12−6√75+√243 =

o) √75−√27+√3=p) √2−√8+√50=

q) 5 √6+√294+8 √24−10 √54 =

r)3√375−3√81+3√24=

s)3√16+ 3√128−3√250=

t) (3√a3b2 ) . (

6√a3b5 )=u) (

4√abc2 ) . (3√ab2 c ) (

12√a5bc 2 )=

v) (2 √2 ) 5 = (3 3√3) 2 =

w)( 12 5√2)

4

=[−17 5√3] 3

=

x) √√√√√√2128

5√5√5√5√131250

y)

4√ x3√x 4√x2 √ x3=

3√x2 √ x4 3√x √x3=

z) √ x √x √x √x=

√ x √ x √ x √ x √ x =

Tarea Domiciliaria Nº12

Tarea Domiciliaria Nº132

EXTRACCIÓN DE UN FACTOR DE UN RADICAL

INTRODUCCIÓN DE UNA FACTOR EN UN RADICAL


Para extraer un factor de un radical, descomponemos el radicando en factores de modo que algunos de sus exponentes sea múltiplo del índice de la raíz, para luego aplicar el procedimiento seguido en la RAÍZ DE UNA MULTIPLICACIÓN.

Ejemplo: Extrae un factor de 3√517

Solución: Descomponemos el radicando:3√517 =

3√515 x 52Aplicamos Raíz de una Multiplicación:

3√517 = 3√515 x 3√52

3√517 = 5153 x

3√52

3√517 = 55 x

3√52 = 553√52

Ejemplo: Extrae un factor de √27 x 35

Solución:√27 x 35 = √26 x 2 x 34 x 3Aplicamos Raíz de una Multiplicación:

√27 x 35 = √26 x √34 x √2 x √3

√27 x 35 = 23 x 32 x √6

√27 x 35= 72√6

Si necesitamos introducir un factor en un radical de índice “n” sólo tenemos que multiplicar el radicando por la potencia enésima de dicho factor.

Ejemplo: Introduce el factor 23 al interior del radical: 23 5√7

Solución: La potencia 5 del factor que está fuera es:(23)5 ó 23 x 5

Esta potencia la escribimos en el radicando multiplicando al radicando inical 7:

23 5√7 =

5√23 x 5 x 723 5√7 =

5√215 x 7Ejemplo: Introduce el factor 34 al interior del radical :

34 7√32 x 23

Solución: La potencia 7 del factor que está fuera es:(34)7 ó 34 x 7 ó 328

Esta potencia la escribimos en el radicando multiplicando al radicando inicial.

34 7√32 x 23 =

7√32 x 23 x 328

34 7√32 x 23 =

7√330 x 23

Al simplificar un radical lo transformamos en otro equivalente de modo que el nuevo radicando no debe tener factores cuyos exponentes sean mayores o múltiplos del índice de la raíz.

Para simplificar un radical descomponemos el radicando en sus factores primos, arreglándolos de tal modo que los exponentes sean múltiplos del índice, para proceder entonces a extraer factores con esas características.

Ejemplo: Simplificar √180Solución: Descomponemos 180 en factores primos

√22 x 32 x 5√180 = √22 x √32 x √5√180 = 2 x 3 x √5√180 = 6√5

I. Extraer un factor de:

1)3√516 = √9 x 6 =

2)3√27 x 3 = √76 x 3 =

3)4√16 x 5 =

3√26 x 3 x 2 =

4)5√212 x 7 =

6√215 x 3 =

5) √100 x 2 = √200 =

6) √300 = √500 =

7)3√77 x 2 =

3√54 x 2 x 3 =

II. Introducir el factor mostrado en el respectivo radical

1) 2√3 = 5√7 =


SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES

3

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN

POTENCIACIÓN

RADICACIÓN


2) 2√6 = 3√18 =

3) 6√3 = 3√5 =

4) 72 √75 = 34√3 x 23 =

5) 23 √5 x 2 = 32 3√3 x 2 =

6) 25 3√3 = 7

4√2 x 3 =

7) 33 3√72 = 52

4√23 =

8) 35 3√5 =

III. Simplificar los siguiente radicales

1) √12 = √48 =

2)3√54 = √252 =

3)3√24 =

3√192 =

4) √500 = √245 =

5) √1575 = √63 =

6) √162 =5√480 =

7)3√375 = √180 =

Sumamos o restamos radicales sólo si son SEMEJANTES.

Si no lo son realizamos transformaciones o simplificación de radicales hasta obtener tales radicales semejantes.

Ejemplo:

3√2 + 5√2= 8√2

83√5 + 6

3√5 - 53√5

= 93√5

Multiplicamos o dividimos radicales sólo si son homogéneos.

En este caso, multiplicamos o dividimos los coeficientes y bajo un mismo radical con el mismo índice multiplicamos o dividimos los radicandos.

Ejemplo: E = (5√7 ) (2√5 )= 10√35Ejemplo:

F =

(8 3√2) (3 3√8)23√4

F =

(8 x 3 ) ( 3√2 3√8 )2 ( 3√4 )

F =

24 3√1623√4 = 12

3√4

En estos casos se aplica potenciación de una multiplicación y potencia de una raíz

Ejemplo1:Efectúa (33√5) 3

Solución: Potencia de multiplicación 33 x 3√5 3

Potencia de una raíz: 27 x 5 = 135

Ejemplo 2: Efectúa [2 5√7 ] 3

Solución: Potencia de multiplicación 23 x 5√7 3

Potencia de una raíz: 8 x 5√7 3

85√243

Para efectuar esta operación aplicamos el caso de Raíz de Raíz.

Ejemplo:

1)3√√729 =

3 x 2√729 = 6√729 = 3

2)5√3√√560 =

5 x 3 x 2√560 = 30√560 = 52 = 25

I. Efectuar las siguientes sumas y diferencias de radicales.

1) √2+√2+√2 =

2)3√7+ 3√2 +3√5 =

3) 7√5 + 2√5 + 8√5 =


OPERACIONES CON RADICALES

4


4) -87√5 - 6

7√5 - 7√5 =

5) 3√3 + 10√2 + 8√3 - 10√2 =

6) 8√7 + 5√5 + 6√7 - 2√5 =

7) √2 + 2√2 + 3√2 =

8) √5 + 2√7 - 3√5 + 7√7 =

9) √3 - √2

10) 87√3 - 3

7√3 - 57√3 + 2

7√3 =

11) 17√3 + √2 - 19√3 - 7√2

12) √98+√50−√18=13) √20+√45−√125=14) √28+√175−√63=

15)3√54+3√16−3√2=

16) 6√28−5√63−2√112 =

17) 73√54+2 3√16−5 3√128 =

18) 18 √162−5 √98+6 √12−7√27 =

19)3√16+3 3√54+6 3√686−3√2 =

20) 2 √500+3 √20−3 √245+√180 =

21) 33√2376−5 3√1375+2 3√11−5 3√704 =

II. Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones con radicales.

1)10√2 10√3 10√4 =

2)3√7 . 3√6 . 3√2 =

3)3√7 . 3√7 . 3√7 =

4) √2 . 4√23

5) (√ x2 yz ) . (√ x3 y3 z ) . ( √xy 2 )=6) (

3√a3b2 ) . (3√a6b )=

7) (-5√2 ) (-8√5 ) (√3 ) =

8) (-3√11 ) (√5 ) (4√2 ) =

9)( 25 √3) [−12 √5 ] (3√2 )

=

10)( 17 √2) (− 3

11√7) (√5 )

=

11) (3√2 ) (6√5 ) (12√2 ) =

12)

(3 4√5) (2 3√2 )6√3 =

13)

(2 5√7) (3 3√2 ) (10√5)315√2 =

14)

√2 5√3 5√2315√2 =

15)

(5 √3 ) (2 3√2) ( 6√5)56√2 =

16) [5√93 . 6√95 . 5√9 ] : [10√97 ] =

17) [ 7√73 . 14√79 . 28√73] : [ 28√719 ] =

18) [√2 . 6√25 . 12√27] : [ 12√217 ] =

19) [11√113 . 22√115 . 44√117 ] : (44√1123) =

20) [ 4√133 . 8√135 . 12√13 ] : (6√137) =

21)

3√3 . 5√34 . 10√3730√355 =

22)

6√2 6√5 6√46√20 =

23)

7√2 7√8 7√37√4 7√12 =

24)

5√3 5√2 5√75√6 5√3

III. Efectuar las siguientes potencias y raíces de radicales.

1)(−12 3√5)

2

=(−34 6√7)

2

=

2) √√√√532 = [√3√√7 ] 12 =

3)

3√3√3√ [√7 √7 ] 54 =3√√3√3180 =

m√ xa n√xb p√x c q√ xa=mnpq√xexp onentes

Ejemplo

√ x2 3√x3 4√x5 =

x + x + x

x + x + [(2 x 3) + 3]4 + 5 41

+++++++++++++++++++++++++++++++++ xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+++++++++++++++++++++++++++++++++xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx +++++++++++++++++++++++++++++++++xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx+++++++++++++++++++++++++++++++++

5

RADICALES DOBLES


=2 . 3 . 4√x41 =

24√ x41

Completa:

√ x √ x √ x √x=

3√x2 2√ x3 3√ x4=

Cuando tenemos radicales de la forma √A ± 2√B se

puede reducir a dos radicales simples: √ x ± √ y

A = x + yB = x . y

√A±2√B=√ x ±√ yA = x + yB = x . y

Ejemplo

√6+2√5=

√6+2√5=√5+1

√7−2√12=

= √4 − √3 (mayor - menor)

= 2−√3Completa:

√7+2√10= √9−2√18= √5+√24=

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

x + y = 7

x . y =

x = 3y = 4

x + y = 6

xy = 5

x = 5 ; y = 1

5 + 1 = 65 . 1 = 5

6


7


I. EFECTUAR:

1.a)

a) √5+2√6=b) √7+√48=c) √24+2√63=d) √6+√20=

II. RESOLVER:

2. Reducir:√9+2√14−√8+√28

a) √2+1 b) √3+1 c) √7−1d) √7 e) N.A.

3. Reducir:E=√a2+2ab+b2−√a2−2ab+b2Si: 2 002 < a < b < 2 005

a) 2a b) 2b c) -2ad) -2b e) N.A.

4. Efectuar: A=√2+2√4+2√3a) √2 b) √3 c) √3+1d) 1 e) N.A.

5. Reducir: A=3√√9−2√20+√14−2√45

a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) N.A.

6. Efectuar:

N=√√3−√8+√11−√72

a) √3 b) √4 c) √2

d) 1 e) N.A.

III. RESOLVER:7. Convertir a radical simple:

√2x+4+2√ x2+4 x+3e indicar uno de ellos:

a) √ x+3 b) √ x−4 c) √ x−3d) √2x−6 e) N.A.

8. Mostrar el equivalente de:

P=√2+2√−2+2√12+2√27a) √3+1 b) √3−1 c) √3+√2d) √3−√2 e) N.A.

9. El equivalente a: 4√17+√288

es:

a) √2+√3 b) √2+1 c) √3−√2d) 2√2−1 e) N.A.

10. Hallar: 2A - B

Si: √7+2√10+√11−2√30=√ A+2√B

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

11. Si: √9+√32+√17+√288=4( a+√b )Calcular: “a” y “b”

a) a = 1; b = 1 d) a = 1; b = 2b) a = 2; b = 2 e) N.A.c) a = 2; b = 1

TAREA DOMICILIARIA Nº 3

I. EFECTUAR:

1.

a) √28+√63−√343=

8


b) √75+√12+√3=

2.

a)3√250+3√128−3√2=

b)3√135+3√40−3√320=

3.

a) (√ x3 y2 z ) (√xyz ) (√x2 y3 z2 )=b) (

12√a2b5 c7 ) (3√abc2 ) (

4√a2bc3 )=4.

a) √ x √ x √ x √ x √ x √ x =

b) √a3 3√a5 4√a √a3 =5.

a) √19+2√78=

b) √18+√288=

II. RESOLVER:6. Reducir:

√10+2√24+√15−2√54=

a) √3+√2 b) 5 c) 6d) 1 e) N.A.

7. Reducir:

E=√x2−4 x+4+√x2−8 x+16Si: 2 < x < 4 (x es un decimal)

a) 2x b) 2x – 6 c) 2d) 2 – 2x e) N.A.

8. Efectuar:

√4+2√6+2√5−1a) √2 b) √3 c) √5d) √6 e) N.A.

9. Reducir:

A=3√√12+2√27−√7+2√12

a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) N.A.

10. Efectuar:

N=3√√4−√12+√7−2√12

a) √2 b) 1 c) -1

d) √5 e) N.A.

11. Reducir:

A=√m2+2mn+n2+√m2−2mn+n2Si: 2 003 < m < n < 2 004

a) 2m b) 2n c) -2md) -2n e) N.A.

9


12. Mostrar el equivalente de:

√4+2√4+2√6+2√5−√5−1

a) 1 b) √5 c) 0

d) −2√5 e) N.A.

13. Reducir: 3√√11+2√18+√27−2√50

a) 9 b) 1 c) 2d) -1 e) N.A.

14. Convertir a radical simple:

√2x+5+2√ x2+5 x+6e indicar uno de ellos.

a) √ x+2 b) √ x−3 c) √ x−4d) √ x−2 e) N.A.

15. Convertir a radical simple:

√2x+√4 x2−400e indicar uno de ellos.

a) √ x+10 b) √ x−2 c) √ x+2d) √ x−1 e) N.A.

10

radicales homogÉneos

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