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PAU Junio 2013 Matemáticas II en Murcia I.E.S. Vicente Medina (Archena)

1 de 13

PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD

Septiembre 2012 MATEMÁTICAS II. CÓDIGO 158

OBSERVACIONES IMPORTANTES: El alumno deberá responder a todas las cuestiones de una

de las opciones A o B. No está permitido utilizar calculadoras programables ni que realicen cálculo simbólico, integrales o gráficas. OPCIÓN A: CUESTIÓN A.1:

a) [1,25 puntos] Determine para qué valores del parámetro a el conjunto de vectores

1, ,1 , 1 , 1,0( ) ( ), (1,1 ),S a a a a forma una base de 3

.

b) [1,25 punto] Estudie el rango del conjunto de vectores S en los casos en que no forme una

base de 3.

CUESTIÓN A.2: [2,5 puntos] Determine la ecuación implícita (o general) del plano que contiene al punto A = (0,1,2) y es perpendicular a la recta

2 1:

3

x y z

x y zr

CUESTIÓN A.3: Dada la función 1

( ) 11

xf x x

x

, se pide:

a) [0,75 puntos] Dominio de definición.

b) [0,5 puntos] Calcule 1

lim ( )x

f x

¿Es posible calcular también 1

lim ( )x

f x

? Justifique la

respuesta.

c) [1,25 puntos] Calcule lim ( )x

f x

.

CUESTIÓN A.4: [2,5 puntos]

De todas las primitivas de la función 2

( )1

x

x

ef x

e

, encuentre la que pasa por el punto de

coordenadas (0,1).


2 de 13

OPCIÓN B: CUESTIÓN B.1:

a) [1,25 puntos] Dada la matriz

0 3 4

1 4 5

1 3 4

A

, calcule las potencias A2, A

3 y A

4.

b) [1,25 puntos] Calcule A2012

.

CUESTIÓN B.2: Considere las rectas r y s dadas por las ecuaciones

6 5 1 6: y :

7 4 5 6 3 1 4

x y z x y zr s

a a

.

a) [2 puntos] Estudie la posición relativa de r y s en función del parámetro a. b) [0,5 puntos] Calcule el punto de corte de r y s en los casos en que se corten.

CUESTIÓN B.3: [2,5 puntos] Considere la función dada por

2

2

3 si x(

0

1 si x)

0

x x a

x x bf x

b

Determine los valores de los parámetros a y b para los cuales f (x) es continua y derivable

en todo .

CUESTIÓN B.4: [2,5 puntos] Calcule el área comprendida entre la curva 2

3

6 2y

x

, el eje de

abscisas y las rectas verticales que pasan por los puntos de inflexión de dicha curva.


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SOLUCIONES

OPCIÓN A

CUESTIÓN A.1

El conjunto S forma una base de R3

si y sólo si su rango es 3, es decir, si y sólo si el

determinante de la matriz formada por los vectores de S es distinto de cero. Por ello, consideremos A dicha matriz,

1 1 1

1 1

1 0

a

S a a

a

2 2 2 3

3

3

1 1 1

1 1 ( 1) 1 0 1 (1 ) 1 1

1 0

3 2

1 0 3 2

0 3 2 0 Utilizando el método de Ruffini 1 1 1 2

1 1 2 0

a

S a a a a a a a a a a a a a a

a

a a

S a a

1 1 2

1 1 2

1 2 0

Y ya 2 0 2a a

Luego para 1 2a o a uno de los vectores es combinación lineal de los otros y no forman base. Para

1 2a y a si forman una base de 3

.

a) Si a=1

1 1 1

0 0 0

1 1 1

S

, el rango de la matriz S es 1, ya que las tres columnas son iguales.

Si a=-2


4 de 13

1 2 1 1 2 1Realizamos transformaciones para obtener matrices equivalentes

3 3 0 0 3 3F2ª-3F1ª y F3ª-F1ª

1 1 2 0 3 3

1 2 1

3ª 2ª 0 3 3

0 0 0

S

F F

Observando las filas no nulas de esta última matriz equivalente a S su rango es 2

CUESTIÓN A.2

El plano pedido tiene como vector normal el vector director de la recta 2 1

:3

x y z

x y zr

,

determinemos dicho vector director como el producto vectorial de los dos vectores normales (2,1,-1)

y (1,-1,1)

2 1 1 2 ( 2 ) 3 3 (0,2,1, 1 1, 1, 3, 3)

1 1 1

1r

i j k

v i j k k j i j k

Nos sirve como vector normal del plano (0,1,1), así el plano es:

0·x+y+z+d=0, como además pasa por (0,1,2) se cumple: 1+2+d=0

Luego d=-3

La ecuación del plano es 3 0y z

CUESTIÓN A.3

a) Dada la función 1

( ) 11

xf x x

x

debemos excluir de su dominio los valores de x que anulen

el denominador y que hagan que 1

01

x

x

1º 1 0 1x x excluido del dominio


5 de 13

2º 1

01

x

x

Los puntos de cambio de signo de denominador y numerador son x=1 y x=-1

Dividiendo la recta real según estos puntos, nos quedan tres zonas donde considerar el signo del

cociente1

1

x

x

:

(-∞,-1) -1 (-1+1) +1 (1,+∞)

Existe f(x) Existe No existe f(x) No

existe Existe f(x)

En el intervalo (-∞,-1) elegimos el valor x=2 y para dicho valor la expresión radical

2 1 1 1

2 1 3 3

existe.

En el intervalo (-1+1) elegimos el valor x=0 y para dicho valor la expresión radical 0 1

10 1

no existe.

En el intervalo (1,+∞) elegimos el valor x=2 y para dicho valor la expresión radical 2 1

32 1

existe.

En el punto x=-1 la expresión radical vale 1 1 0

01 1 2

existe.

En el punto z=1 la expresión radical vale 1 1 2

1 1 0

no existe.

En definitiva, Dominio de definición de 1

( ) 11

xf x x

x

es , 1 1,

b)

1 1

1 1 1 1lim ( ) lim 1 1 1

1 1 1 0

2 '001Lo comprobamos utilizando tablas: x=1'001 f(x)=1'001· 1 1'001 2001 1 4008004

0 '001

x x

xf x x

x

1lim ( ) No existe, por estar fuera del dominio de la función

los valores de x próximos a 1, pero menores que 1

xf x


6 de 13

c)

1lim ( ) lim 1 · 1 1 ·0 Indeterminación=

1

Simplificamos la expresión 1= lim 1

para intentar resolver la indeterminación 1

1 1lim lim

1

x x

x

x x

xf x x

x

xx

x

x xx

x

1 1

1

Multiplico y divido por el conjugado

del numerador, para resolver la indeterminación

x xx

x

2 2

2

2 2

1 1 1 1 1 1lim lim

1 1 1 1 1 1

1 1 2lim lim

1 1 1 1 1 1

2 2 2lim lim lim 1

1 1

x x

x x

x x x

x x x x x xx x

x x x x x x

x xx x

x x x x x x

x x x

x xx x x x

CUESTIÓN A.4

2 22 2

Cambio de variable

F( ) t=e1

e

xx x

x

x

x

e tx dx t e

edt dt

dt dx dxe t

1

dt

t t

1

1 1 1 1 11 ln 1

1 1 1 1

Deshaciendo el cambio de variable ln 1x x

tdt

t

t tdt dt dt dt dt t t

t t t t

e e K

Como debe pasar por (0,1) → F(0)=1→

0 0ln 1 1

1

e e K

ln 2 1K

ln 2K


7 de 13

La primitiva pedida es F( ) ln 1 ln 2x xx e e


8 de 13

OPCIÓN B:

CUESTIÓN B.1

a)

2

0 3 4 0 3 4 0 3 4 0 3 4 0 12 12 0 15 16

1 4 5 1 4 5 · 1 4 5 0 4 5 3 16 15 4 20 20

1 3 4 1 3 4 1 3 4 0 3 4 3 12 12 4 15 16

1 0 1

1 4 4

1 3 3

A A

3 2

1 0 1 0 3 4 0 0 1 3 0 3 4 0 4

· 1 4 4 · 1 4 5 0 4 4 3 16 12 4 20 16

1 3 3 1 3 4 0 3 3 3 12 9 4 15 12

1 0 0

0 1 0

0 0 1

A A A

4 3

1 0 0 0 3 4 1 0 0 0 3 4

· 0 1 0 · 1 4 5 0 1 0 · 1 4 5

0 0 1 1 3 4 0 0 1 1 3 4

·

A A A

Identidad A A

a) Como sabemos que A3 = −Id, para calcular A2012 nos interesa dividir 2012 entre 3 y

calcular el resto de la división, de manera que escribimos 2012 = 3·670+2. Por lo tanto

6702012 3·670 2 3·670 2 3 2

335670 670 2·335 23 3

335

6702012 3 2 2 2

· ·

Como A

Resumiendo · ·

A A A A A A

Id A Id Id Id

Id Id

A A A Id A A

2012

1 0 1

1 4 4

1 3 3

A


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CUESTIÓN B.2

a)

1ª forma: El vector director de la recta r es 7, 4 ), 6( 5rv a a y pasa por el punto A =

(0,0,−6).

En cuanto a la recta s, su vector director es 3, 1,( )4sv y pasa por el punto B = (5,1,6).

Por lo tanto, para estudiar la posición relativa de las rectas r y s debemos estudiar el rango de las matrices:

r

r

s

s

vv

vv

AB

Siendo (5,1,6) (0,0, 6) (5,1,12)AB B A

En primer lugar, estudiemos el rango de la matriz

7 4 5 6

3 1 4

5 1 12

r

s

v a a

v

AB

Si calculamos su determinante tenemos que

7 4 5 6

3 1 4 84 20( 4) 3(5 6) 5(5 6) 36( 4) 28

5 1 12

84 20 80 15 18 25 30 36 144 28

9624 96 0 4

24

r

s

v a a

v a a a a

AB

a a a a

a a

Por lo tanto, si 4a el rango de la matriz

r

s

v

v

AB

es 3 y los vectores son independientes y

las rectas se cruzan. Por otra parte, cuando a = 4 el rango de la matriz

7 0 14

3 1 4

5 1 12

r

s

v

v

AB

es 2. En efecto, en ese caso su rango no puede ser 3 (ya que el determinante se anula) y podemos entonces encontrar un menor de orden 2 distinto de cero, por ejemplo, el formado por sus dos primeras columnas y sus dos primera filas, es decir,

7 07 0

3 1


10 de 13

Además, por la misma razón cuando a = 4 el rango de la matriz

r

s

v

v

es 2, ya que el mismo menor nos sirve para concluir que su rango es 2. Por lo tanto, cuando

a = 4 las dos matrices

r

r

s

s

vv

vv

AB

tienen rango 2, por lo que las rectas se cortan. 2ª forma: Analizaremos si las rectas tienen un punto común, de tenerlo estudiaremos si los vectores directores

son iguales o proporcionales, si este caso se da, las rectas son coincidentes, de no darse este

último supuesto las rectas se cortan en un punto, son secantes.

Si no tienen punto común, y hay igualdad o proporcionalidad entre los vectores directores las rectas

son paralelas, de no haberlo las rectas se cruzan en el espacio:

6 5 1 6: y :

7 4 5 6 3 1 4

x y z x y zr s

a a

plantean un sistema de ecuaciones:

7

: 47 5 3 7 5 3

6 5 6 7 54 1 4 1

35 36 5 6 6 4 6 5 6 6 4

: 1

6 4

7 54 1

3 12 3 7 53

7 5 18 156 5 6 6 4

3

x

r y a

z aa a

xa a

s y

z

aa

aa

3 5 8

18 18 28 20 15 46 16

3 5 848 80 120 368 288 72 4

15 46 16

a

a

aa a a a

a

Cuando a=4 las rectas r y s tienen, al menos, un punto en común, por lo que son coincidentes o secantes. Para decidir en cuál de estos casos estoy, compruebo si los vectores directores son proporcionales:

( ) y ( ) para que sean proporcionales debe cumplirse:

7 0 14, que no es cierto, por l

7,0,14

o que las rectas son secantes.3

3, 1,4

1 4

r sv v

Cuando a≠4 las rectas r y s no tienen ningún punto en común, por lo que son paralelas o se cruzan. Para decidir en cuál de estos casos estoy, compruebo si los vectores directores son proporcionales:


11 de 13

( ) y ( ) para que sean proporcionales debe cumplirse:

55 3

7 3a 127 4 5 6 3,

4 16 5 6 223 1 49 22

9

No coinciden, luego los vectore

7,

s no son proporc

4,5 6 3, 1,4

ional

r s

a aa a

a aa

v a a v

a

es y las rectas se cruzan.

a) Como hemos visto en el apartado anterior, las rectas se cortan cuando a = 4. En ese caso, para calcular el punto de corte escribimos las rectas en forma paramétrica

7 5 3

: 0 : 1

6 14 6 4

x x

r y s y

z z

Por la ecuación de r debe ser y = 0, por lo que llevando esto a la ecuación de s sabemos que μ =1. Por tanto, haciendo μ = 1 en la ecuación de s tenemos el punto de corte

5 3 8

0

6 4 10

x

y

z

→(8,0,10).

CUESTIÓN B.3

Como 2

2

3 si x(

0

1 si x)

0

x x a

x x bf x

b

es continua en todo R, debe ser continua en x = 0 por lo

que debemos tener

0(0) lim ( )

xf f x

.

Observemos que f (0) = 02−3·0+a = a mientras que

2

0 0(0) lim ( ) lim 0 ·0 1 1

x xf f x b b b

Por lo tanto tenemos una primera relación entre a y b que es a = b+1.

Por otra parte, tenemos que

2 3 si x<0

2 si x'(

0)

bf

x

xx

Como f (x) es derivable en todo R, debe ser derivable en x = 0 por lo que debemos

tener

0 0lim '( ) lim '( )x x

f x f x


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Ahora bien

0 0lim '( ) lim 2x x

f x x b b

0 0lim '( ) lim 2 3 3x x

f x x

Por tanto debe ser b = −3 y, por la relación anterior, se tiene a = b+1 = −2.

CUESTIÓN B.4

Calculemos en primer lugar los puntos de inflexión de la curva 2

3( )

6 2f x

x

, es decir, los puntos que

satisfacen la ecuación f‘’(x) = 0. Para ello, calculamos la primera y la segunda derivada de f (x):

2

2 22 2 2

2 22 2 2 2 2

4 42 2

2

0· 6 2 3·43 12( ) '( )

6 2 6 2 6 2

12· 6 2 12 · 2 6 2 ·4 12· 6 2 96 · 6 2''(x)

6 2 6 2

6 2''( )

x x xf x f x

x x x

x x x x x x xf

x x

xf x

2 2

42

12· 6 2 96

6 2

x x

x

2 2 2

3 33 2 2

2 2

72 24 96 72 72

6 2 6 2

172''( ) 0 72 72 0 1 Posibles puntos de inflexión

172

x x x

x x

xf x x x

x

Como la derivada segunda cambia de signo en su paso por 1 y -1, dichos puntos son puntos de inflexión.

Como la función 2

3( )

6 2f x

x

es siempre positiva el área pedida es la integral definida de la función en el

intervalo (-1, 1): 1

21

2 2

2

3

6 2

3 3 1Calculemos la primitiva

6 2 2 3

Esta integral es del tipo arcotangente. En efecto, observando que :

Dividimos numerador y denominador por 31

3 para conseguir la expresio

Área dxx

dx dxx x

x

2 22

1

1 13 ·3 3n 1+y

13 3 3

x x

Entonces la integral queda como


13 de 13

22 2

2 2

Cambio de variable

3 3 1 3 1 1· · 3·

6 2 2 3 2 3 31

3 3

Deshaciendo el cambio de variable1 1 3 1 3 3

3 2 1 2 1 2 2

3

xdx dx dx t x t

x x x

dx dt

dt dt arctgt arctxtt t

3

xg

Por lo tanto, aplicando la regla de Barrow tenemos que 1

1

21

1

3 3 3 1 3 1

6 2 2 2 23 3 3

3 3 2 3 3 unidades cuadradas

2 6 2 6 12 6

xÁrea dx arctg arctg arctg

x

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