PROYECTO Coordenadas polares: curvas maravillosas Nombre__________________________________________ curso_________ fecha__________________ Transformación de coordenadas

La navegación aérea es una empresa muy arriesgada, ya que cuando se vuela a grandes altitudes no existen puntos de referencia para que el piloto de la aeronave pueda guiarse, por lo cual sería muy fácil perder el rumbo. Por eso en la Segunda Guerra Mundial fue inventado el radar, un aparato que envía una señal electromagnética y que al recibirla de vuelta determina la posición de un objeto con respecto al radar. La posición de los objetos en el radar no se representa por medio de las distancias verticales y

horizontales sino por medio de un ángulo y una línea recta que determina la distancia desdeel radar. En la gráfica del ejemplo el avión (representado con el punto B) se encuentra a 2 km con una declinación de 42.24°. De la torre de control (representada con el punto A). INTRODUCCION

En estos tiempos, con el uso múltiple de las computadoras, se debería enseñar en el colegio las coordenadas polares para poder graficarlas y luego explicar a los alumnos las distintas formas que adopta la naturaleza: la forma de las flores, de los caracoles, etc. Por ejemplo, es posible representar matemáticamente la flor mostrada en la siguiente fotografía. Las coordenadas polares ayudan a graficar estos numerosos pétalos.

ESTANDARIZA LA CALCULADORA Lo primero que vamos a hacer es definir el modo de la calculadora, oprime MODE para visualizar la pantalla de modos, seleccione POL (trabajaremos con ecuaciones polares). Pulsa ZOOM 5 para seleccionar 5:Zsquare. ACTIVIDADES TRACEMOS FUNCIONES CIRCUNFERENCIAS Circunferencias con centro el polo. La ecuación cartesiana de una circunferencia es: x2 +y2 =a2 Aplicando transformaciones tenemos: x2 +y2 =a2 (rcosθ)2 +(rsenθ)2 =a2 r2 cos2 θ+r2sen2 θ=a2 r2(cos2 θ+sen2 θ)=a2 r2 =a2 r = a ACTIVIDAD 1 Traza en la calculadora dos circunferencias una de r = 2 y otro r = 4. Para ello digita Y= y marca las ecuaciones pedidas (r = 2, r = 4). Circunferencias con centro en (a, φ). Observemos el gráfico:

C o o r d e n a d a s p o l a r e s : c u r v a s m a r a v i l l o s a sNorberto Jaime Chau Pérez | jchau@pucp.edu.pe

Roy Wil Sánchez Gutiérrez | rwsanche@pucp.edu.pe

I n t r o d u c c i ó nrectangulares (x; y); es decir, dando su abscisa x y su ordenada y relativos a los ejes perpendiculares

dados. En algunos problemas, es más conveniente localizar un punto mediante sus coordenadas pola-

res. Las coordenadas de un punto en coordenadas polares es un par de números reales (r, ) [2] y [3].

En estos tiempos, con el uso múltiple de las computadoras, se debería enseñar en el colegio las coor-

-

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ra 2).

127

cos3r

De allí obtenemos el triángulo:

Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos:

ACTIVIDAD 2 Borra las ecuaciones registradas y digita r = 4 cos(θ) (No olvides Pulsar ZOOM 5 para seleccionar 5:Zsquare). Esta circunferencia tiene centro en ______________ y su radio es:______________ CARACOLES Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: la forma r = a ± b cos θ o r = a ± b sen θ ACTIVIDAD 3 Graficar r = 6 + 6 cos θ Resultando, finalmente:

Borra las funciones y digita. Dibuja con colores en el plano derecho:

1. r = 6 − 6 cos θ 2. r = 6 + 6 sen θ 3. r = 6 − 6 sen θ

CARACOL CON RIZO

Moisés Villena Muñoz !"##$%&'(%()!*#+($&)

96

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Graficar sen216r

SOLUCIÓN: Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje

2 hacia abajo.

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Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: )()( ff

ACTIVIDAD 4 Digita r = 3 + 6 cos θ

Borra las funciones y digita: Dibuja con colores en el plano derecho:

1. r = 3 + 6 cos θ 2. r = 3 − 6 cos θ 3. r = 3 − 6 sen θ 4. r = 3 + 6 sen θ

ROSAS La gráfica de la curva r = 2cos(4θ) n coordenadas polares representa aproximadamente una flor. ACTIVIDAD 5 Digita la anterior ecuacion Cuadra la ventana oprimiendo WINDOW, marca Y min y X min -2,5, Y max y X max 2.5. Te apareció la flor?______ Ahora digita (marca ZOOM 5 para seleccionar 5:Zsquare)

€

r = 3cos 72θ

⎛

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⎠ ⎟ +1

Moisés Villena Muñoz !"##$%&'(%()!*#+($&)

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Nota: Determine los ángulos de formación del rizo.!

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2

La mariposa es el emblema de la transformación, el simbolismo de la libertad en diferentes formas.

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presentar matemáticamente usando coordenadas polares.

Figura 2

Representa la curva de forma de una mariposa dada por la ecuación

127

cos3r

Figura 3

Una mariposa

)4cos(2coser

• Rosas con un número de pétalos pares e impares consideramos dos casos: 1. Si n es PAR es una rosa de 2n pétalos r = 4sen(2θ) ACTIVIDAD 6

1. Grafica r = 4sen(2θ) Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos

2. En la parte izquierda dibuja la función r = 4cos(3θ). ¿Cuántos pétalos tiene? 3. Descubre una flor con 5 y 6 pétalos. Escribe su ecuación y dibújala en la parte derecha.

Flor con 5 pétalos: r = __________________ Flor con 6 pétalos: r = __________________ MARIPOSAS La mariposa es el emblema de la transformación, el simbolismo de la libertad en diferentes formas. La sabiduría que nos da la vida a lo largo de las diferentes etapas por las que atravesamos. Todas nos aportan ese granito de arena que se queda en nuestras vidas. Estas hermosas especies se pueden representar matemáticamente usando coordenadas polares. La ecuación

€

r = ecosϑ − 2cos 4ϑ( ) graficada en coordenadas polares representa la forma de una mariposa. La gráfica es la siguiente (figura 4). ACTIVIDAD 7 Digita la ecuación

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r = ecosϑ − 2cos 4ϑ( ). Coincide con la siguiente gráfica:

Moisés Villena Muñoz !"##$%&'(%()!*#+($&)

101

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Graficar 2sen4r

SOLUCIÓN:

Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos

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!"#$%&'(Graficar 3cos4r

SOLUCIÓN:

Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos

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3

curvas interiores.

ssssssssssssssssssssssssssssss

ddddd

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

)4cos(2coser

12sin)4cos(2 5coser 240

12sin)4cos(2 5coser

2

La mariposa es el emblema de la transformación, el simbolismo de la libertad en diferentes formas.

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presentar matemáticamente usando coordenadas polares.

Figura 2

Representa la curva de forma de una mariposa dada por la ecuación

127

cos3r

Figura 3

Una mariposa

)4cos(2coser

Dibuja la siguiente ecuación en la claculadora, cuadra la ventana oprimiendo WINDOW, marca Y min y X min -4, Y max y X max 4. Ecuación

€

r = esinϑ − 2cos 4ϑ( ) : Otra ecuación que representa a una mariposa con mayor aproximación es la ecuación

€

r = ecosϑ − 2cos 4ϑ( ) + sin5 ϑ12⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ Fue descubierta por Temple H. Fay y publicada en el artículo “The Butterfly

Curve”, American Mathematical Monthly, mayo de 1989. En esta, se debe tener en cuenta el intervalo donde se encuentra el ángulo para generar las curvas interiores. Digita la ecuación

€

r = ecosϑ − 2cos 4ϑ( ) + sin5 ϑ21⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ y dibúla en la parte derecha.

Ejercicios

I. Escoge una mariposa, una flor y un caracol. Dibújalos en el papel periódico y/o cartulina, coloréalos a tu gusto y escribe la ecuación que representa cada figura.

3

curvas interiores.

ssssssssssssssssssssssssssssss

ddddd

ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

)4cos(2coser

12sin)4cos(2 5coser 240

12sin)4cos(2 5coser