prueba.pdf

Universidad Nacional Autonoma de Honduras

Metodo de funciones de Green

Luis Dominguez

14 de julio de 2015

Indice general

1. Modelo Kronig Penny 41.1. Grafica del I.R y I.T. para un potencial delta de Dirac . . . . . . . 4

2. MODELO KRONIG PENNY 52.1. El modelo Kronig Penny en una dimension . . . . . . . . . . . . . . 72.2. M.K.P. utilizando transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . 9

Bibliografıa 15Referencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2

Indice de figuras

3

Capıtulo 1

Modelo Kronig Penny

1.1. GRAFICA DEL INDICE DE REFLECCION Y TRANS-MISION PARA UN POTENCIAL DELTA DE DIRAC

4

Capıtulo 2

MODELO KRONIG PENNY

El estudio del movimiento del electron en una estructura cristalina bajo el modelode Kroning Penny ha sido presentado en la mayorıa de los libros tradicionales,debido a su buen aspecto pedagogico que presenta cuando se resuelve la ecuacion deSchrodinger y el estudio de las estructuras de bandas. De igual manera se pretendedar un repaso de la solucion de la ecuacion de Schrodinger independiente del tiempoutilizando potenciales periodicos modelados con deltas de Dirac, aunque el iniciodel desarrollo siguiente se realice en forma general el modelo de Kronig Pennyse realizara en una dimension, pero tambien este modelo puede ser facilmentegeneralizado para tres dimensiones utilizando una red de Bravais cubica.

Este modelo fue presentado por de L. Kronig y Penney (1931) proporcionandodetalles del comportamiento de los electrones en ciertos problemas especiales bajolos potenciales periodicos.

Recordando la ecuacion de Schrodinger no relativista, por lo tanto independientedel tiempo.

Hψ = Eψ (2.1)

donde:

H = − }2m∇

2 + V (~r)

. . .debido a que el potencial V (~r) es periodico, tenemos que ∀~R ∈ red de Bravais,

V (~r+ ~R) = V (~r)

Utilizando el teorema de Bloch, para un electron con Hamiltoniano definidopor (2.1) bajo el potencial periodico antes descrito, tiene la forma de una ondaplana modulada por una funcion con la periodicidad de la red de Bravais Ashcroft

5

6 CAPITULO 2. MODELO KRONIG PENNY

y Mermin (1976, pp. 134-135).

ψ~k(~r) = µ~k(~r)ei~k·~r (2.2)

donde ~k es un vector de la red reciproca o el vector de onda y µ~k tiene laperiocidad de la red real.

Al sustituir (2.2) en la ecuacion de Schrodinger:[− }

2m∇2 + V (~r)

]µ~k(~r)e

i~k·~r = Eµ~k(~r)ei~k·~r

Pero como:

∇2fg = f∇2g+ 2∇f · ∇g+ g∇2f

y

∇2ei~k·~r = − | ~k |2 ei~k·~r

por lo tanto:

− }2m

[µ~k

(− | ~k |2 ei~k·~r + 2∇µ~k · (i~ke

i~k·~r) +∇2µ~kei~k·~r)]

+ V (~r)µ~kei~k·~r) = Eµ~k

− }2m

[∇2 + 2i~k · ∇− | ~k |2

]µ~k + V (~r)µ~k = Eµ~k (2.3)

H~kµ~k = Eµ~k

donde

H~k = −}

2m(∇2 + 2i~k · ∇− | ~k |2

)+ V (~r)

La expresion anterior realmente no es el Hamiltoniano, debido a que µ~k noes la funcion de onda, mas aun, es solamente la parte periodica de la funcion deonda, por lo tanto el problema se ha reducido a resolver una ecuacion diferencial desegundo orden de la parte periodica. Esta ganancia trae consigo la incorporacion dedos terminos adicionales del Hamiltoniano original, un termino que es proporcionalal gradiente y un termino constante. A continuacion se presentara el desarrollo delun modelo siguiendo el resultado anterior.

2.1. EL MODELO KRONIG PENNY EN UNA DIMENSION 7

2.1. EL MODELO KRONIG PENNY EN UNA DIMEN-SION

Para hacer la matematica un tanto menos complicada los potenciales de Deltade Dirac se modelaran de la siguiente forma:

V (x) =

{V0 si −b ≤ x ≤ 00 si 0 ≤ x ≤ a

donde V0 → ∞ y b → 0 pero manteniendo el producto V0b finito, como semuestra en la figura 2.1.

Utilizando la ecuacion (2.3) en una dimension, y debido al teorema de Bloch,solamente es necesario operar la funcion µ~k, por lo tanto.

− }2m

[d2

dx2 + 2ik ddx− k2

]µ~k + V (x) = Eµ~k

sea α2 =2mE}2 entonces la funcion µ~k en una dimension se puede escribir:

d2µkdx2 + 2ikdµk

dx−(k2 +

2mV}2 − α

2)µk = 0

Estudiando el caso en la region donde 0 ≤ x ≤ a tenemos V (x) = 0 por lotanto

d2µkdx2 + 2ikdµk

dx− (k2 − α2)µk = 0

Con solucion

µk(x) = Ae−i(k+α)x +Be−i(k−α)x (2.4)

el caso en la region donde −b ≤ x ≤ 0 el potencial es V0 por lo tanto

d2µkdx2 + 2ikdµk

dx−(k2 +

2mV0}2 − α2

)µk = 0

con solucion

µk(x) = Ce(−ik+β)x +De(−ik−β)x (2.5)

β2 =2m}2 (V0 −E)


Utilizando las condiciones de frontera en la igualda (2.4) y (2.5) cuando x = 0y de igual forma utilizando (2.4) y (2.5) cuando x = −b se tiene:

{A+B = C +D

Ae−i(k+α)a +Be−i(k−α)a = Ce−(−ik+β)b +De−(−ik−β)b

Debido a que sus derivadas tambien tienen que ser continuas se tiene en (2.4) y(2.5) que:

µ′k(x) = −i(k+ α)Ae−i(k+α)x − i(k− α)Be−i(k−α)x (2.6)

µ′k(x) = (−ik+ β)Ce(−ik+β)x + (−ik− β)De(−ik−β)x (2.7)

Utilizando las condiciones de frontera nuevamente para las derivadas en x = 0y x = −b que:

{−i(k+ α)A− i(k− α)B = (−ik+ β)C + (−ik− β)D−i(k+ α)Ae−i(k+α)a − i(k− α)Be−i(k−α)a = (−ik+ β)Ce−(−ik+β)b + (−ik− β)De−(−ik−β)b

Escribiendo las ecuaciones en forma matricial1 1 −1 −1

e−i(k+α)a e−i(k−α)a −e−(−ik+β)b −e−(−ik−β)b−i(k+ α) −i(k− α) ik− β ik+ β

−i(k+ α)e−i(k+α)a −i(k− α)e−i(k−α)a (ik− β)e(ik−β)b (ik+ β)e(ik+β)b

A

B

C

D

0000

El sistema anterior tiene soluciones diferentes de ~0 si la ecuacion secular de la

primera matriz es igual a o.

Por lo tanto, utilizando el software Maxima y simplificando la ecuacion secularel resultado es igual:

cos(k(a+ b)) = cos(αa) cosh(βb) + β2 − α2

2αβ sin(αa) sinh(βb) (2.8)

Esta ultima igualdad se puede simplificar mas si se recuerda que en la ecuacionde Schrodinger el potencial eran Deltas de Dirac. Es decir b→ 0 y V0 →∞ donde

el lımb→0,V0→∞

β2ba

2 = P , donde P es un valor constante, por lo tanto.

2.2. M.K.P. UTILIZANDO TRANSFORMADAS DE LAPLACE 9

cos(ka) = cos(αa) + P

αasin(αa) (2.9)

La ecuacion (2.9) se le conoce como la relacion de dispersion, mas adelante sediscutira acerca de esta ecuacion sobre su solucion y los resultados en un contextofısico. La importancia de esta ultima ecuacion ha llevado a muchos autores eninteresarce en resolver en forma numerica la ecuacion de Schrodinger con potencialesperiodicos con deltas de Dirac, y algunos otros en resolver el modelo Kronig Pennyutilizando metodos alternos, como es el caso del uso de las transformadas de Laplacepara resolver el modelo Kronig Penny en una dimension, ver Santana (1973), elcual se presentara a continuacion.

2.2. EL MODELO KRONIG PENNY UTILIZANDO TRANS-FORMADAS DE LAPLACE

Para poder llegar a la relacion de dispersion (2.9) se utiliza el metodo de lastransformadas de Laplace, el objetivo principal sigue siendo resolver la ecuacion deSchrodinger independiente del tiempo (2.1), y por el teorma de Bloch se conoceque la solucion es de la forma (2.2). En primer lugar se define la transformada deLaplace para ψ como

L =∫ ∞

0e−sxψ(x)dx = y(s)

por lo tanto operando la ecuacion (2.1) en una dimension tenemos.

(− }2

2md2

dx2 + V

)ψ = Eψ (2.10)

(d2

dx2 +2m}2 V

)ψ = −2m

}2 Eψ

Sea K2 =(2m}2

)E y definiendo U(x) =

(ma2

}2

)V (x), multiplicando e−sx en

ambos lados de la ecuacion (10) se tiene.

d2ψ

dx2 e−sx +

2a2U(x)ψe

−sx = −K2ψe−sx


Al evaluar la ecuacion anterior desde cero hasta el infinito y utilizando ladefinicion de la transformada de Laplace el resultado sera.

∫ ∞0

d2ψ

dx2 e−sxdx+

2a2

∫ ∞0

U(x)ψe−sxdx = −K2∫ ∞

0ψe−sxdx (2.11)

Utilizando la transformada de Laplace se tiene que la derivada es

∫ ∞0

d2ψ

dx2 e−sxdx = s2y(s)− sψ(0)− ψ

′(0)

Donde ψ(0) y ψ′(0) son valores evaluados en el origen que cumplen la condicion

de Bloch, por otro lado si se ordenan los terminos de la ecuacion anterior y utilizandola definicion de la transformada de Laplace se tiene

s2y(s) +K2y(s) = sψ(0) + ψ′(0)− 2

a2L{U(x)ψ(x)}

(s2 +K2)y(s) = sψ(0) + ψ′(0)− 2

a2L{U(x)ψ(x)}

y(s) =sψ(0)s2 +K2 +

ψ′(0)

s2 +K2 −2a2

(L{U(x)ψ(x)}s2 +K2

)

Se define la transformada inversa de Laplace L−1{y(s)} = ψ(x) y aplicando latransformada inversa a ambos lados de la igualdad se tiene.

L−1{y(s)} = ψ(0)L−1{

s

s2 +K2

}+ψ

′(0)L−1

{ 1s2 +K2

}− 2a2L

−1{L{U(x)ψ(x)}

s2 +K2

}(2.12)

Pero recordando L−1(

s

s2 +K2

)= cos(Kx) de igual forma se tiene que

L−1( 1s2 +K2

)= sin(Kx) de la ecuacion (2.12) la definicion de la transformada

inversa de Laplace y las igualdades anteriores se concluye.


ψ(x) = ψ(0) cos(Kx) + ψ′(0) sin(Kx)

K− 2a2L

−1{L{U(x)ψ(x)}s2 +K2

}(2.13)

Se ha expresado la funcion de onda en terminos de coseno, seno y en terminosde un potencial general U(x), si se utiliza el teorema de Bloch para la periocidaddel potencial, es decir, se observa que la funcion de onda debe tener la forma deuna onda plana de acuerdo a (2.2), y debido a que si la ecuacion (2.2) es evaluadaen ~r+ ~R donde ~R ∈ red de Bravais, por lo tanto (2.2) se puede escribir como:

ψ~k(~r+~R) = µ~k(~r+

~R)ei~k·(~r+ ~R)

ψ~k(~r+~R) = µ~k(~r)e

i~k·~rei~k·~R

ψ~k(~r+~R) = ψ~k(~r)e

i~k·~R (2.14)

Ahora bien, si se expresa la ecuacion (2.14) en una dimension, para las condi-ciones de frontera en la celda unitaria 0 6 x 6 a se tiene.

ψ(a) = ψ(0)eika (2.15)

ψ′(a) = ψ

′(0)eika (2.16)

Las ecuaciones (2.15) y (2.16) proporcionan un sistema de ecuaciones para ψ(0)y ψ

′(0) este sistema de ecuaciones es el que poporcionara informacion sobre la

relacion de dispersion.

La ecuacion (2.13) es la funcion de onda para un potencial periodico general,por lo tanto se pueden estudiar varios casos. Para el caso mas sencillo se tiene queU(x) = 0 es el caso del electron libre donde la relacion de dispersion debido a las

ecuaciones (2.15) y (2.16) es En =

(}2

2m

) [k± 2πn

a

]2se puede ver con mas detalle

como se obtiene esta relacion en Santana (1973),Roldan (1981).Para el caso de un cristal monoatomico modelado bajo un potencial con deltas

de Dirac como se menciono anteriormente, se le conoce como el modelo KronigPenny donde existen atomos identicos localizados a una distacia a y el potencial sera


de la forma U(x) = aP∞∑

n=−∞δ(x− na) por lo tanto operando el ultimo termino

de (2.13) se tiene.

L{U(x)ψ(x)} = aP∫ ∞

0e−sx

∞∑n=−∞

δ(x− na)ψ(x)dx

L{U(x)ψ(x)} = aP∞∑

n=−∞

∫ ∞0

e−sxδ(x− na)ψ(x)dx

L{U(x)ψ(x)} = aP∞∑n=0

e−snaψ(na)

Aplicando la transformada inversa de Laplace al ultimo termino de (2.13) y conayuda del resultado anterior

L−1{L{U(x)ψ(x)s2 +K2

}= L−1

aP

∞∑n=0

e−snaψ(na)

s2 +K2

= aP∞∑n=0

ψ(na)L−1{

e−sna

s2 +K2

}

Dado que L−1{e−say(s)} = f(x− a)u(x− a) donde f(x) = L−1{y(s)} y lafuncion u(x) es la funcion escalon.

L−1{L{U(x)ψ(x)s2 +K2

}= aP

∞∑n=0

ψ(na)sinK(x− na)

Ku(x− na) (2.17)

Por lo tanto la funcion de onda para el modelo Kronig Penny es

ψ(x) = ψ(0) cos(Kx) + ψ′(0) sin(Kx)

K− 2PaK

∞∑n=0

ψ(na) sinK(x− na)u(x− na)

(2.18)


Al utilizar las condicion de frontera en la celda unitarıa cercana al origen para0 6 x 6 a, el ultimo termino sera diferente de cero unicamente para n = 0 y paratodos los demas valores que se producen debido a la sumatorıa, seran cero debido ala definicion de la funcion escalon. Por lo tanto al utilizar la condicion de frontera(2.15) y el resultado (2.18) sera.

ψ(a) = ψ(0) cos(Ka) + ψ′(0) sin(Ka)

K− 2PaK

ψ(0) sin(Ka)

ψ(0)eika = ψ(0) cos(Ka) + ψ′(0) sin(Ka)

K− 2PaK

ψ(0) sin(Ka)

(cos(Ka)− eika − 2PaK

sin(Ka))ψ(0) + sin(Ka)K

ψ′(0) = 0 (2.19)

Para calcular la condicion de frontera (2.16) es necesario obtener la derivada deψ(x) y evaluando en x = a quedando como:

ψ′(a) = −ψ(0)K sin(Ka) + ψ

′(0) cos(Ka)− 2P

aψ(0) cos(Ka)

Notese que en el ultimo termino se tenıa al seno por la derivada de la funcionsalto, la cual es la delta de Dirac, este resultado siempre es cero por lo cual no fueincluido en la igualdad anterior.

ψ′(0)eika = −ψ(0)K sin(Ka) + ψ

′(0) cos(Ka)− 2P

aψ(0) cos(Ka)

(−K sin(Ka)− 2Pa

cos(Ka))ψ(0) + (cos(Ka)− eika)ψ′(0) = 0 (2.20)

combinando el resultado (2.19) y el (2.20) se tiene un sistema de ecuacionesque expresado en forma matricial queda

cos(Ka)− eika − 2PaK

sin(Ka) sin(Ka)K

−K sin(Ka)− 2Pa

cos(Ka) cos(Ka)− eika

ψ(0)

ψ′(0)

0

0

Este sistema tendra soluciones diferentes de ~0 si la ecuacion secular es igual a 0,

por lo cual se tiene.


(cos(Ka)− eika)(cos(Ka)− eika − 2PaK

sin(Ka))− sin(Ka)K

(−K sin(Ka)−2Pa

cos(Ka)) = 0

cos2(Ka)− 2eika cos(Ka)− 2PaK

sin(Ka) cos(Ka) + e2ika +2PeikaaK

sin(Ka) +

sin2(Ka) +2PaK

sin(Ka) cos(Ka) = 0

e−ika − 2 cos(Ka) + eika +2PaK

sin(Ka) = 0

cos(ka) = cos(Ka)− P

aKsin(Ka) (2.21)

La ecuacion (2.21) es muy parecida a la ecuacion (2.9) solamente diferenciandosepor las variables utilizadas y ambos resultados describen la relacion de la energıadel electron con su vector de onda.

Beltran (2013, pp. 3-4)

Referencias 15

Referencias

Ashcroft, N. W., y Mermin, D. N. (1976). Solid state physics (1.a ed.). Toronto:Thomson Learning. Hardcover. 5, 6

Beltran, J. H. V. (2013). Metodo generalizado de la matriz de transferencia (mgmt);metodo de las funciones de green de superficie (mfgs), relaciones y aplicacio-nes en sistemas semiconductores periodicos (Tesis de Master no publicada).Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias, Departamento deFisica Bogota, Colombia. 14

de L. Kronig, R., y Penney, W. G. (1931, Feb). Quantum mechanics of electrons incrystal lattices. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physicaland Engineering Sciences, 130 (814), 499–513. Descargado de http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1931.0019 doi: 10.1098/rspa.1931.0019 5

Roldan, A. G. (1981). Determinacion de las relaciones de dispersion para unelectronsn en movimiento en un cristal monodimensional, utilizando el metodode la tratransformada de laplace. 11

Santana, P. H. A. (1973). Use of the Laplace transform method to solve theone-dimensional periodic-potential problem. Am. J. Phys., 41 (10), 1138.Descargado de http://dx.doi.org/10.1119/1.1987504 doi: 10.1119/1.1987504 9, 11

http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1931.0019

http://dx.doi.org/10.1098/rspa.1931.0019

http://dx.doi.org/10.1119/1.1987504

prueba.pdf

Documents