Pruebas de hipótesis para una muestra

¿Qué es una hipótesis?

Una hipótesis es una declaración sobre el valor de un parámetro de la población desarrollado con el fin de poner a prueba.

Ejemplos de hipótesis que se hicieron sobre un parámetro de la población: El ingreso mensual para los analistas de sistemas es

$3.625 Veinte por ciento de todos los clientes de La Majada

regresan para otra comida dentro de un mes.

¿Qué es una prueba de hipótesis?

La prueba de hipótesis es un procedimiento basado en la evidencia de la muestra y la teoría de las probabilidades, usadas para determinar si la hipótesis es una declaración razonable y no debe ser rechazada, o es irrazonable y debe ser rechazada.

Prueba de hipótesis

Paso 4: Se formula la regla de decisión

Paso 3: Se identifica el estadístico de prueba

Paso 5: Se toma una muestra y se decide: se acepta H0 o se

rechaza H0

Paso 2: Se selecciona el nivel de significancia

Paso 1: Se plantean las hipótesis nula y alternativa

Definiciones

Hipótesis nula H0: Una declaración sobre el valor de un parámetro de la población.

Hipótesis alternativa H1: Una declaración que se acepta si los datos de la muestra proporcionan evidencia de que la hipótesis nula es falsa.

Nivel de significancia: La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

Error tipo I: Rechazar la hipótesis nula cuando es verdadera.

Definiciones

Error tipo II: Aceptar la hipótesis nula cuando es falsa.

Estadístico de prueba: Un valor determinado a partir de la información muestral, usado para determinar si se rechaza la hipótesis nula.

Valor crítico: Punto de división entre la región en la que se rechaza la hipótesis nula y la región en la que no rechaza la hipótesis nula.

Pruebas de significancia de una cola

Una prueba es de una cola cuando la hipótesis alternativa, H1 indica una dirección, como por ejemplo: H1: Las comisiones anuales ganadas por corredores

de bienes raíces a tiempo completo son más de $35.000. (µ>$35.000)

H1: La velocidad de los autos que viajan en la I-95 en Georgia es menos de (µ<60) millas por hora.

H1: Menos del 20% de los clientes pagan en efectivo su consumo de gasolina. (µ<.20)

Distribución muestral para el estadístico z para la prueba de una cola, con el .05 de nivel de significancia

.95 de probabilidad

.05 región de rechazo

Valor críticoZ = 1.65

0 1 2 3

Pruebas de significancia de dos colas

Una prueba es con dos colas cuando no se especifica ninguna dirección en la hipótesis alterna H1, por ejemplo:

H1: La cantidad pagada por los clientes en el centro comercial en Georgetown no es igual a $25. (µ $25).

H1: El precio para un galón de gasolina no es igual a $1.54. (µ $1.54).

Distribución muestral para el estadístico z para la prueba de dos colas, con el .05 de nivel de significancia

.95 de probabilidad

.025 región de rechazo

0 1-1 2-2

Valor críticoZ = 1.96,-1.96

Prueba para la media de la población: muestra grande, desviación estándar de la población conocida Cuando la prueba de la media poblacional

proviene de una muestra grande y la desviación estándar poblacional es conocida, el estadístico de la prueba se obtiene con la siguiente fórmula:

zX

/ n

Ejemplo1

Los procesadores de la salsa de tomate de los fritos indican en la etiqueta que la botella contiene 16 onzas de la salsa de tomate. La desviación estándar del proceso es 0.5 onza. Una muestra de 36 botellas de la producción de la hora anterior reveló un peso de 16.12 onzas por botella. ¿En un nivel de significancia del .05 el proceso está fuera de control? ¿Es decir, podemos concluir que la cantidad por botella es diferente a 16 onzas?

Ejemplo 1 (Continuación)

Paso 1: Indique las hipótesis nulas y alternativas:

H0: µ = 16; H1: µ = 16

Paso 2: Seleccione el nivel de significancia. En este caso seleccionamos el nivel de significancia del 0.05.

Paso 3: Identifique la estadística de la prueba. Porque conocemos la desviación estándar de la

población, la estadística de la prueba es z.

Paso 4: Indique la regla de decisión:

Rechazo H0 si z > 1.96 o z < -1.96 Paso 5: Compruebe el valor del estadístico de la prueba y llegue a una decisión.

44.1365.0

00.1612.16

n

Xz

Ejemplo 1 (Continuación)

No rechazamos la hipótesis nula. No podemos concluir que la media sea diferente a 16 onzas.

Valor-p en la prueba de la hipótesis

Valor-p es la probabilidad de observar un valor muestral tan extremo, que el valor observado, dado que la hipótesis nula es verdadera.

Si el valor-p es más pequeño que el nivel de significancia, se rechaza H0.

Si el valor-p es más grande que el nivel de significancia, H0 no se rechaza.

Cálculo del Valor-p

Prueba de una cola: valor-p = P{z >= valor absoluto del estadístico de prueba}

Prueba de dos colas: valor-p = 2P{z >= valor absoluto del estadístico de prueba}

Del Ejemplo 1, z = 1.44, y porque era una prueba de dos colas, el valor-p = 2P{z >= 1.44} = 2(.5-.4251) = .1498. Porque .05>= .1498, no se rechaza H0.

Prueba para la media de la población: muestra grande, desviación estándar poblacional desconocida Aquí σ es desconocida, así que la estimamos

con la desviación estándar de la muestra s. Mientras el tamaño de muestra n > 30, z se

puede aproximar con:

zX

s n

/

La cadena de almacenes de descuento de Roder emite su propia tarjeta de crédito. Lisa, la gerente de crédito, desea descubrir si el promedio sin pagar mensual es más de $400. El nivel de significancia se fija en .05. Una verificación al azar de 172 balances sin pagar reveló que la media de la muestra fue $407 y la desviación estándar de la muestra fue $38. ¿Debe Lisa concluir que el medio de la población es mayor de $400, o es razonable asumir que la diferencia de $7 ($407-$400) es debido al azar?

Ejemplo 2

Paso 1: H0: µ <= $400, H1: µ > $400 Paso 2: El nivel de significancia es .05 Paso 3: Porque la muestra es grande podemos utilizar la

distribución de z como el estadístico de la prueba. Paso 4: H0 es rechazada si z>1.65 Paso 5: Realice los cálculos y tome una decisión.

H0 es rechazada. Lisa puede concluir que la media sin pagar es mayor de $400.

42.217238$

400$407$

ns

Xz

Ejemplo 2 (Continuación)

Prueba para la media de la población: muestra pequeña, desviación estándar poblacional desconocida

El estadístico de la prueba es la distribución t.

El estadístico de la prueba para el caso de una muestra es:

ns

Xt

/

La tasa de producción de los fusibles de 5 amperios en Neary Co. eléctrico es 250 por hora. Se ha comprado e instalado una máquina nueva que, según el proveedor, aumentará la tarifa de la producción. Una muestra de 10 horas seleccionadas al azar a partir del mes pasado reveló que la producción cada hora en la máquina nueva era 256 unidades, con una desviación estándar de 6 por hora. ¿En el nivel de significancia del .05. Neary puede concluir que la máquina nueva es más rápida?

Ejemplo 3

Paso 1: Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa.

H0: µ <= 250; H1: µ > 250 Paso 2: Seleccione el nivel de significancia. Es .05. Paso 3: Encuentre un estadístico de prueba.

Es la distribución t porque la desviación estándar de la población no se conoce y el tamaño de muestra es menos de 30.

Ejemplo 3 (Continuación)

Paso 4: Indique la regla de la decisión.Hay 10 - 1 = 9 grados de libertad. Se rechaza la hipótesis nula si t > 1.833.

Paso 5: Tome una decisión e interprete los resultados.

162.3106

250256

ns

Xt

Ejemplo 3 (Continuación)

Se rechaza la hipótesis nula. El número producido es más de 250 por hora.

Pruebas respecto a proporciones

Una proporción es la fracción o el porcentaje que indican la parte de la población o de la muestra que tiene un rasgo particular de interés.

La proporción de la muestra es denotada por p y calculada con:

p = número de éxitos en la muestra / tamaño de la muestra

Prueba estadística para la proporción de la población

n

pz

)1(

La proporción de la muestra es p y es la proporción de la población.

En el pasado, el 15% de las solicitudes de pedidos por correo para cierta obra de caridad dio lugar a una contribución financiera. Un nuevo formato de solicitud se ha diseñado y se envía a una muestra de 200 personas y 45 respondieron con una contribución. ¿En el nivel de significación del .05 se puede concluir que la nueva solicitud es más eficaz?

Ejemplo 4

Paso 1: Establezca la hipótesis nula y la hipótesis alternativa

H0: <= .15 H1: > .15

Paso 2: Seleccione el nivel de significancia. Es .05.

Paso 3: Encuentre un estadístico de prueba.La distribución de z es el estadístico de prueba.

Ejemplo 4 (Continuación)

Paso 4: Indique la regla de decisión.Se rechaza la hipótesis nula si z es mayor que 1.65.

Paso 5: Tome una decisión e interprete los resultados.

97.2

200

)15.1(15.

15.200

45

)1(

n

pz

Ejemplo 4 (Continuación)

Se rechaza la hipótesis nula. Más de 15% de solicitudes responde con un compromiso. El nuevo formato es más eficaz.