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DISEÑO ROBUSTO Y SISTEMAS DE CONTROL.
Tesis
QUE PARA OBTENER EL GRADO ACADEMICO DE
Doctor en Ciencia y Tecnología
En la Especialidad de Ingeniería
Industrial y de Manufactura
PRESENTA
Armando Mares Castro
DIRECTOR DE TESIS
DR. JORGE DOMÍNGUEZ DOMÍNGUEZ
León, Guanajuato, México, Octubre del 2015
RESUMEN
A nivel industrial existen muchos procesos en los cuales existen factores denominados
“factores de ruido”, los cuales son difíciles o muy costosos de controlar. Adicionalmente
se tienen los “factores de control”, los cuales pueden fijarse a ciertos niveles según lo
requiera el proceso. La metodología del Diseño Robusto de Parámetros (DRP) de
Taguchi se presenta como una herramienta estadística y de ingeniería para la mejora
de ésta clase de procesos y/ o sistemas.
Es posible optimizar un sistema mediante la obtención de la mejor combinación de
niveles en los factores de control a través de técnicas estadísticas y de optimización. El
objetivo es la determinación de la respuesta de calidad que presenta menor variación
alrededor de su media; a esta respuesta se le denomina “respuesta robusta”, ya que es
aquella que presenta menor sensibilidad al efecto de los factores de ruido.
Dentro de la metodología del DRP se tiene el análisis de sistemas con características
dinámicas, en el cual se considera un elemento denominado “factor señal”. La
respuesta del sistema varía en la medida que se cambian sus niveles. Un caso de
análisis particular dentro de ésta configuración se presenta cuando se desea agregar al
modelo un sistema de control en línea -el cual debe corregir de forma continua los
valores en cierta variable que actúa en el modelo-. El uso del sistema de control
garantiza una reducción en la variación. Debe tomarse en cuenta que el uso de un
sistema de control implica una inversión adicional la cual debe justificarse mediante
estudios de costo- beneficio.
El estado del arte del DRP contiene en su gran mayoría el uso de respuestas de calidad
de tipo continuo. Cuando se desea analizar una respuesta del tipo pasa- no pasa
(discreto binomial). Particularmente en la reducción del porcentaje de defectuosos en
los lotes de producción. En ésta clase de análisis surgen algunas dificultades de tipo
estadístico y matemático, ya que se requiere el cumplimiento de los supuestos clásicos
para modelos experimentales y de regresión.
En ésta investigación se propone un procedimiento de análisis para sistemas -o
procesos- en los cuales existe un elemento de control y la variable de respuesta es de
tipo discreto. El caso de análisis se desarrolla en un proceso de fabricación de suela de
Poliuretano. Además se presenta un caso de análisis para variable continua a nivel
laboratorio, como propuesta de aplicación de las técnicas a nivel educativo.
La experimentación propuesta contempla el uso del modelado dual, con la cual se
reduce de forma significativa el esfuerzo experimental y el uso de recursos (tiempos,
personal, materiales, etc.) necesarios para las corridas experimentales y, además, se
obtiene una mayor información del proceso, particularmente la obtención de
interacciones de importancia, como lo son las de control x ruido. La experimentación se
realiza en línea dejando correr el proceso, el número de observaciones por corrida debe
ser elevado para tener confiablidad estadística.
El modelado propuesto permite estimar la mejor combinación de factores en presencia
(o ausencia) del elemento de control, con lo cual se pueden para reducir los tiempos de
preparación del proceso. Además puede servir como una herramienta de evaluación
para justificar la inversión en el sistema de control, mediante la estimación del
porcentaje de variación que puede reducirse mediante su implementación.
La contribución principal de la investigación radica en la validación del modelado para
un caso de análisis para variable discreta en un caso industrial real. El modelado y
optimización de un esquema en el que intervienen factores de control, factores de ruido,
un elemento de control y además se tiene una respuesta de tipo binomial. El análisis
matemático a utilizar en éste tipo de situaciones es muy particular, se debe contemplar
el cumplimiento de los supuestos clásicos para modelos de regresión y sus
restricciones. Otra característica importante es que el experimento fue realizado dentro
del proceso y el tamaño de lote fue la producción total del molde 24 en los turnos.
Palabras Clave: Diseño Robusto de Parámetros, Ingeniería de Calidad, Modelos
Lineales Generalizados, Regresión Logística, Sistemas de Control, Respuesta binaria
discreta, Procesos de Poliuretano.
AGRADECIMIENTOS
Ahora que culmina este proceso en el programa de Doctorado en Ciencia y Tecnología en
Ingeniería Industrial y de Manufactura. Quiero ofrecer los siguientes agradecimientos a todos
aquellos que fueron parte importante para la consecución de mi grado doctoral mediante la
defensa de la presente Tesis:
A Dios, que ha puesto en mi camino a la gente y situaciones necesarias para que yo pueda
avanzar en el camino destinado en mi vida, por escuchar mis plegarias en los momentos
difíciles y darme la fuerza y resiliencia necesaria para continuar y no rendirme ante ninguno de
los obstáculos que se me presentaron.
A mis familiares y amigos por su apoyo, por brindarme sus valores y ejemplo positivos y ser
parte de mi formación como persona y profesionista. A Laura, una persona muy especial en mi
vida.
Al Dr. Jorge Domínguez por brindarme su guía y apoyo a través de este proceso, un gran
ejemplo como persona y profesional.
A los maestros Antonio Quijas y Emma Acevedo por creer en mí desde la fase de maestría y
darme la oportunidad de seguimiento en el programa de Doctorado.
A todo el cuerpo académico del CIATEC por brindarme su apoyo, consejos y conocimientos.
Asimismo a todas las personas que se cruzaron por mi camino de forma positiva o negativa,
representando un apoyo para avanzar, o un obstáculo que me hizo más fuerte. Todos ustedes
cumplieron un papel importante para llevarme a la consecución de este objetivo.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología CONACYT por su apoyo mediante la beca de
posgrado.
Para todos ustedes, mi más sincero agradecimiento.
ARMANDO MARES CASTRO
INDICE DE CONTENIDO
1 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................ 1
1.1 ANTECEDENTES ........................................................................................................................ 1 1.2 DEFINICIÓN DEL PROBLEMA. ....................................................................................................... 4 1.3 JUSTIFICACIÓN. ......................................................................................................................... 7 1.4 OBJETIVO GENERAL. .................................................................................................................. 9 1.5 OBJETIVOS METODOLÓGICOS. ..................................................................................................... 9 1.6 HIPÓTESIS. ............................................................................................................................ 10 1.7 ALCANCE DE LA INVESTIGACIÓN. ................................................................................................ 10 1.8 CONTRIBUCIÓN ORIGINAL. ........................................................................................................ 11
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS ..................................................................................... 13
2.1 INTRODUCCIÓN. ..................................................................................................................... 13 2.2 EL CONCEPTO DE ROBUSTEZ. ..................................................................................................... 13 2.3 ANÁLISIS MEDIANTE EL DOBLE ARREGLO ORTOGONAL. .................................................................... 14
2.3.1 Estrategias de experimentación y modelado mediante el doble arreglo
ortogonal .............................................................................................................................. 16 2.3.2 Modelado de locación y dispersión con el doble arreglo ortogonal ................ 16 2.3.3 Optimización mediante el procedimiento a dos pasos de Taguchi ................ 17 2.3.4 Críticas a la metodología de Taguchi .................................................................. 19 2.3.5 Optimización mediante el método de Vining- Myers ......................................... 21 2.3.6 Optimización mediante el método de Lin- Tu ..................................................... 24 2.3.7 Optimización mediante el método de Vining- Bohn .......................................... 25 2.3.8 Optimización mediante el método de Del Castillo- Montgomery .................... 25 2.3.9 Optimización mediante el método de Copeland- Nelson ................................. 26 2.3.10 Optimización mediante el método de Kim- Lin .............................................. 27 2.3.11 Optimización mediante el método de Köksoy y Doganaksoy ...................... 29 2.3.12 Optimización mediante el método de Domínguez- Rocha ........................... 29 2.3.13 Optimización mediante el modelo ponderado ................................................ 29
2.4 ANÁLISIS MEDIANTE EL ARREGLO COMBINADO. ............................................................................. 30 2.4.1 Generalización del modelado de la media y la varianza .................................. 32 2.4.2 Optimización mediante el método de Myers- Khuri- Vining ............................. 36 2.4.3 Optimización mediante el método de Box- Jones ............................................. 38 2.4.4 Optimización mediante el método de Grima ...................................................... 39 2.4.5 Optimización mediante el método de Barker- Lawson ..................................... 39 2.4.6 Modelado de respuesta Dual via experimentos simulados .............................. 40
2.5 ANÁLISIS PARA SISTEMAS SEÑAL- RESPUESTA (SISTEMAS DE CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS) .................... 41 2.5.1 Medidas de desempeño (Performance Measures PerMIA) ............................. 43 2.5.2 Modelado de la medida de desempeño (Performance Measure Modeling –PMM) 46 2.5.3 Modelado en función de la respuesta (Response Function Modeling –RFM)
47 2.5.4 Esquemas de optimización para los sistemas señal- respuesta .................... 49
2.6 DRP Y SISTEMAS DE CONTROL ................................................................................................... 52
2.6.1 Modelado y optimización de sistemas de medición con elemento de control
53 2.7 MODELOS LINEALES GENERALIZADOS – REGRESIÓN LOGÍSTICA ........................................................ 58
2.7.1 Estimación de parametros en un modelo de regresión logística .................... 61 2.8 ALGORITMOS PARA OPTIMIZACIÓN NO LINEAL RESTRINGIDA ............................................................ 63 2.9 SÍNTESIS Y ANÁLISIS DE LA LITERATURA REVISADA .......................................................................... 65
2.9.1 Resumen de la metodología del DRP ................................................................. 70
3 METODO DE INVESTIGACIÓN .................................................................................. 79
3.1 CASO DE APLICACIÓN A NIVEL INDUSTRIAL .................................................................................... 79 3.1.1 Introducción ............................................................................................................. 79 3.1.2 Descripción del proceso de fabricación de Suela de Poliuretano por vaciado
81 3.1.3 Definición de los parametros ................................................................................ 94 3.1.4 Metodología Operativa ......................................................................................... 106
3.2 CASO DE APLICACIÓN A NIVEL LABORATORIO ............................................................................... 118 3.2.1 Introducción ........................................................................................................... 118 3.2.2 Descripción del proceso de las tiradas .............................................................. 120 3.2.3 Definición de los parametros .............................................................................. 126 3.2.4 Metodología Operativa ......................................................................................... 128
4 RESULTADOS ........................................................................................................... 138
4.1 RESULTADOS PARA EL CASO DE APLICACIÓN A NIVEL INDUSTRIAL .................................................... 138 4.1.1 Introducción ........................................................................................................... 138 4.1.2 Obtención de la respuesta tipo binomial ............................................................. 138 4.1.3 Ajuste del modelo logístico .................................................................................... 139 4.1.4 Obtención de modelos para la media y la varianza .......................................... 148 4.1.5 Determinación de los niveles óptimos ................................................................. 148 4.1.6 Corridas de Verificación ......................................................................................... 158 4.1.7 Modelado con control ............................................................................................. 158
4.2 RESULTADOS PARA EL CASO DE APLICACIÓN A NIVEL LABORATORIO ................................................. 161 4.2.1 Introducción ............................................................................................................. 161 4.2.2 Obtención de datos experimentales, cálculo de medias y varianzas ............. 162 4.2.3 Obtención de los modelos de posición y dispersión ......................................... 163 4.2.4 Cálculo de la medida de desempeño y optimización ........................................ 164
5 CONCLUSIONES ....................................................................................................... 169
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................ 173
INDICE DE ILUSTRACIONES
Ilustración 1-1 I & D para diseño y manufactura (Phadke, 1989) ................................... 1 Ilustración 1-2 Función de pérdida cuadrática (Phadke, 1989) ........................................ 2 Ilustración 1-3 Funcionamiento ideal de un sistema ......................................................... 4 Ilustración 1-4 Funcionamiento de un sistema con la intervención de ruido .................... 5 Ilustración 1-5 Sistema con características dinámicas ..................................................... 6 Ilustración 1-6 Ejemplo de un sistema de control automático........................................... 6 Ilustración 1-7 Modelo de un sistema implementando un elemento de control automático ......................................................................................................................................... 7 Ilustración 2-1 Buen sistema señal- respuesta y sistemas pobres (b) y (c), en (Miller, 1996) .............................................................................................................................. 44 Ilustración 2-2 Esquema de un sistema de medición con control en (Joseph V. , 2003) ....................................................................................................................................... 54 Ilustración 2-3 Síntesis de la literatura revisada. Fuente: Elaboración Propia ................ 66 Ilustración 2-4 Esquema de un proceso en condiciones ideales ................................... 71 Ilustración 2-5 Esquema de un proceso en condiciones reales ..................................... 71 Ilustración 2-6 Esquema de un proceso en condiciones reales ..................................... 72 Ilustración 2-7 Esquema de un proceso en condiciones reales ..................................... 73 Ilustración 2-8 Estimaciones obtenidas a partir de la experimentación ......................... 73 Ilustración 2-9 Esquema dinámico con control .............................................................. 76 Ilustración 2-10 Sistema dinámico con elemento de control realimentado .................... 78 Ilustración 3-1 Aplicación del desmoldante ................................................................... 85 Ilustración 3-2 Vaciado de poliuretano para aplicaciones en la suela ........................... 86 Ilustración 3-3 Máquina utilizada para el vaciado de aplicación de poliuretano ............ 87 Ilustración 3-4 Vaciado de la mezcla reaccionante para poliuretano ............................. 88 Ilustración 3-5 Tanques de los componentes químicos ................................................. 88 Ilustración 3-6 Pantalla táctil del tablero de control ....................................................... 89 Ilustración 3-7 Pirómetro para control de temperatura de los moldes ........................... 90 Ilustración 3-8 Retirar la suela del molde ...................................................................... 91 Ilustración 3-9 Desvirado ............................................................................................... 91 Ilustración 3-10 Inspección de la suela posterior al desvirado ...................................... 92 Ilustración 3-11 Lavado de la suela ............................................................................... 93 Ilustración 3-12 Pintado de la suela .............................................................................. 94 Ilustración 3-13 Diagrama de Causa y Efecto para los defectos en la suela ................. 95 Ilustración 3-14 Prueba de la mínima penetración para determinar la razón poliol/ isocionato ....................................................................................................................... 96 Ilustración 3-15 Pesado del poliol e isocionato .............................................................. 97 Ilustración 3-16 Ajuste de la altura del molde ................................................................ 98 Ilustración 3-17 Defectos en la vista lateral de la suela ................................................. 99 Ilustración 3-18 Defectos en la vista inferior de la suela ............................................... 99 Ilustración 3-19 Olla utilizada para pistoleado neumático ........................................... 102 Ilustración 3-20 Indicadores y controles para las presiones en la olla de pintado ....... 103 Ilustración 3-21 Instalación de la máquina giratoria de moldeo ................................... 104 Ilustración 3-22 Interruptores de temperatura para los moldes ................................... 105
Ilustración 3-23 Metodología operativa propuesta ....................................................... 106 Ilustración 3-24 Probeta de 1 litro utilizada en el experimento .................................... 118 Ilustración 3-25 Mezclas de Glicerina, Carbonato y Azucar con agua ........................ 119 Ilustración 3-26 Pesado de la Glicerina ....................................................................... 120 Ilustración 3-27 Pesado del carbonato ........................................................................ 121 Ilustración 3-28 Mezclado de la solución de glicerina, carbonato, azucar y agua ....... 122 Ilustración 3-29 Calentado de las mezclas en el horno de laboratorio ........................ 123 Ilustración 3-30 Enfriado de las mezclas en el refrigerador de laboratorio .................. 124 Ilustración 3-31 Cuarto frío .......................................................................................... 124 Ilustración 3-32 Realización de las tiradas .................................................................. 125 Ilustración 3-33 Plato clasificador de pelotas .............................................................. 126 Ilustración 3-34 Metodología operativa propuesta ....................................................... 128 Ilustración 3-35 Dispositivo lanzador para el experimento .......................................... 131 Ilustración 3-36 Alturas para el modelo del dispositivo lanzador ................................. 133 Ilustración 3-37 Relación entre la fuerza de golpe vs el peso de la pelota y las alturas de lanzamiento ............................................................................................................. 134 Ilustración 3-38 Modelo de control para las tiradas ..................................................... 135 Ilustración 4-1 Cuadro de diálogo para la definición del modelo logístico ................... 140 Ilustración 4-2 Cuadro de diálogo de opciones para el modelo logístico ..................... 141 Ilustración 4-3 Cuadro de diálogo para la configuración del problema con Punto interior ..................................................................................................................................... 149 Ilustración 4-4 Cuadro de diálogo para los resultados de la optimización Punto interior ..................................................................................................................................... 150 Ilustración 4-5 Cuadro de diálogo para la configuración del problema con SQP......... 151 Ilustración 4-6 Cuadro de diálogo para los resultados de la optimización del problema con SQP ....................................................................................................................... 152 Ilustración 4-7 Resultados de la optimización PerMIA sin control, mediante Punto Interior .......................................................................................................................... 155 Ilustración 4-8 Resultados de la optimización PerMIA sin control, mediante SQP ...... 157 Ilustración 4-9 Cuadro de diálogo para los resultados de la optimización PerMIA mediante SQP .............................................................................................................. 159 Ilustración 4-10 Cuadro de diálogo para los resultados de la optimización PerMIA mediante SQP .............................................................................................................. 160 Ilustración 4-11 Configuración del modelo por mínimos cuadrados ponderados en Statgraphics ................................................................................................................. 164 Ilustración 4-12 Resultados de la optimización del PerMIA por algoritmo SQP .......... 166
INDICE DE GRÁFICOS
Gráfico 2-1 Gráfico Half Normal para estimación de efectos.......................................... 18 Gráfico 3-1 Gráfico de Pareto de la información sobre defectos en la suela Ucrania ... 80 Gráfico 3-2 Ejemplo de función de respuesta logística ............................................... 111 Gráfico 4-1 Gráfico de observados vs predichos ......................................................... 145 Gráfico 4-2 Gráfico de observados vs Log de Probabilidad ........................................ 146 Gráfico 4-3 Gráficos de Residuales ............................................................................. 147 Gráfico 4-4 Gráficos de funciones de optimización con algoritmo Punto Interior ........ 150 Gráfico 4-5 Gráficos de funciones de optimización con algoritmo SQP ...................... 153 Gráfico 4-6 Gráficos de funciones de optimización PerMIA sin control, con algoritmo Punto interior ................................................................................................................ 156 Gráfico 4-7 Gráficos de funciones de optimización PerMIA sin Control, con algoritmo SQP .............................................................................................................................. 157 Gráfico 4-8 Gráficos de funciones de optimización PerMIA con Control, con algoritmo SQP .............................................................................................................................. 159 Gráfico 4-9 Gráficos de funciones de optimización PerMIA para DRP señal- respuesta, algoritmo SQP .............................................................................................................. 166 Gráfico 4-10 Varianzas combinadas por tratamiento .................................................. 167 Gráfico 4-11 Modelo ideal para la relación señal- respuesta ..................................... 168
INDICE DE TABLAS
Tabla 2-1 Estructura experimental en doble arreglo ortogonal ....................................... 15 Tabla 2-2 Distribución de probabilidad de una variable aleatoria de Bernoulli ............... 59 Tabla 2-3 Estado del arte de las metodologías del DRP. Fuente: elaboración propia .. 70 Tabla 3-1 Tabla de defectos encontrados en la suela Ucrania en un periodo de 6 meses ....................................................................................................................................... 79 Tabla 3-2 Componentes básicos de la formulación para espumas de Poliuretano flexible ............................................................................................................................ 82 Tabla 3-3 Factores experimentales y su efecto en las respuestas de calidad ............ 101 Tabla 3-4 Factores experimentales y sus niveles ........................................................ 108 Tabla 3-5 Asignación de columnas para los factores experimentales ......................... 109 Tabla 3-6 Interacciones para los factores experimentales .......................................... 109 Tabla 3-7 Forma de captura del arreglo en Statgraphics ............................................ 113 Tabla 3-8 Niveles para los factores experimentales .................................................... 127 Tabla 3-9 Arreglo ortogonal base para las corridas experimentales ........................... 129 Tabla 3-10 Pesos de las pelotas (factor señal) ........................................................... 130 Tabla 3-11 Cálculos para el dispositivo lanzador ........................................................ 133 Tabla 3-12 Alturas de lanzamiento de acuerdo a los pesos de las 5 pelotas .............. 134 Tabla 4-1 Arreglo ortogonal y valores obtenidos en el experimento ............................ 139 Tabla 4-2 Estimados para el modelo de regresión por máxima verisimilitud ............... 141 Tabla 4-3 Análisis de desvianza .................................................................................. 142 Tabla 4-4 Pruebas de razón de verosimilitud .............................................................. 143 Tabla 4-5 Estimados para el modelo de regresión reducido ....................................... 144 Tabla 4-6 Análisis de desvianza para el modelo reducido ......................................... 144 Tabla 4-7 Pruebas de razón de verosimilitud para el modelo reducido ....................... 145 Tabla 4-8 Estimados para el modelo de regresión reducido ....................................... 162 Tabla 4-9 Niveles obtenidos mediante los algoritmos de PNL .................................... 165 Tabla 4-10 Medias y Varianzas para los niveles del tratamiento 9 en los 5 niveles del factor señal ................................................................................................................... 167
ABREVIACIONES
Analysis of Variance (Análisis de la Varianza) ANOVA
Diseño Robusto de Parámetros DRP
Error Cuadrático Medio ECM
Generalized Linear Moldels (Modelos Lineales Generalizados) GLMs
Gradiente Generalizado Reducido GGR
Iteratively Reweighted Least Squares (Mínimos Cuadrados Iterativamente
Reponderados)
IRLS
Maximum Likelihood Estimates (Estimados de Máxima Verosimilitud) MLEs
Measurement Systems Analysis (Análisis de Sistemas de Medición) MSA
Metodología de Superficie de Respuesta MSR
Performance Measures Independent of Adjust (Medidas de Desempeño
Independientes de Ajuste)
PerMIA
Performance Measure Modeling (Modelado de la Medida de Desempeño) PMM
Programación No Lineal PNL
Razón Señal a Ruido de Taguchi SR
Response Function Modeling (Modelado en Función de la Respuesta) RFM
Sistema de Control Tipo Proporcional- Integral PI
1
1 INTRODUCCIÓN
1.1 Antecedentes
El Diseño Robusto de Parámetros es una metodología de ingeniería utilizada para la
mejora de la calidad, generalmente se aplica en la fase de diseño y desarrollo del
producto con el fin de que la producción pueda realizarse de forma rápida y a un bajo
costo, en la Ilustración 1-1 se muestra un esquema que relaciona la investigación y
desarrollo (I & D) para el diseño y manufactura.
Ilustración 1-1 I & D para diseño y manufactura (Phadke, 1989)
El objetivo de la ingeniería de diseño es el de producir planos, especificaciones e
información relevante requerida para la manufactura de productos que cumplan con los
requerimientos de los clientes. El conocimiento de los fenómenos científicos y la
experiencia ingenieril del pasado con diseños de productos similares y la manufactura
de procesos forman parte de la actividad de diseño en ingeniería.
En base a la arquitectura del producto debe tomarse una serie de decisiones; una de
ellas es la selección de los parámetros del proceso de manufactura. En ésta fase se
consume un gran esfuerzo de ingeniería mediante la conducción de experimentos, los
cuales pueden ser desarrollados mediante un hardware o simulación.
Phadke (1989) menciona que la generación de tal información es la clave para el
conocimiento de mercados, el mantenimiento de los costos bajos en el diseño y
2
manufactura y el tener productos de alta calidad, Robinson (2004) menciona que el
tiempo de vida de un producto o sistema, está en función directa de la calidad de ese
producto o sistema.
La metodología del DRP fue desarrollada por el Dr. Genichi Taguchi en Japón, en esta
técnica se integran las tecnologías de manufactura y diseño de producto. Dentro de los
metodos de Taguchi se contemplan también técnicas para evaluar la efectividad del
costo tecnológico mediante una función de pérdida (Ilustración 1-2) para incrementar y
estabilizar la calidad del producto en términos del diseño robusto de parámetros
(Taguchi, 1993). Además, no se incrementan los costos mediante una calidad
garantizada y economías de escala.
Ilustración 1-2 Función de pérdida cuadrática (Phadke, 1989)
La presente investigación se enfoca en los objetivos buscados por la metodogía original
de Taguchi: la obtención de los niveles adecuados de los parámetros en proceso de tipo
industrial. Desde su introducción en occidente a mediados de la década de los 80’s, la
metodología de taguchi ha tenido aportaciones importantes de renombrados autores
estadísticos occidentales ((Easterling, 1985), (Pignatiello, 1985), (Nair, 1992), (Box,
1988), (Gunter, 1988), (Welch, 1990)), los cuales presentaron alternativas de análisis
para el cumplimiento de los objetivos de calidad mediante el uso de modelos con mayor
profundidad en su base matemática y estadística, situación no contemplada en la
propuesta original del Dr. Taguchi.
3
En los procesos de manufactura es comun el uso de esquemas de calidad basados en
inspección. Se decide si un producto cumple o no cumple con los requisitos del cliente
en base a una serie de criterios de calidad preestablecidos. Las opciones disponibles
para esta clase de análisis son el conteo de los defectos (tipo Poisson) y la clasificación
pasa- no pasa (tipo binomial y proporciones). Una buena opción para el análisis es el
uso de respuestas basadas en el porcentaje de defectuosos, como se realiza en las
gráficas de control P (Montgomery, 2008). El objetivo es la minimización del porcentaje
de defectuosos en los lotes de producción.
Las respuestas basadas en proporciónes es de tipo binomial, se sabe de antemano que
no se cumplirán los supuestos de un modelo de regresión ajustado mediante mínimos
cuadrados o por máxima verosimilitud (Montgomery, 2012), por el comportamiento de la
varianza y esperanza de un modelo con base binomial. Para lidiar con éste problema,
se utiliza la metodología del los Modelos Lineales Generalizados (GLM) -McCullagh
(1989), Nelder (1991)- con el fin de trabajar con modelos de regresión transformados
con base a distribuciones específicas de la familia exponencial.
El análisis propuesto entra en el esquema de análisis de superficie de respuesta y el
uso de métodos de optimización multirespuesta basados en programación no lineal (Del
Castillo, 2007).
La contribución de ésta investigación radica en una metodología específica para
procesos con procesos de inspección de calidad de tipo binomial. Se busca la obtención
de los parámetros del proceso que generen una respuesta robusta -o resistente- a los
factores de ruido que actuan en el sistema, los cuales son difíciles o costosos de
controlar. Además de lo anterior, se contempla un elemento de control en línea para
controlar la variación de uno de los factores experimentales, con el fin de reducir su
variación, con la finalidad de disponer de una herramienta que permita estimar el nivel
de variación que se puede reducir en el sistema con el uso del elemento de control. La
determinación de los niveles adecuados de los parámetros es posible ya sea que exista
o no el elemento de control, de ésta forma se dispone de una herramienta confiable
para la justificación de la inversión en el elemento de control.
4
Otra característica de la propuesta es que la experimentación es realizada en línea, es
decir, sobre las corridas del proceso normal. Se debe realizar una selección cuidadosa
de los niveles en los parámetros para evitar un incremento del nivel de defectos en el
proceso, debido a los costos de calidad en que se incurriría.
1.2 Definición del Problema.
Phillip Ross (1988) menciona en su libro “las técnicas de Taguchi para la mejora en
ingeniería de calidad” que la filosofía de Taguchi provee dos principios:
1. La reducción en la variación (calidad mejorada) de un producto o proceso
representa una menor pérdida para la sociedad.
2. Una estrategia apropiada de desarrollo puede reducir la variabilidad de manera
intencionada.
Muchos Gerentes e ingenieros no son conscientes de la economía que puede lograrse
mediante una mejora en la calidad y sus técnicas, esto a costos inferiores. El propósito
de la experimentación debe ser el de reducir y controlar la variación de un producto o
proceso, de este modo, deben identificarse los parámetros que afectan el desempeño
de un producto o proceso. Un proceso ideal podría considerarse aquel en el que se
puede controlar una variable de respuesta mediante la manipulación de los parámetros
de control (Ilustración 1-3), bajo éste supuesto se tendría un sistema que no presenta
variación.
SistemaFactores de Control (X) Respuesta (Y)
Ilustración 1-3 Funcionamiento ideal de un sistema
El problema se complica debido que se sabe que existen factores externos al proceso
que están actuando sobre el sistema, Taguchi considera que los factores de ruido son
los que causan la variación en la respuesta o variable de calidad (Y). Los factores de
ruido (Z) generalmente son difíciles o costosos de controlar, entre ellos se puede
mencionar la temperatura ambiental, el polvo, la variación en el voltaje, la humedad, etc.
5
Un sistema que contempla la existencia de los factores de ruido en el sistema se puede
modelar en la Ilustración 1-4.
SistemaFactores de Control (X)
Factores de Ruido (Z)
Respuesta (Y)
Ilustración 1-4 Funcionamiento de un sistema con la intervención de ruido
El DRP es una metodología de experimentación en la cual se busca encontrar la
combinación de niveles de los parámetros de control con los cuales se obtenga una
respuesta cercana al valor objetivo (Target) y que además presente la menor variación
alrededor de su valor promedio. Al tener la menor variación se puede deducir que se
encuentra la solución en la cual los factores de ruido tienen el menor efecto sobre el
sistema, con esto se puede decir que la solución encontrada es robusta o resistente al
efecto de los factores de ruido.
Miller y Wu (1996) analizaron un caso especial del DRP en una de sus aplicaciones
más importantes a nivel industrial: El Diseño Robusto de Parámetros para
características dinámicas, también llamado sistemas señal- respuesta, o para Taguchi
(1987) simplemente “sistemas con características dinámicas”. Esta metodología se
refiere a situaciones en las cuales la respuesta asume diferentes valores como
resultado de cambios en un factor señal (M), en la Ilustración 1-5 se muestra el
esquema de un sistema en el cual se tiene un factor señal actuando en el sistema.
6
SistemaFactor Señal (M)
Factores de Ruido (Z)
Factores de Control (X)
Respuesta (Y)
Ilustración 1-5 Sistema con características dinámicas
En un sistema con características dinámicas se busca modelar la relación señal-
respuesta en la cual se tiene la menor variación por el efecto de los factores de ruido.
Un caso especial de un sistema con características dinámicas se tiene cuando se
puede implementar el uso de un elemento de control en línea en el sistema (ilustración
Ilustración 1-6 con el fin de controlar la variación de alguno de las variables presentes
en el sistema, con esto se garantiza la obtención de una mejora más a fondo que la que
puede obtenerse con el DRP por si solo.
Actuador Output
Sensor
Input Controlador
Ilustración 1-6 Ejemplo de un sistema de control automático
Bajo este esquema la forma de análisis cambia de manera importante, debido que
ahora el ruido (Z) se divide en factores de ruido conocidos –los que se agregan al
experimento- (N) y factores de ruido desconocidos (U), los factores N a la vez se
subdividen en factores de ruido en línea (Q) y factores de ruido aleatorios (R), el modelo
se muestra en la Ilustración 1-7.
7
Sistema
Factores de Ruido (Z)
Factores de Control (X)
Respuesta (Y)Control (C)
Ilustración 1-7 Modelo de un sistema implementando un elemento de control automático
El objetivo es el de modelar un sistema que contenga todos los elementos mencionados
con el fin de encontrar la mejor combinación de los parámetros de control (X) en los
cuales se obtenga la respuesta robusta en presencia (o ausencia) de un elemento de
control en línea adicional. El análisis puede ayudar a justificar la inversión en el
elemento de control automático conociendo el porcentaje de variación que se puede
reducir al incluirlo al sistema.
1.3 Justificación.
Para Phadke (1989) la metodología del Diseño Robusto agrega una nueva dimensión al
diseño experimental en relación a las situaciones enfrentadas por todos los diseñadores
de producto y de proceso:
El como reducir de forma económica la variación de la función en el producto en
el ambiente del consumidor, cuando se tiene un desempeño de producto de
forma consistente en su valor target se maximiza la satisfacción del cliente.
Asegurar que las decisiones óptimas obtenidas a nivel laboratorio mediante
experimentos podrán validarse en la manufactura y en ambientes del
consumidor.
8
Desde su introducción en Occidente en la década de los 80’s la metodología se ha
mantenido en evolución mediante una labor activa de investigación llevada a cabo en
Estados Unidos, Japón y otros países. La metodología original ha pasado por cambios y
se han presentado alternativas con las cuales se puede obtener un análisis más
eficiente.
Una de las metas de la ingeniería de calidad es la de obtener un producto de calidad a
bajo costo, esto es un problema interdisciplinario que involucra la ingeniería, economía,
estadística y administración. Los costos involucrados en la manufactura del producto
son:
Costos de operación.
Costos de manufactura.
Costos de investigación y desarrollo
Una alta calidad significa menor costo de operación y viceversa. El diseño robusto es
una metodología sistemática para mantener bajo el costo de producción mientras que
se entrega al cliente un producto de alta calidad, esto es, mientras se mantiene bajo el
costo de operación.
El principio fundamental del DRP es la mejora de la calidad de un producto mediante la
minimización del efecto de las causas de variación sin que estas causas sean
eliminadas. Esto se logra mediante la optimización del producto y diseño del proceso
para lograr que el sistema sea relativamente insensible a las causas de variación.
En algunas ocasiones, el diseño de parámetros por si solo no siempre lleva a una
mejora de calidad suficiente. Puede obtenerse una mejora más a fondo mediante el
control de las causas de variación hasta donde sea económicamente justificable, ya sea
con el uso de equipo más costoso, un grado mayor de componentes, mejores controles
ambientales, etc, los cuales pueden llevar a un mayor costo de producto, de operación
o ambos. Los beneficios de una calidad mejorada deben justificar el costo agregado
(Phadke, 1989).
Joseph (2003) menciona la existencia de procesos en los cuales existen factores de
ruido muy fuertes en los cuales el uso la metodología del DRP por sí sola no puede
lograr una desensibilización suficiente de su efecto en el proceso y por consecuencia,
9
una mejora de calidad suficiente. En estos casos debe contemplarse una estrategia de
control adicional para compensar el efecto del ruido. Aquí es conveniente utilizar una
metodología a dos etapas aplicando inicialmente el DRP y posteriormente la
implementación de un sistema de control para la obtención de una mejora más a fondo.
Dentro de las respuestas de tipo cualitativo se tiene el porcentaje de defectuosos. la
situación se puede ejemplificar con el gráfico de control para atributos P o nP para el
control de la proporción de defectuosos en los lotes. Nuestra propuesta se enfoca en la
minimización de la fracción disconforme muestral. El resultado se traduce en una
mejora de la calidad, reducción de costos por reprocesos, reducción de costos por
desperdicio, incremento de la productividad y del flujo del proceso.
El análisis para éste tipo de respuesta presenta diferencias con respecto al uso de
variables continuas debido a que se sabe de antemano que no se cumplirán los
supuestos clásicos para modelos de regresión. El reto de la propuesta radica en la
validación de una metodología aplicada a sistemas productivos, integrando una
herramienta potente y confiable basada en estadística e ingeniería, para la mejora de la
calidad de los procesos.
1.4 Objetivo general.
Integrar la metodología del diseño robusto en un sistema dinámico que contemple el
uso de sistemas de control en su proceso de fabricación, mediante el desarrollo de las
técnicas que permitan generar un producto robusto. Así como la validación de estas
ideas a un caso real en un proceso de fabricación de suela de poliuretano mediante la
minimización de la fracción disconforme muestral.
1.5 Objetivos metodológicos.
Analizar la metodología del diseño robusto y las alternativas que se han
propuesto con el fin de conocer y comprender su base estadística y de
ingeniería.
10
Desarrollar los algoritmos de aplicación para el análisis de diseños
experimentales para características dinámicas en los que se pueda aplicar un
sistema de control.
Establecer los pasos de una metodología operativa que integre todos los
elementos necesarios para el análisis y optimización de un proceso industrial.
Validar la metodología propuesta mediante la aplicación experimental en un
proceso industrial de fabricación de suela de poliuretano con el fin de publicar los
resultados de la investigación.
1.6 Hipótesis.
La calidad de un sistema se relaciona de forma directa con la variación que se presenta
en el mismo, el DRP permite obtener una solución en la cual se tiene un valor promedio
de la respuesta de calidad cercana al Target y con la menor variación. Si se requiere
obtener una mejora de calidad con mayor profundidad se debe implementar el uso de
un elemento de control en línea el cual garantizará una reducción en la variabilidad
global del sistema. La implementación del control en el sistema debe justificarse a nivel
económico. Existe una combinación de niveles en los parámetros del sistema que
representa la solución robusta del modelo en presencia (o ausencia) del sistema de
control en línea.
1.7 Alcance de la investigación.
Los tiempos de la investigación se realizaron dentro de los periodos del Posgrado
Interinstitucional en Ciencia y Tecnología (PICYT) en el programa de Doctorado en
Ingeniería Industrial y de Manufactura, el cual contempla 12 cuatrimestres (4 años). Las
materias se cursaron en las aulas del Centro de Innovación Aplicada en Tecnologías
Competitivas (CIATEC) el cual es el centro sede del programa. La experimentación fue
llevada a cabo en la empresa Huflex, S. A de C.V. Fabricante de suelas de poliuretano y
uno de los principales proveedores de Flexi, S. A. de C. V. Las asesorías presenciales
se realizaron en las instalaciones del Centro de investigación en Matemáticas (CIMAT)
sede Aguascalientes.
11
El asesor académico y director de la Tesis es el Dr. Jorge Domínguez Domínguez,
Doctor en Probabilidad y Estadística, investigador titular del CIMAT y miembro del
Sistema Nacional de Investigadores (SNI). El asesor en planta es el Ing. Alejandro
Murillo. Para la aplicación a nivel industrial se trabajó sobre el caso de un modelo de
suela en particular (Ucrania) el cual presentaba inicialmente una incidencia muy fuerte
en cuanto a defectos. Para la aplicación a nivel laboratorio se realizó un experimento en
el laboratorio de ambiental en Ciatec con la finalidad de validar la metodología en un
sistema con características dinámicas.
La fase inicial de la investigación es la revisión de la metodología del DRP, la segunda
fase es el trabajo sobre el modelado necesario para la propuesta, la tercer fase es la
experimentación a nivel industrial, la obtención de información sobre el proceso,
obtención de datos experimentales y finalmente la validación de la metodología. Entre
los productos de la investigación obtenidos en el presente trabajo de tesis, se tienen
publicaciónes en revistas indexadas y arbitradas, una participación en congreso
internacional, participación en congresos locales y la elaboración de un manual sobre el
diseño robusto. La finalidad principal de éste trabajo de investigación es la obtención del
grado académico de Dr. En Ingeniería Industrial y de Manufactura.
Por todo lo anterior se define que el diseño de la investigación es de tipo experimental,
y el alcance de la misma es de tipo explicativo debido a que se explican las relaciones
entre las variables de estudio.
1.8 Contribución original.
El trabajo de investigación plantea la elaboración de un modelado específico para
problemas de tipo industrial con base a las ideas sobre el DRP que se encuentran en la
literatura, llegando a la metodología del DRP para sistemas dinámicos y la
implementación de sistemas de control, lo cual es relativamente reciente e incluye
metodologías que actualmente están evolucionando. En éste trabajo se integran
metodologías de análisis tales como:
12
Diseño Robusto de Parámetros.
Diseño de Experimentos.
Modelos Lineales Generalizados.
DRP para características dinámicas.
Sistemas de control automático.
Optimización mediante Programación No lineal irrestricta.
Optimización mediante Programación No lineal restringida.
o Algoritmo SQP
o Algoritmo del punto interior
Cabe destacar que la metodología del DRP tiene su aplicación básica en la fase de
Diseño y Desarrollo del producto. En nuestra propuesta para la experimentación se
realizaron las corridas experimentales en línea, situación poco usual en la fase de
manufactura ya en ésta etapa generalmente se utiliza el control estadístico como
herramienta de mejora de la calidad.
Los trabajos de investigación disponibles en la literatura son limitados y se enfocan
principalmente en conceptos teóricos (Joseph (2003), Dasgupta (2006)); los ejemplos
presentados en dichas propuestas son validados en casos presentados de manera
previa por Taguchi, no existen actualmente aplicaciones industriales originales en la
literatura relacionadas al tema de tesis.
13
2 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
2.1 Introducción.
En el presente capítulo se explican las bases de la metodología del DRP así como las
aportaciones y alternativas a la metodología realizadas por otros autores, esta revisión
es necesaria para comprender modelado requerido en nuestra propuesta de
investigación. La información abarca las bases teóricas y aplicaciones de investigación
que han resultado en aportaciones relevantes a la metodología. Las tendencias más
recientes dentro de la metodología del DRP han cubierto adecuadamente las
debilidades de la metodología original desarrollada por el Dr. Taguchi y son la base de
la metodología propuesta.
2.2 El concepto de robustez.
El Dr. Genichi Taguchi (1985) introdujo en Japón a mediados de los años 50´s un
sistema de diseños experimentales que tienen como finalidad lograr una respuesta
robusta en un proceso, se entiende por robustez aquella respuesta que es cercana a un
valor deseado o Target y que además tiene la menor variación alrededor de su media,
debido a que se considera que la variación en la respuesta es provocada por el efecto
de los factores de ruido, se entiende que la respuesta encontrada es aquella que tiene
la mayor resistencia al efecto de los factores de ruido o también se puede interpretar
que la respuesta tiene menor sensibilidad al efecto de los factores de ruido en el
sistema.
El reto de la metodología está en la obtención de la respuesta robusta debida a la
influencia de los factores de ruido incontrolables. El objetivo es la selección adecuada
de los niveles de los factores de control de modo que el proceso sea robusto e
insensible a la variación causada por los parámetros de ruido.
Un arreglo experimental es una matríz donde se colocan los factores de diseño en las
columnas, en los renglones se tiene una combinación de variables para cada factor y
esto constituye un tratamiento. La región experimental se define por el área acotada por
los valores extremos de los factores de control que se estudian.
14
La experimentación propuesta por Taguchi contempla el uso de dos arreglos
ortogonales separados, el primer arreglo es llamado “interno” y contempla los niveles
codificados para los factores de control, es decir, aquellos factores que pueden fijarse
por el operario en niveles predeterminados ya sea por conocimiento del proceso o por la
capacidad de una máquina que ya trae por diseño de fábrica, al segundo arreglo se le
llama “externo” y contiene los factores de ruido, es decir, aquellos que son difíciles de
controlar en el proceso, generalmente éstos factores se simulan en laboratorio por
medios artificiales, los niveles de dichos factores representan niveles extremos de los
factores de ruido.
Entre los factores de ruido de pueden mencionar la temperatura ambiental, humedad,
polvo, variación del voltaje, variación de lote a lote, variación por factor humano etc. El
DRP fue introducido por el Dr. Genichi Taguchi y Wu en Estados Unidos en la decada
de los años 80’s.
Una de las primeras aplicaciones del DRP a un caso industrial real consiste en un
experimento propuesto sobre la cebada a ser utilizada por la fábrica de cerveza
Guiness en la cual se hizo incapié en que el experimento debía realizarse en varias
regiones de Irlanda para encontrar encontrar condiciones robustas a determinados
eventos locales, asimismo se pueden mencionar algunos estudios sobre agricultura
realizados en los años 40’s en los cuales la meta era el desarrollo de productos
agrícolas cuyo rendimiento fuera robusto a las diferentes condiciones de cultivo. Estas
investigaciones fueron las bases de la metodología del DRP.
2.3 Análisis mediante el doble arreglo ortogonal.
Considere que se tienen k factores de control denotados por 1,..., ,kX X y q factores de
ruido denotados por 1,..., .qZ Z La estrategia experimental se plantea como un doble
diseño (conocido en la literatura como un doble arreglo ortogonal). En el arreglo interno
se tienen las combinaciones de niveles para los factores de control, mientras que en el
arreglo externo se tienen las combinaciones de los factores de ruido. El esquema
general de este diseño experimental se muestra en la Tabla 2-1.
15
Tabla 2-1 Estructura experimental en doble arreglo ortogonal
1 11 1
1
r
q q rq
Z z z
Z z z
1 kX X
SRx
11 1
1
k
n nk
x x
x x
11 1
1
r
n nr
y y
y y
1 11
n nn
y S SR
y S SR
Este diseño se puede ver como el producto cartesiano, donde las ijy son las respuestas
de la combinación de niveles de los factores de control 1,...,i n y la combinación de
los niveles de los factores de ruido 1,..., .j q En el procedimiento experimental se
selecciona de manera aleatoria una de las n combinaciones y se aplican los q
tratamientos.
Con la estructura experimental en un doble diseño, se calcula la media de cada
tratamiento iy y la desviación estandar is respectivas para cada tratamiento. Se denota
a 1Y y a 2Y como las respuestas que corresponden a la media y a la desviación
estandar, es decir, 1Y y y 2Y s . A partir de los resultados experimentales de estas
dos respuestas se modelan mediante las ecuaciones (2.1)
1 0 1
2 0 2
' ' ,
' ' ,
Y
Y
X X BX
X X DX (2.1)
Donde 1' ,... kX XX k factores, 0 la constante, 1' ,..., k un vector de
parametros 11 1 1,..., , ,...,k k kk B matriz de parametros de segundo orden, y
2
1 10, ;N 1' ,..., k un vector de parámetros 11 1 1,..., , ,...,k k kk D matríz de
16
parametros de segundo orden, y 2
2 20, .N Mediante el principio de mínimos
cuadrados se ajustan los modelos en la expresión (2.1), denotándose 1Y y 2Y
rexpectivamente. Cabe señalar que el enfoque mencionado en ésta sección se
encuentra dentro del esquema de superficie de respuesta.
2.3.1 Estrategias de experimentación y modelado mediante el doble arreglo ortogonal
Usualmente se seleccionan los arreglos ortogonales para el arreglo de control y el
arreglo de ruido, dado que los niveles de las combinaciones en un arreglo ortogonal
representan puntos que son razonablemente uniformes sobre la región de los factores
de ruido, el correr un experimento basado en un arreglo cruzado puede interpretarse
como la toma de una muestra de variación del ruido.
Si algunos de los factores tienen más de 3 niveles, el tamaño de la corrida del arreglo
ortogonal para los factores de ruido puede ser muy grande. Una alternativa es emplear
un plan más pequeño con puntos uniformemente distribuidos para los factores de ruido.
Estos planes incluyen muestreo hipercúbico latino según los trabajos de Koehler &
Owen (1996), asimismo, los diseños “uniformes” basados en métodos numérico-
teóricos. Como el arreglo de ruido es seleccionado para representar la variación del
ruido, la uniformidad puede considerarse como un requisito más importante que la
ortogonalidad.
2.3.2 Modelado de locación y dispersión con el doble arreglo ortogonal
Para la construcción de los modelos en (2.1), se ajustan modelos de regresión con las
respuestas para las medias y las varianzas obtenidas con las réplicas de las
observaciones para cada uno de los tratamientos (se entiende por réplicas las
repeticiones de los tratamientos de control entre el arreglo externo de los factores de
ruido). En cada ajuste de los factores de control, la media muestral iy y la varianza
17
muestral is que se calcula sobre las réplicas del ruido, son utilizadas como las medidas
de locación y dispersión, para el modelo de la varianza es mejor utilizar su logaritmo
natural para reducir el efecto de la varianza no constante en el modelo final, los
modelos se muestran en (2.2) y (2.3)
1
1
n
iji n
j
y y
(2.2)
Y
2
2
1
1
1
n
i ij i
j
s y yn
(2.3)
Donde n es el número de réplicas a través del arreglo de ruido para el í- ésimo ajuste
del factor de control. A partir de los modelos identificados de locación y dispersión, los
factores de locación se definen como aquellos factores que aparecen en el modelo de
locación, de manera similar, los factores de dispersión son aquellos factores que
aparecen en el modelo de dispersión. Cualquier factor de locación que no es un factor
de dispersión es llamado factor de ajuste. Los modelos en (2.1) se obtienen ajustando
los modelos de regresión mediante el método de mínimos cuadrados usando la
respuestas de medias para el modelo de locación y las varianzas para el modelo de
dispersión.
2.3.3 Optimización mediante el procedimiento a dos pasos de Taguchi
Procedimiento a dos pasos para el problema tipo Nominal es lo mejor
1. Seleccionar los niveles de los factores de dispersión para minimizar la
variación.
2. Seleccionar el nivel del factor de ajuste para mantener la localización en el
nivel objetivo (Target).
Si el factor empleado en el paso 2 fuera además un factor de dispersión, el cambio de
su ajuste podría afectar tanto la locación y dispersión. Una posible consecuencia es que
18
la locación puede ser ajustada al objetivo pero la dispersión se ha incrementado, lo cual
requiere el reajuste de los factores de dispersión y una iteración a dos pasos. Si el
factor de ajuste no es suficiente para poner la locación en el valor objetivo, puede
requerir dos o más factores de ajuste en el paso dos para hacer el trabajo.
Para la selección de los factores que son significativos en el modelo se puede hacer
uso de la tabla ANOVA mediante la prueba del valor p o también mediante el uso de la
gráfica de efectos de Daniel, también llamada Half Normal mostrado en el Gráfico 2-1
C:C
E:E
D:D
Gráfica Mitad-Normal para Y (media)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Efectos estandarizados
0
0.4
0.8
1.2
1.6
2
Desvia
cio
nes e
stá
ndar
F:F
B:B
G:G
A:A
Gráfico 2-1 Gráfico Half Normal para estimación de efectos
Procedimiento de dos pasos para el problema tipo Nominal es lo mejor
1. Seleccionar los niveles de los factores de dispersión para minimizar la dispersión.
2. Seleccionar el nivel del factor de ajuste para mantener la localización en el nivel
objetivo.
Si el factor empleado en el paso 2 fuera además un factor de dispersión, el cambio de
su ajuste podría afectar tanto la locación como la dispersión. Una posible consecuencia
de lo anterior es que la locación pude ser ajustada al objetivo pero la dispersión se ha
incrementado, lo cual requiere que los factores de dispersión se reajusten al target, pero
19
la dispersión se incrementa, esto requerirá el ajuste de los factores de dispersión y una
iteración entre los dos pasos. Si un factor de ajuste no es suficiente para poner la
locación en un valor target, se pueden requerir dos o más factores de ajuste en el paso
2 para lograr el objetivo.
Procedimiento de dos pasos para el problema tipo entre más largo es mejor y
entre más pequeño es mejor
1. Seleccionar los niveles de los factores de locación para maximizar (o minimizar)
la locación.
2. Seleccionar los niveles de los factores de dispersión que no son factores de
locación para minimizar la dispersión.
El enfoque de modelado de locación- dispersión es fácil de comprender e implementar.
Es un enfoque natural para los experimentos basados en arreglos cruzados. En el
formato del arreglo cruzado, los valores de iy o 2
is pueden ser atribuidos a la diferencia
en los ajustes de los factores de control, los cuales justifican el enfoque del modelado.
2.3.4 Críticas a la metodología de Taguchi
Varios autores occidentales, entre ellos Easterling (1985), Pignatiello y Ramberg (1985),
Nair y Pregibon (1988), Box (1988), Gunter (1988), Welch et al (1990) y Nair (1992)
criticaron la metodología de Taguchi debido a que detectaron algunas debilidades, entre
ellas se mencionan las siguientes:
A menudo se requiere un número largo de corridas, en algunas aplicaciones
industriales tales como la manufactura, el número requerido de corridas
experimentales parece prohibitivo.
El arreglo interno requiere usualmente un diseño fraccionado a 3 niveles (o nivel
mixto) fraccionado de resolución III, y el arreglo externo es un diseño de dos
niveles. Consecuentemente los experimentadores deben estimar el efecto lineal
20
y el cuadrático de los factores de control, pero no así de las interacciones de
control x control. Así, la información de importancia sobre los factores de control
puede perderse.
Otra cuestión circundante al diseño de arreglo cruzado concierne a como sea
conducido el experimento, es altamente deseable que muchos experimentos que
involucren arreglos cruzados sean corridos como arreglos en parcelas divididas.
Nair & Pregibon (1988) y Box (1988) observaron que en muchos casos, Var(y) está en
función de y y por esta razón el procedimiento a dos pasos de Taguchi no funciona,
dado que en este caso Var(y) es una función de 2x . Sin embargo en muchos casos, es
posible encontrar una transformación de los datos, ,h y tal que la varianza de los
datos transformados es independiente de 2x . El procedimiento para el DRP debería
incluir entonces 3 pasos:
1. Encontrar la transformación h para hacer Var h y independiente de 2x .
2. Seleccionar un valor 1x para minimizar Var h y
3. Ajustar el valor 2x tal que minimice la distancia de y al valor objetivo.
Los autores mencionados también extendieron la metodología de Box y Meyer (1986)
para diseños factoriales replicados a dos factores. Para mejorar la eficiencia de los
estimados para la dispersión, sugirieron el uso de estimados de máxima verosimilitud
para estimar los parametros en el modelo de la varianza. Carroll & Rupert (1988), Engel
(1992) y Grego (1993) son otros autores que han trabajado el modelado de la varianza
aplicado a la solución de problemas industriales.
Box y Meyer (1986) introdujeron el concepto de modelado de la varianza en el problema
del DRP para formular la razón señal a ruido. Un requisito es que las ubicaciones de los
factores de diseño de control deben ser replicadas. Los autores hicieron incapié en que
ésta necesidad de repetición en las corridas puede ser poco práctica cuando existen
muchos factores de control de interés, suponiendo que tienen poco efecto, se explota el
21
uso de los modelos para la media y la varianza del proceso para separar los factores de
locación de los de dispersión. Una vez que se ha estimado un modelo para la media, se
remueven los efectos de locación produciendo residuales cuadráticos, la suma de los
residuales cuadráticos es agrupada entre los niveles alto (+) y bajo (-) del factor de
control y se aplica el logaritmo de los cocientes para determinar si el factor jx tiene
efecto de dispersión.
En cuanto a la modelación conjunta de la media y la varianza, Lee y Nelder (1998)
señalan que la estimación de máxima verosimilitud de no permite la estimación de la
media en la formación de residuales. Consecuentemente, los estimados de los
parametros en son sesgados cuando el número de parametros promedio incrementa
con el numero de muestra. Los autores señalan que los estimados restringidos de
máxima verosimilitud de corrigen el problema del sesgo.
A partir de esta sección se presentarán los métodos alternativos de optimización
basados tanto en el doble arreglo ortogonal como en el arreglo combinado, los cuales
pueden ser consultados en el primer articulo producto de esta tesis de investigación
(Mares, 2013).
2.3.5 Optimización mediante el método de Vining- Myers
El diseño experimental se utiliza ampliamente en el desarrollo y optimización de
procesos de manufactura. Entre los diseños más utilizados se encuentran los diseños
factoriales a dos niveles y fraccionados, así como los diseños de superficie de
respuesta clásicos (Box G. H., 1978). El esquema de superficie de respuesta y
optimización multirespuesta ya había sido planteada hace tiempo para considerar la
optimización de múltiples respuestas al enfoque de respuesta dual, es decir, una
respuesta es relacionada a la media y la otra es relacionada a la variabilidad, estos
conceptos fueron manejados por autores como Biles (1975) y Del Castillo (1996, 1997).
Lo que se busca en este enfoque es encontrar la región de resultados que tengan los
22
valores buscados para la media pero que tengan la menor variación, lo cual es el
equivalente de la optimización buscada por Taguchi mediante la razón señal a ruido.
Reconociendo que la meta primaria de la filosifía de Taguchi es la obtención de una
condición Target sobre la media mientras la varianza es minimizada. Vining y Myers
fueron los primeros en proponer que el objetivo de Taguchi de mantener la media en el
Target mientras se minimiza la varianza del proceso, puede lograrse en un esquema de
superficie de respuesta. Los autores propusieron un enfoque de superficie de respuesta
al diseño robusto. De forma específica, Vining y Myers (1990) recurrieron al problema
de optimización de respuesta Dual desarrollado por Myers y Carter (1973).
El problema de respuesta dual involucra la determinación del grupo de condiciones de
operación x=x* las cuales optimicen una respuesta primaria ,py sujeta a ,sy donde
es algun valor aceptable de la respuesta secundaria .sy Como el DRP involucra a y
y a 2 ,y la determinación de cual característica es la respuesta primaria depende de la
última meta del experimento. Por ejemplo, si la meta es minimizar la varianza mientras
se mantiene la media en el Target, Vining y Myers resolvieron Min 2
y sujeto a la
restricción y = Target. Los estimados de la media y la varianza son obtenidos
mediante la estimación de una superficie de respuesta por separado para la media y la
varianza. Los modelos se muestran en (2.4)
0
2
0
' '
' '
y
y
X X BX
X X CX
(2.4)
Donde 0 0, , , , , B C son los estimados de los coeficientes. Las medias muestrales y
las varianzas de las respuestas desde el arreglo externo son tomadas para ser los
datos para los modelos de la media y la varianza, respectivamente. Después de estimar
los parametros de locación y dispersión en las ecuaciones anteriores se utilizan
23
multiplicadores lagrangianos para encontrar una x la cual optimice la respuesta
primaria ,py sujeta a .sy
Mientras esta respuesta sea considerada primaria, dependerá del Target buscado por el
investigador, utilizando el método de Lagrange se tiene la expresión (2.5)
2( ) s pH X y y (2.5)
Se optimiza la expresión anterior poniendo los modelos estimados para la media y la
varianza en lugar de s
y y py respectivamente. La restricción de éste modelo es que
requiere de los modelos completos de segundo orden, aunque éstos tengan términos
no significativos.
Para ilustrar lo anterior, suponga que se utiliza el esquema “El Target es lo mejor” y
nosotros deseamos mantener 500y mientras se minimiza la varianza. Si denota
el multiplicador lagrangiano asociado con la restricción 2x'x = , donde es el radio de
la hiperesfera, nosotros optimizamos 2
y mediante la consideración de la ecuación (2.6)
2
2500 x'x-y y pL (2.6)
Diferenciando (2.6) con respecto a x e igualando a cero, encontramos un valor de x
para una combinación dada de y . El procedimiento llama a fijar un valor de ,
calculando un valor adecuado de , y obteniendo x = x* de la ecuación (2.6).
Así el óptimo dado para una combinación de y es el óptimo sobre un lugar
particular de puntos en el espacio de diseño determinado por el radio . El último grupo
de condiciones de operación x = x* son aquellas que corresponden a Min 2
y sobre las
combinaciones y consideradas.
24
Para la obtención de la solución se optimiza la expresión (2.5), usando al modelo de la
variación 2Y en lugar de sY y al modelo de la media 1Y en lugar de .pY
2.3.6 Optimización mediante el método de Lin- Tu
En lugar de someter la respuesta primaria a un valor específico y después minimizar la
otra respuesta, Lin y Tu (1995) presentaron una formulación diferente. Señalaron que
la respuesta primaria a un valor específico en esencia no admite desviación.
Si se está dispuesto a admitir un poco de desviación en la respuesta, a menudo se da el
caso de una reducción sustancial en la respuesta de variabilidad que puede ser
obtenida. Como resultado, se propone la siguiente metodología:
Encontrar modelos para la media y la varianza;
Encontrar un valor x = x* tal que 2 2
yyMSE y T sea minimizado.
Se puede observar que este criterio consiste en dos términos, el sesgo y la varianza.
Así se puede permitir algo de discrepancia con el valor Target, Manteniendo la varianza
pequeña. Los valores de X que optimizan la expresión presentada en el punto 2
anterior se generalizan como en ec (2.7)
2 2
21yMSE T (2.7)
Donde 0,1 , se resalta que ésta última ecuación es similar a la del método Box y
Jones (1992), la cual también permite ponderar la importancia del sesgo y la
variabilidad utilizando los mismos datos que los presentados por Vining- Myers y Del
Castillo- Montgomery, Lin y Tu demostraron superioridad en su metodología.
Una crítica a la metodología de Lin y Tu es que la minimización del error cuadrático
medio no coloca restricción en qué tan alejado estará el valor resultante de y del valor
25
Target, .T En ajustes en donde es cucial mantener la media en el valor Target, el
método de Lin y Tu puede no ser suficiente.
2.3.7 Optimización mediante el método de Vining- Bohn
Vining y Bohn (1998) señalan que en la práctica, a menudo es dificil modelar la varianza
del proceso con un modelo parametrico. Esto debido al hecho de que la varianza del
proceso a menudo es “ruidosa” y un modelo paramétrico puede no ser lo
sufucuentemente flexible para ajustar ciertos matices que pueden caracterizar el
modelo real. Un enfoque no paramétrico para el modelado de la varianza es el estimado
de la función g , donde g se considera perteneciente a una clase de funciones suaves.
El ajuste se basa completamente en los datos, esto se contrasta con el enfoque
paramétrico donde el ingeniero especifica la forma del modelo y entonces usa los datos
en el ajuste de forma específica. Su procedimiento es una aproximación no paramétrica
y semiparamétrica para la estimación conjunta.
La idea es optimizar la función propuesta por Lin- Tu (1995), utilizan el kernel de
regresión no paramétrico separado del anterior para estimar la respuesta .x
Finalmente minimizan el error cuadrático medio de y mediante el método simplex.
2.3.8 Optimización mediante el método de Del Castillo- Montgomery
Del Castillo y Montgomery (1993) señalaron que la técnica de Vining y Myers no
siempre produce soluciones locales óptimas y propusieron el uso de programación no
lineal para determinar las condiciones de operación óptimas. Reemplazaron las
restricciones de igualdad por desigualdades.
Loa autores propusieron el uso del algoritmo gradiente generalizado reducido para
optimizar el problema de Vining y Myers con restricciones de desigualdad.
26
La programación no lineal es atractiva por una variedad de razones: Las restricciones
pueden ser formuladas de forma que sean apropiadas para la región experimental del
diseño; muchos paquetes computacionales las acomodan (incluso Excel), se puede
acomodar un rango de posibles valores para la respuesta secundaria. El planteamiento
general de optimización se muestra en (2.8)
' 0.5 '
. .
0
Min c x x Qx
s a Ax y b
x
(2.8)
Donde y es un vector de variables inactivas que describen las restricciones
(desigualdades). Fathy (1991) también propuso el uso de técnicas de programación no
lineal para resolver el problema de respuesta dual, pero asumió que la forma tradicional
de la respuesta era conocida.
2.3.9 Optimización mediante el método de Copeland- Nelson
De acuerdo a una crítica realizada el método de Lin- Tu a razón de que el error
cuadrático medio no coloca una restricción sobre el qué tan alejado pueda ser el valor
resultante de y del valor Target .T En ajustes en los cuales es crucial el mantener la
media en el valor objetivo, el método de Lin y Tu puede no ser suficiente. Copeland y
Nelson (1996) reformularon el problema de optimización del error cuadrático medio
poniendo una cota a la distancia entre la media y el valor objetivo. Los autores
abordaron la propuesta de formulación como ec (2.9)
2
. .
y
y
Min
s a T
(2.9)
En este caso nos interesa obtener una solución para y que esté dentro de un valor
especificado desde el objetivo. Por ejemplo, si es necesario que y esté dentro de *
27
de T con probabilidad 1 y y es un intervalo de confianza del 1 100% para
y entonces se usaría * . Para encontrar las condiciones de operación óptimas,
Copeland y Nelson proponen el uso del procedimiento simplex de Nelder- Mead para la
minimización directa de la función ,y como toma los valores que se muestran en
(2.10)
2 22
22
si
0 si
y y
y
T T
T
(2.10)
Las funciones objetivo también son propuestas para los escenarios “entre mas largo
mejor” y “entre más pequeño es mejor”, Copeland y Nelson demostraron que su
metodología es igual de efectiva que la propuesta por Lin- Tu. Para procesos en donde
era importante mantener la media cerca del objetivo, el valor seleccionado debe ser
pequeño. La media y la desviación estandar se sustituyen por los modelos de regresión
correspondientes.
2.3.10 Optimización mediante el método de Kim- Lin
Kim y Lin (1998) propusieron una metodología de optimización difusa. Una función de
pertenencia difusa en la teoría de conjuntos se utiliza para medir el grado de toma de
decisiones de satisfacción respecto a las respuestas de la media y desviación estandar.
Señalando que muchos de los algoritmos de programación no lineal generales pueden
producir soluciones locales optimas en lugar del óptimo global deseado. El problema de
optimización se plantea en (2.11)
s.a. >
>
Max
m x
m x
x R x
(2.11)
28
Se pueden construir varias funciones m para la solución de este problema, donde la
media x y la desviación estandar x se sustituyen por los modelos estimados
1Y x y 2Y x para la media y la varianza respectivamente como se muestra en (2.12)
y (2.13)
min max
1 1 1 1
min11 1 1
min
1
1
max
1
0 si ( ) o si ( ) ,
( )1 si ( )
( )1
Y x Y Y x Y
M Y xm Y x Y Y x M
M Y
Y x M
Y M
max
1 1 si ( )M Y x Y
(2.12)
min
2 2
maxmin max2 2
2 2 2 2max min
2 2
max
2 2
1 si ( )
( ) si ( )
0 si ( )
Y x Y
Y Y xm Y x Y Y x Y
Y Y
Y x Y
(2.13)
Estas funciones pueden reescribirse en las restricciones, o como su función objetivo. En
el caso no lineal, una función adecuada entre otras, puede ser la exponencial con forma
(2.14)
si 0
1
1 si 0
d zd
d
e ed
m z e
z d
(2.14)
Para la media z se define como (2.15) y (2.16)
min max1 11 1 2
max min
1 1
( ) ( ) para ( )
Y x M M Y xz Y Y x Y
Y M M Y
(2.15)
29
minmin max2 22 2 2
max min
2 2
( ) para ( )
Y x Yz Y Y x Y
Y Y
(2.16)
El parametro caracteriza la forma de la función, Wolkenhauer (2001) presentó técnicas
para la aplicación de la modelación difusa.
2.3.11 Optimización mediante el método de Köksoy y Doganaksoy
Köksoy y Doganaksoy (2003) consideran los escenarios entre más pequeño es mejor y
entre más largo es mejor sin colocar restricciones en la respuesta secundaria. En su
lugar tratan a la respuesta secundaria como otra respuesta primaria y generan una
cadena de soluciones óptimas conocidas como soluciones óptimas de Pareto utilizando
el algoritmo NIMBUS. Dicho algoritmo es utilizado por el software NIMBUS el cual está
disponible de forma gratuita en internet en http://nimbus.Mit.jyu.fi/.
2.3.12 Optimización mediante el método de Domínguez- Rocha
Domínguez y Rocha (2004) presentaron un método de optimización utilizando curvas de
nivel: se establecen en el plano el conjunto de restricciones. En el caso de la respuesta
dual, la región queda determinada por un modelo ajustado de segundo orden y la región
experimental.
Se sobrepone la función objetivo en la región de restricciones. Donde la función objetivo
es el modelo de segundo orden el cual se quiere optimizar.
2.3.13 Optimización mediante el modelo ponderado
Una de las ideas planteadas desde algun tiempo atrás, es la regresión en dos etapas.
El propósito de esta estrategia es disminuir el impacto de la variabilidad en la
estimación de un modelo de regresión, como referencias se tiene a Harvey (1976) y
30
Aitkin (1987). Su idea al caso de optimización conjunta se representa de la siguiente
forma:
Etapa 1. Ajustar el modelo x
Ajustar el modelo 2
logy x y x
Este proceso descompone el espacio de factores en 1 2,x X X donde 1X describirá
los factores que son significativos en la etapa 2, es decir, afectan la variabilidad; 2X se
refiere a los factores que son importantes en la Etapa 1. Un procedimiento similar lo
propone Chan y Mak (1995). El procedimiento algorítmico es:
Partir de los supuestos clásicos
Identificar los 1X que afectan y x ( y x es el modelo de regresión de segundo
orden
Optimizar 1y X
Considerar los pesos 1expi y X
Reajustar el modelo 'x x , calculando 1
' 'x x x y
Se ajusta el modelo 2X tal que 2X se aproxime a .M
Se obtienen los valores óptimos de 2X
2.4 Análisis mediante el arreglo combinado.
El doble arreglo ortogonal propuesto por Taguchi ha sido criticado por dos razones
principales. Primero, si hay factores numerosos de control y de ruido aunque el diseño
sea fraccionado, a menudo se requieren muchas corridas para tener uso práctico. En
segunda, los diseños de Taguchi altamente fraccionados no permiten las interacciones
(además, no se pueden estimar las interacciones de control- ruido, las cuales son
necesarias para optimizar). Para abordar estas cuestiones, Welch et al (1990)
31
propusieron el uso de un arreglo experimental sencillo para controlar tanto los factores
de control como los de ruido. El diseño se conoce como arreglo combinado y su modelo
de respuesta se define como en (2.17)
0, ' ' ' 'Y x z X X BX Z X Z (2.17)
Donde 'X y 'Z son vectores de control y factores de ruido, y son vectores de
coeficientes para las variables de control y de ruido, B es una matríz cuyas diagonales
son los coeficientes para los efectos cuadráticos puros de los factores de control cuyas
diagonales principales son la mitad de los efectos de interacción de los factores de
control, y es una matriz de los efectos de interacción de los factores de control x los
factores de ruido. Los errores se asumen típicamente 20, .N Myers, Khuri y Vining
(1992) señalaron que el modelo propuesto por Welch et al. Puede utilizarse para
formular superficies de respuesta duales. La selección de las condiciones óptimas X
puede obtenerse vía exploración conjunta de las superficies de respuesta que son
generadas por la exploración conjunta de la media y la varianza de la respuesta.
El modelo para la media se encuentra calculando la esperanza condicional de ,Y x z
de la ecuación (2.17) obteniendose la ec (2.18)
0[ , ] ' 'E Y x z X X BX (2.18)
Los términos son los mismos que en la ecuación (2.17), se observa que se cancelan los
términos de ruido. El modelo para la varianza se obtiene calculando la varianza
incondicional de ,Y x z de (2.17) y así se obtiene (2.19)
2' ' ' ' 'Var Y Var x,z X Z X (2.19)
Donde Var Z denota la matríz de varianza- covarianza de Z . Si asumimos que
2 ,Var ZZ I entonces (2.19) puede reescribirse como ec (2.20):
32
2 2
2 2
' ' ' ' '
'
Var Y
Z
Z
x,z X X
I X I X (2.20)
Donde ' I X X
Algunos autores que han utilizado este tipo de arreglo en sus proyectos de investigación
son Lucas (1989, 1994), Sacks (1989) y Borkowski (1997). Khuri (1996) señala que en
muchas situaciones el efecto del ruido es aleatorio y debe ser tratado como tal en el
análisis y el modelado; por ejemplo, en la industria de semiconductores, puede ser de
interés el investigar los efectos de varios factores en la resistencia de los chips de
ordenador. Las mediciones son tomadas usando obleas de silicio extraídas de un lote
grande. Puesto que las obleas usadas en el experimento son parte de una muestra
aleatoria, el efecto de la oblea en el modelo debe considerarse como aleatorio.
Autores como Aggarwal y Kaul (1999) construyeron diseños en arreglos combinados no
ortogonales utilizando variables de control y de ruido. El tamaño del diseño puede
reducirse de manera significativa si puede sacrificarse la ortogonalidad. Asimismo,
Aggarwal y Bansal (1998) consideraron DRP’s que involucran tanto factores cualitativos
como cuantitativos, consideraron los factores cualitativos de forma separada de las
variables de control y de ruido, para su propuesta solamente utilizaron un factor
cuantitativo. Posteriormente Aggarwal (2000) extendió estos trabajos mediante la
construcción de pequeños diseños robustos involucrando tanto factores cualitativos
como cuantitativos.
2.4.1 Generalización del modelado de la media y la varianza
La aproximación mediante el modelado de la media y la varianza presenta algunas
ventajas en relación al modelado de locación y dispersión, entre ellos:
Permite estimar la media y la desviación estandar en cualquier valor de interés
para los factores de control.
Permite al usuario ganar con claridad en el proceso al controlar la media y la
varianza.
33
Proporciona los elementos para optimizar el proceso mediante el criterio del error
cuadrático medio (también llamado esperanza de la pérdida). Además permite
estimar los cuantiles cuando se tratan los casos lo más pequeño es lo mejor y lo
mas grande es lo mejor.
Permite el criterio de restricción en la optimización.
El modelo en forma general es el mismo que en (2.17):
0 ' ' ' 'y X X BX Z X Z
Las matrices beta (mayúscula) y delta son
11 1 11 1
1 1
.5 .5
.5 .5
k q
k kk k kq
B
Por ejemplo, si se tienen dos factores de control y dos factores de ruido las matrices
anteriores son
11 12 11 12
21 22 21 22
.5 =
.5
B
Para fijar las ideas sobre el modelo, en (2.21) se ejemplifica el caso para k=2 y q=2.
2 2
0 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2 1 1 2 2
11 1 1 12 1 2 21 2 1 22 2 2
y X X X X X X Z Z
X Z X Z X Z X Z
(2.21)
Donde la variable aleatoria se distribuye como 20,N
En el contexto del proceso, el factor de ruido es una variable aleatoria continua y por lo
general se supone que tiene media cero y varianza 2
Z
2
20, Z rE Z Var Z I
34
Las expresiones generales para la media (2.22) y la varianza (2.23) son
,ZE y x z g x (2.22)
Donde 0 ' 'g x X X BX
2, 'z zVar y x z Var z X (2.23)
Recordando que ' ,z zVar az a Var z a entonces si 'a X se tiene que
' ' ' 'z zVar z Var z X X X
Finalmente
2 2, ' ' 'z zVar y x z X X (2.24)
La varianza se puede reescribir como (2.25):
2 2, 'z zVar y x z I x I x (2.25)
Donde
' I x X
El modelo para la varianza tiene varios aspectos que conviene señalar además de la
varianza del error 2 , la varianza del proceso es 2
.I x Observe que I x es el vector
de derivadas parciales de la respuesta ,y x z con respecto a ,z como se muestra en
(2.26)
35
,y x z
z
I x (2.26)
Una interpretación del modelo (2.25) es que para un valor grande para el vector ,I x la
varianza del proceso es grande. Se escriben los modelos para la media (2.27) y la
varianza (2.28):
0( ( , )) ( ( , )) ' 'E y x z y x z X X BX (2.27)
2 2 2 2( ( , )) '( ) ( ) ( ' ) '( ' )z z zVar y x z I x I x X X (2.28)
Donde 2 es el cuadrado medio del error en el modelo ajustado, el planteamiento de la
optimización se muestra en (2.29)
,
. ,
zx
Min Var y x z
s a y x z M (2.29)
El modelado de la media y la varianza se puede ver como un problema dual de
superficie de respuesta. Esta aproximación permitirá una mayor flexibilidad en el
análisis e interpretación de los procesos. Así los modelos estimados:
Permitirán encontrar los valores en la región experimental de los factores de
control, donde se tengan valores adecuados para la media y la varianza. Con ello
los ingenieros de proceso podrán ganar mayor claridad sobre el proceso.
Proporcionarán una alternativa para la optimización del criterio de pérdida,
expresada por el cuadrado del error, ver expresiones para el objetivo es lo mejor
(2.30), entre más grande es mejor (2.31) y entre más pequeño es mejor .
Optimizar bajo el criterio de restricción.
Varios otros métodos.
36
2 2 2( ( , ) ) ( ( ( , )) ) ( ( , )) ( ( ( , )) ) ( ( , ))z zE y x z m E y x z m Var y x z y x z m Var y x z (2.30)
El cuantil para el más grande es mejor
( ( , ) 2 ( )zE y x z y (2.31)
El cuantil para el más pequeño es lo mejor
( ( , ) 2 ( )zE y x z y (2.32)
El diseño experimental es ampliamente utilizado para el desarrollo y optimización de
procesos de manufactura. Los diseños más utilizados para el logro de estos objetivos
son los diseños factoriales a dos niveles y los fraccionados, así como los diseños de
superficie de respuesta clásicos. Montgomery (2013) indica que los experimentos con el
arreglo cruzado tipo Taguchi con pocos niveles por factor de ruido resultan en una
estimación pobre de los efectos de dispersión. El arreglo combinado casi siempre lleva
a una reducción en el tamaño del experimento. A partir del modelo en (2.17) se
obtienen los modelos para la media (2.27) y el modelo para la varianza (2.28). Después
de que se ajustan los modelos de regresión correspondientes se utiliza el modelo de
parámetros estimados del ajuste, incluyendo estimados de 2.
2.4.2 Optimización mediante el método de Myers- Khuri- Vining
Myers, Khuri y Vining (1992) utilizan superficies de respuesta para explorar el modelo
de la media y la varianza. La diferencia en los dos métodos radica en que Vining- Myers
se basan en la réplica de x con el fin de obtener datos para el modelo de la varianza.
En el modelo Myers- Khuri- Vining el modelado de la varianza es obtenido mediante la
toma del operador de la varianza a través del modelo combinado propuesto por Welch
et al. Los modelos separados se ajustan en la metodología Vining- Myers, mientras que
en la metodología Myers- Khuri- Vining solamente se ajusta un modelo. En el modelo se
asume que los niveles de las variables de ruido están fijas en el experimento, pero en el
37
proceso realmente son aleatorias. El modelo propuesto por Myers- Khuri- Vining puede
extenderse como (2.33)
0( , ) ´ ´ ´ ´i i i i i i i i i iy z x z x x Bx z x (2.33)
Con 20, .i iN La superficie de respuesta para la media y el proceso se define como
en (2.27) y la varianza como en (2.28). Cuando se asume variación residual constante,
la superficie de respuesta de la varianza se define como (2.34)
2 2
Var , ´ ´ ´ ´ ´zi i i iy x z x x (2.34)
Donde y son obtenidas desde el ajuste del modelo resultante y 2
es el cuadrado
residual del ajuste del modelo estimado. Cuando existe una variación no constante, se
debe definir una metodología para estimar los valores de 2.i Si los puntos del diseño
han sido suficientemente replicados, se pueden utilizar las varianzas muestrales.
Aunque este sea el caso a menudo, si la variación residual es una función de las
vairables del diseño, es aplicable de alguna forma al modelado de la varianza.
Para resolver el problema del DRP, los autores seleccionan la pérdida cuadrática
estimada del error como criterio del desempeño:
,E y T
x z (2.35)
Donde T es el valor objetivo pre especificado, y se minimiza con respecto a ,x Myers-
Khuri- Vining propusieron un enfoque lineal de efectos mixtos, en el cual los elementos
de y en la ecuación (2.33) fueron tratados como aleatorios.
38
2.4.3 Optimización mediante el método de Box- Jones
Esta técnica parte del concepto de la función de pérdida, esta es una medida de la
pérdida económica asociada al producto de la característica .xzY Welch et al (1990) la
definen con respecto a la distribución Z como 2
( ) ,xzL X Y f Z dZ se considera
únicamente una característica de calidad xzY y el valor objetivo , lo que se requiere es
minimizar la pérdida del error cuadrático (2.36)
2
( ) xzL X Y f Z dZ (2.36)
Siguiendo con esta idea, Box y Jones (1992) proponen estimar una medida que
describa la cercanía entre la respuesta y el valor objetivo , ellos desarrollan
matemáticamente la expresión (2.36), para obtener la ecuación ,L X M X V X
donde 2
xzM X Y mide la desviación cuadrática media de la respuesta con
respecto al valor objetivo, y ( ) ´V X A DX DX mide la variación cuadrática
media alrededor de la respuesta promedio, donde 2 2145
5 4 , .ij ii
i j
A i j
Intuitivamente, M X considera los factores de control promedio V X mide que tanta
variabilidad existe en el funcionamiento del proceso para diferentes factores de ruido,
esta se calcula con la expresión (2.28), se optimiza la ecuación resultante mediante
técnicas apropiadas del análisis numérico. Debe notarse que el valor asignado a es
totalmente arbitrario y depende de la importancia que se le quiera dar a la media o a la
variabilidad en el proceso, análogamente, el parametro es arbitrario cuando no se
tiene especificado el valor objetivo del proceso.
La asignación de los valores para y , se puede plantear como una desventaja de
este método ya que da lugar a que se usen sin cuidado. Los valores de mY y sY se
generan al sustituir en las ecuaciones correspondientes el valor del nivel de cada factor.
39
2.4.4 Optimización mediante el método de Grima
Grima (1992) propone una mejora al método de Box y Jones. La idea principal es
elaborar una gráfica en el plano cartesiano tal que se grafique la varianza contra la
diferencia del valor objetivo propuesto y la media, la estrategia a desarrollar es
encontrar un óptimo común, para alcanzar este propósito de propone un algoritmo.
El trabajo principal es elaborar una gráfica en el plano cartesiano tal que se grafique la
varianza 1 2 3| , ,xzVar Y X X X y la esperanza 1 1 2 3| , , ,xzY E Y X X X donde xzY es el
modelo 3. Se estima la diferencia xzD E Y y se busca un óptimo comun
* , * ,xzV Y D en el trabajo citado la varianza y la esperanza se estiman
suponiendo que los factores Z siguen una distribución uniforme 1,1 ,Z U en la
práctica este supuesto puede ser poco realista, lo que establece una limitante en éste
proceso.
2.4.5 Optimización mediante el método de Barker- Lawson
El procedimiento de Barker- Lawson (1985), (1990) se construye a través del modelo
(2.17) y de los resultados obtenidos en su estimación, de esta manera se puede escribir
el modelo en forma reparametrizada para los factores de ruido z en ec (2.37)
0 1 2 221 2 1 2zzY Z Z Z Z (2.37)
Donde cada está en función de los factores de control 1 2 3, , ,X X X X por ejemplo
0 0 ´ ´ .X X BX Barker (1985) propone simular los factores de ruido como sigue:
1 1Z sW y 2 1 21 ,Z rZ s W donde las iW se generan independientemente como una
normal estandar y correlación , la estimación de estos parámetros se obtiene por
información del proceso.
40
Lawson (1990) simula los factores de ruido Z siguiendo este procedimiento, con los
valores 0.333s y 0.248,r que son asignados a su estudio, la simulación se realiza n
veces a cada una de las 15 corridas en el experimento de Box- Behnken, de esta
manera se puede estimar mY y sY para los datos simulados.
En la metodología de superficie de respuesta (MSR), cuando se tiene más de una
respuesta, es frecuente utilizar las curvas de nivel para cada una de ellas y luego
sobreponerlas, esta estrategia de graficación sencilla que permite identificar un valor de
los factores que sea común a ambas respuestas, además permite observar varios
valores de optimización para diferentes niveles de los factores. Como este
procedimiento genera las respuestas para la media y varianza, estas se optimizan
simultaneamente mediante la superposición de sus respectivas curvas de nivel.
2.4.6 Modelado de respuesta Dual via experimentos simulados
Giovagnoli y Romano (2008) presentaron una modificación del modelado de respuesta
Dual, en el cual se incorpora la opción de simular de forma estocástica algunos de los
factores de ruido cuando su comportamiento es desconocido. La propuesta busca la
integración de los arreglos cruzado y combinado y su aplicación al diseño integrado de
parametros y tolerancias.
A partir del modelo general en (2.17) se dividen los factores de ruido aleatorios en dos
vectores independientes 1 2( , ).Z Z Z En el vector 1Z se incluyen las variables que se
simularán de forma estocástica. Mientras que el grupo restante de factores 2Z se tienen
los niveles fijos 2z para diferentes elecciones de los 2 .z Al mismo tiempo, se
seleccionan diferentes niveles x de los factores de control para la experimentación. El
experimento es realizado de forma estocástica simulando el ruido 1Z para los pares
seleccionados 2, ,x z aquí se calculan la media muestral y las varianzas de las
respuestas observadas.
41
El método propuesto requiere el conocimiento del comportamento probabilístico de los
factores de ruido. Solamente la distribución de los factores de ruido 1Z es requerida
para la simulación. El conocimiento de la distribución del ruido puede venir ya sea de
datos históricos o a partir de mediciones ad hoc, en algunos casos se puede asumir
normalidad. El esquema propuesto puede generalizarse a un enfoque de pasos
múltiples si los factores de ruido se simulan en forma secuencial añadiendo uno de ellos
en cada paso al vector 1.Z Esto permite evaluar de forma secuencial el como afecta un
factor de ruido la variabilidad global.
Robinson et al (2004) y Khuri and Mukhopadhyay (2010) presentaron revisiones
importantes sobre el modelado dual en la metodología del DRP.
2.5 Análisis para sistemas señal- respuesta (sistemas de características dinámicas)
La optimización de sistemas multiple objetivo (también conocido como DRP dinámico)
comprende una clase importante de problemas en el DRP. Se dan descripciones
detalladas de la metodología en Miller & Wu (1996), Joseph & Wu (2002) y (2002) y
Tsui (1998) y (1999). Como ejemplo de este tipo de sistemas se puede considerar el
proceso de moldeado por inyección que presentaron (2000). A razón de la diversidad de
productos, estos tendrán diferentes dimensiones. Dependiendo de los requerimientos
del cliente, las diferentes dimensiones de las partes pueden obtenerse mediante el
cambio de dimensiones del molde. Los ajustes finos para compensar los factores de
ruido en el proceso pueden ser obtenidos mediante la presión de inyección. Así, la
dimensión del molde es el factor señal M y la presión de inyección es la variable
controlable .C
Miller y Wu presentaron una propuesta metodológica para aplicaciones de sistemas
complejos llamados “sistemas con características dinámicas” en la terminología de
Taguchi o también llamados sistemas señal- respuesta. Esta es una herramienta
potencialmente en la ingeniería de calidad en la que recae una sólida base de teoría y
metodología. El propósito de su investigación es el de proveer sus fundamentos.
42
Clasificaron los sistemas señal- respuesta en dos amplias clases: Sistemas de medición
y sistemas múltiple objetivo. Para esto, a continuación se mencionan 3 asuntos de
importancia:
Primero: Se requiere seleccionar una medida de desempeño adecuada para la
optimización, y su selección depende del tipo de sistema. La razón señal a ruido
dinámica de Taguchi se muestra apropiada para ciertos sistemas de medición
pero no para sistemas de múltiple objetivo.
Segunda: Hay dos estrategias para modelar y analizar datos; el modelado de la
medida de desempeño y el modelado en función de la respuesta, el diseño
apropiado de tales experimentos debe tomar en cuenta el modelado y la
estrategia de análisis.
Shoemaker, Tsui y Wu (1991) utilizaron el modelado en función de la respuesta para
aplicaciones de respuesta simple. El modelado en función de la respuesta utiliza los
datos experimentales para modelar la relación de señal- respuesta como una función de
los factores de control y de ruido. La medida de desempeño es evaluada con respecto a
los modelos ajustados con el fin de seleccionar los niveles preferidos de los factores de
control. Este enfoque trata la relación señal- respuesta como una función de los factores
de control y de ruido. Joseph y Wu (2002) probaron la validez del modelo (2.38) para
sistemas de múltiple objetivo; en su artículo sobre diseño robusto en sistemas de
control, Joseph (2003) adopta el modelo para utilizarlo en un caso sobre sistemas de
medición.
,Y M X Z (2.38)
En el modelo en (2.38) el elemento , X Z representa al equivalente del modelo del
arreglo combinado (2.17) que ahora se encuentra en función de los niveles del factor
señal .M Pingnatiello y Ramberg (1985) presentaron un caso de DRP para
características dinámicas que involucra un tratamiento de ballestas utilizadas en
camiones. El objetivo era desarrollar un proceso en el cual se buscó un valor Target en
43
el peso libre de 8 pulgadas. Demates (1990) presentó un caso experimental en la
industria del DRP para características dinámicas utilizando la razón señal a ruido
dinámica de Taguchi.
2.5.1 Medidas de desempeño (Performance Measures PerMIA)
Un paso importante para el examen del desempeño en un sistema señal- respuesta es
la identificación de una medida de desempeño (PerMIA por sus siglas en inglés), la cual
pueda evaluar la relación señal- respuesta de forma adecuada de acuerdo a la
aplicación deseada. Mediante la optimización de la medida de desempeño seleccionada
pueden identificarse los ajustes de los niveles de control con los cuales se alcancen los
objetivos de ingeniería, es decir, que en ésta relación señal respuesta exista la menor
variación, siendo la respuesta robusta o que presenta menor sensibilidad al efecto de
los factores de ruido (1987).
Un esquema para la identificación de un PerMIA adecuado es la especificación de una
relación señal- respuesta ideal y la penalización de las desviaciones desde su función
objetivo. Suponiendo inicialmente que la función objetivo es de la forma (2.39)
tE Y M (2.39)
Donde t es la pendiente objetivo, y la relación señal- respuesta puede ser
representada por (2.40)
Y f M (2.40)
Donde 20,E Var
Y se puede generalizar agregando el término intercepto a (2.41)
44
Y M (2.41)
Un PerMIA puede generalizarse mediante el promedio del error cuadrático medio (MSE)
sobre un rango especificado para el factor señal, por ejemplo a bm m como en (2.42)
2 2PerMIA= MSEb b
a a
m m
tm m
dm f m m dm (2.42)
En la evaluación del desempeño de un sistema puede ser benéfica la modificación del
PerMIA si existe alguna clase de control específico llamado factor de ajuste, los mismos
pueden ser revisados en león et al. (1987). En términos prácticos, un factor de ajuste
afecta al sistema de una forma comprensible, de tal forma que si la relación señal
respuesta es conocida o estimada para cualquier nivel del factor de ajuste, entonces la
relación señal- respuesta puede ser deducida de manera confiable para cualquier otro
nivel del factor de ajuste Si este factor existe, entonces tendrá sentido evaluar el
PerMIA dado que el factor de ajuste se coloca en su nivel óptimo. La razón señal a
ruido dinámica de Taguchi asume la existencia de un factor de ajuste el cual afecta al
sistema en la misma forma que lo hace un cambio de escala. León y Wu (1992) dan
detalles sobre los tipos de PerMIA según su aplicación.
Ilustración 2-1 Buen sistema señal- respuesta y sistemas pobres (b) y (c), en (Miller, 1996)
45
La Ilustración 2-1 muestra las diferencias entre un buen sistema señal- respuesta (a) y
ejemplos de sistemas señal- respuesta pobres (b) y (c). Supongase que para un grupo
de niveles fijos de los factores de control se conoce la relación señal- respuesta real
dada en el inciso (a) de la Ilustración 2-1 la cual se considera como buena, entonces,
mediante el cambio del factor de ajuste se puede obtener cualquier relación señal-
respuesta de la forma ,Y c f M donde c es caulquier constante positiva. Para
ver como se utiliza en la práctica el factor de ajuste, suponga que se realiza un grupo de
observaciones para un conjunto de niveles de factores de control, los cuales son fijos e
ijy representa a la i- esima respuesta observada al í- esimo nivel de señal .iM Ahora
considerando el ajuste de mínimos cuadrados al modelo en (2.43)
ij iE y M (2.43)
Sea la representación del estimado de mínimos cuadrados de y
212 1 ,ij ii j
s n y M
donde n es el número total de observaciones. Así
representa la pendiente estimada para el mejor ajuste del modelo lineal y 2s representa
el MSE estimado para dicho modelo (el cual está promediado sobre los niveles del
factor señal). Si asumimos que la función objetivo es ,tM nosotros desearíamos
utilizar el factor de ajuste para escalar la relación señal- respuesta mediante un factor
/ .t Dado este ajuste, el MSE proyectado sería 2
2/ .t s Minimizar el MSE es
equivalente a maximizar (2.44)
2log / s (2.44)
A la cual Taguchi le llamó la razón señal a ruido dinámica. Este PerMIA está basado en
los objetivos de que la señal- respuesta debería ser: a) lineal y b) Robusta a factores
incontrolables. Más que el desarrollo de un PerMIA mediante la identificación de una
relación señal- respuesta ideal, y penalizando la salida del sistema, se prefiere basar las
46
medidas de desempeño de manera directa mediante la habilidad del sistema para que
pueda realizar la función para la cual es diseñada, una razón para esto que no siempre
es posible identificar la relación señal- respuesta ideal.
Mencionando algunas críticas de la razón señal a ruido dinámica de Taguchi,
considerando la situación en que la relación es no lineal en las métricas originales de la
respuesta y el factor señal, pero que pueden linealizarse mediante una transformación
adecuada del factor señal, la aplicación de un PerMIA basado en una función lineal
ideal puede producir diferentes valores dependiendo si la métrica original o
transformada es utilizada para el factor de señal. Otra crítica de la razón señal a ruido
dinámica se refiere a la asunción de la existencia de un factor de ajuste el cual actua
como un factor escalante, el cual puede no aplicar en muchas ocasiones.
El análisis de sistemas de medición (MSA) es un enfoque sistemático para la medición y
reducción de la variación de medición (Carey, 1993). El MSA tradicional consiste de dos
pasos diferentes:
1. La estimación de diferentes componentes de medición de variación (por ejemplo
el Gage R&R) utilizando experimentos diseñados. (Burdick, 2003).
2. La identificación de las causas raíz utilizando un enfoque de resolución de
problemas típico (Dasgupta T. a., 2001).
2.5.2 Modelado de la medida de desempeño (Performance Measure Modeling –PMM)
El modelado de la medida de desempeño (PMM por sus siglas en inglés) puede
considerarse el análogo del modelado de locación y dispersión para sistemas de
respuesta simples (Wu & Hamada, 2000). A continuación se describen los pasos para el
modelado mediante este esquema experimental:
1. Para cada combinación de los factores de control en el experimento calcule el
valor de la medida de desempeño (PerMIA) basada en los valores de la
47
respuesta para varias combinaciones de los niveles de los factores señal y de
ruido.
2. Modele los valores PerMIA en (2.44) como función de los factores de control. Se
determinan los valores preferidos para los factores de control desde el modelo
ajustado.
Se requiere modelar la cantidad resultante en el segundo paso de este procedimiento a
dos pasos. Contrastando con el procedimiento de Taguchi a dos pasos, el segundo
paso involucra el ajuste de la pendiente , se requiere modelar la pendiente estimada
, la cual se calcula para cada combinación de niveles en los factores de control para
el experimento, como función de los factores de control. De ahí que el enfoque PMM
debería involucrar tanto el modelado PMM como los cuantiles en el paso 2 del
procedimiento mencionado en los puntos anteriores.
Una alternativa al procedimiento a dos pasos de Taguchi involucra a 2 , y ,SR los
cuales se calculan de acuerdo a las fórmulas ya mencionadas para cada una de las
combinaciones de control en el experimento. Esta versión alternativa del enfoque PMM
es preferida al enfoque de Taguchi porque se involucra a la señal a ruido dinámica, la
cual tiene una justificación limitada. El enfoque PMM es una versión análoga al
modelado de locación- dispersión para los sistemas de respuesta simples -de la
ecuación (2.1) y explicado en la sección 2.3.2-. Lo anterior involucra el modelado de la
sensibilidad (por ejemplo ) y la dispersión (por ejemplo 2ln s ), en este enfoque se
involucra el modelado de locación y y el de la dispersión con 2ln s o .SR
2.5.3 Modelado en función de la respuesta (Response Function Modeling –RFM)
El modelado en función de la respuesta (RFM por sus siglas en inglés) trata la relación
señal- respuesta y la modela como función de los factores de control y de ruido. La
medida de desempeño se evalua entonces con respecto de los modelos ajustados para
seleccionar los niveles preferidos de los factores de control. Esto es una extensión del
48
enfoque de modelado de respuesta para los sistemas de respuesta simples (Wu &
Hamada, 2000). Para determinar la relación señal- respuesta lineal, el RFM puede
definirse en el siguiente procedimiento a dos pasos:
1. Para cada combinación de factores de control/ ruido en el experimento, se ajusta
una línea de regresión basada en el modelo (2.41) para los valores de respuesta
sobre los niveles del factor señal. Se calculan los estimados para la i- esima
combinación de 2, , .i i is
2. Obtenga modelos de regresión separados para ,i i y 2ln is como función de los
factores de control y de ruido. La medida de desempeño seleccionada puede ser
evaluada entonces con respecto a estos modelos y pueden determinarse los
ajustes preferidos para los factores de control.
El análisis y modelado en los pasos 1 y 2 pueden emplear cualquiera de las técnicas
discutidas en los capítulos previos. Si la estructura del error es más complicada, el
modelado en el paso 2 requerirá un análisis más elaborado. Si la relación señal-
respuesta es más complicada (por ejemplo una función curva, cuadrática o spline) se
puede extender a formas diferentes, por ejemplo, para una relación cuadrática el
modelado adicional involucra al coeficiente cuadrático en el modelo de regresión
cuadrática.
En general el procedimiento PMM no se prefiere porque a menudo puede ocultar
información de utilidad presente en los datos. El enfoque PMM solamente provee
información sobre el como afectan el desempeño general del sistema los factores de
control, la forma del sistema señal- respuesta o las interacciones con factores de ruido
específicos se pierden. Este es el tipo de información que puede ser valiosa en las
propuestas para futuras investigaciones. El enfoque RFM no sufre de estas deficiencias.
El modelado inicial de la respuesta a menudo proveerá de una penetración útil al
sistema, de forma posterior se puede aplicar el esquema PMM al modelo para
identificar los niveles preferidos para los factores de control.
49
2.5.4 Esquemas de optimización para los sistemas señal- respuesta
Esquema clásico Tipo Taguchi
El esquema clásico de Taguchi para la optimización de sistemas señal respuesta ya sea
en el esquema RFM o PMM contempla la realización de los siguientes pasos:
1. Seleccionar los niveles de los factores de control que son significativos en el
modelo de la razón señal a ruido dinámica para maximizar (2.44).
2. Seleccionar el nivel de los factores que tienen efecto significativo sobre las i
para colocar el valor de la media lo más cercano posible en el Target.
Para la selección de los términos que son significativos se utiliza el análisis ANOVA y
los gráficos de Daniel o Half Normal. En algunas situaciones, puede ser necesario
modificar el paso 2 para incluir otro factor de ajuste con el fin de colocar el término
intercepto en el Target, otra versión de la SR dinámica asume un intercepto cero en
el modelo. Los valores de y 2s en la SR son los modelos estimados de mínimos
cuadrados basados en el modelo simplificado con término 0. A menos que la
asunción de intercepto cero se conozca de manera anticipada y fuertemente sugerida
en los datos, en este caso se utiliza el modelo (2.44).
Como restricción, cabe señalar que el procedimiento a dos pasos de Taguchi puede
justificarse solamente si se cumple la relación de proporcionalidad en (2.45)
2 α Var y (2.45)
O de forma más precisa, si la relación señal- respuesta puede ser representada por el
modelo en (2.46)
1 2 1x , xy x M (2.46)
50
Donde 0E y 1x .Var Q Lo cual implica que la varianza de la relación en
(2.45) sea
2
1 2 1x , xVar y x Q (2.47)
Despejando (2.47) se tiene que
2
1
1
xVar y Q
Entonces, maximizar (2.44) es por lo tanto equivalente a minimizar la varianza de .
Bajo el modelo (2.44), el procedimiento a dos pasos de Taguchi puede ser replanteado
como:
1. Seleccionar *
1x que minimice 1x .Q
2. Seleccione *
2x tal que * *
1 2x , x
Donde es el valor más largo, en este contexto, 1x es un vector de factores de
dispersión y 2x es el factor de ajuste. Debido a que (2.44) no depende del factor de
ajuste 2 ,x se trata de una medida de desempeño independiente de ajuste (PerMIA)
(Leon R. a., 1992).
Esquema propuesto por Joseph y Wu
Joseph y Wu proponen un esquema de análisis en el cual se pueden aplicar tanto el
esquema PPM, como el RFM a un algoritmo de 5 pasos:
1. Estimar el modelo para 2
i y mediante el ajuste de un modelo log lineal
utilizando un modelo lineal generalizado (GLM por sus siglas en inglés), donde
las 2
ijs muestrales se calculan mediante la fórmula clásica de la varianza.
51
2. Estimar el modelo para las i a partir del modelo (2.40) mediante el uso de
mínimos cuadrados ponderados con pesos 1/ .Var y
3. Ajustar un modelo 2
log / y log en términos de .x
4. Utiliza un algoritmo de programación matemática para La maximización de
sujeta a las restriccion ,L donde en base a un rango , ,a b 1 / .L f b M
5. Colectar más datos en el valor óptimo X para diferentes valores del factor señal
y ajustar un modelo de señal- respuesta más elaborado.
Para el modelado RFM se propone un esquema que tiene su fundamento en las
propiedades de la Esperanza y Varianza condicionales (Ross S. , 2014).
Sea N el conjunto de valores observables de los factores de ruido, para un valor dado
de N, el modelo (2.48) está en función de los factores de control X, los factores de
ruido N y el factor señal M
X,N,Y f M (2.48)
Donde 0, X,N,E Var M y es el error aleatorio causado por los factores
de ruido desconocidos. Como aproximación a la relación señal- respuesta real se
considera el modelo polinomial en (2.49)
0 1X,N, X,N X,N X,Nf M M M
(2.49)
De la misma forma que en el algoritmo anterior, el modelo de la varianza puede ser
ajustado con pesos 1/ X,N,M usando alguna clase de regresión tipo monotónica.
Las funciones de la media y la varianza son obtenidas utilizando las fórmulas de
Esperanza (2.50) y varianza (2.51)
1X,N, X,Nf M M (2.50)
52
2X,N, X,N,M M (2.51)
La medida de desempeño se obtiene utilizando como base la razón señal a ruido
dinámica de Taguchi 2 2
/ ,s pero tomando los modelos de la media (betas) y varianza
en (2.50) y (2.51) y mediante propiedades de Esperanza y Varianza condicionales se
obtiene la medida de desempeño en (2.52)
N 1 N
2
N 1
X,N X,NPerMIA
X,N
Var E
E
(2.52)
Que puede verse como el recíproco de la razón señal a ruido de taguchi. El esquema
de optimización consiste en la maximización del inverso en (2.52) sujeto a los valores
de los niveles extremos utilizados en el diseño experimental según (2.53)
2
N 1
N 1 N
1
X,N
X,N X,N
. b X,N
EMax
Var E
s a a
(2.53)
Que puede resolverse fácilmente mediante el uso de un algoritmo de programación no
lineal. En comparación con Miller y Wu (1996) y Tsui (1998), (1999), el enfoque de
Joseph y Wu se enfoca en la minimización de la variación en la respuesta después de
ajustar para la media. Esto es importante porque la varianza está en función del factor
señal y puede cambiar mientras se ajusta la media a un valor Target.
2.6 DRP y sistemas de control
Cuando existen fuertes factores de ruido en el proceso, el DRP por sí solo puede no ser
efectivo y debe aplicarse una estrategia de control para compensar por el efecto del
ruido. De acuerdo a la teoría revisada hasta ahora, es claro que la solución del DRP
solamente funciona si existen las interacciones de control por ruido. La solución de
control no requiere tales condiciones de control y tiene una aplicabilidad más amplia.
53
Pero la solución de control requiere mediciones en línea del ruido y un controlador para
poder implementar la ley de control. Esto imcrementa el costo de producción. Mas aun,
a diferencia del DRP, esta no es una actividad de una sola vez, ya que requiere de
monitoreo continuo y de mantenimiento. De ahí que no sea prudente implementar el
control en sistemas sin investigar las oportunidades para obtener la robustez.
Debe utilizarse una estrategia efectiva de costo con el fin de considerar el uso del DRP
hasta donde sea económicamente posible y de ahí utilizar un sistema de control o
enfoque de diseño de tolerancias para mejorar el proceso más a fondo (Joseph V. ,
2003), (Dasgupta T. W., 2006).
En muchos procesos existen fuertes factores de ruido que no pueden ser
desensibilizados mediante el DRP. El uso de sistemas de control es inevitable en tales
casos. Cuando los factores son conocidos a priori, los experimentos son diseñados y se
lleva a cabo la optimización de tal forma que la ley de control sea robusta a los otros
factores de ruido. Taguchi y sus colaboradores llamaron a tales experimentos
“experimentos de doble señal” tal como lo señalan Wu & Wu (2000) y Fowlkes &
Creveling (1995).
2.6.1 Modelado y optimización de sistemas de medición con elemento de control
En la Ilustración 2-2 se muestra un sistema de medición con control, se observa que el
ruido Z se divide a su vez en un el conjunto de factores de ruido que es conocido R y el
conjunto de elementos de ruido desconocido Q. Aquí se divide N en Q,R , donde Q
son los factores que están en línea (monitoreados por un sistema de control que realiza
correcciones continuas). Los factores en linea pueden ser facilmente medidos y
compensados durante la operación del sistema, estos deben tener un efecto fuerte
sobre la respuesta, de otra forma no es conveniente aplicarles una estrategia de
compensación.
54
Ilustración 2-2 Esquema de un sistema de medición con control en (Joseph V. , 2003)
En el modelo (2.48) se mostró el caso en el que la respuesta está en función de los
factores de control, de ruido y de un factor señal, en este caso se aplica un modelo
similar que ahora divide el ruido N en Q,R , quedando de la forma (2.54)
X,Q,RY M (2.54)
Donde | Q,R 0E y 2| Q,R X,Q,RVar V M porque Q es medible en linea y
puede aplicarse una corrección realimentada en base a los valores de Q. Sea
X,Q,R | Q X,Q ,E y se asume que X,Q 0 con probabilidad 1. Así,
desde un valor observado de ,Y M puede ser estimada como (2.55), el cual es el
despeje del estimado de M a partir de (2.54)
X,Q
YM
(2.55)
Se puede comprobar que M es un estimador insesgado de M como se muestra en
(2.56)
X,Q,R | Q| Q| Q
X,Q X,Q
E ME YE M M
(2.56)
55
Para un valor dado de Q, la varianza es (2.57)
2 2
2 2
| Q X,Q| Q
X,Q X,Q
Var Y MVar M
(2.57)
La explicación de la | QVar Y en (2.57) se deduce en base a propiedades de la
Varianza condicional:
2
2 2
| Q,R | Q | Q,R | Q
= X,Q,R | Q X,Q,R | Q
= X,Q
Var E Var Y Var E Y
E V M Var M
M
Donde 2 X,Q X,Q,R | Q X,Q,R | QE V Var
Para la definición de la medida de desempeño requerida en la optimización del sistema,
tenemos inicialmente que la varianza de M estimada se puede reducir de la siguiente
forma:
2 2
2
2
2
2
var var | Q var | Q
X,Q var
X,Q
X,Q =
X,Q
M E M E M
ME M
E M
Si llamamos 2 2X,Q X,Q / X,QSR la razón señal a ruido para un valor dado de
Q. Entonces la varianza de M puede minimizarse mediante la minimización de
1/ X,QE SR para todos los valores de .M Una medida de desempeño es (2.58)
56
2
1 1PerMIA X 1/ =
X,Q X,Q,R | Q var X,Q,R | Q
X,Q,R | Q
ESR E V
EE
(2.58)
La optmización de este esquema de define como sigue:
1. Encontrar *X D que maximicen el PerMIA(X) en (2.58)
2. Estimar *X ,Q
YM
La SR puede reescribirse como (2.59)
2 X,Q,R | QX =
X,Q,R | Q var X,Q,R | Q
ESR
E V
(2.59)
El algoritmo propuesto por Joseph para la estimación de los parámetros se define de la
siguiente forma: Sea ijklpy el valor medido de la característica de calidad en i j kX ,Q ,R
y lM , y su réplica .p Sea ' / .Y Y M Considérese el modelo en (2.54). Asuma que los
errores son independientes y siguen una distribución normal. Entonces
'
i j k' X ,Q ,R ,ijklp ijklpy donde '
i j k0, X ,Q ,R .ijklp N V Exprese X,Q,R y el
log X,Q,RV como modelos lineales en X,Q y R. Un algoritmo iterativo para obtener
los estimados de máxima verosimilitud (MLEs por sus siglas en inglés) es como sigue:
1. Inicializar '
'1i j k 1 1
X ,Q ,RL P
ijklpijk LP l py y
2. Calcular 2
2 '1i j k1 1
X ,Q ,RL P
ijk ijklpLP l ps y
donde i j kX ,Q ,R es el valor
predicho de en i j kX ,Q y R . Utilizando 2
ijks como respuesta, estime los
parámetros en un modelo logV X,Q,R utilizando un modelo lineal generalizado
gamma con liga logaritmo.
3. Ajuste '
i j kX ,Q ,Rijklpy usando mínimos cuadrados ponderados con pesos
i j k1/ X ,Q ,R ,V donde i j kX ,Q ,RV es el valor predicho de V en i jX ,Q y kR .
4. Repita los pasos 2 y 3 hasta que haya convergencia.
57
Dasgupta y Wu (2006) presentaron un artículo sobre el modelado del DRP y sistemas
de control de tipo retroalimentado (Feedback) para procesos de larga duración, el
esquema de control que se considera en éstos esquemas es de tipo proporcional-
integral (PI). Con este enfoque, se asume que la respuesta Y tiene un valor target .T
en correspondencia al tiempo ,t sea tY el valor de ,Y t te Y T denota la desviación de
la respuesta del target y tC denota el valor del factor de ajuste, se asume que Y y C
están relacionadas por la siguiente función de transferencia:
1 1, ,..., , ...t t t t t tY Y Y C C z (2.60)
Donde tz es la disturbancia inobservable. En cualquier esquema de control feedback,
se da una corrección a tC sobre la base del error observado de la salida te mediante
una ecuación de control 1, ,... .t t tC f e e En un sistema discreto tipo PI, la ecuación de
control es de la forma
0
1
t
t p t t i
i
C k k e k e
(2.61)
Donde pk y tk son constantes positivas que determinan la cantidad de control
proporcional e integral. La función de transferencia en (2.60) puede tomar varias
formas. Un modelo dinámico simple de primer orden que caracteriza muchos procesos
de interés práctico está dado por la ecuación:
1 11t t t tY Y g C z (2.62)
Donde 0 1.
Una simplificación de (2.62) puede lograrse asumiendo que esencialmente todos los
cambios inducidos por C ocurrirán en un intervalo simple de tiempo, lo cual
corresponde a ajustar el parámetro 0 en (2.62), de la forma:
58
1t t tY gC z (2.63)
El cual es llamado modelo de ganancia pura. El modelo dinámico de primer orden para
el DRP con control Feedback se tiene a continuación:
0 1
1
,
,
t t t
t t t
Y g C z
e g C z
X N X
X N X (2.64)
Donde 0, , .T X N X N El objetivo es el de seleccionar los niveles de los factores
de control y la ley de control tal que la varianza del error tVar e sea minimizada, por lo
que tVar e puede tratarse como una medida de desempeño.
Dasgupta et al (2010) presentaron una extensión de la propuesta aplicada al DRP
aplicado a sistemas de medición, el cual tiene una base similar a la del control
Feedback.
2.7 Modelos lineales Generalizados – Regresión Logística
Cuando se tienen modelos con una variable de respuesta de tipo binario en un
problema de regresión, solamente se asumen dos posibles valores: 0 y 1 o un valor
intermedio en este rango en el caso de proporciones tal como se utiliza en las gráficas
de control P en control estadístico de procesos (Montgomery D. C., 2008). Las
respuestas podrían ser el resultado de pruebas de funcionamiento eléctrico para un
dispositivo semiconductor, que dan como resultado un “éxito”, o bien “un fracaso” que
pueden deberse a un corto, aun circuito abierto u otro problema de funcionamiento
(Montgomery D. P., 2012).
Partiendo del modelo de regresión clásico en (2.65)
'i iy X (2.65)
59
En donde 1 2 0 1 2' 1, , ,..., , ' , , ,..., ,i i i ik kx x x X y la variable de respuesta iy toma
los valores de 0 a 1. Se supondrá que la variable de respuesta iy es una variable
aleatoria de Bernoulli, cuya distribución de probabilidad se muestra en la tabla Tabla
2-2:
Tabla 2-2 Distribución de probabilidad de una variable aleatoria de Bernoulli
iy Probabilidad
1 1i iP y
0 0 1i iP y
Ahora bien, como 1 0 1i i i iE y (2.66)
Esto implica que
'i i iE y X (2.67)
Que quiere decir que la respuesta esperada, determinada con la función de respuesta
'i iE y X no es mas que la probabilidad de que la variable de respuesta tenga el
valor de 1. Hay algunos problemas sustantivos con el modelo de regresión en la
ecuación (2.65). El primero es que se observa que si la respuesta es binaria, entonces
los términos del error i solamente pueden tener dos valores, que son
1 ' cuando 1
' cuando 0
i i i
i i i
y
y
X
X
En consecuencia, no es posible que los errores en este modelo sean normales, En
segundo lugar, la varianza del error no es constante, ya que
2 2 22 1 0 1 1
iy i i i i i i i iE y E y (2.68)
60
Obsérvese que la ecuación (2.68) equivale a (2.69)
2 1iy i iE y E y (2.69)
Dado que ' ,i i iE y X lo que indica que la varianza de las observaciones (que es
igual a la varianza de los errores, dado que ,i i iy y i es constante) es una
función de la media. Por último, hay una restricción para la función de la respuesta, ya
que
0 1i iE y
Esta restricción puede causar graves problemas en la elección de una función de
respuesta lineal, como se ha supuesto el principio, en la ec (2.65), Por lo que es posible
ajustar un modelo con los datos para los cuales los valores predichos de la respuesta
salen del intervalo 0, 1. En general, cuando la variable de respuesta es binaria, existen
pruebas empíricas que indican que la forma de la función de respuesta debe ser no
lineal. Una función monotonamente creciente (o decreciente), en forma de S (o de S
invertida) es la que se acostumbra emplear, dicha función es llamada función de
respuesta logística y tiene la forma (2.70)
exp '
1 exp 'E y
X
X (2.70)
O bien (2.71)
1
1 exp 'E y
X (2.71)
La función de respuesta logística se puede linealizar con facilidad. Un enfoque consiste
en definir la porción estructural del modelo en términos de una función de la media de la
respuesta. Sea el predictor lineal en (2.72)
61
' X (2.72)
La transformación del predictor lineal está definido por la transformación (2.73)
ln1
(2.73)
A esta transformación se le llama con frecuencia transformación logit de la probabilidad
, y la relación / 1 en la transformación se le llama ventaja logarítmica. Hay otras
funciones que tienen la misma forma que la función logística, y también se pueden
obtener transformando , una de ellas es la transformación probit, obtenida
transformando a mediante la aplicación de la distribución normal acumulada. De esta
forma se obtiene un modelo de regresión Probit, este modelo es menos flexible que el
de regresión logística, y es probable que no se use tanto, porque no puede incorporar
más de una variable predictora con facilidad. Otra posible transformación es la
transformación complementaria log- log de , definida por ln ln 1 , que produce
una función de respuesta que no es simétrica respecto al valor de 0.5.
2.7.1 Estimación de parametros en un modelo de regresión logística
La forma general de un modelo de regresión logística es
i i iy E y (2.74)
Donde las observaciones iy son variables aleatorias independientes de Bernoulli, cuyo
valor esperado es (2.75)
exp '
1 exp '
i
i i
i
E y
(2.75)
62
Se utiliza el método de máxima verosimilitud para la estimación de parámetros del
predictor lineal ' .i X Cada observación de la muestra sigue la distribución de Bernoulli,
por lo que la distribución de probabilidades de cada observación es
1
1 , 1, 2,...,iiyy
i i i if y i n
Y naturalmente, cada observación iy toma el valor de 0 a 1. Como las observaciones
son independientes, la función de verosimilitud (2.76) que no es mas que
1
1 2
1 1
, ,..., , 1 ii
n nyy
n i i i i
i i
L y y y f y
(2.76)
Es más cómodo trabajar con el logaritmo de la verosimilitud (2.77)
1 2
1 11
ln , ,..., , ln ln ln 11
n n ni
n i i i i
i ii i
L y y y f y y
(2.77)
Ahora, como 1
1 1 exp ' ,i i
X y ln / 1 ' ,i i i i X el logaritmo de la
verosimilitud se puede expresar como sigue (2.78)
1 1 1
ln , ln 1 ln 1n n n
i i i i i i
i i i
L y n y
y (2.78)
Se pueden utilizar métodos numéricos de búsqueda para calcular los estimados por
medio de los estimados de máxima verosimilitud (MLE por sus siglas en inglés); sin
embargo, sucede que se pueden utilizar los mínimos cuadrados iterativamente
reponderados (IRLS) para determinar los MLE (Montgomery D. P., 2012).
63
Sea el estimado final de los parametros del modelo que se obtiene con el algoritmo
anterior, si son correctas las hipótesis del modelo, se puede demostrar que, en forma
asintótica, la Esperanza (2.79) y la Varianza (2.80):
E (2.79)
Y
1
1'Var
X V X (2.80)
El valor estimado del predictor lineal es ' ,i i X y el valor esperado del modelo de
regresión logística se escribe con frecuencia como (2.81)
exp exp ' 1
1 exp 1 exp ' 1 exp '
i i
ii
i i i
y
X
X X (2.81)
Y de forma alternativa se puede escribir como (2.82)
0 1 1 2 2log exp ...
1k k
P XX X X
P X
(2.82)
2.8 Algoritmos para Optimización no lineal restringida
El esquema de optimización planteado desde (2.29) entra en el planteamiento de
optimización de un problema general de optimización restringida
.a 0,
0,
i
i
Min f x
s c x i
c x i
(2.83)
64
Donde la función objetivo f y las funciones de restricción ic son funciones suavizadas
de valores reales en un conjunto de ,n y son índices de desigualdades de
conjuntos finitos y restricciones de igualdades respectivamente. Existen muchos casos
importantes para los cuales existen algoritmos disponibles. Se incluyen los siguientes:
Programación lineal, donde la función objetivo f y las restricciones ic son
funciones lineales.
Programación cuadrática, donde las restricciones ic son lineales y la función
objetivo f es cuadrática.
Programación no lineal, donde al menos algunas de las restricciones ic son
funciones no lineales generales.
Optimización linealmente restringida donde, como su nombre lo sugiere, todas
las restricciones ic son lineales.
Optimización restringida con límites, donde las únicas restricciones en el
problema tienen la forma 1ix o ,i ix u donde 1 y iu son los límites superior e
inferior sobre el í- esimo componente de .x
Programación convexa, donde la función objetivo f es convexa, las restricciones
de igualdades 0, ,ic x i son lineales, y las funciones de restricción de
desigualdades , ,ic x i son concavas.
Estas categorías no son ni mutuamente exclusivas ni exhaustivas, y algunas de las
clases pueden dividirse en subclases importantes. Por ejemplo, la programación
cuadrática convexa es una subclase de la programación cuadrática en la cual la función
objetivo es convexa. Esta caracterización más fina es relevante para la discusión de los
algoritmos; por ejemplo, es más fácil seleccionar una función meritoria si el problema es
convexo (Nocedal, 2006).
Se debe poner especial atención a la naturaleza de las restricciones. Algunas pueden
considerarse “duras” y otras “suaves”. Desde el punto de vista algorítmico, las
restricciones duras son las que se deben cumplir con el fin de que las restricciones en
65
(2.83) sean significativas. Algunas de estas funciones pueden ser no definidas en
puntos infactibles. Por ejemplo, una variable es restringida positiva porque su raíz
cuadrada es requerida en el cálculo de la función objetivo. Otro ejemplo es un problema
en el cual todas las variables deben sumar cero para satisfacer alguna ley de
conservación.
Los problemas de optimización restringida con restricciones suaves puede verse por el
modelador como un problema irrestricto en el cual un término de penalización
(incluyendo las restricciones) es agregado a la función objetivo, este esquema de
penalización usualmente introduce un mal acondicionamiento, lo cual puede o no ser
perjudicial dependiendo del algoritmo utilizado para la optimización irrestricta. El usuario
de algoritmos de optimización debe decidir si es preferible el uso de esquemas en los
cuales las restricciones son tratadas de manera explícita o si es adecuado un esquema
de penalización.
Para problemas con restricciones duras que deben satisfacerse en todas las
iteraciones, deben utilizarse algoritmos factibles. Usualmente no todas las restricciones
son duras y de ahí que estos algoritmos seleccionen un punto inicial que satisface las
restricciones duras y producen una nueva restricción que además es factible para estas
restricciones.
Los algoritmos factibles usualmente son más lentos y mas costosos que los algoritmos
que permiten que las iteraciones sean infactibles, dado que no pueden seguir atajos a la
solución que cruza terreno infactible. Sin embargo tienen la ventaja de que la función
objetivo f puede usarse para juzgar el mérito de cada punto. Dado que las
restricciones siempre se satisfacen, no hay necesidad de introducir una función
meritoria más compleja que tome en cuenta las violaciones en las restricciones.
2.9 Síntesis y Análisis de la Literatura Revisada
La experimentación a nivel industrial ha sido utilizada ampliamente para el desarrollo y
optimización de procesos de manufactura. Los métodos Taguchi fueron parte del éxito
66
de Japón posterior a la segunda guerra mundial con sus productos de calidad superior
en comparación con los otras potencias mundiales. Al Dr. Taguchi también se le debe la
introducción del diseño experimental en occidente a mediados de los años 80’s. En la
investigación aplicada a nivel industrial es muy comun el uso de esquemas
experimentales basados en la optimización de respuestas mediante el uso de diseños
factoriales, diseños factoriales fraccionados, diseños de Box- Behnken (1960) y diseños
tipo central compuesto Box- Draper (1987).
En comparación con los diseños experimentales clásicos, el DRP muestra ventajas en
aplicabilidad debido a que en este esquema se contempla la reducción de la variación
sobre la respuesta media, se sabe que la variación en cualquier proceso es mala ya que
la respuesta estará en función de dicha variabilidad teniendo como resultado una
calidad pobre y un proceso difícil de controlar.
DRP para características dinámicas DRP y Sistemas de Control
DRP y Sistemas de Control
Doble Arreglo
Ortogonal
Arreglo Combinado
Modelado de locación y dispersión
β,σ², lnσ²
Modelado de la Respuesta, E(y),
Var(y)
Optimización
Optimización
Esquema de Taguchi a 2
pasos SR
Superficie de
Respuesta
Sesgo y Varianza
Regresión no
paramétrica
PNL algoritmo
GGR
PNL Método Simplex de
Nelder- Mead
Lógica Difusa
Opt. Irrestricta
Opt. Irrestricta
Curvas de Nivel
Superficie de
Respuesta
Función de Pérdida
GrimaSimulación de factores
de ruido
Modelado de la medida de
desempeño PMM
Modelado en función de la respuesta RFM
DRP y Sistemas de Control (Respuesta
Continua)
Optimización
Esquema de Taguchi a Dos Pasos
Miller y Wu Joseph y Wu
GLM s regresión logística
DRP y Sistemas de Control (Respuesta
Binaria)
Optimización
PNL restringida, algoritmo SQP y Punto interior
Ilustración 2-3 Síntesis de la literatura revisada. Fuente: Elaboración Propia
En la Tabla 2-3 se muestra la síntesis de la literatura revisada en la cual se observa el
desarrollo que ha tenido la metodología del DRP en la investigación, desde la
67
metodología original del Dr. Genichi Taguchi en la cual se utiliza el doble arreglo
ortogonal y la optimización con el método a dos pasos y la razón Señal a Ruido. Las
primeras aportaciones de los autores occidentales se relacionaron a los métodos de
optimización utilizados mediante el uso del doble arreglo ortogonal. Con este esquema
se puede manejar el modelado de locación y dispersión, en el cual se han propuesto
esquemas de optimización alternativos pasando por diferentes opciones tales como el
enfoque de la superficie de respuesta, métodos de regresión no paramétrica, esquemas
basados en el sesgo y varianza (error cuadrático medio), lógica difusa, curvas de nivel y
el uso de la Programación no lineal con aplicaciones del método simplex de Nelder
Mead y el algoritmo gradiente generalizado reducido.
Posteriormente con la propuesta de análisis en el arreglo combinado, en la cual se
pueden incluir tanto los factores de control como los de ruido en el mismo arreglo se
puede obtener un modelo más elaborado en el que se puede analizar el efecto tanto de
los factores de control, de ruido, e interacciones tanto de control por control y control por
ruido, además, si se utilizan diseños de tres niveles o con puntos centrales y axiales se
pueden también estimar elementos de orden superior con modelos que presentan
curvatura en la respuesta. Bajo este esquema se puede aplicar el modelado RFM y así
calcular los modelos de la media y Varianza por medio de la esperanza y varianza
condicionales. Las propuestas de optimización para éste esquema se basan en técnicas
tales como el enfoque de superficie de respuesta, función de pérdida, métodos gráficos
y métodos reparametrizados basados en la simulación de factores de ruido.
Dentro del DRP para características dinámicas, el Modelado de la medida de
desempeño (PMM) tiene su base en el modelado de locación y dispersión, mientras que
el modelado en función de la respuesta tiene su base en el modelado de la respuesta
para sistemas simples. El modelado PMM consiste en realizar el experimento con una
cantidad de réplicas, de las cuales se obtienen valores para la medida de posición
(media) y de variación (desviación estandar, varianza, log varianza, SR, etc). El
experimento se replica en cada uno de los niveles del factor señal y así se ajustan
modelos de regresión para cada uno de los niveles. Mediante el análisis ANOVA se
estiman los valores del término intercepto (si aplica) 0 , la pendiente 1 y si aplica el
68
uso de términos de nivel superior, se calculan las betas correspondientes. Con base en
el arreglo ortogonal original del diseño, se vuelve a analizar como un experimento
factorial con el fin de analizar los efectos de los factores mediante análisis ANOVA y
gráficas half normal para determinar los elementos con efecto significativo, se
determinan los niveles adecuados para obtener la respuesta robusta.
El esquema RFM se perfila como mejor opción ya que se puede utilizar un arreglo
combinado con factores de control y de ruido y se utiliza una sola observación (también
se pueden usar réplicas) de cada combinación en la matriz ortogonal replicada en los
niveles del factor señal, se ajustan modelos de regresión de cada tratamiento replicado
en todos los niveles del factor señal y aquí se utilizan los valores de 0 directamente de
la tabla ANOVA. La estimación de los términos de la 2 se estiman directamente de los
valores de cada MSE obtenido de las tablas ANOVA. En éste esquema también se
analizan nuevamente las respuestas como un experimento factorial, se determinan los
elementos con efecto en posición y variación, procediendo a la optimización. Las
ventajas del esquema RFM contra el esquema PMM radican, en la necesidad de menos
observaciones para poder estimar la varianza, así como la factibilidad de estimación de
los efectos para los factores de ruido y sus interacciones de control, con las cuales se
puede optimizar de forma más eficiente al analizar las gráficas de interacción.
Josep y Wu (2002) presentaron un enfoque alternativo en el cual se requiere un
esfuerzo de análisis menor, en el cual se requiere de conocimiento del cálculo para
modelos de esperanza y varianza, así como de optimización basada en programación
no lineal. En este esquema no se requiere el ajuste de modelos de regresión para cada
uno de los niveles del experimento, ya que a partir de un solo modelo de regresión
general se pueden estimar los modelos requeridos para el esquema de optimización. En
comparación al método de Miller y Wu, el enfoque es sobre la minimización en la
respuesta después de que se ha ajustado la media. Esto es importante, debido que la
varianza está en función del factor señal, puede cambiar mientras se ajusta la media a
un target específico.
69
Las bases del modelado para DRP y sistemas de control fueron establecidas por
Joseph (2003), la base del modelado es la misma que la utilizada en el esquema de
análisis del DRP para características dinámicas. Al DRP y sistemas de control se le
llama también “sistemas de doble señal” ya que además de contemplar un factor señal
en el sistema, también se utilizan elementos de control, los cuales estarán en línea en
un proceso continuo de medición y corrección de la respuesta, esto garantiza la
reducción en la variación, pero debe tenerse en cuenta que esto representa un costo de
producción adicional importante en el cual se debe incurrir si se justifica en base a la
mejora de la calidad. El objetivo en todos los esquemas de DRP mencionados es la
obtención de los niveles en los factores de control con los cuales se obtiene una
respuesta robusta.
Hasta este punto se contemplan las aportaciones de importancia del DRP, cabe señalar
que los esquemas de análisis están basados en respuestas de tipo continuo, las cuales
deben cumplir con los supuestos clásicos. Nuestra propuesta contempla un cambio en
el tipo de análisis requerido, ya que se tiene una propuesta de tipo discreto en la cual se
deben realizar una clasificación del tipo pasa- no pasa. Tal como se define en la sección
2.7, se sabe de antemano que este tipo de respuestas no cumple con los supuestos de
normalidad, varianza constante e independencia, debido a que se trata de respuestas
de tipo binomial.
Se hace presente la necesidad de una transformación adecuada que permita ajustar
modelos de regresión válidos para el esquema de optimización. Aquí se contempla el
uso de la regresión logística, que es una técnica de los GLM’s que está diseñada para
el análisis de este tipo de respuestas binarias y de proporciones, cuya transformación
permite obtener modelos más adecuados que cumplan con los supuestos de regresión
requeridos.
En la Tabla 2-3 se muestra un resumen del estado del arte de las metodologías del
DRP.
70
Tabla 2-3 Estado del arte de las metodologías del DRP. Fuente: elaboración propia
Modelado de locación
dispersión
Modelado en función de la
respuesta Modelado PMM Modelado RFM
Modelado con Control y
PerMIA
Tipo de función Objetivo Continua
Doble Arreglo Ortogonal Continua
Arreglo combinado Welch et al (1990) Continua
Esquema de Optimización
Taguchi a Dos pasos Taguchi (1985), (1987),
Phadke (1989)
Taguchi (1987), Phadke
(1989), Tsui (1999), Miller-
Wu (1996), Joseph (2002)
Taguchi (1987), Phadke
(1989), Tsui (1999), Miller-
Wu (1996), Joseph (2002) Según arreglo Según arreglo Continua
Superficie de Respuesta Vining-Myers (1990) Myers- Khuri- Vining (1992) Según arreglo Según arreglo Continua
Sesgo y Varianza Lin- Tu (1995) Según arreglo Según arreglo Continua
Regresión no Paramétrica Vining- Bohn (1998) Según arreglo Según arreglo Continua
Lógica Difusa Kim- Lin (1998) Según arreglo Según arreglo Continua
Optimización Irrestricta Koksoy- Doganaksoy (2003) Según arreglo Según arreglo Continua
Modelo Ponderado Harvey- Aitkin (1976) Según arreglo Según arreglo Continua
Curvas de Nivel Dominguez- Rocha (2004) Grima (1992) Según arreglo Según arreglo Continua
Función de Pérdida Box- Jones (1992) Según arreglo Según arreglo Continua
Simulación de factores de ruido Barker- Lawson (1990) Según arreglo Según arreglo Continua
PNL GGRDel Castillo- Montgomery
(1993) Según arreglo Según arreglo Continua
PNL Siplex Nelder Mead Copeland- Nelson (1996) Según arreglo Según arreglo Continua
PNL Joseph (2003), Dasgupta-Wu
(2006 Según arreglo Según arreglo Continua
PNL restringida SLP y punto int. Mares- Dominguez (2015) Según arreglo Según arreglo Discreta
Sistemas simples Sistemas Dinámicos Tipo de
Respuesta
utilizada
en
literatura
Estimación de
interacciones
Estimación
del efecto de
factores de
ruido
Como se puede observar, las aportaciones a la metodología del DRP aunque han
mostrado impacto importante, no han sido tan amplias y existen muchas areas de
oportunidad para la investigación pura y aplicada, de las cuales, en este trabajo de
investigación se ha trabajado en el campo del DRP y sistemas de control.
Se puede apreciar que las aportaciones del DRP se han basado en su mayoría en
respuestas de tipo continuo. Actualmente existen investigaciones de DRP y GLM’s en
trabajos de Engel and Huele (1996), Grego (1993), Lee & Nelder (1998), Myers-
Montgomery- Vining (2002) y Nelder (1991), dichos trabajos también se han enfocado al
análisis de respuestas continuas que requieren transformaciones para el cumplimiento
de los supuestos, lo cual representa otra aportación de nuestra propuesta en cuanto al
uso de la respuesta tipo binomial de proporciones en el modelado y el caso propuesto.
2.9.1 Resumen de la metodología del DRP
En la Ilustración 2-4 se muestra el esquema de un proceso en condiciones ideales. En
este supuesto se contempla un conjunto de elementos, variables o parametros de
control, los cuales pueden ser controlados por el operario o están en función de las
71
capacidades de la maquina, de la cual pueden ser seleccionados una cantidad x de
niveles, como salida se tiene una respuesta o característica de calidad de interés para
el proceso.
Ilustración 2-4 Esquema de un proceso en condiciones ideales
El modelo de la situación que se presenta en un proceso -una forma más real- es el que
se muestra en la Ilustración 2-5, además de los parametros de control que pueden ser
manipulados por el operario, se tiene un conjunto de factores de ruido que actuan sobre
la respuesta deseada. Los factores de ruido generalmente son difíciles o costosos de
controlar y es difícil eliminar su influencia sobre el sistema, como ejemplos de tales
factores se pueden mencionar las variaciones de voltaje, las variaciones de operador a
operador, variación en la materia prima y proveedores, el polvo, la temperatura
ambiental, humedad, factores de tipo personal en el operador, etc. En el esquema de
Taguchi se considera que dichos factores de ruido son los causantes de la variación en
la respuesta.
Ilustración 2-5 Esquema de un proceso en condiciones reales
La metodología del Dr. Taguchi considera que originalmente existe una combinación de
niveles para el conjunto de factores de control, la cual genera la salida actual, dicha
salida presenta la menor variación 2 que se puede estimar mediante experimentación.
72
Lo que se busca con la metodología de Taguchi es encontrar la combinación de niveles
en el conjunto de factores de control la cual genere una salida igual o muy cercana al
valor Target pero con una variación inferior a la que se tiene con la combinación
original, la idea se muestra en la Ilustración 2-6.
Ilustración 2-6 Esquema de un proceso en condiciones reales
Al enfoque mencionado se le llama “explotar la no linealidad” de la respuesta, el objetivo
de la optimización se centra en la búsqueda de la combinación de niveles en los
factores de control que minimice la variación alrededor del valor target buscado, lo
anterior se busca mediante un esquema experimental se muestra en la Ilustración 2-7
en la cual se contempla el uso de un arreglo en el cual se tienen los factores de control
,X y otro arreglo en el cual se tiene la combinación de los niveles para los factores de
ruido ,Z y a partir de estas combinaciones se obtienen las respuestas, a partir de las
cuales se calculan los valores para la posición x y la variación 2 2, , ln ,SR etc.
73
Ilustración 2-7 Esquema de un proceso en condiciones reales
Cada una de las corridas experimentales genera una estimación estadística que
pertenece a una distribución de probabilidad, esto se puede observar en la Ilustración
2-8. Si se relaciona la experimentación a la función de pérdida cuadrática de Taguchi,
existe un valor deseado target T en el cual se tiene el menor costo por mala calidad y
es el que cumple con los requerimientos de calidad del proceso.
Ilustración 2-8 Estimaciones obtenidas a partir de la experimentación
74
Para modelar esto de forma matemática, se tiene que la probabilidad de la salida Y se
puede estimar como en (2.84), la salida originalmente se considera como una función
de los factores de ruido ,X por esto la salida es ,Y X pero como el modelado
contempla la existencia de factores de ruido, se tiene que la respuesta está en función
de los factores de control, los cuales estan condicionados al efecto de los factores de
ruido | Z .Y X
2
|P Y Y X Z T (2.84)
Se desea obtener el valor esperado de (2.84), utilizando los estadísticos de posición y
variación, se puede definir como (2.85)
2
2E P Y k s y T (2.85)
Donde k es una constante que puede estimarse mediante las ecuaciones de la función
de pérdida de Taguchi, T es el valor target (u objetivo) deseado, y es el promedio de
las observaciones en cada tratamiento y 2s es la varianza (o cualquier otra medida de
variación calculada) de las observaciones en cada tratamiento.
Minimizando (2.85) se obtiene la respuesta robusta. Hasta aquí se ha mencionado el
esquema en doble arreglo ortogonal, si se desea hacer la experimentación en base al
arreglo combinado, se utiliza una matriz ortogonal en la cual se puedan asignar la
combinación de factores de control y la combinación de factores de ruido, para esto se
deben seguir ciertas reglas con el fin de obtener las interacciones deseadas,
particularmente con el uso de arreglos fraccionados. Cuando se realiza la
experimentación en este esquema se obtiene un solo modelo que contiene tanto a los
factores de control, como los de ruido y sus interacciones, en forma matricial se tiene el
modelo (2.86)
75
0| ' ' ' 'Y X Z Y X X BX Z X DX (2.86)
El modelo fue tratado en la sección 2.4 y sus componentes se mencionan en la ec
(2.17), partiendo de (2.86) se calculan los modelos para la esperanza y varianza
condicionales
0| ' 'E Y X Z X X BX (2.87)
Y
2
0| ' ' ' ' 'Var Y X Z X X DX X D X D (2.88)
Así, los modelos para la posición y dispersión se definen como (2.89) y (2.90)
1 0 1Modelo sobre ' 'Y y X X BX (2.89)
Y
2
2 0 2Modelo sobre ' 'Y s X X DX (2.90)
Los elementos se definieron en (2.18) y (2.19). A partir de este esquema, se tienen los
siguientes planteamientos de optimización:
1. Función objetivo para el Target es lo mejor:
2
1
. .
Min Y
s a Y M
X R
2. Función objetivo lo más pequeño es lo mejor:
1
22 0
. .
Min Y
s a Y
X R
76
3. Función objetivo lo más grande es lo mejor:
1
22 0
. .
Max Y
s a Y
X R
Para el esquema dinámico con control, se muestra el modelo en Ilustración 2-9, el ruido
se separa en dos con el fin de contemplar factores que se controlarán en línea 1Z y por
otra parte el ruido aleatorio que seguirá actuando en el sistema 2.Z Además de obtener
los niveles para los factores de control que resultan en la respuesta robusta, también se
busca la reducción de variación adicional por medio del control en línea de alguna (s) de
las variables presentes en el sistema. La solución robusta puede ser diferente si el
sistema no contempla el uso de un elemento de control como si tal elemento está
presente.
Ilustración 2-9 Esquema dinámico con control
El modelo ahora se puede definir como (2.91)
1 2| ,Y X Z Z M (2.91)
Donde es el modelo de regresión que está en función de la característica dinámica (o
control) ,M es el término de error el cual debe cumplir con los supuestos clásicos
77
para residuales en un modelo de regresión. El punto de partida para la optimización es
la razón señal a ruido de Taguchi (2.92)
2Modelo=SR= i
is
(2.92)
La varianza 2 ,is cuando se trata de sistemas dinámicos puros, puede ser estimada
mediante el cálculo de modelos de regresión para cada nivel del factor señal a partir del
arreglo ortogonal básico, el estimado para 2
is es el Error cuadrático medio (2.93) de
cada una de las tablas ANOVA de los modelos de regresión.
2 i i
i
y y y ys CME
N k
(2.93)
A partir de estos esquemas es posible generar las medidas de desempeño
independientes de ajuste (PerMIA) necesarias para poder optimizar el sistema. El
marco para el análisis de DRP y sistemas de control puede resumirse en la Ilustración
2-10.
78
Ilustración 2-10 Sistema dinámico con elemento de control realimentado
En la ilustración se muestra que las entradas son los factores de control y de ruido, pero
también se encuentra un factor de ruido el cual está siendo corregido en línea de forma
constante por un elemento de control realimentado, el cual mide la respuesta de dicho
factor y la compara contra su valor objetivo, el elemento así va corrigiendo la salida de
forma constante en base a una ecuación de control. Como se menciono al inicio de esta
investigación, el uso del elemento de control en línea debe ser justificado en base a un
análisis de costo- beneficio antes de su implementación, si el análisis indica factibilidad
debe implementarse ya que el elemento de control es una garantía de la reducción en la
variación.
79
3 METODO DE INVESTIGACIÓN
3.1 Caso de aplicación a nivel industrial
3.1.1 Introducción
En esta sección se describe a detalle la metodología propuesta al caso de análisis a
nivel industrial presentado en Mares (2015). La aplicación se realizó a un proceso de
fabricación de suela de poliuretano en la empresa Huflex, la cual es proveedora de la
empresa Flexi, la cual es una de las más grandes e importantes en la ciudad de León,
Gto. Cuando se planteó la idea de aplicación experimental en la empresa se propuso
trabajar sobre un modelo particular que presentara una incidencia importante de
disconformes. Por parte de los ingenieros encargados del proceso se mencionó la
fuerte incidencia de defectos en el modelo “UCRANIA” el cual presentaba la mayor
cantidad entre los modelos trabajados actualmente, como referencia se muestran los
recuentos por defecto en un periodo de 6 meses desde su introducción en la Tabla 3-1
Tabla 3-1 Tabla de defectos encontrados en la suela Ucrania en un periodo de 6 meses
Etiqueta Puntaje Puntaje Porcentaje
de Clase Rango Recuento Pond. Ponderado Acum Porcentaje Acum
Quemada por desmoldante 1 6443 1 6443 6443 30.89 30.89
Marcada por flujo – PU 2 3545 1 3545 9988 17.00 47.89
Burbujas 3 3256 1 3256 13244 15.61 63.50
Suela mal definida por molde sucio 4 1922 1 1922 15166 9.21 72.71
Agrietada por curado incompleto 5 1398 1 1398 16564 6.70 79.41
Contaminada 6 1210 1 1210 17774 5.80 85.21
Porosa 7 1013 1 1013 18787 4.86 90.07
Mal pintada/ Tampografiada 8 527 1 527 19314 2.53 92.60
Cambrillón o Filler Incorrecto 9 459 1 459 19773 2.20 94.80
Chupada 10 313 1 313 20086 1.50 96.30
Trozada por gancho 11 179 1 179 20265 0.86 97.16
Sucia 12 116 1 116 20381 0.56 97.71
Marcada por manipulación 13 114 1 114 20495 0.55 98.26
Mal rebabeada 14 70 1 70 20565 0.34 98.60
Falta de llenado de material 15 69 1 69 20634 0.33 98.93
Marcado por extracciones 16 51 1 51 20685 0.24 99.17
Inflada 17 50 1 50 20735 0.24 99.41
Injertos mal colocados/ Despegados 18 40 1 40 20775 0.19 99.60
Dañada por molde dañado 19 31 1 31 20806 0.15 99.75
Sin brillo 20 20 1 20 20826 0.10 99.85
Peso de suela Incorrecta 21 11 1 11 20837 0.05 99.90
Grosor de suela incorrecta 22 11 1 11 20848 0.05 99.95
Material Incorrecto 23 10 1 10 20858 0.05 100.00
Total 20858 20858
80
Como se puede observar, se utiliza una clasificación de 23 tipos diferentes de defecto
por parte de los inspectores de calidad. Se observa complicado el uso de multiples
experimentos para la eliminación de cada uno de los diferentes defectos, los cuales en
su gran mayoría son de tipo cualitativo y la clasificación de existencia o no de los
mismos en la suela queda en base a la apreciación del inspector de calidad al momento
de ir revisando las piezas. En el Gráfico 3-1 se muestra el gráfico de Pareto a los
defectos que representan el 80% de los eventos presentados.
47.89
72.71
85.21
94.80 96.30 97.16 97.71 98.26 99.75 99.90 99.95 100.00
Gráfica de Pareto para Cantidad
0
4
8
12
16
20
24
(X 1000)
fre
cu
en
cia
Qu
em
ad
a p
or d
es
mo
lda
nte
Ma
rc
ad
a p
or f
lujo
- P
U
Bu
rb
uja
s
Su
ela
ma
l d
efin
ida
po
r m
old
e s
uc
io
Ag
rie
ta
da
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30.89
63.50
79.41
90.0792.60
98.60 98.93 99.17 99.41 99.60 99.85
Gráfico 3-1 Gráfico de Pareto de la información sobre defectos en la suela Ucrania
En el gráfico de Pareto se observa que el 80% del total de eventos se concentra en 5
defectos principales: Quemada por desmoldante, marcada por flujo PU, burbujas, suela
mal definida por molde sucio y agrietado por curado incompleto; todas ellas son
variables de tipo discreto y su clasificación es de tipo defectuoso- no defectuoso. Por
estos motivos no es viable el planteamiento de un experimento con respuesta de tipo
81
continuo, ni la aplicación de múltiples experimentos u optimización multirespuesta por la
gran cantidad de repeticiones que se requerirían para poderlos llevar a cabo.
Otra situación que se presenta es que para el planteamiento del experimento en
esquema binomial, se debe utilizar una proporción de disconformes, para poder hacer
este conteo se debe tomar en cuenta que se debe dejar correr el proceso en línea, la
metodología del DRP usualmente se realiza fuera de línea en la fase de diseño, lo cual
es otra aportación de esta investigación.
La selección de los niveles para los factores experimentales tuvo que realizarse con
mucho cuidado de no trabajar en niveles demasiado extremos o que no se habían
trabajado con anterioridad, ya que esto puede ser causa de que se dispare la cantidad
de defectuosos, para esto se realizaron análisis y lluvias de ideas con el personal
experto en el proceso, el experimento se realizó en base a un arreglo a dos niveles con
el fin de realizar el menor número de corridas posible, ya que cada corrida consiste en
la producción total obtenida del modelo Ucrania en un turno completo.
3.1.2 Descripción del proceso de fabricación de Suela de Poliuretano por vaciado
La química del poliuretano se basa en las reacciones de isocionato con componentes
activos a base de hidrógeno. Los isocionatos son componentes que tienen uno o más
de los componentes del grupo isocionato altamente reactivo -N=C=O . Estre grupo en
seguida reaccionará con los átomos de hidrógeno que están ligados a átomos más
electronegativos que el carbono. La formación de una espuma poliuretano flexible es un
proceso complejo que involucra muchos ingredientes y al menos dos reacciones
competitivas (Herrington, 1997).
La reacción formadora del polímero poliuretano ocurre entre un isocionato y un alcohol
como en (3.1)
82
2 2
O
||
R-N=C=O + R'-CH OH R- N - C -O-CH -R'
|
H
isocionato Alcohol Uretano
(3.1)
Para elaborar una espuma, el polimero de poliuretano debe ser expandido o inflado
mediante la introducción de burbujas y un gas. Una fuente conveniente de gas es el
dioxido de carbono producido por la reacción de un grupo isocionato con agua. Los
componentes básicos de una espuma de poliuretano flexible normalmente contienen
una serie de componentes seleccionados para ayudar al logro del grado deseado de
espuma. La Tabla 3-2 lista los ingredientes más comunes y los rangos de concentración
típicos utilizados en la producción de espuma de poliuretano flexible.
Tabla 3-2 Componentes básicos de la formulación para espumas de Poliuretano flexible
Componente Partes por peso
Poliol 100
Cargas inorgánicas 0-150
Agua 1.5-7.5
Silicón tensioactivo 0.5-2.5
Catalizador de aminas 0.1-1.0
Catalizador de estaño 0.0-0.5
Extendedor de cadena 0-10
Reticulante 0-5
Aditivo Variable
Agente soplador auxiliar 0-35
Isocionato 25-85
El poliol es una fuente de hidroxilo u otros grupos de reactivos del isocionato. Las
propiedades y el proceso de la espuma resultante pueden ser influenciados de forma
83
marcada por la selección de la estructura inicial del poliol. Noventa por ciento de todas
las espumas flexibles que se producen al día de hoy estan hechas de polioles tipo
poliéter. Estos polioles pueden agruparse ampliamente en las siguientes categorías:
Dioles de polioxipropileno.
Trioles de polioxipropileno.
Tetroles de polioxipropileno y superiores análogos.
Dioles oxido- etilenos cubiertos, trioles, tetroles y análogos superiores.
Polimeros en bloque y aleatorios de los anteriores en los cuales el poliol está
hecho con óxidos tanto de etileno y propileno. Cuando los óxidos están
alimentados como alimentación mixta los productos se denominan hetero
polioles.
Los reticulantes los cuales son tipicamente moleculas polifuncionales de cadena
corta añadidos para incrementar el soporte de carga o la estabilidad inicial de la
espuma.
El isocionato provee de una fuente de grupos de –N=C=O que reaccionan con grupos
funcionales del poliol, agua y reticulantes en su formulación. Todos los isocionatos
utilizados en la industria hoy contienen al menos dos grupos de isocionatos por
molécula. Los métodos más viables comercialmente para la producción de isocionatos
involucran la fosgenación de una amina como se ilustra en (3.2)
2 2
H CI
| |
R-NH + COCI R - N C O R-N=C=O + 2HCI
| |
H CI
Amina Fosgeno Isocionato Ácido
(3.2)
Debido a que las espumas de poliuretano se expanden y fluyen durante la reacción de
espumado, muchos productos comerciales se pueden hacer mediante espuma
84
moldeada para tomar su forma y tamaño características dentro de moldes cerrados. Se
estima que el 20% del total de la producción de la espuma flexible en el mundo
involucra alguna técnica de moldeado. Las espumas moldeadas encuentran su
aplicación en todas las formas de asientos para transporte, piezas internas, muebles
tapizados, ropa de cama, empaque, suelas etc.
Básicamente, el moldeo de espuma involucra el vaciado de la mezcla reaccionante en
un molde adecuado, cerrando el molde y permitiendo que la espuma llene el molde. Si
el molde contiene previamente un plástico preformado o fibra textil, la espuma
dispersada se adherirá a ella y simplificará los requerimentos de ensamble de muchos
productos compuestos. Las dos técnicas más ampliamente utilizadas actualmente en la
industria del poliuretano son el curado en caliente y el “HR” o proceso de curado en frío.
Como su nombre lo indica, el moldeo de curado en caliente involucra la aplicación de
alta temperatura en el molde durante el ciclo de curado. Esto es necesario para llevar a
cabo la reacción de espumado a un grado de curado suficiente que permita a la espuma
ser desmoldada en forma oportuna y sujeta a pasos adicionales intermedios. Los
procesos más novedosos de espumado HR utilizan ingredientes de alta reactividad
tales que requieran menor tiempo de curado de horno. La mayor parte de procesos por
moldeo se realizan en moldes de aluminio, pero se ha aplicado el uso de moldes epoxi-
reforzados. Los moldes usualmente se hacen en dos secciones, provistos para apertura
y cerrado mecánico de la tapa.
Para espumas de moldeo en caliente, las tapas contienen muchos agujeros de
ventilación y generalmente “flotan” bajo condiciones restringidas. Los moldes para
moldeo HR tienen menos ventilación y deben ser construidos para soportar altas
presiones internas en el molde. Normalmente se requiere una construcción más pesada
y sellos herméticos. La importancia de retirado de molde no debe exagerarse. Los
poliuretanos son excelentes adhesivos y se pegarán a la barra de metal. Los moldes se
diseñan usualmente para permitir del 1% al 2% de contracción de la espuma posterior a
su manufactura. Es mejor para la superficie interna del molde el tener una carrera tipo
molino u otras superficies rugosas para permitir una buena retención del agente
desmoldante.
85
El sistema de producción de suela de poliuretano en la empresa Huflex es de tipo lineal,
el proceso es por vaciado de la mezcla reaccionante en moldes fijos en una máquina de
tipo giratorio con 60 moldes (30 pares) para suela. El proceso completo se describe en
los siguientes pasos:
1. Aplicación del desmoldante: se utiliza una pistola y se rocía sobre el molde, se
tienen dos opciones, limpiar y posteriormente colocar el desmoldante o colocar el
desmoldante y limpiar, el proceso se muestra en la Ilustración 3-1.
Ilustración 3-1 Aplicación del desmoldante
Los tiempos de aplicación del desmoldante oscilan entre los 2 y 4 segundos, se tiene
que aplicar tanto al molde inferior como al superior y debe tomarse en cuenta los
tiempos de avance y paro de la máquina giratoria, se pueden aplicar diferentes tipos de
86
desmoldante y puede haber variación entre proveedores. En caso de que no se aplique
desmoldante la suela quedará pegada en el molde.
2. Vaciado de poliuretano para aplicaciones de otro color en la suela: Se
realiza con un aplicador automático, el proceso se muestra en la Ilustración 3-2
Ilustración 3-2 Vaciado de poliuretano para aplicaciones en la suela
El vaciado lo realiza un operario solamente en las suelas que contengan esta aplicación
de otros colores en determinados modelos de suela, el modelo Ucrania sí contiene
dicha aplicación, la cual contrasta con el color de la misma. Se realizan limipiezas
continuas mediante purgas, particularmente cuando se cambia de modelo en las suelas,
la máquina -Ilustración 3-3- puede manejar diferentes colores para las distintas
aplicaciones en los modelos que hayan sido programados en la producción del día.
87
Ilustración 3-3 Máquina utilizada para el vaciado de aplicación de poliuretano
3. Vaciado de la mezcla reaccionante para poliuretano: La mezcla de poliol,
isocionato y color es vaciada por medio de un disparador que tiene internamente
un tornillo mezclador que gira a 8000 rpm en cada disparo, el proceso se
muestra en la Ilustración 3-4. Atrás de la máquina se tienen tanques con la
mezcla de componentes químicos (Ilustración 3-5) que fueron señalados en la
Tabla 3-2, los cuales deben mezclarse de forma continua por medio de rotores
adentro de los tanques, esto es particularmente importante ya que algunos
químicos no se disuelven o mezclan y tienden a irse a la parte inferior del tanque,
lo que puede llevar a variaciones de la calidad. Los parametros relacionados a la
máquina que realiza el disparo se controlan desde el tablero de control, el cual
tiene una pantalla táctil mostrada en la Ilustración 3-6, desde la cual se pueden
seleccionar opciones tales como la razón poliol isocionato, la carrera o recorrido
que hace el cabezal, el caudal (cada segundo se trabajan caudales de 70 grs).
88
Ilustración 3-4 Vaciado de la mezcla reaccionante para poliuretano
Ilustración 3-5 Tanques de los componentes químicos
89
Ilustración 3-6 Pantalla táctil del tablero de control
4. Cerrado del molde: Este proceso es automático y se realiza de forma inmediata
posterior al vaciado de la mezcla de químicos y toma alrededor de dos segundos.
Para el ángulo del molde intervienen dos parametros; uno que tiener que ver con
la altura que el supervisor define desde antes de comenzar el proceso, esto se
realiza de forma manual al ajustar la altura de la punta del molde mediante el
ajuste de tuercas en la base del molde, el otro parametro se controla desde la
pantalla táctil y consiste en un ángulo que puede tomar el molde al momento que
se vacía la mezcla reaccionante. Un factor de importancia en los moldes es su
temperatura, la cual se controla mediante un pirometro colocado en el tablero de
control (Ilustración 3-7). El proceso de curado comienza dentro del molde una
vez que se cerró, la mezcla de temperatura, presión y tiempo influye en el
formado de la suela. El tiempo total que se tiene para el giro completo de la
máquina es aproximadamente 5 minutos, la sección dentro del cual se debe
lograr el curado con la calidad requerida en la suela es de aproximadamente 3
minutos antes de la apertura del molde y retirado de la suela.
90
Ilustración 3-7 Pirómetro para control de temperatura de los moldes
5. Retirado del molde: El retirado de la suela se muestra en la Ilustración 3-8, una
vez que el molde cumplió con una trayectoria en la máquina desde el vaciado de
la mezcla en el molde y cerrado del mismo, el molde abre de forma automática,
en el área donde se realiza la apertura se encuentra un operario que retira la
suela del molde con ayuda de palos para golpear la suela y ayudar a la
separación del molde. La separación debe realizarse con pinzas y se debe
aplicar fuerza para jalar, la técnica debe ser la adecuada ya que es fácil que la
suela se rompa sobre todo en las orillas debido a que son las partes en donde se
tiene menor superficie de material. Una vez que se retira la suela queda con
material sobrante en las orillas que deberá recortarse en el proceso posterior.
Cuando no se realiza una buena colocación del desmoldante se quedan restos
91
del material pegado en el molde que son difíciles de retirar, si no se quitan dichos
residuos las siguientes suelas saldrán con defectos en la superficie.
Ilustración 3-8 Retirar la suela del molde
6. Desvirado: El desvirado (Ilustración 3-9) se realiza posterior al retirado de la
suela del molde, aquí se cortan los sobrantes del contorno de la suela el tiempo
es aproximadamente 12 segundos por par.
Ilustración 3-9 Desvirado
92
7. Inspección y loteado: Un equipo de inspectores está al pendiente de la suela
que se está produciendo (Ilustración 3-10), cuando se presenta un defecto los
inspectores informan de forma inmediata al supervisor para buscar la solución
del proceso o detenerlo si es requerido para poder solucionar el problema o
llamar al equipo de mantenimiento. El problema puede estar relacionado a
cambio de parámetros, cambio de moldes, fallas mecánicas etc.
Ilustración 3-10 Inspección de la suela posterior al desvirado
Los inspectores realizan un reporte de los defectos que se presentan en la suela,
aquellas clasificadas como defectuosas de separan en cajones y las que salen sin
defecto se van colocando sobre las mesas para lotear y preparar para el proceso de
lavado.
8. Lavado de la suela: Cuando la suela sale del proceso de moldeado queda con
muchos residuos de la grasa de desmoldante, estos residuos no permitirán que
93
la suela pueda absorber de forma adecuada la pintura que se aplica en procesos
posteriores, por lo que es necesario retirar los residuos con un lavado a base de
percloro, este proceso se realiza en unas lavadoras especiales (Ilustración 3-11)
Ilustración 3-11 Lavado de la suela
Las suelas se meten en bolsas tejidas especiales resistentes al percloro, una vez que
se tienen listas se introducen a la lavadora por un tiempo predeterminado que sea
suficiente para el retirado de los restos de desmoldante. El lavado no ayuda al acabado
de la suela, generalmente todos los modelos de suela incluyendo aquellas que tienen
acabados mate requieren procesos posteriores de pintado y adorno.
9. Pintado: Cuando la suela ha sido lavada se procede a dar un fondo y pintado a
la suela para mejorar su presentación, el proceso se muestra en la Ilustración
3-12. El proceso se realiza por medio de bandas transportadoras, se tienen
varias cabinas de pintado a los lados de la banda para ir realizando el proceso,
se utilizan pistolas neumáticas conectadas a la tubería del aire a presión.
94
Ilustración 3-12 Pintado de la suela
10. Adorno y loteo: Son las últimas fases del proceso antes del loteo final,
almacenamiento y embarque, estos procesos tienen como finalidad mejorar la
presentación de la suela y mejorar el pintado. En esta sección del proceso se
tiene otro equipo de inspectores de calidad que se encarga de garantizar que el
producto cumple con los requerimientos del cliente, aquí también se generan
otros registros de los defectos detectados en las suelas.
3.1.3 Definición de los parametros
De acuerdo a lo revisado en los reportes de calidad, se observaron dos cuestiones de
importancia: uno, que es difícil eliminar uno a uno cada tipo de defecto en la suela y
dos, que la gran mayoría de los tipos de defecto son de tipo cualitativo. Analizando con
el personal que conoce y es experto en el proceso se dedujo que existen algunos
parámetros críticos que pueden ser los causantes de los defectos en el proceso, para
95
ilustrar esto se utilizó una lluvia de ideas inicial mediante un diagrama de causa y efecto
mostrado en la Ilustración 3-13
CaracterísticaDe calidad en la
suela
Temperatura Ambiental
Método de aplicación del desmoldante Tiempo del
vaciado del líquidoRazón del Poliol/
Isocionato
% del Máster (Color)
Temperatura del Molde (Varíacion)
Tipo de desmoldanteutilizado
Tipo de lavador Utilizado
Ángulo del Molde
Tiempo de aplicaciónDel poliuretano (manual)
Persona que realizaEl proceso
Enfriado de la suela
Mantenimientos adecuados
Ilustración 3-13 Diagrama de Causa y Efecto para los defectos en la suela
El listado de las probables causas de los defectos en la suela se puede resumir de la
siguiente forma:
Tiempo de vaciado del líquido (caudal)
Razón poliol/ Isocionato
Porcentaje del Máster (color) cantidad
Temperatura del molde
Tipo de desmoldante aplicado
Método de aplicación del desmoldante
Tipo de lavador utilizado
Ángulo del molde
Tiempo de aplicación del poliuretano (manual)
Temperatura ambiental en el turno de la mañana y en el de la noche
Persona que realiza el proceso
Enfriado de la suela
96
El tiempo de vaciado del líquido es un factor que se puede controlar mediante la
pantalla táctil del tablero de control, la referencia para este factor es que se vacían 70
grs. por segundo. Asimismo se puede controlar la inclinación del molde posterior al
vaciado de la mezcla y la carrera, que se refiere a la amplitud del recorrido que hace el
cabezal de la máquina cuando está vaciando la mezcla reaccionante.
La razón poliol/ isocionato es un parámetro muy importante en el proceso, se refiere a la
proporción de porcentaje que llevan el isocionato y el poliol en relación al peso total de
la mezcla, el valor de este parámetro oscila en 0.92 ± 2, dentro del porcentaje restante
para llegar al 100% de la mezcla se tiene el nivel del máster de color en la mezcla el
cual también se puede variar ya que éste está en relación del 3% o 4% a la cantidad
que se trabaja del poliol (solamente en relación a este compuesto).
Ilustración 3-14 Prueba de la mínima penetración para determinar la razón poliol/ isocionato
97
Antes de comenzar los turnos de trabajo se realizan algunas pruebas para determinar
los parámetros con los que se va a trabajar durante el turno, la prueba de la mínima
penetración (Ilustración 3-14) tiene como objetivo la selección del valor adecuado de la
razón poliol/ isocionato la cual se encuentra generalmente entre 0.89 y 0.92. En esta
prueba se vacía un disparo de la mezcla reaccionante en un vaso de unicel, se deja
pasar aproximadamente 1 minuto 15 segundos para dejar que la mezcla se espume, de
aquí se coloca bajo el instrumento metálico mostrado en la ilustración denominado
indentómetro, el cual consiste de una torre con una pesa unida a una regla que termina
en una punta redondeada, el objetivo es colocar el vaso con la mezcla ya espumada
debajo de la pesa y se deja el peso sobre la espuma por 15 segundos. Una vez que se
cumple el tiempo se registra la penetración que tuvo la pesa sobre la espuma y se retira
del indentómetro, la mezcla con la razón poliol/ isocionato que haya tenido la menos
penetración sobre la espuma es la que se utilizará en el proceso.
Ilustración 3-15 Pesado del poliol e isocionato
98
Otra de las pruebas que se realizan es el pesado del poliol e isocionato (Ilustración
3-15) que se vierte en el disparador para verificar que la máquina esté arrojando los
valores predeterminados antes de comenzar el proceso, en caso de fallas en los
mecanismos de la máquina u obstrucciones, se obtendrán niveles erróneos en el peso
de los componentes.
Dentro de los parámetros del proceso que no son automatizados, se contempla la
aplicación del desmoldante, su disparo está controlado por la cantidad que se puede
aplicar del mismo en cada disparo, el tipo de desmoldante puede variar de acuerdo a la
marca o proveedor y su tipo. También se pueden obtener diferentes resultados si:
Se realiza la limpieza del molde antes de la aplicación del desmoldante
Se realiza la limpieza del molde después de que se ha aplicado el desmoldante
De acuerdo a la experiencia de los supervisores, se pueden generar burbujas en la
suela cuando se dejan muchas gotas de desmoldante en la superficie del molde. Otro
de los parámetros que puede ser manipulado de forma manual es el ángulo del molde,
el cual se puede ajustar moviendo la altura del mismo mediante dos tuercas especiales
que se encuentran bajo la base del molde como se muestra en la Ilustración 3-16
Ilustración 3-16 Ajuste de la altura del molde
99
Los defectos de la suela se marcan principalmente en la parte lateral de la suela
(Ilustración 3-17) y también en la parte inferior (Ilustración 3-18).
Ilustración 3-17 Defectos en la vista lateral de la suela
Ilustración 3-18 Defectos en la vista inferior de la suela
100
Otro factor de interés en el experimento es la temperatura ambiental, actualmente se
trabaja con una temperatura ambiental promedio diferente en el turno de la mañana y
en el turno de la noche, en registros de producción y calidad se ha detectado que la
calidad es diferente cuando se trabaja en el turno de la mañana y el de la noche por lo
cual se considera un factor crítico, además se debe tomar en cuenta que la temperatura
ambiental tiene un efecto importante sobre la temperatura de los moldes.
Con la finalidad de obtener mayor información para la selección de los parámetros
experimentales, se aplicó un experimento inicial con el fin de obtener información sobre
el proceso, se utilizó un arreglo ortogonal tipo Taguchi 15
16 2L el cual permite estimar
hasta 15 elementos mediante el uso de 16 corridas, en cada una de las suelas se
aplicaron 4 pruebas relacionadas a la calidad:
Defectos en la suela: se realizaron conteos tipo poisson en la suela de cualquiera
de los posibles a presentarse.
Prueba de resistencia a la fricción: la muestra se utilizó en la prueba de
resistencia a la fricción, la cual es una prueba destructiva que se realiza al
colocar la suela contra un rodillo con lija tipo giratorio, al final de la prueba se
determina cual es el porcentaje de resistencia a la abrasión que presenta la
suela, el criterio es que entre menor sea el valor obtenido en la respuesta es
mejor, no hay estándares definidos para el experimento.
Prueba de flexión: En esta prueba destructiva se utiliza un aparato denominado
flexómetro, en este aparato se realizan 30,000 repeticiones después de haber
realizado un corte de acuerdo a valores de norma, al final de la prueba se mide la
abertura de la suela y se registra el valor obtenido (en porcentaje), el criterio en
esta prueba también es que entre más pequeño es mejor porque hay menor
rotura por flexión.
Medición de la dureza: para la medición de la dureza en la suela se utiliza el
durómetro, con el cual se recarga una punta contra la suela y se registra el
parámetro de resistencia hacia la presión ejercida por el aparato.
101
Se tomaron los siguientes 13 factores experimentales:
1. Tipo de desmoldante
2. Método de limpieza del desmoldante
3. Flujo del desmoldante
4. Tiempo de aplicación del desmoldante hasta llegar al vaciado
5. Razón del poliol/ isocionato
6. Temperatura del molde
7. Retraso (Mixer- Gutter Delay)
8. Tiempo de vaciado del líquido (caudal)
9. Carrera
10. Ángulo del molde
11. Enfriado de la suela
12. Lavado de la suela
13. Turno del proceso
Después de analizar el experimento se clasificaron cada uno de los factores de acuerdo
al efecto que tienen sobre cada una de las respuestas, en orden de importancia del 1 al
13 siendo el 1 el elemento que más efecto tuvo en esa respuesta, los datos se
muestran en la Tabla 3-3
Tabla 3-3 Factores experimentales y su efecto en las respuestas de calidad
Flexión Dureza Defectos Abrasión
Enfriado Suela 1 9 11 5
Turno 2 1 1 3
Temp. Molde 3 2 6 1
Tiempo Vac. Caudal 4 3 2 2
Carrera 5 10 3 11
Método de Limp. Molde 6 13 5 6
Mixer Gutter Delay 7 5 7 9
Tipo Aplic. Desm. 8 6 8 12
Ángulo Molde 9 12 12 7
Flujo desmoldante 10 8 10 4
Lavado Suela 11 11 9 10
Razón Poliol/ Iso 12 7 4 8
Tipo Desmoldante 13 4 13 13
102
Los elementos con más efecto están en color amarillo y se pueden observar casos que
muestran efecto significativo en las 4 respuestas, como es el caso de la temperatura del
molde y el turno (relacionado a la temperatura ambiental) los cuales está presentes en
todas las respuestas y en los primeros 6 factores de cada una de ellas. Esta
información sirvió como punto de partida para la selección de factores del experimento
posterior en el cual se valida la metodología propuesta.
El experimento inicial sirvió para generar mayor interés e involucramiento del personal
gerencial en la empresa, en base a la información obtenida se propuso la
implementación de dos factores adicionales que no se habían manejado, los cuales
están relacionados al proceso de pintado mediante la implementación de una olla
especial que no se había utilizado hasta ese momento en el proceso, la cual se muestra
en la Ilustración 3-19
Ilustración 3-19 Olla utilizada para pistoleado neumático
103
La olla ya había sido utilizada en procesos del área de moldeado con buenos
resultados, para el pintado anteriormente se usaban cubetas con pintura arriba de la
cabina las cuales estaban conectadas a la presión de aire y a la pistola. Se considera
que un buen pintado puede ayudar a maquillar algunos defectos que se generan en el
proceso de moldeo por lo cual se pueden restar algunos de los defectos al total de los
registrados por el personal de control de calidad. Los nuevos parámetros relacionados a
este cambio en el proceso son la presión de pulverizado relacionada a la presión de
salida en la pistola y la presión de la olla que es la que llega a la misma desde la
instalación neumática, los indicadores se muestran en la Ilustración 3-20
Ilustración 3-20 Indicadores y controles para las presiones en la olla de pintado
De acuerdo a los objetivos experimentales, se contempla el uso de un elemento de
control en el experimento, el diseño original de la máquina giratoria contempla el uso de
un solo termopar para controlar la temperatura de todos los 60 moldes, esta situación
104
provoca que la temperatura que se tienen en los moldes es una temperatura
promediada con respecto a la que marca el pirometro en el tablero de control, la
Ilustración 3-21 muestra una foto de cuando fue instalada la máquina en la empresa,
otro problema que se presenta es que al ser una máquina de tipo giratorio, las señales
eléctricas y electrónicas transmitidas desde el tablero a la máquina son transmitidas a
los moldes por medio del roce entre carbones, lo cual significa pérdidas de eficiencia.
Ilustración 3-21 Instalación de la máquina giratoria de moldeo
Una vez mencionadas las áreas de oportunidad para el control de la temperatura de los
moldes, en base a análisis de las temperaturas por parte de los departamentos de
control de calidad se observó una fluctuación muy importante de la temperatura en los
moldes tanto a lo largo del día como entre turnos, cabe señalar que la temperatura
promedio en el turno del día es significativamente mayor en el turno de en la mañana
que en el de la noche y esto también afecta la temperatura de los moldes, la propuesta
de análisis contempla a esta variable (temperatura de los moldes) como la variable que
debe estar en línea y mejor controlada mediante la implementación de un mejor sistema
de control en base a pirómetros individuales de resolución más cerrada con el fin de
mantener un mejor control sobre la temperatura.
105
La forma en la que se “controlaba” la temperatura de los moldes consistía en la
medición de la temperatura por medio de pistolas laser de temperatura, la máquina
tiene solamente interruptores para el encendido y apagado de los moldes, en la
Ilustración 3-22 se muestra la posición junto al molde, se tienen interruptores para cada
cuatro moldes, los botones en la parte inferior sirven únicamente para la abertura
manual de los moldes.
Ilustración 3-22 Interruptores de temperatura para los moldes
En el esquema original, los supervisores u operarios hacen la función del elemento
corrector de la temperatura en el sistema de control, en base a la experiencia miden la
temperatura del molde con la pistola laser y en caso de que el molde estuviera muy
caliente se apagaban lo moldes respectivos en lo que se reducía su temperatura y en el
caso de que los moldes estuvieran fríos se encendía el interruptor para aumentar su
106
temperatura. El problema puede corregirse mediante el uso de un mejor esquema de
control.
3.1.4 Metodología Operativa
La metodología operativa propuesto que relaciona las técnicas experimentales
estadísticas y la optimización del proceso se muestra en la Ilustración 3-23, se define a
continuación cada una de las fases
Observación y Análisis del
Proceso
X
Z
Definición de Factores
X Z
Selección de Arreglo
Combinado
YClasificación
Pasa- No pasa.
Criterios de Calidad
AB:
:
Respuesta tipo
Binomial
GLM Binomial liga logit
Modelo de regresión
transformado
Respuesta tipo
Logística
i iY
Modelos Para la media (Y1) y la varianza (Y2)
1 iY E Y
2 iY Var Y
OptimizaciónSQP, Punto
Interior
Determinación de Niveles Óptimos
Corridas de Verificación
Comprobación de Resultados con
Niveles Óptimos
Optimización PerMIA
Modelado Con Control
Ilustración 3-23 Metodología operativa propuesta
3.1.4.1. Observación y análisis del proceso
La fase inicial contempla la información recopílada en las secciones anteriores, se
requiere un conocimiento del proceso a profundidad para poder determinar los mejores
esquemas de optimización. En base a la información se determinaron los mejores
esquemas de análisis, los cuales están relacionados con la propuesta de investigación.
107
3.1.4.2. Definición de factores
En base a la información del experimento inicial, la propuesta de uso de la olla en el
proceso de pintado y los requerimientos de control en la temperatura de los moldes, se
definieron los siguientes factores a utilizar en el experimento:
Presión del aire
Tiempo de vaciado (Caudal)
Altura del molde
Carrera
Razón Poliol/ Isocionato
Temperatura del molde
Presión del aire sobre flujo
Temperatura ambiente
Todos los factores señalados son cuantitativos. Algunos de ellos son regulados por el
operario desde el tablero de control, tales como: Tiempo de vaciado del líquido (caudal),
carrera, razón poliol/ isocionato y la temperatura del molde. La altura del molde se
puede ajustar de forma manual en cada molde. El factor de ruido es la temperatura
ambiental.
Para la definición de los niveles en cada uno de los factores se habló con el personal de
ingeniería, control de calidad, producción y supervisión sobre los niveles adecuados
extremos a manejar en el experimento en base a la experiencia con el fin de que el
proceso tuviera el menor riesgo posible de salirse de control en cuanto a la calidad,
debido a que las corridas experimentales se realizan en línea y todas las piezas que se
clasifiquen como defectuosas pueden ser desperdicio y, en consecuencia, un elevado
costo para la empresa.
Los niveles seleccionados se muestran en la tabla Tabla 3-4, en la última columna se
menciona si el factor se considera como de control o de ruido, todos los factores
108
seleccionados son cuantitativos, para la temperatura ambiente se maneja la
temperatura promedio registrada en los turnos tanto de la mañana como en la noche.
Tabla 3-4 Factores experimentales y sus niveles
Bajo Alto
Presión del aire 0.5 Bar 1 Bar Control
Tiempo de vaciado (Caudal) 55 grs/seg 70 grs/seg Control
Altura del Molde 6.5-15 cms 5-14 cms Control
Carrera 110-70 80-90 Control
Razón Poliol/ Isocionato 0.9 0.92 Control
Temperatura del Molde 36°C 45°C Control
Presión del aire sobre flujo 1.8 Bar 2 Bar Control
Temperatura Ambiente 22°C 33°C Ruido
3.1.4.3. Selección del arreglo combinado
Una vez definidos los factores experimentales y sus niveles, se procede a la selección
del arreglo ortogonal adecuado para el experimento. Se contempla el uso del arreglo
ortogonal combinado con el fin de utilizar los factores de control y de ruido en la misma
matríz, por lo que la opción de análisis es el doble arreglo ortogonal (Welch WJ, 1990),
partiendo del modelo que se analizó en la ec (2.17):
0, ' ' ' 'Y x z X X BX Z X Z
El arreglo seleccionado para el experimento es un diseño factorial fraccionado 8 42 .IV
La
asignación de columnas debe realizarse en base a las interacciones que se quieran
obtener en base a reglas, tales como las gráficas lineales de Taguchi, debido a que el
diseño es equivalente al 15
16 2L de Taguchi, se sabe que se pueden manejar hasta 15
factores, 8 factores principales y 7 interacciones, la asignación de factores se hace de
tal forma que se puedan obtener principalmente interacciones de control por ruido, las
cuales son básicas para poder optimizar el sistema.
En la tabla Tabla 3-5 se muestra el arreglo 8 42IV
con la asignación de factores en cada
una de las columnas, el factor de ruido Temperatura ambiental se asignó a la columna 2
109
y se denominó 1,Z Presión del aire 1,X Tiempo de vaciado del líquido (Caudal) 2 ,X
Ángulo del molde 3 ,X Carrera 4 ,X Razón Poliol/ Isocionato 5 ,X Presión de aire sobre
el flujo 6 ,X y Temperatura del molde 7 .X
Tabla 3-5 Asignación de columnas para los factores experimentales
Pre
sió
n d
el
Air
e s
obre
la
Olla
Tem
pera
tura
Am
bie
nta
l
Tie
mpo d
e
Vacia
do d
el
Líq
uid
o
(Caudal)
Áltura
del
Mold
e
Carr
era
Razón P
olio
l/
Isocio
nato
Tem
pera
tura
del M
old
e
Pre
sió
n d
el
Air
e s
obre
el
Flu
jo
Orden Corrida
A B C D E F G H
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
2 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1
3 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1
4 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
5 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1
6 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1
7 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1
8 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1
9 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1
10 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1
11 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1
12 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1
13 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
14 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1
15 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1
16 1 1 1 1 1 1 1 1
Las interacciones que se pueden calcular de acuerdo a la asignación seleccionada se
muestran en la Tabla 3-6:
Tabla 3-6 Interacciones para los factores experimentales
Interacción Factor 1 Factor 2
2 7*X X Tiempo de Vac del liquido Interaccion Temperatura del molde
1 7*Z X Temperatura ambiental Interaccion Temperatura del molde
4 7*X X Carrera Interaccion Temperatura del molde
5 1*ZX Razón Poliol/ Isocionato Interaccion Temperatura ambiental
4 1*ZX Carrera Interaccion Temperatura ambiental
2 1*ZX Tiempo de Vac del liquido Interaccion Temperatura ambiental
1 6*XX Presión del Aire sobre olla Interaccion Presión de aire sobre flujo
110
Se tienen 4 interacciones que involucran al factor de ruido Temperatura ambiental, 3
interacciones que involucran al factor temperatura del molde el cual es el factor que se
quiere controlar en línea en el modelo y una interacción que contiene a los dos factores
del proceso de pintado, en base a esta información se proyectan los modelos de
regresión necesarios para optimizar el sistema.
3.1.4.4. Respuesta tipo binomial
Debido a que la clasificación de piezas como defectuosas o no defectuosas es por parte
del personal de control de calidad en base a criterios ya preestablecidos, se decidió que
la mejor forma de analizar los datos es mediante la determinación de una proporción de
defectuosos, esto implica la realización del experimento en línea dejando correr el
proceso con los niveles correspondientes para los parámetros. Se organizó al personal
de control de calidad con el fin de generar registros de la información obtenida durante
el turno correspondiente, la información final es la proporción de disconformes (3.3),
basada en el cociente del conteo de disconformes entre las piezas totales definidas, tal
como se realizaría en un gráfico de control P (Montgomery D. C., 2008)
ii
i
xp
n (3.3)
Donde ip es la proporción de defectuosos de cada muestra, ix es el conteo de
disconformes en la muestra y in es el tamaño muestral que en este caso es la
producción total del turno.
Como se revisó en la sección 2.7, se sabe de antemano que este tipo de respuesta no
cumplirá con los supuestos clásicos de un modelo de regresión: normalidad,
independencia y varianza constante, debido a que que si la respuesta es binaria,
entonces los términos del error i solamente pueden tener dos valores, que son
111
1 ' cuando 1
' cuando 0
i i i
i i i
y
y
X
X
En consecuencia, no es posible que los errores en este modelo sean normales, En
segundo lugar, la varianza del error no es constante, ya que la varianza se define
2 2 22 1 0 1 1
iy i i i i i i i iE y E y
Por lo cual se hace necesaria una transformación adecuada de la respuesta antes del
modelado de la media y varianza.
3.1.4.5. Modelo de Regresión Transformado por regresión logística
Cuando se realiza un análisis de la varianza de forma tradicional se obtiene un modelo
de regresión basado en método de mínimos cuadrados. El modelo basado en mínimos
cuadrados está basado en los supuestos de normalidad, independencia y varianza
constante, de acuerdo a lo que se revisó en la sección anterior se conoce que el modelo
no cumplirá los supuestos dado que el comportamiento de su media y varianza es de
tipo binomial. Con el fin de encontrar las mejores condiciones para resolver el problema
de defectos en las suelas de poliuretano, se recurre al modelo de regresión logística.
Gráfico 3-2 Ejemplo de función de respuesta logística
112
Dentro del contexto de los modelos lineales generalizados (McCullagh, 1989), el GLM
que más se adecúa a una respuesta tipo binomial cuyos resultados se encuentran entre
0 y 1 se tienen los modelos de regresión logística (Montgomery D. P., 2012). En
general, cuando una variable de respuesta es binaria y de proporciones. Existen
bastantes pruebas empíricas que indican que la forma de la función de respuesta debe
ser no lineal. Una función monótonamente creciente o decreciente; en forma de S (o S
invertida), es la que se acostumbra emplear debido a que se ajusta en forma adecuada
a estos casos, dicha función tiene la forma mostrada en el Gráfico 3-2 y su forma es:
exp '
1 exp 'E y
X
X
Para la estimación de los parámetros en un modelo de regresión logístico se utiliza el
método de máxima verosimilitud y también por el método de mínimos cuadrados
iterativamente reponderados (ILRS), La metodología para la estimación de parámetros
por el método de máxima verosimilitud se menciona en la sección 2.7. Se reescribe el
modelo de la siguiente forma (3.4)
0log ' ' ' '1
g
X X BX Z X Z (3.4)
Así, la función de máxima verosimilitud se expresa por:
1
; log log 11
ni
i i i
i i
l y m
π y (3.5)
Debido a que el modelo de regresión logístico tiene la forma de la distribución de
bernoulli y la variable iy es independiente en cada ensayo y con valor esperado
113
0
0
exp ' ' ' '
1 exp ' ' ' '
X X BX Z X Z
X X BX Z X Z (3.6)
(3.6) también puede expresarse como (3.7)
0
1
1 exp ' ' ' 'XZY
X X BX Z X Z (3.7)
Para los cálculos de los parámetros del modelo por medio del máxima verosimilitud
utilizamos el software Statgraphics Plus. Para poder ajustar el modelo en el software
deben agregarse las columnas requeridas de los elementos principales e interacciones
y la columna de las respuestas. Tal como se muestra la Tabla 3-7
Tabla 3-7 Forma de captura del arreglo en Statgraphics
Corrida X1 Z1 X2 X3 X4 X5 X7 X6 X2*X7 Z1*X7 X4*X7 X5*Z1 X4*Z1 X2*Z1 X1*X6 xi ni Pi
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1
3 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1
4 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
5 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 1
6 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1
7 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1
8 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 -1 1 -1
9 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1
10 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1
11 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1
12 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1
13 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
14 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1
15 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1 1 1
16 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3.1.4.6. Modelado de la media y la varianza a partir del modelo transformado
Una vez obtenido el modelo transformado de regresión logística se procede a
seleccionar los elementos que son significativos lo cual puede hacerse mediante las
siguientes opciones:
114
Análisis de la tabla de ANOVA del modelo de regresión logístico
Análisis de gráficas Half- Normal
Método de selección hacia adelante
Método de selección hacia atrás
Se estiman los parámetros del modelo por el método de máxima verosimilitud y se
reescriben los modelos equivalentes del modelado de la media como (3.8) y la varianza
como (3.9) con el uso de los parámetros estimados en escala logística de la siguiente
forma:
0
1
1 exp ' 'XZE Y
X X BX (3.8)
2 2
1
1 exp ' ' 'XZ
Z
Var Y
X X
(3.9)
3.1.4.7. Determinación de los niveles óptimos en los factores de control
Como se revisó en la literatura, se han utilizado diferentes esquemas de optimización
para el análisis del DRP, tanto en el esquema del arreglo cruzado como con el arreglo
combinado (Mares, 2013). El problema de optimización para este problema en particular
considera como la función objetivo la minimización de la varianza, mientras que se
busca que la respuesta media (o deseada) seo cero, ya que la respuesta se refiere a
una proporción o porcentaje de defectuosos. Un esquema de optimización que puede
cumplir con tales características tiene sus bases en la programación no lineal
restringida (Nocedal, 2006).
. 0
0
XZ
XZ
i
Min Var Y
s a E Y
x
(3.10)
115
Los modelos para la media y la varianza son las respuestas logísticas (3.8) y (3.9). Otra
característica de la función objetivo requerida es que el problema pueda ser restringido
a los niveles en los cuales se maneja el experimento con el fin de no obtener soluciones
óptimas fuera de la región experimental.
El algoritmo de programación cuadrática secuencial (SQP por sus siglas en inglés)
(Nocedal, 2006), cumple de forma adecuada con tales objetivos. El esquema de
optimización del algoritmo SQP parte del problema de igualdad restringida en (3.11)
min
. 0
f x
s a c x (3.11)
Se utiliza la función (3.9) en lugar de f x y la función (3.8) como la función de
restricción ,c x el problema permite la definición de límites, los cuales serán los
niveles superior (1) e inferior (-1) codificados del arreglo experimental.
Además del algoritmo SQP, otro algoritmo que cumple adecuadamente el
planteamiento de optimización requerido es el algoritmo del punto interior (Byrd, 2000),
con el cual se busca la solución del problema con la siguiente función objetivo para el
problema de optimización (3.12)
min
. 0
0
f x
s a h x
g x
(3.12)
Utilizando la función (3.9) en lugar de f x y la función (3.8) en lugar de la función
restricción .g x
116
3.1.4.8. Corridas de verificación
Para la validación de los resultados en el modelo se plantea la realización de corridas
de verificación con el fin de determinar si los niveles resultantes de la optimización
permiten la mejora de la calidad en cuanto a la reducción del porcentaje de
defectuosos, para esto se plantean dos corridas de verificación:
1. Corrida de verificación en el turno de la mañana.
2. Corrida de verificación en el turno de la noche.
Tomando en cuenta que el factor de ruido es la temperatura ambiental, si se obtiene un
resultado similar en la producción del turno de la mañana y el de la noche se habrá
cumplido el objetivo de la solución robusta, mientras que el modelado con control puede
dar un estimado del porcentaje de variación que puede reducirse en el sistema si se
aplica el sistema de control mejorado en el sistema.
3.1.4.9. Modelado con control
El análisis de DRP y sistemas de control contempla la utilización de algoritmos para el
análisis y optimización de sistemas que presentan una característica dinámica o
elemento controlador en el sistema con el fin de reducir la variación de una x
característica de calidad, en el problema propuesto se tiene que tal característica es la
temperatura de los moldes, la cual muestra una alta variabilidad y un control muy bajo
debido a que se tiene un solo pirometro que controla a los 60 moldes en la máquina,
situación que es poco favorable para la calidad en el proceso.
De acuerdo al concepto de las medidas de desempeño independientes de ajuste
(PerMIA) propuestas por Joseph, se parte de la razón señal a ruido dinámica de
Taguchi. El ruido Z se parte en dos: El ruido que se va a controlar en línea Q y el ruido
aleatorio .R
117
el modelo de la razón señal a ruido de Taguchi estará en función de los factores de
control ,X el ruido controlado en línea R y el ruido aleatorio ,Q por lo tanto la razón
señal a ruido dinámica de Taguchi se replantea como (3.13)
2
2
X,Q,RX,Q,R
X,Q,RSR
(3.13)
La solución óptima para los niveles de los factores de control X puede obtenerse
minimizando el inverso del valor esperado de la ecuación (3.13), 1/ X,Q ,E SR los
términos en (3.13) por propiedades de esperanza y varianza condicional se pueden
reescribir como
2 2X,Q,R X,Q,RE
2 X,Q,R X,Q,R X,Q,RE V Var
Por lo tanto, la razón SR en (3.13) se puede expresar como en (3.14)
22
2
X,Q,RX,Q,RX,Q,R
X,Q,R X,Q,R X,Q,R
ESR
E V Var
(3.14)
Definiendo como la medida de desempeño del sistema al inverso de (3.14)
2
X,Q,R X,Q,R
X,Q,R
E V VarPM E
E
(3.15)
Minimizando (3.15) se obtienen los valores óptimos para los niveles de los factores de
control X .
118
3.2 Caso de aplicación a nivel laboratorio
3.2.1 Introducción
En esta sección se presenta un caso de aplicación a nivel laboratorio en el cual se
aplica una metodología de análisis similar al caso a nivel industrial, pero el caso
propuesto entra dentro del DRP para características dinámicas. El objetivo de la
propuesta es simular un proceso industrial por medio de la medición del tiempo de
bajada de 5 pelotas de diferente peso a través de un líquido que contiene la mezcla de
agua, glicerina, carbonato y azucar. La mezcla se vierte en una probeta de un litro de
capacidad (Ilustración 3-24), la altura en la cual se llena al nivel de un litro es alrededor
de 35 cms. El objetivo del experimento es modelar un sistema señal- respuesta el cual
sea robusto a la presencia de factores de ruido (que tenga la menor variación alrededor
de sus valores promedio.
Ilustración 3-24 Probeta de 1 litro utilizada en el experimento
119
Los elementos agregados al agua (glicerina, carbonato y azúcar) se agregan con el fin
de que puedan generar variación en sus propiedades de viscosidad, fluidez, tensión
superficial, cohesión, adhesion, y capilaridad, para generar condiciones que varíen el
tiempo de bajada de las pelotas a través de la mezcla líquida.
La cantidad total de las mezclas es de un litro, la glicerina, carbonato y azucar son
variados en cuanto a sus niveles pero la cantidad total de la mezcla debe ser un litro,
antes de vaciarse en la probeta es necesario mezclar por separado cada uno de los
componentes con una cantidad de agua con el fin de que el mezclado sea más fácil.
Las cantidades de los elementos se utilizan en base al peso de las mismas, se agrega
agua a los recipientes hasta que estos contengan una cantidad de líquido mezclado,
para la glicerina se llena una cantidad de 500 ml de agua-glicerina, para el carbonato
una mezcla de 250 ml de agua- carbonato y para el azucar una mezcla de 250 ml de
agua- azucar. Al final de la mezcla de cada una de las anteriores se unen en la probeta
todas las mezclas para sumar un litro, aquí se vuelve a mezclar nuevamente el líquido
para disolver los componentes en la mezcla.
Ilustración 3-25 Mezclas de Glicerina, Carbonato y Azúcar con agua
Debido a que se busca modelar un sistema dinámico, se consideró el uso de 5 pelotas
de diferentes pesos que hagan la labor del factor señal, aquí se consideró también el
120
uso de un control, ya que se utilizó una torre de lanzamiento con el fin de que se pueda
ajustar la altura según el peso que tenga la pelota con el fin de igualar la fuerza con la
que golpea la pelota contra la superficie del líquido en todos los casos, para esto se
realizaron una serie de cálculos con el fin de que el diseño de la torre cubriera todas las
alturas requeridas para cada una de las pelotas utilizadas en el experimento.
3.2.2 Descripción del proceso de las tiradas
Para poder realizar el experimento se debe seguir una secuencia definida de
operaciones. Antes de la realización de ésta aplicación se desarrollaron experimentos
previos que permitieron definir los niveles de cada uno de los factores experimentales,
una vez definidos, se procede inicialmente a pesar los elementos experimentales con el
uso de una balanza de laboratorio.
1. Pesado de los elementos
En la Ilustración 3-26 se muestra el pesado de la glicerina y en la Ilustración 3-27 se
muestra el pesado del carbonato.
Ilustración 3-26 Pesado de la Glicerina
121
Ilustración 3-27 Pesado del carbonato
Para el pesado de la glicerina es conveniente el uso de un recipiente tipo matraz
afocado con el fin de poder utilizar un embudo y evitar el derrame de la glicerina, para el
carbonato y azúcar es conveniente un vaso de precipitado, en ambos casos el uso de
los recipientes se relacionará a la factibilidad de mezlcado de los elementos con el agua
hasta llegar a los niveles predeterminados para el experimento.
2. Mezclado de los elementos con agua
Mediante el uso de un agitador magnético y barras imantadas, se realiza un mezclado
de los componentes, es recomendable inicialmente mezclar cada uno de los elementos
con agua de forma individual y posteriormente vacia todas las mezclas individuales en
la probeta de 1 litro con el fin de que haya una mejor disolución, cabe señalar que el
carbonato es el elemento que presenta mayor resistencia a la disolución, por lo que
antes de cada prueba es conveniente volvera mezclar la solución en el agitador,
también se debe tomar en cuenta el tiempo de mezclado.
122
Ilustración 3-28 Mezclado de la solución de glicerina, carbonato, azúcar y agua
3. Calentado y/ o enfriado de las mezclas
Otro de los parametros a incluir en el experimento es la temperatura de las mezclas, las
cuales se obtienen a nivel laboratorio mediante el uso de un horno para el calentado y
un refrigerador de laboratorio para el enfriado, en la Ilustración 3-29 se muestra el
proceso de calentado de la mezcla líquida en el horno de laboratorio, utilizando una
temperatura de 100°C se obtiene la temperatura deseada en la mezcla en un tiempo
promedio de 25 minutos.
123
Ilustración 3-29 Calentado de las mezclas en el horno de laboratorio
En la Ilustración 3-30 se muestra el proceso de enfriado de las mezclas en el
refrigerador de laboratorio, el proceso de enfriado es más tardado que el del calentado,
colocando el control de temperatura al nivel más frío se debió esperar un promedio de
50 minutos antes de obtener la temperatura deseada, en las mezclas que tenían una
cantidad alta de glicerina se debió esperar más tiempo debido a que la glicerina
aumenta la resistencia del líquido al enfriamiento. Las pruebas de tiradas se debían
realizar de forma inmediata posterior al enfriamiento o calentamiento de las mezclas.
124
Ilustración 3-30 Enfriado de las mezclas en el refrigerador de laboratorio
4. Preparación de la temperatura ambiental
Además de la temperatura de la mezcla, también se consideró en el experimento la
temperatura ambiente, se consideró la temperatura ambiental normal y una temperatura
baja, para poder simularla se hizo mediante el uso del cuarto frío (Ilustración 3-31)
Ilustración 3-31 Cuarto frío
125
5. Realización de las tiradas
Una vez que se tienen todas las condiciones experimentales predefinidas, se procede a
realizar las tiradas, se ocupan dos personas para las pruebas, una persona realizará las
tiradas y repeticiones de las mismas, la otra persona es quien cronometra y registra el
tiempo de bajada de las pelotas, el proceso se muestra en la Ilustración 3-32.
Ilustración 3-32 Realización de las tiradas
En el experimento se utilizan 5 pelotas de diferentes pesos, las cuales se deben
cambiar utilizar de acuerdo al arreglo experimental predefinido, para una rápida
clasificación visual se utilizó un plato con moldes redondos mostrado en la Ilustración
3-33.
126
Ilustración 3-33 Plato clasificador de pelotas
3.2.3 Definición de los parametros
La variable de respuesta es el tiempo que tarda la pelota en llegar al fondo de la
probeta una vez que se suelta del dispositivo lanzador, sobre éstos valores se relizó el
análisis estadístico. En cada tratamiento las pelotas bajan sobre la mezcla de Glicerina,
azúcar y carbonato.
En la Tabla 3-8 se muestran los niveles para cada uno de los factores experimentales,
la Glicerina, carbonato, azucar y el tiempo de mezclado se consideran factores de
control, mientras que la temperatura ambiente, temperatura de la mezcla y la persona
se consideran los factores de ruido.
127
Tabla 3-8 Niveles para los factores experimentales
Factor Bajo Alto
Glicerina 220 grs 260 grs Control
Carbonato 60 grs 80 grs Control
Azúcar 25 grs 50 grs Control
Tiempo Mezclado 5 min 10 min Control
Temp. Ambiente 15° C 32° C Ruido
Temp. Mezcla 10° C 50° C Ruido
Persona 1 2 Ruido
Los niveles fueron definidos en base a experimentos previos en los cuales se
manejaron diferentes cantidades de los elementos con el fin de revisar su efecto en la
respuesta, con el fin de hacer más eficiente el proceso se hicieron inicialmente todas las
mezclas y según las corridas se hacía el preparado de las temperaturas.
Para la definición de la temperatura ambiental se revisaron los promedios históricos de
temperaturas máximas y mínimas, el cuarto frío permite trabajar en temperaturas
ambientales bajas, el objetivo es involucrar un factor de ruido difícil de controlar que va
a estar actuando sobre la solución.
La temperatura del líquido también es un factor de ruido, en un proceso real es comun
que se manejen fluidos que cambian su temperatura por cuestiones de manejo,
características propias de proceso, etc.
El tiempo de mezclado también presentó diferencias, cuando se mezclaban las
soluciones por tiempos cortos se notó que el carbonato tiende a asentarse en el fondo
de la probeta, mientras que en tiempos más largos de mezclado el carbonato tendía a
mezlclarse mejor con la solución, si se almacenaban las soluciones, en todos los casos
el carbonato tiende a asentarse nuevamente al fondo de la probeta, porque no es
soluble con los otros elementos.
La persona es otro factor de ruido, la variación que puede generar la persona que
realiza el experimento es un elemento importante y se considera un factor de ruido
debido a que se trata de características más del tipo cualitativo y es muy difícil
estandarizar la forma de trabajo entre dos personas.
128
3.2.4 Metodología Operativa
La metodología operativa en éste caso es similar a la presentada para el problema a
nivel industrial, en la Ilustración 3-34 se muestra la metodología operativa propuesta
para el análisis de sistemas señal- respuesta y sistemas de control, cabe señalar que
para éste ejemplo se tiene una respuesta de tipo continuo (el tiempo de caida y bajada
de las pelotas) por lo que no se requiere una transformación tipo binomial, pero se
recomienda un ajuste por mínimos cuadrados ponderados.
SELECCIÓN DEL ARREGLO
ORTOGONAL
Factores de Control X
Factores de Ruido Z
Factor Señal
M
Factor Control
Q
Realización de corridas
Experimentales
Cálculo de Promedios
Cálculo de Varianzas
Obtención de modelo
β
Obtención de modelo
σ²
Calcular Medida de desempeño
Optimizar
Ilustración 3-34 Metodología operativa propuesta
3.2.4.1. Selección del arreglo combinado
El esquema experimental se puede realizar desde el enfoque del modelado de la
medida de desempeño o el modelado en función de la respuesta, se seleccionó el
modelado de la medida de desempeño, se tomaron 4 réplicas de la misma observación
129
con el fin de obtener valores para las medias x y desviaciones estándar de cada
tratamiento , el experimento se replica en cada uno de los niveles del factor señal y el
control. Posteriormente, se ajustan los modelos de regresión correspondientes al
PerMIA y se procede a la optimización del sistema.
Debido a que se tienen 7 factores, se decidió utilizar como arreglo primario en el
experimento un diseño 7 32IV
(Box G. H., 2005), el cual tiene como generadores del
diseño ,E ABC F BCD y ,G ACD el cual se muestra en la Tabla 3-9.
Tabla 3-9 Arreglo ortogonal base para las corridas experimentales
Run
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7
Repeticiones
x
Glicerina Carbonato Azúcar Tiempo de Mezclado
Temperatura Ambiente
Temperatura de la mezcla
Persona
A B C D E F G x1 x2 x3 x4
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1
2 1 -1 -1 -1 1 -1 1
3 -1 1 -1 -1 1 1 -1
4 1 1 -1 -1 -1 1 1
5 -1 -1 1 -1 1 1 1
6 1 -1 1 -1 -1 1 -1
7 -1 1 1 -1 -1 -1 1
8 1 1 1 -1 1 -1 -1
9 -1 -1 -1 1 -1 1 1
10 1 -1 -1 1 1 1 -1
11 -1 1 -1 1 1 -1 1
12 1 1 -1 1 -1 -1 -1
13 -1 -1 1 1 1 -1 -1
14 1 -1 1 1 -1 -1 1
15 -1 1 1 1 -1 1 -1
16 1 1 1 1 1 1 1
Aunque las variables tiempo de mezclado, temperatura ambiente, tiempo de mezclado y
persona se consideran factores de ruido, se utilizarán las nomenclaturas 4 5 6, ,X X X y
7X con el fin de facilitar el manejo de los elementos en los modelos de regresión. Los
valores para las medias y varianzas de cada tratamiento se calculan en base a 4
130
repeticiones por tratamiento. Todo el arreglo ortogonal se replica 5 veces en base al
nivel del factor señal.
3.2.4.2. Determinación de factores de control, ruido, señal y control en línea
Los factores de control en el experimento son la Glicerina, Carbonato, Azúcar y
el tiempo de mezclado, la suma de cada de las combinaciones de los
componentes y el agua es un litro de solución mezclada, la finalidad es variar las
propiedades del fluido con la finalidad de crear condiciones de resistencia
diferentes a la bajada de la pelota. Se asignaron a las columnas 1, 2, 3 y 4 del
arreglo, respectivamente.
Los factores de ruido son la temperatura ambiente, temperatura de la mezcla y
la persona, las cuales se agregan al experimento con la finalidad de generar las
condiciones de variación. Se agregaron a las columnas 5, 6 y 7 respectivamente.
El factor señal son las pelotas utilizadas en las tiradas, cada una de ellas tiene
diferentes pesos y se muestran en la Tabla 3-10
Tabla 3-10 Pesos de las pelotas (factor señal)
Pelota Peso
1 10.14 grs
2 11.31 grs
3 12.78 grs
4 14.14 grs
5 15.40 grs
El factor señal se agrega como una columna adicional en el arreglo de la Tabla 3-9,
esto quiere decir que el experimento se replica 5 veces, teniendose 5 x 16= 80
tratamientos y 80 x 4 = 320 observaciones totales.
El factor de control en línea se trata de una torre mostrada en la Ilustración
3-35. El objetivo del diseño es el poder ajustar la altura de las tiradas en base al
peso de las pelotas con el fin de igualar la fuerza de golpe de las pelotas contra
131
la superficie del líquido independientemente de su peso y además eliminar en lo
posible el efecto que produce el lanzamiento de forma manual en el experimento.
Ilustración 3-35 Dispositivo lanzador para el experimento
El procedimiento para ajustar la altura se realizó de la siguiente manera: Se construyó
una tabla en Excel para relacionar las alturas y pesos de las pelotas. En base a los
cálculos se determina la altura que corresponde a cada una de las pelotas, esto
permitirá ajustar la altura de lanzamiento con el peso de la pelota para que la fuerza
teórica de golpe de la pelota contra la superficie del líquido sea la misma
independientemente del peso que tenga la pelota. Se consideran las siguientes
relaciones físicas para realizar el procedimiento de ajuste entre las variables altura y
peso:
1. Distancia d recorrida por un objeto en caida libre con tiempo t (3.16)
212
d gt (3.16)
2. Tiempo t transcurrido por un objeto en una distancia de caida d (3.17)
132
2dt
g (3.17)
3. Velocidad instantánea iv de un cuerpo en caida libre después de un tiempo
elapsado t (3.18)
iv gt (3.18)
4. Velocidad instantánea iv de un cuerpo en caida libre que ha recorrido una
distancia d (3.19)
2iv gd (3.19)
5. Velocidad promedio av de un cuerpo que ha caido en un tiempo t (3.20)
12av gt (3.20)
6. Velocidad promedio av de un cuerpo en caída libre que ha recorrido una
distancia d (3.21)
2
2a
gdv (3.21)
7. Fuerza promedio F de un cuerpo en caida libre de una masa m (3.22)
F m g (3.22)
En la Tabla 3-11 se muestran los cálculos para el dispositivo lanzador.
133
En la Ilustración 3-36 se observan las alturas de importancia para los cálculos, la altura
del líquido en la probeta llenada con un litro de la mezcla es de 37.4 cms. De esta forma
se obtienen las alturas de lanzamiento correspondientes.
Ilustración 3-36 Alturas para el modelo del dispositivo lanzador
Tabla 3-11 Cálculos para el dispositivo lanzador
Masa de Pelota
(gr)
Masa de Pelota
(Kg) Gravedad (mts/seg2)
Altura (cms)
Altura Real (cms)
Altura (mts)
Altura (mts)
Fuerza (N)
Fuerza (N)
Velocidad Promedio (mts/seg)
Velocidad Instantánea (mts/seg)
Tiempo (Seg)
Tiempo (Seg)
9 0.009 9.80665 0 37.4 0.306 0 0 0.0882 1.22491 2.44983 0.2498 0.16030
9.5 0.009 9.80665 0 37.4 0.296 0 0 0.0931 1.20473 2.40946 0.2456 0.16030
10 0.01 9.80665 0 37.4 0.286 0 0 0.0980 1.18420 2.36841 0.2415 0.16030
10.4 0.010 9.80665 0 37.4 0.276 0 0 0.1019 1.16332 2.32664 0.2372 0.16030
11 0.011 9.80665 0 37.4 0.266 0 0 0.1078 1.14205 2.28410 0.2329 0.16030
11.2 0.011 9.80665 0 37.4 0.256 0 0 0.1098 1.12037 2.24075 0.2284 0.16030
11.31 0.011 9.80665 0 37.4 0.246 0 0 0.1109 1.09827 2.19655 0.2239 0.16030
11.6 0.011 9.80665 0 37.4 0.236 0 0 0.1137 1.07572 2.15145 0.2193 0.16030
11.8 0.011 9.80665 0 37.4 0.226 0 0 0.1157 1.05268 2.10537 0.2146 0.16030
12 0.012 9.80665 0 37.4 0.216 0 0 0.1176 1.02913 2.05826 0.2098 0.16030
12.2 0.012 9.80665 0 37.4 0.206 0 0 0.1196 1.00502 2.01005 0.2049 0.16030
12.4 0.012 9.80665 0 37.4 0.196 0 0 0.1216 0.98033 1.96066 0.1999 0.16030
12.78 0.012 9.80665 0 37.4 0.186 0 0 0.1253 0.95499 1.90999 0.1947 0.16030
12.8 0.012 9.80665 0 37.4 0.176 0 0 0.1255 0.92896 1.85793 0.1894 0.16030
13 0.013 9.80665 0 37.4 0.166 0 0 0.1274 0.90219 1.80438 0.1839 0.16030
13.5 0.013 9.80665 0 37.4 0.156 0 0 0.1323 0.87459 1.74919 0.1783 0.16030
14.14 0.014 9.80665 0 37.4 0.146 0 0 0.1386 0.84610 1.69220 0.1725 0.16030
15.4 0.015 9.80665 0 37.4 0.136 0 0 0.1510 0.81661 1.63322 0.1665 0.16030
15 0.015 9.80665 0 37.4 0.126 0 0 0.1470 0.78601 1.57202 0.1603 0.16030
Var Var Const Var Var Var Var Const Var Var Var Var Const
134
De acuerdo a los cálculos obtenidos, se definen las alturas correspondientes a cada
una de las pelotas en base a su peso, los valores se muestran en la Tabla 3-12
Tabla 3-12 Alturas de lanzamiento de acuerdo a los pesos de las 5 pelotas
Pelota Masa de la pelota (grs) Altura Real (cms)
1 10.4 55.6
2 11.31 54.1
3 12.78 52.2
4 14.14 50.8
5 15.4 49.7
La finalidad es que la persona que realiza las tiradas debe ajustar la altura del lanzador
antes de efectuar la tirada, y de esta forma, reducir la variación que se genera si se
realizan los lanzamientos de forma manual. De esta forma, con el dispositivo de tiene el
control de la tirada, y así el factor señal (pelota) y el control (ajuste de la altura de
lanzamiento en base a la masa de la pelota) estarán relacionados, la idea se muestra
en la Ilustración 3-37.
Ilustración 3-37 Relación entre la fuerza de golpe vs el peso de la pelota y las alturas de lanzamiento
El objetivo es este procedimiento es ajustar la altura del lanzamiento a medida que se
vaya cambiando la pelota en las tiradas, así se obtendrá un valor constante de la fuerza
de golpe contra la superficie de 0.1471 N.
135
La idea del control realimentado se muestra en la Ilustración 3-38, el diagrama
representa el modelo de control que estará actuando en el experimento, la entrada es la
preparación de la tirada en el experimento. La persona que realiza las tiradas hace la
labor del elemento corrector al ajustar la altura del dispositivo en base al peso de la
pelota, en base a las relaciones físicas entre las variables anteriormente mencionadas,
se obtiene una variable de respuesta igual a la fuerza de golpe de las pelotas contra la
superficie del agua, si el siguiente tratamiento experimental contempla un cambio de la
pelota, se debe volver a ajustar la altura correspondiente.
Ilustración 3-38 Modelo de control para las tiradas
3.2.4.3. Realización de las corridas experimentales
Una vez que se han preparado los parámetros experimentales se procede a la
realización de las corridas experimentales, el tiempo de realización experimental es de
aproximadamente dos meses, debido a las operaciones de preparación previas que
deben realizarse y la cantidad de corridas experimentales requeridas, la
experimentación fue realizada en las instalaciones del laboratorio de ambiental en el
Centro de Innovación Aplicada en Tecnologías Competitivas (CIATEC).
Las repeticiones de las corridas experimentales fueron realizadas de manera aleatoria
con el fin de mantener las condiciones experimentales adecuadas sin incurrir en sesgos
para los datos experiementales obtenidos. Se realizaron cuatro repeticiones de cada
uno de los tratamientos.
136
3.2.4.4. Cálculo de los promedios y las varianzas
Una vez obtenidos los datos experimentales de cada corrida se procedió al cálculo de la
medias y varianzas muestrales, las fórmulas para el cálculo son las mismas que las
mostradas en las ecuaciones (2.2) y (2.3). El objetivo es obtener las medidas de
locación y dispersión con la finalidad de que sean utilizadas para al ajuste de los
modelos de regresión requeridos para la optimización. Cabe recordar que el
experimento se realiza en el esquema del modelado de la medida de desempeño.
3.2.4.5. Obtención del modelo de locación β y el modelo de dispersión σ²
El modelo para la media X,Q,R se ajusta por el método de mínimos cuadrados
ponderados (Montgomery D. P., 2012) con pesos 1/ X,Q,RV y el modelo de la
varianza X,Q,RV se ajusta mediante un modelo lineal generalizado gamma con liga
logaritmo (McCullagh, 1989) con el fin de evitar el traslado del efecto de error entre los
dos modelos. El GLM gamma liga logaritmo permite ayudar al modelo de la varianza
cumplir con los supuestos para los residuales, ya que se sabe que un modelo basado
en datos de varianzas no cumple los supuestos de un modelo de regresión en los
residuos a razón de que los valores Esperados se basan en distribuciones 2.
3.2.4.6. Cálculo de la medida de desempeño
La medida de desempeño utilizada para la optimización, también se basa en el modelo
PerMIA en (3.15), a partir de los modelos estimados para X,Q,R y X,Q,RV , se
estiman los componentes requeridos en el PerMIA:
X,Q,RE V
2 X,Q,RE
137
X,Q,RVar
Para el modelo X,Q,RE V se contemplan los factores de ruido que se considera
aleatorio, es deseable conocer la distribución de la cual proviene el ruido para utilizar
sus parámetros en la ecuación PerMIA.
3.2.4.7. Optimización
Para la obtención de los niveles deseados en los factores de control (respuesta
robusta), se optimiza la ecuación PerMIA (3.15), en este esquema no se tiene una
ecuación de restricción, por lo que se aplican técnicas de Programación no lineal
irrestricta, bajo éste esquema no se tiene una ecuación de restricción. Se pueden
aplicar cuatro tipos de algoritmos:
Programación Cuadrática Secuencial (SQP)
Punto interior
Active Set
Trust Region
Los 4 algoritmos pueden ser evaluados desde el software MATLAB.
138
4 RESULTADOS
4.1 Resultados Para el Caso de aplicación a nivel industrial
4.1.1 Introducción
En este capítulo se realiza la validación de las metodologías propuestas aplicadas al
caso de aplicación a nivel industrial para la mejora de calidad en la fabricación de
suelas de poliuretano. La experimentación y resultados obtenidos fueron realizados en
la empresa HUFLEX, S.A. La experimentación se hizo en base al modelo de suela
Ucrania que es el que mostró una mayor incidencia de defectuosos en un periodo
relativamente corto desde su introducción a producción. En base a la información de
Control de Calidad se decidió que la mejor opción de análisis era mediante el uso de
una respuesta binomial del tipo defectuoso- no defectuoso, ya que este tipo de
clasificación es la que usualmente se hace por parte de los inspectores de Control de
Calidad, el objetivo es la reducción del porcentaje de defectuosos que se tienen en cada
corrida de producción o turno.
4.1.2 Obtención de la respuesta tipo binomial
Las observaciones se realizaron en base a la producción total del modelo Ucrania en el
molde 24, los registros de calidad fueron llevados a cabo por el personal de Control de
Calidad en base a los criterios de calidad ya predefinidos, se realizó la clasificación de
la producción de la suela. Una de las características principales es que el proceso se
dejó correr manteniendo los parametros predefinidos en el arreglo ortogonal, para el
factor temperatura ambiental se realizaron corridas tanto en el turno de día como en el
de noche para trabajar sobre los niveles de las temperaturas promedio marcadas, el
resumen de la información de los resultados de las corridas se muestra en la Tabla 4-1,
la ultima columna de la tabla contiene los datos relativos a la proporción de defectuosos
obtenida para cada corrida, la cual se calcula dividiendo la columna de defectuosos
entre los totales.
139
Tabla 4-1 Arreglo ortogonal y valores obtenidos en el experimento
P
resi
ón
del
Air
e
Tem
per
atu
ra A
mb
ien
tal
Tiem
po
de
Vac
iad
o d
el
Líq
uid
o (
Cau
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)
Án
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Mo
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Car
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Raz
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Po
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Iso
cio
nat
o
Tem
per
atu
ra d
el M
old
e
Pre
sió
n d
el A
ire
sob
re e
l
Flu
jo
OrdenCorrida x1 z1 X2 X3 X4 X5 X7 X6 Defectuosos Totales % Def
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 119 212 0.56132
2 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 85 295 0.28814
3 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 39 192 0.20313
4 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 35 130 0.26923
5 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 61 286 0.21329
6 1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 48 171 0.28070
7 -1 1 1 -1 -1 1 -1 1 67 174 0.38506
8 1 1 1 -1 -1 -1 1 -1 84 247 0.34008
9 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1 76 266 0.28571
10 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 71 224 0.31696
11 -1 1 -1 1 -1 1 1 -1 34 295 0.11525
12 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 103 284 0.36268
13 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 68 306 0.22222
14 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 118 272 0.43382
15 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 59 203 0.29064
16 1 1 1 1 1 1 1 1 28 274 0.10219
Debido a que la respuesta es binomial, no es conveniente realizar el análisis tipo
ANOVA, ya que el modelo de regresión resultante se obtiene mediante mínimos
cuadrados y bajo este esquema debe cumplir con los supuestos de los residuales,
situación que no es factible, por lo tanto el siguiente paso es la estmación del modelo
logístico.
4.1.3 Ajuste del modelo logístico
Mediante el uso del software statgraphics se ajusta el modelo de regresión logística
partiendo de la captura de un arreglo que contenga los elementos principales y sus
interacciones tal como se manejó en la Tabla 3-7. La opción solicitada se realiza
140
solicitando un análisis de regresión logística y declarando la información en el cuadro de
diálogo de la Ilustración 4-1.
Ilustración 4-1 Cuadro de diálogo para la definición del modelo logístico
Una vez que se ha declarado la variable dependiente, tamaño muestral y factores,
aparece el cuadro de diálogo de opciones (Ilustración 4-2) en el cual se selecciona la
estimación del modelo por el método de máxima verosimilitud, dado que ya están
definidas las columnas para todos los elementos que es posible estimar mediante el
arreglo, no es necesario seleccionar la opción del modelo de segundo orden.
141
Ilustración 4-2 Cuadro de diálogo de opciones para el modelo logístico
Tabla 4-2 Estimados para el modelo de regresión por máxima verisimilitud
Error Razón de Momios
Parámetro Estimado Estándar Estimada
CONSTANTE -0.954439
X1 0.0447113 1.04573
Z1 -0.191036 0.826102
X2 -0.040775 0.960045
X3 -0.154362 0.856962
X4 -0.215694 0.805982
X5 -0.179335 0.835826
X7 -0.354473 0.701543
X6 -0.118861 0.887931
X2*X7 0.00117502 1.00118
Z1*X7 -0.0603251 0.941458
X4*X7 0.12136 1.12903
X5*Z1 -0.0946773 0.909666
X4*Z1 0.00346781 1.00347
X2*Z1 0.137133 1.14698
X1*X6 -0.116995 0.88959
En la Tabla 4-2 se muestran los estimados para los parámetros del modelo de regresión
logístico, la tabla contiene también las razónes de momios estimadas, las cuales se
claculan a partir de los coeficientes del modelo i por
Razón de momios=exp i (4.1)
La razón de momios representa el incremento porcentual de las probabilidades de un
resultado para una unidad incrementada en .X En la tabla Tabla 4-3 se muestra el
142
análisis de desvianza para el modelo logístico, la cual representa la desviación de los
datos en un componente explicado (modelo) y un componente no explicado (residuo).
La desviación compara la función de verosimilitud de un modelo con el valor más
grande que la función de la verosimilitud puede alcanzar, de tal manera que un modelo
perfecto tendría desviación igual a cero, Total se refiere a la desviación del modelo con
sólo un término constante, 0 . Residuo se refiere a la desviación restante después
de que el modelo ha sido ajustado, modelo se refiere a la reducción en la desviación
debido a las variables predictoras, 1 2 0, ,..., |k son iguales a la diferencia entre
los otros dos componentes.
Tabla 4-3 Análisis de desvianza
Fuente Desviación Gl Valor-P
Modelo 243.508 15 0.0000
Residuo 0.0 0
Total (corr.) 243.508 15
Como el valor-P de la tabla de Análisis de Desviaciones es menor que 0.05, existe una
relación estadísticamente significativa entre las variables, con un nivel de confianza del
95.0%. A partir de esta tabla se estima que el porcentaje de desviación del porcentaje
de defectos explicado por el modelo es igual a 100.0%. Este estadístico es similar al
estadístico R-Cuadrada habitual. El porcentaje ajustado, que es más apropiado para
comparar modelos con diferente número de variables independientes, es 86.8588%.
Debido a que no se tienen grados de libertad para el error, esta conclusión no es
confiable. El porcentaje de desviación explicado por el modelo es calculado por
1 2 02
0
, ,..., |kR
(4.2)
Es similar a un estadístico R- cuadrado en regresión múltiple, y cuyo rango puede estar
desde 0% hasta 100%. Una desviación ajustada también se calcula a partir de
143
1 2 02
0
, ,..., | 2k
adj
pR
(4.3)
Donde p es igual al número de coeficientes en el modelo ajustado, incluyendo el
término constante. Es similar al estadístico R- cuadrado ajustado en el sentido de que
compensa el número de variables en el modelo.
Las pruebas de razón de verosimilitud se muestran en la Tabla 4-4 son una prueba de
significancia para cada efecto en el modelo ajustado. Estas pruebas comparan la
función de verosimilitud del modelo completo con la del modelo que solo arroja el efecto
indicado. Pequeños P- valores indican que el modelo se ha mejorado significativamente
por el efecto correspondiente.
Tabla 4-4 Pruebas de razón de verosimilitud
Factor Chi-Cuadrada Gl Valor-P
X1 1.33107 1 0.2486
Z1 24.7018 1 0.0000
X2 1.10775 1 0.2926
X3 15.8983 1 0.0001
X4 31.4096 1 0.0000
X5 21.6096 1 0.0000
X7 84.6496 1 0.0000
X6 9.42489 1 0.0021
X2*X7 0.000920116 1 0.9758
Z1*X7 2.432 1 0.1189
X4*X7 9.80985 1 0.0017
X5*Z1 6.01051 1 0.0142
X4*Z1 0.00801324 1 0.9287
X2*Z1 12.5657 1 0.0004
X1*X6 9.14703 1 0.0025
Para determinar si el modelo puede ser simplificado, note que el valor-P más alto para
las pruebas de verosimilitud es 0.9758, que pertenece a 2 7*X .X Como el valor-P es
mayor o igual que 0.05, ese término no es estadísticamente significativo al nivel de
confianza del 95.0% o mayor. Consecuentemente, debería eliminar 2 7*X X del modelo.
Debido a que la eliminación de la interacción 2 7*X X puede generar nuevos valores
candidatos a eliminación, se aplicará el algoritmo de selección del paso hacia atrás
(Montgomery D. P., 2012), para la selección de los fatores significativos.
144
4.1.3.1 Aplicación del algoritmo del paso hacia atrás para la selección de factores
El modelo de regresión estimado reducido se muestra en la Tabla 4-5
Tabla 4-5 Estimados para el modelo de regresión reducido
Error Razón de Momios
Parámetro Estimado Estándar Estimada
CONSTANTE -0.953217 0.0385211
Z1 -0.190845 0.0380451 0.82626
X3 -0.145302 0.0384132 0.864761
X4 -0.221633 0.0375987 0.801209
X5 -0.185119 0.0380134 0.831005
X7 -0.341925 0.0380342 0.710402
X6 -0.103138 0.0374876 0.902003
X4*X7 0.131183 0.0383578 1.14018
X5*Z1 -0.100796 0.0380655 0.904117
X2*Z1 0.142873 0.0380923 1.15358
X1*X6 -0.100534 0.0375118 0.904355
Después de la aplicación del algoritmo de selección del paso hacia atrás, quedan como
elementos principales: 1 3 4 5 7 6, , , , ,XZ X X X X mientras que quedaron 4 interacciones con
efecto significativo: 4 7* ,X X 5 1*Z ,X 2 1*Z ,X y 1 6*X .X La tabla de análisis de desvianza
del modelo reducido se muestra en la Tabla 4-6
Tabla 4-6 Análisis de desvianza para el modelo reducido
Fuente Desviación Gl Valor-P
Modelo 238.551 10 0.0000
Residuo 4.95749 5 0.4211
Total (corr.) 243.508 15
Porcentaje de desviación explicado por el modelo = 97.9641 Porcentaje ajustado = 88.9295
Como el valor-P de la tabla de Análisis de Desvianza es menor que 0.05, existe una
relación estadísticamente significativa entre las variables, con un nivel de confianza del
95.0%. Además, el valor-P para los residuos es mayor o igual que 0.05, indicando que
el modelo no es significativamente peor que el mejor modelo posible para estos datos
con un nivel de confianza del 95.0% o mayor. Esta ventana también muestra que el
porcentaje de desviación de los del porcentaje de defectos explicado por el modelo es
igual a 97.9641%. Este estadístico es similar al estadístico R-Cuadrada habitual. El
porcentaje ajustado, que es más apropiado para comparar modelos con diferente
145
número de variables independientes, es 88.9295%. Lo anterior valida la adecuación del
modelo logístico para el análisis.
Tabla 4-7 Pruebas de razón de verosimilitud para el modelo reducido
Factor Chi-Cuadrada Gl Valor-P
Z1 25.5058 1 0.0000
X3 14.2965 1 0.0002
X4 35.2203 1 0.0000
X5 23.9625 1 0.0000
X7 81.3237 1 0.0000
X6 7.5633 1 0.0060
X4*X7 11.7184 1 0.0006
X5*Z1 7.05806 1 0.0079
X2*Z1 14.1347 1 0.0002
X1*X6 7.19041 1 0.0073
La tabla Tabla 4-7 muestra que todos los valores P de los factores en el modelo
reducido son inferiores al 0.05, por lo que todos los factores son significativos y no
es conveniente eliminar más términos en el modelo.
4.1.3.2 Análisis de residuales
Una vez que se han definido los términos que son significativos en el modelo de
regresión logístico, se procede a analizar los residuales, en el Gráfico 4-1 se muestra el
gráfico de observados de Y en el eje vertical vs los valores predichos P X en el eje
horizontal.
Gráfica de % Def
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
predicho
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
ob
serv
ad
o
Gráfico 4-1 Gráfico de observados vs predichos
146
Dado que los puntos están dispersos aleatoriamente alrededor de la línea diagonal, el
modelo se ajusta bien a los datos. El Gráfico 4-2 muestra el panel de observados vs log
de probabilidad, la cual grafica los valores de observado de Y con los logs de
probabilidad predichos, dados por
log ,
1
P X
P X
los cuales están igualados a la
transformación logística, que es una función exponencial de las variables predictoras.
La gráfica muestra que los puntos están dispersos aleatoriamente alrededor de la línea,
por lo cual se puede afirmar que el modelo logístico es adecuado para el análisis.
Gráfica de % Def
-2.2 -1.7 -1.2 -0.7 -0.2 0.3 0.8
Log de momios predichos
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
ob
serv
ad
o
Gráfico 4-2 Gráfico de observados vs Log de Probabilidad
En el Gráfico 4-3 se muestran los gráficos de residuales para el modelo, en el primer
gráfico superior se observa que se cumple la independencia en los residuos, dado que
su comportamiento es aleatorio alrededor de la línea.
147
Gráfico 4-3 Gráficos de Residuales
El segundo gráfico superior muestra el análisis de normalidad en los residuos, se
observa que los puntos se acomodan de forma aleatoria y cerca de la línea diagonal,
por lo que se puede afirmar que se cumple éste supuesto en el modelo, en el primer
gráfico inferior se analiza la varianza constante, no se observa ningun patrón aparente
en su comportamiento ni formas triangulares o embudos, con lo cual se deduce que
también se cumple este supuesto de forma adecuada ya que no hay correlación entre
los datos. Con todos los análisis se deduce que el modelo es adecuado para ser
utilizado en la optimización.
Una vez obtenidos los parámetros del modelo de regresión logística, a partir del modelo
general 0 ' ' ' ' ,XZY X X BX Z X Z se replantea el modelo de regresión en
escala logística en (4.4) como 01/1 exp ' ' ' ' ,XZY X X BX Z X Z por lo
que el modelo completo queda como (4.5)
3 4 5 6 7
1 4 7 1 6 5 1 2 1
1
0.953217 0.145302 0.221633 0.185119 0.103138 0.3419251 exp
0.190845 0.131183 0.100534 0.100796 0.142873
XZYX X X X X
Z X X X X X Z X Z
(4.5)
148
4.1.4 Obtención de modelos para la media y la varianza
El modelo para la media toma como base la ecuación (3.8) que se define como el Valor
esperado obtenido a partir de un modelo (4.5) en el cual se tiene el intercepto 0 y
todos los elementos de control y sus interacciones, cancelando los elementos de ruido y
sus interacciones, el modelo queda como (4.6)
3 4 5
6 7 4 7 1 6
1
0.953217 0.145302 0.221633 0.1851191 exp
0.103138 0.341925 0.131183 0.100534
XZYX X X
X X X X X X
(4.6)
El modelo para la varianza toma también como base la ecuación (3.8), en este modelo
se toman los elementos de ruido y sus interacciones en base al modelado de la
varianza mostrado en la sección en la sección 2.4.1, el modelo equivalente queda como
(4.7)
2
2 5
1
1 exp 0.190845 0.142873 0.100796 1.00484XZVar Y
X X
(4.7)
Nota: Para estimar el valor de 2 en (4.7) se utilizó el valor del CME de la tabla ANOVA
del modelo obtenido mediante mínimos cuadrados ponderados.
4.1.5 Determinación de los niveles óptimos
4.1.5.1 Optimización mediante programación no lineal restringida
Como se mostró en la revisión de la literatura, los esquemas propuestos para la
optimización del DRP han evolucionado en diversos esquemas tales como la
minimización del error cuadrático medio, la optimización difusa, función de verosimilitud,
simulación, métodos de programación no lineal tales como el método simplex de nelder-
mead entre otros (Mares, 2013). La optimización del problema propuesto considera
149
como función objetivo la minimización de la varianza, mientras que se busca que la
respuesta medio (el porcentaje de defectuosos) sea cero. Un método de optimización
que cumple con tales características tiene sus bases en la programación no lineal
restringida:
. 0
0
XZ
XZ
i
Min Var Y
s a E Y
x
Mediante la utilización de los modelos (4.8) y (4.9) se procede a aplicar el esquema de
optimización, inicialmente se aplica el algoritmo del punto interior. Para la solución del
problema de minimización se aplicó el optimization toolbox de MATLAB, se declaró la
función de varianza con el nombre @VarianzaEsperada y una función de restricción
igualada a cero con el nombre @ValorEsperado en base a (4.10) y (4.11). En la
Ilustración 4-3 se muestra el cuadro de diálogo para la configuración del problema, en
todos los casos se busca la minimización de la función objetivo, se define la función
@VarianzaEsperada y como restricción la función @ValorEsperado, asimismo se
definen los límites inferior y superior que en este caso son los niveles inferior y superior
del experimento.
Ilustración 4-3 Cuadro de diálogo para la configuración del problema con Punto interior
150
En la Ilustración 4-4 se muestra el cuadro de diálogo para los resultados de la corrida
de optimización con el algoritmo del punto interior, se observa que el algoritmo
converge a un punto infactible, por lo cual el algoritmo se detuvo, las restricciones no se
satisfacen dentro del valor por default de la tolerancia en las restricciones.
Ilustración 4-4 Cuadro de diálogo para los resultados de la optimización Punto interior
Gráfico 4-4 Gráficos de funciones de optimización con algoritmo Punto Interior
151
En el Gráfico 4-4 se muestran los gráficos de las funciones de optimización para el
algoritmo del punto interior, los niveles en los cuales se detuvo la optimización no son
confiables ni son la solución óptima del mismo, se observa que el valor de la función así
como los tamaños de los pasos permanecen estaticos a partir de la corrida 20
aproximadamente, la máxima violación a las restricciones se mantuvo estable en
0.439253, la cual es considerable considerando los niveles mínimo y máximo en los
cuales se desempeña el experimento.
Para el análisis con el algoritmo SQP se utilizan los mismos parametros para la
configuración inicial en el cuadro de diálogo (Ilustración 4-5). En la Ilustración 4-6 se
muestran los resultados para la optimización, se observa que se obtiene el mismo
resultado que con el algoritmo del punto interior, dado que el algoritmo no converge a
una solución factible, el número de corridas para llegar a esta conclusión es de
solamente 10, en contraste con las 46 corridas del algoritmo del punto interior.
Ilustración 4-5 Cuadro de diálogo para la configuración del problema con SQP
152
Ilustración 4-6 Cuadro de diálogo para los resultados de la optimización del problema con SQP
En el Gráfico 4-5 se muestran los gráficos de funciones para el análisis con el algoritmo
SQP, se observa una alta fluctuación en el valor de la función a través de las 10
iteraciones, la máxima violación a las restricciónes fue de 0.439253, ligeramente inferior
al algoritmo del punto interior. Los niveles en los cuales se detuvo la corrida del
algoritmo fueron los mismos que en el algoritmo del punto interior con el factor 1X en
nivel alto (1) y todos los demás en nivel bajo (-1) lo cual no es una solución factible.
Hasta este punto se observa que la optimización basada en programación no lineal
restringida no genera soluciones factibles, a partir de aquí se trabaja con los resultados
del planteamiento de optimización PerMIA.
153
Gráfico 4-5 Gráficos de funciones de optimización con algoritmo SQP
4.1.5.2 Optimización mediante PerMIA
Una alternativa al enfoque de PNL restringida es el modelado de la medida de
desempeño, el cual también es la base para el modelado con control. En base a este
planteamiento, el factor seleccionado para la reducción en la variación es el factor 7X
(la temperatura del molde), se observa también que el factor 5X (razón poliol/
isocionato) también muestra una variación importante en el modelo y puede
considerarse como un factor de ruido aleatorio. De acuerdo a (3.15), se define una
medida de desempeño 2X,Q,R X,Q,R / X,Q,R ,PM E E V Var E la
cual está basada en la razón señal a ruido dinámica de Taguchi. Definiendo cada uno
de los elementos en la ecuación se tiene
Para el modelo del valor esperado de la varianza se toma como base (4.12), para
éste caso queda igual ya que el modelo solamente contiene elementos de
control, quedando el modelo en (4.13):
154
2
2 5
1X,Q,R
1 exp 0.190845 0.142873 0.100796 1.00484XZE V Var Y
X X
(4.13)
Para el modelo del cuadrado del Valor Esperado se agregarán una constante
artificial 7q a los elementos que contengan a la variable a controlar 7 ,X como
se muestra en (4.14)
2
2 2
3 4 5 6
7 7 4 7 7 1 6
1X,Q,R
0.953217 0.145302 0.221633 0.185119 0.1031381 exp
0.341925 0.131183 0.100534
XZE E YX X X X
X q X X q X X
(4.14)
La varianza esperada del modelo de regresión toma los valores de las constantes
del modelo de regresión que corresponden al elemento que será controlado 7X
y sus interacciones multiplicadas por una varianza 2
7 , para el modelo que es
considerado como ruido aleatorio se agrega la varianza 2
5 , ambas varianzas
pueden ser estimadas en la práctica. El modelo se muestra en (4.15)
2 22 2
7 4 7
1X,Q,R
1 exp 0.341925 0.131183Var
X
(4.15)
El modelo completo para la medida de desempeño queda como (4.16)
2 2 22 2
2 5 7 4 7
3 4 5 6
7 7 4 7 7
1 1
1 exp 0.190845 0.142873 0.100796 1.00484 1 exp 0.341925 0.131183
1
0.953217 0.145302 0.221633 0.185119 0.1031381 exp
0.341925 0.131183 0.
X X XPM
X X X X
X q X X q
2
1 6100534X X
(4.16)
Sin control, la medida de desempeño es
155
2 2 2 22 2 2
2 5 5 7 4 7
3 4 5 6
7
1 1
1 exp 0.190845 0.142873 0.100796 1.00484 1 exp 0.185119 0.341925 0.131183
1
0.953217 0.145302 0.221633 0.185119 0.1031381 exp
0.341925 0.13118
X X XPM
X X X X
X
2
4 7 1 63 0.100534X X X X
(4.17)
Nótese que en el modelo de la varianza se agrega el factor de ruido aleatorio 5.X
Minimizando (4.16) se obtienen los niveles deseados en los factores de control.
Asumiento que el factor 7q se distribuye con media cero y varianza 2
7 1, se define
nuevamente la ecuación (4.16). Para la optimización se utiliza nuevamente el
optimization toolbox de MATLAB, en ésta sección se realiza la optimización sin
contemplar el elemento de control.
Ilustración 4-7 Resultados de la optimización PerMIA sin control, mediante Punto Interior
Los resultados obtenidos mediante la aplicación del algoritmo del Punto interior
(Ilustración 4-7) muestran que el algoritmo converge en la iteración 23, se obtiene una
solución óptima para los niveles de los factores de control, el algoritmo converge de
forma adecuada.
En el Gráfico 4-6 se muestran las funciones de optimización, el valor de la función es de
0.676653, las 7 variables convergen en sus valores enteros -1 o 1, el valor de la función
156
se estabiliza a partir de la corrida 10, el tamaño del paso se estabiliza en la iteración 14,
en ninguna de las iteraciones existe violación de las restricciones. En base a lo anterior
se puede establecer que el esquema de optmización fue el adecuado, se realizaron los
mismos pasos para obtener la solución también son el algoritmo SQP con fines de
validación.
Gráfico 4-6 Gráficos de funciones de optimización PerMIA sin control, con algoritmo Punto interior
Los resultados con el algoritmo SQP se muestran en la Ilustración 4-8, los niveles
concuerdan con los obtenidos en el algoritmo del Punto interior, en el Gráfico 4-7 se
muestran los gráficos de las funciones para la optimización, se observa una
convergencia rápida sin violaciones a las restricciones del problema, el valor de la
función es el mismo que se calcula con el algoritmo SQP. En base a esto se procede a
validar los resultados de la optimización en corridas de validación.
157
Ilustración 4-8 Resultados de la optimización PerMIA sin control, mediante SQP
Gráfico 4-7 Gráficos de funciones de optimización PerMIA sin Control, con algoritmo SQP
158
4.1.6 Corridas de Verificación
Para las corridas de verificación se utilizaron los resultados de la optimización PerMIA
con los algoritmos SQP y punto interior, el objetivo es la minimización del porcentaje de
defectuosos que se generan en el proceso al mismo tiempo que se reduce la variación
alrededor del valor promedio. Se hicieron corridas de verificación con los niveles
óptimos obtenidos para el proceso de acuerdo a la optimización. La primer corrida se
realizó en el turno de la mañana con una producción de 214 piezas resultando 39
defectuosos en el proceso, lo cual representa el 18.22% de defectuosos. La segunda
corrida de verificación se realizó en el turno de la noche con una producción de 204
piezas y 43 defectuosos lo cual genera un 21.08% de defectuosos. En comparación con
la proporción inicial de 43.57% de defectuosos se tiene una reducción de alrededor de
21.00% en la proporción de defectuosos, lo cual se traduce en un ahorro importante en
costos por mala calidad, la metodología propuesta mostró una mejoría notable en la
calidad de las suelas.
4.1.7 Modelado con control
Para el modelado con control, se retoma el modelo (4.16), recordando que para el
ejemplo se asumió que 5q y 7q se distribuyen 0,1 ,N se sustituyen estos valores en la
ecuación (4.18) y se procede a la optimización, debe notarse que el elemento que
estará controlado en línea 7X no aparece en la ecuación de X,Q,RVar
2 2 2
2 5 5
3 4 5 6
7 7 4 7 7 1 6
1 1
1 exp 0.190845 0.142873 0.100796 1.00484 1 exp 0.185119
1
0.953217 0.145302 0.221633 0.185119 0.1031381 exp
0.341925 0.131183 0.100534
X XPM
X X X X
X q X X q X X
2
(4.18)
A continuación (Ilustración 4-9 yGráfico 4-8) se muestran los resultados para los niveles
obtenidos mediante el algoritmo SQP utilizando el PerMIA con elemento de control.
159
Ilustración 4-9 Cuadro de diálogo para los resultados de la optimización PerMIA mediante SQP
Gráfico 4-8 Gráficos de funciones de optimización PerMIA con Control, con algoritmo SQP
160
Los niveles obtenidos mediante el algoritmo SQP concuerdan con los obtenidos en el
caso sin control, el algoritmo converge en 12 iteraciones con un valor de función de
0.70946626, no hay violación de restricciones. Con el fin de verificar posibles
diferencias, se procede a realizar el análisis con el algoritmo del punto interior:
Ilustración 4-10 Cuadro de diálogo para los resultados de la optimización PerMIA mediante SQP
Los resultados obtenidos mediante el algoritmo SQP son congruentes con los del
algoritmo del punto interior y a su vez son los mismos obtenidos en el esquema sin
control, lo cual indica que si se realiza la inversión en el elemento de control se pueden
seguir trabajando los niveles óptimos obtenidos experimentalmente, en base a estos
resultados se puede deducir la ley de control que estará actuando en el sistema:
Sustituyendo los niveles óptimos para los factores de control y multiplicando la ecuación
por el control dividido entre el control en tiempo cero 0/ ,C C e igualando el modelo a
la temperatura Target T se tiene:
161
0
7 4 7
1
0.953217 0.145302 1 0.221633 1 0.185119(1) 0.103138(1)1 exp
0.341925 1 0.131183 1 0.100534(1)(1)
CT
C
q X q
Reduciendo
7 0
1
1 exp 1.476419 0.210742
CT
q C
Despejando C se obtiene la ley de control:
0 71 exp 1.476419 0.210742C TC q
Estos son los resultados obtenidos del DRP y sistemas de control el cual está aplicado
a un sistema clásico y realizado bajo el modelado de la media y la varianza, utilizando
un arreglo ortogonal combinado y considerando una respuesta de tipo binaria. En la
siguiente sección se analizan los resultados del caso propuesto a nivel laboratorio en el
cual se analiza un DRP de tipo dinámico y sistemas de control con una metodología
similar a la aplicada en el caso industrial.
4.2 Resultados Para el Caso de aplicación a nivel laboratorio
4.2.1 Introducción
En este capítulo se realiza la validación de las metodologías propuestas aplicadas a un
caso de aplicación a nivel laboratorio para la obtención de una respuesta robusta en un
sistema señal respuesta basado en tiradas de pelotas a través de un fluido. El objetivo
primodial de la propuesta es validar la metodología propuesta del DRP y sistemas de
control a un caso de sistemas señal- respuesta, el ejemplo se maneja como una
162
simulación de un proceso a nivel industrial y además como un ejemplo de enseñanza
de la metodología del DRP a nivel escolar para preparar a los alumnos que llevan
cursos de Diseño Experimental con el fin de obtener los conocimientos adecuados de la
metodología antes de enfrentarse a problemas reales industriales en los cuales de
requiere una gran responsabilidad en la toma de decisiones y el manejo de los recursos
para la experimentación (Mares, 2015).
4.2.2 Obtención de datos experimentales, cálculo de medias y varianzas
La realización de las corridas en el arreglo experimental 7 32IV
mostrado en la Tabla 3-9
se realizaron de acuerdo a los niveles predefinidos para el experimento, el arreglo
ortogonal fue replicado en cada uno de los niveles del factor señal, cada uno de los
tratamientos se replicó 4 veces. El experimento entra en el esquema del modelado de la
medida de desempeño, las medias y varianzas calculadas para cada uno de los
tratmientos se muestran en la Tabla 4-8
Tabla 4-8 Estimados para el modelo de regresión reducido
Señal: 1 Señal: 2 Señal: 3 Señal: 4 Señal: 5
Trat Trat Trat Trat Trat
1 4.09 0.2246 1 3.51 0.2102 1 1.66 0.0043 1 1.465 0.0188 1 1.1875 0.0045
2 4.97 0.1387 2 4.15 0.2980 2 1.30 0.0032 2 1.225 0.0022 2 0.98 0.0065
3 4.35 0.0414 3 4.30 0.3706 3 1.55 0.0385 3 1.36 0.0134 3 1.0575 0.0070
4 4.42 0.0498 4 4.50 0.4997 4 1.47 0.0045 4 1.1925 0.0208 4 1.1125 0.0011
5 3.79 0.3763 5 3.35 0.1761 5 1.37 0.0068 5 1.1425 0.0104 5 1.035 0.0062
6 4.78 0.0648 6 4.19 0.6862 6 1.44 0.0100 6 1.25 0.0125 6 1.07 0.0015
7 6.19 1.0784 7 5.74 0.0947 7 1.43 0.0046 7 1.3175 0.0089 7 1.1125 0.0002
8 11.77 1.7183 8 11.48 0.1470 8 1.85 0.0125 8 1.555 0.0454 8 1.1975 0.0055
9 3.08 0.0288 9 3.04 0.0128 9 1.37 0.0023 9 1.205 0.0067 9 1.115 0.0030
10 4.23 0.4669 10 4.26 0.4596 10 1.55 0.0063 10 1.2225 0.0042 10 1.0975 0.0098
11 4.34 0.0523 11 4.19 0.8378 11 1.34 0.0094 11 1.29 0.0045 11 1.0325 0.0004
12 5.56 0.1040 12 5.03 0.2628 12 1.79 0.0158 12 1.595 0.0042 12 1.1025 0.0030
13 4.44 0.1202 13 4.20 0.1038 13 1.60 0.0285 13 1.405 0.0218 13 1.12 0.0018
14 4.89 0.3135 14 5.15 0.1427 14 1.45 0.0092 14 1.335 0.0079 14 1.185 0.0007
15 4.62 0.1894 15 4.95 0.4760 15 1.41 0.0088 15 1.145 0.0102 15 0.955 0.0004
16 10.35 9.2414 16 11.12 4.1799 16 1.48 0.0075 16 1.225 0.0014 16 1.02 0.0205
163
En base a los resultados obtenidos, se toman las medias como la respuesta para
estimación de la locación y las varianzas como respuesta de dispersión, en el modelado
propuesto se utiliza todo el arreglo ortogonal replicado para ajustar los modelos de
regresión correspondientes.
4.2.3 Obtención de los modelos de posición y dispersión
Partiendo nuevamente del modelo PerMIA definido en (3.15) de la forma:
2X,Q,R X,Q,R / X,Q,R ,PM E E V Var E se calcula cada uno de los
modelos que utilizados en la medida de desempeño
Inicialmente se ajusta el modelo para las varianzas, debido a que las respuestas
se distribuyen 2 , se sabe que el modelo no cumplirá con los supuestos clásicos
para un modelo de regresión, por lo que el modelo se ajusta mediante un modelo
lineal generalizado gamma con liga logaritmo, el modelo se ajusta en el software
MATLAB, después de la aplicación del algoritmo del paso hacia atrás para la
selección de factores, el modelo queda como (4.19)
1 2 3 4
5 6 7 1 6
2 4 2 5 6 7
1.9551 0.41118 0.47481 0.45789 0.06466
X,Q,R exp 0.37171 0.06486 0.02891 0.45141
0.28824 0.15549 0.06413
X X X X
V X X X X X
X X X X X X
(4.19)
Una vez calculado el GLM para la varianza se calcula el modelo para la media
definido por X,Q,R , Para evitar el traslado del efecto del error entre los
modelos se recomienda realizar el ajuste del modelo de regresión por mínimos
cuadrados ponderados con pesos 1/ X,Q,R ,V siendo (4.19) el modelo para la
varianza, la configuración para el modelo en Statgraphics se muestra en la
Ilustración 4-11, el modelo queda de la forma (4.20)
164
1 2 3 4
5 6 7
X,Q,R 2.74554 0.18732 0.24177 0.16968 0.025325
0.028579 0.14337 0.057562
X X X X
X X X
(4.20)
A partir de los modelos de la media y la varianza, se definen los elementos del PerMIA
que servirán para la optimización.
Ilustración 4-11 Configuración del modelo por mínimos cuadrados ponderados en Statgraphics
4.2.4 Cálculo de la medida de desempeño y optimización
A partir de los modelos anteriores se definen los elementos necesarios para evaluar la
medida de desempeño, se tiene:
1 2 3 4
5 6 7 1 6
2 4 2 5 6 7
1.9551 0.41118 0.47481 0.45789 0.06466
X,Q,R exp 0.37171 0.06486 0.02891 0.45141
0.28824 0.15549 0.06413
X X X X
E V X X X X X
X X X X X X
(4.21)
2
1 2 32
4 5 6 7
2.74554 0.18732 0.24177 0.16968X,Q,R
0.025325 0.028579 0.14337 0.057562
X X XE
X X X X
(4.22)
165
Para el modelo X,Q,RVar
se considera que los factores 5 6,X X y 7X se
introdujeron al experimento como factores de ruido y se les considerará como factores
aleatorios ya que su efecto no puede mantenerse fijo o constante en el sistema, por lo
que este modelo queda
2 2 2
5 5 6 6 7 7X,Q,R 0.028579 0.14337 0.0575Var X X X
(4.23)
Se asume en este ejemplo que 5 6,X X y 7X se distribuyen 0,1 .N Sustutuyendo las
ecuaciones se tiene el modelo para la medida de desempeño:
1 2 3 4
2 2 2
5 6 7 1 6 5 5 6 6 7 7
2 4 2 5 6 7
1.9551 0.41118 0.47481 0.45789 0.06466
exp 0.37171 0.06486 0.02891 0.45141 0.028579 0.14337 0.0575
0.28824 0.15549 0.06413
2.74554
X X X X
X X X X X X X X
X X X X X XPM
2
1 2 3
4 5 6 7
0.18732 0.24177 0.16968
0.025325 0.028579 0.14337 0.057562
X X X
X X X X
(4.24)
Los niveles del experimento están codificados en -1 y 1. La mejor opción para efectuar
la optimización es el uso de algoritmos de programación no lineal (PNL) restringida con
el fin de obtener la mejor combinación de niveles para los factores experimentales, con
la ayuda de MATLAB se aplicaron 4 diferentes algoritmos de PNL, los resultados se
muestran en la Tabla 4-9
Tabla 4-9 Niveles obtenidos mediante los algoritmos de PNL
Factor
Algoritmo
SQP Punto
Int.
Active
Set
Trust
Region
X1 -1 -1 -1 -1
X2 -1 -1 -1 -1
X3 -1 -1 -1 -1
X4 1 1 1 1
X5 -1 -1 -1 -1
X6 1 1 1 1
X7 1 1 1 1
166
Todos los algoritmos generan el mismo resultado para los niveles en los factores, se
muestran en la Ilustración 4-12, los resultados que arrojó MATLAB con la aplicación del
algoritmo SQP. En el Gráfico 4-9 se muestran las funciones de optimización.
Ilustración 4-12 Resultados de la optimización del PerMIA por algoritmo SQP
Gráfico 4-9 Gráficos de funciones de optimización PerMIA para DRP señal- respuesta, algoritmo SQP
167
Se observa una convergencia rápida del algoritmo en 18 iteraciones, no hubo
violaciones en las restricciones y se observan fluctuaciones normales en el tamaño del
paso, en los 4 algoritmos se tuvo un comportamiento similar con los mismos resultados
en los niveles obtenidos. Los niveles obtenidos para cada uno de los factores
experimentales concuerdan con los del tratamiento 9, las medias y varianzas de dicho
tratamiento se muestran en la Tabla 4-10
Tabla 4-10 Medias y Varianzas para los niveles del tratamiento 9 en los 5 niveles del factor señal
Corrida Señal
9 1 3.0775 0.02883
9 2 3.0425 0.01283
9 3 1.365 0.00230
9 4 1.205 0.00670
9 5 1.115 0.00297
La varianza global por corridas en el tratamiento 9 es la más pequeña entre los 16
tratamientos experimentales, el cual es un indicio de la eficiencia del algoritmo, para
contrastar estas observaciones, en el Gráfico 4-10 se muestra la información de las
varianzas combinadas para los 16 tratamientos.
Gráfico 4-10 Varianzas combinadas por tratamiento
168
Los niveles adecuados para los factores de control se tienen con la mezcla líquida que
contiene 220 grs de glicerina, 60 grs de carbonato y 25 grs de azúcar, el tiempo de
mezclado a 10 minutos es el nivel ideal, con estos niveles de los factores de control se
obtiene la combinación ideal con la que se obtiene la robustez del proceso. El modelo
ideal del sistema señal- respuesta para el caso presentado se ilustra en el Gráfico 4-11.
Gráfico 4-11 Modelo ideal para la relación señal- respuesta
En el eje x se tienen las pelotas utilizadas para las tiradas, en el eje y se muestra el
tiempo promedio de bajada de cada una de las pelotas, el comportamiento claramente
es no lineal por las diferencias que existen en los pesos y la forma de cada una de las
pelotas. La metodología mostró eficiencia para la obtención de los niveles óptimos
(respuesta robusta) la cual es la finalidad del experimento. En corridas de verificación
adicionales se obtuvieron resultados similares.
Es importante señalar que los niveles obtenidos mediante la optimización muestran
congruencia, ya que la glicerina tiene un efecto importante cuando reacciona con la
temperatura, particularmente cuando ésta se encuentra en niveles altos, cuando la
temperatura es baja tiende a cristalizarse, mientras que en temperaturas altas tiende a
volverse espeso, también se observó que aquellas mezclas con niveles bajos de los 3
factores en la mezcla líquida tienden a mezclarse o disolverse con mayor facilidad , aun
cuando los tiempos de mezclado sean bajos.
Cuando se maneja un elemento de control adicional en línea se garantiza una reducción
adicional de la variación experimental global, el uso de tales sistemas puede mejorar la
calidad en procesos de tipo industrial pero debe justificarse de manera adecuada su
utilización, debido a que se incurre en un costo adicional.
169
5 CONCLUSIONES
Para la propuesta de aplicación a nivel industrial se concluye lo siguiente:
La metodología propuesta mostró un impacto positivo en el proceso de fabricación de
suela debido a la reducción significativa del porcentaje de defectuosos y la mejora de la
calidad. Es de interés resaltar que el experimento se realizó en línea, situación que
resulta novedosa, lo que permitió tener la producción de un día en cada tratamiento. Así
los resultados se analizaron mediante la metodología de MLG. El análisis y el proceso
de optimización estadística permitieron corregir las fallas del proceso y de esa manera
alcanzar la mejor producción.
En cuanto a la parte científica y de ingeniería se observaron los siguientes puntos en el
proceso:
El caudal trabaja mejor en nivel bajo, es conveniente que el vaciado del líquido
se realice a 55 grs/ seg con el fin de que el material pueda expandirse de forma
adecuada en el molde y que no se salpique ninguna cantidad del material afuera
del molde.
La altura del molde trabaja mejor a una altura de 16 cms, la cual favorece que el
material se distribuya particularmente en la parte frontal de la suela.
La carrera debe ser a lo largo de 110 mm tirando una proporción del 70% del
material en la parte frontal de la suela para una mejor distribución del material en
el molde.
La razón poliol/ isocionato ideal para trabajar es de .92, esto favorece las
propiedades físicas del material al momento de hacer la reacción de expansión
de las moléculas del gas para hacer la espuma.
La temperatura del molde debe estar preferentemente a 45°C para favorecer el
proceso de curado del material, como se observó en la experimentación, la
implementación del sistema de control mejorado puede reducir la variación de la
temperatura en los moldes incrementando el control del proceso y la calidad de
la suela de poliuretano.
170
Los dos factores de presión de aire en el pintado trabajan mejor en sus niveles
altos, una presión de aire mayor favorece un pintado más uniforme con el cual se
mejora el aspecto de la suela y su presentación hacia el consumidor.
Los resultados de los niveles en la optimización muestran congruencia con lo observado
durante el proceso, ya que se observó un aumento en los defectos cuando se
manejaban moldes a temperatura baja, el resultado es una suela más rígida, cuando la
altura del molde se maneja en niveles altos tienden a salir piezas “mordidas”, cuando se
maneja una carrera corta en el vertido de la mezcla se puede propiciar que el material
salga con marcas de flujo en el mismo, ya que el material no alcanza a acomodarse
adecuadamente, el caudal tampoco debe realizarse muy rápido ya que puede
salpicarse material y por consecuencia perder un poco de peso, lo cual se traduce en
suelas con marcas por mala calidad.
Aunado esta estrategia se consideró un sistema de control como se resalta a
continuación: En la industria existen muchos procesos que requieren el uso de sistemas
de control. En este proyecto se aplicó un control con el fin de obtener mayor calidad y
productividad del proceso con base en disminuir la variación. Esta estrategia implicó
obtener un menor costo en la producción y una reducción del reproceso por mala
calidad. Aquí el control se planteó en la temperatura de los moldes, éste es un factor
crítico del proceso, debido a la gran cantidad de producción. Al aplicar la estrategia de
análisis y de optimización se alcanzaron los objetivos planteados. Finalmente se
concluye sobre el impacto en la economía de la empresa.
Los reportes de calidad del modelo Ucrania en un periodo de 6 meses desde su
introducción constó de una producción de 47872 piezas con una cantidad de
defectuosos de 20858 resultando en un porcentaje de defectuosos de 43.57%. El costo
aproximado de la suela es de $74.00 lo cual representa pérdidas estimadas por
$1,543,492.00. De acuerdo a los resultados de las pruebas confirmatorias si se escala
la producción a la cantidad original de los 6 meses con éste porcentaje se hubieran
proyectado ahorros de $898,038.13. Mientras que con las corridas confirmatorias de la
noche se habría tenido un ahorro proyectado de $796,721.03. Los niveles resultantes
171
se adoptaron en el proceso para todos los modelos similares a la suela Ucrania
manteniéndose bajos los niveles de defectuosos en la producción subsecuente.
Para los algoritmos del método de máxima verosimilitud de GLM se utilizó el software
Statgraphics Centurión. Para los algoritmos de optimización de utilizó el software
MATLAB.
Para la propuesta de aplicación a nivel laboratorio y educación se concluye lo
siguiente:
La metodología del diseño robusto para sistemas dinámicos ha evolucionado de forma
importante para contribuir a la mejora de procesos a nivel industrial. En la actualidad
existen un gran número de procesos que manejan además de características de señal,
elementos de control en línea adicionales, lo cual cambia de forma importante la forma
de análisis requerida.
El modelado de éste tipo de sistemas permite optimizar de forma adecuada un proceso
en el cual se tienen factores de control, factor señal, factores de ruido y además un
elemento de control, la propuesta mostrada en la aplicación permitió validar de forma
adecuada la metodología propuesta y presenta una excelente área de oportunidad para
su aplicación en procesos industriales reales.
La metodología de diseño robusto para características dinámicas y sistemas de control
es un área que requiere investigación y aplicación industrial real, la propuesta
presentada se muestra como una herramienta de ayuda para la comprensión de la
metodología. La enseñanza de éste tipo de metodologías en los esquemas actuales de
educación por competencias requiere que el alumno adquiera los conocimientos en
base a la aplicación de las técnicas en casos simulados y reales, la aplicación de casos
reales es complicada ya que los experimentos consumen recursos principalmente en
cuestión de costo.
172
El aprovechamiento de laboratorios en la institución o mediante convenios para
realización de prácticas en centros de investigación permite la realización de casos con
los cuales se puede practicar y obtener datos de forma económica y segura
garantizando la comprensión de los conceptos y la sensibilización de los alumnos hacia
la importancia de analizar el efecto de las variables presentes en un modelo
experimental. El caso presentado fue realizado en el laboratorio de Ingeniería Ambiental
del CIATEC con la ayuda de practicantes universitarios.
Para los algoritmos del ajuste por método de Mínimos Cuadrados Ponderados se utilizó
el software Statgraphics Centurión. Para los algoritmos de optimización así como la
estimación del GLM Gamma liga logaritmo se utilizó el software MATLAB.
173
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