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Proyecto Integrador 1 de Ecuaciones Diferenciales.

Henry Arias hariasa@est.ups.edu.ec

Universidad Politcnica Salesiana, Facultad de Ingeniera Elctrica, Cuenca, Ecuador.

Abstract in this project is modeled in software electrical

circuits and obtain your current subsequently be compared

with a mathematical model of differential equations, and

observe if the solution satisfies the solution of the circuit.

OBJETIVOS

Objetivo General.

Aplicar los conocimientos adquiridos sobre ecuaciones diferenciales en los circuitos elctricos

Objetivo Especfico.

Realizacin de un circuito RL, en software elctrico, encontrar su ecuacin diferencial, resolverla imponerse

unos valores iniciales y comparar las grficas obtenidas

en el circuito, en la solucin matemtica y graficarlas

en matlab.

Realizacin de un circuito RC, en software elctrico, encontrar su ecuacin diferencial, resolverla imponerse

unos valores iniciales y comparar las grficas obtenidas

en el circuito, en la solucin matemtica y graficarlas

en matlab.

Realizacin de un circuito RLC, en software elctrico, encontrar su ecuacin diferencial, resolverla imponerse

unos valores iniciales y comparar las grficas obtenidas

en el circuito, en la solucin matemtica y graficarlas

en matlab.

INTRODUCCIN

MODELOS LINEALES: PROBLEMAS CON VALORES

INICIALES.

Circuito en serie anlogo:

Circuitos LRC en Serie: muchos sistemas fsicos

diferentes se describen mediante una ecuacin diferencial

de segundo orden similar a la ecuacin diferencial de

movimiento forzado con amortiguamiento: muchos

sistemas fsicos diferentes se describen mediante una

ecuacin diferencial de segundo orden similar a la ecuacin

diferencial de movimiento forzado con amortiguamiento:

Figura 1.- Circuito RLC con fuente

( )

Por la segunda ley de Kirchhoff, la suma de estos

voltajes es igual al voltaje E(t) aplicado al circuito; es decir:

( )

Pero la carga q(t) en el capacitor se relaciona con la

corriente i(t) con

, as la ecuacin se convierte en la

ecuacin diferencial lineal de segundo orden.

( )

La nomenclatura usada en el anlisis de circuitos es

similar a la que se emplea para describir sistemas

resorte/masa.

El circuito es sobreamortiguado si:

El circuito es crticamente amortiguado si:

El circuito es subamortiguado si:

Cuando E(t) = 0 y R=0, se dice que el circuito no est

amortiguado y las vibraciones elctricas no tienden a cero

conforme t crece sin lmite; la respuesta del circuito es

armnica simple.

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CIRCUITOS RESONANTES

Un circuito de resonancia est compuesto por una

resistencia, un condensador y una bobina o inductancia en

la cual se alimentan de corriente alterna.

Hay 2 tipos de circuitos resonantes: serie y paralelo.

Figura 2: Circuitos Resonantes Serie y Paralelo

Cuando el circuito entra en resonancia, tanto el de serie

como el de paralelo, la tensin den la bobina es la misma

tensin del condensador, entonces eso quiere decir que el

valor hmico se iguala (XL=XC).

Frecuencia de Resonancia.

La reactancia de un condensador o de una bobina es el

valor hmico que se opone al paso de electrones. Cuando la

frecuencia crece la reactancia de la bobina aumenta, en

tanto que al del condensador disminuye. Pero hay una

determinada frecuencia en la que los valores absolutos de

ambas reactancias se igualan y a este fenmeno se llama

Frecuencia de resonancia. Su valor se deduce de esta manera:[4]

Para la frecuencia de resonancia:

La frecuencia fo es la frecuencia de resonancia del

circuito serie RLC.

Bajo condiciones de resonancia: la tensin de entrada y

la corriente estn en fase. La impedancia no tiene

componente reactiva Z = R (es decir toma el mnimo valor),

por lo que la corriente en resonancia la nombraremos como

I0 y su valor est dado por:

( )

Si tomramos el caso ideal sin resistencia externa, una

inductancia pura (RL = 0) y una capacitor en serie,

tendramos para la frecuencia de resonancia que Z = 0, con

lo que la corriente tomara un valor infinitamente grande.

Es decir, para el caso ideal que no se tenga resistencia en el

circuito serie, la resonancia acta como un cortocircuito.

Pero esto nunca ocurre ya que, como se dijo en l Prctico

anterior, siempre estar presente la resistencia del bobinado

RL que no se puede eliminar y que limita la I a un valor

finito.

Como la corriente en resonancia es

, tenemos

que en resonancia:

Haciendo el cociente obtenemos:

Donde Q, es el factor de calidad.

En la frecuencia de resonancia, la tensin generada tanto

en el capacitor como en la bobina es Q veces la tensin de

la fuente.

Respuesta Forzada y Natural de un Sistema.

La Respuesta Forzada o Solucin Particular de un

sistema es la solucin cuando todas las condiciones

iniciales son nulas y el sistema se encuentra sometido a la

seal de entrada g(t).

Un circuito de segundo orden es aquel que contiene dos

elementos almacenadores de energa, este tipo de circuitos

se describen por medio de una ecuacin diferencial de

segundo orden. La respuesta del circuito toma diferentes

formas funcionales dependiendo de los valores de los

elementos del circuito. Considerando un circuito RLC en

paralelo, en el cual al menos uno de los elementos ha

almacenado energa, la ecuacin que describe al circuito

est dada por:

( )

Considerando la respuesta de voltaje en el capacitor

como:

3

Al derivar la ecuacin respecto al tiempo tenemos:

Se tiene como resultado:

( )

( )

En funcin de los valores de los elementos que

conforman el circuito existen 3 tipos de respuesta:

Si 2>wo2 la respuesta es sobre amortiguada y est

dada por:

Si 2= wo2 la respuesta es crticamente

amortiguada y est dada por:

( )

Si 2< wo2 la respuesta es subamortiguada y est

dada por:

( )

Dnde:

DESARROLLO DEL TRABAJO INTEGRADOR.

Desarrollar el trabajo siguiendo los objetivos que le pide el

proyecto:

1.- MODELADO DE CIRCUITO RL

Datos:

R=20 L=0.25h

E(t)=12vcc

Figura 3: Circuito RL modelado en software multisim

Figura 4: diagrama de corriente vs el tiempo del Circuito RL

modelado en software multisim

Modelo de ecuacin diferencial:

( )

( )

4

( )

( )

Condiciones iniciales:

( )

( )

Solucin total de la corriente de la ecuacin diferencial:

Figura 5: diagrama de la solucin matemtica del circuito RL

(corriente) graficada en software matemtico derive

Figura 6: diagrama de la solucin matemtica del circuito

RL(corriente) graficada en software matemtico matlab

Figura 7: diagrama de la solucin matemtica del circuito

RL(corriente) graficada en software matemtico matlab a diferente

escala para poder apreciar mejor la curva

2.- MODELADO DE CIRCUITO RC

Datos:

R=5 C=2 f

E(t)=12sin (wt) v

Figura 8: Circuito RC modelado en software multisim

Figura 9: diagrama de corriente vs el tiempo del Circuito RC

modelado en software multisim

5

Modelo de ecuacin diferencial:

Calcularemos el ngulo de la fuente de voltaje mediante la

siguiente formula:

( ) ( )

( ) ( )

Ahora procederemos a plantear la ecuacin diferencial:

( )

( )

( )

( )

( )

La solucin de esta ecuacin diferencial se la obtendr

mediante el mtodo de factor integrante:

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( ( ) ( ))

( ) ( ) ( )

( )

Solucin general de la ecuacin diferencial:

( ) ( ) ( )

Ahora procederemos a derivar la carga para obtener la

corriente del circuito y as la solucin del circuito:

( ) ( )

( ) (

( ) ( ))

( ) ( ) ( )

Figura 10: diagrama de la solucin matemtica del circuito RC

(corriente) graficada en software matemtico derive

Figura 11: diagrama de la solucin matemtica del circuito RC

(corriente) graficada en software matemtico matlab

3.- MODELADO DE CIRCUITO RLC

Datos:

R=100 C=0.05f

L=2 h

E(t)=20 v

Figura 12: Circuito RCL modelado en software multisim

V120 V

R1

100

C10.05F

L1

2H

2

3

1

6

Figura 13: diagrama de corriente vs el tiempo del Circuito RCL

modelado en software multisim

Modelo de ecuacin diferencial:

( )

( )

( )

Solucin homognea:

( ) ( )( )

( )

( )

( )

Solucin particular:

( ) ( )

( )

( )

( )

Solucin de la ecuacin diferencial:

( ) ( ) ( )

( )

Condiciones iniciales:

( ) ( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

Solucin total de la carga de la ecuacin diferencial:

( )

( )

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Corriente del circuito:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

Figura 14: diagrama de la solucin matemtica del circuito RCL

(corriente) graficada en software matemtico Ti Nspyre Cas

Figura 15: diagrama de la solucin matemtica del circuito RCL

(corriente) graficada en software matemtico matlab

CONCLUSIONES.

- Como se pudo observar tanto el resultado de la simulacin como el resultado del modelo

matemtico, coinciden en los 3 casos de los

circuitos elctricos, esto indica que nuestra

solucin y ecuacin est bien planteadas.

- Existe una pequea diferencia en los valores, esto se debe a que en el modelo matemtico se utiliza

decimales, lo cual a la larga del procedimiento(

calculo) nos acarreara problemas porque no va a

ser un valor exacto como el del circuito que ya est

establecido su solucin de corriente, este se lo

puede mejorar mediante el uso de valores enteros

o fraccionarios, o con una estimacin de redondeo

de valores que se estudia en mtodos numricos

- Ahora que se a comprobado el resultado, podemos realizar cualquier calculo y modelado de circuito,

modelando que es lo que est pasando en l y

posteriormente encontrar su solucin.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[1] Ecuaciones Diferenciales con Problemas de Valores en la frontera / Cengage Learning Mxico 7ma. Edicin 2009: Zill Dennis G, Michael R.

[2] Circuitos y Seales: Introduccin a los Circuitos Lineales y de Acoplamiento: Roland E. Thomas.

[3] El circuito LRC en serie: Universidad de Chile

Facultad de Ciencias Fsicas y Matemticas Departamento de Fsica Laboratorio de Fsica II FI-35 A

[4] Anlisis de circuitos en Ingeniera: Willian Hayt

[5] Introduccin a los circuitos: Boilestad

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