proyecto t3 - Álgebra lineal y numérica

7/25/2019 Proyecto T3 - lgebra Lineal y Numrica

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APLICACIONES DE LAS MATRICES A LA SOLUCIN DEPROBLEMAS DE REDES ELCTRICAS

RESUMEN

En el presente proyecto, daremos a conocer como obtener, sistemas deecuaciones lineales que permitan calcular intensidades de corrientes en losramales del mismo y diferencias de voltajes entre nodos, a partir de datos comofuerzas electromotrices de bateras (voltajes) y resistencias, en circuitos elctricosen forma de red.

Adems se eplica el mtodo de soluci!n de ecuaciones lineales simultneas,denominado Eliminaci!n "aussiana. #e aplican los mtodos de anlisis de

corrientes por bucles y anlisis de voltajes por nodos, concluyndose que elmtodo de anlisis de corrientes por bucles produce matrices dia"onal, consoluci!n $nica. #e muestra adems que estos procedimientos llevan aepresiones matriciales de la ley de %&m, como ' *.


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INTRODUCCIN

+a presente eperiencia tiene el fin de familiarizarnos con el tema dematrices aplicndolo en una realidad de redes elctricas para dar soluci!n a

problemas y lle"ar a usarlos de manera correcta.

El prop!sito principal de este proyecto es "enerar una alternativa de

emprendimiento personal dando a conocer los parmetros de factibilidad de

desarrollo profesional por medio del aprendizaje obtenido en la asi"natura

al"ebra lineal.

+a presente eperiencia tiene el fin de familiarizarnos con el tema de

matrices, mtodo de "auss, aplicndolo en redes elctricas para dar

soluci!n a su principal problema y lle"ar a usarlos de manera correcta.

En este proyecto lo que se busca es respaldar el resultado obtenido para la

mejora de anlisis, con respecto a la capacidad de sus productos.


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1. Realidad proble!"i#a$

En la actualidad se ve la elaboraci!n de circuitos electr!nico ya sea en caso

de estudios, proyectos de "ran escala, donde se desea saber los valoresque interact$an en las redes de circuitos ya sea el voltaje, o&miaje,

amperaje, etc.

on el fin de evaluar y probar sus valores necesario para el adecuado

trabajo de estos.

1.1. De%#rip#i&' del problea$

-ara nuestro caso se est desarrollando un circuito elctrico con la

funcionalidad de encender sus luces cuando el sol deja de brillar, es decir

prendera cuando comience a oscurecer el da.

-ara tal caso nos es necesario tener conocimiento de la intensidad de la

corriente para poder aplicar los componentes electr!nicos correctos, o

tambin saber qu podemos esperar de tal circuito. -or ejemplo saber si es

que necesitamos ms amperaje.

1.( )or*la#i&' del problea$

-ara poder se"uir con el desarrollo del circuito necesitamos saber la

intensidad que circula por el circuito as que nos &acemos la pre"unta

!mo podemos &allar el valor de la corriente/

1. +IPOTESIS

+as matrices tienen un n$mero cada vez ms creciente de aplicaciones en

la soluci!n de problemas en iencia y 0ecnolo"a.

#e aplicarn aqu al clculo de corrientes en una 1red elctrica2. #e dar

tratamiento especial al reclculo de las intensidades de las corrientes en


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cada 1bucle2 de la red cuando se modifican las fuerzas electromotrices de

las fuentes, debido a fallas o cambios en las mismas.

,. -USTI)ICACIN

3o puede decirse con tanta facilidad que un mtodo para resolver el

sistema de ecuaciones A b, es mejor que otro. A$n ms debido al

avance en velocidad y capacidad de almacenamiento de los

computadores, al"unas alternativas que parecan no justificarse como el

mtodo de 4auss56ordan, pueden utilizarse actualmente ya que su

1sobrecosto2 no es mayor.

#orprendentemente las matrices que aparecen en el problema del

clculo de las intensidades de las corrientes en una red elctrica, en la

forma matricial de la ley de %&m '*, tienen caractersticas muy

especiales. 7escribimos al"unas8

o #on siempre matrices simtricas.o #on siempre matrices no sin"ulares8 poseen matriz inversa.o #on siempre dia"onalmente dominantes8 los elementos de la

dia"onal principal tienen el mimo valor absoluto, entre los

elementos de la fila (y la columna).o #on siempre positivo definidas8 sus autovalores son positivos.

El tener conciencia que estas caractersticas te!ricas son compartidas

por las matrices presentes en este problema y en otras aplicaciones,

aclarar su importancia en la teora de matrices.

(. OB-ETIOS

OB-ETIO /ENERAL

-resentar de una manera ejemplar y sencilla la utilizaci!n de

mtodos matriciales, como alternativa conveniente en la soluci!n de

problemas de redes elctricas.


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OB-ETIOS ESPEC0)ICOS

7escribir las condiciones que &acen que el mtodo de 4auss es

estable en el caso de los problemas de redes elctricas, en donde

no es necesario apelar a mtodos ms sofisticados como la

esco"encia del pivote, que obli"aran a efectuar intercambio de

filas. 9ostrar en base a ejemplos concretos de problemas de redes

elctricas el desarrollo 4auss. *lustrar con ejemplos la simetra de las matrices que se presentan

al aplicar las leyes de :irc&&off. *lustrar con ejemplos la dominancia dia"onal de las matrices que

se presentan en estos problemas

*lustrar con ejemplos las razones por las cuales estas matricesson no sin"ulares y por lo tanto el sistema tiene soluci!n $nica.

. MARCO TERICO

LE2ES DE 3IRC++O))

+lamaremos como red elctrica a la asociaci!n de "eneradores y resistoresy todos ellos elctricamente conectados.


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PRIMERA LE2

LE2 DE LAS CORRIENTES O NUDOS$

En cualquier nudo, la suma de las intensidades de corriente elctricaque lle"an es i"ual a la suma de intensidades de corriente elctrica que

salen.

SE/UNDA LE2

LE2 DE LAS MALLAS O LAS TENSIONES

En cualquier malla, la suma al"ebraica de las diferencia de potencial

a lo lar"o de sus ramos recorridos en un sentido arbitrario es nula.

RESISTENCIA


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RESISTENCIA O RESISTORES.

+a resistencia es un dispositivo electr!nico que se opone al movimiento de lacorriente elctrica.

#u unidad de medida es el o&m ( ). #us m$ltiplos son el :iloo&m ( :) y

el 9e"ao&m ( 9).

#us smbolos son8

Resistencia fja Resistencia

variable

!di"o de colores para las resistencias.


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N E / R O

C A ) E

R O - O

N A R A N - A

A M A R I L L O

E R D E

A 4 U L

I O L E T A

/ R I S

B L A N C O

D O R A D O

P L A T A

C O L O R B A N D A B A N D A T O L E R A N C I A

S I / N I ) I C A T I A M U L T I P L I C A D O R A

5

1

,

(

6

7

8

9

:

; 1

1 5;

; 1 5 5

; 1 5 5 5

; 1 5 5 5 5

; 1 5 5 5 5 5

; 1 5 5 5 5 5 5

; 1 5 5 5 5 5 5 5

; 1 5 5 5 5 5 5 5 5

; 1 5 5 5 5 5 5 5 5 5

; 5 . 5 1

S I N C O L O R

; 5 . 1

5

,e% de 3ir#?o@@. Le> de la% #orrie'"e%$ +a corriente neta en un nodo

(entradas menos salidas) es cero.

Le> de lo% ol"ae%$+as diferencias de potencial (cadas de

voltaje) suman cero en cada 1bucle2 o 1malla2 cerrada.

Nodo$-unto donde confluyen dos o ms conductores

Re%i%"e'#ia$o 7ificultad variable que opone un conductor al paso de la corriente.

+a resistencia se mide en %&mios.o 7ispositivo fsico que opone resistencia al paso de la corriente.

ol"ae$7iferencia de potencial entre los etremos de un conductor.

#e mide en voltios. Corrie'"e$9ovimiento de la electricidad. #e mide en amperios.


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)*e'"e$7ispositivo que "enera diferencia de potencial, posibilitando

movimiento de electricidad, tal como pilas, bateras, y "eneradores

de corriente.

Nodo pri'#ipal o *'i&'$es un punto donde se unen C o ms

ramales. +o marcaremos casi siempre en el dia"rama del circuito con

un punto rojo. 3!tese que si un ramal no contiene fuentes de voltaje

o car"as, tal ramal puede considerarse como un nodo.

3CL$+ey de las corrientes de :irc&&off.

Ma"ri diao'ale'"e doi'a'"e$Es aquella matriz simtrica en lacual los elementos de la dia"onal son mayores en valor absoluto que

cualquier otro elemento en su fila yDo columna.

M"odo de /a*%% #o' pio"eo par#ial$ >na variaci!n del mtodo

de 4auss, donde en el i5simo paso, se utiliza como pivote, el

elemento de m!dulo mimo en la columna i, intercambiando filas de

ser necesario.

. 7E#A%++%

Balle las corrientes que fluyen en cada ramal del si"uiente circuito.

#oluci!n8


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El n$mero de corrientes de bucle requeridas es C.

Esco"eremos las corrientes de bucle seFaladas arriba.#e escriben las leyes de voltaje de :irc&&off, de las cuales resulta elsistema de ecuaciones8

ecolectando los trminos se lle"a a8

Al resolver el sistema de ecuaciones, se &allan las corrientes,medidas en amperios8

*G 5 H.I, *J GJ.I y *C 5 G.K

Be aqu la soluci!n, en el dia"rama.


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%bservaciones8

+a matriz es dia"onal dominante.

#u auto valores al ser calculados son8G HI, JHG, LJ MC,KGK, LC NH,IHO.

-or lo tanto son positivos, de donde se concluyeEl determinante de la matriz, que es el producto de sus autovalores, es positivo P K+a matriz es invertible, o no sin"ular, por ello la soluci!n es$nica.

-or tener sus autos valores positivos, la matriz es -ositivo7efinida.

7. MODELO APLICATIO


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7E#A%++% %3 :*BB%*0%

M"odo de /a*%%

G. epresentar el sistema mediante su matriz ampliada ?A@b.

J. Baciendo uso de operaciones elementales fila, reducir la matriz ampliada auna forma escalonada.

C. %btener el sistema equivalente que resulta.

H. esolver el sistema por sustituci!n re"resiva, tomando las variables libresnecesarias.

Desarrollo

91360I1+680I

2=0

680I11360 I

2=0


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1360I1680I

2=9

680I11360 I

2=0

Aora re!resenta"os las ec#aciones en #na "atri$ a"!lia%a

(1360 680 9680 1360 0)

L#e&o a!lica"os lo '#e es las trans(or"aciones ele"entales

(1360 680 9680 1360 0)

(1360 680 9

0 2040 9

)El siste"a e'#ivalente a esta "atri$ a#"enta%a es)

1360I1680I

2=9

2040I

2=9

I2=

9

2040=4,41176470510

3

1360I1680 ( 4,411764705103

)=0

I1=8.8235294103

SE/UNDO CIRCUITO

9todo de 4auss

G. epresentar el sistema mediante su matriz ampliada ?A@b.

J. Baciendo uso de operaciones elementales fila, reducir la matriz ampliada auna forma escalonada.

C. %btener el sistema equivalente que resulta.

H. esolver el sistema por sustituci!n re"resiva, tomando las variables libresnecesarias.

*ivot+ 13,-. /1fla!ivot(102(2


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Desarrollo

8.51360I1+680I

2=0

680I11360 I

2=0

1360I1680I

2=8.5

680I11360 I

2=0

Aora re!resenta"os las ec#aciones en #na "atri$ a"!lia%a

(1360 680 8.5680 1360 0)

L#e&o a!lica"os lo '#e es las trans(or"aciones ele"entales

(1360 680 8.5680 1360 0)

(1360 680 8.5

0 2040 8.5)El siste"a e'#ivalente a esta "atri$ a#"enta%a es)

1360I1680I

2=8.5

2040I

2=8.5

I2=

8.5

2040=4,16666666610

3

1360I1680 ( 4,166666666103 )=8.5 I1=8.333310

3

CONCLUSIONES

El mtodo del anlisis de corrientes por bucles produce matrices

cuadradas simtricas, no sin"ulares, dia"onal dominantes y positivo

*ivot+ 13,-. /1fla!ivot(102(2


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definidas y es por lo tanto muy conveniente para utilizar en su soluci!n,el mtodo de 4auss sin intercambio de columnas. +as matricespositivas definidas son muy convenientes para la estabilidad de losclculos.

El mtodo del anlisis de voltajes por nodos produjo tambin

matrices dia"onal dominantes y positivo definidas.

8. RECOMENDACIONES

En el curso de Ql"ebra +ineal deben incorporarse aplicaciones como las

que se presentan en este proyecto.

+os clculos pueden &acerse por medio de paquetes numricos como

#cilab o por medio de calculadoras pro"ramables, las cuales tienen

importantes aplicaciones en el estudio de cursos de in"eniera.

9. BIBLIO/RA)0A Al"ebra +ineal

#tandley *. 4rossman

Al"ebra +ineal R '*** Edici!n;ernard :olman D 7avid . Bill

Electronica 7i"ital6os +uis 9artn 4onzlez (Autor), 6a"oba Arias -rez (Autor), >nai

;idarte -eraita (Autor), *n"eniera electr!nica

6. 4onzlez ;ernaldo de Suir!s (Autor)

:. ANE;OS


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proyecto t3 - Álgebra lineal y numérica

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