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Bloque 11

Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 11 Resolución gráfica de ecuaciones lineales y cuadráticas

El propósito de este bloque es el estudio de algunos métodos

gráficos para resolver ecuaciones de primer y segundo grado. Las actividades se basan en la exploración visual de las gráficas

de funciones como punto de partida para identificar estrategias que permiten resolver ecuaciones. Estas actividades articulan el estudio de la resolución de ecuaciones con la representación gráfica de funciones y fortalecen los conocimientos algebraicos de los estudiantes en as-pectos importantes, como la lectura de los componentes de una ecua-ción y el concepto de solución de una ecuación.

La articulación de las representaciones algebraica y gráfica de las funciones lineales y cuadráticas favorece que los estudiantes cen-tren su atención en la información que proporcionan ciertos puntos de las gráficas, como el significado de las coordenadas de los puntos donde se cruzan dos gráficas y su relación con la solución de una ecuación, o los puntos en que la gráfica de una función cuadrática in-tercepta al eje de las abscisas.

El uso del ambiente gráfico de la calculadora desempeña un pa-pel fundamental en la propuesta de este bloque. La producción casi instantánea de gráficas y la herramienta “Trace” para recorrerlas y desplegar las coordenadas de los puntos por los que pasa, favorecen la lectura e interpretación de gráficas, coordenadas de puntos especí-ficos y su relación con la resolución de ecuaciones.

A lo largo de las hojas de trabajo se promueve el desarrollo de competencias acordes con las sugeridas para la Educación Básica.



HOJA DE TRABAJO 115 RESOLUCIÓN GRÁFICA DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Resuelve la siguiente ecuación y escribe en el recuadro el procedimiento que utili-zaste.

432 =+x

Solución: _________________

1. Construye en la calculadora la gráfica de las siguientes ecuaciones.

32 += xy 4=y

2. Utiliza la herramienta Trace de la calculadora para recorrer una de las gráfi-cas que construiste y detén el cursor en el punto en el que ambas gráficas se cruzan, como se muestra en la siguiente figura.

Como puedes observar, al utilizar Trace, se despliegan las coordena-das de los puntos por donde el cur-sor recorre la gráfica.

3. Anota las coordenadas del punto en el que se cruzan las gráficas.

( , )

4. ¿Observas alguna relación entre las coordenadas del punto de intersección y la solución de la ecuación 432 =+x ? _____________________________ _________________________________________________________

_________________________________________________________ 5. ¿Qué significado tiene el valor de y en la ecuación 432 =+x ?

_________________________________________________________

6. ¿Existe algún otro punto en donde las gráficas se crucen? ______________

¿A qué consideras que se debe esto? ______________________________

_________________________________________________________

7. Encuentra la solución de la ecuación 734 =−x utilizando el método gráfico que se mostró en los incisos anteriores. Anota las ecuaciones que usaste y el punto de intersección de sus gráficas.

y = ______________ Y = ______________ ( , )

Solución: ______________________



HOJA DE TRABAJO 116

PUNTOS DONDE SE CORTAN DOS GRÁFICAS

1. Resuelve la siguiente ecuación 223 −=+ xx construyendo en la calculadora las gráficas correspondientes. Anota las ecuaciones que utilizaste.

_______________y______________y ==

2. Traza las gráficas en el siguiente plano cartesiano.

3. Anota las coordenadas del punto en el que se intersectan las gráficas.

( , )

4. Observa las coordenadas del punto de intersección, ¿qué significado tiene el valor de x en la ecuación 223 −=+ xx ? ________________________ _________________________________________________________

5. ¿Qué significado tiene el valor de y? _____________________________ _________________________________________________________

6. Ahora resuelve las siguientes ecuaciones construyendo las gráficas en tu cal-culadora y trázalas en los planos cartesianos correspondientes.

a) 4150 +−=+ xx.

Solución: ______________________

b) xx2

43

23

−=+

Solución: ______________________

c) 074 =−x

Solución:______________________



HOJA DE TRABAJO 117 ¿CUÁL SOLUCIÓN?

1. Resuelve la siguiente ecuación construyendo las gráficas en tu calculadora.

21

49

+=+ xx

Solución: ______________________ 2. Observa las gráficas que construiste, ¿a qué se debe el comportamiento de

las gráficas que construiste en el inciso (1)? ________________________ _________________________________________________________

3. Trata de encontrar una explicación a la solución de la ecuación del inciso (1) sin recurrir a las gráficas. _____________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________

4. Inventa dos ecuaciones cuyas gráficas se comporten como las del inciso (1). Comprueba tu respuesta en la calculadora.

5. En cada uno de los siguientes casos, encuentra una ecuación que esté asociada a las siguientes gráficas y comprueba en la calculadora tus respuestas.

a)

b)

6. ¿Cuántas ecuaciones puedes encontrar de manera que su solución corresponda a las coordenadas del punto (2,4)? _____________________ Explica tu respuesta y muestra algunos ejemplos. _____________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 118 ¿EN CUÁNTOS PUNTOS SE INTERSECTAN ESTAS GRÁFICAS?

1. Resuelve la siguiente ecuación construyendo las gráficas convenientes en la calculadora y dibújalas en el plano.

42 =x

Solución: ______________________

2. ¿En cuántos puntos se intersectan las gráficas que construiste? ______ 3. Anota las coordenadas de los puntos de intersección entre las gráficas.

Intersección 1 Intersección 2 ( , ) ( , )

4. ¿Qué significado tiene el valor de x en la intersección 1, para la ecuación

42 =x ? __________________________________________________ ¿Y el de y? _________________________________________________

5. ¿Qué significado tiene el valor de x en la intersección 2, para la ecuación 42 =x ? __________________________________________________

6. Construye en la calculadora las gráficas que sea necesario para resolver las

siguientes ecuaciones y trázalas en el plano cartesiano correspondiente.

a) 272 2 −=−x

Solución: ________________________

b) 23 22 += xx

Solución: ________________________

7. Inventa una ecuación cuyas soluciones sean x=3 y x=-3. Usa el método gráfico

para comprobar. y = ______________

Explica cómo construiste la ecuación ______________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 119 ¿QUÉ SOLUCIÓN TIENE?

1. Resuelve la siguiente ecuación cons-truyendo en la calculadora las gráfi-cas que sean necesarias y dibújalas en el plano cartesiano de la derecha.

24 2 −=− )x(

Solución: ______________________

2. ¿Cuántos puntos de intersección tienen las gráficas que construiste? ______ 3. Sin recurrir a observar las gráficas que construiste, encuentra una explica-

ción a la solución que obtuviste para la ecuación 24 2 −=− )x( _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

4. Encuentra la solución para la ecuación 21 x=−

Solución: _______________________ 5. Explica a qué se debe la solución que encontraste. ____________________

__________________________________________________________ __________________________________________________________

6. Escribe otras dos ecuaciones cuya solución sea como las de los incisos 1 y 4, anótalas, comprueba en la calculadora y dibujas sus gráficas.

a) _______________________

b) _______________________



HOJA DE TRABAJO 120 ¿SÓLO UNA SOLUCIÓN?

1. Construye una ecuación que se re-

suelva usando las gráficas que se muestran en la pantalla de la dere-cha. Comprueba en la calculadora que tu ecuación sea correcta. La escala en ambos ejes es 1.

2. ¿En cuántos puntos se intersectan las gráficas del inciso (1)? ____________

3. ¿Cuál es la solución de la ecuación? _______________________________

4. Sin recurrir a las gráficas formula un explicación a la solución que obtuviste

para la ecuación que propusiste. _________________________________

_________________________________________________________

_________________________________________________________

5. Escribe una ecuación que se resuelva usando las gráficas que aparecen en las siguientes pantallas, anota su solución y comprueba en tu calculadora tus res-puestas. La escala en los ejes cartesianos es 1.

a) Ecuación: _________________

Solución: _________________

b)

Ecuación: _________________ Solución: _________________

c)

Ecuación: _________________ Solución: _________________



HOJA DE TRABAJO 121 PUNTOS DONDE SE INTERSECTAN DOS GRÁFICAS

1. Resuelve con el método gráfico las siguientes ecuaciones y dibuja las gráficas en el plano.

a) 23 2 += xx

Solución: ______________________

b) 12321 2 +−=− xx

Solución: ______________________

c) 073 =+ ).x(x

Solución: ______________________

2. Construye una ecuación que se resuelva con las gráficas que se muestran en

cada una de las siguientes pantallas. Anota la solución y comprueba tus res-puestas en la calculadora.

a)

Ecuación: _________________

Solución: _________________

b)

Ecuación: _________________

Solución: _________________



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Indaga en fuentes bibliográficas cuáles son los métodos que se emplean para resolver ecuaciones de primero y segundo grado con una incógnita. Haz un resumen en equipo y preséntalo a tu grupo para su discusión.

2. Compara las estrategias para resolver ecuaciones de primero y segundo grado que experimentaste en este bloque de actividades con los métodos algebraicos convencionales (como los que encontraste al responder el in-ciso (1)). Discute sus ventajas y desventajas en términos de los aprendiza-jes de los estudiantes.

3. ¿Qué relaciones existen entre las representaciones gráfica y algebraica de una función? ¿Cómo contribuye la familiaridad con estas relaciones para el trabajo propuesto en este bloque? Redacta un ensayo en equipo y preséntalo a tu grupo para su discusión.

4. Discute con tus compañeros la pertinencia del uso de la calculadora en ac-tividades como las de este bloque. Escribe tus conclusiones.

5. Construye una ecuación de primer grado que tenga: a. Una solución positiva. b. Una solución negativa. c. Ninguna solución.

Usa la calculadora para comprobar en forma gráfica tus respuestas. 6. ¿Qué características tiene la gráfica de cualquier ecuación de primer gra-

do que no tiene solución? Discute tu respuesta con tus compañeros y tu profesor.

7. Indaga en fuentes bibliográficas qué significa que una ecuación de segun-do grado tenga soluciones reales.

8. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga: a. Dos soluciones positivas. b. Dos soluciones negativas. c. Una solución positiva y una negativa. d. Sólo una solución y positiva. e. Sólo una solución y negativa. f. Ninguna solución real.

Usa la calculadora para comprobar en forma gráfica tus respuestas. 9. Compara con tus compañeros el trabajo realizado en los dos incisos ante-

riores y las estrategias usadas por cada quien. Redacta tus conclusiones al respecto.

10. Indaga en fuentes bibliográficas qué son los números complejos. Haz un resumen en equipo y preséntalo a tu grupo para su discusión.

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