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DEDICATORIA
El presente informe está dedicado aDios por ser nuestro guía día a día, anuestros padres por darnos siempre suapoyo incondicional para seguir
adelante con nuestros estudios y al profesor Ing. Luis Zúñiga Fiestas porsus enseñanzas y el apoyo brindado enel transcurso del presente cicloacadémico 2015-I.
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1. RESUMEN ....................................................................................................................... 5
1.1. Introducción ............................................................................................................ 5
2. OBJETIVOS .................................................................................................................... 6
2.1. Objetivo general ...................................................................................................... 6
2.2. Objetivos específicos ............................................................................................... 6
3. JUSTIFICACIÓN ........................................................................................................... 6
4. FUNDAMENTO TEÓRICO .......................................................................................... 7
AGUAS RESIDUALES .......................................................................................................... 7
4.1. Conceptos y definiciones básicas ........................................................................... 7
4.1.1. ¿QUÉ SON LAS AGUAS RESIDUALES?................................................... 7
4.1.2. TIPOS DE AGUAS RESIDUALES ............................................................... 7
4.1.2.1. SEGÚN SU PROCEDENCIA ................................................................ 74.1.2.1.1. Aguas blancas ....................................................................................... 8
4.1.2.1.2. Aguas Residuales Agrícolas (A.R.A) .................................................. 8
4.1.2.1.3. Aguas Residuales Industriales (A.R.I) ............................................... 8
4.1.2.1.4. Aguas Residuales Urbanas (A.R.U) .................................................... 8
4.2. CARACTERÍSTICAS DE LAS AGUAS RESIDUALES. .................................. 9
4.2.1. FÍSICO-QUÍMICAS ....................................................................................... 9
4.2.1.1. OLOR ....................................................................................................... 9
4.2.1.2. COLOR .................................................................................................... 9
4.2.1.3. SÓLIDOS TOTALES ........................................................................... 10
4.2.1.4. TEMPERATURA ................................................................................. 10
4.2.1.5. DEMANDA BIOQUÍMICA DE OXÍGENO (D.B.O) ........................ 11
4.2.1.6. DEMANDA QUÍMICA DE OXÍGENO (D.Q.B) ............................... 11
4.2.2. BIOLÓGICAS ............................................................................................... 11
4.2.2.1. Bacterias ................................................................................................. 11
4.2.2.2. Protozoarios ........................................................................................... 12
4.2.2.3. Virus ....................................................................................................... 12
4.2.2.4. Organismos coliformes y patógenos .................................................... 12
4.3. FUENTES DE CONTAMINACIÓN DEL AGUA ............................................. 13
4.3.1. Aguas residuales urbanas. ............................................................................ 13
4.3.2. Aguas residuales industriales. ...................................................................... 13
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4.4. TIPOS DE CONTAMINANTES ......................................................................... 14
4.4.1. Contaminantes orgánicos ............................................................................. 14
4.4.2. Contaminantes inorgánicos .......................................................................... 14
4.5. EFLUENTES DE AGUA RESIDUALES ........................................................... 14
4.5.1. Drenaje Doméstico ........................................................................................ 15
4.5.2. Drenaje Sanitario .......................................................................................... 15
4.6. CONSTITUYENTES DEL AGUA RESIDUAL ................................................ 15
4.7. ETAPA DEL PROCESO DE TRATAMIENTO DE LAS AGUASRESIDUALES ................................................................................................................... 16
4.7.1. Tratamiento primario ................................................................................... 17
4.7.2. Tratamiento secundario ............................................................................... 17
4.7.3. Tratamiento terciario ................................................................................... 17
4.8. RÍO SURCO .......................................................................................................... 18
4.8.1. Recuperación del Río Surco ......................................................................... 18
4.9. ETAPAS DEL PROCESO DE RECUPERACIÓN DEL AGUA ..................... 18
4.9.1. PRIMERA ETAPA ....................................................................................... 18
4.9.1.1. CAPTACIÓN ........................................................................................ 18
4.9.1.2. CÁMARA DE BOMBEO ..................................................................... 19
4.9.1.3. DESARENADOR .................................................................................. 19
4.9.1.4. BOCATOMA ......................................................................................... 204.9.2. SEGUNDA ETAPA....................................................................................... 20
4.9.2.1. CALERA ................................................................................................ 20
4.9.2.2. FLOCULADOR DECANTADOR ....................................................... 21
4.9.2.3. FILTROS ............................................................................................... 22
4.10. INTEGRALES MÚLTIPLES .......................................................................... 23
4.10.1. Integrales dobles ............................................................................................ 24
4.10.1.1. Volumen de una región sólida con integral doble .............................. 24
4.10.2. Integrales triples ............................................................................................ 25
4.10.3. Reducción de integrales triples a integrales iteradas. ................................ 26
4.10.4. Hiperboloide. ................................................................................................. 27
4.10.4.1. Hiperboloide de una hoja. .................................................................... 27
4.10.4.2. Grafica de la ecuación de un hiperboloide. ......................................... 27
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4.10.4.3. Intersección con los ejes coordenados. ................................................ 28
a) Intersección con el eje X. .............................................................................. 28
b) Intersección con el eje Y. ............................................................................. 28
c) Intersección con el eje Z. .............................................................................. 28
4.10.4.4. Trazas sobre los planos coordenados. ................................................. 28
a) Intersección con el plano XY. ....................................................................... 28
b) Intersección con el plano XZ ........................................................................ 29
c) Intersección con el plano YZ. ....................................................................... 30
4.10.4.5. Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados yal origen. 31
A. Respecto a los planos coordenados. ............................................................ 31
a) Simetría respecto al plano XY. ................................................................ 31
b) Simetría respecto al plano XZ. ................................................................. 31
c) Simetría respecto al plano YZ. ................................................................. 32
B. Respecto a los ejes X, Y y Z. ......................................................................... 32
a) Simetría respecto al eje X. ........................................................................ 32
b) Simetría respecto al eje Y. ........................................................................ 33
c) Simetría respecto al eje Z. ........................................................................ 33
C. Respecto al origen ......................................................................................... 33
4.10.4.6. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados ................. 34
a) Sobre el plano XY.. ....................................................................................... 34
b) Sobre el plano XZ. ......................................................................................... 35
c) Sobre el plano YZ. ......................................................................................... 36
4.10.4.7. Hiperboloide de dos hojas (hiperboloide elíptico). ............................. 37
4.10.5. Tipos de coordenadas.................................................................................... 38
4.10.5.1. Coordenadas rectangulares .................................................................. 38
4.10.5.2. Coordenadas cilíndricas ....................................................................... 38
4.10.5.3. Coordenadas esféricas .......................................................................... 39
4.10.5.4. Jacobiano ............................................................................................... 39
4.10.6. Circunferencia ........................................................................................... 39
4.10.6.1. Ecuación general de la circunferencia ................................................. 40
5.1. TOMA DE DATOS. .............................................................................................. 41
6. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA .................................................................................. 43
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6.1. APLICACIÓN DE MÉTODOS MATEMÁTICOS ........................................... 43
7. RESULTADOS ............................................................................................................. 45
8. CONCLUSIONES ......................................................................................................... 49
9. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................... 50
10. ANEXOS. ................................................................................................................... 52
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1. RESUMEN
1.1.
Introducción
En el Perú se está poniendo en marca las construcciones de plantas de tratamientos de
agua especialmente en Lima, donde el agua está escaseando actualmente debido a alcalentamiento global y contaminación ambiental.
Las plantas de tratamiento pueden estar desde una escala como la planta de
tratamiento de la Chira (planta de tratamiento de agua más grande del Perú) a la
escala de la planta de tratamiento municipal como la de Surco.
En la planta de planta de tratamiento y recuperación de las aguas del Rio Surco –
Intihuatana podemos ver su funcionamiento para el beneficio de la zona del distrito
de Surco con el mantenimiento de las áreas verdes y el crecimiento de este.
Con los conocimientos de la matemática podremos demostrar en este proyecto de
investigación cual importantes son en el aporte para poder solucionar problemas
como los que están afectando al medio ambiente. En este caso en una planta de
tratamiento, específicamente se mostrará el uso de integrales dobles, el rediseño de
los tanques levándolos a figuras se superficies cuadráticas capaz con esto podríamos
mejorar el rendimiento de su funcionamiento.
En este trabajo se mostrara el cálculo del tanque rediseñado a un hiperboloide de una
hoja, aplicando integrales dobles para calcular el volumen de una figura en 3D,
obteniendo los resultados exactos, también haciendo el uso de software matemáticos
para la construcción de la figura y obtenciones de resultados para la previa
comparación.
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2. OBJETIVOS
2.1.
Objetivo general
Aplicar los conocimientos adquiridos durante el presente ciclo académico en el curso
Matemática III, para hallar el volumen del tanque de floculación de la Planta deTratamiento y Recuperación de las Aguas del Rio Surco - Intihuatana.
2.2.
Objetivos específicos
Modificar el tanque de floculación de la planta de tratamiento de aguas del rio
Surco “Ing. Alejandro Vinces Araoz” para tener una mayor capacidad de
almacenaje total aprovechando la altura, con la finalidad de poder cumplir con
las demanda de agua para regadío de los distritos aledaños.
Calcular la máxima capacidad de almacenamiento volumétrico del TANQUE
DE FLOCULACIÓN de aguas tratadas por la Planta de Tratamiento y
Recuperación de las Aguas del Rio Surco “Ing. Alejandro Vinces Araoz”, antes
y después de la modificación estructural, rediseñado mediante el software de
modelamiento y diseño AutoCAD; así mismo, utilizar los diversos programas
de Software Matemático como Microsoft Mathematics 4.0, Casio ClassPad (fx-CP300), Casio ClassPad II (fx-CP400), Wolfram|Alpha para la verificación del
cálculo de volumen realizado mediante Integrales Dobles e Integrales Triples.
3. JUSTIFICACIÓN
En el presente trabajo nos permitirá ver como es el análisis con los respectivos
conocimientos de la matemática en una planta de tratamiento, respectivamente al
tanque de floculación.
En el análisis se verá el cálculo del volumen y el rediseño llevándolo a una figura
de superficie cuadrática de la forma de hiperboloide de una hoja, se tendrá mayor
claridad en cuanto al cómo se podría diseñar un tanque de floculación aplicando
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integrales dobles, siendo esta de gran apoyo para los análisis. Además de ver que
estos diseños se pondrán calcular y computarizarlos en programas de software
matemáticos.
4. FUNDAMENTO TEÓRICO
AGUAS RESIDUALES
4.1. Conceptos y definiciones básicas
Todas las comunidades limeñas generan día a día residuos orgánicos, estos pueden
ser sólidos o líquidos. El agua residual (fracción líquida) está constituida
principalmente por el agua de abastecimiento después de haber sufrido un proceso decontaminación por los diversos usos que haya sufrido.
4.1.1. ¿QUÉ SON LAS AGUAS RESIDUALES?
Son aquellas aguas que pueden definirse como la combinación de desechos líquidos
procedentes de industrias, viviendas, instituciones, entre otros. Estas aguas
originalmente han sido modificadas por las actividades humanas y por su calidadrequieren un debido tratamiento antes de ser rehusadas.1
Factores que contribuyen a la contaminación del agua:
Diversidad de los procesos industriales.
El aumento de la población.
Los desechos arrojados en los ríos, lagunas, etc.
4.1.2.
TIPOS DE AGUAS RESIDUALES
4.1.2.1. SEGÚN SU PROCEDENCIA
1 Estudio de Factibilidad para la Construcción de una Planta de Tratamiento de Aguas Residuales en laUniversidad De Las Ámerica - Puebla, 2013, págs. 10-33. Obtenido en:http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/vazquez_r_d/capitulo2.pdf
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4.1.2.1.1. Aguas blancas
Se les conoce como agua blanca a aquella agua sin filtrar que puede provenir de las
tuberías de algún suministro. Estas aguas son procedentes de la limpieza urbana, de
los deshielos, de las lluvias, en conclusión podemos decir que son aquellas que hantenido un mínimo contacto con las actividades del hombre y por eso no están
contaminadas es decir hay una mínima contaminación.
4.1.2.1.2. Aguas Residuales Agrícolas (A.R.A)
Estas aguas son generadas por la producción agropecuaria y agrícola, las cuales están
conformadas por los desechos animales, vegetales, fertilizantes, abonos en gran
cantidad, productos químicos presentes en los terrenos agrícolas.1
4.1.2.1.3. Aguas Residuales Industriales (A.R.I)
Estas aguas son generadas por las diversas industrias, su estructura es variada ya que
se puede encontrar todo tipo de contaminantes tales como productos químicos,
residuos biológicos, ácidos, tóxicos, metales entre otros.
Estas aguas varían de acuerdo a su composición ya que podemos encontrar aguas de
enjuague casi limpias mientras que otras se encuentran altamente cargadas por
sustancias corrosivas, materia orgánica, sustancias venenosas, explosivas oinflamables.
4.1.2.1.4. Aguas Residuales Urbanas (A.R.U)
A estas aguas también se les conoce con el nombre de “aguas negras”, son
procedentes en su mayoría de las actividades domésticas. Su composición no varía es
siempre constante y entre ellos tenemos a una gran cantidad de materia orgánica,
presencia de gran cantidad de microorganismos, los detritus (heces, orina) y los
residuos domésticos (jabones, detergentes, etc.).
1 (Vázquez Rossainz, 2013). Estudio de Factibilidad para la Construcción de una Planta deTratamiento de Aguas Residuales en la Universidad De Las Ámerica - Puebla, 2013, págs. 10-33.Obtenido en: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/vazquez_r_d/capitulo2.pdf
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4.2. CARACTERÍSTICAS DE LAS AGUAS RESIDUALES.1
4.2.1.
FÍSICO-QUÍMICAS
Su temperatura se encuentra entre 10-20°C, siendo el promedio general de
15°C. Contienen cargas de contaminantes de en materias orgánicas y en materia en
suspensión.
Poseen compuestos como nutrientes nitrógeno (N), fósforo (P), detergentes,
cloruros, etc.
Nitrógeno amoniacal 3-10 gr/hab/día
Nitrógeno total 6.5-13 gr/hab/día
− 4-8 gr/hab/día
Detergente 7-12 gr/hab/día
Tabla 1: Valores de los nutrientes de la carga por habitante y día
Fuente: Metcalf Robert y McGraw-Hill
4.2.1.1.
OLOR
El agua residual tiene un olor desagradable, esto se debe a los gases producidos por la
descomposición de la materia orgánica, pero es más tolerante que el olor de las aguas
residuales sépticas.2
4.2.1.2. COLOR
El color de las aguas residuales suele ser de color gris, pero esto no es siempre ya queal descomponerse los compuestos orgánicos a causa de las bacterias hace que el
1 (Metcalf Y Eddy, INC., 1995). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización,1995. Capitulo 3.2 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003). Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el
proceso de lodos activos. (págs. 253-410)
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oxígeno disuelto se reduzca a cero y el color del agua residual pasara a ser de color
negro (agua séptica).1
COLOR DESCRIPCIÓN
Café claroEl agua lleva 6 horas después de la
descarga.
Gris claro
Aguas que han sufrido algún grado
de descomposición o que han
permanecido un tiempo cortó en lossistemas de recolección.
Gris oscuro o negro
Aguas sépticas que han sufrido una
fuerte descomposición bacteria bajo
condiciones anaeróbicas.
Tabla 2: Descripción de los colores a condición general del agua residual
Fuente: Ron Crites y George Tchobanoglous, “Tratamiento de agua Residuales”, USA 2000
4.2.1.3. SÓLIDOS TOTALES
Los sólidos totales en las aguas residuales se definen como el total de la materia
orgánica que queda como el residuo de la evaporación a una temperatura a 103-
105°C. En su mayoría los sólidos totales provienen del uso doméstico e industrial y
de las aguas subterráneas.
4.2.1.4. TEMPERATURA
1 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003). Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el
proceso de lodos activos. (págs. 253-410)
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Cuando la temperatura aumenta a su vez aumenta la velocidad de las reacciones
químicas junto con la disminución del oxígeno en las aguas residuales. Hay
temperaturas anormales elevadas que pueden dar lugar a un crecimiento de hongos y
plantas acuáticas.
4.2.1.5. DEMANDA BIOQUÍMICA DE OXÍGENO (D.B.O)
Este es el parámetro que se utiliza para las aguas residuales y aguas superficiales a los
cinco días, esta medida nos indica el oxígeno disuelto utilizado por los diversos
microorganismos en el proceso de la oxidación de la materia orgánica.1
4.2.1.6. DEMANDA QUÍMICA DE OXÍGENO (D.Q.B)
Este parámetro se va utilizar para medir la cantidad de materia orgánica en las aguas
naturales y aguas residuales, en comparación con la D.B.O la demanda química de
oxígeno (D.Q.B) es mayor por el número de compuestos que pueden oxidarse
químicamente que biológicamente.
4.2.2.
BIOLÓGICAS
Las aguas residuales contienen numerosos microorganismos algunos de estos son
patógenos y otros no, tales como:
4.2.2.1. Bacterias
Para que las bacterias crezcan en un ambiente apto depende del pH y de latemperatura, pero la gran mayoría de bacterias no toleran el pH por encima de los 9.5
y por debajo de un pH igual a 4. Pero el pH óptimo para las bacterias está entre 6.5y
7.5.
1 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003) Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el
proceso de lodos activos. (págs. 253-410)
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4.2.2.2. Protozoarios
Estos microorganismos son aeróbicos heterótrofos en comparación con las bacterias
estos microorganismos son un grado mayor, esto le da la ventaja de alimentarse de
ellas.
Están presentes en las aguas residuales, son encargados de purificar los efluentes que
están en procesos biológicos de tratamiento de aguas residuales. Pero esto se dará
solo al consumir partículas inorgánicas y bacterias.1
4.2.2.3.
Virus
De todas las estructuras biológicas esta es la más pequeña, este posee la suficiente
información para su reproducción pero necesita de otros seres para poder vivir y en
ocasiones las células huésped se rompen liberando nuevas partículas de virus.
Se encuentran presentes en su gran mayoría en las aguas residuales domésticas
(A.R.D) por lo que es de vital importancia un debido control.2
4.2.2.4. Organismos coliformes y patógenos
Los coliformes son de gran ayuda para el tratamiento de aguas residuales ya que son
de vital importancia para facilitar la destrucción de la materia orgánica, el hombre
puede evacuar 100000 a 400000 millones de coliformes por día.
Los organismos patógenos generalmente son excretados por el hombre, estos
producen diversas enfermedades como diarrea, cólera, fiebre, tifoidea y disentería.
Estos están presentas en las aguas residuales y también en las aguas que están poco
contaminadas, pero son difíciles de aislar.
1 (Metcalf Y Eddy, INC., 1995). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización. 2 (Metcalf Y Eddy, INC., 1995). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización.
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4.3. FUENTES DE CONTAMINACIÓN DEL AGUA
La clasificación de las aguas residuales se hace con respecto a su origen ya que este
va a determinar su composición. Las mayores fuentes de contaminación de agua
suelen ser de origen urbano e industriales.
4.3.1.
Aguas residuales urbanas.
Son las aguas que tienen como origen, en su mayoría los diversos hogares de la
población y que son los desechos después de haber realizado diversas actividades.
Las aguas residuales urbanas por lo general demuestran cierta homogeneidad en
cuando a su composición química y carga de contaminantes, ya que casi siempre será
lo mismo.1
4.3.2. Aguas residuales industriales.
Son aquellas que tienen como origen cualquier tipo actividad o negocio en donde para
su producción, transformación o manipulación se utilice el agua. Son enormementevariables en cuanto a su composición y caudal a comparación de otras industrias en
otros rubros como en las del mismo rubro, por lo que suelen ser muy heterogéneas
este tipo de aguas.
Por lo general el caudal de este tipo de aguas puede variar ya que las industrias
emiten los vertidos en ciertas horas o en ciertas temporadas del año, dependiendo de
su producción y proceso industrial.
Las aguas residuales industriales son más contaminadas que la aguas residuales
urbanas, además con una contaminación muchos más difícil de eliminar por lo cual el
tratamiento de estas suelen ser más complicado y casi siempre se requiere un estudio
específico para cada caso.
1 Ron Crites y George Tchobanoglous 2010, “Tratamiento de agua Residuales” cap. 3
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4.4. TIPOS DE CONTAMINANTES
La contaminación de los cauces naturales se origina por diversas fuentes, las cuales se
pueden generalizar en vertidos urbanos, industriales agroindustriales, químicos,
residuos clínicos, etc. Las sustancias contaminantes que pueden aparecer en agua
residual son muchas y diversas.
4.4.1. Contaminantes orgánicos1
Proteínas: Son de origen básicamente de excretas humanas o de desperdicios
de productos alimentarios. Son biodegradables, bastante inestables y
responsables de malos olores.
Carbohidratos: Este grupo esta constituidos por los azucares, almidones y
fibras celulósicas. Su fuente, al igual que las proteínas, son las excretas y
desperdicios.
Aceites y grasas: Son insolubles en agua debido a su composición química
(una parte polar y una cadena hidrocarbonada apolar), en su mayoría tienen
como raíz los desperdicios de alimentos a excepción de los aceites minerales
que proceden de otras actividades.
4.4.2. Contaminantes inorgánicos
Son de origen mineral y de composición química variada, estas pueden ser sales,
óxidos, ácidos y bases inorgánicas, metales, etc. Aparecen en cualquier tipo de agua
residual, aunque son más caudalosos en los vertidos generados por la industria. Los
componentes inorgánicos de las aguas residuales estarán en función del material
contaminante así como de la propia naturaleza de la fuente contaminante.
4.5.
EFLUENTES DE AGUA RESIDUALES2
Los efluentes de aguas residuales tienen distintas procedencias:
1 (Crites & Tchobanoglous, 2010). Tratamiento de agua Residuales, Cap. 4
2 (Crites & Tchobanoglous, 2010). Tratamiento de agua Residuales, Cap. 4
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4.5.1. Drenaje Doméstico
Es aquella agua residual que proviene de baños, cocinas, lavados, lavanderías y
sanitarios.
4.5.2. Drenaje Sanitario
Es aquella agua que es desechada por las comunidades, estas pueden provenir de
distintas fuentes.
Estas aguas que son suministradas a las distintas comunidades se les agregan gran
cantidad de materias fecales, restos de alimentos (basura), jabón, papel, detergentes,
suciedad y diversas sustancias. Pero con el tiempo el color de estas aguas vacambiando progresivamente de un color gris a negro, esto es lo que ocasiona un olor
desagradable.
4.6. CONSTITUYENTES DEL AGUA RESIDUAL1
Los constituyentes de aguas residuales está dada por los siguientes porcentajes; el
99,9 % es de agua potable y el 0,1% le corresponde a los sólidos totales y sólidosdisueltos. Para que el agua sea apta nuevamente y reutilizada se tendrá que retirar este
0,1%.
Agua Potable Sólidos Gases
Disueltos
Componentes
Biológicos
99,9%
0,1% (por peso)
Sólidos
Suspendidos
Disueltos
O2
CO2
H2S
Bacterias
Microorganismos
Macroorganismos
1 Ron Crites y George Tchobanoglous 2010, “Tratamiento de agua Residuales” cap. 6
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Coloidales
Sedimentales
N2 Virus
Tabla 3: Porcentaje de los constituyentes de agua residual
4.7. ETAPA DEL PROCESO DE TRATAMIENTO DE LAS AGUAS
RESIDUALES
En lo que respecta al campo de tratamiento de aguas residuales ha habido un
importante crecimiento en el desarrollo tecnológico en lo que a técnicas de tratado
respecta, separándose en 3 áreas: física, química y biológicas. Estas áreas pueden
combinarse para formar sistemas de tratado físico-químico, bioquímico o físico
biológico.1
“Los tratamientos de tipo físico son aquellos en los que predominan la aplicaciones
de fuerzas físicas…”2. Algunos de estos tratamientos pueden ser cribados,
sedimentación, filtración, mezclado y flotación.
Metcalf & Eddy afirman también que los tratamientos químicos son aquellos en los
que al proceso que sigue el tratamiento de las aguas residuales se le deban incorporar
algún producto químico probando en este algún tipo de reacción tales como pueden
ser precipitación, absorción, purificación, transferencia de gases y floculación.
Y en lo que respecta al tratamiento biológico Metcalf & Eddy mencionan que para
este proceso se utilizan diferentes microorganismos tales como bacterias o plantas
donde especialmente se utilizan para remover materia orgánica biodegradable.
No todas las plantas de tratamiento de agua se rigen a un solo tipo de organización,
varía según el lugar en donde se encuentre y sobre todo según la demanda que deseesatisfacer puede darse que su producto sea de CATEGORÍA 1: POBLACIÓN Y
1 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003) Tratamiento de aguas residuales. En Caracterización de aguasresiduales indistriales y domésticas. (pags. 27-89) 2 (Metcalf Y Eddy, INC., 2004). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento, Vertido y Reutilización,1995.Cap. 9
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17
RECREACIÓN o CATEGORÍA 3: RIEGO DE VEGETALES Y BEBIDAS DE
ANIMALES.1
Para poder llegar a separar en las diferentes categorías las aguas residuales pasan por
las siguientes etapas: pre tratamiento, tratamiento primario, tratamiento secundario ytratamiento terciario.
4.7.1. Tratamiento primario
El tratamiento primario de aguas residuales se realiza para reducir lo más que se
pueda los sólidos (sedimentables, flotantes o coloidales) de gran tamaño suspendidos
para poder acondicionar las aguas hacia el próximo tratamiento. Mediante
mecanismos como rejas, desmenuzadores, floculación, tanques de remoción de grasas
y aceites, desarenadores, entre otros.
4.7.2. Tratamiento secundario
El tratamiento secundario de aguas residuales engloba a los procesos de filtración
así como tratamiento biológico aeróbicos o anaeróbicos con la finalidad de remover
la materia orgánica que pueda descomponerse (entrar en una fase de putrefacción).
Los métodos usados para este tratamiento pueden ser el de filtración biológica,
lagunas aeróbicas, anaeróbicas y facultativas, zanjas de oxidación, lodos activados,
entre otros.2
4.7.3. Tratamiento terciario
El tratamiento terciario de aguas residuales también se le conoce como tratamientoavanzado pues depende de este proceso para poder alcanzar parcialmente la calidad
que se desee obtener para el producto final, se considera parcial puesto que aún no
1 Estándar Nacional de Calidad Ambiental para Agua DECRETO SUPREMO N° 002-2008-MINAM2 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003). Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento secundario: el
proceso de lodos activos. (págs. 253-410)
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han sido eliminado los metales pesados o sustancias toxicas, para eso se debe
implementar un tratamiento de detoxificación adicional a los ya mencionados. Para
este tratamiento se utilizan los métodos de adsorción en carbono activo, intercambio
iónico, osmosis inversa, electrodiálisis, entre otros. 1
PLANTA DE RECUPERACIÓN DE AGUAS DEL RIO SURCO
4.8. RÍO SURCO
El Río Surco nace en el margen izquierdo del Río Rímac en Ate Vitarte y desemboca
en el Océano Pacífico en el Litoral perteneciente a Villa Chorrillos.
4.8.1. Recuperación del Río Surco
“El rio Surco tiene altos niveles de contaminación doméstica y de basura, antes
alimentaba un canal de regadío, poniendo en riesgo la salud de la población que
accedía a los parques y jardines del distrito.”
La municipalidad del distrito ordeno la construcción de la Planta de Recuperación delas aguas del Río Surco, para el tratamiento y descontaminación de sus aguas. 2
4.9. ETAPAS DEL PROCESO DE RECUPERACIÓN DEL AGUA
4.9.1. PRIMERA ETAPA
4.9.1.1. CAPTACIÓN
1 (Ramalho, Lora, & Beltrán, 2003) Tratamiento de aguas residuales. En Tratamiento y evacuación de
lodos. (págs. 531-584) 2 (Torres, 2011). Planta de recuperación de aguas del Rio Surco. Obtenido dehttp://equipoindustrial.blogspot.com/2011/11/planta-de-recuperacion-de-las-aguas-del.html
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Las aguas residuales que entran a la plana contienen materiales que pueden atascar o
dañar las bombas. Estos se eliminan por medio de enrejados o barras verticales que
permiten retirar las partículas gruesas y finas. En la cámara de rejas se tiene una malla
de 3/8” con inclinación de 60°, que se encuentra fija y otra movible para la limpieza.
Figura 1: Reja de captación de la Planta de recuperación de aguas del Río Surco
Fuente: Kelvin Gutiérrez
4.9.1.2. CÁMARA DE BOMBEO
Un pozo profundo que tiene un tubo de bomba de 2” de diámetro acanalado con
alambre tejido, una malla especial para atrapar sedimento fino. Tiene una plataforma
de bombeo donde se asientan dos bombas, que trabajan controladas por un tablero de
alternancia. 1
4.9.1.3.
DESARENADOR
Es una estructura diseñada para las partículas que no se hayan quedado retenidas en el
desbaste, y que tienen un tamaño superior a 200µ, sobre todo arenas pero también
otras sustancias como cáscaras, semillas, etc. Con este proceso se consiguen proteger
los equipos de procesos posteriores ante la abrasión, atascos y sobrecargas.
1 Ing. Torres Zelada, Betsy, Planta de recuperación de aguas del rio surco 2011.
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20
Figura 2: Desarenador
Fuente: Kelvin Gutiérrez
4.9.1.4. BOCATOMA
Es una estructura hidráulica que está destinada a emanar una cantidad considerable
del agua que esta tiene disponible, para que la misma sea utilizada para una finalidad
específica. Por ejemplo abastecimiento de agua potable, riego, etc.
4.9.2. SEGUNDA ETAPA
4.9.2.1.
CALERA
Contiene una solución Hidróxido de Calcio Ca(OH)2 que se inyecta al agua para
aumentar su pH y Sulfato de Aluminio para que pueda entrar al floculador decantador
Al2(SO4)31
1 Ing. Torres Zelada, Betsy, Planta de recuperación de aguas del rio surco 2011.
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Figura 3: Insumos utilizados en las aguas tratadas, previo paso al floculador decantador
Fuente: Kelvin Gutiérrez
4.9.2.2. FLOCULADOR DECANTADOR
Realiza el proceso de floculación para que las partículas de menor tamaño puedan
sedimentarse por efecto de la adición del sulfato de aluminio.
La floculación es la aglomeración de partículas desestabilizadas en microflóculos y
después en los flóculos más grandes que tienden a depositarse en el fondo de los
recipientes construidos para este fin, denominados sedimentadores.
La solución floculante más adaptada a la naturaleza de las materias en suspensión con
el fin de conseguir aguas decantadas limpias y la formación de lodos espesos se
determina por prueba, ya sea en laboratorio o en el campo. 1
1 (Vargas, 2015). Floculación (págs. 265-303)
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Figura 4: Filtros N° 1 y N°2, y tanque de floculación
Fuente: www.porlascallesdelima.com
4.9.2.3. FILTROS
Contiene grava y arena para retener las últimas partículas.1
Figura 5: Filtros N° 1 y N°2, con grava y arena respectivamente
Fuente: Kelvin Gutiérrez
1FRESNO, Valves & Casting, http://www.fresnovalves.com/pdf/Media%20Book%20Spanish.pdf
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23
MARCO TEÓRICO MATEMÁTICO
4.10. INTEGRALES MÚLTIPLES
Se denominan integrales múltiples a la integral de dos variables f(x,y) sobre unaregión en el plano, y a la integral de tres variables f(x,y,z) sobre una región en el
espacio, dichas integrales se definen como el límite de las sumas de Riemann, estas
integrales múltiples las podemos usar para calcular el volumen de sólidos con
fronteras curvas.1
Considérese una función continua f tal que , ≥ 0 para todo (x,y) en una región
R del plano xy, dada una superficie , . Como se muestra en la
z, los rectángulos que se encuentran dentro de R forman una partición interior ∆,cuya norma ‖∆‖ está definida como la longitud de la diagonal más larga de los n
rectángulos. Después se elige un punto f(x,y) en cada rectángulo y se forma el prisma
rectangular cuya altura es f(x,y),
. Como el área del i-ésimo rectángulo es ∆, se sigue que el volumen del prisma es
, ∆, y el volumen de la región solida se puede aproximar por la suma de
Riemann de los volúmenes de los n prismas. Figura 8: Volumen aproximado por
prismas.2
1 (Thomas & George, 2006). Cálculos varios variables, undécima edición. Integración múltiple. p.1067.2 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integración múltiple. p.992.
Figura 7: Prisma con área ∆ y altura , .
: Larson & Edwards, 2010 Figura 6: Superficie , . : Larson & Edwards, 2010
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24
Figura 8: Volumen aproximado por prismas.
Fuente: (Larson & Edwards, 2010).
4.10.1.
Integrales dobles
Si f está definida en una región cerrada y acotada R del plano xy, entonces la integral
doble de f sobre R está dada por
∬ , lim‖∆‖→ ∑ , ∆
=
Ecuación 1: Definición Integral Doble.1
siempre que el límite exista. Si existe el límite, entonces f es integrable sobre R.
4.10.1.1. Volumen de una región sólida con integral doble
Si f es integrable sobre una región plana R y , ≥ 0 para todo (x,y)
entonces el volumen de la región sólida se encuentra sobre R y bajo la gráfica de f se
define como
∬,
Ecuación 2: Volumen región sólida.1
1 y 2 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integración múltiple. p.994.
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25
4.10.2. Integrales triples
El procedimiento es similar a la integral doble. Considerar una función f(x,y,z), que es
continua acotada sobre una región sólida Q, a esta región Q se encierra por una red de
cubos y se forma una partición interna que consta de todos los cubos que quedan en
Q, como se muestra en la figura. Quedando como notación para el volumen de i-
ésimo cubo como
∆ ∆∆∇
Ecuación 3: Volumen del i-ésimo cubo.2
Figura 9: Región sólida Q. 3
Luego, se elige un punto ( , , ), en cada cubo, y se forma la suma de Riemann
(Ecuación 4: Suma de Riemann para el volumen4). La norma ‖∆‖ de la partición es lalongitud de la diagonal más larga de los n cubos dentro de Q.
1, 2 y 3 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integrales triples yaplicaciones. p. 1027.
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Figura 10: Volumen de Q, por sumatoria de cubos. 3
∑ , , ∆
=
Ecuación 4: Suma de Riemann para el volumen.1
Cuando el límite de ‖∆‖ → 0 se llega a la siguiente definición:
Si f es continua sobre una región sólida acotada Q, entonces la integral triple se define
como:
∭ ,, lim‖∆‖→ ∑ , , ∆
=
Ecuación 5: Definición de integral triple.2
Será válida esta definición, siempre y cuando el límite exista. El volumen de la región Q está
dado por:
∭
Ecuación 6: Volumen del sólido Q.3
4.10.3. Reducción de integrales triples a integrales iteradas.
1 , 2 y 3 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integrales triples yaplicaciones. p. 1027. 4 (Larson & Edwards, 2010). Cálculo 2 de varias variables, novena edición. Integrales triples yaplicaciones. p. 1028.
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Considerando a la función ,,, sea f continua, en una región sólida definida por Q
≤ ≤ ℎ ≤ ≤ ℎ , ≤ ≤ ,
Donde ℎ, ℎ, , son funciones. Entonces se tiene
∭ ,, ∫ ∫ ∫ ,,,,
Ecuación 7: Evaluación mediante integrales iteradas.4
4.10.4. Hiperboloide.
Se obtiene, luego de completar cuadrados, tres términos de segundo grado con doscoeficientes del mismo signo y uno distinto igualado a la unidad, generando la
ecuación típica general
101 ; siendo ,, ≠ 0
Ecuación 8: Ecuación cartesiana de un hiperboloide.1
4.10.4.1.
Hiperboloide de una hoja.El hiperboloide de una hoja (hiperboloide hiperbólico) es simétrico respecto a cada
uno de sus planos coordenados, se representa por la siguiente ecuación
1
Ecuación 9: Ecuación cartesiana de hiperboloide de una hoja.2
4.10.4.2. Grafica de la ecuación de un hiperboloide.
1 Universidad de Sevilla. Escuela Superior de Ingenieros. Departamento de Matemática Aplica II.Matemática I: 2010-2011. Tema: Cónicas y Cuadráticas. Edición electrónica enhttp://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1285246626_1262616935.pdf 2 (Thomas & George, 2006). Calculo varias variables, undécima edición. Capítulo 12: Los vectores y lageometría del espacio. pág. 894.
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28
Tomando como ejemplo la siguiente ecuación cartesiana (Ecuación 9: Ecuación
cartesiana de hiperboloide de una hoja.), que pertenece a un hiperboloide de una hoja,
nos limitaremos a seguir los siguientes pasos.
4.10.4.3.
Intersección con los ejes coordenados.1
a) Intersección con el eje X. De la ecuación
1
Se hace 0, obteniéndose 1 ⟹ ⟹ ±
Entonces los puntos de intersección son ,0,0y ,0,0. b) Intersección con el eje Y. De la ecuación
1
Se hace
0, obteniéndose
1 ⟹
⟹ ±
Entonces los puntos de intersección son 0,,0y 0,,0.
c) Intersección con el eje Z. De la ecuación
1
Se hace 0, obteniéndose 1 ⟹ ⟹ √
Esta ecuación no tienes solución real, entonces la superficie no intercepta con el
eje Z. 4.10.4.4. Trazas sobre los planos coordenados.
Son las curvas que se obtienen cuando se intersecan cada plano coordenado con la
ecuación de la superficie. Utilizando para cada caso la ecuación del hiperboloide
(Ecuación 9: Ecuación cartesiana de hiperboloide de una hoja.), se tiene:
a) Intersección con el plano XY, cuando .
Dada la ecuación
1, con 0, se obtiene
1
1 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata. Estudio del hiperboloide de una hoja.pág. 66-67. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf
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Si ≠ , la gráfica de la intersección con el plano cartesiano XY será una
elipse.1
Si
, la gráfica de la intersección con el plano cartesiano XY será una
circunferencia de .2
Figura 11: Gráfica de la traza en el plano XY.
Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 67).
b) Intersección con el plano XZ, cuando .3
Dada la ecuación
1, con 0, se obtiene
1
La gráfica obtenida de la intersección con el plano XZ, cuando 0, es una
hipérbola con eje focal en el eje X y centro en el origen de coordenadas.
1 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata. Estudio del hiperboloide de una hoja.pág. 67 Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 2 (Lázaro, 2009). Análisis Matemático III. Las Superficies. pág. 30.3 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una
hoja. pág. 68. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf
Z
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30
Figura 12: Gráfica de la hipérbola en el plano XZ
Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 68).
c) Intersección con el plano YZ, cuando .1
Dada la ecuación
1, con 0, se obtiene
1
La gráfica obtenida de la intersección con el plano YZ, cuando 0, es una
hipérbola con eje focal en el eje Y, y centro en el origen de coordenadas.
Figura 13: Gráfica de la hipérbola en el plano YZ
Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 68).
Finalmente, el resultado de las tres intersecciones se obtiene en la figura
1 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una
hoja. pág. 68. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf
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31
Figura 14: Hiperboloide de una hoja.
Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 68) .
4.10.4.5. Simetrías con respecto a los planos coordenados, ejes coordenados y al
origen.
A. Respecto a los planos coordenados.1 2
a) Simetría respecto al plano XY.
Tomando como referencia la Ecuación 9: Ecuación cartesiana de hiperboloide de
una hoja., cambiamos el signo de la variable
por
1
1
Como la ecuación de la superficie no varía, afirmamos que existe simetría en el
plano XY.
b) Simetría respecto al plano XZ.
1 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una
hoja. pág. 65. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 2 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 30
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De la misma ecuación de referencia (Ecuación 9), cambiamos el signo de la
variable por
1
1
Como la ecuación de la superficie no varía, afirmamos que existe simetría en el
plano XZ.
c) Simetría respecto al plano YZ.
Realizamos el mismo procedimiento, en la misma ecuación de referencia
(Ecuación 9), cambiando el signo de la variable por
1
1
Como la ecuación de la superficie no varía, afirmamos que existe simetría en el
plano YZ.
B.
Respecto a los ejes X, Y y Z.12
A partir de la ecuación de inicial de referencia (Ecuación 9), tenemos:
a) Simetría respecto al eje X.
Cambiamos el signo de las variables ,, por ,
1
1
1 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 30-31.2 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una
hoja. pág. 65-66. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf
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33
La ecuación de la superficie no se altera, entonces se afirma que existe simetría
en el eje X.
b) Simetría respecto al eje Y.
Cambiamos el signo de las variables ,, por ,
1
1
La ecuación de la superficie no varía, entonces se afirma que existe simetría en
el eje Y.
c) Simetría respecto al eje Z.
Cambiamos el signo de las variables ,, por ,
1
1
La ecuación de la superficie no varía, entonces se afirma que existe simetría en
el eje Z.
C. Respecto al origen
Al igual que los casos anteriores, cambiamos el signo de las variables, , por ,,, reemplazando en la Ecuación 9
1
1
La ecuación de la superficie no varía, entonces se afirma que existe simetría
respecto al origen.
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34
4.10.4.6. Secciones por planos paralelos a los planos coordenados1 2
a) Sobre el plano XY. Se hace
, en la ecuación inicial de referencia
(Ecuación 9).
1
⟹
1
Se obtiene
() ( ) 1
; ∈ ℝ3
Si ≠ , para cada valor de k independientemente de su signo, la intersección
sobre cualquier plano XY su gráfica será una elipse quién amentará la medida
de sus semiejes a medida que || aumenta. Formando una familia de hipérbolas
contenida en el plano . (Universidad Tecnológica Nacional. Facultad
Regional La Plata, 2015)
Si
, para cada valor de k independientemente de su signo, la intersección
sobre cualquier plano XY su gráfica será una circunferencia de ,
el valor de su radio aumentará a medida que || aumenta formándose una
familia de circunferencias en el eje Z (Lázaro, 2009).
1 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 312 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una
hoja. pág. 69. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf 3 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 31
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35
Figura 15: Superficie sobre el plano XY.
Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 69)
b) Sobre el plano XZ. Se hace , en la ecuación inicial de referencia
(Ecuación 9).
1
⟹ 1
Se obtiene
(1 ) (1 ) 1
; ∈ ℝ1
Para cada valor de , independiente de su signo; se obtiene como intersección
una hipérbola en el eje Y. Formando una familia de hipérbolas contenida en el
plano . 2
1 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 312 Universidad Tecnológica Nacional. Facultad Regional La Plata, 2015. Estudio del hiperboloide de una
hoja. pág. 69. Obtenido en: www.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf
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36
Figura 16: Hipérbola sobre el plano XZ.
Fuente: (Estudio del hiperboloide de una hoja, 2015, pág. 72)
c) Sobre el plano YZ. Se hace , en la ecuación inicial de referencia
(Ecuación 9).
1
⟹
1
Se obtiene (1 ) (1 ) 1 ; ∈ ℝ1
Para cada valor de , independiente de su signo; se obtiene como intersección
una hipérbola en el eje X. Formando una familia de hipérbolas contenida en el
plano
.
Gráfica de la Ecuación 9: Ecuación cartesiana de hiperboloide de una hoja.
1 Lázaro, M. (2009). Análisis Matemático III. Superficies, pág. 31
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37
Figura 17: Hiperboloide de una hoja. 1
4.10.4.7. Hiperboloide de dos hojas (hiperboloide elíptico).
1
Ecuación 10: Ecuación de Hiperboloide de dos hojas.
También es simétrico, con respecto a los tres planos coordenados. El plano
z=0 no corta a la superficie, si deseamos que un plano horizontal corte al
hiperboloide demos considerar que || ≥ . Las secciones transversales son
0 ;
1
1 (Thomas & George, 2006). Calculo varias variables, undécima edición. Capítulo 12: Los vectores y lageometría del espacio. Página 894.
Para la hipérbola 22 22 1
Para la hipérbola 22 22 1
La elipse 2
2 2
2 2
La elipse 22 22 1
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38
0 ;
1.
Con vértices y focos en el eje z; queda dividido en dos partes, una por arriba del plano
y otra por debajo del plano
. Los planos perpendiculares al eje
por
encima y debajo de los vértices cortarán al hiperboloide en elipses; mientras, que los planos paralelos al eje z cortarán formando hipérbolas. 1
Figura 18: Hiperboloide de dos hojas
Fuente: (Cálculo. Una variable. Undécima edición., 2006, pág. 894) .
4.10.5. Tipos de coordenadas
4.10.5.1.
Coordenadas rectangulares
Este también es llamado sistema cartesiano (en conmemoración de René Descartes),
este sistema de referencia se forma por el corte perpendicular de dos rectas en un
punto que sería el origen. El corte de estas rectar divide en 4 secciones al plano cuales
van a determinar el cuadrante. Este punto de dos rectas que se cruzan se llama origen.
La recta horizontal la llamamos eje de las abscisas o el eje de X y a la recta vertical la
llamamos eje de las ordenadas o eje Y.2
4.10.5.2.
Coordenadas cilíndricas
1 (Thomas & George, 2006) Calculo varias variables, undécima edición. Capítulo 12: Los vectores y lageometría del espacio. Página 894.2 (Slideshare, 2015) http://es.slideshare.net/orckas/coordenadas-rectangulares-y-polares
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39
Es utilizado para poder representar algunos puntos de un espacio euclidiano, se
refiere a un cierto espacio vectorial normado este es abstracto con normas de Euclides
es utilizado por muchas personas en matemática avanzada que tal vez pueda estar
compuesta en múltiples dimensiones, este sería tridimensional.
4.10.5.3. Coordenadas esféricas
Este sistema de coordenadas esféricas al igual que las coordenadas cilíndricas,
también se utiliza en espacios euclidianos tridimensionales. Este está constituido por
tres ejes estos se encuentran mutuamente perpendiculares y se cortan en el origen. La
primera coordenada mide la distancia entre un cierto punto y el origen. El ángulo que
se debe girar para poder tener la posición que tiene el punto, es determinado por las
otras dos coordenadas.
4.10.5.4. Jacobiano
Se llama jacobiano o matriz jacobiana, este nombre es en honor al matemático Carl
Gustav Jacobi. La matriz jacobiana esta es formada por derivadas parciales de primer
orden de una función. Se puede aplicar para aproximar linealmente a la función en un
punto.
4.10.6. Circunferencia
Figura 19: Matriz jacobiana
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41
Figura 20: Circunferencia
5. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
5.1. TOMA DE DATOS.
Para esta toma de datos se tomó como referencia los ejes Z y X, siendo el eje X la base y Z la altura.
Por el lado del X+ obtenemos la siguiente gráfica
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z x
0 4.761 3.9605
1.5 3.6507
2 3.401
2.5 3.2123 3.0815
3.5 3.0117
3.7 34 3.002
4.5 3.0522
5 3.1625
5.5 3.3327
6 3.563
6.5 3.8532
7 4.20357.5 4.6137
8 5.0848.4 5.58.5 5.6142
Y paraX−, tenemos
z x
0 -4.76
1 -3.9605
1.5 -3.6507
2 -3.401
2.5 -3.212
3 -3.0815
3.5 -3.0117
3.7 -3
4 -3.002
4.5 -3.0522
5 -3.1625
5.5 -3.3327
6 -3.563
6.5 -3.8532
7 -4.2035
7.5 -4.6137
8 -5.0848.4 -5.58.5 -5.6142
x = 0.12z2 - 0.9193z + 4.7598
0
1
2
3
4
5
6
0 2 4 6 8 10
y
x = -0.12z2 + 0.9193z - 4.7598
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
y
Figura 21: Gráfica de datos para X+
Figura 22: Gráfica de datos para X-
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6. SOLUCIÓN DEL PROBLEMA
6.1. APLICACIÓN DE MÉTODOS MATEMÁTICOS
Sea la función del hiperboloide, de una hoja, el cual se desea calcular el volumen:
9
9 9 1
Ecuación 13: Ecuación del hiperboloide a calcular el volumen.
Despejamos:
9 … 1
Pasamos las coordenadas rectangulares a polares para 0
Figura 23: Representación geométrica de la circunferencia
formada en el origen de las coordenadas
Los límites para la integración del radio a ejecutar desde el eje z a la superficie delhiperboloide estarán dados por la función .
Dado que la función del radio no depende de la dirección, la integración con
respecto al ángulo se ejecutará a todo el camino alrededor del eje z 0 < < 2 .
Y el límite con respecto a la altura estará dada por < 0 < .
.
.
Reemplazando en (1)
9
. . 9
9
Por lo que la función del radio será:
9
9
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2 ∫ ∫ ∫
En nuestro ejercicio necesitamos hallar solo la mitad del volumen puesto quetenemos diferentes alturas y sabemos que un paraboloide es simétrico partiendo
del origen.
Para . ∫ ∫ ∫ √ +
.
∫ ∫ ∫ .
.
∫ ∫ 2 ..
.
∫ ∫ 11.3288
.
∫ 11.3288. .
∫ 22.6576 .
22.6576 .
263.3695
Figura 24: Volumen
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. ∫ ∫ ∫ √ +
.
∫ ∫ ∫ . .
∫ ∫ 2 ..
.
∫ ∫ 15.545
.
∫ 15.545. .
∫ 31.09 .
31.09 4.700
459.0589
7. RESULTADOS
El volumen total del hiperboloide será
; esto será
263.3695 459.0589
722.4284
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VERIFICANDO RESULTADOS:
CASIO ClassPad II (fx-CP400)
Figura 25: Resultado de volumen con CASIO ClassPad II (fx-CP400)
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Microsoft Mathematics 4.0
Figura 26: Resultado de volumen , con Microsoft Mathematics 4.0
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Wolfram|Alpha (Para Z = 3.7)
Figura 27: Resultado de volumen con Wolfram|Alpha.
Wolfram|Alpha (Para Z = 4.7)
Figura 28: Resultado de volumen con Wolfram|Alpha.
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Diseño en Autodesk AutoCAD 2016
Figura 29: Resultado de Autodesk AutoCAD 2016.
Ampliamos la imagen:
Figura 30: Resultado de Autodesk AutoCAD 2016.
8. CONCLUSIONES
De acuerdo a los cálculos matemáticos, se verifica que el nuevo tanque
propuesto contiene mayor capacidad volumétrica para almacenamiento de
agua tratada diferencia del tanque cilíndrico, la cual cumple para la posterior
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distribución del recurso hídrico a los distritos aledaños que requieran de este
servicio.
En nuestra carrera ingeniería ambiental las integrales dobles y triples tienen
diversas maneras de ser aplicadas, pero en este proyecto en especial nos
pueden ser muy útiles en la parte de diseño como hemos podido apreciar, fue
utilizado para la mejorar el contenedor de agua de una planta de tratamiento
de agua.
La aplicación de programas de software matemático resulto ser muy esencial
para la identificación de gráficas en el cálculo de volúmenes.
9. BIBLIOGRAFÍA
Crites, R., & Tchobanoglous, G. (2010). Tratamiento de agua Residuales. MCGraw Hill.
Larson, R., & Edwards, B. H. (2010). Cálculo de una variable. Novenaedición. Volumen 1. México, D.F.: McGRAW-HILL/INTERAMERICANAEDITORES, S.A. DE C.V.
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Metcalf Y Eddy, INC. (1995). Ingeniería de Aguas Residuales: Tratamiento,Vertido y Reutilización. New York: McGraw-Hill.
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2015). Estudio del hiperboloide de una hoja. Obtenido dewww.frlp.utn.edu.ar/materias/algebra/HIPERBOLIDE_1HOJA.pdf
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Vargas, L. d. (30 de 07 de 2015). Floculación (págs. 265-303). Obtenido deBiblioteca virtual de desarrolo sostenible y salud ambiental:http://www.bvsde.paho.org/bvsatr/fulltext/tratamiento/MANUALI/TOMOI/se
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de una Planta de Tratamiento de Aguas Residuales en la Universidad De Las Ámerica - Puebla. Cholula, Puebla, México: Universidad de las AméricasPuebla.
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10. ANEXOS.
Ilustración 1: Plano del Tanque de Floculación actual (cilíndrico)
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Ilustración 2: Plano del Tanque de Floculación actual (hiperboloide)
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Ilustración 3: Gráfico del hiperboloide de una hoja en Winplot
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Foto 1: Maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.
Fuente: Jhonatan Juipa
Foto 2: Maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.
Fuente: Jhonatan Juipa.
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Foto 3: Corte vertical del tanque de flucolación en la maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.Fuente: Jhonatan Juipa
Foto 4: Corte vertical del tanque de flucolación en la maqueta del proyecto. Construido a escala 1/100.Fuente: Jhonatan Juipa
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CUADRO DE DISTRIBUCIÓN DE TRABAJO
GutiérrezGradosKelvin
HanampaMaquera
Grese
HoyosTrujilloMichelle
HuingoVargasJorge
JuipaSánchezJhonatan
Portada XDedicatoria X X X X X
Introducción XObjetivos X X X
Justificación XFundamento teórico:
aguas residuales X X
Fundamento teórico:marco matemático
X X
Toma de datos X X
Solución del problema XResultados XConclusiones X X X X X
Anexos X X XElaboración de
maquetaX X X X X
Villa El Salvador (Lima, Perú), agosto del 2015.