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Bloque 6

El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

Desarrollo del pensamiento algebraico

Tenoch Cedillo y Valentín Cruz

Bloque 6

El lenguaje del álgebra en la resolución de problemas y formulación de conjeturas

El propósito esencial de este bloque de actividades es extender el uso

del código algebraico al planteamiento y resolución de problemas que involu-cran los conceptos de área, perímetro y porcentaje y a la formulación de con-jeturas sobre situaciones más abstractas relativas a propiedades del sistema de numeración decimal y la paridad de los números enteros.

En la primera sección de actividades se acude al apoyo visual que pro-

porcionan los patrones geométricos para propiciar el desarrollo de habilidades para identificar patrones numéricos más sofisticados. De la misma manera, se abordan situaciones que involucran los conceptos de área y perímetro para in-troducir relaciones precio-costo que requieren la producción de expresiones al-gebraicas donde es necesario el uso de paréntesis como signos de agrupación.

En la tercera sección se abordan problemas que involucran el concepto

de porcentaje, también en estos casos es necesario emplear paréntesis como signos de agrupación. El planteamiento y resolución de los problemas propues-tos en esta sección y en la anterior ya no descansa en el reconocimiento de un patrón numérico, sino en el establecimiento de relaciones entre los datos que se proporcionan y su representación mediante expresiones algebraicas. El elemento que se mantiene presente es la noción de función (programa) que se ha venido cultivando en los bloques 1-5.

En la cuarta sección se plantean problemas que se ubican en un con-

texto estrictamente matemático, estos problemas involucran la representación algebraica de las relaciones entre los dígitos de tipos específicos de números en el contexto del sistema de numeración decimal. La sección se cierra con problemas que invitan a formular conjeturas sobre la paridad de los números enteros.

Como en los bloques anteriores, te invitamos a que realices estas acti-

vidades reflexionando sistemáticamente sobre el tipo de aprendizajes y compe-tencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al resolverlas y también sobre los momentos en que puedan tener dificultades y las estrategias didácticas para ayudarles a superarlas.



HOJA DE TRABAJO 47 PATRONES GEOMÉTRICOS 1

Observa las siguientes figuras.

1. En el espacio de abajo dibuja las dos figuras que siguen en esa sucesión.

2. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para

construir la figura que va en el lugar número 17? _____________________

3. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar número 100? ____________________

Nota que la figura 1 tiene un cuadrado, que la figura 2 tiene tres cuadrados, que la figura 3 tiene cinco cuadrados, etc. Con esos datos puedes hacer una tabla que te ayudaría a con-testar esta pregunta. 4. Explica cómo razonaste para responder las preguntas 2 y 3. ________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________ 5. ¿Puedes programar tu calculadora para completar la siguiente tabla?

Lugar que ocupa la figura en la sucesión

Número de cuadrados que se necesitan

48 75 123

351 411 507

Escribe sobre la línea el programa que hiciste.




Observa la siguiente sucesión de figuras.

... 1. En el espacio de abajo dibuja las dos figuras que siguen en esa sucesión.


construir la figura que va en el lugar número 9? _______________________

3. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir la figura que va en el lugar número 17? ____________________

4. Explica cómo razonaste para responder las preguntas 2 y 3. ________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

5. ¿Puedes crear un programa para completar la siguiente tabla?


Número de cuadrados que se necesitan

48 75

123 427 469 601





Observa la siguiente sucesión de figuras.

1. En el espacio de abajo dibuja las dos figuras que siguen en esa sucesión.


construir el marco del cuadrado gris en la figura que va en el lugar número 27? _____________________________

3. ¿Cuántos cuadrados se necesitan para construir el marco del cuadra-do gris en la figura que va en el lu-gar número 40? _______________

4. Explica cómo razonaste para responder las preguntas 2 y 3. ________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

________________________________________________________________________

5. ¿Puedes programar tu calculadora para completar la siguiente tabla?


Número de cuadrados que se usan en el marco

48 75

704 772 840




HOJA DE TRABAJO 50 VENTANAS

En la sala de escultura de un museo de Arte Moderno las ventanas tienen las siguientes características: Las ventanas tienen distintas medidas, pero en todas la altura mide el triple de lo que mide el ancho. 1. ¿Puedes completar la siguiente tabla? Ancho de la ventana 0.75m 0.86 1.28 Altura de la ventana 3.51 4.23 2. Los marcos de las ventanas están hechos con madera cuyo precio por metro es

$53.00. Contesta lo siguiente usando esa información. a) ¿Cuál es el costo del marco de una ventana que mide 1.5 metros de ancho?

___________________________________________________________________

b) ¿Qué operaciones hiciste para calcular ese costo?

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________

3. ¿Puedes hacer un programa que te permita calcular el costo del marco de cualquiera de

las ventanas de esa sala del museo? Escribe tu programa sobre la línea de abajo.

_____________________________________

4. Explica con claridad qué representa la letra que usaste en tu programa en términos de los datos del problema. ______________________________________________

___________________________________________________________________

___________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 51 ALGO MÁS SOBRE VENTANAS

En la sala de pintura del Museo de Arte Moderno las ventanas tienen las siguientes carac-terísticas: Las ventanas tienen distintas medidas, pero en todas su altura mide 50 cm menos que el triple de lo que mide el ancho.

1. ¿Puedes completar la siguiente tabla?

Ancho 0.30m 0.45m 1.30m Altura 4.45m 6.55m

2. Los marcos de las ventanas están hechos de madera cuyo precio es $ 62.00 por me-

tro. a) ¿Cuál es el costo del marco de una ventana que mide 1.3 metros de ancho? ________ b) ¿Qué operaciones hiciste para calcular ese costo? ____________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

3. ¿Puedes construir un programa para obtener el costo del marco de cualquiera de las

ventanas de esa sala del museo? Escribe aquí tu programa y úsalo para completar la si-guiente tabla.

Ancho de la ventana 0.35m 0.65m 0.84m 1.20m

Costo del marco $334

4. Explica cómo razonaste para construir tu programa. _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 52 MAQUETAS

En la sala de arquitectura del Museo de Arte Moderno se está presentando una exposición de maquetas con diferentes diseños para la construcción de un nuevo aeropuerto. Las ma-quetas están colocadas en mesas con las siguientes características: El largo de cada mesa mide un metro más que el doble del ancho. En la figura de la derecha se muestran las cubiertas de algunas mesas. largo

ancho

1. Completa la siguiente tabla.

2. La madera con la que está construida la

cubierta de las mesas cuesta $155.00 por metro cuadrado. ¿Puedes programar tu calculadora para obtener el costo de la cubierta de esas mesas? Escribe tu programa en la línea de abajo ______________________________

Ancho de la mesa Largo de la mesa 1.40 metros 2.55 metros 3.45 metros

2.75 metros 6.5 metros 4.4 metros

3. ¿Puedes hacer un programa que te

permita calcular el costo del marco para cualquiera de las ventanas de esa sala del museo? Escribe tu pro-grama en el cuadro de la derecha.

4. Para construir tu programa utilizaste una letra. Explica con detalle qué representa esa

letra en términos de los datos del problema. _______________________________ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 53 REBAJAS

En una tienda de libros y discos están haciendo la siguiente oferta

15% DE DESCUENTO EN TODA LA MERCANCÍA El descuento se aplica sobre el precio marcado en la etiqueta.

1. Completa la siguiente tabla.

Precio en la etiqueta

Cantidad que se descuenta

Precio de oferta

$ 34.00 $ 18.75

$ 126.80 $ 28.50

$ 150.00 $ 72.35 $ 29.40

2. ¿Puedes construir un programa que haga lo siguiente?

Si le das el precio de etiqueta te da por resultado el precio de oferta.

Escribe en el cuadro de la derecha el pro-grama que hiciste.

3. Usa el programa que hiciste para completar la siguiente tabla.

Precio en la etiqueta Precio de oferta $ 84.00 $ 28.75 $ 226.80 $ 29.60 $ 140.00

$ 142.80 $ 144.50

4. En el programa que hiciste usaste una letra. Explica con detalle qué significa esa letra

en términos de los datos del problema. ___________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 54 ¡DESCUENTO GENERAL!

En una papelería están haciendo la siguiente oferta.

18% DE DESCUENTO EN TODA LA MERCANCÍA

El descuento se aplica sobre el precio marcado en la etiqueta.

1. De acuerdo con esa información completa la siguiente tabla.

Precio en la etiqueta

Cantidad que se descuenta

Precio de oferta

$14.40 $17.10 $ 23.40 $ 45.00 $26.10 $ 30.60 $ 46.80

2. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente: Si el valor de entrada es la can-tidad que se descuenta, el valor de salida debe ser el precio de oferta. Escribe aquí tu programa: ________________________________________________

3. Programa tu calculadora para que haga lo siguiente: Si le das al programa la cantidad que se descuenta, te debe dar como resultado el precio marcado en la etiqueta. Escribe tu programa: ______________________________________________

4. Usa los programas que hiciste para completar las siguientes tablas.

a) Cantidad que se descuenta

$ 15.40 $ 18.75 $ 8.90 $ 10.00 $ 14.35

Precio de oferta

b) Cantidad que se

descuenta $ 11.70 $6.75 $8.90 $8.40 $9.60

Precio marcado en la etiqueta

5. Para contestar la pregunta (2) construiste un programa. ¿Qué significa la letra que usaste en tu programa en términos de los datos del problema? _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________



HOJA DE TRABAJO 55 BIENES RAÍCES

Una empresa de bienes raíces está vendien-do terrenos con las siguientes medidas: El fondo del terreno mide 30 metros más

que el doble de lo que mide el frente.

Frente

Fondo

De acuerdo con esos datos contesta lo siguiente.

1. El señor Pérez tuvo que usar 132 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide de frente y cuánto de fondo el terreno que compró?

________________________________________________________________

2. La señora Gómez tuvo que usar 168 metros de tela de alambre para cercar el terreno que compró. ¿Cuánto mide de frente y cuánto de fondo el terreno que compró?

________________________________________________________________

3. La señora Rodríguez tuvo que usar 156 metros de tela de alambre para cercar el te-

rreno que compró. ¿Cuánto mide de frente y cuánto de fondo el terreno que compró?

_______________________________________________________________

4. El señor González compró un terreno que mide 76 metros de frente. ¿Cuántos me-tros de tela de alambre debe usar para cercar su terreno?

________________________________________________________________

5. Explica cómo razonaste para dar respuesta a las preguntas anteriores. _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6. ¿Programaste tu calculadora para resolver los problemas anteriores? Si lo hiciste, escribe sobre la línea el programa que usaste.

_______________________________________



HOJA DE TRABAJO 56 ¿SI MODIFICO EL PERÍMETRO CAMBIA EL ÁREA?

Una persona tiene un terreno que está junto a un arroyo. Compró 100 metros de tela de alambre para cercar la parte de su terreno que no colinda con el arroyo.

Esa persona quiere aprovechar que el arroyo le sirve para limitar un lado de su terreno y desea usar sus 100 metros de cerca de manera que le quede un terreno rectangular con la mayor área posible. Eso depende de la medida de sus lados. 1. Completa la tabla que está a la derecha para que observes eso.

Lado largo Lado corto Área del te-rreno

50 30

60 10

70 8

65 58

55.5 54.8 53.4 50.2 50.15

2. ¿Puedes programar tu calculadora para completar más rápidamente esa tabla? Si pudis-te hacerlo escribe tu programa en la línea de abajo

___________________________________ 3. ¿Cuáles son las medidas del lado largo y del lado corto que debe te-ner el terreno para que su área sea la mayor posible?

Lado largo = _______________ m

Lado corto = _______________ m

Área = _________________ m2. 4) ¿Qué significa la letra que usaste en tu programa en términos de los datos del proble-

ma? _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

ARROYO

TERRENO



HOJA DE TRABAJO 57 NUMEROS PALÍNDROMOS

Observa los siguientes números.

131 1441 47874 1537351 327898723

¿Qué característica especial tienen esos números? ______________________________

_______________________________________________________________________

A ese tipo de números se les llama números palíndromos. Un número palíndromo puede te-ner tres dígitos, o cuatro dígitos, o los que uno quiera.

1. Completa la siguiente tabla con números palíndromos que contengan el número de dígi-tos que se indica en cada caso.

NÚMEROS PALÍNDROMOS Tres dígitos

Cuatro dígitos Cinco dígitos Seis dígitos

2. ¿Puedes programar tu calculadora de manera que si le das dos dígitos te dé por resul-tado un palíndromo de tres dígitos? Para hacer esto construye un programa en el que incluyas uses dos letras.

Escribe tu programa sobre la línea.

________________________________________________ 3. ¿Puedes programar tu calculadora de

manera que si le das dos dígitos te dé por resultado un palíndromo de cuatro dígitos? Escribe tu programa en el es-pacio de la derecha

4. ¿Puedes programar tu calculadora de

manera que si le das tres dígitos te dé por resultado un palíndromo de seis dígitos? Escribe tu programa en el es-pacio de la derecha.



HOJA DE TRABAJO 58 NÚMEROS CONSECUTIVOS

Observa los siguientes números.

678 123 789 234 1. ¿Qué característica especial tienen en esos números? __________________________

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

2. Anota en los cuadros de abajo otros dos números que tengan la misma característica.

3. ¿Puedes programar tu calculadora de manera que si le das sólo un dígito, te dé por re-

sultado un número de tres dígitos como los de los ejemplos anteriores?

Escribe tu programa en el espacio de la derecha.

4. ¿Puedes programar tu calculadora para que produzca números como los que se mues-

tran abajo usando como valor de entrada un número de un dígito?

1234 5678 4567 2345 3456

Escribe tu programa sobre la línea.

________________________________________ 5. Explica tan claramente como te sea posible cómo razonaste para construir tu progra-

ma. _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

6. ¿Puedes hacer un programa que produzca números como los siguientes?

135 246 357 579 468

Anota aquí tu programa: _______________________________________



HOJA DE TRABAJO 59 NÚMEROS PARES E IMPARES

Se les llama números consecutivos a los números enteros que van uno enseguida del otro, como el 3 y el 4, el 11 y el 12, el 125 y el 126, etc. 1. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números

consecutivos el resultado es un número impar. ¿Estás de acuerdo con él? _______ ¿Porqué? __________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________

2. Haz un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, el valor

de salida sea la suma de ese número y su consecutivo. Anota tu programa en el es-pacio de abajo.

3. Una estudiante dice que cada vez que suma tres números

consecutivos el resultado siempre es un múltiplo de tres. ¿Estás de acuerdo con él? ______ ¿Porqué? _______________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________ ___________________________________________________

3. ¿Puedes hacer un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero,

te dé por resultado la suma de ese número y los dos números que le siguen en la suce-sión numérica? Si pudiste hacerlo escríbelo en el cuadro de abajo.



HOJA DE TRABAJO 60 CONJETURAS

1. Una estudiante dice que cada vez que multiplica dos

números consecutivos el resultado es un número impar.

¿Estás de acuerdo con ella? _________ ¿Porqué? ____ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________

2. Construye un programa de manera que, si el valor de entrada es un número entero, el

valor de salida sea el producto de ese número y su consecutivo. Escribe ese programa en el cuadro de abajo.

3. Un estudiante dice que cada vez que suma dos números

impares el resultado es un número par. ¿Estás de acuerdo con él? ____ ¿Porqué? __________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________ _______________________________________________

4. ¿Puedes hacer un programa de manera que, si el valor de entrada es cualquier número

entero, el valor de salida siempre sea un número impar? Si pudiste hacerlo escríbelo en el siguiente cuadro.



HOJA DE TRABAJO 61 UN JUEGO MATEMÁTICO

1. Piensa en un número entero que esté entre 1 y 10, a ese

número súmale 10 y anota el resultado. Ahora réstale a 10 el número que pensaste y anota el resultado. Suma los dos resultados que anotaste, ¿qué resultado final obtuviste? __________________________________________

2. Un estudiante dice que siempre que haga esto va a obtener 20. ¿Estás de acuerdo? ________________

3. Da un ejemplo que justifique tu respuesta. _________ ___________________________________________ ___________________________________________ ___________________________________________

4. ¿Puedes hacer un programa que represente ese juego con números? Escríbelo en el cuadro de abajo.

5. En el programa que hiciste usaste una letra, ¿qué representa esa letra en términos de los elementos de ese juego? Explícalo de manera que cualquiera de tus compañeros te pueda entender. _______________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

6. Una estudiante dice que siempre va dar lo mismo, no importa que empieces con un número mayor que 10. ¿Estás de acuerdo? __________ Da dos ejemplos que justifi-quen tu respuesta ______________________________________________________ _____________________________________________________________________

7. Otro alumno dice que puedes empezar con cualquier número, ya sea negativo, positivo, e incluso con números decimales, y que siempre va dar lo mismo. ¿Estás de acuerdo con él? ____________________ Da tres ejemplos que justifiquen tu respuesta _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________ 7. Un estudiante que dice que a2+a2 da los mismos valores que (a+b)2. ¿Estás de acuerdo

con él? Da tres ejemplos que justifiquen tu respuesta. _________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________



Actividades que se sugieren para el futuro docente

1. Elabora una matriz que permita ver en cuáles de los bloques de actividades 1-6 se aborda el desarrollo de las habilidades y nociones matemáticas que a continuación se presentan e indica en cada celda de la matriz el nivel en que se abordan: (i) in-troductorio, (ii) de fortalecimiento o (iii) de aplicación.

- Reconocimiento de patrones numéricos. - Expresión algebraica de la regla que gobierna el comportamien-

to de un patrón numérico. - Noción de función lineal. - Equivalencia de expresiones algebraicas. - Noción de función inversa de una función lineal. - Lectura de expresiones algebraicas que contienen paréntesis. - Producción de expresiones algebraicas que contienen parénte-

sis. - Simplificación de términos semejantes. - Noción de ecuación. - Uso de funciones lineales para plantear y resolver problemas. - Uso de números con signo en el reconocimiento de patrones

numéricos y/o resolución de problemas - Uso de números fraccionarios en el reconocimiento de patrones

numéricos y/o resolución de problemas.

2. Indaga en las fuentes que consideres pertinentes a qué se le llama “paridad de los números enteros” y qué aplicaciones tiene esta noción en la resolución de proble-mas. Discute lo que encontraste con tus compañeros y tu profesor.

3. Redacta un ensayo de una cuartilla donde discutas el tipo de aprendizajes y com-petencias matemáticas que pueden desarrollar los alumnos de educación básica al realizar este tipo de actividades.

4. Redacta un breve ensayo donde reflexiones sobre el tipo de competencias docen-

tes que desarrollaste al realizar las actividades de este bloque

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