pruebas aceleradas

7/26/2019 pruebas aceleradas

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33Temas de Ciencia y Tecnologa vol. 13 nmero 38 mayo - agosto 2009 pp 33 - 37

ResumenLas pruebas aceleradas, consisten en una variedad

de mtodos para acortar la vida de un producto opara alargar su degradacin. El principal objetivo

de tales pruebas es obtener datos rpidamente, los

cuales modelados adecuadamente y analizados,

proporcionan informacin deseada sobre la vida

de un producto bajo condiciones normales de uso.

En este artculo, se estudiaran las pruebas de vida

acelerada, se mencionaran los principales objetivos

para los cuales se acelera la vida de un producto, los

modelos de pruebas de vida acelerada ms usuales y

finalmente se aplicar uno de stos a un conjunto dedatos obtenidos en una prueba en la cual se acelera

la temperatura.

Palabras clave: Distribuciones de probabilidad, estima-

cin, mtodos de aceleracin, pruebas de hiptesis.

1. IntroduccinAc tu al men te muc ho s fab ric ant es si ent en un

fuerte presin por desarrollar nuevos y mejores

productos, que registren una alta duracin,

confiabilidad entre ellos y por supuesto una alta

calidad. Esto ha motivado a desarrollar mtodos

en ingeniera y ampliar el uso de diseos de

experimentos para productos y mejorar su proceso.

Estos requerimientos para una alta confiabilidad

han incrementado y necesitan por adelantado

pruebas de materiales, componentes y sistemas.

Pruebas de vida acelerada en confiabilidad

Las pruebas aceleradas son muy usadas en la

industria manufacturera, particularmente para

obtener informacin de la confiabilidad de suscomponentes y materiales. Existe una gran variedad

de mtodos estadsticos en la aceleracin de

la vida de un producto complicado que puede

fallar de diferentes maneras. Generalmente, la

informacin de las pruebas a altos niveles de una

o ms variables de aceleracin o esfuerzo (como

pueden ser temperatura, voltaje o presin) se utiliza

para estimar la distribucin de vida del producto.

El trmino aceleracin tiene varios significados

en el campo de la confiabilidad, pero el trminogeneralmente implica ir ms rpido, de tal forma

que la informacin de la confiabilidad pueda

obtenerse ms rpidamente. Existen diferentes

tipos de pruebas de confiabilidad en las fases

del proceso de produccin del producto, las ms

comunes son pruebas de vida acelerada y pruebas

de degradacin acelerada.

2. Pruebas de vida aceleradaUna prueba de vida es aquel la en la cual un artculo

o producto de inters, se somete a un esfuerzo

en condiciones ambientales mayores a las que

tpicamente estar operando. Los principales

objetivos de acelerar la vida de un producto son:

estimar la distribucin de vida de dicho producto,

identificar fallas en el diseo, medir y demostrar la

confiabilidad.

Notas


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Temas de Ciencia y Tecnologa | mayo - agosto 200934 Notas

Los modelos de pruebas de vida acelerada tiene

las siguientes dos componentes: Una distribucin

de vida que representa la dispersin de la vida del

producto y la relacin vida esfuerzo.

Las distribuciones ms usuales para pruebas de vida

son: exponencial, normal, lognormal, Weibull y de

valores extremos (Gumbel).

3. Relacin vida esfuerzoLa relacin existente entre la vida y el esfuerzo no

siempre es el mismo, ste puede ser constante o

no, en este trabajo slo se estudiarn pruebas con

esfuerzo constante, ya que es ms comn que las

unidades trabajen con el mismo esfuerzo durante

el tiempo de la prueba. Normalmente los datos de

la prueba de vida se grafican como se muestra en

la siguiente figura.

FIGURA 1. RELACIN VIDA ESFUERZO.

Observe que a niveles altos de esfuerzo la vida

disminuye y viceversa.

Cuando el tiempo de la prueba se especifica

y al gu na s un ida de s no ha n fal la do ha st a es emomento, se dice que stas estn censuradas o

que se tienen datos censurados por la derecha.

En muchas aplicaciones industriales, las variables

de aceleracin ms comunes son la temperatura,

volta je y pres in, dep endiendo de stas se aplica

una relacin vida esfuerzo especfica, por ejemplo

si el esfuerzo es temperatura, la relacin usual

es la de Arrhenius, aunque cabe aclarar que sta

no siempre se aplica en situaciones en donde la

variable de aceleracin es temperatura ya que

en algunos casos no se tiene un buen ajuste del

modelo. Algunas aplicaciones de esta relacin son:

aislantes elctricos y dielctricos, estados slidos

y semiconductores, celdas de batera, lubricantes,

plsticos, lmparas incandescentes, etc.

Si el esfuerzo aplicado en la prueba es voltaje, la

relacin ms comn es la de potencia inversa.

En cualquier caso se necesita el uso de una

distribucin de prueba de vida, dependiendo de

la distribucin utilizada, se tiene los modelos para

pruebas de vida acelerada, por ejemplo si la relacin

es potencia inversa y se usa la distribucin Weibull,

se tiene el modelo potencia inversa Weibull. En el

ejemplo que se mostrara en este trabajo, el esfuerzo

utilizado es la temperatura y la distribucin de vida

que se supone es la lognormal, por lo que se usar

el modelo Arrhenius lognormal, a continuacin se

describe dicho modelo.

4. Modelo de Arrhenius lognormalLa vida de algunos productos y materiales en una

prueba con temperatura acelerada se describe

adecuadamente con una distribucin lognormal. De

acuerdo con la ley de Arrhenius, la razn de una simple

reaccin qumica (R) depende de la temperatura

como sigue

=

Tk

EATR

B

aexp)(

,

donde aE es la energa a la cual se activa la reaccin,

usualmente en volts (eV),KB= 8.6171 x 10-5= 1/11605

es la constante de Boltzmanns en electrn volts por

C, T = TempC+ 273.15 es la temperatura absoluta

en la escala de Kelvin,A es una caracterstica de falla

del producto en condiciones de prueba. Tanto aE

como A son parmetros del modelo que necesitan

estimarse. El modelo hace los siguientes supuestos:

la vida del producto tiene un distribucin lognormal


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3 Temas de Ciencia y Tecnologa | mayo - agosto 2009Pruebas de vida acelerada en confiabilidad.

o equivalentemente el logaritmo de sta tiene una

distribucin normal, la desviacin estndar, , del

logaritmo de la vida es constante independiente de la

temperatura y el logaritmo de la vida media )(5.0 T

es una funcin lineal del inverso de la temperatura

absoluta, esto es,

[ ] ( ),/)(log 215.0 TT +=

la cual se llama la relacin de Arrhenius. Los

parmetros ,1 2 y son caractersticas delproducto y del mtodo de prueba, los cuales son

estimados de los datos. Equivalentemente la media

)(x del logaritmo de la vida es una funcin lineal

de x=1000/T, es decir,

,)( 21 xx += (1)

aqu 1000 se usa como una escala de la temperatura.

Con lo anterior, a una temperatura absoluta T, la

funcin de distribucin acumulada al tiempotes

=

)()log()(

xttF

, (2)

donde [ ] es la funcin de distribucin acumuladade una normal estndar.

5. Anlisis de datosPara analizar los datos de una prueba de vida

acelerada, el mtodo de mxima verosimilitud (MV)

es el ms usado, ya que es muy verstil y es aplicable a

diferentes modelos, tipos de datos y tipos de esfuerzo,

adems ste se puede ocupar cuando se tienen datos

censurados o sin censura.

Supngase que la muestra i tiene a la variable

dependiente iy censurada por la derecha, entonces

la funcin de verosimilitud es

),,...,,;(1),...,,( 2121 pipi yFL =

dondeFes la funcin de distribucin acumulada de

iy , en nuestro caso sta es la dada en (2).

Ahora su pngase que se ti ene n n mue st ras

independientes, entonces la verosimilitud muestral

es el producto de stas, esto es,

=

=

n

i

pip LL1

2121 ),...,,(),...,,(

.

Tomando el logaritmo natural de sta, se tiene la log-

verosimilitud muestral, dada por,

1n=

=

n

i

pl1

21 ),...,,(

,

la cual solo es funcin de los parmetros .,...,, 21 p

Los est imadores de mxima veros imil i tud

p ,...,, 21 de p ,...,, 21 son los valores

que maximizan la log-verosimilitud muestral y se

encuentran por los mtodos tradicionales de clculo,

igualando a cero laspderivadas de ),...,,( 21 pl

con respecto a los parmetros y resolviendo las

siguientes ecuaciones de verosimilitud para

p ,...,, 21 :

,0),...,,( 21=

i

pl

para

pi ,...,2,1=.

Usualmente estas son ecuaciones no lineales en los

parmetros y no se pueden resolver algebraicamente

por lo que hay que ocupar algn mtodo numrico.

Despus de obtener la estimacin de los parmetros,

hay que estimar la matriz de varianzas y covarianza

de ellos, dada por,

==

)(),(

),()(

1

11

1

pp

p

VarCov

CovVar

FV

L

MOM

L

piL 21 ),...,,(


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la cual es una matriz simtrica de pp , aqu, F esla matriz de informacin de Fisher formada por las

segundas derivadas parciales negativas de la funcin

de log-verosimilitud evaluada en p ,...,, 21 . Para

encontrar intervalos de confianza de los parmetros

estimados, se ocupa la aproximacin normal por las

propiedades asintticas que se cumplen. Mientrasque si lo que se desea es realizar algunas pruebas

de hiptesis, se ocupa el estadstico

( )llllT j ...2 21 +++= , (3)

donde jklk ,,1, K= , y l es la log-verosimilitud

muestral estimada del j-simo nivel de esfuerzo y

total, respectivamente. Si la relacin entre los datos

es lineal, la distribucin de Tes aproximadamente2 con 1j grados de libertad, si la relacin no

es linealT tiende a tomar valores grandes, de esta

manera si ( )1,12

jT los datos son consistentescon una relacin lineal, de lo contrario los datos

difieren significativamente de la relacin lineal.

6. Ajuste del modeloLa Tabla 2 muestra datos censurados de una prueba

de aceleracin de temperatura, de una clase-B de capa

aislante para motores elctricos. Diez motores fueron

probados cada uno a cuatro temperaturas, 150C, 17C,

190C, y 220C. El objetivo de la prueba es estimar

la distribucin de vida de un diseo de motores a

temperatura de 130C. Al tiempo del anlisis, siete motores

a 170C tuvieron falla, cinco a 190C y 220C tuvieron falla,

mientras que ninguno de los motores fallaron a 150C.

150o

C 170o

C 190o

C 220o

C

8064+ 1764 408 408

8064+ 2772 408 408

8064+ 3444 1344 5048064+ 3542 1344 504

8064+ 3780 1440 504

8064+ 4860 1680+ 528+

8064+ 5196 1680+ 528+

8064+ 5448+ 1680+ 528+

8064+ 5448+ 1680+ 528+

8064+ 5448+ 1680+ 528+

TABLA 2. TIEMPOS DE FALLA DE 40 MOTORES SOMETIDOS A UNA

PRUEBA DE VIDA ACELERADA.

El signo + en la Tabla 2 indica aquellos motores que no

fallaron antes de que terminara el estudio. Los motores

fueron peridicamente analizados por fallas y el tiempo

de falla que se muestra en la tabla es el punto final del

periodo en el cual la falla ocurri.

En la Figura 3 se muestra la dispersin de los datos

de la prueba de vida acelerada dados en la Tabla 2.

FIGURA 3. RELACIN ENTRE LA TEMPERATURA Y LOS TIEMPOS DE FALLA.

En esta figura, se puede observar la relacin que existe

entre la temperatura y los tiempos de falla, a la cual se

le puede aplicar la relacin de Arrhenius, suponiendo

una distribucin de vida lognormal, el modelo ajustado

a los datos es el Arrhenius lognormal descrito en la

seccin 4. En este caso el parmetro de localizacin

es funcin de la temperatura, siguiendo la relacin

dada en (1). Cabe mencionar que en el anlisis de

los datos, los tiempos de falla registrados a 150C, no

proporcionan informacin relevante ya que slo se

tiene un punto, como lo muestra la Figura 3, por lo

que se omiten en dicho anlisis.

Los resultados son los siguientes:

ParmetroEstimacin porMV

Intervalo del 95%de confianza

1 3.47 (3.35,3.58)

2 4.30 (3.45,5.16)

0.2591 (0.1811,0.3707)

TABLA 4. ESTIMACIN DE LOS PARMETROS CON INTERVALOS DEL

95% DE CONFIANZA.


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3 Temas de Ciencia y Tecnologa | mayo - agosto 2009Pruebas de vida acelerada en confiabilidad.

La matriz de varianzas y covarianzas estimada es,

=

0022.00043.00014.0

0043.01903.00070.0

0014.00070.00033.0

V

.

La ecuacin ajustada es

( )x = 3.47 + 4.30

que es equivalente con (1).

Como el objetivo es estimar la distribucin de vida

de un diseo a temperatura de 130C, en la siguiente

tabla se muestran los cuantiles estimados de dicha

distribucin.

Cuantil Duracin estimada0.1 7470.50

0.5 10120.601 11744.995 17639.5010 21912.1320 28495.9750 47081.6180 77789.1790 101162.1095 125665.6099 188733.80

Por ejemplo, si lo que se desea es estimar la vida

media a una temperatura de 130C, la duracin es de

47081 horas aproximadamente. En situaciones reales

lo que se quiere es estimar un cuantil que proporcione

garanta a los consumidores, por ejemplo el 90, 95 o

99, en este caso para el cuantil 90 la duracin sera

101162 horas aproximadamente, lo que quiere decir,

que existe una probabilidad de 0.9 de que la falla se

presente despus de esas horas de estar trabajando

el motor.

Una prueba de inters es verificar la igualdad del

parmetro de escala ( ) en todos los niveles deesfuerzo. En este caso se tiene 3=j pruebas de

temperatura las log-verosimilitudes estimadas en cadanivel de esfuerzo son:

1 =l -64.27 2 =l -43.78, 3 =l -32.30

y la log-verosimilitud total es:

198.145 =l , por lo tanto usando el estadsticodado en (3),

=T 9.69 > 9.21 = (0.99,2).

As, las s difieren significativamente a un nivel del

99% de confianza, si las s de las poblaciones fueran

iguales, se podran observar valores grandes de T.

Otra prueba de inters es verificar la linealidad de

los datos. Si suponemos que el parmetro de escala

es constante, ajustando el modelo con varianzas

constantes para los tres niveles de temperatura, se

obtiene que la log-verosimilitud total estimada es

==ctel -148.19 y usando el estadstico dado en (3) ,

=T 1.34 > 2.35 (0.95,2)

Por lo que no hay suficiente evidencia de no linealidad

en los datos a un nivel de confianza del 95%.

7. ConclusionesEl modelo para prueba de vida acelerada estudiado

aqu ajusta adecuadamente a los datos del ejemplo,

permitiendo dar una buena estimacin de la

distribucin de vida, como lo muestran las pruebas

realizadas para tal ajuste al nivel de confianza

mostrado, aunque en general, estas pueden cambiar

dependiendo el nivel que se requiera, pero no loharan radicalmente. La estimacin de los parmetros

por mxima verosimilitud, mostrados en la Tabla 3,

presentan poca variabilidad y poca correlacin entre

ellos, como se puede verificar en la matriz de varianzas

y covarianzas. Con la estimacin de la distribucin de

vida, se pueden tomar decisiones acerca de la garanta

del producto ya que muestra su confiabilidad.

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Jimnez Hernndez J. del C.*

Alamilla Lpez N. E. *

Lpez Cerino M.**

*Universidad Tecnolgica de la Mixteca**

Benemrita Universidad Autnoma de Puebla

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