quadern 1 eso matemàtiques (xavi)

Fractal generat amb ordinador per l’alumne Guillermo Cifre

QUADERN D’EXERCICIS MATEMÀTIQUES 1r ESO

GRUP: ______

NOM : __________________________________________________________

2

INSTITUT ANTONI MAURA

DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES

ORIENTACIONS ACADÈMIQUES

1. INTRODUCCIÓ GENERAL

Programació de matemàtiques curs 2012-13

2. UNITATS DIDÀCTIQUES I CONTINGUTS

UNITATS CONTINGUTS

1. Nombres naturals i

potències.

El sistema de numeració decimal ,ordenar ,arrodonir, llegir i escriure

fins grans quantitats; operacions; prioritat d’operacions i ús de

parèntesis; operacions combinades (de forma seguida, arbre no);

Altres sistemes de numeració (nombres romans) .Problemes.

Potències: Definició i propietats; Operacions; potències de base 10 i

arrel quadrada.

2. Nombres decimals Operacions (suma ,resta, multiplicació i divisió). Representació en la

recta numèrica. Ordenar i arrodonir. Problemes

3. Sistema mètric decimal Escales; longitud , capacitat (litres només), pes, mesures de

superfície. Problemes.

4. Divisibilitat Múltiples i divisors; criteris de divisibilitat; descomposició factorial;

mcd i mcm. Problemes

5. Fraccions Concepte i representació gràfica; fraccions equivalents; reduir a

denominador comú; simplificar fraccions; Ordenar fraccions ; fracció

com operador; Operacions de fraccions ; Operacions combinades;

Problemes

6. Proporcionalitat Concepte de magnitud; Magnitud directament proporcional i

concepte de inversament proporcional; Regla de tres simple directa;

Percentatges a partir de la regla de tres simple directa; Introducció a

la proporcionalitat inversa. Problemes

7. Elements bàsics del pla.

Circumferència i cercle

Rectes, angles (mesura, classificació, operacions gràfiques i

numèriques en el sistema sexagesimal, expressats en graus i minuts);

Polígons (definició, propietats, classificació);Polígons regulars.

Introducció al teorema de Pitàgores.

Definició ; Posició relativa entre recta i circumferència; Posició

relativa entre dues circumferències.

8. Perímetres i àrees. Mesuraments, àrees i perímetres de les figures planes.

9. Funcions: Tractament de la

informació

Coordenades cartesianes. Introducció als nombres enters. Taules i

gràfics de funcions. Interpretació de gràfics estadístics (diagrames de

barres i de sectors)

NOM MATÈRIA : MATEMÀTIQUES

CURS : 1r ESO

PROFESSOR :

3

INSTITUT ANTONI MAURA

DEPARTAMENT DE MATEMÀTIQUES

3. TEMPORITZACIÓ

TRIMESTRE UNITATS PROGRAMADES

PRIMER Unitats 1, 2 i 3

SEGON Unitats 4, 5 i 6

TERCER Unitats 7, 8 i 9

4. CRITERIS D’ AVALUACIÓ I QUALIFICACIÓ

1. Proves escrites amb nota , amb observació especial de les estratègies utilitzades. Es

passaran proves de temes o de part d’ells quan sigui necessari observar si van assolint els

coneixements que es pretén a cada tema. De vegades aquestes proves podran incloure

exercicis de temes anteriors, de tal manera que serviran per anar recuperant les

mancances al llarg del curs.

2. Observació dels hàbits de treball :la feina realitzada en casa i a classe, així com el

quadern augmentaran o disminuiran el promig de la puntuació obtinguda en les proves

escrites.

3. Observació de la participació i actitud front a la matèria.

Per a obtenir la qualificació de cada trimestre els percentatges que donaran la nota final seran els

següents:

PERCENTATGE EN LA NOTA DE

L’AVALUACIÓ

Nivells alt i mitjà Nivell baix

Proves escrites realitzades 70% 60%

Treball a l’aula i a casa i quadern 15% 20%

Actitud i participació 15% 20%

5. CRITERIS DE RECUPERACIÓ DE LA MATÈRIA

Per recuperar la matèria al llarg del curs, cada professor, per Nadal i Pasqua, lliurarà als

alumnes treballs amb continguts acumulats. A més, cada professor té llibertat per fer

recuperacions per temes o trimestres. I finalment, a final de curs tots els alumnes suspesos, es

podran presentar a un examen de recuperació global al juny. En aquesta convocatòria també

es podrà pujar nota.

Per recuperar la matèria al setembre, els alumnes presentaran les tasques d’estiu (que

contaran 1 punt) i faran l’examen corresponent de la convocatòria

6. MATERIAL I RECURSOS DIDÀCTICS

Quadern d’exercicis elaborat pel Departament de Matemàtiques

Quadern sense espiral

Plàstic per guardar fotocòpies

Bolígraf blau, vermell (tan sols per corregir), llapis i goma d’esborrar

Jocs matemàtics proporcionats pel departament

4

UNITAT 1: NOMBRES NATURALS I POTÈNCIES

1. SISTEMES DE NUMERACIÓ

1.1 SISTEMA DE NUMERACIÓ EGIPCI

1.2 SISTEMA DE NUMERACIÓ ROMÀ

2. SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL

3. OPERACIONS COMBINADES

4. PROBLEMES

5. POTÈNCIES

5.1 DEFINICIÓ DE POTÈNCIA

5.2 OPERACIONS AMB POTÈNCIES

5.3 ARREL QUADRADA

6. AUTOAVALUACIÓ

5

1. SISTEMES DE NUMERACIÓ

L’evolució de la societat (comerç, etc) fa necessària l’aparició de sistemes

de numeració.

Amb el temps, apareixen diferents sistemes de numeració, cada vegada

més adaptats a les necessitats.

1.1 SISTEMA DE NUMERACIÓ EGIPCI

En el sistema de numeració egipci els nombres es representaven amb

aquest símbols:

La característica més important d’aquest sistema de numeració és que

compleix la propietat ADDITIVA, és a dir, la quantitat total s’aconsegueix

sumant els valors dels signes que intervenen.

Per exemple: 9 = IIIIIIIII

1. Escriu els següents nombres en el sistema egipci:

a) 542 f) 793

b) 38 g) 2.350

c) 402 h)12.067

d) 63 i) 23.451

e) 1.260 j) 45.023

2. Indica el valor dels següents nombres egipcis:

a)

b)

c)

d)

e)

6

f)

g)

h)

1.2 SISTEMA DE NUMERACIÓ ROMÀ

En el sistema de numeració romà els nombres es representaven amb

aquest símbols:

I V X L C D M

1 5 10 50 100 500 1000


compleix la propietat ADDITIVA, és a dir, la quantitat total s’aconsegueix

sumant els valors dels signes que intervenen, excepte 4, 9, 40, 90... ja que

en aquests casos es resta el signe menor col·locat a l’esquerra.

També cal tenir en compte que no es poden escriure més de tres signes

iguals seguits.

Per exemple: 13 = XIII 9 = IX

14 = XIV 4 = IV (NO IIII)

3. Posa en nombres romans les següents quantitats:

a) 2.650 h) 564

b) 3.099 i) 472

c) 444 j) 926

d) 672 k) 3.693

e) 123 l) 2.004

f) 2.953 m) 598

g) 1.039 n) 449

7

4. Passa a sistema decimal els següents nombres romans:

a) MMCDVI g) LXVII

b) XCVIII h) LXXVII

c) LXXIV i) CCCLIV

d) CCXLIII j) MMCMVII

e) MMMDCCII k) DCCCXLIII

f) CCCIII l) CMDLXV

5. Ordena de major a menor els següents nombres romans:

CDXXIII, MCXLVII, LXXXVIII, MMVI, CMLXXXVIII, DCCXLV

6. Escriu la taula del set en nombres romans:

Exemple: VIIIVII ( 717 )

7. Al nombre 4 correspon...

IIII

IV

VI


VVV

VX

XV


LXXXVI

LLCVI

CLIV

10. El nombre romà LXI correspon a...

39

59

61

11. El nombre romà MDCLXVI correspon a...

1.666

1.466

1.566

8

12. El nombre romà MCCXLIV correspon a...

1.264

1.266

1.244

13. Quin dels següents nombres romans és vertader?

XXXX

XL

VVL

14. Quin dels següents nombres romans és fals?

DVD

CD

MMX

15. Quina sèrie de nombres romans és correcta?

XI, XII, XIII, XIV, XV

XI, XII, XIII, XIIII, XV

XI, XII, XIIV, XIV, XV

16. Quina sèrie de nombres romans és falsa?

X, XV, XX, XXV, XXX, XXXV, XL, XLV, L

X, XV, XX, XXV, XXX, XXXV, XXXX, XXXXV, L

X, XX, XXX, XL, L, LX, LXX, LXXX, XC, C

17. A partir d’ara, hauràs d’escriure cada dia la data en nombres romans a la pissarra.

9

2. SISTEMA DE NUMERACIÓ DECIMAL

El sistema de numeració decimal és el sistema de numeració que utilitzem

actualment. Va néixer a l’Índia el segle VII i va arribar a Europa a través dels

àrabs.

En el sistema de numeració decimal els nombres es representen amb aquest

símbols:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


compleix la propietat POSICIONAL, és a dir, cada símbol té un valor diferent

depenent de la seva posició:

UN

ITA

T

DE

BIL

IÓ

CE

NT

EN

A

DE

MIL

IAR

D

DE

SE

NA

DE

MIL

IAR

D

UN

ITA

T

DE

MIL

IAR

D

CE

NT

EN

A

DE

MIL

IÓ

DE

SE

NA

DE

MIL

IÓ

UN

ITA

T

DE

MIL

IÓ

CE

NT

EN

A

DE

MIL

ER

DE

SE

NA

DE

MIL

ER

UN

ITA

T

DE

MIL

ER

CE

NT

EN

A

DE

SE

NA

UN

ITA

T

Cal recordar com s’escriuen i com es llegeixen els nombres:

S’utilitza guionet entre les desenes i unitats (i del 21 al 29 amb –i– Per

exemple: trenta-dos, vint-i-dos)

S’utilitza guionet entre les centenes (Per exemple: dos- cents)

Per als nombres molt grans, de vegades val la pena fixar-se sobre tot en la

xifra dels milions (Per exemple: el que hi ha a l’exercici 20)

Per arrodonir qualsevol nombre, fixem la xifra la qual volem arrodonir:

Si el nombre següent és major o igual que 5, la xifra que volem

arrodonir augmenta una unitat i la resta de xifres es fan zero.

Per exemple: arrodonir a la centena 2378 és 2400

Si el nombre següent no és major que 5, la xifra que volem arrodonir

es queda igual i la resta de xifres es fan zero.

Per exemple: arrodonir a la centena 3423 és 3400

18. Copia i escriu el signe que correspon >, < ó =.

a) 3.780 ____ 3.000 + 800 + 70 b) 20.400 ____ 20.000 + 60 + 5

c) 8.745 _____ 8.000 + 70 + 60 d) 103.600 ____ 100.000 + 3.000 + 600

19. Si sabem que: 3.526 = 3.000 + 500 + 20 + 6. Descompon els següents nombres:

10

a) 36.529.489 = b) 25.600 =

c) 2.903.085 = d) 25.316 =

20. Completa el quadre:

Nom

bre

Unit

ats

de

mil

ió

Cen

tenes

de

mil

er

Des

enes

de

mil

er

Unit

ats

de

mil

er

Cen

tenes

Des

enes

Unit

ats

526.379

2.509.812

600.239

719.326

3.526

21.632

659

128.492

21. Escriu com es llegeixen els següents nombres:

321.265.324 Tres-cents vint-i-un milions dos-cents seixanta-cinc mil tres-cents vint-i-quatre

2.301.159

216.203

2.365.768

5.000.598.247

57.653.879

11

22. Arrodoneix a les desenes de milió més properes.

Nombre Nombre arrodonit

a) 14.268.289.327 14.270.000.000

b) 59.653.236

c) 236.147.368

d) 96.236.536

e) 123.368.245

23. Arrodoneix a la centena més propera.


a) 289.327

b) 7.368

c) 96.236

d) 18.245

24. Arrodoneix a la unitat de miler més propera.


a) 54.632

b) 798.432

c) 7.368

d) 7.936

25. En una carrera popular s’han inscrit 83.416 persones. Què és més correcte dir, que

participaren 83.000 persones o que participaren 84.000 persones?

12

26. Posa en milers d’habitants la població dels següents pobles de Balears.

Poble Població real Aproximació en milers

Palma 333.801

Manacor 31.255

Llucmajor 24.277

Inca 23.029

Calvià 35.977

Eivissa 34.826

Maó 23.315

27. Marca quina de les dues aproximacions següents et pareix millor per als següents objectes.

Objecte Valor real Aproximació 1 Aproximació 2

Camisa 39’25 39’00 40’00

Bicicleta 154’99 160’00 150’00

PSP 254’23 260’00 250’00

Moto 1137’65 1200’00 1100’00

Coca-cola 1’23 1’20 1’30

Llum 57’00 60’00 50’00

Casa 114.365’23 120.000’00 110.000’00

28. Cerca a internet nombres naturals molt grans amb el seu significat.

13

3. OPERACIONS COMBINADES

29. Calcula:

a) 1534 = g) 5 + 1 – 3 + 1=

b) 3922 = h) 6 – 2 – 4 =

c) 1419 = i) 8 – 5 + 3 =

d) 454 = j) 9 + 4 -5 -3=

e) 1997 = k) 5 + 4 – 2 – 3=

f) 5118 = l) 12 – 7 + 4 – 5=

30. Calcula tenint en compte la prioritat d’operacions:

a) 451·4 =

b) 573·3 =

c) 2·26·4 =

d) 658·3 =

e) 512·3 =

f) 213·3 =


a) )11(17 =

b) 6)73·(3 =

c) 3)·229( =

d) )37(49 =

e) ( 3)525 =

f) )2·25(4 =

g) )34(26 =

Les operacions bàsiques són: suma, resta, multiplicació i divisió.

Si tenim cadenes de sumes i restes el que farem és agrupar els nombres que

sumen per una banda i per una altra banda els nombres que resten. I

finalment, restem.

Per exemple: 2 + 5 - 6 + 2 - 1= 9 - 7= 2

Si tenim sumes, restes, multiplicacions i divisions junts a una mateixa

operació, cal tenir en compte la prioritat d’operacions:

1. Parèntesi

2. Multiplicacions/ Divisions

3. Suma/ Resta

14


a) 2 · 5 – 18 : 6 + 4 =

b) 7 · ( 10 – 6) + 12 · 3 =

c) 3 · [ ( 37 –27 ) : 5 · 3 ] – 15 =

d) 32 – ( 6 · 2 + 8) + 13 =

e) 26 : 13 + 15 · ( 7 – 2) =

f) (2 + 3 · 5) · 7 + 15 : 3 =

g) 8 · [ 2 · ( 7 – 3 ) ] – ( 6 – 4 ) · 5 =

h) 6 + 8 · 9 : 6 – 5 + 2 =

i) 5 · 6 – 3 · 2 – 20 : 4 =

j) 15 + 3 · [ 6 – ( 2 · 3 ) + 2] - 45 : 9 =

k) [ 6 + ( 5 + 9 ) : 7 ] – 18 : 6 =

l) 35 : ( 4 + 3 ) – 45 : [27 – ( 3 · 6 )] =

m) 42 – [ 9 · ( 3 + 7 ) : ( 3 · 15 ) ] · 20 =

n) 3 · 6 – 25 : 5 + 7 =

o) 6 · ( 12 – 3) + 11 · 5 =

p) 6 · [ ( 12 – 3 ) : 3 · 4 ] – 10 =

q) 16 + ( 8 · 3 - 9) - 7 =

r) 36 : 12 + 14 · ( 6 – 5) =

s) 4 · 6 – 15 : 3 + 2 =

t) 5 ·( 17 – 9) + 16 · 4 =

u) 8 ·[ ( 34 – 7 ) : 3 + 7 ] – 15 =

v) 16 + ( 8 · 3 – 9 ) – 7 =

w) 20:4·6 + 3

15

4.PROBLEMES

33. N’Aïna i na Beatriu han realitzat la multiplicació 1.432 · 123. Aïna ha obtingut com resultat

196.166 i Beatriu 176.136. Quina té raó?

34. Na Carme té quatre àlbums de fotos. Cada àlbum té 45 pàgines i en cada pàgina hi ha 4 fotos.

Quantes fotos té na Carme?

35. He de viatjar fins a Alcúdia des de Palma. Per això agafo el tren fins a Sa Pobla que recorre

45 Km. Des de Sa Pobla a Alcúdia vaig en autobús que són 12 Km. Quants de quilòmetres

separen Palma d’Alcúdia? Dibuixa el recorregut.

36. La meva mare m’ha donat 15 € per a anar al cine amb els meus amics. Després d’anar al cine

menjarem una hamburguesa amb patates. El preu del cine és de 5 € i l’hamburguesa amb

patates val 3. €. Quants de doblers li hauria de tornar a la meva mare?

37. Escriu quatre nombres que es poden formar amb aquestes xifres: 8, 3, 4, 5, 1, 6, 9, 2. Quins

són el nombre més gran i el més petit que es poden aconseguir amb les següents xifres: 8, 3,

4, 5, 1, 6, 9, 2? Com es llegeixen aquestos dos nombres que acabes d’escriure?

38. El rellotge de na Mar es retarda 35 segons cada hora. Quants de segons es retarda en 48

hores?

39. L’autobús de l’institut parteix de Can Pastilla a les 7:15 h. Pren 7 minuts per arribar al Coll

d’en Rabassa. Altres 8 minuts per arribar al Molinar. La següent aturada la fa en el Portitxol

6 minuts després. I, finalment, arriba a l’institut a les 7:45. Fes un esquema amb els horaris

de cada aturada. I respon a la següent pregunta: Quant tarda l’autobús entre el Portitxol i

l’institut?

40. Quants de passatgers poden viatjar en un tren si en té 5 vagons i en cada vagó caben 47

persones? Si el preu del bitllet és 9 €, quants de doblers s’ha ingressat?

41. Volem fer una excursió els 17 alumnes de classe. Per a això hem de anar en autobús que val

204 €. Quants de dobles haurien de pagar cadascú?

5.POTÈNCIES

5.1 DEFINICIÓ DE POTÈNCIA

Definició: Una potència és un producte de factors iguals.

Exemple: 6·6·6·6 = 64

base 64

exponent

16

42. Completa la taula seguint l’exemple:

Base Exponent Potència Càlcul Valor

2 3 32 2 2 2 8

3 4

13 6

5 2

2 5

43. Expressa en forma de producte aquestes potències:

a) 43

b) 25

c) 310

d) 83 =

e) 45 =

f) 812

g) 43 =

h) 62 =

44. Expressa en forma de potència:

a) 7 7 7

b) 5 4 3

c) 6 6

d) 9 · 9· 9 · 9 · 9 · 9 =

e) 10 · 10 · 10 · 10 =

f) 3 5 7 9

45. Ompli els buits:

a) 64 2 d) 27 3

b) 16 2 e) 729 3

c) 256 2 f) 243 3

46. Calcula:

a) 30= b) 1

0 = c) 12

1 =

d) 651 = e) 675

1 = f) 10000

0 =

17

47. Expressa en forma de potència de base 10:

a) 1.000.000.000 = 10 ---

b) 100.000 = 10 ---

c) 100 = 10 ---

d) 10.000 = 10 ---

48. Calcula:

a) 103

=

b) 107 =

c) 105 =

d) 1018

=

5.2 OPERACIONS AMB POTÈNCIES

El producte de dues o més potències de la mateixa base és una potència que

té la mateixa base i com a exponent la suma dels exponents de les potències

que es multipliquen.

Exemple: 42 · 4

3 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4

2+3 =4

5

49. Expressa en forma de potència i calcula:

a) 52·5

3 e) 4

6·4

2· 4

5

b) 9·96 f) 5

7·5

3

c) 54· 5

3 g) 3

5·3 · 3

2

d) 63· 6

4 h) 2

5· 2

3

El quocient de dues potències de la mateixa base és una altra potència de la

mateixa base i com a exponent la diferència dels exponents de les potències

que es divideixen

Exemple: 56 : 5

4 = 5

6-4 = 5

2

Per calcular potències de base 10 hem de posar un 1 seguit de tants zeros

com el nombre que hi ha a l’exponent.

Per exemple: 103 =1.000

18


a) 96: 9

3

e) 3

11 : 3

5

b) 58: 5

3

f) 4

12 : 4

7

c) 87: 8

g) 2

2 : 2

d) 69: 6

6

h) 12

4 : 12

4

Una potència d’una potència és una altra potència que té la mateixa base i

com a exponent la multiplicació dels exponents.

Exemple: (82)3 =8

2 · 8

2 · 8

2 = 8

2+2+2 = 8

6 (8

2)3 = 8

2 ·3 = 8

6


a) (43)2

= e) (52)7=

b) (52)5 = f) (3

4)6 =

c) (96)0 = g) (7

0)7 =

d) (34)4 = h) (6

8)3 =

52. Expressa en forma de potència, tenint en compte la prioritat d’operacions:

a) (25 · 2

3 ) : 2

4 =

b) (34 · 3

5 · 3

2) : (3

3 · 3

7) =

c) 76 : (7

5 · 7) =

d) 103 · 10

3 · 10

3 =

e) (64· 6

7) : 6

8 =

f) (44 · 4

5 · 4

2) : (4

3 · 4

7) =

g) 57

: (54

· 52

) =

Si tenim operacions combinades, cal tenir en comptes la prioritat

d’operacions:

1. Parèntesi i claudàtors

2. Multiplicacions/ Divisions (una potència és una multiplicació)

3. Suma/ Resta

19

53. Calcula les següents operacions:

a) 32+3

1 =

b) 23+2

2+2

1+2

0 =

c) (35 ·

45 ) : 6

5 =

d) 23 · 5

3 · 8

3 =

e) 247 : ( 2

7 · 6

7) =

f) (64 ·

94

) : 184

=

g) 53 · 7

3 · 4

3 =

h) 367 : ( 4

7 · 3

7) =

5.3 ARRELS QUADRADES

L’arrel quadrada d’un nombre és un altre nombre que compleix que el seu quadrat

dóna el primer nombre.

Per exemple: 648864 2perquè

54. Un nombre és quadrat perfecte quan la seva arrel quadrada és exacta. Quins dels següents

nombres són quadrats perfectes?

a) 50 g) 49

b) 64 h) 56

c) 36 i) 8

d) 83 j) 15

e) 121 k) 200

f) 81 l) 169

20

Si l’arrel quadrada no és exacta, el que farem serà aproximar-la.

Per exemple: 65 =

Com 82

= 64 i 92 = 81, sabem que l’arrel de 65 està entre 8 i 9.

Per tant, 65 = 8’5

55. Aproxima les arrels quadrades de:

a) 152

b) 394

c) 42

d) 17

e) 29

21

6. AUTOAVALUACIÓ

1. Posa en nombres romans les següents quantitats:

a) 56

b) 349

c) 2941

d) 578

2. Expressa en lletres:

a) 4.600.324 =

b) 777.000.000 =

3. Arrodoneix a la centena els següents nombres:

a) 42.317

b) 7.502

c) 125.670

d) 1.234.290

4. Arrodoneix a la unitat de miler els següents nombres:

a) 62.817

b) 125.470

5. Calcula:

a) 23.467 + 64.245 =

b) 78.996 – 45.632 =

c) 1.099 · 46 =

d) 108.738 : 42 =

6. Efectuar ordenadament:

a) 2 + 4 – 6 + 7 + 9 – 8 +10=

b) 4 · 3 + 5 · 6 – 9 · 2 + 5 · 10=

c) 4 + 3 · (5 + 8 – 7) + 9 : 3=

d) (8 · 3 + 5) · 2 – 15 + 6 · 10 – 17=

22

7. A una llibreria hi ha 84 estants que contenen 65 llibres cada un.

a) Quants llibres hi ha?

b) I si en lleven 534 de llibres, quants de llibres hi queden als estants?

8. En un garatge tres mecànics treballen junt: el primer cobra 12.648 euros, el segon 250 euros més

que el primer i el tercer 625 euros menys que el segon. Quant cobren entre tots tres?

9. Escriu en forma de potència els productes següents i escriu com es llegeixen les potències:

a) 3 · 3 · 3 =

b) 6 · 6 · 6 · 6 · 6 =

c) 5 · 5 =

d) 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =

10. Calcula:

a) 25 =

b) 109 =

c) 50 =

d) 133 =

11. Redueix aquestes expressions a una sola potència :

a) 34 · 3

3 =

b) 45 : 4 =

c) (5 3 )

5 =

d) m8 · m

3 =

12. Redueix aquestes expressions a una sola potència i calcula :

a) ( 3 2 · 3

5 ) : 3

3 =

b) 5 · 5 3 · 5

3 =

c) ( 2 3 ·2

7 ) + ( 2

2 · 2

5 )=

13. Calcula les arrels quadrades de:

a) 53

b) 30

14. Calcula les arrels quadrades de:

a) 75

b) 121

23

Càlcul mental

1. Calcula mentalment:

5 · 100 = 9 · 100 = 8 · 400 =

31 · 10 = 24 · 100 = 5 · 600 =

43 · 20 = 13 · 30 = 4 · 305 =

60 · 1.000 = 40 · 100 = 9 · 500 =

7 ·1.000 = 63 · 1.000 = 13 · 20 =

2. Realitza les següents operacions:

8.753 + 400 = 4.103 + 1.000 = 5.213 – 300 =

5. 786 + 200 = 6.358 – 20 = 4.659 + 2.000 =

366 – 50 = 23.598 + 600 = 2.366 – 300 =

6.359 – 800 = 5.263 + 700 = 69.324 – 5.000 =

26.156 + 600 = 368 + 1.100 = 4.593 + 1.100 =

5.632 + 1.100 = 5.893 – 1.100 = 3.269 + 1.100 =


45 + 100 = 79 + 100 = 800 + 400 =

331 + 10 = 424 + 100 = 505 + 600 =

4.943 + 100 = 9.873 + 1.000 = 7.449 + 300 =

6780 + 1.000 = 840 + 200 = 1.490 + 500 =

987 + 1.000 = 8.463 + 3.000 = 13 + 20 =


8.753 + 400 = 4.103 + 1.000 = 5.213 – 300 =

5. 786 + 200 = 6.358 – 20 = 4.659 + 2.000 =

366 – 50 = 23.598 + 600 = 2.366 – 300 =

6.359 – 800 = 5.263 + 700 = 69.324 – 5.000 =

26.156 + 600 = 368 + 1.100 = 4.593 + 1.100 =

24

UNITAT 2: NOMBRE DECIMALS

1. ELS NOMBRES DECIMALS

1.1. ELS NOMBRES DECIMALS EN LA RECTA. LECTURA DELS NOMBRES

DECIMALS.

1.2. COMPARACIÓ I ORDENACIÓ DE NOMBRES DECIMALS.

1.3. EXPRESSIÓ D’UN NOMBRE DECIMAL COM A FRACCIÓ.

1.4. EXPRESSIÓ D’UNA FRACCIÓ COM A NOMBRE DECIMAL

1.5. TIPUS DE NOMBRES DECIMALS

2. OPERACIONS AMB NOMBRES DECIMALS

2.1. SUMA I RESTA DE NOMBRES DECIMALS

2.2. MULTIPLICACIÓ DE NOMBRES DECIMALS

2.3. DIVISIÓ DE NOMBRES DECIMALS

3. PROBLEMES

4. AUTOAVALUACIÓ

25

1. ELS NOMBRES DECIMALS

Per expressar quantitats numèriques que representen parts de la unitat

utilitzem un nombres anomenats decimals.

Exemples: L’estatura de na Maria és 1’43m i aquest quadern costa 2’5€.

Un nombre decimal es pot descompondre en:

Part entera, major que la unitat: unitats, desenes, centenes,...

Part decimal, menor que la unitat: dècimes, centèsimes,

mil·lèsimes, deumil·lèsimes,...

1. Indica la part entera i la part decimal de:

a) €45211 b) 0’25 m c) 42’1 kg d) 3’5 l

2. Completa:

a) 1D=________d b) 1U=_______m c) 1d=_________m d) 1C=________c

3. Descompon els nombres decimals de l’exercici 1 de la següent forma:

Part entera Part decimal

Centenes

C

Desenes

D

Unitats

U

Dècimes

d

Centèsimes

c

Mil·lèsimes

m

Deumil·lèsimes

dm

4. Escriu en cada cas l’equivalència:

a) 34 centèsimes=_______________mil·lèsimes.

b) 9 unitats=___________________centèsimes.

5. Completa:

a) En 3 unitats hi ha _____ dècimes.

b) En 12 desenes hi ha _____centèsimes.

c) En 5 unitats hi ha _____ mil·lèsimes.

d) En 8 desenes hi ha _____deumil·lèsimes.

1.1 ELS NOMBRES DECIMALS EN LA RECTA. LECTURA DELS NOMBRES

DECIMALS.

Els nombres decimals tenen la seva representació ordenada en la recta

numèrica.

Si dividim la unitat en 10 parts iguals, cada part és una dècima.

Si dividim una dècima en 10 parts iguals, cada part és una

centèsima.

Si dividim una centèsima en 10 parts iguals, cada una de les parts

és una mil·lèsima.

26

6. Representa en una mateixa recta numèrica els nombres següents:

a) 2’3 b) 2’34 c) 2’37 d) 2’32

7. Representa en una mateixa recta numèrica els nombres següents:

a) 1’66 b) 1’6 c) 1’7 d) 1’62

Lectura dels nombres decimals:

1001’003 Mil una unitats i tres mil·lèsimes.

13’10 Tretze unitats i deu centèsimes.

3000’7 Tres mil unitats i set dècimes.

1’30€ Un euro i 30 cèntims.

21’86€ Vint-i-un euros i vuitanta-sis cèntims.

8. Escriu com es llegeixen els nombres decimals següents:

a) 13’45 b) 1 c) 1’7 d) 1’62

9. Completa:

Nombre decimal Com es llegeix

1.488’848

21 U i 6 mil·lèsimes

201’12

2 U i 83 centèsimes

10. Llegeix les quantitats següents:

a) 4’5€ b) 7’98€ c) 23’41€ d) 17’65€

11. Escriu en xifres:

a) 8 dècimes.

b) 3 unitats i dues dècimes

c) vint-i-cinc centèsims

d) vint-i-cinc mil·lèsimes

e) quatre unitats i cinc deumil·lèsimes

12. Escriu com llegiries aquestes quantitats:

a) 0’008 b) 12’50 c) 7’0523 d) 70’05

e) 0’080 f) 1’025 g) 1’04€ h) 1’4€

13. Escriu les quantitats següents:

a) Cinc euros i setanta-dos cèntims.

b) Cent quaranta-tres euros i seixanta cèntims.

14. Quantes monedes de 2 cèntims completen 1€?

15. Quantes monedes de 5 cèntims completen 1€?

27

1.2 COMPARACIÓ I ORDENACIÓ DELS NOMBRES DECIMALS

Per comparar nombres decimals hem de:

1r Comparar la part entera. És major el nombre que té major la part

entera.

2n Comparar la part decimal. Si la part entera és igual, es van

comparant les dècimes, les centèsimes, les mil·lèsimes, de manera

que és més gran el nombre amb major part decimal xifra a xifra.

16. Ordena de major a menor els nombres següents: 2’3; 2’34; 2’37; 2’32.

17. Ordena de menor a major els nombres següents: 8’5; 8’67; 8’07; 8’45.

18. Completa amb el signe (>, =, <) corresponent:

a) 083____23 b) 0870___0860 c) 251___21 d) 092___92

19. En un poble hi ha quatre línies d’autobusos. Observa en la taula la distància que recorre cada un.

a) Quin recorre la distància més gran?

b) Quin recorre la distància més petita?

Línia1 Línia2 Línia3 Línia4

8’409 km 8’5 km 8’45 km 9’05 km

20. Representa sobre la mateixa recta numèrica:

a) 3 b) 3’25 c) 3’4 d) 3’9 e) 4

21. Ordena de major a menor:

11’83 11’51 11’09 11’511 11’47

22. Ordena de menor a major: 315 mil·lèsimes, 200 centèsims, 3 unitats, 70 dècimes i 32 centèsims.

23. Ordena de menor a major:

a) 0’030 0’300 0’003

b) 3’101 3’110 3’011

c) 20’202 22’203 20’022

d) 7’101 7’1100 7’01

24. Intercala dos nombres decimals entre cada parell de nombres:

a) 7 i 8 b) 2’4 i 2’9 c) 2’5 i 2’6 d) 5’12 i 5’14

28

1.3 EXPRESSIÓ D’UN NOMBRE DECIMAL EXACTE COM A FRACCIÓ

Un nombre decimal exacte es pot expressar com una fracció que té:

Per numerador: el nombre sense la coma.

Per denominador: la unitat seguida de tants zeros com a xifres

decimals té el nombre decimal.

Exemple: 1000

854854'0 ; a continuació hauràs de simplificar la fracció

per trobar la fracció irreductible, en aquest cas, 500

427

21000

2854854'0 .

25. Completa:

a) ?

966'9 b)

?

12323'1 c)

?

331331'0 d)

?

12389389'12

26. Escriu com a fracció:

a) 4’25 b) 9’6 c) 0’375 d) 24’3

27. Escriu en forma de fracció:

a) Tres unitats i vuit centèsimes.

b) Dotze unitats i catorze mil·lèsimes.

c) Set dècimes.

d) Tretze centèsimes.

e) Onze deumil·lèsimes.

28. Escriu en forma de fracció irreductible els nombres decimals següents:

a) 5’67 b) 0’06 c) 23’9 d) 0’045

e) 6’2 f) 14’24 g) 15’2 h) 2’08

1.4 EXPRESIÓ D’UNA FRACCIÓ COM A NOMBRE DECIMAL

Per expressar una fracció com a nombre decimal es divideix el numerador entre

el denominador.

Si el denominador és una potència de 10, no cal efectuar la divisió: s’escriu el

numerador i es desplaça la coma cap a l’esquerra tant de llocs com zeros tingui

el denominador.

8'0545

4 052'0

1000

52 5'021

2

1

29. Expressa com a nombre decimal:

a) 100

39 b)

6

3 c)

10

77 d)

12

9

29

30. Completa:

a) 39110

b) 61'15100

31. Escriu en forma decimal:

a) 10

23 b)

000.1

8 c)

100

178 d)

000.10

567

1.5 TIPUS DE NOMBRES DECIMALS

El nombre decimal pot ser de tres tipus:

a) Decimal exacte: 0’375

- En efectuar la divisió, el residu és zero.

- Té un nombre finit de xifres decimals.

b) Decimal periòdic: 3’67888888...

- En efectuar la divisió, no l’acabes mai i el residu és diferent de zero.

- Té un nombre infinit de xifres decimals i es repeteixen sempre les

mateixes.

Un nombre decimal periòdic es pot escriure de forma abreujada col·locant un

petit arc 54'3...4555'3

.

Periòdic Pur: Si totes les xifres decimals es repeteixen, com per exemple,

...4545453

Periòdic Mixt: Quan hi ha xifres decimals que no es repeteixen, com per

exemple, ...456777773

c) Decimal ni exacte ni periòdic:3’8745523...

- En efectuar la divisió, el residu no és zero i , per tant, té infinites xifres

decimals.

- Té infinites xifres decimals no periòdiques (no es repeteixen sempre les

mateixes).

32. Classifica els nombres decimals que s’obtenen:

a) 3

5 b)

6

17 c)

26

25 d)

4

7

33. Dels nombres següents, indica’n la part entera i la decimal i classifica’ls:

a) 5’6434343... b) 8’25 c) 31’24444... d) 0’5520971...

34. Expressa de forma abreujada els següents nombres decimals periòdics:

a) 74’363636... b) 0’95111... c) 11’0555... d) 2’8888...

30

2. OPERACIONS AMB NOMBRES DECIMALS

2.1 SUMA I RESTA DE NOMBRES DECIMALS

Per tal de sumar i restar nombres decimals procedim de la manera següent:

1) Col·loquem tots els nombres en columna, fent correspondre els

diferents ordres, tant els de la part entera com els de la part decimal.

2) Els sumem o els restem com si foren nombres naturals, mantenint la

coma al lloc corresponent.

35. Calcula:

a) 32’98+45’006 b) 7+8’003 c) 3’456 – 0’098 d) 0’56 – 0’249

e) 4’53+0’089+3’45 f) 3’313+5’891 g) 1’003 – 0’75 h) 81’002 – 9’47

36. Completa:

37. Cert dia, la temperatura, a les 8 del matí, era de 10’5ºC, i a les 12 del migdia, de 17’3ºC. Quants

de graus hi hagué de diferència?

38. La suma de dos nombres decimals és 52’63. Si un dels sumands és 28’557, calcula l’altre

sumand.

2.2 MULTIPLICACIÓ DE NOMBRES DECIMALS

Per multiplicar dos nombres decimals:

1) Els multipliquem com si foren nombres naturals.

2) Es col·loca la coma en el producte, comptant de dreta a esquerra

tantes xifres com decimals sumen entre els dos factors.

39. Calcula:

a) 95624 b) 833576 c) 050842 d) 70546

40. En Lluís uneix quatre trossos de corda de 2’35m cada un. Quants de metres té la corda en total?

41. Na Maria porta tres bosses amb 3’8kg de taronges en cada una. Quants de quilos n’ha comprat?

Multiplicar per 10, 100, 1000,...

Per multiplicar un nombre decimal per la unitat seguida de zeros, es desplaça

la coma cap a la dreta tants de llocs com zeros acompanyen la unitat.

42. Calcula:

a) 1006'42 b) 10003'765 c) 108'24 d) 1000054'6

a) 34’56 + ________= 89’7

c) 9938________07543

b) ____ + 0’32 = 2’345

d) ____ 6851390

31

Multiplicar per 0’1; 0’01; 0’001...

Es desplaça la coma del nombre decimal cap a l’esquerra tants de llocs com

zeros tingui el factor 0’1; 0’01; 0’001...

43. Calcula:

a) 010624 b) 103576 c) 00010842 d) 0010546

44. Resol:

a) 9’65 · 1000 b) 23 · 0’001 c) 4’01 : 1000 d) 0’09 : 0’01

e) 6’6 · 0’001 f) 0’01 · 0’001 g) 0’1 · 0’1 h) 0’2 · 0’2

45. Calcula les següents operacions combinades:

a) 1465726351 b) 796438759232

c) 105610048329510 d) 10851704

e) 122464971 f) 10378533

46. En un ascensor es carreguen 5 bosses de 12’745 kg cada una. Hi pugen dues persones que pesen

65kg i 85’7kg. L’ascensor admet 350kg de càrrega màxima. Pot pujar-hi encara una persona més de

86’7kg?

2.3 DIVISIÓ DE NOMBRES DECIMALS

Un nombre decimal entre un nombre natural:

1) Es fa la divisió com si fossin nombres naturals.

2) Posar la coma al quocient amb el mateix nombre de xifres decimals

que el dividend.

47. Calcula:

a) 42’6 : 3 b) 399’5 : 17 c) 23’4 : 9 d) 6’12 : 34

e) 235’45 : 5 f) 1’84 : 2 g) 123’18 : 6 h) 0’345 : 5

Un nombre natural entre un nombre decimal:

1) Es multipliquen dividend i divisor per la unitat seguida de tants zeros

com xifres decimals hi ha en el divisor.

2) Es continua la divisió.

48. Calcula:

a) 48 : 9’6 b) 65 : 5’5 c) 910 : 2’8 d) 2015 : 0’62

e) 612 : 8’2 f) 1914 : 1’5 g) 21 : 3’5 h) 75 : 2’5

32

Un nombre decimal entre un nombre decimal:

1) Es multipliquen dividend i divisor per la unitat seguida de tants zeros

com xifres decimals hi ha en el divisor.

2) Si en el dividend encara apareixen decimals, es continua la divisió

(com en el primer cas).

49. Calcula:

a) 129’6 : 3’6 b) 7’2 : 0’16 c) 5’678 : 3’4 d) 19’8 : 1’65

e) 16’32 : 0’34 f) 19’1 : 3’82 g) 16’45 : 2’35 h) 3’24 : 1’2

Dividir per 10, 100, 1000...

Es desplaça la coma cap a la esquerra tants de llocs com zeros tingui la

unitat.

Dividir per 0’1; 0’01; 0’001...

Es desplaça la coma cap a la dreta tants de llocs com zeros tingui 0’1;

0’01; 0’001...

50. Calcula:

a) 56’87 : 10 b) 4’6 : 1000 c) 13’375 : 1000 d) 3’24 : 100

e) 56’87 · 10 f) 4’6 · 1000 g) 13’375 · 1000 h) 3’24 · 100

51. Calcula:

a) 3’25 + 1’755 b) 6 – 1’30 c) 1’25 + 0’5

d) 12’5 + 3’75 e) 16’56 – 11’36 – 5’125 f) 3’24 · 100

g) 1 – 0’75 h) 6’26 · 0’035 i) 21’04 – (15’327 – 6’287)

j) 13’375 · 1000 k) 16’25 – 12’5 l) 1’26 · 3’2

ll) 5 : 3’7 m) 1’01 · 1’01 · 1’101 n) 2’26 · 0’14

p) 30’15 : 67 q) 102’6 : 1’368 r) 134’5 : 2’5 + 12’125

s) 31 : 0’04 t) 3015 : 6’7 u) (4’987 – 0’875) : 1’5 + 3’094


a) 3’14 · 103 b) 12’05 · 1000 c) 0’3428 · 100

d) 3’14 : 10 e) 12’05 : 1000 f) 0’3421 : 100

g) 3’14 · 0’001 h) 12’05 · 0’001 i) 3’14 : 0’01

j) 3 : 0’1 k) 0’6 : 100 l) 8’5 : 10

53. Realitza les operacions:

a) 78’564 : 5’3 b) 0’3258 : 5’4 c) 0’354 : 6’58 d) 6 : 89’5

e) 0’098 : 34 f) 6’5 : 1000 g) 2 : 19’5 h) 0’0098 : 1000

54. Completa els recorreguts calculant els nombres que falten:

a) 398 + 25’46 = _______+ 269’87 = _______ · 36’05 =

b) 85’73 + 279’2 = _______ – 0’405 = ________ : 39’42 =

33

3. PROBLEMES

55. En una fàbrica de refrescos es preparen 4.168’2 litres de refresc de taronja i s’envasen en llaunes

de 0’33 l . Quantes llaunes necessiten?

56. N’Andreu té un post de fusta de 3’22m i la talla en trossos de 0’23m. Quants de trossos obté?

57. Na Laura ha fet avui 43’5 kg de pasta i la vol empaquetar en bosses de 0’250kg. Quantes bosses

necessita na Laura?

58. En un riu de 7’2km de llarg s’han posat rètols de “Vedat de pesca” cada 0’16km. Quants de

rètols s’han posat?

59. Joan te una alçada de un metre i trenta-vuit centímetres. La alçada de Carles és d’un metre i vuit

centímetres i el seu pare mesura un metre i setanta-set centímetres:

a) Ordena aquestes quantitats de major a menor.

b) Quina és la mesura dels tres junts?

c) Quant li falta a Carles per fer la alçada del seu pare?

60. Na Maria va al mercat i compra tres Kg. de taronges a 0’85 €/kg., Lluís compra cinc manats

d'espinades a 0,45 €. cadascun, i en Tomeu compra 3’5 kg. de tomàtigues a 0’75 €/Kg:

a) Quants diners s’ha gastat cada persona?

b) Quants diners s’han gastat tots tres?

c) Ordena les quantitats de menor a major dels resultats que han pagat.

d) Si donen 100 €. per pagar el total, calcula el canvi que rebran.

61. Un llibre té 672 pàgines amb un gruix total de 44’4 mm. Si cada tapa té un gruix de 1’2 mm.,

calcula el gruix de cada fulla.

62. La suma de tres nombres és 4’2. Els dos primers nombres sumen 3’75 i el segon és 0’836.

Digués de quins nombres es tracta.

63. Quin nombre sumarem a 6’45 per tenir cent dècimes?.

64. Cerca el nombre que sumat a la seva meitat és 0’4.

65. Sabem que dintre d’un kg. d’arròs hi ha aproximadament 50.000 grans. Calcula el pes d’un gra.

66. El preu d’un pern en una ferreteria és de 0’35 €. Comprem 123 perns i paguem amb un bitllet de

100 €. Calcula el canvi que ens tornaran.

67. Na Joana posa 20 l. de gasolina al cotxe. El preu per litre en aquest moment és de 0’911 €/l.

Porta un bitllet de 50 €, quant € li tornaran?.

68. Una gallina avança en cada pas una mitja de 5’7 cm. Camina 45’3 passes per minut. Calcula els

km. de recorregut que farà si camina deu hores al dia.

69. Si volem viatjar al Japó seria necessari canviar els euros a iens. Si sabem que un € són 128’58

iens, i nosaltres tenim 155 €, quants de iens tindrem per viatjar al Japó?.

34

70. Un pare decideix repartir cada setmana 14 € entre els seus tres fills a parts iguals, quants d’€

donarà a cada ú?.

71. N’Albert ha comprat tres pots de tomàtigues i una botella de refresc que costa 1’05€. Ha pagat

amb un bitllet de 5€ i li han tornat 1’40€. Quant li ha costat cada pot de tomàtiga?

72. Escriu un problema que es resolgui amb una operació de sumar, una restar i una de dividir amb

decimals .

73. Inventa un problema que es resolgui amb dues operacions de dividir amb decimals.

35

4. AUTOAVALUACIÓ

1. El resultat de 589,0339,4 és:

a) 4’928 b) 5’928 c) 4’818 d) 5’818

2. El resultat de 197673389 és:

a) 22’332 b) 22’143 c) 22’147 d) 22’133

3. El resultat de 34596 és:

a) 28’337 b) 24’337 c) 28’207 d) 24’207

4. El resultat de 2,3:824,13 és:

a) 4’23 b) 4’32 c) 4’35 d) 4’25

5. Si tinc 6€ i em compro un panet per 1’43€ i dos refrescos per 1’25€ cada un, quant em

sobra?

a) 2’07 b) 2’70 c) 2’77 d) 3’32

6. Classifica els següents nombres decimals:

a) 372

b) 2’34555... c) 2’7777 d) 2 1´414213...

36

UNITAT 3 : EL SISTEMA MÈTRIC DECIMAL (SMD)

1. LES MAGNITUDS, LES MESURES I ESCALES

2. SISTEMA MÈTRIC DECIMAL

2.1 UNITATS DE LONGITUD

2.2 UNITATS DE MASSA

2.3 UNITATS DE CAPACITAT

2.4 UNITATS DE SUPERFÍCIE

2.5 PROBLEMES

3. AUTOAVALUACIÓ

37

1. LES MAGNITUDS I LES MESURES.

• Una magnitud és una qualitat, característica... d’un objecte que podem

mesurar.

Exemple: longitud, massa, capacitat, superfície, volum, velocitat...

• Les magnituds s’expressen en unitats de mesura:

Exemple: metres, quilòmetres, quilograms, grams, centilitres, metres

quadrats, metres cúbics, quilòmetres per hora...

• El sistema mètric decimal és un sistema de mesura decimal perquè les

unitats es relacionen entre si mitjançant potències de 10.

• Per multiplicar un nombre per 10, 100, 1.000..., es desplaça la coma a

la dreta tants llocs com zeros tingui la unitat: 1, 2, 3...

Exemples:

3’47 ⋅ 100 = 347

2’56 ⋅ 10 = 25’6

589 ⋅ 1.000 = 589.000

• Per dividir un nombre entre 10, 100, 1.000..., es desplaça la coma a

l’esquerra tants llocs com zeros tingui la unitat: 1, 2, 3...

Exemples:

25’87 : 100 = 0’2587

29 : 10 = 2’9

1. Calcular:

a) 2’44 ⋅ 100 = b) 4’56 · 10 = c) 56 · 1000 =

d) 8’16 ·10 = e) 21’4 : 10 = f) 453 : 100 =

2. SISTEMA MÈTRIC DECIMAL

El sistema mètric decimal és un conjunt d’unitats de mesura relacionades

per les magnituds fonamentals.

MAGNITUD UNITAT

LONGITUD ------------------ EL METRE (m)

MASSA ----------------------- EL GRAM (g)

CAPACITAT ----------------- EL LITRE (l)

SUPERFÍCIE ----------------- EL METRE QUADRAT (m2)

2. Escriu el nombre de quatre coses que es mesurin amb unitats de longitud, tres coses que es

mesurin amb unitats de capacitat, cinc amb unitats de pes i 3 amb unitats de superfície.

38

2.1 UNITATS DE LONGITUD

La longitud serveix per mesurar la distància entre dos punts, per exemple:

la distància que hi ha entre la teva casa i d’institut. La unitat principal de

longitud és el metre.

El metre té múltiples i submúltiples:

MÚLTIPLES SUBMÚLTIPLES

Quilòmetre (Km) Decímetre (dm)

Hectòmetre (hm) Centímetre (cm)

Decàmetre (dam) Mil·límetre (mm)

Utilitzarem una escala per passar d’una unitat a una altra:

Km (quilòmetre)

hm (hectòmetre)

dam (decàmetre) x 10

m (metre)

: 10 dm (decímetre)

cm (centímetre)

mm (mil·límetre)

Per passar d’una unitat més gran a una més petita (baixar), hem de

multiplicar per 1 seguit de tants de zeros com escalons baixam. Per

exemple: per passar de km a m hem de baixar 3 escalons, aleshores hem

de multiplicar per 1000.

Per passar d’una unitat més petita a una més gran (pujar), hem de dividir

per 1 seguit de tants zeros com escalons pujam. Per exemple: per passar

de cm a m hem de pujar 2 escalons, aleshores hem de dividir per 100.

3. Raona i contesta:

a) quants de metres hi ha en un decàmetre?

b) quants de decagrams hi ha en un quilogram?

c) quants d’hectolitres hi ha en un quilolitre?

d) quants de mil·lilitres hi ha en un litre?

e) quants de centímetres hi ha en un decímetre?

f) quants de mil·ligrams hi ha en un decigram?

4. Completa:

a) 2’4 cm = ................... dm b) 0’93 m =.......................dam

c) 62 hm = ..................... km d) 565 dm = .......................m

e) 275 mm = ................... km f) 0’35 hm =.......................mm

39

5. Les estatures d’aquestes persones són:

1’62 m; 1’57 m; 2’08 m; 1’99 m; 1’11 m; 2’11 m

Quina estatura correspon a cada una?

6. Expressa en la unitat demanada les mesures següents:

a) 54 m = ...................... cm b) 452 m = ...................... Km c) 342 m = ....................... hm

d) 43’16 m = ............... mm e) 32’45 km = ................. cm f) 18000 mm = ................. m

g) 78 dam = .................. cm h) 0’1 hm = .................... cm i) 302’1 mm =................... m

j) 0’5 Km =......................m k) 0’064 hm =...................cm l) 0’019 dam=.....................dm

m) 51’3 hm = ..................m n) 30’85 km = .................dm o) 143 mm = .......................m

7. Ordena del més gran al més petit:

4 dm = ............................mm 120 m =...........................mm

90 mm =.........................mm 0’3 dam =.........................mm

0’7 km = .........................mm

.......................... > .......................... > .......................... > .......................... > ......................

8. Completa aquesta taula:

2’75 m 2 m i 75 cm

1’465 m 1 m i 465 mm

27’5 m

2 m i 5 cm

6’25 m

14 m i 35 cm

0’9 m

82 cm

0’017 m

40

9. Associa una unitat de longitud amb cada exemple.

Exemple: a) L’alçària d’una casa : metres

b) La distància entre dues ciutats.

c) Una finestra.

d) La longitud d’una formiga

e) L’amplada d’un carrer

f) El tauler del teu pupitre

g) Una agulla imperdible

h)La teva habitació

i) La teva alçada.

10. Expressa en centímetres:

a) 0’0025 km = b) 37100 mm =

c) ( 7 dam 9 m 4 cm) – 75641 mm = d) 6’320 dam =

e) 450’2 mm = f) ( 4 dam 3 m 6 cm) – 3194 cm =

2.2 UNITATS DE MASSA

La mesura la quantitat de matèria continguda dins un cos, per exemple: la

quantitat d’arròs que hi ha dins una bossa. La unitat principal de massa és

el gram.

El gram té múltiples i submúltiples:


Tona (t) Decigram (dg)

Quintal (q) Centigram (cg)

Miriagram (Mg) Mil·ligram (mg)

Quilogram (Kg)

Hectogram (hg)

Decagram (dag)


t (Tona)

q (Quintal)

Mg (Miriagram)

Kg (quilogram

hg (hectogram) x 10

dag (decagram)

g (gram)

: 10 dg (decigram)

cg (centigram)

mg (mil·ligram)


multiplicar per 1 seguit de tants de zeros com escalons baixam. Per

exemple: per passar de kg a g hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de

multiplicar per 1000.

41


per 1 seguit de tants zeros com escalons pujam. Per exemple: per passar

de cg a g hem de pujar 2 escalons, aleshores hem de dividir per 100.

11. Passa a la unitat indicada:

a) Passar 4’1 kg a grams

b) Passar 681dg a hectograms

c) Passar 4213 dag a quilograms

d) Passar 2’5 grams a mil·ligrams

e) Passar 0’25 t a hectograms

12. Passa a mil·ligram:

a) 3’75 g = …………….....…… mg c) 6 g 4 dg = …….........…..............……… mg

b) 15’76 cg = …………….…… mg d) 7 dag 8 dg = ………….................……… mg

13. Completa :

a) 3’5 kg = ....................................... g = ........................................... cg

b) 2 q = ............................................ kg = ........................................... g

c) 456 mg = ..................................... g = ........................................... hg

d) 9 t = ........................................... kg = .......................................... dag

14. Passa a la unitat indicada:

a) 3’2 kg = ..........................grams f) 0’006 kg = .............................grams

b) 655 dg = .........................hectograms g) 655 Kg = ..............................hectograms

c) 4.300 dag = .....................quilograms h) 454’6 dag = ...........................quilograms

d) 2’7 g = ........................... mil·ligrams i) 56’6 q = ..................................hectogram

e) 0’35 t = ............................hectogram j) 435 Mg = ................................gram

15. Completa les igualtats següents:

a) 32 kg = ......................... hg b) 25 dg = ......................... mg c) 376 g = ........................... hg

d) 521g = .......................... kg e) 750 g = .......................... kg f) 0’5 kg = ........................... g

g) 0’75 kg = ..................... g h) 5 hg = ............................ g i) 467 cg = ........................... g

j) 71’2 mg = ..................... g k) 500 g = .......................... kg l) 0’25 kg = .......................... g

m) 2250 g = ..................... kg n) 1’25 kg = ....................... g ñ) 76’3 g =............................ hg

42

16. Relaciona les columnes A i B.

A B A B

15 g 1.500 g 2 kg 2.000 cg

1’5 kg 1.500 cg 0’2 t 0’002 t

150 mg 1’5 dg 20 g 200 kg

17. Ordena de major a menor les següents mesures:

a) 0’2 mag b) 2’1 kg c) 2 kg 200 g d) 23 hg e) 5400 cg

18. Calcula en grams:

a) 2648 dg + ( 5 hg 6 dag 9 dg 7 mg) =

b) 2’3 dag 134 dg 231 cg =

2.3 UNITATS DE CAPACITAT

La unitat principal de capacitat és el litre. El litre té múltiples i

submúltiples:


Quilolitre (Kl) Decilitre (dl)

Hectolitre (hl) Centilitre (cl)

Decalitre (dal) Mil·lilitre (ml)


Kl (quilolitre)

hl (hectolitre)

dal (decalitre) x 10

l (litre)

: 10 dl (decilitre)

cl (centilitre)

ml (mil·lilitre)


multiplicar per 1 seguit de tants de zeros com escalons baixem. Per

exemple: per passar de kl a l hem de baixar 3 escalons, aleshores hem de

multiplicar per 1000.


per 1 seguit de tants zeros com escalons pugem. Per exemple: per passar

de cl a l hem de pujar 2 escalons, aleshores hem de dividir per 100.


a) 30 kl = ..................... hl b) 2’5 dl = ................. ml c) 376 ml = ………............ hl

d) 500 l = ..................... kl e) 75 l = ..................... kl f) 0’5 kl = ............................ l

g) 75 kl = ….................. l h) 50 hl = ................... l i) 46’7 cl = .......................... l

j) 7.682 ml = ................. l k) 50 l = ..................... kl l) 25 kl = ............................. l

43


a) 32 kl = ........................... hl b) 2’5 dl = ......................... ml c) 376 ml = ... ...................... hl

d) 500 l = .......................... kl e) 75 l = ............................. kl f) 0’5 kl = .. ........................... l

g) 75 kl = ........................... l h) 50 hl = ........................... l i) 46’7 cl = ............................ l

j) 7682 ml =........................ l k) 50 l = ............................. kl l) 25 kl = ........................... dal


40 dl; 0’3 dal; 9 ml ; 120 l ; 7 kl

22. Transforma en decilitres aquestes quantitats:

a) 1 ml b) 5 cl c) 12 ml

d) 37 dal e) 0’3 hl f) 0’35 kl

23. Efectua, en litres, les operacions següents:

a) 2’1 dl + 370 cl =

b) 70 dl + 4 kl =

24. Expressa en centilitres:

a) 2 dal 5 l = b) 8 dl 6 cl =

c) 7 dl 3 cl 5 ml = d) 8 l 3 dl 7 ml =

25. Calcula en litres:

a) 6 hl 5 dal 8 l + 4 dal 5l3 dl =

b) 648 dal +21’6 hl + 0’82 kl =

c) (5 hl 3’4 dal 72 l) =

2.4 UNITATS DE SUPERFÍCIE

La unitat principal de superfície és el metre quadrat. El metre quadrat té

múltiples i submúltiples:


Quilòmetre quadrat (Km2) Decímetre quadrat (dm

2)

Hectòmetre quadrat (hm2) Centímetre quadrat (cm

2)

Decàmetre quadrat(dam2) Mil·límetre quadrat (ml

2)


Km2 (quilòmetre quadrat)

hm2 (hectòmetre quadrat)

dam2 (decàmetre quadrat) x 100 (cada escaló)

m2 (metre quadrat)

: 100 dm2 (decímetre quadrat)

cm2 (centímetre quadrat)

mm2 (mil·límetre quadrat)


44

multiplicar per 1 seguit de dos zeros per cada escaló que baixam. Per

exemple: per passar de km2 a m

2 hem de baixar 3 escalons, aleshores hem

de multiplicar per 1.000.000


per 1 seguit de dos zeros per cada escaló que pujam. Per exemple: per

passar de cm2 a m

2 hem de pujar dos escalons, aleshores hem de dividir

per 10.000

Per mesurar superfícies de camps, utilitzarem les denominades unitats

agràries ( agro = camp).

Les més freqüents són l’àrea, l’hectàrea i la centiàrea, que

coincideixen, respectivament, amb el decàmetre quadrat, l’hectòmetre

quadrat i el metre quadrat.

àrea 1 a = 100 m2

= 1 dam2

hectàrea 1 ha = 10.000 m2

= 1 hm2

centiàrea 1 ca = 1 m2

26. Indica la unitat que faries servir per mesurar:

a) La superfície d’un camp de futbol.

b) La superfície d’una fulla de periòdic.

c) La superfície d’un continent.

d) La superfície de la teva classe.

e) La superfície d’una goma d’esborrar.

f) La superfície d’una dent.


a) 324 dm2 = ................................. m

2 b) 452 km

2= ..................................... dam

2

c) 342 m2 = ................................... dam

2 d) 91’6 dam

2 =.................................. hm

2

e) 43’56 m2 = ................................ dm

2 f) 32’45 km

2 = .................................. hm

2

g) 34 m2 = .................................... dm

2 h) 4’52 km

2= .................................... dam

2

i) 342 m2 = .................................... hm

2 j) 43’56 m

2 = .................................... cm

2

28. Expressa en m2:

a) 16 dam2 + 6 m

2 + 3 dm

2 = b) 51 hm

2 + 2 dam

2 =

16 dam2 = ................................. m

2

6 m2 = .......................................m

2

3 dm2

= ...................................... m2

29. Expressa en cm2:

a) 2 m2 48 dm

2

b) 6 dm2 4 mm

2

c) 1 dm2 2 cm

2

d) 19 cm2 1 mm

2

45

30. Expressa 85 m2 5 dm

2 23 cm

2:

a) en m2

b) en dam2

c) en dm2

31. Digues quines unitats de superfície o agràries utilitzaries per mesurar les superfícies següents:

a) la superfície de una pàgina d’un llibre

b) “ de la teva mà

c) “ de la teva casa

d) “ d’Espanya

e) “ d’Europa

32. Transforma en metres quadrats:

a) 5 ha b) 7 a

c) 4’2 ha d) 25 ca

e) 0’56 a f) 93 ca

2.5 PROBLEMES

33. El recorregut d’una prova de marató és de 42’195 km. Escriu la distància en metres i en

hectòmetres.

34. Carles pesa 52 kg. Calcula el seu pes en grams i en tones.

35. El cim d’una muntanya es troba a 957 m, 325 dm i 68 mm sobre el nivell del mar. Quants

centímetres d’altura amida aquesta muntanya?

36. Un metre de corda té un cost de 0’85 €. Calcula quant costa:

a) 2’4 m b) 60 cm c) 4 m 20 cm

37. Un terreny de 5’3 ha s’ha venut a 4’8 €/ m2. Quin és el preu total del terreny?

38. Una fulla de paper té una mida de 210 mm x 297 mm.

a) Expressa les dimensions en centímetres i en decímetres.

b) Calcula la superfície de cada fulla en m2.

c) Calcula els metres necessaris per fer un llibre de 145 pàgines.

d) Si cada fulla de paper té un cost de 0’04 €. Calcula el cost del paper del llibre .

39. Es vol enrajolar una terrassa de 120 m2 en rajoles quadrades de 40 cm de costat.

a) Calcula la quantitat de rajoles necessàries.

b) Calcula el seu cost si cada una val 0’50 €.

40. Volem rodar un terreny de forma triangular que els costats tenen una mesura de: 86 dam, 7 hm i

1 km 325 m

a) Quants metres de fil de ferro necessitem per rodar-lo?

b) Si cada metre d’aquest fil val 0’85€, què costarà rodar-lo?

46

41. Et trobes al costat d’una font i tens dos càntirs, un de 7 litres i un altre de 5 litres. Què faries per

mesurar-hi 4 litres?

42. El preu d’aigua a Múrcia és de 1’88 € /kl, i a Toledo és de 35 € / kl. Sabem que la mitjana de

consum d’una persona és de 150 litres al dia:

a) Quant pagarà un persona de Múrcia al final de l’any?

b) I una persona de Toledo?

47

3. AUTOAVALUACIÓ


a) 73 m = ...................... cm b) 3’2 m = ...................... Km c) 342 m = ....................... hm

d) 56’16 m = ................ mm e) 62’75 km = ................. dm f) 18000 mm = ................. m

g) 82 dam = .................. cm h) 0’1Km = ..................... cm i) 632’1 mm =................... dam

j) 0’6 Km =.................... dm k) 0’03 hm =.................... cm l) 0’09 dam=..................... dm

m) 4’31 hm = ................ m n) 603’5 km = ................. dm o) 1’33 mm=...................... m


5 dm; 0’63 dam; 32 mm ; 56’8 m ; 0’34 km

3. En quines unitats expressarem?

a) La superfície d’un camp de futbol

b) La longitud d’una agulla

c) La profunditat d’una piscina

d) La superfície d’un apartament.

e) El pes d’un cotxe

f) El volum d’una llauna de refresc


a) 62 kg = ......................... hg b) 65 dg = ........................ mg c) 861 g = ............................ hg

d) 7’9 g = .......................... kg e) 772 g = ........................ kg f) 2’5 kg = ............................. g

g) 0’35 kg = ...................... g h) 6 hg = .......................... g i) 65’7 cg = ........................... g

j) 63’2 mg = ...................... g k) 600 g = ........................ kg l) 0’75 kg = ............................ g


55dl; 0,4 dal; 65 ml ; 150 l ; 9’2 kl


a) 5’7 kl = ................... hl b) 2’9 dl = ................. ml c) 76’4 ml = ………............ hl

d) 500 l = ................... kl e) 86 l = .................... kl f) 0’5 kl = ............................. l

g) 45’2 kl = ….............. l h) 57 hl= ................... l i) 96’2 cl = ............................ l


a) 65’4 dm2 = .................................... m

2 b) 4’2 km

2= ..................................... dam

2

c) 64’2 m2 = ...................................... dam

2 d) 71’3 dam

2 = ................................. hm

2

e) 23’66 m2 = .................................... dm

2 f) 9’45 km

2 = ................................... hm

2

8. La superfície d’una taula és de 0’9 m2. Calcula la superfície en mm

2 i en dam

2.

48

9. Indica si les següents afirmacions són vertaderes o falses i raona la teva resposta:

a) La massa d’un llapis és major que 0’3 kg

b) La massa d’un cotxe és menor que 3.000.000 g

c) La massa d’unes sabates és major que 140 dg

10. Un metre de corda té un cost de 1’5 €. Calcula quant costaran:

a) 3 m b) 50 cm c) 4 m 60 cm

11. Si un hl de vi val 18 euros, quin és el valor de 20 dal?

12. Quants quilolitres (Kl) d’oli caben en 25 dipòsits de 146 dl. de capacitat cadascun?

13. En Francesc demana a la carnisseria tres filets que, una vegada tallats, pesen 750 grams. Quant

ha de pagar si un quilo de filets costa 9’40 euros?

49

UNITAT 4: DIVISIBILITAT

1. MULTIPLES I DIVISORS D’UN NOMBRE

1.1 MÚLTIPLES D’UN NOMBRE

1.2 DIVISORS D’UN NOMBRE

2. CRITERIS DE DIVISIBILITAT

3. NOMBRES PRIMERS I COMPOSTOS

4. DESCOMPOSICIÓ D’UN NOMBRE EN FACTORS PRIMERS

5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE

6. MÀXIM COMÚ DIVISOR

7. AUTOAVALUACIÓ

50

1. MULTIPLES I DIVISORS D’UN NOMBRE

1.1. MÚLTIPLES D’UN NOMBRE

1. En un aparcament de 18 metres hem de posar vehicles, un darrera l'altre, sense perdre ni un metre

d'espai. Tria els vehicles que no deixen cap espai buit a l'aparcament:

Furgonetes de 4 metres.

Cotxes de 3 metres.

Motos de 2 metres.

Fes un dibuix del pàrking ple de vehicles amb les opcions que deixin l'aparcament totalment ple.

2. Tenim motocicletes de 2 metres. Digués quines d'aquestes longituds ha de tenir un aparcament

en el que col·loquem les motocicletes una darrera l'altre per tal de no deixar espai vuit:

a. 5 metres

b. 10 metres

c. 15 metres

d. 30 metres

e. Digués també quantes motos hi caben en cada cas.

Els múltiples d’un nombre “a” són tots els nombres que s’obtenen en

multiplicar “a” per qualsevol nombre natural. És a dir, els múltiples són el

resultat de la multiplicació d’a per qualsevol nombre.

Per exemple: Múltiples de 2 , M(2), són 2·1, 2·2, 2·3, 2·4..., és a dir, 2, 4, 6, 8.

Qualsevol nombre té infinits múltiples.

3. Escriu :

a. Cinc múltiples de 6.

b. Cinc múltiples de 17.

c. Cinc múltiples de 200.

4. Encercla tots els múltiples de 7 que hi ha en els següents nombres: 49, 16, 63, 36, 77, 45, 42

5. Encercla tots els múltiples de 9 que hi ha en els següents nombres:81, 16, 53, 36, 99, 45, 44

6. Contesta vertader o fals i raona la teva resposta:

a) 14 és múltiple de 4 b) 75 és múltiple de 5

c) 14 és múltiple de 2 d) 3 és múltiple de 18

51

1.2 DIVISORS D’UN NOMBRE

Els divisors d’un nombre “b” són els nombres que s’obtenen com a

divisors quan la divisió sigui exacta.

Per exemple: Divisors de 12, D(12), són 1, 2, 3, 4, 6, 12

Sempre el primer divisor de qualsevol nombre serà l’1 i el darrer ell

mateix.

7. Encercla tots els divisors de 20 i ordena’ls de major al més petit.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

8. Encercla tots els divisors de 30 i ordena’ls del petit al major.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30

9. Encercla tots els divisors de 32 i ordena’ls del petit al major.

1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30,

31, 32

10. Escriu els divisors de:

a) D(15). b) D(25). c) D(27). d) D(12)

e) D(10) f) D(14)

Hi ha dues maneres de dir la mateixa cosa. Podem dir:

5 és divisor de 10.

10 és divisible per 5 (es pot dividir per i la divisió és exacta).


a) 20 és divisible per 5 b) 90 és divisible per 6

c) 48 és divisible per 12 d) 120 és divisible per 15


a) 2 és divisor de 18 b) 5 és divisor de 25

c) 7 és divisor de 49 d) 2 és divisor de 36


a) 10 és divisible per 5 b) 30 és divisible per 4

c) 10 és divisor de 5 d) 6 és divisor de 18

52

2. CRITERIS DE DIVISIBILITAT

De vegades, no cal fer la divisió per saber si un nombre és divisible per 2, 3

o 5, ja que hi ha unes regles que serveixen per això. Aquestes regles

s’anomenen CRITERIS DE DIVISIBILITAT.

CRITERIS DE DIVISIBILITAT

DIVISIBILITAT PER DOS

Un nombre és divisible per 2 quan la xifra de les unitats és 0 o parell

(2, 4 ,6 i 8)

Exemples:

10 és divisible per 2 perquè acaba en 0

14 entre 2 és una divisió EXACTA perquè 4 és parell

156 és divisible per 2 perquè 6 és parell

245 NO és divisible perquè acaba en xifra senar

DIVISIBILITAT PER TRES

Un nombre és divisible per 3 quan la suma de les seves xifres és múltiple

de 3

Exemples:

15 és divisible entre 3 perquè 1 + 5 = 6 i 6 és múltiple de 3

135 és divisible entre 3 perquè 1 + 3 + 5 = 9 i 9 és múltiple de 3

456 és divisible entre 3 perquè 4 + 5 + 6 = 15 i 15 és múltiple de 3

413 NO és divisible entre 3 perquè 4 + 1 + 3 = 8 NO és múltiple de 3

DIVISIBILITAT PER CINC

Un nombre és divisible per 5 si acaba en 0 o en 5

Exemples:

20 és divisible entre 5 perquè acaba en 0



1354 NO és divisible entre 5 perquè NO acaba en 0 o 5.

53

14. Ompli la següent taula:

Nombre Divisible per

2?

Divisible per

3?

Divisible per

5?

Divisible per

10?

Divisible per

20?

52545 NO, acaba en 5 SI, sumen 21 SI, acaba en 5 No, no acaba

en 0

No,...

685

33

27

43

49

52

9870

3325

6841

56484

66984

524

63658

541

84445

561132

33521

50550

65421

9823

15. Quin és el criteri de divisibilitat del 10?

16. Quin és el criteri de divisibilitat del 20?

17. Completa les xifres següents que falten perquè resultin:

4 5 ___ ___ ___ 6 1 ___ 7___ 3___

a) múltiples de 2 b) múltiples de 3 c) múltiples de 5

54

3. NOMBRES PRIMERS I COMPOSTOS

Un nombre és primer si sols té dos divisors l’u i ell mateix. En cas

contrari, direm que el nombre és compost

Per exemple:

El 13 és un nombre primer, ja que si calculem els divisors

D(13) ={1, 13} sols té dos divisors l’1 i el 13. El 13 és PRIMER.

El 10 no és un nombre primer, ja que si calculem els divisors

D(10) ={1, 2, 5, 10} té més de dos divisors. El 10 és COMPOST.

18. Encercla tots els nombres primers:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25

19. Troba tots els nombres primers que hi ha entre 60 i 70.


a) El 14 és primer.

b) El 19 és primer.

c) El 18 és primer.

d) El 21 és compost.

e) El 23 és compost.

21. Descompon el nombre 120:

a) En dos factors.

b) En tres factors.

c) En el màxim nombre de factors primers

4. DESCOMPOSICIÓ D’UN NOMBRE EN FACTORS PRIMERS

Els nombres primers tenen una propietat quasi màgica, i és que, qualsevol

nombre es pot posar com a multiplicació de nombres primers. Això

s’anomena, factoritzar o descomposar un nombre en factors primers.

Exemple

18 2 Per tant, 18 = 2·3·3 = 2·32

9 3

3 3

1 tan sols nombres primers: 2, 3, 5, 7, 11...

55

22. Descompon els següents nombres en factors primers:

36 150 135

70 140 105

750 420 675

1050 1750 3430

2700 2150 1715

23. Descompon els següents nombres en factors primers:

90 35 165

300 231 77

147 693 495

1089 3993 2420

3150 1080 3240

5. MÍNIM COMÚ MÚLTIPLE (mcm)

El mínim comú múltiple, mcm, és un nombre que és múltiple, és comú i és el més petit

possible.

Per exemple: Calcular el mcm de 2 i 4.

Calculem els múltiples:

M(2)= {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, ...}

M(4)= {4, 8, 12, 15, 18, 21, 24...}

Cerquem els múltiples comuns: 4, 8...

El mínim dels múltiples comuns:

mcm(2, 4)= 4

També es pot calcular el mínim comú múltiple d’una altra forma:

Descomposar els nombres en factors primers.

Agafarem tots els factors i els de major grau,si estan repetits.

Per exemple: Calculem el mcm de 12 i de 45

Descomposem el 12 i el 45

12 = 22·3

45 = 32·5

Agafarem el 2, el 3 i el 5. De 3 tenim al dos llocs, el de major grau és 32,

mcm (12, 45) = 22·3

2·5 =180

56

24. Calcula el mcm del següents nombres:

a) mcm (4, 8) f) mcm (10, 15)

b) mcm (8, 6, 2) g) mcm (30, 6, 25)

c) mcm (30, 40) h) mcm (52, 12)

d) mcm (14, 15, 16) i) mcm (6, 9, 18)

e) mcm (120, 210) j) mcm (28, 280)

25. A un al·lot un parell de sabates li duren 60 dies i un xandall li dura 150 dies. Li acaben de

comprar sabates i xandall nous. Quant de temps passarà fins que torni a coincidir la compra

sabates i xandall? Quants parells de sabates i xandalls hauran comprat en aquest temps?

26. L’autobús de la línea 1 passa cada 5 minuts i el de la línea 2 passa cada 12 minuts. Si acaben de

sortir els dos, quant tardaran a tornar a coincidir?

27. En Joan menja fruita cada 12 dies i cada 3 dies menja xocolata. Si avui ha menjat les dues coses,

quant tornarà a menjar les dues coses?

6. MÀXIM COMÚ DIVISOR (MCD)

El màxim comú divisor, MCD, és un nombre que és divisor, és comú i és el més gran dels

divisors.

Per exemple: Calcular el MCD de 2 i 4.

Calculem els divisors:

D(2)= {1, 2}

D(4)= {1, 2, 4}

Cerquem els divisors comuns: 1, 2

El màxim dels divisors comuns: 2

MCD (2, 4)= 2

També es pot calcular el màxim comú divisor d’una altra forma:

Descomposar els nombres en factors primers.

Agafarem sols els factors comuns i els de menor grau, si estan repetits.

Per exemple: Calculem el MCD de 12 i de 45

Descomposem el 12 i el 45

12 = 22·3

45 = 32·5

Ni el 2 ni el 5 són factors comuns. Agafarem el 3. De 3 tenim al dos llocs, el de

menor grau és 3.

MCD (12, 45) = 3

57

28. Calcula el MCD dels següents nombres:

a) MCD (42, 28) = d) MCD (280, 144) =

b) MCD (54, 99) = e) MCD (16, 56, 14) =

c) MCD (21, 27) = f) MCD (132, 176, 220) =

29. Hem replegat 72 tipus diferents de fulles i 90 flors. Després d’assecar-les volem pegar-les en

cartolines, de manera que totes les cartolines tinguin el mateix nombre de flors o fulles i que no

estiguen mesclades. Quantes flors o fulles tindrà cada cartolina?

30. Tenim un full de paper de 20 cm. d’ample i 28 cm. de llarg. El volem quadricular amb quadres

que tinguin el costat el més gran possible i que ocupen totalment el full. Quant haurà de mesurar

cada costat?

31. Hem de repartir 12 caramels de fresa i 18 de menta, fent servir capses tan grans com sigui

possible i que a totes les capses càpiga el mateix nombre de caramels. Quants caramels hi haurà

en cada capsa?

32. Calcula el MCD dels següents nombres:

a) MCD (12, 18) = d) MCD (10, 14) =

b) MCD (15, 20, 25) =

e) MCD (25, 5) =

c) MCD (27, 36, 6) = f) MCD (36, 9) =

58

7. AUTOAVALUACIÓ

1. Escriu sis múltiples del número 12.

2. Busca tots els divisors dels següents números:

a) D (90) = b) D (18) =

c) D (120) = d) D (150) =

3. Escriu si és vertader (V) o fals (F).

a) El 5 és múltiple d’un.

b) Si 12 i 15 són múltiples de 3, la seva suma també serà múltiple de 3.

c) El 14 es divisor de 7.

d) Si sumem dos divisors de 18, el resultat també serà divisor de 18.

e) El producte de 10 per 15 serà múltiple de 5.

f) Si 5 és divisor de 15 i 15 és divisor de 30, 5 també serà divisor de 30.

4. Completa la xifra (o xifres) que falten per a que el número:

- 26_ sigui múltiple de 3.

- 34_ sigui múltiple de 2 i de 5.



- 150_7 sigui múltiple d’11.

5. Troba tots els nombres primers que hi ha entre 50 i 60.

6. Encercla tots els nombres primers

5, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50

7. Classifica el següents números en primers i compostos.

37 - 87 - 63 - 51 - 29 - 93 - 57 - 139 -143 - 49

8. Descompon en factors primers els següents números i expressa’ls com a producte de

factors.

a) 240 b) 300 c) 165 d) 735 e) 792

9. A quin número corresponen les següents descomposicions factorials?

a) 22 · 3 · 5

2 b) 7 · 3

3 · 2

2 c) 5

3 · 11 d) 2

4 · 3

2 e) 3

2 · 2

3 · 5

10. Calcula el mcm i el MCD d’aquests números.

a) 32 i 40 b) 128 i 160 c) 180 i 450 d) 28, 42 i 70 e) 18, 60 i 80

11. Completa:

a) El mcm (15 i 4) és _________

b) El MCD (15 i 17) és _________

c) Si descomponen en factors primers 15 i 16, quins factors tenen en comú? ___

d) El mcm (60 i 30) és _________

e) El MCD (18 i 9) és ________

59

UNITAT 5 : FRACCIONS

1. CONCEPTE DE FRACCIÓ

1.1 FRACCIONS EQUIVALENTS

1.2 SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS

1.3 ORDENAR FRACCIONS

2. OPERACIONS DE FRACCIONS

2.1 SUMA I RESTA DE FRACCIONS

2.2 MULTIPLICACIÓ DE FRACCIONS

2.3 DIVISIÓ DE FRACCIONS

3. EXERCICIS D’OPERACIONS COMBINADES

4. PROBLEMES AMB FRACCIONS: DIRECTE, INVERS I PART D’UNA PART

5. AUTOAVALUACIÓ

60

1. CONCEPTE DE FRACCIÓ

Les fraccions són conseqüència d’expressar quantitats en les quals els objectes estan

partits en parts iguals.

Una fracció és el quocient de dos nombres. És a dir, és una divisió sense realitzar. Una

fracció representa el valor o nombre que resulta al realitzar aquesta divisió.

Els elements que formen la fracció són:

El numerador: És el nombre de dalt, indica les parts que tenim.

El denominador: És el nombre de baix, indica el nombre de parts que dividim a cada

unitat.

La ratlla de fracció: És l’operació de dividir.

unitatl' dividim que parts

tenimque parts

rdenominado

numerador

Exemples :

61

1. Representa gràficament les següents fraccions, pensa en posar la unitat igual de gran:

a) 6

5

h) 3

6

b) 2

1

i)

3

5

c) 7

3

j)

3

2

d) 5

3

k)

4

7

e) 7

6

l)

4

2

f) 4

5

m)

4

6

g) 10

5

n) 2

3

62

1.1. FRACCIONS EQUIVALENTS

Dues fraccions són equivalents si tenen el mateix valor.

Les Fraccions equivalents tenen el mateix valor, encara que semblin diferents.

Aquestes fraccions són en realitat el mateix:

Per què són el mateix? Perquè quan multipliques o divideixes alhora dalt i baix pel

mateix nombre, la fracció manté el seu valor.

Per calcular si dues fraccions són equivalents és suficient multiplicar o dividir dalt

i baix per un mateix nombre.

·2

2

1 =

4

2 =

8

4

·2

2. Observa la imatge, quines fraccions estan representades?. Són equivalents?.Per què?

3. Calcula dues fraccions equivalents de:

a) 8

4 c)

5

2

b) 3

2 d)

6

1

63

4. Completa:

1.2. SIMPLIFICACIÓ DE FRACCIONS

Simplificar una fracció és transformar-la en una fracció equivalent més simple.

Per a simplificar una fracció dividim numerador i denominador per un mateix

nombre.

Anem a simplificar provant pels nombres: 2, 3, 4, 5, 6, 7, ... És a dir, provant a

dividir numerador i denominador entre 2 mentre es pugui, després passem a

provar amb el 3, i així successivament. Es repeteix el procés fins que no hagi més

divisors comuns.

Quan arribem a una fracció que ja no podem simplificar més, li direm la

irreductible.

5. Simplifica fins la irreductible les següents fraccions:

a) 60

96 =

8

5

24

15

48

30 g)

108

120

b) 9

12 h)

56

84

c) 4

10 i)

96

160

64

d) 6

14 j)

78

130

e) 60

150 k)

70

49

f) 70

63 l)

98

70


a) 150

210 d)

20

15

b) 98

70 f)

15

70

c) 30

25 g)

18

30

1.3. ORDENAR FRACCIONS

Per poder ordenar fraccions abans haurem d’igualar el tamany dels trossos amb

que estem treballant. És a dir, hem d’igualar els denominadors al mcm dels

denominadors.

Exemple

10

7,6

2,15

9 No te perquè ser

15

9 el més gran, comprovem-ho.

mcm ( 10, 6, 15 ) = 30

30,30

,30

Calculem els numeradors = adordeno

mcm

min

)(30· numerador

30

21,30

10,30

18 per tant

30

21>

30

18>

30

10

Per tant, tenim que: 10

7 >

15

9 >

6

2

65

7. Ordena de menor a major les següents fraccions:

a) Exemple fet

4

10,

10

3,

15

4

1r) Calculem el mcm de tots els denominadors

mcm ( 15, 10, 4 ) = 60

2n) Posem tots els denominadors a 60

60

,60

,60

3r) Cerquem el numerador, dividint baix i

multiplicant dalt

( 60 : 15 ) · 4 = 4 · 4 = 16

( 60 : 10 ) · 3 = 6 · 3 = 18

( 60 : 4 ) · 10 = 15 · 10 = 150

60

150,

60

18,

60

16

4t) Els ordenem de menor a major 60

150

60

18

60

16

4

10

10

3

15

4

a) 14

3,

28

15,

4

5 h)

5

4,

8

3,

40

25

b) 21

18,

63

32,

9

7 i)

75

28,

25

49,

45

4,

9

10

c) 4

3,

56

3,

14

3 j)

25

7 ,25

14 ,9

7 ,15

56

d) 7

5,

35

9,

5

3 k)

8

2,

3

1,

5

4,

3

2

e) 70

9,

10

3,

7

1,

14

5 l)

12

7,

9

2,

4

5

f) 6

5,

5

8,

3

1 m)

9

1,

4

3,

5

4,

6

1

g) 9

4,

6

3,

12

2 n)

6

4,

8

3,

4

2

2. OPERACIONS DE FRACCIONS

2.1. SUMA I RESTA DE FRACCIONS

Hi ha dos casos:

1.- Suma o resta de fraccions amb igual denominador

La suma o resta de dues o més fraccions que tenen el mateix

66

denominador és molt senzilla, només cal sumar o restar els numeradors i

es deixa el denominador comú.

Exemple:

Si ajuntem un tros de pastís (1/5), més dos trossos (2/5), tenim tres

trossos (3/5).

2.- Suma o resta de fraccions amb distint denominador

La suma o resta de dues o més fraccions amb diferent denominador és

un poc menys senzilla. Anem pas a pas:

1r) Cerquem el mínim comú múltiple de tots els denominadors:

mcm ( 2, 7) = 14

2n) Posem tots els denominadors amb el mcm

1414

3r) Calculem el numerador amb la fórmula.:

anticr denominado

(mcm)comu r denominado · numerador antic

71·2

14 63·

7

14

14

7 −

14

6 =

67

NOTA: En realitat estem cercant fraccions equivalents:

14

7

2

1 i

14

6

7

3

4t) Es procedeix com suma o resta de fraccions amb igual

denominador.

14

1

14

67

8. Suma les següents fraccions i simplifica el resultat:

Exemple:

6

7

30

35

30

827

30

8

30

27

15

4

10

9

a) 3

4 +

1

12 j)

30

15 +

3

2

b) 2

9 +

1

6 k)

7

20 +

7

60

c) 2

5 +

1

15 l)

3

14 +

1

6

d) 7

9 +

14

45 m)

7

15 +

6

5

e) 1

2 +

5

18 n)

3

5 +

54

35

f) 1

2 +

1

10 o)

2

3 +

4

21

g) 3

14 +

3

2 p)

1

2 +

4

7

h) 3

5 +

9

20 q)

5

7 +

5

42

i) 9

5 +

12

35 r)

5

14 +

5

2

9. Resta les següents fraccions i simplifica el resultat:

a) 56

5

8

3 k)

36

1

18

7

b) 50

4

20

10 l)

36

7

6

7

c) 12

5

4

3 m)

5

1

2

1

68

d) 14

10

2

3 n)

35

6

7

10

e) 15

7

10

7 o)

28

3

4

1

f) 12

1

2

1 p)

63

4

7

5

g) 10

1

5

3 q)

15

7

5

6

h) 10

3

5

6 r)

21

20

7

15

i) 15

12

5

6 s)

20

3

4

5

j) 50

1

5

2 t)

60

7

4

7

2.2. MULTIPLICACIÓ DE FRACCIONS

El producte de dues fraccions és altra fracció de numerador el producte dels

numeradors, i denominador el producte dels denominadors.

En la multiplicació de fraccions, multiplicarem de la següent manera:

db

ca

d

c

b

a

Per exemple:

6

2

2·3

1·2

2

1·

3

2

Recorda: NO hem d’igualar denominadors!

69

10. Fes les següents multiplicacions i simplifica el resultat:

Exemple: 4

1

12

3

24

6

4

2·

6

3

a) 9

3·

8

5 k)

2

9·

14

3

b) 6

7·

10

3 l)

5

6·

3

5

c) 35

3·

5

6 m)

4

4·

7

3

d) 4

1·

21

10 n)

18

5·

2

2

e) 35

9·

6

5 o)

2

1·

16

7

f) 8

2·

5

3 p)

4

3·

8

15

g) 8

9·

14

3 q)

6

70·

10

3

h) 18

5·

2

6 r)

35

3·

5

6

i) 15

16·

3

20 s)

42

21·

21

10

j) 4

24·

7

3 t)

35

14·

12

9

2.3. DIVISIÓ DE FRACCIONS

En la divisió de fraccions, multiplicarem en creu:

cb

da

d

c

b

a:

Per exemple:

12

15

6·2

3·5

3

6:

2

5

Recorda: NO hem d’igualar denominadors!

11. Fes les següents divisions i simplifica el resultat

Exemple: 8

7

16

14

116

27

2

1:

16

7

a) 6

7:

2

1 j)

70

3:

5

3

70

b) 9

20:

2

1 k)

50

2:

25

7

c) 9

1:

18

7 l)

10

9:

2

1

d) 5

2:

25

14 m)

8

7:

6

4

e) 5

2:

10

7 n)

10

1:

2

1

f) 54

1:

7

10 o)

8

5:

14

5

g) 25

2:

3

2 p)

3

20:

9

10

h) 8

1:

4

3 q)

5

7:

5

3

i) 45

4:

9

10 r)

5

7:

25

9

3. EXERCICIS D’OPERACIONS COMBINADES

Recorda la prioritat d’operacions:

1r. 2

n. Parèntesis

2 n

. Multiplicacions i divisions

3 r. Sumes i restes

12. Opera i simplifica:

a) 1

2 +

5

14 ·

1

2 +

1

4 l)

35

6

5

3

2

3

7

3

b) 30

1

15

7

7

4 m)

20

5

30

6

5

3

2

5

c) 7

4

4

8

2

5

2

8 n)

2

1

10

9

35

9

5

3

d) 25

21 +

5

3 :

3

14 +

1

2 o)

3

5

2

4:

3

6

5

3

e) 3

2 +

5

6 +

2

3 +

8

15 p)

5

3

3

1

45

28

9

7

f) 2

1

3

4

5

2:

2

1

4

7 q)

2

5

3

8

4

9

g) 10

5

4

3

5

4

6

4 r)

2

3

4

5

1

3

2

8

h) 38

54

3

25 s) 6

9

4

12

5

8

3:

5

9

71

i) 4

24

7

4

5

3 t) 2

9

1:

3

25

j) 3

4

1

52

5

4

2

9

7

12 u)

4

6

3

1:

12

5

3

1

k) 3

24:

4

1

6

5

3

1

5

8

v)

35

27

2

4

3

4. PROBLEMES AMB FRACCIONS

13. Un vaixell du recorregudes les tres desenes parts d’un viatge de 1 700 milles. Quantes milles li

falten encara per recórrer?

14. Na Marina ha encertat 24 preguntes en un test. Quin era el nombre total de preguntes si els

encerts representen els 2/3?

15. Dels 270 viatgers que ocupen un avió, 1/6 són americans, 2/5 africans i la resta, europeus.

Quants d’europeus viatgen en aquell avió?

16. D’un depòsit d’aigua, en traiem 1/3 del contingut i, després, 2/5 del que hi quedava. Si encara

hi queden 600 litres, quanta aigua hi havia al principi?

17. Tres quartes parts d’un metre de cinta costen 2’10 euros. Quant costen dos metres? i dos metres

i mig?

18. N’Ernest ha recorregut en el seu passeig dues cinquenes parts del camí, que té una longitud

total de 8 km. Quant li falta per arribar al final?

19. Un tren ha cobert ja tres cinquens de l’itinerari. Si encara li falten 85 quilòmetres fins al final,

quina és la longitud total del recorregut?

20. Na Raquel s’ha gastat 3/10 dels seus diners en un còmic. Si encara li queden 21 euros, quants

de diners tenia al principi? Quant li ha costat el còmic?

21. Una família gasta 2/5 del seu pressupost en despeses de casa i 1/3 en menjar. Si en despeses de

casa gasta 5 400 euros anuals, quina quantitat gasta a l’any en menjar?

22. Un camió porta a la caixa 3/8 de fruita, 2/5 de verdura i 1/6 de patates. Volem saber:

a) Quina fracció de la caixa del camió està ocupada.

b) Quina fracció queda lliure.

23. Un vaixell transporta 2500 quilos de pesca congelada. La quarta part és lluç, els 2/5 de la

càrrega són sardines del Cantàbric, i la resta es compon de marisc.

a) Quina fracció del camió està ocupada per marisc?

b) Quants quilos de lluç porta el vaixell?

c) Quants quilos no són sardines?

24. Amb el contingut d’un bidó d’aigua hem omplert 40 botelles de 3/4 de litre. Quants de litres

d’aigua hi havia al bidó?

72

25. Un flascó de perfum té una capacitat d’1/20 litres. Quants de flascos de perfum podem omplir

amb el contingut d’una botella de 3/4 de litre?.

26. D’un dipòsit que contenia 1 000 litres d’aigua, n’hem tret, primer, 1/5 del total i, després, 3/4

del total. Quants de litres hi queden?

27. D’un dipòsit que era ple, n’hem tret, primer, 2/3 del total i, després, 1/5 del total. Si sabem que

encara hi queden 400 litres, quina és la capacitat del depòsit?

28. En Jacint es menja els 2/7 d’un pastís i na Gabriela els 3/5 de la resta. Quina fracció del pastís

s’ha menjat na Gabriela? ¿Quina fracció en queda?

29. N’Aurora surt de casa amb 25 euros. Es gasta 2/5 dels diners en un llibre i, després, 4/5 dels

que li quedaven en un disc. Amb quants de diners torna a casa?

30. Un venedor despatxa, de matí, les 3/4 parts de les taronges que tenia. A l’horabaixa, ven 4/5

de les que li quedaven. Si en acabar el dia encara li’n queden 100 kg, quants de quilos de

taronges tenia?

73

5. AUTOAVALUACIÓ

1. Representa gràficament les següents fraccions:

a) 6

4 b)

5

2 c)

7

4 d)

8

4

2. Dibuixa dues imatges que representin fraccions equivalents.

3. Calcula dues fraccions equivalents de:

a) 3

4 b)

5

2 c)

7

4 d)

6

2


a) 30

40 d)

100

125

b) 180

120 e)

261

174

c) 384

256 f)

360

240

5. Ordena de major a menor:

a) 10

7,

5

3,

2

1 b)

10

7,

5

4,

4

3

6. Suma i resta les següents fraccions. Simplifica el resultat:

a) 5

4 +

3

20 g)

56

4

28

3

b) 7

4 +

7

60 h)

36

1

18

7

c) 32

16 +

2

49 i)

36

8

6

5

d) 15

98 +

3

49 j)

18

2

24

6

e) 3

14 +

9

98 k)

12

3

8

9

f) 3

10 +

7

60 l)

12

1

10

1

74

7. Opera i simplifica:

7

3

5

2

2

1 Solució:

29

70

7

3

5

2

2

1 Solució:

22

35

8

1

5

4·

3

1

2

1 Solució:

77

120

8

1

5

4

3

1

2

1 Solució:

29

40

1 3 42 3

3 2 5 Solució:

119

30

10

11

2

3

5

2

4

7·

3

1 Solució:

1

12

8. Na Maria ha rebut les 4

3 parts d’un terreny de 4500 hectàrees.

a. Quina part del terreny li correspon?

b. En Pere, el seu germà, s’ha quedat la resta. Quina fracció del total li correspon?

9. Na Joana s’ha gastat els 3/5 dels seus estalvis en una cadena musical. Si li ha costat 306€,

quins estalvis tenia?

10. Substitueix els resultats de les operacions per les lletres i descobriràs coses molt sanes , pròpies

de la dieta mediterrània.

3 157 1 5 7 3

5 35 3 8 8 10

8 4 43 1192 7

5 5 6 11

A D E F I L

O P R T U V

12 1

5

1 2

5 5

22

5

1 1

5 10

11

8

1 1 1

2 4 8

16 1

6

910

11

5 1

8 4

3 11

4 4

1 1

2 10

3 14 3

8 2

2 16

3 3

21

3

15 27

18 3

1 24

5 7

910

11

23 20

6 6

26 5

5

75

UNITAT 6: PROPORCIONALITAT NUMÈRICA

1. CONCEPTE DE MAGNITUD I RAÓ ENTRE DOS NOMBRES O QUANTITATS.

2. MAGNITUD DIRECTAMENT PROPORCIONAL

3. MAGNITUD INVERSAMENT PROPORCIONAL

4. PERCENTATGES

5. PROBLEMES

6. AUTOAVALUACIÓ

76

1. CONCEPTE DE MAGNITUD I RAÓ ENTRE DOS NOMBRES O QUANTITATS

Una magnitud és una qualitat o una característica d’un objecte que

podem mesurar. Exemple: longitud, massa, nombre d’alumnes,

capacitat velocitat, etc.

Les magnituds s’expressen en unitats de mesura. Exemples:

metres, quilòmetres, quilograms, grams, litres, metres per segon,

etc.

1. Indica si són magnituds o no:

a) El pes d’un sac de patates.

b) L’afecte.

c) Les dimensions de la teva taula.

d) La bellesa.

e) Els litres d’aigua d’una piscina.

f) El riure.

2. Indica dues unitats de mesura per a cada magnitud:

a) El preu d’una bicicleta.

b) La distància entre dos pobles.

c) El pes d’una bossa de taronges.

d) El contingut d’una ampolla.

e) L’aigua d’un embassament.

f) La longitud de la banda d’un camp de futbol.

Raó entre dos nombres o quantitats:

Una raó és el quocient entre dos nombres qualssevol o quantitats

que es poden comparar.

Si a i b són dos nombres, la raó entre aquests és b

a.

Exemple: Si una capsa de galetes costa 3’6€ i una caixa petita

costa 1’2€, direm que la caixa gran costa 3’6:1’2=3 vegades més

que la caixa petita.

No s’ha de confondre raó amb fracció:

- En una raó, els nombres a i b poden ser nombres naturals i/o

decimals. Per tant, 25

10,

5'3

4,

5

5'2 són raons.

- En una fracció, els nombres a i b són nombres naturals.

3. Calcula la raó entre les magnituds següents:

a) 16 i 2 b) 240 i 80 c) 4’5 i 1’5 d) 25 i 10

4. En un curs hi ha 24 alumnes i 8 mestres. Quantes vegades és major el nombre d’alumnes que el dels

mestres?

77

5. Les habitacions d’en Màrius i la Maria mesuren respectivament 25 2m i 10 2m . Quantes vegades és

major l’habitació d’en Màrius que la de Maria?

6. Calcula el valor de les raons següents:

a) 7

14 b)

25

100 c)

11

33 d)

64

82

2. MAGNITUDS DIRECTAMENT PROPORCIONALS

Dues magnituds són directament proporcionals si en multiplicar-ne

una per un nombre, l’altra queda multiplicada pel mateix nombre.

Exemple: Si un quadern costa 1’5 €, 2 quaderns costaran 3 €. El

nombre de quaderns i el seu preu són directament proporcionals.

Per resoldre problemes de proporcionalitat directa es pot utilitzar la

regla de tres simple directa.

Exemple: En Joan ha comprat 7 quaderns iguals i ha pagat 11’2 €.

Quin és el preu de 10 quaderns?

Nombre de quaderns Preu (€)

7 11’2

10 x

x

211

10

7 ; 102117x ; €16

7

112x

Solució: En total, 10 quaderns m’han costat 16 €.

7. Indica si les magnituds següents són directament proporcionals:

a) El pes de taronges (en quilograms) i el seu preu.

b) La velocitat d’un cotxe i el temps que triga a recórrer una distància.

c) El nombre d’operaris d’una obra i el temps que triguen a acabar-la.

d) El nombre de fulls d’un llibre i el seu pes.

e) El preu d’una tela i els metres que se’n compraran.

f) L’edat d’un alumne o alumna i la seva alçada.

8. Si un lampista cobra 35€ per una hora de feina, quant guanyarà si treballa 12h?

9. Un metre d’una tela determinada costa 5’50€.

a) Quant costa 3m d’aquesta tela?

b) Quants metres podem comprar amb 38’5€?

c) Completa la taula:

Tela(m) 1 2 3 5 6 7

Preu(€) 5’50 22

78

10. L’import de l’aigua consumida per una família durant dos mesos és de 16’13€, corresponent a una

quantitat de 20’16 3m .

a) Quin és el preu d’1 3m d’aigua?

b) Si el consum es manté constant, quant pagarà aquesta família en un any?

11. Completa la taula següent de manera que les dues magnituds siguin directament proporcionals:

1a magnitud 2 4 6 10

2a magnitud 3 6 12 21

12. Si un quilogram de castanyes costa 1’80€:

a) Quant costaran 6kg de castanyes?

b) Quants quilograms de castanyes podrem comprar amb 16’20€?

13. Una màquina fabrica 35 peces en una hora.

a) Quantes peces fabricarà en 3 hores?

b) Quantes hores són necessàries perquè fabriqui 280 peces?

14. Un forner fa 450 barres de pa en 5 dies.

a) Quantes barres de pa fa en 2 dies?

b) En quants dies haurà fet 5400 barres?

15. La Núria camina 3’8 km en una hora. Quant tardarà a recórrer 13 km si manté el ritme constant?

3. MAGNITUDS INVERSAMENT PROPORCIONALS

Dues magnituds són inversament proporcionals si en multiplicar-ne

una per un nombre, l’altra queda dividida pel mateix nombre.

Exemple: Una aixeta aboca 3 litres d’aigua cada minut i triga 15

minuts a omplir-la. Si l’augmentem a 9 litres cada minut, trigarà 5

minuts a omplir-la.

Per resoldre problemes de proporcionalitat directa es pot utilitzar la

regla de tres simple inversa.

Exemple: Deu paletes triguen 45 dies a construir una paret. Si es vol

acabar l’obra en 15 dies, quants paletes faran falta?

Nombre de paletes Dies de feina

10 45

x 15

15

45

10

x ; 104515x ; .30 paletesx

Solució: Per acabar la feina en 15 dies faran falta 30 paletes.

79

16. Indica si les magnituds següents són inversament proporcionals:

a) La velocitat d’un cotxe i el temps que triga a recórrer una distància.

b) El nombre de netejadors d’un edifici i el temps que triguen a fer feina.

c) El nombre de maons d’una paret i la seva alçària

d) El pes de la fruita i els diners que costa.

e) La velocitat d’un corredor i la distància que recorre.

f) El nombre d’aixetes d’un dipòsit i el temps que triga a omplir-se.

17. Completa les taules de valors següents:

a)

5 10 20 4

60 30 25 5

b)

1 2 4

36 12 6 4

c)

8 3 1 6

3 12 4

18. Un dipòsit d’aigua s’omple en 18 hores amb una aixeta de la qual surten 360 litres per minut.

a) Quant trigaria a omplir-se el dipòsit si en sortissin 270 litres per minut?

b) I si en sortissin 630 litres per minut?

4. PERCENTATGES

Significat del percentatge, tant per cent (%):

En la vida diària s’utilitzen els nombres mitjançant expressions de

percentatge:

“ En un ramat de 300 ovelles, el vint per cent, 20%, són de color negre”.

20%=100

20=0’20 ( de cada 100 ovelles, vint són negres).

19. Completa:

% Significat Fracció Valor Es llegeix

7 Set per cent

0’15

25/100

4 de cada 100

20. Expressa els nombres en percentatges:

a) 0’16 b) 0’03 c) 0’625 d) 0’25

e) 5

4 f)

8

7 g)

4

2 h)

20

5

80

Càlcul de percentatges:

Per calcular un percentatge, farem SEMPRE una regla de tres simple

directa:

Exemple: El 10% dels alumnes d’una classe de 20 alumnes porten

ulleres. Quants alumnes porten ulleres?

Total Part

100 10

20 x

x

10

20

100; 1020100x ;

100

200x =2 alumnes

Solució: Porten ulleres 2 alumnes

Càlcul del total:

Exemple: Un autobús de donants de sang du a terme extraccions a 540

persones d’una empresa. Si aquestes suposen el 20% del total de la

plantilla, quantes persones treballen a l’empresa?

Total Part

x 540

100 20

20

540

100

x; 10054020x ;

20

54000x =2700 persones

Solució: Treballen, en total, 2700 persones.

21. Calcula:

a) 37% de 124 b) 15% de 40 c) 85% de 540 d) 45% de 305 e) 25% de 150



23. El nombre de al·lots del total d’alumnes de 1rESO és el 80% del nombre de al·lotes. Si hi ha 30

al·lotes, quants al·lots hi ha?

24.-Calcula els percentatges següents:


25. Completa:

a) El ______________% de 80 és 8.

b) El ______________% de 60 és 12.

c) El ______________% de 70 és 35.

d) El ______________% de 200 és 30.

81

e) El ______________% de 90 és 18.

f) El ______________% de 100 és 80.

g) El ______________% de 200 és 50.

h) El ______________% de 700 és 7.

i) El ______________% de 15 és 3.

j) El _______________% de 25 és 5.

26. Completa:

Fracció Resultat Percentatge (%)

4

1=

0’25 25%

5

2

50%

0’30

40%

5

4

0’15

27. De 500 dones enquestades, 370 afirmen que els agrada el futbol. Expressa aquesta quantitat mitjançant

un percentatge.

28. En una població de 14.000 habitants, el 80% té més de 18 anys. Esbrina el nombre de persones majors

d’edat.

29. Els embassaments d’aigua que abasten la nostra ciutat, amb una capacitat total de 400 km3, es troben

al 27%. Quants km3 d’aigua hi ha, per tant, el dia d’avui?

30. En una població determinada s’envien 50.000 missatges a telèfons mòbils en un dia. Si se n’envien

35.000 al vespre, quin percentatge representen?

31. Avui han faltat a classe a causa del grip el 20% dels alumnes. Si la classe té 25 alumnes, quants han

assistit a classe? Quants han faltat?

32. Na Maria rep el 12% dels doblers de les vendes que fa. Quant haurà de vendre per guanyar 150.000€?

33. Al 70% dels al·lots els agrada veure pel·lícules d’acció. Si 560 al·lots hi varen respondre

afirmativament, calcula a quants d’al·lots se’ls va preguntar.

34. Un DVD costa 350€, però em descompten el 20%. Calcula la quantitat final que he de pagar i quin

descompte aplicat.

35. La paga mensual de na Lluïsa és de 50€. Els seus pares l’hi han pujat un 10%. Quant rep ara?

36. A en Joan li han posat una multa de 90€ per excés de velocitat. Transcorregut el període voluntari de

pagament, ara la hi envien amb un 20% de recàrrec. Quant haurà de pagar?

82

37. En Pere ha comprat roba per valor de 180€. En pagar a la caixa, li fan un 15% de descompte. Quant

pagarà?

38. Una ciutat de 135.000 habitants ha perdut els darrers anys un 8% de població. Calcula els habitants

que té en l’actualitat.

5. PROBLEMES

1. A una pastisseria venen bombons en capses de preu fix. Si sabem que quatre capses pesen dos Kg.,

completa la taula de valors:

Nombre de capses 1 2 3 4 5 6

Pes en Kg

2. En Xisco ha pagat 30 cèntims per cinc fotocòpies. Si sabem que cada fotocòpia té un preu fix, completa

la taula següent:

Nombre de fotocòpies 1 2 3 10 18 23

Cost

3. Digués quins parells de magnituds són directament proporcionals:

a) El pes de les taronges comprades i els diners que paguem per elles.

b) L’edat d’un nen i la seva altura.

c) L’espai recorregut per un camió que va a 80 km/h i el tems que triga en recórrer-lo.

d) La talla d’un pantalons i el seu preu.

e) El temps que està oberta una aixeta i la quantitat d’aigua que surt.

f) El gruix d’un llibre i el seu preu.

g) El nombre de persones que va amb l’autobús i els diners que cobra el conductor.

h) La quantitat de pinso que gasta un granger a la setmana i el nombre de vaques que té.

i) El temps que tenim que una garrafa està omplint-se i la quantitat d’aigua que recollim.

4. Una premsa extreu 2 litres d’oli per cada 9 kg d’olives, quant de kg de les mateixes olives es necessiten

per omplir una garrafa de 30 litres?

5. Na Montse ha pagat 2’76 € per 230 gr de formatge. Que pagarà n’Andreu per un tros d’aquest mateix

formatge que ha pesat 315 gr?

6. A la mateixa hora que un bastó de 1’25 m d’alçada fa una ombra de 2 m, el Monument d’En Cristòfol

Colom fa una ombra de 94’4 m. Calcula l’altura del monument.

83

7. Un cotxe gasta combustible per valor de 4’6 € cada 4 km. ¿Quant costarà el combustible gastat en un

viatge de 270 km si es manté el mateix consum per km?

8. D’una fàbrica surten dos camions, un amb 250 TV i l’altre amb 375 TV iguals als anteriors. Si el pes

del primer camió és de 3.125 kg, calcula el pes del segon camió.

9. Amb l’oli que té un dipòsit s’omplen mil botelles de dos litres. Quantes botelles de cinc litres es

podrien omplir amb el mateix dipòsit?

10. Hem tardat 6 min. per omplir en una font una garrafa de 30 l d’aigua, ¿quant de temps tardarem per

omplir un altre garrafa de 16 litres?

11. Si cinc quaderns ens han costat 42’50 €, calcula quants d’€ valdran 12 quaderns iguals.

12. Uns cavallets fan 18 voltes en 3 minuts:

a) Quin temps trigaren per fer una volta?

b) Quin temps trigaran per fer 21 voltes?

13. Per ensacar 270 kg de patates hem necessitat 6 sacs iguals. Calcula el pes de patates que hi haurà en 5

d’aquests sacs.

14. Per 4 menús del dia s’han pagat 38’00 €. Calcula el cost de 11 d’aquests menús.

15. Na Rosa amb 38’50 € ha comprat 3 tubs de cola que estaven d’oferta. ¿Què li costarà a Na Pilar si en

vol comprar 7 tubs?

16. En una cadena de muntatge es tarda una hora en fabricar 20 peces, ¿quants temps tardaran per fabricar

5.800 d’aquestes peces?

17. Dues pales excavadores fan una sèquia de conducció d’un cable elèctric en 10 dies. Quan tardaran si el

fan 7 pales?

18. Una fàbrica d’automòbils ha produït 8.100 vehicles en 60 dies. Si es manté aquests ritme de producció,

quants d’unitats es fabricaran en un any?

19. Un taxi que va a una velocitat de 100 km/h. Necessita 20 minuts per cobrir una distància entre dos

pobles. ¿Què tardaria si la velocitat fos de 80 km/h?

20. Cada participant d’un concurs televisiu rep una quantitat de diners inversament proporcional a les

errades que fan. Un concursant que fa 5 errades rep 1000 € ¿Què guanyarà un concursant que fa dues

errades?

21. Una granja té pinso per alimentar 600 gallines durant 2 mesos. Calcula el nombre de gallines d’una

altra granja en la que el pinso dura 3 mesos.

22. El plànol d’una casa marca que el saló fa 10 cm de llarg i 7 cm d’amplària . A la realitat el saló fa 5

metres d’ample. Calcula els metres que farà realment de llarg aquesta casa.

23. Un camió ha recorregut 12’4 km en 8 min. Calcula la velocitat en km per hora.

24. Un taller d’ebenisteria, si treballa 8 hores diàries pot servir una demanda en 6 dies. quantes hores

diàries necessitarà treballar per servir la mateixa demanda en tres dies?

84

25. He recorregut el 7% d’una autopista de 420 km. Calcula els km que ja he recorregut.

26. Es vol repoblar un 20% d’un bosc amb arbres coníferes. Si el bosc té una superfície de 5 Ha, calcula

els metres quadrats que es repoblaran.

27. El 15 % d’una plantilla de futbol està lesionada. Si la plantilla es de 20 jugadors, de quants de jugadors

disposa l’entrenador?

28. Estan aparcats 280 cotxes i ens diuen que el 35% són de color blanc. Calcula:

a) El nombre de cotxes blancs.

b) El nombre de cotxes que tenen un altre color.

29. Sobre un prestatge hi havia 280 gots i se acaben de rompre el 80% . Es vol saber:

a) El nombre de gots romputs.

b) El nombre que han quedat sencers.

c) La pèrdua econòmica si cada got té un preu de 0’35 €.

30. Un comerciant ha venut aquesta setmana 18 vestits dels 350 que tenia. Calcula:

a) El % de vestits venuts.

b) Quin % li queden fora vendre?

31. Cada vestit del exercici anterior dona un benefici del 60 % . Es ven cada un d’ells a 45 €, calcula:

a) El benefici que dona cada vestir.

b) El benefici que tindrà el comerciant si ven tots els vestits.

32. El preu de fàbrica d’una camisa és de 27 €. El comerciant l’hi ha de afegir el 16 % d’ IVA. Calcula el

valor dels imposts.

33. La propaganda d’un cotxe diu que el preu és de 18.500 €. Calcula el preu final afegint-li l’ IVA.

34. He anat a comprar una motocicleta que val 1.160 € segons la propaganda. Ara em diuen que li falta

afegir-li l’IVA. Calcula el preu final de aquesta motocicleta.

35. Conta els alumnes que hi ha dintre l’aula. Escriu el nombre de nins i nines per separat:

a) Calcula el % de nins de l’aula.

b) Calcula el % de nines de l’aula.

36. S’espera que una població que té actualment 40.000 habitants augmenti un 40%. Quants d’habitants

tindrà?

37. Un treballador té un sou de 980 € i l’hi augmentaran un 9%. Calcula el nou sou que tindrà.

38. Una ciutat té 98.000 habitants dels quals el 72% són europeus, el 6% són asiàtics, el 8% africans i la

resta americans. Calcula:

a) El % d’americans.

b) el nombre d’europeus.

c) El nombre d’asiàtics.

d) El nombre d’africans.

85

e) El nombre d’americans.

39. La propaganda d’unes rebaixes diu: La roba està rebaixada un 15%, les sabates un 12% i els

complements un 8%. Calcula que pagaré per:

a) Unes sabates de 38 €.

b) Una cartera de 55 €.

c) Uns guants de 18 €.

d) Uns pantalons de 27 €.

e) unes sandàlies de 34 €

f) unes botes de 58 €.

40. Escriu i resol un problema de la vida real relacionat amb els esports on surtin percentatges.

41. Escriu i resol un problema de la vida real que es resolgui amb una regla de tres directa .

42. Escriu i resol un problema de la vida real calculant un %.

86

6. AUTOAVALUACIÓ

1. Si per 23 fotocòpies he pagat 1’15€, per 67 fotocòpies al mateix preu pagaré:

a) 2’3€ b) 3€ c) 3’35€ d) 33’5€

2. Cinc entrades costen 21€. El preu, en euros, de 7 entrades serà:

a) 29’4€ b) 147€ c) 210€ d) 294€

3. Si tres bombes d’aigua tarden 12 dies a buidar un dipòsit, 4 bombes d’aigua tardaran:

a) 48 dies b) Més dies c) Menys dies d) 9 dies

4. El 20% de 550 és:

a) 11 b) 5’5 c) 20 d) 110

5. Un telèfon mòbil que costava 59€ s’ha venut per 53’10€. El descompte, en tant per cent, aplicat a

la venda ha estat:

a) 5% b) 15% c) 10% d) 2%

6. Un rellotge costa 56€. D’aquest preu, el 12% correspon a l’IVA. El preu, en euros, sense impostos,

és:

a) 46’60€ b) 50€ c) 67’20€ d) 44€

7. M’han augmentat la paga un 5%. Si abans em donaven 15€, ara em donaran:

a) 0’75€ b) 15’75€ c) 15’50€ d) 16€

87

UNITATS 7 : ELEMENTS BÀSICS DEL PLA. CIRCUMFERÈNCIA I

CERCLE

1. RECTES. POSICIONS RELATIVES.

2. MEDIATRIU D’UN SEGMENT.

3. BISECTRIU D’UN ANGLE.

4. ANGLES. TIPUS D’ANGLES. PROPIETATS

5. OPERACIONS AMB MESURES D’ANGLES (SISTEMA SEXAGESIMAL)

6. CIRCUMFERÈNCIA. ELEMENTS BÀSICS. POSICIONS RELATIVES.

7. AUTOAVALUACIÓ

88

1. RECTES. POSICIONS RELATIVES.

Una recta és una línia no corba que no té ni principi ni final.

Un segment és un tros de recta, amb principi i final.

A B

Qualsevol segment es pot mesurar amb el regle. A més podem calcular el

punt mitjà del segment.

POSICIONS RELATIVES ENTRE DUES RECTES:

Paral·leles: les rectes no tenen cap punt comú

Perpendiculars: les rectes formen un angle recte

Obliqües: les rectes es tallen en un punt

Coincidents: les rectes coincideixen en tots els seus punts

Es recomana fer els dibuixos amb regle i cartabó.

1. Traça, amb regle i compàs, una recta perpendicular a r des del punt P, i una altra pel punt Q.

2. Utilitzant només el compàs, ordena de més gran a més petit els segments següents:

3. Dibuixa una recta qualsevol, (anomena-la a) i un punt exterior a ella (anomena'l B), amb regle i

compàs dibuixa una recta perpendicular a la recta a i que passi pel punt B. Explica perquè la

construcció es fa així.

4. Dibuixa una recta qualsevol, (anomena-la a) i un punt exterior a ella (anomena'l B), amb regle i

compàs dibuixa una recta paral·lela a la recta a i que passi pel punt B. Explica perquè la construcció es

fa així.

P

Q

89

2. MEDIATRIU D’UN SEGMENT.

La mediatriu d’un segment és la recta perpendicular al segment en el punt

mitjà.

Per dibuixar-la hem d’utilitzar el regle i el compàs:

El compàs l’obrim amb una obertura una mica més gran que la

meitat del segment.

Des de l’extrem A del segment i amb el compàs fem una marca

dalt i baix del segment.

Des de l’extrem B del segment i amb el compàs fem una marca

dalt i baix de l’extrem.

Unim els punts que ens han sortit i ja tenim la mediatriu.

5. Contesta:

a) Escriu amb precisió la definició de la mediatriu d'un segment.

b) Escriu la propietat que compleixen tots els punts que formen la mediatriu d'un segment.

c) Dibuixa, utilitzant un regle i un compàs, un segment qualsevol i la seva mediatriu.

Explica perquè la construcció es fa així.

6. Explica com es dibuixa el punt mitjà d'un segment amb regle i compàs.

3. ANGLES. TIPUS D’ANGLES. PROPIETATS.

Un angle és l’obertura entre dues rectes que es tallen.

A un angle trobem: vèrtex, costats i l’angle que es mesura amb el

semicercle.

7. Completa l'esquema al teu quadern amb aquests termes: costat, costat, angle, vèrtex. I mesura amb el

semicercle aquest angle.

90

TIPUS D’ANGLES:

Angle pla: és un angle que mesura 180º.

Angle recte: és un angle que mesura 90º.

Angle agut: és un angle que mesura menys de 90º.

Angle obtús: és un angle que mesura més de 90º.

.

8. Marca al teu quadern una creu on correspongui

Angles Obtús Agut

120° x

99º

12°

190º

240°

75º

9. Utilitza el semicercle per a mesurar els angles següents i digues quin tipus d’angles són:

Altres angles que cal remarcar:

Angles complementaris: són angles que sumen 90º.

Angles suplementaris: són angles que sumen 180º.

Angles consecutius: són angles que tenen el mateix vèrtex i un

costat comú.

Angles adjacents: són angles consecutius i suplementaris.

Angles oposats: quan els costats són semirectes oposades als de

l’altre.

10. Assenyala el valor de cada angle:

91

11. Indica en quins casos els angles A i B són adjacents:

12. Relaciona els angles amb les seves mesures

Angle pla 360°

Suma d'angles complementaris 180°

Angle complet 90°

Suma d'angles suplementaris 90°

Angle recte 180°

13. Traça, amb el transportador, els angles de 30°, 45°, 60° i 75°. Construeix-ne els complementaris i

calcula’n les mesures.

14. Traça, amb el transportador, els angles de 120°, 135°, 150° i 165°. Construeix-ne els suplementaris i

calcula’n les mesures.

15. Dibuixa un angle de 120°. Traça tres rectes de forma que divideixin l’angle en quatre parts iguals.

16. Els angles d'un escaire fan 90°, 45° i 45°, i els d'un cartabó fan 90°, 60° i 30°. Observa les imatges i

calcula els angles demanats

Cal remarcar dues propietats importants:

A un triangle la suma de tots els angles és de 180º.

A un quadrilàter la suma de tots els angles és de 360º (ja que són

dos triangles).

92

17. Un dels angles d’un triangle mesura 47°, i un altre, 36°. Quant mesura el tercer angle?

18. Calcula en cada cas l'angle que falta:

19. Calcula el valor de l’angle o dels angles que demanam en cada figura:

20. Troba el valor dels angles indicats:

4. BISECTRIU D’UN ANGLE.

La bisectriu d’un angle és una semirecta que divideix a l’angle en dos

angles iguals.

Per dibuixar-la hem d’utilitzar el regle i el compàs:

Amb el compàs i una obertura qualsevol fem una marca des del

vèrtex (apareixen A i B)

Des d’A fem una altra marca dins de l’angle.

Des de B fem una altra marca dins de l’angle.

Unim el punt que ha sortit amb el vèrtex de l’angle i ja tenim la

bisectriu.

21. Dibuixa un angle qualsevol i, amb regle i compàs, dibuixa la bisectriu d'aquest angle. Explica aquesta

construcció.

93

5. OPERACIONS AMB MESURES D’ANGLES (SISTEMA SEXAGESIMAL)

SUMA: Per sumar angles sumarem per separat els segons, els minuts i els

graus. El resultat s’ha de convertir, ja que no hi pot haver més de 59” ni

més de 59’.

Per exemple: 3º 12’ 43”

+ 4º 34’ 24”

7º 46’ 67”

Resultat: 7º 47’ 7”

22. Calcula:

a) 35º 27’ 15” + 75º 37’ 63” =

b) 42º 32’ 13” + 24º 27’ 74” =

c) 32º 25’ 43” + 37’ 55” =

d) 54º 43’ 21” + 43º 74” =

e) 45’ 48” + 17º 74’ =

f) 81º 53’ + 32º 12’ 45” =

RESTA: Per restar angles restarem per separat els segons, els minuts i els

graus, sempre que sigui possible. En cas contrari, convertirem la resta per

poder realitzar-la, com ho fem a l’exemple.

El resultat s’ha de convertir, ja que no hi pot haver més de 59” ni més de

59’.


- 4º 34’ 24”

NO PUC PERQUÈ 13” < 24”,

Com 1’ = 60”

7º 11’ 73”

- 4º 34’ 24”

NO PUC PERQUÈ 11’ < 34”

Com 1º = 60’

6º 71’ 63”

- 4º 34’ 24”

2º 37’ 39”


23. Calcula:

a) 14º 27’ 15” + 5º 7’ 23” =

b) 52º 42’ 33” – 24º 27’ 74” =

c) 22º 45’ 25” + 37’ 55” =

d) 34º 33’ 21” – 23º 74” =

e) 35’ 28” + 17’ 74” =

94

24. Calcula:

a) 8º 7’ 5” – 5º 17’ 23” =

b) 32º 12’ 27” – 24º 27’ 54” =

c) 39º 25’ 35” – 37’ 55” =

d) 54º 13’ 28” – 23º 74” =

e) 27’ 18” – 17’ 74” =

f) 31º 23’ – 12º 54’ =

MULTIPLICACIÓ PER UN NOMBRE: Per multiplicar angles per un

nombre multiplicarem per separat els segons, els minuts i els graus. El

resultat s’ha de convertir, ja que no hi pot haver més de 59” ni més de 59’.


· 2

14º 24’ 26”


25. Calcula:

a) 8º 7’ 5” · 4 =

b) 32º 12’ 27” · 5 =

c) 39º 25’ 35” · 7 =

d) 54º 13’ 28” · 12 =

e) 27’ 18” · 9 =

f) 31º 23’ · 10 =

DIVISIÓ PER UN NOMBRE: Per dividir angles per un nombre

dividirem per separat els graus, i el residu es passa a minuts i els sumem

amb els minuts que hi ha; els minuts, i el residu es passa a segons i els

sumem amb els segons que hi ha; i els segons. El resultat s’ha de

convertir, ja que no hi pot haver més de 59” ni més de 59’, i el residu són

segons.

Per exemple: 7º 12’ 13” : 2

7º : 2 = 3º RESIDU 1º = 60’

12’ + 60’ = 72’ : 2 = 36’ RESIDU 0’

13” : 2 = 6” RESIDU 1”

Resultat: 3º 36’ 6” RESIDU 1”

95

26. Calcula:

a) 8º 7’ 5” : 2 =

b) 32º 12’ 27” : 3 =

c) 39º 25’ 35” : 5 =

d) 54º 13’ 28” : 11 =

e) 27’ 18” : 9 =

f) 31º 23’ : 6 =

27. Descobreix quant té l’angle d’un pentàgon regular contestant les preguntes següents:

a) Quant té l’angle central?

b) Per tant, quant té l’angle marcat en vermell?

c) Per tant, quant té l’angle del pentàgon?

6. CIRCUMFERÈNCIA. ELEMENTS BÀSICS. POSICIONS RELATIVES

La circumferència és la línia que envolta al cercle.

Els elements de la circumferència són:

RADI: És el segment que uneix el centre amb qualsevol punt de la

circumferència.

CORDA: És el segment que uneix dos punts qualsevol de la

circumferència.

DIÀMETRE: És una corda que passa pel centre (mesura el doble del

radi).

ARC: Porció de la circumferència compresa entre dos punts.

ANGLE CENTRAL: És un angle que té el vèrtex al centre de la

circumferència.

ANGLE INSCRIT: És un angle que té el vèrtex sobre la circumferència i

els costats la tallen (l’angle inscrit és la meitat de l’angle central

corresponent).

28. Quina propietat compleixen els punts que formen una circumferència?

96

29. Assenyala cada element de la circumferència:

30. Quina és la amplitud del angles marcats amb un interrogant:

31. Quina és la amplitud del angles α i β en cada cas:

97

32. Troba el valor de cada un dels sis angles indicats:

33. Calcula el valor de l’angle o dels angles que demanem en cada figura:

34. El triangle I és equilàter. Els triangles II són isòsceles. Calcula la mesura dels angles A,B i C:

98

POSICIONS RELATIVES ENTRE DUES CIRCUMFERÈNCIES:

EXTERIORS: Les dues circumferències no tenen cap punt en

comú, i la distància entre centres és major que la suma dels radis.

SECANTS: Les dues circumferències es tallen en dos punts.

INTERIORS: Una de les circumferències està dins de l’altra.

CONCÈNTRIQUES: Són dues circumferències interiors on la

distància entre centres és zero.

TANGENTS EXTERIORS: Són dues circumferències exteriors

que tenen un punt en comú.

TANGENTS INTERIORS: Són dues circumferències interiors que

tenen un punt en comú.

35. Quina es la posició relativa de cada parell de circumferències:

36. Com és la distància entre els centres de dues circumferències en relació als radis?

99

POSICIONS RELATIVES ENTRE UNA CIRCUMFERÈNCIA I UNA

RECTA:

RECTA EXTERIOR: La recta i la circumferència no tenen cap

punt comú.

RECTA TANGENT: La recta i la circumferència tenen un punt en

comú.

RECTA SECANT: La recta i la circumferència tenen dos punts en

comú.

37. Fes un dibuix de cadascuna de les posicions relatives entre una circumferència i una recta.

100

7. AUTOAVALUACIÓ

1. En aquest triangle:

a) Pinta els costats d’un color, els angles d’un altre i els vèrtexs d’un altre diferent.

b) Mesura els costats amb el regle. El costat més gran és més petit que la suma dels altres dos

costats.

c) Calcula l’angle que demanem, sense utilitzar el semicercle.

2. Dibuixa un angle de 65º i la seva bisectriu.

3. Calcula:

a) 36º 19’ 11” + 7º 40’ 23”=

b) 36º 29’ 11” – 31º 41’ 20”=

c) ( 11º 23’ 41” ) · 3=

d) ( 187º 41’ 46” ) : 9=

4. Quant mesuren els angles restants:

5. De l’exercici anterior:

a) A i B són suplementaris? Justifica la teva resposta.

b) D i E són oposats? I D i F són oposats? Justifica la teva resposta.

c) Com són D i E? Justifica la teva resposta.

d) Com són les rectes r i s? Justifica la teva resposta.

101

6. Dibuixa tots els tipus d’angles que coneixes.

7. Dibuixa un segment de 8’5 cm i la seva mediatriu. Assenyala el punt mitjà.

8. Dibuixa una circumferència de 3 cm de radi.

9. Quina relació hi ha entre el radi i el diàmetre d’una circumferència?

10. Dibuixa dues circumferències tangents interiors i dues circumferències tangents exteriors.

102

UNITAT 8: PERÍMETRES I ÀREES

1. DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DELS POLÍGONS

2. ÀREES I PERÍMETRES DELS POLÍGONS

2.1. ÀREA I PERÍMETRE DEL TRIANGLE.

2.2. ÀREA I PERÍMETRE DELS QUADRILÀTERS

2.2.1. ÀREA I PERÍMETRE DEL QUADRAT

2.2.2. ÀREA I PERÍMETRE DEL RECTANGLE

2.2.3 ÀREA I PERÍMETRE DEL ROMBE

2.2.4 ÀREA I PERÍMETRE DEL PARAL·LELOGRAM

2.2.5 ÀREA I PERÍMETRE DEL TRAPEZI

2.3. ÀREA I PERÍMETRE DELS POLÍGONS REGULARS

3. ÀREA I PERÍMETRE DEL CERCLE

4. AUTOAVALUACIÓ.

103

1. DEFINICIÓ I CLASSIFICACIÓ DELS POLÍGONS:

Un polígon (ve del grec i vol dir “molts angles”) és una figura plana tancada per

segments rectilinis. Cada un d’aquests segments s’anomena costat i la unió de dos

costats s’anomena vèrtex.

Els polígons que tenen tots els seus costats i angles iguals els diem regulars.

CLASSIFICACIÓ DELS POLÍGONS SEGONS EL NOMBRE DE COSTATS

nombre de costats nom nombre de costats nom

3 Triangle 8 Octàgon

4 Quadrilàter 9 Enneàgon

5 Pentàgon 10 Decàgon

6 Hexàgon 11 Hendecàgon

7 Heptàgon 12 Dodecàgon

... ... ... ...

20 Icosàgon n n-àgon

En aquest tema estudiarem les àrees i perímetres dels triangles, quadrilàters, polígons regulars i del

cercle. Recordem la classificació dels quadrilàters

Els quadrilàters es classifiquen segons el nombre de costats oposats paral·lels:

* Si té els costats oposats paral·lels, dos a dos, li direm paral·lelogram. Dins dels

paral·lelograms ens trobem:

Si té els costats paral·lels sense costats ni angles iguals, li direm romboide.

Si té tots els costats iguals, li direm rombe.

Si té tots els angles iguals, de 90º, li direm rectangle.

I si té tots els costats i els angles iguals, li direm quadrat.

* Si té dos costat oposats paral·lels, li direm trapezi.:

* Si no té cap costat paral·lel ni els angles iguals, li direm trapezoide.

104

2. ÀREES I PERÍMETRES DELS POLÍGONS

Recorda:

El perímetre d’un polígon és la suma de les longituds dels costats.

L’àrea d’un polígon és la mida de la seva superfície.

2.1 ÀREA I PERÍMETRE DEL TRIANGLE

ÀREA DEL TRIANGLE:

2

·hbA

PERÍMETRE DEL TRIANGLE:

cbaP

Exemple:

Calcula l’àrea del triangle següent:

25'38

2

7·11cmA

Calcula el perímetre del triangle:

cmP 5'295'71111

1. De camí de casa a l’escola veus molts triangles i quadrilàters. Dibuixa tres objectes dels que has vist i

indica el seu nom.

2. Calcula l’àrea d’aquests dos triangles:

a) b)

3 dm 4 dm 6’5 m

4 dm 4’5 m

105

2.2. ÀREA I PERÍMETRE DELS QUADRILÀTERS

2.2.1 ÀREA I PERÍMETRE DEL QUADRAT

ÀREA DEL QUADRAT

llA ·

PERÍMETRE DEL QUADRAT:

lllllP ·4

Exemple:

Calcula l’àrea del quadrat següent.:

2255·5 cmA

Calcula el perímetre del quadrat:

cmP 205555

3. La taula on treballes fa 170 cm de llarg i 85 cm d’ampla. Quants m2

d’àrea té? Quin perímetre té la

taula?

4. Calcula la mesura de la superfície i del perímetre de la tapa del llibre de matemàtiques. Mesura les dues

dimensions i expressa l’àrea en centímetres quadrats.

5. Dibuixa un quadrat de 3 cm de costat i calcula la seva àrea i el seu perímetre.

6. Una parcel·la de forma quadrada està tancada per un filat de 240 metros de longitud. Quina superfície

té la parcel·la?

7. Calcula l’àrea de la figura acolorida, tenint en compte que el costat del quadrat gros és de 8cm i el del

quadrat petit és de 3 cm.

106

2.2.2. ÀREA I PERÍMETRE DEL RECTANGLE

ÀREA DEL RECTANGLE:

hbA ·

PERÍMETRE DEL RECTANGLE:

hlhbhbP 2·2

Exemple:

Calcula l’àrea del rectangle de base 10 cm. I d’altura 6 cm.:

2606·10 cmA

Calcula el perímetre del rectangle:

cmP 32610610

8. Calcula l’àrea i el perímetre dels següents rectangles.

a)

b)

9. Dibuixa en el teu quadern un rectangle de costats 2 cm i 4 cm. Calcula la seva àrea i el seu perímetre.

107

2.2.3 ÀREA I PERÍMETRE DEL ROMBE

ÀREA DEL ROMBE:

2

·dDA

PERÍMETRE DEL ROMBE:

lllllP ·4

Exemple:

Calcula l’àrea del següent rombe:

22402

16·30cmA

Calcula el perímetre del rombe:

cmP 6817171717

10. Calcula l’àrea d’un rombe de diagonals 12 cm i 25 cm respectivament.

11. Calcula l’àrea i el perímetre del següent rombe:

108

2.2.4 ÀREA I PERÍMETRE DEL PARAL·LELOGRAM

ÀREA DEL PARAL·LELOGRAM:

hbA ·

PERÍMETRE DEL PARAL·LELOGRAM:

bababaP ·2·2

Exemple:

Calcula l’àrea del següent paral·lelogram:

2164·4 cmA

Calcula el perímetre del paral·lelogram:

mP 175'445'44

12. Calcula el perímetre i l’àrea del paral·lelogram:

9 cm

5 cm 4 cm

13. Calcula el perímetre i l’àrea del següent paral·lelogram:

109

2.2.5 ÀREA I PERÍMETRE DEL TRAPEZI

ÀREA DEL TRAPEZI:

2

)·( hbBA

PERÍMETRE DEL TRAPEZI:

P = suma de tots els costats

Exemple:

Calcula l’àrea del trapezi següent:

228

2

56

2

4)·410(cmA

Calcula el perímetre del trapezi:

cmP 2451054

14. Calcula l’àrea d’un trapezi de bases 9 cm i 5 cm i altura 3’5 cm.

15. Un solar en forma de trapezi té de bases 16 m i 8 m, i l'altura del trapezi és de 3 m. Calcula'n l'àrea.

16. Calcula el perímetre i l’àrea del següent trapezi:

110

2.3. ÀREA I PERÍMETRE DELS POLÍGONS REGULARS

ÀREA DEL POLÍGON REGULAR: ( Pentàgon, hexàgon, heptàgon...)

L’àrea d’un polígon regular es calcula multiplicant el perímetre del polígon per

l’apotema i dividint per 2.

a = apotema l = costat n = nombre de costats

2

·aperímetreA

PERÍMETRE DEL POLÍGON REGULAR:

lnP · = suma de tots els costats

Exemple:

Calcula l’àrea del triangle següent:

24'302

2

4,8·72cmA

Calcula el perímetre del triangle:

cmP 7212121212121212·6

17. Un hexàgon regular de 60 dm de perímetre té una apotegma de 8’66 dm. Calcula l’àrea de l’hexàgon.

18. Un pentàgon regular de 12 cm de costat té una apotegma de 10’4 cm. Calcula l’àrea.

19. Calcula l’àrea i el perímetre de la següent figura:

l = 5cm

a = 6cm

111

3. ÀREA I PERÍMETRE DEL CERCLE

ÀREA DEL CERCLE

r = radi d = diàmetre П = 3’1416

A= П · r2 r = d/2

PERÍMETRE DEL CERCLE

P = 2·П ·r

Exemple:

Calcula l’àrea del cercle següent:

A= П · 452= 3’1416 · 45

2= 6361’74 cm

2

Calcula el perímetre del cercle:

P = П · 90 = 3’1416 · 90 = 282’74 cm

20. Calcula l’àrea de la part acolorida de la figura següent, sabent que el radi del cercle és 2cm.

21. Calcula el perímetre de la següent circumferència:

112

4. AUTOAVALUACIÓ

1.- Marca la resposta correcta: L'àrea d'un quadrat de 6 cm de costat és:

a) 12 cm 2

b) 36 cm2

c) 12 cm d) 24 cm

2.- Quines són les dues longituds que cal multiplicar per tal que l’àrea d’un paral·lelogram sigui 350 dm2?

a) 3’5 m i 10 dm b) 35 m i 1 m c) 0’35 dm i 10 dm d) 35 dm i 10 dm

3.- Calcula el perímetre i l`àrea del següent quadrat:

4.- Calcula el perímetre i l’àrea de les següents figures planes:

5.- Escriu el nom de cada figura, indica i calcula la fórmula de l’àrea.

a)

Nom de la figura:

Fórmula de l’àrea:

Càlcul de l’àrea:

113

b)

Nom de la figura:



c)

Nom de la figura:



d)

e)

Nom de la figura:



Nom de la figura:



6. Calcula el perímetre i l’àrea d’una circumferència de 16 cm de diàmetre.

7. Calcula el perímetre i l’àrea d’un hexàgon de 32 cm de costat.

8. Calcula el perímetre i l’àrea del següent triangle.

9. Un camp de futbol fa 150 m de llarg i 75 m d’ample. Calcula el seu perímetre i la seva àrea.

10. Un CD té un radi de 5 cm. Calcula el seu perímetre i la seva àrea.

114

11. Calcula el perímetre i l’àrea de les següents figures:

12. Calcula l’àrea i el perímetre de les figures següents:

A. B.

C. D.

E. F.

G.

H.

115

13. Calcula l’àrea de la següents figures:

14. Calcula el perímetre i l’àrea de la següent figura.

15. Volem graffitejar una paret rectangle de 25 m x 48 dm. Amb cada esprai, que costa 5 euros, podem

pintar 3 m2. Quin cost tindrà aquest graffiti?

16. Calcula l’àrea de les següents figures.

116

17. Calcula les àrees i els perímetres de les figures següents:

a) Un rectangle de costats 6 cm i 8 cm.

b) Un rombe de diagonals 16 cm i 10 cm.

c) Un triangle isòsceles de base 8 cm i d’altura 10 cm.

d) Un heptàgon de 8 cm d’apotema i 10 cm de costat.

e) Un rectangle de 8 cm de base i 12 cm de diàmetre.

f) Un triangle rectangle de 4 cm de base i 5 cm d’hipotenusa.

g) Un cercle de 18 cm de diàmetre.

h) Un trapezi isòsceles de 12 cm i 6 cm de bases i 5 cm de costat lateral.

i) Un hexàgon de 10 cm de costat (NOTA: a l’hexàgon mesura igual el costat que el radi)

18. Calcula l’àrea de la següents figures:

9cm

6cm

8cm

6cm

6cm

16cm

6cm

12cm

8cm 12cm

5cm

10cm

10cm

6cm

6cm

18cm

12cm

4cm

8cm

20cm

8cm

20cm

5cm

m

10cm

6cm

117

UNITAT 9: FUNCIONS: TRACTAMENT DE LA INFORMACIÓ

1. INTRODUCCIÓ ALS NOMBRES ENTERS

2. COORDENADES CARTESIANES EN EL PLA

3. TAULES I GRÀFICS DE FUNCIONS

4. INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS ESTADÍSTICS

4.1. INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA

4.2. DIAGRAMA DE BARRES

4.3. DIAGRAMA DE SECTORS

5. PROBLEMES

6. AUTOAVALUACIÓ

118

1. INTRODUCCIÓ ALS NOMBRES ENTERS

El conjunt format pels nombres positius (+1,+2,+3,...), el nombre 0 i els

nombres negatius (-1,-2,...) rep el nom de conjunt de nombres enters, es

representa amb el símbol Z.

Per tant: Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}

Per sumar i restar enters aplicarem la següent regla:

Si tenen el mateix signe, SUMEM i deixem el mateix signe.

+ 3 + 5 = + 8

– 2 – 3 = – 5

Si tenen distint signe, RESTEM i deixem el signe del més gran.

+ 6 – 2 = +4

+ 3 – 8 = – 5

1. Calcula:

1) +3 – 4 =

2) 6 + 2 =

3) 3 + 5 =

4) –7 – 8 =

5) +3 – 1 =

6) +2 + 7 =

7) –6 – 2 =

8) +4 – 9 =

9) –3 – 5 =

10) –2 + 5 =

11) +4 – 9 =

12) +2 + 6 =

13) –3 + 7 =

14) –8 – 3 =

15) –2 + 6 =

16) +7 – 4 =

17) +2 – 8 =

18) –4 – 1 =

19) –5 + 9 =

20) +5 – 2 =

21) +8 – 12 =

22) –6 + 2 =

23) +4 – 2 =

24) +3 – 7 =

25) +5 – 9 =

26) –6 – 2 =

27) –3 + 7 =

28) –2 –7 =

29) +3 + 4 =

30) –2 + 6 =

31) –7 + 3 =

32) –1 + 3 =

2. Calcula;

1) –5 + 2 + 7 – 8 –3 + 9 =

2) 3 – 7 – 2 + 6 – 3 + 3 =

3) –8 + 7 + 2 + 1 – 7 – 3 + 1 =

4) –3 + 4 + 5 –2 – 4 –1 + 7 =

5) 5 – 3 – 2 + 6 + 1 – 9 =

6) –4 – 2 + 6 + 8 – 2 + 3 =

7) 2 – 6 – 3 + 2 + 4 – 8 =

8) 7 – 3 + 2 + 4 – 6 – 1 + 6 =

Per multiplicar o dividir enters, ho farem com sempre, però a l’hora del

signe seguirem la següent taula del signes:

+ + és +

+ – és –

– + és –

– – és +

119

Si els signes són iguals dona positiu: 18 : 3 = + 6 –2·(–4 ) = + 8

Si els signes són distints dona negatiu: –7·(+2) = –14 15: (–3 ) = –5

NOTA

El parèntesis separa dos símbols, la multiplicació i signe, i és obligatori

posar–lo!

3. Calcula:

1) –2·5=

2) –7·(–2)=

3) 4·(–6)=

4) 10:(–5)=

5) –12:(–6)=

6) – 4·7=

7) –2·(–9)=

8) –16:4=

9) 7·(–3)=

10) –6:2

11) –20:(–4)=

12) 18:(–3)=

13) – 4·6=

14) –5·2=

15) –9:(–3)=

16) 8·(–3)=

17) –7·2

18) –12:(–6)=

19) 9·2=

20) 8:4=

21) –3·2=

A les operacions combinades, farem el mateix que ara amb els signes

però recordant la prioritat d’operacions

1. Parèntesis

2. Multiplicacions i divisions

3. Sumes i restes

Per exemple: –3 + 6·( 2 – 7 ) = –3 + 6·( – 5) = – 3 – 30 = –33

4. Calcula:

1) –2 + 3· 5 =

2) 2 – 4·5 =

3) 1 + 3·( 4 – 8 )=

4) 8·( 2 – 3) =

5) 2 – 16 : 8 =

6) 6 – 4·( 8 – 3 ) =

7) –3 + 6·( 2 – 7 ) =

8) 12 + 6·( –8 – 3 ) =

9) – 2 + ( –3 )·4 =

10) ( 12 – 4 )·(–5) =

11) ( –5 + 2 )·3 =

12) 6 + ( 8 – 15 )·5 =

13) 5 – 7·( 8 – 5) =

14) 8 – 6·( –2 ) =

15) –5 + 7·8 =

16) –5·( 3 – 2 ) =

17) –5·3 + 2 =

18) –15 + 10:(–5)=

19) 3 – 2·( –5 ) =

20) –( 3 + 2)·5 =

21) + 2·(–7 + 3) =

22) – 4·(3 + 1) =

23) 2·(7 – 4) =

120

2. COORDENADES CARTESIANES EN EL PLA

En general per representar punts en el pla establim un sistema de

coordenades, usualment anomenat cartesià, i format per:

Dues rectes perpendiculars entre si, els eixos de coordenades.

L’origen de coordenades O(0,0) és el punt de tall dels dos eixos.

L’eix d’abscisses és la recta horitzontal i es representa amb X o

OX.

L’eix d’ordenades és la recta vertical i es representa amb Y o OY.

Eixos de coordenades Coordenades d’un punt

Un cop fixats els eixos de coordenades, qualsevol punt P pot situar-se

coneixent les seves distàncies “signades” als eixos:

La distància a l’eix Y s’anomena abscissa de P o primera

coordenada, situa P a dreta o esquerra de l’origen (segons el seu

signe).

La distància a l’eix X s’anomena ordenada de P o segona

coordenada i el situa per sobre o per sota de l’origen (segons el seu

signe).

Per tal de no confondre ambdues coordenades s’escriuen sempre en

forma d’una parella ordenada (x,y), seguint l’ordre abscissa -

ordenada. Recorda! (abscissa , ordenada) = (dreta o esquerra, dalt o

baix)

Exemple:

Observa ara els punts de la figura:

Veuràs que A = (4,4) B = (-5,2) C = (6’5,0) D = (-2,-5) E = (0,-3) F = (3,-4).

121

5. Representa els punts següents: A(2,3), B(-1,-2), C(0,-3), D(-4,2) i E(3,0).

6. Representa els punts següents: A(4,-1), B(3,4), C(-3,2) i D(-2,-3); Uneix els punts per ordre

alfabètic i el punt D amb el punt A, quina figura obtens?

7. Fes el mateix amb els punts següents: A(5,0), B(3,4), C(-3,4), D(-5,0) i E(0,-4).

8. Representa els punts següents:

(1,1), (2,2), (3,3), (2,4), (1,5), (1,6), (1,7), (1,8), (2,7), (3,6), (4,7), (5,8), (6,8), (7,8), (8,8), (7,7), (6,6),

(5,5), (5,4), (5,3), (5,2), (5,1), (4,1), (3,1), (2,1)

Uneix tots aquests punts i et sortirà una figura.

a) Quants de punts tenen d’abscissa 4?

b) Quants es troben en l’eix d’ordenades?

c) Quants tenen d’ordenada 8?

9. Representa els punts següents i indica sobre quin eix (eix d’ordenades o eix d’abscisses) es troben:

(0,5) (7,0) (0,-5) (0,0) (-7,0) (0,11) (0,-9) (2,0) (-6,0)

10. Un estudi de diferents marques de llet mostra aquests parells de valors (capacitat en litres i preu en

euros):

A( 1,0’75), B(1’5,1), C(1,0’90), D(2, 1’40), E(1’5,1’25)

Representa els parells de valors en un sistema de coordenades.

11. Representa en un sistema cartesià l’edat i el pes dels membres de la teva família.

a) Qui és la persona més gran?

b) I la més jove?

c) Qui és la persona més pesada?

d) I la menys pesada?

3. TAULES I GRÀFICS DE FUNCIONS

S’anomena funció la relació que associa cada element d’una

magnitud amb un element, i solament un, d’una altra magnitud.

Una funció pot anar expressada per:

1) Fórmula )(xfy : expressió de la funció que associa l’element

genèric x amb l’altre element )(xf .

2) Taula de valors: representa la relació entre dues magnituds

mitjançant parells de valors.

3) Gràfica: és la representació en el pla dels parells de valors ),( yx

d’una taula o relació.

Els parells de coordenades d’una funció corresponen als valors de les

magnituds que volem relacionar. Aquestes magnituds reben el nom

de variables, perquè prenen valors diferents.

o Variable independent: es representa per la lletra x ;

correspon als elements de la primera magnitud. És un valor

que fixem prèviament.

o Variable dependent: es representa per la lletra y ; correspon

als elements de la segona magnitud. Depèn de la variable

independent.

122

12. Associa cada nombre enter amb el seu quadrat i dóna la fórmula que representa aquesta funció.

13. Un nadó pesa en néixer 2’9kg. La primera setmana guanya 200g, la segona 300g i la tercera 150g.

Representa la gràfica corresponent.

14. En un vídeo club el lloguer d’un DVD costa 1’80€ per dia.

a) Troba una taula que relacioni el nombre de dies amb el preu.

b) Dibuixa la gràfica corresponent i indica quina és la variable independent i quina la dependent.

15. Construeix una taula de cinc valors per a cada una de les funcions següents:

a) 62)( xxf b) 62)( 2xxf

16. Representa gràficament la funció determinada per la taula següent:

x -3 -2 -1 0 1 2 3 4

)(xf 8 6 4 2 0 -2 -4 -6

17. El preu d’una beguda és d’1’75 € per cada litre.

a) Construeix una taula de valors on es relacioni el nombre de litres amb el preu.

b) Indica quina és la variable independent i quina és la variable dependent.

c) Representa les dades gràficament.

18. Una infermera atén na Maria, que té febres periòdiques. Li pren la temperatura cada tres hores i va

omplint una taula:

Hora (h) 9 12 15 18 21 24

Temperatura (ºC) 38 40 37’5 38 38 39’5

a) Dibuixa’m els resultats en un gràfic que mostri l’evolució de la temperatura, perquè amb tants de

nombres em faig un embolic.

b) Ajuda a l’infermera amb el gràfic i contesta les preguntes següents:

c) A quina hora va ser més alta la temperatura?

d) En quin període de temps es manté constant la temperatura?

e) A les 12 hores se li va administrar un medicament per fer baixar la febre. En vista de la gràfica,

indica si li va fer efecte.

19. Anota la temperatura d’un diumenge qualsevol des de les 8 del matí fins a les 8 del vespre.

a) Representa les temperatures anotades en una taula de valors.

b) Quines són les variables que hi intervenen?

c) Representa aquests parells de valors en una gràfica.

d) Creus que és possible trobar una expressió algebraica que relacioni les dues magnituds anteriors?

20. En una botiga de fotos ens cobren 2€ pel revelat i 20 cèntims per cada fotografia.

a) Fes una taula en què s’expressi el preu total d’1, 2, 3,.. fotografies.

b) Representa gràficament els parells de valors.

c) És poden unir tots els punts? Raona la resposta.

d) És poden representar valors negatius? Raona la resposta.

123

4. INTERPRETACIÓ DE GRÀFICS ESTADÍSTICS

4.1 INTRODUCCIÓ A L’ESTADÍSTICA

Població és el conjunt format per tots els elements objecte d’estudi.

Mostra és la part de la població que es tria per analitzar el conjunt.

Individu és cada un dels elements de l’estudi estadístic.

Grandària de la mostra és el nombre d’elements d’una mostra.

Variables estadístiques quantitatives són les variables que es

poden mesurar.

Variables estadístiques qualitatives són les variables que no podem

mesurar.

Procés estadístic:

1) Recollida, ordenació i recompte de dades.

2) Representació gràfica.

3) Càlcul de mesures de centralització.

Freqüència absoluta és el nombre de vegades que es repeteix una

determinada dada.

Freqüència relativa d’una dada és el resultat de dividir la freqüència

absoluta per la grandària de la mostra.

mostragrndària

absolutafreqüènciarelativafreqüència

_

__

Amb els valors d’una variable estadística, de les freqüències absolutes i

de les freqüències relatives, construïm la taula de freqüències, que

podem representar en un diagrama de barres o en un diagrama de

sectors.

21. Les notes que el professor de Llengua té del darrer examen que heu fet són:

3, 2, 7, 1, 9, 5, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 4, 5, 6, 7, 4, 5, 7, 3, 6, 8, 9, 7, 5

Ajuda’l a fer-ne un recompte escrivint-lo en una taula juntament amb les freqüències absolutes i relatives.

a) Quina és la grandària de la mostra?

b) Quants alumnes han tret un notable?

c) Quants alumnes han suspès?

22. Les edats d’un conjunt d’alumnes del nivell d’ESO són:

12, 13, 14, 15, 12, 13, 14, 12, 14, 15, 12, 14, 12, 13, 14,

14, 15, 14, 16, 15, 14, 14, 13, 12, 12, 12, 14, 15, 14, 13

Fes-ne un recompte, ordena les dades i forma una taula amb les dades i les freqüències absolutes i

relatives de cada una.


b) És una variable quantitativa o qualitativa?

c) Quina edat és la que més predomina en la ESO?

d) Quina edat és la que té una freqüència absoluta menor? Pots explicar perquè?

124

23. Les estatures de vint al·lots en cm són:

135, 140, 150, 140, 145, 135, 150, 145, 150, 145, 135, 140, 135, 140, 150, 145, 135, 140, 145, 150

Fes-ne un recompte i escriu-lo en forma de taula juntament amb les freqüències absolutes i relatives de

cada una.


b) Quina és la freqüència absoluta de mesurar 135cm?

c) Quina és la freqüència relativa de mesurar 135cm?

4.2 EL DIAGRAMA DE BARRES:

S’Utilitza quan volem representar freqüències de variables que prenen

pocs valors:

En l’eix horitzontal representem les dades.

En l’eix vertical representem les freqüències absolutes.

La freqüència que correspon a cada dada es representa per una barra .

Les altures de les barres són proporcionals a les freqüències absolutes

corresponents.

A vegades es pot mostrar el valor de la freqüència sobre la barra.

24. Les temperatures màximes que s’han registrat en la darrera setmana han estat:

Dia DL DM DX DJ DV DS DG

ºC 13º 12º 10º 13º 14º 10º 11º

a) Realitza una taula amb les dades i les freqüències absolutes de cada dada.

b) Representa les dades en un diagrama de barres.

c) Quin dia hem tingut la màxima temperatura?

d) I la mínima?

25. L’estatura de 20 alumnes d’ESO en centímetres és:

164, 168, 170, 170, 168, 170, 174, 170, 168, 172, 168, 164, 170, 172, 168, 170, 168, 170, 174, 170

a) Elabora una taula estadística i calcula’n les freqüències absolutes i relatives.

b) Representa les dades en un diagrama de barres.

125

4.3 EL DIAGRAMA DE SECTORS:

El diagrama de sectors es fa servir quan volem representar freqüències de

qualsevol tipus de variables.

Les dades es representen en un cercle. Cada sector representa un

valor de la variable.

L’angle de cada sector circular és proporcional a la freqüència

absoluta de cada una.

L’angle de cada sector circular s’obté així:

mostragrandàriafreqüència

_

º360

o també podem utilitzar una regla de tres:

Grandària mostra 360º

Freqüència x

Una vegada es coneix l’angle corresponent a cada dada, utilitzarem el

transportador d’angles per a dibuixar el diagrama de sectors.

26. Les qualificacions finals de l’àrea d’Història en 1rESOB han estat:

Qualificació Freqüència

Insuficient 4

Suficient 10

Bé 5

Notable 3

Excel·lent 2

Elabora amb aquestes dades un diagrama de sectors.

27. Les pelis que més agraden als alumnes de 1rESO, segons una enquesta realitzada a l’institut, és:

Pelis Nombre

d’alumnes

Ciència ficció 5

Comèdia 6

Romàntica 5

Terror 4

Animades 10

Representa en un diagrama de barres aquestes dades.

126

5. PROBLEMES

28. Dibuixa els eixos cartesians i representa els següents punts:

a) sobre el eix d’abscisses: (-2,0) (6,0) (-5,0) (-3,0) (1,0) (4,0)

b) sobre el eix d’ordenades: (0,7) (0,-3) (0,8) (0,-1) (0,0) (0,-5)

29. Sobre uns eixos cartesians dibuixa una caseta senzilla. Marca els vèrtexs en punts més forts. Escriu

les coordenades que corresponen als punts.

30. Dibuixa uns eixos cartesians y representa els següents punts:

(4,-2) (0,-5) (-4,4) (0,0) (-3,-3) (-2,5) (4,0) (-1,-7) (-8,9)

31. Observa el gràfic següent i contesta:

a) Escriu les coordenades de A, B, C i D.

b) Representa els punts simètrics de A, B, C i D respecte a la recta blava i dóna’n les coordenades.

c) Representa els punts simètrics de A, B, C i D respecte a l’eix Y i dóna’n les coordenades.

d) Representa els punts simètrics de A, B, C i D respecte a la recta vermella i dóna’n les

coordenades.

32. A una botiga hi ha la següent promoció:

comprant 100 gr. costa 1 €.

comprant 200 gr. costa 1’5 €.

comprant 300 gr. costa 2 €.

a) Dibuixa una gràfica que representant aquestes dades (abscissa el pes, ordenada els €)

33. Observa les corregudes de dos velocistes:

a) Quines són les dues variables que es relacionen en aquestes funcions?

b) Un dels dos va “cada vegada més lent” i l’altre, “cada vegada més ràpid”. Quin és cadascú?

c) Quin dels dos guanyarà la correguda de 80 m?

127

34. Una empresa petita ven caixes amb productes nadalencs. Els ingressos i les despeses es poden

veure en els gràfics següents:

a) A partir de quin nombre de caixes venudes comença a obtenir beneficis?

b) Quant perd si només ven 20 caixes?

c) Quant guanya si ven 80 caixes?

d) Quan guanya si ven 110 caixes?

35. Fes una enquesta als alumnes d’aquest curs con tal de saber el nombre de germans de cada alumne

a) Elabora una taula amb aquestes dades (una columna pel nombre de germans i una altre per la

freqüència (nombre de vegades que es repeteix cada valor).

b) Amb aquestes dades fes una gràfica de barres.

36. Digues si cadascuna de les variables estadístiques següents és quantitativa o qualitativa:

a) Esport preferit

b) Número de calçat

c) Estatura

d) Estudis que volem fer

e) Nota de matemàtiques d’un examen.

37. Les notes de l’assignatura de matemàtiques del darrer examen són:

5 8 6 2 2 7 8 4 9 4 6 5 4

5 7 2 3 6 8 9 3 2 5 3 10 6

10 1 10 6 8 7 8 4 5 5 6 10 5

1

a) Fes-ne una taula de freqüències.

b) Representa en un diagrama de barres els resultats

c) Completa amb un polígon de freqüències

d) Representa aquest resultats en un diagrama de sectors.

128

38. Hem preguntat als 36 alumnes d’una classe: “Quants de germans sou?”. Aquestes en són les

respostes sintetitzades en un diagrama de barres:

e) Quina és la variable estadística?

f) És qualitativa o quantitativa?

g) A la classe només hi ha un alumne que pertany a una família amb 6 germans. Mesura les barres i

digues quina és la freqüència que correspon a cadascuna i què significa.

39. En un curs amb 36 estudiants es fa una enquesta amb la pregunta següent: Què prefereixes veure

per televisió, un partit de bàsquet (B) o un de futbol (F)? Els resultats, els trobem a la taula

següent:

Completa aquesta taula en el teu quadern i respon les preguntes següents:

a) Què significa el 3 de la primera casella?

b) Què significa el 8?

c) Quants de nins hi ha a la classe? I nines? A quants d’estudiants d’aquesta

classe els agrada veure el bàsquet i a quants veure el futbol per televisió?

d) Descobreix quin percentatge de nines prefereixen veure el futbol.

e) Quin percentatge dels que els agrada el bàsquet són nines?

f) Representa les dades en un diagrama de sectors diferenciant quatre casos: (nins i bàsquet, nins i

futbol, nines i bàsquet i nines i futbol).

40. En preguntar als 30 alumnes d’una classe de 1rESO sobre quins eren els seus programes de

televisió favorits, 12 han respost que els esportius, 6 als concursos, 9 les pel·lícules, 2 els

informatius i 1 els anuncis.

a) Forma una taula amb aquests resultats.

b) Calcula’n les freqüències.

c) Construeix un diagrama de barres amb les freqüències relatives.

129

41. Les ONG i les enquestes:

Centrant-nos en les ONG, és a dir, en les organitzacions no governamentals, que es caracteritzen perquè

són associacions d’iniciativa privada, no lucratives i dedicades a la solidaritat internacional i al

desenvolupament de països pobres.

Realitzada una enquesta respecte si es coneix o s’ha sentit parlar de l’existència d’aquest tipus

d’organitzacions, obtenim els següents resultats:

Sí 88’1%

No 11’7%

NS/NC 0’2%

Total respostes: 2.493.

Respon a les següents preguntes:

a) Quantes persones van contestar Sí?

b) Quantes persones van contestar No?

c) Representa les respostes en un diagrama de barres.

Independentment de si sap res o no, com valora les activitats i el treball que duen a terme aquest tipus

d’ONG?

Molt bé 30’7%

Bé 48%

Regular 10’9%

Malament 1%

Molt malament 0’3%

NS 8’4%

NC 0’6%

Total respostes: 2.493

Respon les preguntes següents:

a) Quantes persones van contestar Molt bé?

b) Quantes persones van contestar Molt malament?

Representa les dades en un diagrama de sectors.

130

5. AUTOAVALUACIÓ

1. El punt (3,0) està damunt de l’eix:

a)d’ordenades b) d’abscisses c) dependent d) independent

2. Realitza una taula de cinc valors per a la funció 32xy .

El punt P(3,-2) pertany a la funció? Contesta de forma raonada.

3. Quina és la fórmula que associa el preu d’uns pastissos (y) en funció del nombre (x), si un pastís

val 50 cèntims d’euro?

a) xxf 50)( b) xxf 50)( c) 150)( xxf d)x

xf50

)(

4. L’empresa NORD-SUD lloga els seus autobusos per 300€ al dia.

a) Fes una taula en què es relacioni quant ha de pagar cada persona d’un grup d’amics en relació

amb el nombre de persones del grup.

b) Quines són les variables que hi intervenen?

c) Representa gràficament els parells de valors.

d) Creus que és possible trobar una expressió algebraica que relacioni les dues magnituds anteriors?

5. Descriu el viatge següent amb cotxe:

a) Quants de quilòmetres recorre durant la primera hora i mitja?

b) Quant de temps es troba parat?

c) A quina distància del punt de partida es troba el lloc de la segona parada?

6. Respon a les preguntes següents :

Mesos Nombre

d’infants

5 10

6 23

7 36

8 28

9 14

10 7

11 6

12 1

a) Quin tipus de variable representa la taula

següent, que en s dóna les edats a les

quals varen començar a asseure’s sols un

grup d’infants d’una escola infantil?

b) Quin nom rep en estadística els mesos

d’aquesta taula?

c) Quin nom rep la columna del nombre

d’al·lots?

d) Organitza en una taula de freqüències les

freqüències absolutes i relatives.

e) Dibuixa un diagrama de barres per a la

freqüència absoluta.

f) Representa les dades en un diagrama de

sectors.

g) En quin mes s’asseuen més infants?

quadern 1 eso matemàtiques (xavi)

Documents