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Proyectos fin de carrera
Herramienta de visualización de aspectos cohomológicos en imágenes 3D
Computación de Cup-i productos
Introducción
Preliminares:- Considerable desarrollo en los últimos años.- Aplicación en campos tan dispares como el de los Efectos Especiales y
Diagnóstico de Enfermedades.- Base matemática: Topología. Información sobre la estructura y
comportamiento de las imágenes.- Posibilita diversos procesos sobre ellas:
- Clasificación de objetos- Recuento y etiquetado
- Detección y seguimiento de bordes- Rellenado - Adelgazamiento- Segmentación- ...
Introducción
Preliminares:
Aplicación en medicina. - Procesos médicos que obtienen imágenes 3D del cuerpo humano.- Los órganos biológicos varían su forma pero no su topología. Ej: corazón.
Necesidad del estudio matemático de la imagen:- Parámetros topológicos.- Comportamiento y estructura.- Operaciones cohomológicas.
Introducción
Objetivos
- Estudio matemático a mano muy lento y costoso.- Necesidad de herramientas de apoyo.
- Dirigido a los investigadores en topología tridimensional.- Ámbito didáctico.
Introducción
Descripción del proyecto
- Método de visualización de aspectos homológicos y cohomológicos en imágenes 3D.- Implementación de productos cup e i-cup.
Flujo de proceso de imágenes:- Creación de la imagen (complejos simpliciales).- Adelgazamiento topológico.- Cálculo de productos cup.- Visualización de resultados.
Conceptos básicos
Relación entre objetos matemáticos y algebraicos
- Objetos reales y objetos matemáticos: necesidad de un paralelismo.
- El concepto básico de q-símplice:
0 – símplice:
1 – símplice:
2 – símplice:
3 – símplice:
Base Matemática
Relación con las imágenes
- Definición de la imagen mediante q-símplices
- Descomposición de una pirámide en q-símplices
Elementos de la representación
Caras de un q-símplice
El Operador Cara
Simplice compartido
Símplice desnudo
Elementos de la representación (II)
-Complejo Simplicial
- Símplice maximal
- Dimensión del Complejo simplicial
Representación de objetos 3D
Representaciones clásicas
- Por complejos simpliciales.- Por voxeles:
- División del espacio en unidades cúbicas y regulares.- No permite símplices.
- Tetraédrica:- No divide el espacio en unidades rígidas.- Utiliza una serie de tetraedros definidos por el espacio.- Caso particular de la representación por complejos simpliciales.
Representación de objetos 3D
Representaciones clásicas
- Por superficies:- No aporta información sobre el volumen.- Utiliza las superficies que rodean al objeto.- Representación muy habitual.
Representación de objetos 3D
Representación híbrida
Descomposición del voxel en tetraedros
Espacio dividido en unidades iguales y regulares (voxel)
Representación por matriz de
voxeles tetraedrizados
Unidades de dibujo: tetraedros y
sub-símplices de ellos
Representación de objetos 3D
Subdivisión de un voxel. Condiciones de la división:
- Completa: Tetraedros encajan para completar el cubo sin huecos.- Mínima: Menor número de tetraedros. - Normal: Matriz normal.
Intersección de dos tetraedros de la matriz debe ser vacía o un símplice común.
Representación de objetos 3D
Paso a complejo
- Transformación de matriz de voxeles tetraedrizados a representación simplicial.- Conexión con la herramienta de cálculo de operaciones cohomológicas.- Procedimiento:
Por cada voxel, se añaden los símplices que tenga definido al complejo total.
Adelgazamiento topológico
Características
- Se aplica justo después de crear la imagen- Modifica la imagen geométricamente.- Obtiene una versión simplificada al máximo- No altera la topología de la imagen (nº de componentes, agujeros y huecos).- Los resultados cohomológicos no dependen de si la imagen está adelgazada.
Métodos
- Colapsos simpliciales- Tetraedros simples (implementado).
Adelgazamiento topológico
Método por tetraedros simples
- Representación tetraédrica de la imagen de entrada.- Tetraedro simple: Aquel cuya eliminación no altera la topología de la imagen.
Análisis complejo de un tetraedro simple.
Proceso:- Se analizan todos los tetraedros.- Se eliminan aquellos que sean simples.- Múltiples iteraciones.
Adelgazamiento topológico
Adelgazamiento orientado
- Proceso alternativo al adelgazamiento total.- No analiza todos los tetraedros, sólo los vistos en la dirección del adelgazamiento- Infinitas direcciones de adelgazamiento (parametrización)- Implementadas sólo 6 direcciones.- Efecto paso a paso
Productos CUP
Equivalencia entre espacios topológicos
- Definición del problema- Homeomorfismos- Invariantes: los grupos de cohomología
¿Qué es un Cociclo?
- Significado topológico
- Estructura
Productos CUP
El producto CUP
- ¿Qué es el producto CUP?
- ¿Qué aporta el producto CUP?
- La implementación algorítmica
Productos CUP
Un ejemplo de distinción de espacios
Paso 1: Identificación de los espacios
Espacio del Toroide (X) Espacio de la Esfera Wedge (Y)
Productos CUP
Producto CUP para el Toro
- Elección de cociclos u y v: representantes de H1(X)
- Ejecución de los productos cup entre u y v:
[u] cup [v]= w representante de H2(X)[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]= -[w]
Productos CUP
Producto CUP para la esfera Wedge
- Elección de cociclos u y v: representantes de H1(X)
- Ejecución de los productos cup entre u y v:
[u] cup [v]= 0[u] cup [u]=0[v] cup [v]=0[v] cup [u]=0
Morfit
Necesidad de representar en 3D
- Tratamiento de imágenes 3D- Se necesitan rutinas de dibujo en 3 dimensiones.
Opciones:- Desarrollar todas las rutinas (muy costoso)- Conseguir una librería gratuita (opción escogida)
Librería escogida: Morfit:- Librería gratuita de funciones 3D- Completa
Morfit
Mundos
- Unidad espacial de trabajo- Espacio tridimensional sin límite definido- Análogo a un papel para un dibujante.
Sistema de coordenadas
3 ejes cartesianos:- Eje x: transversal.- Eje y: horizontal.- Eje z: vertical.
Morfit
Cámaras
- Captan el mundo desde distintas perspectivas.- Influyen en el renderizado.- Renderizado: Representación 2D de un modelo 3D desde un punto de vista.- El renderizado se realiza desde el punto de vista de una cámara.
Permiten simular movimiento:- Asociación de una cámara a un observador.- Moviendo la cámara por el mundo se simula el movimiento del
observador- Útil para ver la imagen desde todos los puntos de vista.
Morfit
Objetos básicos
- Polígonos.- Todos los modelos Morfit están formados por polígonos.- Problemas al representar los objetos geométricos.
Iluminación
- Aumenta el realismo de la representación- Permite apreciar el volumen de los objetos
Morfit
Dibujo de los símplices
- Deben hacerse usando sólo polígonos.
Vértices
- Modelo ideal: esfera. Necesita muchos polígonos = ineficiencia.
- Modelo escogido: cubo con centro en el vértice.
Morfit
Segmento
- Modelo ideal: cilindro con eje coincidente con el segmento. Mismo problema que la esfera.
- Modelo usado: prisma con eje coincidente con el segmento. Presenta un efecto poco estético: unión de dos
segmentos.
Morfit
Segmento
Solución al efecto poco estético:utilización de prismas afilados.- Parte de un prisma normal.- Se afila desde una cierta distancia de los segmentos.- La unión de segmentos queda más suave.
Morfit
Triángulo
- Constituye un polígono por sí mismo.- Puede ser representado directamente por Morfit.
Tetraedro
- Objeto puramente tridimensional, con volumen- Volumen no representable en Morfit- Se representa mediante su superficie = los tetraedros que forma su borde.