I-1

EXTREMOS DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES

EXTREMOS ABSOLUTOS Y EXTREMOS RELATIVOS

Considerando la función continúa f de dos variables, definida en una región acotada cerrada R. Los valores f(a,b) y f(c,d) tales que:

Para todo (x,y) en R se conocen como el mínimo y máximo de f en la región R, como se muestra en la figura.

Es importante recordar que una región en el plano es cerrada si contiene todos sus puntos frontera; y una región en el plano se llama acotada si es una subregión de un disco cerrado en el plano.

Teorema del valor extremo

Sea f una función continua de dos variables x y y definida en una región

Acotada cerrada R en el plano xy.

1.- Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor mínimo.

2.- Existe por lo menos un punto en R, en el que f toma un valor máximo.

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A un mínimo también se le llama mínimo absoluto y a un máximo también se le llama un máximo absoluto.

Definición de extremo relativo

Sea f una función definida en una región R que contiene (xo,yo).

1.- La función f tiene un mínimo relativo en (xo,yo) si

f(x,y) f(xo,yo)

para todo (x,y) en un disco abierto que contiene (xo,yo)

2.- La función f tiene un Máximo relativo en (xo,yo) si f(x,y)≤f(xo,yo) para todo (x,y) en un disco abierto que contiene (xo,yo)

Para localizar los extremos relativos de f, se pueden investigar los puntos en los que el gradiente de f es cero (0) o los puntos en los cuales una de las derivadas parciales no exista. Tales puntos se llaman puntos críticos de f.

Definición de puntos críticos

Sea f definida en una región abierta R que contiene (xo,yo). El punto (xo,yo) Es un punto crítico de f si se satisface una de las condiciones siguientes:

1.- fx(xo,yo) = 0 y fy(xo,yo) = 0 2.- fx(xo,yo) o fy(xo,yo) NO EXISTE

Recuérdese que si f es diferenciable y

entonces toda derivada direccional en debe ser cero (0).

TEOREMA. Los extremos relativos se presentan solo en puntos críticos.

Si f tiene un extremo relativo en (xo,yo) en una región abierta R, entonces

es un punto crítico de f.

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Ejemplo 1

Hallar los extremos relativos de f(x,y) = 2x2 + y2 + 8x - 6y + 20

Solución

fx(x,y) = 4x + 8 (está definida para todo x y y)

fy(x,y) = 2y – 6 (está definida para todo x y y)

Para determinar los puntos críticos se hacen fx = 0 y fy = 0

fx(x,y) = 4x + 8 = 0 x =

fy(x,y) = 2y – 6 = 0 y =

por tanto, el único punto crítico es (-2,3)

f(-2,3) = 2(-2)2 + (3)2 + 8(-2) – 6(3) + 20 = 8 + 9 – 16 – 18 + 20 = 3

para determinar si tiene un extremo relativo en (-.2,3) se toma un punto cualquiera distinto del punto crítico (-2,3) o se completa cuadrado en la expresión para f(x,y)

f(x,y) = 2x2 + y2 + 8x - 6y + 20 = 2x2 + 8x + y2 – 6y + 20 = 2(x2 + 4x -4 +4) +

= 2(x2 + 4x -4 +4) + (y2 – 6y + 9 – 9) + 20 = 2(x + 2)2 + (y – 3)2 + 3

Así, si (x,y) ≠ (-2,3), entonces f(x,y) 3, en consecuencia por la definición de

extremo relativo f(-2,3) = 3 es un valor mínimo relativo.

Ejemplo 2

Determinar los extremos relativos de f(x,y) = 1- (x2 + y2)1/3

Solución

fx(x,y) = (x2 + y2)-2/3.2x = está definida para todo punto en

el plano xy excepto para (0,0)]

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fy(x,y) = (x2 + y2)-2/3.2y = está definida para todo punto en

el plano xy excepto para (0,0)]

Se puede observar que el único punto en el cual las derivadas parciales no existen es el punto (0,0), por tanto, (0,0) es un punto críticof(0,0) = 1 – (02 + 02)1/3 = 1

Así, si (x,y) ≠ (0,0), entonces f(x,y) 1, por tanto por la definición de extremo

relativo f(0,0) = 1 es un valor máximo relativo.

Teorema. Criterio de las segundas derivadas parciales

Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en una región abierta que contiene un punto (a,b) para el cual

fx(a,b) = 0 y fy(a,b) = 0

Para buscar los extremos relativos de f, considérese la cantidad

d = fxx(a,b).fyy(a,b) – [fxy(a,b)] 2

1.- Si d 0 y fxx(a,b) 0, entonces f tiene un mínimo relativo en (a,b).

2.- Si d 0 y fxx(a,b) 0, entonces f tiene un máximo relativo en (a,b).

3.- Si d 0, entonces [ a,b, f(a,b)] es un punto silla.

4.- Si d = 0 el crítico no lleva a ninguna conclusión.

Un recurso conveniente para recordar la formula de d en el criterio de las segundas derivadas parciales lo da el determinante 2X2.

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d =

donde fxy(a,b) = fyx(a,b)

Ejemplo 3

Identificar los extremos relativos de f(x,y) = - x3 + 4xy – 2y2 + 1

Solución

fx(x,y) = - 3x2 + 4y (está definida para todo x y y)

fy(x,y) = 4x – 4y (está definida para todo x y y)

Puntos críticos:

- 3x2 + 4y = 0

4x – 4y = 0 4x = 4y x = y, sustituyendo en la otra ecuación

- 3x2 + 4y = 0 3x2 - 4x = 0 x(3x – 4) = 0 x = 0

3x – 4 = 0 x = 4/3

Luego los puntos críticos son: (0,0) y (4/3,4/3)

fxx(x,y) = - 6xfyy(x,y) = - 4fxy(x,y) = 4

• Para el punto crítico (0,0)fxx(0,0) = - 6(0) = 0; fyy(0,0) = - 4; fxy(0,0) = 4

d = fxx(a,b).fyy(a,b) – [fxy(a,b)] 2 = fxx(0,0).fyy(0,0) – [fxy(0,0)] 2 =(0)(- 4) – (4)2 = =

0 – 16 = - 16 0

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f(0,0) = - (0)3 + 4 (0)(0) – 2 (0)2 + 1 = 1Por criterio de las segundas derivadas parciales, se puede concluir que (0,0,1) es un punto silla.

• Punto crítico (4/3,4/3)

fxx(4/3,4/3) = - 6 = - 8; fyy(4/3,4/3) = - 4; fxy(4/3,4/3) = 4

d = fxx(a,b).fyy(a,b) – [fxy(a,b)] 2 = fxx(4/3,4/3).fyy(4/3,4/3) – [fxy(4/3,4/3)] 2 =

= (- 8)(-4) – (4)2 = 32 – 16 = 16 0

Luego por el criterio de las segundas derivadas parciales si d 0 y

fxx(4/3,4/3) = - 8 0, entonces f tiene un máximo relativo en (4/3,4/3)

Es importante resaltar que con el criterio de las segundas derivadas parciales pueden no hallarse los extremos relativos por dos razones. Si algunas de las primeras derivadas parciales no existe, no se puede aplicar el criterio si

d = fxx(a,b).fyy(a,b) – [fxy(a,b)] 2 = 0

El criterio no es concluyente. En tales casos, se pueden tratar de hallar los extremos mediante grafica o mediante algún otro método.

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos.

a) f(x,y) = (x – 1)2 + (y – 3)2 . Resp. (1,3,0) mínimo relativo.

b) f(x,y) = . Resp. (0,0,1) mínimo relativo.

c) f(x,y) = x2 + y2 +2x – 6y + 6. Resp. mínimo relativo.

2.- Examinar la función para localizar los extremos relativosa) f(x,y) = 2x2 + 2xy + y2 + 2x – 3. Resp. mínimo relativo (- 1,3,- 4)

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b) f(x,y) = - 5x2 + 4xy – y2 + 16x +10. Resp. mínimo relativo (8,16,74).c) z = 2x2 + 3y2 – 4x – 12y + 13. Resp. mínimo relativo (1,2,- 1).

d) f(x,y) = 2 + 3. Resp. mínimo relativo (0,0,3).