82

UNIDAD IX

RADIACION CORPUSCULAR

La teoría ondulatoria de la luz no pudo explicar satisfactoriamente algunos fenómenos luminosos, como el efecto fotoeléctrico y el efecto Compton. Estos fenómenos implican una interacción entre la radiación electromagnética y la materia, particularmente con los electrones que ella posee. Las nuevas ideas introducidas para interpretar correctamente estos fenómenos luminosos, condujeron finalmente al desarrollo de la teoría cuántica. 9.1. RAYOS CATODICOS. En 1897 J.J.Thomson realizó mediciones para determinar la carga específica, o relación carga eléctrica a masa m

e , de los rayos catódicos. Los rayos catódicos eran las partículas que emitía el cátodo, de un tubo de rayos catódicos, al ser excitado por los iones positivos del gas contenido en el tubo, y que viajan hacia el ánodo. Actualmente, las partículas de rayos catódicos se conocen como electrones. La figura 1 muestra el dispositivo empleado para medir la carga especifica de los electrones. El voltaje V aplicado entre los electrodos horizontales produce una fuerza

deVF que

actúa en una dirección perpendicular a la velocidad de las partículas, desviándolas respecto del punto centro M1. Al salir de la región entre placas, se produce una desviación lateral:

2

2

21

21

vdV

meat

donde v es la velocidad de las partículas. Para determinar la velocidad v, Thomson equilibró una fuerza electrostática con una fuerza magnética; esto es:

c

Hevd

eV fig.1.

De ambas relaciones se obtuvo la carga especifica del electrón:

)grcoulomb(*.

me 810761

Se comprobó, además, que este resultado para la carga específica era independiente de la composición del cátodo y de la naturaleza del gas residual y que, en consecuencia, es un valor característico de los electrones. Posteriormente, Millikan determinó la magnitud de la carga eléctrica del electrón al equilibrar el peso de una gotita de un líquido con la fuerza eléctrica producida por unos electrodos paralelos horizontales:

83

mgd

qV

siendo d la separación entre los electrodos, q la carga de la gota y m la masa de la gota. La masa m se determina mediante una caída bajo la acción de la gravedad, considerando la velocidad terminal cuando la fuerza viscosa se iguala al peso: avmg 6 donde la fuerza viscosa está dada por la ley de Stokes. De este modo, se determina una carga para el electrón de: coulombs*.e 191061 y una masa: gr*.m 2810119 9.2 EFECTO FOTOELÉCTRICO. Hallwachs detectó que cuando la luz ultravioleta incide sobre una lámina de zinc, ésta se carga positivamente y además, Thomson detectó que se expelen electrones de la placa. En metales alcalinos, este efecto llamado efecto fotoeléctrico se produce con luz visible. Lenard realizó el experimento de la figura. La flecha indica la luz monocromática que incide sobre la placa P. Cuando el colector C es positivo, los electrones son atraídos por éste y el amperímetro detecta corriente. Para un cierto potencial V1 todos los electrones son colectados por C y sobre ese potencial no se detecta variación de la corriente. Al invertir la polaridad, los electrones son repelidos y sólo los más energéticos alcanzan el colector disminuyendo la corriente. Cuando el potencial retardador alcanza un valor crítico V0, la corriente cae a cero. Con éste potencial de frenado V0 sólo los más energéticos llegan al colector. Así:

02

21 eVmvmax

El número de fotoelectrones es proporcional a la intensidad pero no existe un umbral de intensidad mínima y el máximo de energía cinética es independiente de la intensidad; sólo depende de la fuente de luz. Para ciertas fuentes de luz, la placa P no emite aunque se incremente la intensidad. 9.2.1. EL FOTÓN. Planck consideraba cuantificada la energía total de los osciladores y continua la energía de la radiación. Einstein propuso que la radiación era una colección de cuantos de energía a los que Lewis les dio el nombre de fotones con una cierta frecuencia cuya energía es hE . Los fotones son absorbidos o emitidos como unidades indivisibles, y viajan por el espacio presentando fenómenos (difracción y polarización) exactamente como las ondas de frecuencia .

V

A

P C

84

Los fotones tienen las siguientes características i. Los fotones pueden ser considerados como partículas o puntos de acumulación de energía,

llamados cuantos de energía.

ii. Al foton le corresponde una masa 2 2

hmc c

.

iii. Si c es la velocidad del fotón, entonces es preciso atribuirle una masa en reposo nula (m0=0). Mas aun, carece de sentido hablar del fotón en reposo, dado que en todos los sistemas inerciales la radiación electromagnética se propaga con velocidad c.

iv. El momentum lineal del fotón es hp mcc c

9.2.2. LA ECUACIÓN FOTOELÉCTRICA. En la fotoemisión, la energía de un único fotón se traspasa íntegramente a un único electrón expulsándolo de la placa. La energía para liberar un electrón de la placa requiere de un valor mínimo que recibe el nombre de función trabajo que corresponde a la energía de un

fotón de frecuencia 0 por lo que:

002

21

02

212

21

heVmv

hmvmvh

max

maxmax

corresponde a la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico. Los datos de Millikan verificaron la ecuación de Einstein para el efecto fotoeléctrico. La figura muestra datos típicos para encontrar la frecuencia de corte. Ejemplo 1: Una luz ultravioleta de longitud de onda 207[nm] produce fotoemisión sobre una superficie. Si el potencial de corte es 2[V],

a) Determine la función trabajo en [eV] b) La rapidez máxima de los fotoelectrones c) La longitud de onda umbral d) El potencial de corte cuando nm250

Solución:

eVJ,

eVJ,J,

,,Vc,m

s/msJ,

eVhcccy

eVheVh

41061

10461046

102310692106110207

103106266

191919

1919199

834

0

00

s/m,,,

meV

veVmv maxmax5

31

190

02

21 1048

1010992106122

nm,,

,chh

hycc

63101046

106266103

0

19

348

0000

000

7 8 6 5 4

(x1014Hz)

V0

0

/

85

VV,V,

,e

hcVheV'

1960

31010

25010

106110310626611

0

99

19

834

0000

Ejemplo 2: La función trabajo para el potasio es 2,25[eV]. Un haz de luz con una longitud de onda de 400[nm] tiene una intensidad de 10-9[W/m2]. Encuentre:

a) la energía cinética máxima delos fotoelectrones b) el número de electrones emitidos por m2 y ppor segundo por la superficie, suponiendo que

el 3% de los fotones incidentes son efectivos para la expulsión de electrones. Sol.:

segmelectrones

,n

segmJhcn

eV,J,,hceVmv

nm,,,,ch

max

27

348

119

211

2099

348

00

221

719

348

0

10610626610310310400103

85601071355210

4001010626610311

552105251061252

106266103

9.3. ELEMENTOS DE RELATIVIDAD. Una interpretación aceptable de los fenómenos atómicos debe ser consistente con las condiciones impuestas por la teoría de la relatividad a la formulación de las leyes físicas. Los dos postulados fundamentales de la teoría especial de la relatividad (Einstein, 1905) establecen que:

1. Las leyes de la física son invariantes en todos los sistemas inerciales, es decir, sistemas que se mueven con velocidad relativa constante.

2. En todo sistema inercial la velocidad de la luz en el vacío tiene un valor único, independiente de la dirección del haz y de la velocidad de la fuente emisora; en otras palabras, el espacio es isotrópico respecto de la velocidad de la luz.

Para satisfacer los postulados fundamentales de la relatividad, es necesario reemplazar las

transformaciones galileanas de las coordenadas por las transformaciones de Lorentz-Einstein. Dado dos sistemas inerciales S y S’, tal que S’ se mueve con velocidad relativa v en la

dirección x como muestra la figura. Si las coordenadas de un suceso en un sistema S están dadas por (x, y, z, t), entonces sus coordenadas en el sistema S’ serán:

2cvxtt

zzyy

vtxx

transformaciones de Lorentz-Einstein

siendo

2

2

1

1

cv

.

86

y las transformaciones inversas:

2

!!

!!

cvxtγt

vtxγx

9.3.1. SUMA DE VELOCIDADES: De las transformaciones inversas:

2

!!!

2!

!x

!!!

cvu1γdtdx

cvdtγdt

vuγdtvdtdxγdx

Dividiendo ambas ecuaciones:

2

!x

!x

x

cvu1

vuudtdx

Si v y u !x son pequeños, vuu !

xx y si la partícula es un pulso de luz; cu x Ejemplo: Dos cohetes A y B se aproximan a la tierra con la misma rapidez de 0,995c respecto a la tierra. Determine la velocidad de A respecto de B. Solución: Si el sistema no primado está en B y el sistema primado en la tierra, entonces:

2A/TT/B

T/BA/TA/BT/B

!xA/TxA/B

cvv1

vvvvv;uv;uv

Por lo que:

c

cc

ccv BA 999987099501

99509950

2

2 ,,

,,/

9.3.1.1. TRANSFORMACIÓN DE VELOCIDADES.

2x

x

2

x

22

cvu1

vu

dtdx

cv1

vdtdx

tdxdu

cvdxdttd

cvxtt

vdtdxxdvtxx

x

y

x y

B A Tierra

87

9.3.2. MASA EN REPOSO Y MASA EN MOVIMIENTO.

La masa en reposo m0 se define como: aFm lim

u 00

Para que se conserve la masa y el momentum es necesario definir una nueva masa, la masa en movimiento, que depende de la velocidad de la partícula:

0

2

20

v1m

c

mm

i) Si uc m ii) Si u = 0 m m0 9.3.3. EQUIVALENCIA MASA – ENERGIA. Aplicando la segunda ley de Newton, se tiene para la fuerza:

dtdmv

dtdvmmv

dtdF

La energía cinética que adquiere la partícula esta dada por: dmvmvdvdKFdSdK 2 pero,

dmvcmvdv

dvvcmvdmmm

22

2

20

1

21c

de modo que,

20

2m

m

222K

0

cmmcKdmdmvdmvcdK0

Así, se define una energía total 2mcE y una energía de la masa en reposo 2

00 cmE , y tal que: 2

02 cmKmc

9.4. EFECTO COMPTON Compton, estudiando la dispersión de rayos X en grafito encontró que la radiación dispersada tenía dos componentes; una de ellas con la misma longitud de onda original y la otra con un valor mayor de longitud de onda y cuyo valor dependía del ángulo de dispersión pero no del material del blanco.

88

Compton analizó el resultado como una colisión entre un fotón y un electrón. La energía de los fotones de los rayos X (del orden de los 20KeV) es mucho mayor que la energía necesaria para liberar un electrón de la placa por lo que puede considerarse al electrón como partícula libre y la colisión elástica. El momentum lineal que lleva una onda electromagnética se relaciona con la energía que transporta de acuerdo con

cEp

y como la energía de un fotón es h y c resulta:

hcE

cEh

chp

Por conservación de la energía:

e! Khchc

donde eK es la energía cinética del electrón que en su forma relativista es:

2

20

1

11

cv

dondecmK e

De la conservación del momentum lineal se obtiene:

senpsenh:ypara

oscposchh:xpara

e!

e!

0

donde vmmvpe 0 con 0m la masa del electrón en reposo

De la combinación de las ecuaciones de la energía y momentum se obtiene:

osccm

h!

1

0

La cantidad nm,cm

h 0024300

recibe el nombre de longitud

de onda de Compton. El corrimiento Compton para un ángulo de dispersión de º135 se muestra en la figura.

!

-e

!

=135º

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Ejemplo: Rayos X cuya longitud de onda es de 0,24[nm] se dispersan a través de un ángulo de 40º al pasar por un bloque de carbón. ¿Cuál es la longitud de onda de los rayos dispersados?¿Cuál es la energía cinética de retroceso del electrón? Sol.:

eV,J,,,,

,hcK

nm,ºosc,osccm

h

!

!!

5121020000570240

10240

1010310626611

000570401100024301

1799

834

9

0