Mecnica de Maquinaria IIProyecto Anlisis Dinmico de un BrazoRobtico Plano de 2 GDLJulio 20/2015Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-I Ing. Eduardo Orcs P.Unbrazorobticoes unmanipulador multifuncionalreprogramable diseado para mover materiales,componentes, herramientas, o dispositivosespecializados, a travs de movimientos programadosvariables para desempear diferentes tareas.Los manipuladores robticos estncompuestos poreslabones unidos por juntas rotacionales (R) oprismticas (P) para formar una cadena cinemtica en2Do 3D.Las principales aplicaciones industriales de los robotsson en operaciones de ensamblaje de componentes yotras operaciones tales como soldadura departes,pintura con soplete, manipulacin de materiales, carga ydescarga de mquinas, etc.IntroduccinIng. Eduardo Orcs P.Una aplicacin tpica de un manipulador industrialsemuestra en la figura a continuacin. El manipulador semuestra con una herramienta de corte que debe usarpara remover cierta cantidad de metal de una superficie.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.Supongamos que deseamos mover el manipuladordesde su posicin de reposo (home) a una posicin A,apartir de la cual el robot debe seguir el contorno de lasuperficie S hasta el punto B, a una velocidad constante,mientrasmantieneun fuerzaprescritaFnormal alasuperficie. Al hacer sto, el robot cortaropulirlasuperficie de acuerdo a cierta especificacin dada.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.El primer problema que se encuentra es poder describirla posicin de la herramienta y las posiciones A y B (y talvez, tambin la superficie S) con respecto a un sistemade coordenadas comn (absoluto o relativo). Este es elproblema cinemtico directo. Tpicamente, elmanipulador puede medir su posicin usando sensoresinternos (encoders) localizados en las juntas 1 y 2, loscualesmidendirectamentelosngulos 1y 2 . Esnecesarioexpresarentonceslascoordenadasdelospuntos A y B en trminos de estos ngulos.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.Para hacer que el robot vaya al punto B, necesitamos larelacininversa, esdecir, losngulos 1y 2entrminos delas coordenadas x-ydeB. Estees elproblema de cinemtica inversa. Puesto que el problemaes no-lineal, la solucin no es fcil de hallar y no hayuna solucin nica general. Puede no haber solucin siel punto B se encuentra fuera del alcance delmanipulador, o puede haber varias soluciones (ramas)como en el caso mostrado en la figura .Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.Finalmente, si deseamosquerecorrauncontornoavelocidad constante, debemos hallar la relacin entre lavelocidad de la herramienta y las velocidades angularesde las juntas. Esta relacin de la halla derivando lasecuaciones anteriores.La matriz J se llama la matriz J acobiana, y su inversapermite determinar la velocidad de la herramienta enfuncin de las velocidades angulares de las juntas.Notar que hay configuraciones singulares (2=0, ) quehay que evitar.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.Usted debe simular en la computadora elcomportamiento dinmico de un manipulador plano de 2GDL. Parahacer esto, debercrear unmodeloenSimulink siguiendo las indicaciones que se dan en lasdiapositivas a continuacin.Una vez creado el modelo dinmico, deber hacer unacorrida de prueba sin torques aplicados a las dos juntasdel mecanismo, enlaqueel robotcaedesdeunaposicin inicial bajo la accin de la gravedad.Para comprobar la precisin de la simulacin deberhacer una prueba de consistencia entre los resultadosobtenidos para la posicin de la herramienta a partir delos integradores y los obtenidos por el clculo directo.El Problema:Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.Finalmente, deber aadir dosmotoresen lasjuntasparaqueestosgeneren lostorquesnecesariosparallevar la herramienta desde la posicinde reposo(home) en las coordenadas x =-0.8, y =1, hasta elpunto A situado en x =1, y =0.8. Asuma que el torquedecadamotor es lasumadeunaseal queesproporcional a la diferencia entre el valor deseado y elvalor real de los ngulos de las juntas, y otra que esproporcional a la derivada de esta diferencia. Lasconstantes de proporcionalidad (conocidas comoganancias), influyen mucho en el comportamiento delsistema y deben ser afinadas para obtener eldesempeo adecuado. Obtenga las ganancias para queel robot vaya desde la posicin de reposo al punto A sinmayores oscilaciones.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.Simularemos un mecanismo de cadena abierta con doseslabones articulados. El mecanismo tendr dosmotores que generarn los torques de entrada.Simulacin dinmica de un Brazo Robtico Plano de 2 GDLProyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.EcuacionesVectoriales: La ecuacin vectorial para elrobot de dos eslabones es:(1) 2 1 cargaR R R + =Tomando componentes xy, y luego derivando conrespecto al tiempo, se obtiene:(5)) )cos( ( cos(4)) )sen( ( sen(3)) ( sen sen(2)) cos( cos2 1 2 1 2 1 1 1 carga2 1 2 1 2 1 1 1 carga2 1 2 1 1 carga2 1 2 1 1 carga + + + =+ + =+ + =+ + =r r yr r xr r yr r xProyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.Las ltimas dos ecuaciones pueden ser expresadas enforma matricial:(6)

2112 2 12 2 1 112 2 12 2 1 1cargacarga)`((

+ =)`C r C r C rS r S r S ryxLas derivadas de estas ecuaciones dan las siguientesecuaciones para la aceleraciones:( ) | |( ) | | (8) 2 ) ((7)2 ) (12 2 1 222 12 221 12 2 1 1 2 12 2 1 12 2 1 1 carga12 2 1 222 12 221 12 2 1 1 2 12 2 1 12 2 1 1 cargaS r S r S r S r C r C r C r yC r C r C r C r S r S r S r x + + + = + + + + = + + + Tambin esnecesario encontrar la relacin entre lasaceleraciones de los CG y las velocidades yaceleraciones angulares.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IProyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-I Ing. Eduardo Orcs P. Estas relaciones se las obtiene a continuacin:(12)] 2 ) [( ) ( A(11)] 2 ) [( ) ( A(10) (9) 12 2 1 222 12 221 12 2 1 1 2 12 2 1 12 2 1 1 y c2,12 2 1 222 12 221 12 2 1 1 2 12 2 1 12 2 1 1 x c2,21 1 1 1 1 1 , 121 1 1 1 1 1 , 1S r S r S r S r C r C r C rC r C r C r C r S r S r S rS r C r AC r S r Ac c c c cc c c c cc c y cc c x c + + + = + + + + = + + + = = + Ecuaciones Dinmicas:Escribimoslasecuacionesdel movimientodeNewton a partir de los DCL de los doseslabones del mecanismo.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-I Ing. Eduardo Orcs P. Eslabn 1: (15) (14)(13)1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 21 2 1, 1 1 1 21 01, 1 1 21 01 I C gr M C r F S r FA M g M F FA M F Fc y xy c y yx c x x= + = += +Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-I Ing. Eduardo Orcs P. Eslabn 2:Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-I Ing. Eduardo Orcs P. Carga: La carga la modelamos separada deleslabn2, porquesumasapuedevariar ypodemos estar interesados en las fuerzasrequeridas para su manipulacin. (20)g(19)carga 32 carga carga32 carga cargaM F y MF x Myx = = Ing. Eduardo Orcs P. En resmen, tenemos 6 ecuaciones a partir delas ecuaciones vectoriales de constriccin, y 8ecuaciones dinmicas. Si los torques seconsideran entradas al sistema, entoncestenemos las siguientes 14 incgnitas:y x y x y xay c ax c y c x c y c x cF F F F F FA A A A A A32 32 21 21 01 01arg arg 2 2 1 1 2 1 Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P. La Matriz de Constricciones Simultneas:El paso final es combinar las 6 ecuaciones deconstriccincinemticaconlas8ecuacionesdinmicas dando por resultado un sistema de 14ecuacioneslinealesenlas14incgnitas. Seensamblan luego en forma matricial, paraentonces incluirlas en la simulacin de Simulink.Las entradas al sistema y las velocidadesangulares de los eslabones van en el miembrodeladerecha. El sistemadeecuacionessemuestra a continuacin:Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.(21)Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.(21)( ) | |( ) | |( ) | |( ) | |)` + + + + + + + + + + + + =g Mg MC gr Mg MS r S r S r S rC r C r C r C rS rC rS r S r S r S rC r C r C r C ra ccc c cc c cccarg221 1 1 2 1112 2 1 222 12 221 12 2 1 112 2 1 222 12 221 12 2 1 121 1 121 1 112 2 1 222 12 221 12 2 1 112 2 1 222 12 221 12 2 1 1 0

0

022

22 Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P. La funcin fuerzasmanipulador2D.m implementalas ecuaciones (21), y es llamada por el modelode Simulink, manipulador2D.mdl. A continuacinse muestra en forma esquemtica unaimplementacin parcial de este modelo y lafuncin. Notar que hay dos torques de entrada,producidos por dos posibles motores actuando enlas articulaciones. Tambin se ha aadido unospares de friccin viscosa para simular la friccinexistente en los cojinetes y motores.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.0torque20torque11s1s1s1somega1MATLABFunctionfuerzasmanipulador2D.m2friccion22friccion11s1sXY Graph1s1sAdd1Addmanipulador2D.mdlProyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-Ifunction [out] = fuerzasmanipulador2D(u)% Funcin para implementar la simulacin dinmica completa % de un manipulador robtico plano con dos grados de libertad,% formado por dos eslabones articulados.% Usada con el modelo de Simulink MANIPULADOR2D.MDL% Entradas:% u(1) = omega1% u(2) = theta1% u(3) = omega2% u(4) = theta2% u(5) = torque1% u(6) = torque2% Definir algunas variables localesg = 9.8067;r1= 1.0; rc1 = 0.5;r2= 0.8; rc2 = 0.1;% m% Definir propiedades inercialesm1 = 2.5;m2 = 1.8; I1 = 0.15; I2 = 0.05; mcarga = 2.0;Ing. Eduardo Orcs P.fuerzasmanipulador2D.mProyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IS1 = sin(u(2)); S12 = sin(u(2)+u(4));C1 = cos(u(2)); C12 = cos(u(2)+u(4));% Matriz de coeficientesa = zeros(14,14); b = zeros(14,1);a(1,1) = r1*S1+r2*S12; a(1,2) = r2*S12; a(1,7) = 1;a(2,1) = -r1*C1-r2*C12; a(2,2) = -r2*C12; a(2,8) = 1;a(3,1) = rc1*S1; a(3,3) = 1;a(4,1) = -rc1*C1; a(4,4) = 1;a(5,1) = r1*S1+rc2*S12; a(5,2) = rc2*S12; a(5,5) = 1;a(6,1) = -r1*C1-rc2*C12; a(6,2) = -rc2*C12; a(6,6) = 1;a(7,3) = -m1; a(7,9) = 1; a(7,11) = 1;a(8,4) = -m1; a(8,10) = 1; a(8,12) = 1;a(9,1) = I1; a(9,11) = r1*S1; a(9,12) = -r1*C1; a(10,5) = -m2; a(10,11) = -1; a(10,13) = 1;a(11,6) = -m2; a(11,12) = -1; a(11,14) = 1;a(12,2) = I2; a(12,11) = rc2*S12; a(12,12) = -rc2*C12; a(12,13) = (r2-rc2)*S12;a(12,14) = -(r2-rc2)*C12;a(13,7) = mcarga;a(13,13) = 1;a(14,8) = mcarga; a(14,14) = 1;%Ing. Eduardo Orcs P.fuerzasmanipulador2D.m (Cont.)Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-I% Vector de entradasb(1) = -((r1*C1+r2*C12)*u(1)^2+r2*C12*u(3)^2+2*r2*u(1)*u(3)*C12);b(2) = -((r1*S1+r2*S12)*u(1)^2+r2*S12*u(3)^2+2*r2*u(1)*u(3)*S12);b(3) = -rc1*C1*u(1)^2;b(4) = -rc1*S1*u(1)^2;b(5) = -((r1*C1+rc2*C12)*u(1)^2+rc2*C12*u(3)^2+2*rc2*u(1)*u(3)*C12);b(6) = -((r1*S1+rc2*S12)*u(1)^2+rc2*S12*u(3)^2+2*rc2*u(1)*u(3)*S12);b(7) = 0;b(8) = m1*g;b(9) = u(5)-u(6)-m1*g*rc1*C1;b(10) = 0; b(11) = m2*g;b(12) = u(6);b(13) = 0;b(14) = -mcarga*g;%% Resolucin de las ecuaciones%[out] = inv(a)*b;Ing. Eduardo Orcs P.fuerzasmanipulador2D.m (Cont.)Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P. Corrida de Prueba: Si no hay torques de entradaal sistema, entonces, si el robot empieza desdecualquier posicin inicial, deberacaer bajosupropio peso en un plano vertical y estabilizarse enla posicin de equilibrio inferior, con amboseslabones extendidos hacia abajo. Paracomprobar sto, utilice las condicionesiniciales1=0 y 2=/2 radianes. Grafique la trayectoriaseguida por la carga en esta situacin. Estime eltiempo que tarda en estabilizarse. Aada al programa deSimulink una prueba deconsistencia para asegurar que el error numricono crece demasiado. Esta prueba debe hacer losiguiente:Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P.Lasimulacincalculainformacinredundanteque debera permanecer consistente si todofunciona bien. En particular, las coordenadas x-yde la carga obtenidas por los integradoresdeberan ser iguales a las coordenadas x-ycalculadas usandovalores de 1y 2 enlasecuaciones (2) y (3). Obtenga los valores de lassalidas de los cuatro integradores combnelas enun bloque Mux y escriba una funcin que calculeel error. Grafique el error durante 10 segundos detiempo de simulacin de la cada libre del brazorobtico. Si el error permanece pequeo, eso daconfianza en los resultados de la simulacin.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P. Control de Posicin de la Herramienta:Modifique el modelo manipulador2D.mdl deSimulink para incluir los dos motores en las juntasdel robot. Estos motores debern generar torquesque puedan llevar la herramienta desde la posicinde reposo (x =-0.8, y =1) hasta el punto A (x =1, y= 0.8)de unamaneratal que nose produzcanmuchas oscilaciones. Asuma que los torques son lasuma de una sealque esproporcionalalerrorentre el valor deseado y el valor real de los ngulosde las juntas, y otra seal que es proporcional a laderivada de este error. Las constantes deproporcionalidad (ganancias) deben ser escogidasapropiadamente.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P. Equipo de trabajo:El trabajopuedeser realizadopor unequipointegrado hasta por 4 estudiantes, quienes debenreunirse para discutir la solucin obtenida y hacerel anlisis correspondiente. El resultado deltrabajodel equipodebeser presentadoen unInforme, el cual deberser sustentado. Cadaintegrante del equipo puede ser asignado parahacer diferentes partes del anlisis y del Informe.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-IIng. Eduardo Orcs P. Informe:ElaboreunInformeescritoenWord, conunaextensin no mayor a cinco (5) pginas, impresoen papel y en formato digital (CD). Incluya losarchivos ejecutables de Simulink/Matlab enformato digital para poder comprobar sufuncionamiento.Proyecto - Mecnica de Maquinaria II2015-I