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Bloque 12

Función Raíz Cuadrada: dominio y contradominio

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 12 Función raíz cuadrada: dominio y contradominio

Presentación Los propósitos centrales del presente bloque son:

(i) Identificar el dominio y contradominio de la función raíz

cuadrada.

(ii) Expresar como intervalos los conjuntos de valores que conforman el dominio y contradominio de la función raíz cuadrada de x .

(iii) Realizar traslaciones y reflexiones de gráficas de la función raíz cuadrada respecto a los ejes cartesianos.

Las actividades del bloque acuden a la visualización de gráficas y ecuaciones de la función raíz cuadrada para identificar su dominio y contradominio. La pantalla de la calculadora permite visualizar una gráfica y responder preguntas sobre los valores que se emplean para construirla, hasta cuáles valores es posible observar la gráfica, si es posible continuar la construcción de la gráfica más allá de lo que permite la pantalla y cómo es posible explicar sus respuestas a partir de la ecuación.

Se introduce la notación de intervalo para expresar el dominio y contradominio de una función, lo cual implica el desarrollo de nociones como intervalo e intervalo semiabierto.

En las hojas de trabajo se propone efectuar variaciones en los parámetros de las reglas de correspondencia de las funciones involucradas con la intención de reconocer las modificaciones que sufren las gráficas correspondientes. A partir del reconocimiento de la forma de la gráfica y los efectos de variar los parámetros de la regla de correspondencia se plantean actividades que piden la construcción de las ecuaciones a partir de sus gráficas. Si bien la calculadora es la que construye las gráficas, gradualmente el estudiante podrá anticipar lo que la calculadora desplegará, convirtiéndose en una herramienta que le permite validar lo que se tiene en mente acerca de una gráfica específica.

Nos proponemos que el uso de la calculadora favorezca los procesos de exploración, formulación y validación de conjeturas matemáticas.

Representación Algebraica

Representación Gráfica



HOJA DE TRABAJO 122 FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

Construye en la calculadora la gráfica de la función 𝑦 = √𝑥 − 4 y dibújala en plano de la derecha.

Observa la gráfica y responde. 1. ¿Qué valor le corresponde a y si x=4? _______________ 2. ¿Qué valor le corresponde a y si x=8? ______________ 3. Además de que has contestado los incisos (1) y (2) con la información que

te proporciona la gráfica, ¿qué cálculos puedes realizar para responder esas preguntas? __________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________

4. ¿Qué valor le corresponde a y si x=2? _______________ 5. ¿Qué valor le corresponde a y si x=-3? ______________ 6. Además de observar la gráfica, ¿qué cálculos puedes realizar para

responder los incisos (4) y (5)? _______________________________ _____________________________________________________________________________________________________________

7. En la gráfica es posible observar que para los valores menores que 4 no hay un valor para √𝑥 − 4 . ¿A qué se debe esto? Explica con detalle. _______________________________________________________ ______________________________________________________________________________________________________________

8. Usa la función raíz cuadrada para construir una gráfica en la calculadora en la que la gráfica no exista para valores para x menores que -3. Anota la ecuación que usaste.

y= _________________ Dibuja la gráfica en el plano de la derecha.

La función raíz cuadrada está definida para los números reales no negativos. Para determinar la raíz cuadrada de números negativos es necesario definir otro conjunto de números, los números complejos, en ese conjunto se introduce el número 𝑖, tal que 𝑖2 = −1 y por lo tanto √−1 = 𝑖.



HOJA DE TRABAJO 123 DOMINIO Y CONTRADOMINIO

1. Construye en la calculadora la

gráfica de la siguiente función:

𝑦 = √𝑥 Dibújala en el plano de la derecha.

Observa la gráfica que construiste en la calculadora y responde: 2. ¿Cuál es el valor mínimo de x en la función 𝑦 = √𝑥 ? ___________________

¿Cómo pudiste determinarlo a partir de la observación de la gráfica? ______ _________________________________________________________ ¿Cuál es el valor máximo de x en la función 𝑦 = √𝑥 ? __________________ ¿Cómo pudiste determinarlo a partir de la observación de la gráfica? ______ _________________________________________________________ ¿Por qué crees que la calculadora no asigna valores negativos a x cuando construye la gráfica de la función 𝑦 = √𝑥 ? _________________________ _________________________________________________________

Al conjunto de todos los valores que pueden asignarse a x en una función se le llama dominio de la función. En la gráfica de la derecha se ha resaltado el dominio de la función 𝑦 = √𝑥 , ese conjunto de valores incluye al cero y se prolonga hacia la derecha en forma infinita.

El dominio de 𝑦 = √𝑥 expresado como intervalo es: [0,∞). El corchete de la izquierda indica que el cero está contenido en el intervalo y que cero es el menor valor del intervalo. El paréntesis redondo indica que el intervalo es “abierto por la derecha”, es decir, que no tiene un valor extremo por la derecha. En la gráfica de la derecha está resltado el contradominio o rango de la función 𝑦 = √𝑥 (el conjunto de todos los valores posibles de y).

3. ¿Cuál es el valor máximo de y en la función 𝑦 = √𝑥? ___________________ 4. ¿Cuál es el valor mínimo de y? ___________________________________ 5. ¿Cuáles valores no son posibles para y? ____________________________ 6. ¿Cuáles son los posibles valores de y? _____________________________ 7. Expresa el contradominio como intervalo. __________________________



HOJA DE TRABAJO 124 TRASLACIONES VERTICALES

1. Localiza en la calculadora la tecla de raíz cuadrada y úsala para escribir la siguiente ecuación.

2. Construye la gráfica correspondiente y dibújala en el plano de la derecha.

3. Reproduce en la calculadora las siguientes gráficas y anota las ecuaciones que utilizaste. Señala en cada gráfica el dominio y contradominio de las funciones que representan y exprésalos como intervalos. a)

b)

y = _____________ y = _____________

_____________________________ _____________________________ c)

d)

y = __________ y = __________

_____________________________ _____________________________

4. Construye una gráfica que pase por encima de las gráficas de la derecha, otra que pase por debajo y una que pase entre las dos. Anota sus ecuaciones.

____________y =

____________y =

____________y =



HOJA DE TRABAJO 125 SIMETRÍA

1. Construye en la calculadora la gráfica de la siguiente función.

¿Qué modificación sufrió la gráfica con respecto a las gráficas de la hoja anterior?

____________________________________________________________________________________________________________________

2. ¿Cuál es el dominio y contradominio de ? __________________ ______________________ Justifica tu respuesta. __________________ __________________________________________________________

3. Construye en la calculadora las gráficas que se muestran a continuación y

anota las ecuaciones que utilizaste. a)

b)

y = __________ y = _________ y = _________

c)

d)

y = _________ y = _________ y = __________

y = _________ y = _________ y = _________ y = _________ y = _________ y = _________



HOJA DE TRABAJO 126 ALGO MÁS SOBRE SIMETRÍA

1. La gráfica de la izquierda corresponde a la función

. Haz esa gráfica en la calculadora.

2. ¿Cuál es el dominio y el contradominio de la función 1+−= xy ? _______ _________________________________________________________ Justifica tu respuesta ________________________________________ _________________________________________________________

3. Reproduce las siguientes gráficas en la calculadora y anota las ecuaciones que usaste. Señala en cada gráfica el dominio y contradominio de la función que representan y exprésalos como intervalos. a)

b)

c)

y = _________ y = _________ y = _________

_____________________________ _____________________________ 4. Escribe la ecuación que corresponde

a la gráfica de la derecha.

y= _______________

5. Reproduce las siguientes gráficas en la calculadora y anota las ecuaciones que uses.

y = _________ y = _________ y = _________

y = _________



HOJA DE TRABAJO 127 TRASLACIONES HORIZONTALES

1. Observa las ecuaciones de la derecha e identifica a qué gráfica corresponde

cada una. Comprueba tus respuestas en la calculadora.

)x(y 2+−−=

)x(y 3+=

)x(y 3−−=

)x(y 3−−=

)x(y 1+−=

)x(y 2+=

y=_____________ y=_____________

y=_____________ y=_____________

Y=_____________ y=_____________

2. ¿Cuál es el dominio y el contradominio de la función )x(y 3+= ? ______ _________________________________________________________ Justifica tu respuesta. ________________________________________ _________________________________________________________

3. Observa las figuras que forman las gráficas que

se muestran a la derecha. Forma otra figura como ésas, la condición es que quede entre de las dos figuras originales. Anota las ecuaciones que uses para completar esta tarea. __________________________________ __________________________________ __________________________________



HOJA DE TRABAJO 128 MÁS TRASLACIONES

1. Agrega lo que sea necesario a las

siguientes dos funciones de manera que produzcas la figura de la derecha.

2. Modifica la siguiente función las

veces que sea necesario para obtener la figura de la derecha.

____)1( −−−= xy

3. Reproduce en la calculadora las siguientes figuras y anota las funciones que utilizaste.

4. Construye en la calculadora las gráficas de funciones raíz cuadrada cuyo

dominio y contradominio sea el que se indica en cada caso. Anota las ecuaciones que usaste y dibuja la gráfica.

Dominio: [4,∞) Contradominio: [1,∞)

Dominio: (−∞,−3] Contradominio: (−∞,−2)



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. En la presentación de este bloque se hace referencia a la “regla de correspondencia de una función”. Indaga en fuentes bibliográficas qué es la regla de correspondencia de una función. Compara los resultados de tu indagación con los de tus compañeros y discútelos con tu profesor.

2. A partir de la revisión de todas las hojas de trabajo del bloque, elabora una descripción de la regla de correspondencia de la función raíz cuadrada, sus características (forma de su gráfica, dominio, contradominio, crecimiento, comportamientos locales, globales, etc.). Presenta tu trabajo a tus compañeros, discútelo y realiza los ajustes necesarios.

3. Realiza una investigación en diferentes fuentes matemáticas acerca de la función raíz cuadrada. Prepara una presentación y exponla en tu grupo.

4. Investiga acerca de los siguientes términos matemáticos: a. Intervalo. b. Intervalo abierto. c. Intervalo cerrado. d. Intervalo semiabierto. e. La noción de infinito y la notación que se emplea para expresarlo.

5. Revisa en equipo lo que investigaste acerca de los términos matemáticos del inciso (3).

6. Discute en equipo la pertinencia del uso de la calculadora para el estudio de la función raíz cuadrada y sus representaciones gráfica y algebraica.

7. Elabora un breve ensayo de la contribución de este bloque en tu formación como futuro docente y las cualidades y limitaciones de estas hojas de trabajo como recurso didáctico. Compártelo con tus compañeros.

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