RACIONALIZACIÓN DE RADICALES

Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.

Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el proceso es diferente.

Se pueden dar varios casos:

1. Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la misma raíz cuadrada.

Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción , multiplicaremos

numerador y denominador por

Otro ejemplo. Racionalizar

Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del denominador, tenemos:

Ahora basta multiplicar numerador y denominador por  para eliminar la raíz del denominador:

También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por

Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.

, como vemos da el mismo resultado.

2. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta, y viceversa.

Por ejemplo , multiplicamos numerador y denominador por

En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o sea una

expresión del tipo

Otro ejemplo: , ahora multiplicamos numerador y denominador por

3. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n, se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete una potencia de exponente n.

Por ejemplo:

Factorizamos el radicando del denominador: , y como , vamos a

multiplicar numerador y denominador por  para completar la potencia de 5

Otro ejemplo:

Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta multiplicar

por

Otro ejemplo más

Racionalizar el denominador de la fracción:

Multiplicamos numerador y denominador por

Por tanto podemos escribir que

Racionalización de monomios con índices mayores que 2

Ejemplo:

Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.

=

Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.

Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano de la raíz.

=

En este ejemplo, es , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz.

Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:

· =

Ahora, se procede al despeje de las raíces, en el ejemplo de índice 5:

=

Ahora, se procede a la simplificación, que sería el último paso de la operación:

=

Racionalización de binomios con índices mayores que 2

Cuando se tienen binomios con radical de índice 3, es preciso utilizar productos notables, en este caso la adición y sustracción de cubos, según sea el caso.

Adición de cubos:

Sustracción de cubos:

Ejemplo:

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el resultado que dé el producto notable del denominador.

= ... para este caso se aplica sustración de cubos como se muestra arriba.

Este es el resultado del producto notable, que irá en el denominador, que multiplicará tanto al numerador como al denominador:

· =

Ahora, se resuelven las potencias que están fuera del paréntesis:

Ahora, el denominador se transforma el resultado a producto notable:

=

Ya que los exponentes de las cantidades subradicales del denominador son iguales o múltiplos de 3, puede procederse al despeje del radical del denominador, que es el último paso de la racionalización:

=