proyecto ii. análisis de sistemas de control

Instituto Politcnico Nacional

Profesor: Dr. David Romero Romero.

Curso: Anlisis de Sistemas Lineales.

Seccin de Estudios de Posgrado e Investigacin

20/Julio/2015

Alumno: Ramos Albarrn Fernando

[PROYECTO II: SIMULACIN DE SISTEMAS DE CONTROL]

Escuela Superior de Ingeniera Mecnica y Elctrica. Sistemas Lineales.

Seccin de Estudios de Posgrado e Investigacin 1

NDICE PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ..................................................................................................................2

DESARROLLO .................................................................................................................................................3

REGULADOR DE VELOCIDAD .................................................................................................. 3

a. Euler. ..............................................................................................................................................7

b. Runge Kutta 4to. orden. ...................................................................................................................8

c. Regla trapezoidal. ............................................................................................................................9

d. Predictor-Corrector (Predictor Euler- Corrector Trapezoidal). ........................................................... 11

Descomposicin de Leverrier, Ecuacin caracterstica y eigenvalores. .......................................................... 12

Matrices residuales. .............................................................................................................................. 14

Observabilidad. ..................................................................................................................................... 17

Controlabilidad. .................................................................................................................................... 17

REGULADOR AUTOMTICO DE TENSIN .............................................................................. 19

a. Euler. ............................................................................................................................................ 19

b. Runge Kutta 4to. orden. ................................................................................................................. 21

c. Regla trapezoidal. .......................................................................................................................... 22

d. Predictor-Corrector (Predictor Euler- Corrector Trapezoidal). ........................................................... 23

Descomposicin de Leverrier, Ecuacin caracterstica y eigenvalores. ...................................................... 24

Matrices residuales. .............................................................................................................................. 25

Observabilidad. ..................................................................................................................................... 26

Controlabilidad. .................................................................................................................................... 26

CDIGOS DE LOS PROGRAMAS ESCRITOS EN FORTRAN 90 ............................................................................ 27

CDIGOS DE LOS PROGRAMAS ESCRITOS EN MATLAB .................................................................................. 39

CONCLUSIONES ............................................................................................................................................ 40

BIBLIOGRAFA .............................................................................................................................................. 40



PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

I. Simular un sistema de control de velocidad y uno de voltaje, con los siguientes mtodos:

a. Euler.

b. Runge Kutta 4to. orden.

c. Regla trapezoidal, (Solucin del problema no lineal con Newton)

d. Predictor-Corrector (Predictor Euler- Corrector Trapezoidal).

Ante una entrada escaln unitario y una seal cuadrada de 2 seg de duracin para el regulador de voltaje y de

10 seg para el regulador de velocidad. Para el control de velocidad simular 90 seg y para el de voltaje 10 seg.

En ambos casos con pasos de integracin de 0.001 seg, 0.01 seg y 0. 1 seg.

II. Obtener la descomposicin de Leverrier, ecuacin caracterstica y la de matrices residuales, obtener los

eigenvalores correspondientes.

III. Evaluar la observabilidad y controlabilidad.



DESARROLLO

REGULADOR DE VELOCIDAD

Su representacin en variables de estado es la siguiente:

(

123456)

=

(

0 0 0 0 10.0000 3.87100.4149 28.0000 0.0714 10.0000 0 0

0 33.3333 0.0893 0 0 00.2075 0 0 10.0000 0 00 33.3333 0 0 5.0000 00 0 0 0 5.0000 1.2903)

(

123456)

+

(

010000)

= (0.2075 0 0 0 0 0)

(

123456)

+

(

0 0.4149 0 0.2075 0 0

0 28.0000 33.3333 0 33.3333 0

0 0.0714 0.0893 0 0 0

0 10.0000 0 10.0000 0 0

10.0000 0 0 0 5.0000 5.0000

3.8710 0 0 0 0 1.2903)

Para abrir la salida del programa en Fortran previamente guardada en un bloc de notas, se usa Microsoft Excel

para abrir el archivo.



Y se elige datos de tipo de ancho fijo, esto para que detecte las columnas de las variables de salida obtenidas en

fortran.

A todo lo dems se le da siguiente o se ajusta el ancho con la flecha que marca el editor, dependiendo del tipo

de datos.



Se finaliza y se guarda ese documento en .xlsx, despus se abre MatLab y en el men superior de abrir se

selecciona dicho archivo guardado [en ambos casos se verifica que est marcada la seleccin de Todos los

archivos (All files)]

Se abre el editor de MatLab y por default estn seleccionados todos los valores de las variables, en caso que se

requiera cambiarles el nombre y se pierda la seleccin, se usan las teclas Control+Shift+Inicio o Fin segn la

posicin en la que se encuentre el cursor. Luego se da click en importar.



Ahora aparecen en el Workspace de Matlab, si se tenan variables repetidas, MatLab les asigna un nombre

nuevo para que no se reemplacen. En el ejemplo se tena T y Y, y al importar nuevas variables se crearon como

T1 y Y1.

Ahora se puede trabajar con stas variables para graficar. Y ms cmodamente se usa un archivo script con el

siguiente cdigo:

plot(T,Y,'-b') title('Solucin por Mtodo de Euler para h=0.001 ante una entrada escaln'); xlabel('Tiempo t (seg)'); ylabel('x(t)');

Se guarda y corre el archivo script .m y se obtiene la grfica para esos puntos. Esto se hace para todas las

grficas, es por eso que se explica el procedimiento por el cual se pasa de un programa a otro. Se podran

graficar todas en una misma grfica o al menos las que tengan en comn una entrada, pero como en algunos

casos la salida tiende a la inestabilidad o puede que el error aumente dependiendo del mtodo usado y los

tiempos se acortan, y algunas curvas se veran mal interpretadas en t o en x(t) o por la longitud de los vectores

columna MatLab manda un error al no coincidir. Es por eso que se grafican por separado tanto en el regulador

de velocidad como en el regulador automtico de tensin. La versin usada de MatLab es la R2013a y de

Microsoft Excel es la 2013.



a. Euler.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Solucin por Mtodo de Euler para h=0.001 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-10

-5

0

5

10

15Solucin por Mtodo de Euler para h=0.1 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-5

0

5

10

15

20Solucin por Mtodo de Euler para h=0.001 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

0

5

10

15


Tiempo t (seg)

x(t

)




0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-100

-50

0

50

100


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Solucin por Mtodo de Runge Kutta de 4to orden para h=0.001 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo t (seg)

x(t

)



c. Regla trapezoidal.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16Solucin por Mtodo de Runge Kutta de 4to orden para h=0.001 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Solucin por Regla Trapezoidal para h=0.001 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo t (seg)

x(t

)



0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16Solucin por Regla Trapezoidal para h=0.001 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

0

5

10

15


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14


Tiempo t (seg)

x(t

)




0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6Solucin por Mtodo Predictor-Corrector para h=0.001 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16Solucin por Mtodo Predictor-Corrector para h=0.001 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14


Tiempo t (seg)

x(t

)



Descomposicin de Leverrier, Ecuacin caracterstica y eigenvalores.

La ecuacin caracterstica y la descomposicin de Leverrier se obtienen mediante un programa desarrollado en

Fortran90 (Ver cdigo al final de ste documento), y los valores propios con la funcin roots de MatLab.

La descomposicin por Leverrier es:

N(1)=

1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

N(2)=

44.3796 -0.4149 0.0000 0.2075 0.0000 0.0000

0.0000 16.3796 33.3333 0.0000 33.3333 0.0000

0.0000 0.0714 44.2903 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 10.0000 0.0000 34.3796 0.0000 0.0000

-10.0000 0.0000 0.0000 0.0000 39.3796 5.0000

3.8710 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 43.0893

N(3)=

527.0580 -4.7209 -13.8300 7.1338 -13.8300 0.0000

-333.3330 70.8092 543.0095 0.0000 379.3196 166.6665

0.0000 1.1631 525.4829 0.0000 2.3800 0.0000

0.0000 63.7960 333.3330 183.2620 333.3330 0.0000

-374.4410 4.1490 0.0000 -2.0750 330.1600 190.4465

166.7987 -1.6061 0.0000 0.8032 0.0000 471.4599

N(4)=

2014.5958 -16.1411 -156.1280 38.0269 -88.2131 -69.1499

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14


Tiempo t (seg)

x(t

)



-3148.0303 70.7084 2311.8145 -69.1666 463.7070 1681.5484

-23.8000 4.9519 1868.1411 0.0000 26.8709 11.9000

-3333.3302 70.1322 2096.7647 43.6756 459.8662 1666.6651

-2564.3819 18.4336 138.2999 -56.9465 363.7956 1405.0670

1825.0213 -16.2023 -53.5359 26.5784 -53.5359 1267.9712

N(5)=

1820.5316 -14.7845 -524.0932 37.7599 -96.9698 -351.8414

1872.2037 5.7612 2150.4980 38.4497 38.4079 148.8332

-222.6440 4.6064 1204.3184 -4.9385 30.7091 118.9999

1852.9983 5.7612 2150.4980 77.6577 38.4079 148.8332

1801.0583 -11.7684 602.1016 37.3558 1.5535 6.0201

5443.6752 -41.5763 -535.2943 112.9079 -272.3956 -697.6628

N(6)=

7.7677 -1.1949 -446.0133 0.1612 -7.9658 -30.8680

192.0544 0.0000 -0.0000 3.9851 -0.0000 -0.0000

153.5575 -0.0000 446.0479 3.1863 0.0000 0.0000

192.0544 -0.0000 0.0000 7.9683 0.0000 0.0000

7.7683 -1.1950 -446.0479 0.1612 -0.0000 0.0000

23.3038 -3.5847 -1338.0745 0.4836 -23.8980 -61.7360

Los coeficientes de la ecuacin caracterstica son:

a(0)= 1

a(1)= 44.379600

a(2)= 527.058026

a(3)= 1876.295880

a(4)= 1206.079835

a(5)= 400.047943

a(6)= 39.832074

Los valores propios son:

>> p=[1 44.379600 527.058026 1876.295880 1206.079835 400.047943 39.832074]

>> roots(p)

ans =

-27.7856 + 0.0000i

-10.8811 + 0.0000i

-4.9997 + 0.0000i

-0.2787 + 0.3025i

-0.2787 - 0.3025i

-0.1557 + 0.0000i

Se puede ver que el sistema tiende a la estabilidad, ya que la parte real de sus valores propios es negativa.



Matrices residuales.

Las matrices residuales se obtienen con una funcin programada en MatLab (Ver cdigo al final del documento)

>> T

T =

Columns 1 through 4

0.2531 + 0.0000i -0.6500 + 0.0000i 0.8458 + 0.0000i 0.8458 + 0.0000i

-0.4479 + 0.0000i 0.1038 + 0.0000i -0.0053 + 0.0008i -0.0053 - 0.0008i

0.5391 + 0.0000i -0.3207 + 0.0000i 0.3283 + 0.3783i 0.3283 - 0.3783i

-0.0030 + 0.0000i 0.1531 + 0.0000i 0.0180 - 0.0006i 0.0180 + 0.0006i

0.6553 + 0.0000i -0.5885 + 0.0000i -0.0369 + 0.0082i -0.0369 - 0.0082i

-0.1237 + 0.0000i 0.3068 + 0.0000i -0.1562 + 0.0873i -0.1562 - 0.0873i

Columns 5 through 6

0.5272 + 0.0000i -0.8751 + 0.0000i

-0.0017 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

0.8480 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i

0.0111 + 0.0000i -0.0363 + 0.0000i

-0.0116 + 0.0000i -0.2875 + 0.0000i

-0.0513 + 0.0000i 0.3875 + 0.0000i

>> T_INV

T_INV =

Columns 1 through 4

-0.0438 - 0.0000i -2.2906 - 0.0000i 0.0059 + 0.0000i 1.2879 + 0.0000i

-0.1193 + 0.0000i -0.4685 + 0.0000i 0.0031 - 0.0000i 5.3174 + 0.0000i

1.4358 - 1.9136i -1.0430 - 4.7644i -0.6971 + 0.6826i -1.2242 - 4.8629i

1.4358 + 1.9136i -1.0430 + 4.7644i -0.6971 - 0.6826i -1.2242 + 4.8629i

-2.8359 - 0.0000i -2.1638 - 0.0000i 2.3253 + 0.0000i -2.1981 - 0.0000i

0.0001 - 0.0000i -3.6340 + 0.0000i 0.0528 + 0.0000i -7.2676 + 0.0000i

Columns 5 through 6

-0.0206 - 0.0000i 0.0064 - 0.0000i

-0.2437 + 0.0000i 0.0481 + 0.0000i

-0.1270 - 4.6544i 3.0332 - 8.2298i

-0.1270 + 4.6544i 3.0332 + 8.2298i

-4.1328 - 0.0000i -9.6759 - 0.0000i

-2.5604 + 0.0000i -0.0001 - 0.0000i

>> R1

R1 =

Columns 1 through 4

-0.0111 - 0.0000i -0.5797 - 0.0000i 0.0015 + 0.0000i 0.3259 + 0.0000i

0.0196 + 0.0000i 1.0260 + 0.0000i -0.0026 - 0.0000i -0.5769 - 0.0000i

-0.0236 - 0.0000i -1.2348 - 0.0000i 0.0032 + 0.0000i 0.6943 + 0.0000i



0.0001 + 0.0000i 0.0068 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i -0.0038 - 0.0000i

-0.0287 - 0.0000i -1.5010 - 0.0000i 0.0039 + 0.0000i 0.8439 + 0.0000i

0.0054 + 0.0000i 0.2833 + 0.0000i -0.0007 - 0.0000i -0.1593 - 0.0000i

Columns 5 through 6

-0.0052 - 0.0000i 0.0016 - 0.0000i

0.0092 + 0.0000i -0.0029 + 0.0000i

-0.0111 - 0.0000i 0.0035 - 0.0000i

0.0001 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

-0.0135 - 0.0000i 0.0042 - 0.0000i

0.0026 + 0.0000i -0.0008 + 0.0000i

>> R2

R2 =

Columns 1 through 4

0.0775 - 0.0000i 0.3045 - 0.0000i -0.0020 + 0.0000i -3.4562 - 0.0000i

-0.0124 + 0.0000i -0.0486 + 0.0000i 0.0003 - 0.0000i 0.5521 + 0.0000i

0.0382 - 0.0000i 0.1503 - 0.0000i -0.0010 + 0.0000i -1.7053 - 0.0000i

-0.0183 + 0.0000i -0.0717 + 0.0000i 0.0005 - 0.0000i 0.8139 + 0.0000i

0.0702 - 0.0000i 0.2757 - 0.0000i -0.0018 + 0.0000i -3.1293 - 0.0000i

-0.0366 + 0.0000i -0.1437 + 0.0000i 0.0010 - 0.0000i 1.6314 + 0.0000i

Columns 5 through 6

0.1584 - 0.0000i -0.0313 - 0.0000i

-0.0253 + 0.0000i 0.0050 + 0.0000i

0.0782 - 0.0000i -0.0154 - 0.0000i

-0.0373 + 0.0000i 0.0074 + 0.0000i

0.1434 - 0.0000i -0.0283 - 0.0000i

-0.0748 + 0.0000i 0.0148 + 0.0000i

>> R3

R3 =

Columns 1 through 4

1.2144 - 1.6185i -0.8821 - 4.0297i -0.5896 + 0.5774i -1.0354 - 4.1130i

-0.0060 + 0.0113i 0.0095 + 0.0244i 0.0031 - 0.0042i 0.0105 + 0.0247i

1.1952 - 0.0851i 1.4598 - 1.9585i -0.4870 - 0.0396i 1.4376 - 2.0594i

0.0248 - 0.0353i -0.0215 - 0.0853i -0.0122 + 0.0127i -0.0248 - 0.0870i

-0.0372 + 0.0824i 0.0776 + 0.1671i 0.0201 - 0.0309i 0.0851 + 0.1693i

-0.0571 + 0.4242i 0.5790 + 0.6530i 0.0492 - 0.1675i 0.6159 + 0.6525i

Columns 5 through 6

-0.1075 - 3.9366i 2.5655 - 6.9607i

0.0045 + 0.0246i -0.0092 + 0.0461i

1.7189 - 1.5759i 4.1087 - 1.5542i

-0.0049 - 0.0839i 0.0501 - 0.1501i

0.0429 + 0.1706i -0.0442 + 0.3284i

0.4263 + 0.7158i 0.2450 + 1.5501i



>> R4

R4 =

Columns 1 through 4

1.2144 + 1.6185i -0.8821 + 4.0297i -0.5896 - 0.5774i -1.0354 + 4.1130i

-0.0060 - 0.0113i 0.0095 - 0.0244i 0.0031 + 0.0042i 0.0105 - 0.0247i

1.1952 + 0.0851i 1.4598 + 1.9585i -0.4870 + 0.0396i 1.4376 + 2.0594i

0.0248 + 0.0353i -0.0215 + 0.0853i -0.0122 - 0.0127i -0.0248 + 0.0870i

-0.0372 - 0.0824i 0.0776 - 0.1671i 0.0201 + 0.0309i 0.0851 - 0.1693i

-0.0571 - 0.4242i 0.5790 - 0.6530i 0.0492 + 0.1675i 0.6159 - 0.6525i

Columns 5 through 6

-0.1075 + 3.9366i 2.5655 + 6.9607i

0.0045 - 0.0246i -0.0092 - 0.0461i

1.7189 + 1.5759i 4.1087 + 1.5542i

-0.0049 + 0.0839i 0.0501 + 0.1501i

0.0429 - 0.1706i -0.0442 - 0.3284i

0.4263 - 0.7158i 0.2450 - 1.5501i

>> R5

R5 =

Columns 1 through 4

-1.4952 - 0.0000i -1.1408 - 0.0000i 1.2259 + 0.0000i -1.1589 - 0.0000i

0.0048 + 0.0000i 0.0037 + 0.0000i -0.0039 - 0.0000i 0.0037 + 0.0000i

-2.4049 - 0.0000i -1.8350 - 0.0000i 1.9719 + 0.0000i -1.8640 - 0.0000i

-0.0315 - 0.0000i -0.0240 - 0.0000i 0.0258 + 0.0000i -0.0244 - 0.0000i

0.0330 + 0.0000i 0.0252 + 0.0000i -0.0270 - 0.0000i 0.0256 + 0.0000i

0.1454 + 0.0000i 0.1109 + 0.0000i -0.1192 - 0.0000i 0.1127 + 0.0000i

Columns 5 through 6

-2.1789 - 0.0000i -5.1014 - 0.0000i

0.0070 + 0.0000i 0.0164 + 0.0000i

-3.5047 - 0.0000i -8.2054 - 0.0000i

-0.0459 - 0.0000i -0.1075 - 0.0000i

0.0481 + 0.0000i 0.1125 + 0.0000i

0.2118 + 0.0000i 0.4960 + 0.0000i

>> R6

R6 =

Columns 1 through 4

-0.0000 + 0.0000i 3.1802 - 0.0000i -0.0462 - 0.0000i 6.3600 - 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i -0.0001 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0001 + 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i 0.1320 - 0.0000i -0.0019 - 0.0000i 0.2639 - 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i 1.0448 - 0.0000i -0.0152 - 0.0000i 2.0895 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i -1.4084 + 0.0000i 0.0205 + 0.0000i -2.8165 + 0.0000i

Columns 5 through 6



2.2406 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i

0.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i

0.0930 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i

0.7361 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i

-0.9923 + 0.0000i -0.0000 - 0.0000i

>> R1+R2+R3+R4+R5+R6

ans =

Columns 1 through 4

1.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 1.0000 - 0.0000i 0.0000 + 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i 1.0000 + 0.0000i

0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

Columns 5 through 6

0.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i

1.0000 - 0.0000i 0.0000 - 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i 1.0000 + 0.0000i

Observabilidad.

La observabilidad se evala con una funcin programada en MatLab (Ver cdigo al final del documento)

>> Observabilidad

0.2075 0 0 0 0 0

0 0 0 0 -2.075 0.80323

0 -69.167 0 0 14.391 -1.0364

28.697 2416.4 -4.9385 -691.67 -77.138 1.3373

-1146.1 -70394 172.97 31080 105.4 109.36

35656 1.9803e+06 -5041.6 -1.0147e+06 11481 -4577.6

El rango de la matriz es:

6

El sistema es completamente observable

Controlabilidad.

La controlabilidad se evala con una funcin programada en MatLab (Ver cdigo al final del documento)

>> Controlabilidad



0 0 -333.33 11645 -3.3925e+05 9.5437e+06

1 -28 786.38 -21947 6.1088e+05 -1.6985e+07

0 33.333 -936.31 26296 -7.3392e+05 2.0428e+07

0 0 0 -69.167 3108 -1.0147e+05

0 33.333 -1100 31713 -8.9014e+05 2.4813e+07

0 0 166.67 -5715 1.6594e+05 -4.6648e+06


6

El sistema es completamente controlable



REGULADOR AUTOMTICO DE TENSIN

Su representacin en variables de estado es la siguiente:

(

1234

) = (

0.2174 0.2174 0 00 357.143 357.143 13192.50 0 1.73913 14.0192

19.5695 0 0 19.5695

)(

1234

) + (

013192.514.01920

)

= (1 0 0 0)(

1234

)+ (0)

a. Euler.

0 2 4 6 8 10 12

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-20

-10

0

10

20

30

40


Tiempo t (seg)

x(t

)



0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

5

10

15

20

25


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Solucin por Mtodo de Euler para h=0.001 ante un pulso en la entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08-40

-20

0

20

40

60

80

100Solucin por Mtodo de Euler para h=0.01 ante un pulso en la entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

10

20

30

40

50

60Solucin por Mtodo de Euler para h=0.1 ante un pulso en la entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)




Para una entrada escaln, con el mtodo de Runge kutta de 4to orden y un paso de integracin de h=0.1 el

sistema es inestable desde el segundo paso, por lo que no tiene sentido graficar solo un punto en el origen.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Solucin por Mtodo de Runge Kutta de 4to Orden para h=0.001 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

10

20

30

40

50

60Solucin por Mtodo de Runge Kutta de 4to Orden para h=0.01 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6Solucin por Mtodo de Runge Kutta de 4to Orden para h=0.001 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.120

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100Solucin por Mtodo de Runge Kutta de 4to Orden para h=0.01 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

100

200

300

400

500

600Solucin por Mtodo de Runge Kutta de 4to Orden para h=0.1 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)



c. Regla trapezoidal.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Solucin por Mtodo Trapezoidal para h=0.001 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Solucin por Mtodo Trapezoidal para h=0.001 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5

1

1.5

2


Tiempo t (seg)

x(t

)




0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2


Tiempo t (seg)

x(t

)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Solucin por Mtodo Preditor-Corrector para h=0.001 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 2 4 6 8 10 120

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Solucin por Mtodo Preditor-Corrector para h=0.01 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

5

10

15Solucin por Mtodo Preditor-Corrector para h=0.1 ante una entrada escaln

Tiempo t (seg)

x(t

)



Descomposicin de Leverrier, Ecuacin caracterstica y eigenvalores.

La descomposicin por Leverrier es:

N(1)=

1.0000 0.0000 0.0000 0.0000

0.0000 1.0000 0.0000 0.0000

0.0000 0.0000 1.0000 0.0000

0.0000 0.0000 0.0000 1.0000

N(2)=

378.4516 0.0000 0.0000 19.5695

0.2174 21.5260 0.0000 0.0000

0.0000 357.1430 376.9299 0.0000

0.0000 -13192.5000 -14.0192 359.0995

N(3)=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Solucin por Mtodo Preditor-Corrector para h=0.001 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 2 4 6 8 10 12-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5Solucin por Mtodo Preditor-Corrector para h=0.01 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

5

10

15

20

25

30Solucin por Mtodo Preditor-Corrector para h=0.1 ante un pulso de entrada

Tiempo t (seg)

x(t

)



7644.2621-258170.6283 -274.3487 7023.1439

4.6325 38.6664 0.0000 4.2544

77.6429 7066.7529 7071.0073 0.0000

-2868.0495 -30818.3816 -5009.9071 699.1391

N(4)=

12154.9711-546974.0237 -97981.7336 12154.9711

7.3990 7.3990 -59.6434 7.3990

1519.4325 1519.4325 57645.7270 1519.4325

-6076.4022 -6076.4022 -1088.4912 135.0311

Los coeficientes de la ecuacin caracterstica son:

a(0)= 1.000000

a(1)= 378.669035

a(2)= 7726.537445

a(3)= 69943.128113

a(4)= 121554.643188

Los valores propios del sistema son:

>> p=[1 378.669035 7726.537445 69943.128113 121554.643188]

>> roots(p)

ans =

1.0e+02 *

-3.5761 + 0.0000i

-0.0942 + 0.0800i

-0.0942 - 0.0800i

-0.0223 + 0.0000i

Matrices residuales.

T =

-0.0006 + 0.0000i -0.0134 - 0.0117i -0.0134 + 0.0117i 0.0296 + 0.0000i

1.0000 - 0.0000i 0.9989 - 0.0000i 0.9989 + 0.0000i -0.2732 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i -0.0224 - 0.0257i -0.0224 + 0.0257i 0.9609 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i -0.0269 - 0.0013i -0.0269 + 0.0013i 0.0334 - 0.0000i

T_INV =

-2.1290 + 0.0000i 0.9973 + 0.0000i -1.0009 + 0.0000i 38.8813 - 0.0000i

0.7288 +46.6816i 0.0011 + 0.0292i 0.6524 - 0.6765i -19.4276 -21.6495i

0.7288 -46.6816i 0.0011 - 0.0292i 0.6524 + 0.6765i -19.4276 +21.6495i

-2.4636 + 0.0000i -0.0015 + 0.0000i 1.1073 + 0.0000i 0.2528 - 0.0000i

R1 =

0.0013 - 0.0000i -0.0006 - 0.0000i 0.0006 + 0.0000i -0.0237 + 0.0000i

-2.1290 + 0.0000i 0.9973 + 0.0000i -1.0009 + 0.0000i 38.8813 - 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0001 - 0.0000i

-0.0001 + 0.0000i 0.0000 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0014 - 0.0000i



R2 =

0.5358 - 0.6359i 0.0003 - 0.0004i -0.0167 + 0.0015i 0.0081 + 0.5180i

0.7280 +46.6301i 0.0011 + 0.0291i 0.6517 - 0.6757i -19.4061 -21.6256i

1.1837 - 1.0640i 0.0007 - 0.0007i -0.0320 - 0.0016i -0.1215 + 0.9842i

0.0411 - 1.2583i 0.0000 - 0.0008i -0.0185 + 0.0174i 0.4951 + 0.6084i

R3 =

0.5358 + 0.6359i 0.0003 + 0.0004i -0.0167 - 0.0015i 0.0081 - 0.5180i

0.7280 -46.6301i 0.0011 - 0.0291i 0.6517 + 0.6757i -19.4061 +21.6256i

1.1837 + 1.0640i 0.0007 + 0.0007i -0.0320 + 0.0016i -0.1215 - 0.9842i

0.0411 + 1.2583i 0.0000 + 0.0008i -0.0185 - 0.0174i 0.4951 - 0.6084i

R4 =

-0.0728 + 0.0000i -0.0000 + 0.0000i 0.0327 + 0.0000i 0.0075 - 0.0000i

0.6730 - 0.0000i 0.0004 - 0.0000i -0.3025 - 0.0000i -0.0691 + 0.0000i

-2.3674 + 0.0000i -0.0015 + 0.0000i 1.0640 + 0.0000i 0.2430 - 0.0000i

-0.0822 + 0.0000i -0.0001 + 0.0000i 0.0369 + 0.0000i 0.0084 - 0.0000i

Observabilidad.

>>Observabilidad

1 0 0 0

-0.2174 0.2174 0 0

0.047263 -77.69 77.643 -2868

-56126 27747 -27882 1.08e+06


4

El sistema es completamente observable

Controlabilidad.

Controlabilidad

0 2868 -1.0238e+06 3.6565e+08

13193 -4.7066e+06 1.6809e+09 -6.0107e+11

14.019 -24.381 42.402 -7.8692e+05

0 0 56126 -2.1134e+07


4

El sistema es completamente controlable



CDIGOS DE LOS PROGRAMAS ESCRITOS EN FORTRAN 90 !**************************************************************************** ! ! PROGRAMA: Euler ! ! INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA ELCTRICA ! Y MECNICA. SECCIN DE ESTUDIOS DE POSGRADO INVESTIGACIN. ! ! Fernando Ramos Albarrn ! ! !**************************************************************************** program euler implicit none double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6,t,y real h,x01,x02,x03,x04,x05,x06,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6,t0,tf integer i,nc 10 format (t8, 't', t22 , 'x1', t36, 'x2', t50, 'x3', t64, 'x4', t78, 'x5', t92, 'x6' / & & t6, 5('-'), t20, 5('-'), t34, 5('-'), t48, 5('-'), t62, 5('-'), t76, 5('-'), t90, 5('-') /) 20 format (t2, f10.6, t16, f10.6, t30, f10.6, t44, f10.6, t58, f10.6, t72, f10.6, t86, f10.6) 30 format (t5, 't', t15, 'y') 40 format (t3, f10.6, t12, f10.6) t0=0 tf=90 x1(1) = 0 x2(1) = 0 x3(1) = 0 x4(1) = 0 x5(1) = 0 x6(1) = 0 y(1) = 0 t(1) = 0 h=0.1 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 call funcion(x1,x2,x3,x4,x5,x6,i,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6) call calculo(x1,x2,x3,x4,x5,x6,i,h,t,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6,y) end do open(7,file='euler_escalon_t01.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='euler_escalon_y01.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) h=0.01 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 call funcion(x1,x2,x3,x4,x5,x6,i,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6) call calculo(x1,x2,x3,x4,x5,x6,i,h,t,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6,y)



end do open(7,file='euler_escalon_t001.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='euler_escalon_y001.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) h=0.001 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 call funcion(x1,x2,x3,x4,x5,x6,i,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6) call calculo(x1,x2,x3,x4,x5,x6,i,h,t,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6,y) end do open(7,file='euler_escalon_t0001.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='euler_escalon_y0001.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) end program subroutine funcion(x1,x2,x3,x4,x5,x6,i,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6) double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6 dx1 = -10*x5(i) + 3.871*x6(i) dx2 = -0.4149*x1(i)-28*x2(i)+0.0714*x3(i)+10*x4(i)+1 dx3 = 33.33*x2(i) -0.0893*x3(i) dx4 = 0.2075*x1(i) - 10*x4(i) dx5 = 33.33*x2(i)-5*x5(i) dx6 = 5*x5(i)-1.2903*x6(i) return end subroutine calculo(x1,x2,x3,x4,x5,x6,i,h,t,dx1,dx2,dx3,dx4,dx5,dx6,y) double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6,t,y x1(i+1) = x1(i) + dx1*h x2(i+1) = x2(i) + dx2*h x3(i+1) = x3(i) + dx3*h x4(i+1) = x4(i) + dx4*h x5(i+1) = x5(i) + dx5*h x6(i+1) = x6(i) + dx6*h y(i+1)=0.2075*x1(i+1) t(i+1) = t(i) + h return end



!**************************************************************************** ! ! PROGRAMA: Runge Kutta de 4to Orden ! ! INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA ELCTRICA ! Y MECNICA. SECCIN DE ESTUDIOS DE POSGRADO INVESTIGACIN. ! ! Fernando Ramos Albarrn ! ! !**************************************************************************** program runge_pulso implicit none double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6,y,t double precision, dimension(6,1) :: k1,k2,k3,k4,xk,b_mat,mx double precision, dimension(6,6):: a_mat double precision mod_1,t0,tf,h integer i,nc data a_mat/ 0 , -0.4149 , 0 , 0.2075 , 0 , 0,& & 0 , -28.0000 , 33.3333 , 0 , 33.3333, 0,& & 0 , 0.0714, -0.0893, 0, 0 , 0,& & 0, 10.0000, 0 , -10.0000, 0, 0,& & -10.0000 , 0, 0 , 0 , -5.0000, 5.0000,& & 3.8710 , 0 , 0 , 0 , 0 , -1.2903/ data b_mat/ 0 , 10 , 0 , 0 ,0 , 0/ 10 format (t8, 't', t22 , 'x1', t36, 'x2', t50, 'x3', t64, 'x4', t78, 'x5', t92, 'x6' / & & t6, 5('-'), t20, 5('-'), t34, 5('-'), t48, 5('-'), t62, 5('-'), t76, 5('-'), t90, 5('-') /) 20 format (t2, f10.6, t16, f10.6, t30, f10.6, t44, f10.6, t58, f10.6, t72, f10.6, t86, f10.6) 30 format (t5, 't', t15, 'y') 40 format (t3, f10.6, t12, f10.6) t0=0 tf=90 x1(1) = 0 x2(1) = 0 x3(1) = 0 x4(1) = 0 x5(1) = 0 x6(1) = 0 y(1) = 0 t(1) = 0 h=0.1 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 call funcion(i,h,k1,k2,k3,k4,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,mx,t) call calculo(i,h,k1,k2,k3,k4,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) end do open(7,file='runge_pulso_t01.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='runge_pulso_y01.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do



close(7) h=0.01 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 call funcion(i,h,k1,k2,k3,k4,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,mx,t) call calculo(i,h,k1,k2,k3,k4,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) end do open(7,file='runge_pulso_t001.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='runge_pulso_y001.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) h=0.001 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 call funcion(i,h,k1,k2,k3,k4,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,mx,t) call calculo(i,h,k1,k2,k3,k4,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) end do open(7,file='runge_pulso_t0001.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='runge_pulso_y0001.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) end program subroutine funcion(i,h,k1,k2,k3,k4,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,mx,t) double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6,t double precision, dimension(6,1) :: k1,k2,k3,k4,xk,b_mat,mx double precision, dimension(6,6):: a_mat double precision h,mod_1 !se obtienen los valores para k1 xk(1,1)=x1(i) xk(2,1)=x2(i) xk(3,1)=x3(i) xk(4,1)=x4(i) xk(5,1)=x5(i) xk(6,1)=x6(i) mx=matmul(a_mat,xk) k1=h*(mx+b_mat) !se obtienen los valores para k2 xk(1,1)=x1(i)+0.5*k1(1,1) xk(2,1)=x2(i)+0.5*k1(2,1) xk(3,1)=x3(i)+0.5*k1(3,1) xk(4,1)=x4(i)+0.5*k1(4,1) xk(5,1)=x5(i)+0.5*k1(5,1)



xk(6,1)=x6(i)+0.5*k1(6,1) mx=matmul(a_mat,xk) if (t(i)



!**************************************************************************** ! ! PROGRAMA: Regla Trapezoidal ! ! INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA ELCTRICA ! Y MECNICA. SECCIN DE ESTUDIOS DE POSGRADO INVESTIGACIN. ! ! Fernando Ramos Albarrn ! ! !**************************************************************************** program trapecio_escalon implicit none double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6,y,t double precision, dimension(6,1) :: xk,yk,zk,b_mat double precision, dimension(6,6):: a_mat,j_mat,k_mat,l_mat double precision mod_1,t0,tf,h integer i,nc data a_mat/ 0 , -0.4149 , 0 , 0.2075 , 0 , 0,& & 0 , -28.0000 , 33.3333 , 0 , 33.3333, 0,& & 0 , 0.0714, -0.0893, 0, 0 , 0,& & 0, 10.0000, 0 , -10.0000, 0, 0,& & -10.0000 , 0, 0 , 0 , -5.0000, 5.0000,& & 3.8710 , 0 , 0 , 0 , 0 , -1.2903/ data j_mat/ 1.0044, -0.0073, -0.0120, 0.0069, -0.0097, -0.0023,& & -0.2543, 0.4195, 0.6961, -0.0018, 0.5594, 0.1314,& &-0.0009, 0.0015, 0.9980, -0.0000, 0.0020, 0.0005,& &-0.0848, 0.1398, 0.2320, 0.6661, 0.1865, 0.0438,& &-0.3652, 0.0026, 0.0044, -0.0025, 0.8035, 0.1887,& & 0.1826, -0.0013, -0.0022, 0.0013, -0.0018, 0.9390/ data k_mat/1.0000, -0.0018, -0.0003, 0.0010, -0.0003, -0.0000,& &-0.0071, 0.8773, 0.1461, -0.0000, 0.1426, 0.0035,& &-0.0000, 0.0003, 0.9996, -0.0000, 0.0001, 0.0000,& &-0.0003, 0.0418, 0.0070, 0.9524, 0.0068, 0.0002,& &-0.0483, 0.0001, 0.0000, -0.0000, 0.9756, 0.0242,& & 0.0192, -0.0000, -0.0000, 0.0000, -0.0000, 0.9936/ data l_mat/1.0000, -0.0002, -0.0000, 0.0001, -0.0000, -0.0000,& &-0.0001, 0.9862, 0.0164, -0.0000, 0.0164, 0.0000,& &-0.0000, 0.0000, 1.0000, -0.0000, 0.0000, 0.0000,& &-0.0000, 0.0049, 0.0001, 0.9950, 0.0001, 0.0000,& &-0.0050, 0.0000, 0.0000, -0.0000, 0.9975, 0.0025,& & 0.0019, -0.0000, -0.0000, 0.0000, -0.0000, 0.9994/ data b_mat/ 0 , 1 , 0 , 0 ,0 , 0/ 10 format (t8, 't', t22 , 'x1', t36, 'x2', t50, 'x3', t64, 'x4', t78, 'x5', t92, 'x6' / & & t6, 5('-'), t20, 5('-'), t34, 5('-'), t48, 5('-'), t62, 5('-'), t76, 5('-'), t90, 5('-') /) 20 format (t2, f10.6, t16, f10.6, t30, f10.6, t44, f10.6, t58, f10.6, t72, f10.6, t86, f10.6) 30 format (t5, 't', t15, 'y') 40 format (t3, f10.6, t12, f10.6) t0=0 tf=90 x1(1) = 0 x2(1) = 0 x3(1) = 0 x4(1) = 0 x5(1) = 0 x6(1) = 0 y(1) = 0 t(1) = 0



h=0.1 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 xk(1,1)=x1(i) xk(2,1)=x2(i) xk(3,1)=x3(i) xk(4,1)=x4(i) xk(5,1)=x5(i) xk(6,1)=x6(i) yk=xk+(h/2)*(matmul(a_mat,xk))+h*b_mat zk=matmul(j_mat,yk) x1(i+1)=zk(1,1) x2(i+1)=zk(2,1) x3(i+1)=zk(3,1) x4(i+1)=zk(4,1) x5(i+1)=zk(5,1) x6(i+1)=zk(6,1) y(i+1)=0.2075*x1(i+1) t(i+1) = t(i) + h end do open(7,file='trapecio_escalon_t01.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='trapecio_escalon_y01.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) h=0.01 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 xk(1,1)=x1(i) xk(2,1)=x2(i) xk(3,1)=x3(i) xk(4,1)=x4(i) xk(5,1)=x5(i) xk(6,1)=x6(i) yk=xk+(h/2)*(matmul(a_mat,xk))+h*b_mat zk=matmul(k_mat,yk) x1(i+1)=zk(1,1) x2(i+1)=zk(2,1) x3(i+1)=zk(3,1) x4(i+1)=zk(4,1) x5(i+1)=zk(5,1) x6(i+1)=zk(6,1) y(i+1)=0.2075*x1(i+1) t(i+1) = t(i) + h end do open(7,file='trapecio_escalon_t001.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i)



end do close(7) open(7,file='trapecio_escalon_y001.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) h=0.001 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 xk(1,1)=x1(i) xk(2,1)=x2(i) xk(3,1)=x3(i) xk(4,1)=x4(i) xk(5,1)=x5(i) xk(6,1)=x6(i) yk=xk+(h/2)*(matmul(a_mat,xk))+h*b_mat zk=matmul(l_mat,yk) x1(i+1)=zk(1,1) x2(i+1)=zk(2,1) x3(i+1)=zk(3,1) x4(i+1)=zk(4,1) x5(i+1)=zk(5,1) x6(i+1)=zk(6,1) y(i+1)=0.2075*x1(i+1) t(i+1) = t(i) + h end do open(7,file='trapecio_escalon_t0001.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='trapecio_escalon_y0001.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) end program !**************************************************************************** ! ! PROGRAMA: Predictor Euler Corrector Trapezoidal ! ! INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA ELCTRICA ! Y MECNICA. SECCIN DE ESTUDIOS DE POSGRADO INVESTIGACIN. ! ! Fernando Ramos Albarrn ! ! !**************************************************************************** program trapecio_escalon implicit none double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6,t,y double precision, dimension(6,1) :: yk,xk,b_mat,mx double precision, dimension(6,6):: a_mat



double precision mod_1,t0,tf,h integer i,nc data a_mat/ 0 , -0.4149 , 0 , 0.2075 , 0 , 0,& & 0 , -28.0000 , 33.3333 , 0 , 33.3333, 0,& & 0 , 0.0714, -0.0893, 0, 0 , 0,& & 0, 10.0000, 0 , -10.0000, 0, 0,& & -10.0000 , 0, 0 , 0 , -5.0000, 5.0000,& & 3.8710 , 0 , 0 , 0 , 0 , -1.2903/ data b_mat/ 0 , 1 , 0 , 0 ,0 , 0/ 10 format (t8, 't', t22 , 'x1', t36, 'x2', t50, 'x3', t64, 'x4', t78, 'x5', t92, 'x6' / & & t6, 5('-'), t20, 5('-'), t34, 5('-'), t48, 5('-'), t62, 5('-'), t76, 5('-'), t90, 5('-') /) 20 format (t2, f10.6, t16, f10.6, t30, f10.6, t44, f10.6, t58, f10.6, t72, f10.6, t86, f10.6) 30 format (t5, 't', t15, 'y') 40 format (t3, f10.6, t12, f10.6) t0=0 tf=90 x1(1) = 0 x2(1) = 0 x3(1) = 0 x4(1) = 0 x5(1) = 0 x6(1) = 0 y(1) = 0 t(1) = 0 h=0.1 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 call euler(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) call trapecio(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) call calcular(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) end do open(7,file='pc_escalon_t01.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='pc_escalon_y01.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) h=0.01 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 call euler(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) call trapecio(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) call calcular(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) end do open(7,file='pc_escalon_t001.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7)



open(7,file='pc_escalon_y001.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) h=0.001 nc = (tf - t0)/h do i=1,nc+1 call euler(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) call trapecio(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) call calcular(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) end do open(7,file='pc_escalon_t0001.txt') write(7,10) do i=1,nc+2 write(7,20) t(i),x1(i),x2(i),x3(i),x4(i),x5(i),x6(i) end do close(7) open(7,file='pc_escalon_y0001.txt') write(7,30) do i=1,nc+2 write(7,40) t(i),y(i) end do close(7) end program subroutine euler(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6,t,y double precision, dimension(6,1) :: yk,xk,b_mat,mx double precision, dimension(6,6):: a_mat double precision h !se calculan valores de vectores de estado xk(1,1)=x1(i) xk(2,1)=x2(i) xk(3,1)=x3(i) xk(4,1)=x4(i) xk(5,1)=x5(i) xk(6,1)=x6(i) yk=xk+h*(matmul(a_mat,xk)+b_mat) return end subroutine trapecio(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6,t,y double precision, dimension(6,1) :: yk,xk,b_mat,mx double precision, dimension(6,6):: a_mat double precision h yk=yk+(h/2)*(matmul(a_mat,xk)+matmul(a_mat,yk)+2*b_mat) return end subroutine calcular(i,h,yk,xk,x1,x2,x3,x4,x5,x6,a_mat,b_mat,t,y) double precision, dimension(100000) :: x1,x2,x3,x4,x5,x6,t,y double precision, dimension(6,1) :: yk,xk,b_mat,mx double precision, dimension(6,6):: a_mat double precision h x1(i+1)=yk(1,1) x2(i+1)=yk(2,1) x3(i+1)=yk(3,1) x4(i+1)=yk(4,1)



x5(i+1)=yk(5,1) x6(i+1)=yk(6,1) y(i+1)=0.2075*x1(i+1) t(i+1) = t(i) + h return end

!**************************************************************************** ! ! PROGRAMA: Leverrier ! ! INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL. ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA ELCTRICA ! Y MECNICA. SECCIN DE ESTUDIOS DE POSGRADO INVESTIGACIN. ! ! Fernando Ramos Albarrn ! ! !**************************************************************************** program leverrier implicit none double precision,dimension(6,6,6) :: n double precision,dimension(6,6) :: aux,aux1,aux2,aux3,aux4,mul complex,dimension (6,6):: mul1 double precision,dimension(6) :: cf double precision traza real a(6,6) integer i,j,k 9 format (t8, 'los coeficientes de la ecuacin caracterstica son:'/) 10 format (t8, 'a(', t10, i1, t11, ')=', t14, f13.6) 29 format (t8, 'n(', t10, i1, t11, ')='/) 30 format (/t8, 'la descomposicion por leverrier es:'/) data a/ 0 , -0.4149 , 0 , 0.2075 , 0 , 0,& & 0 , -28.0000 , 33.3333 , 0 , 33.3333, 0,& & 0 , 0.0714, -0.0893, 0, 0 , 0,& & 0, 10.0000, 0 , -10.0000, 0, 0,& & -10.0000 , 0, 0 , 0 , -5.0000, 5.0000,& & 3.8710 , 0 , 0 , 0 , 0 , -1.2903/ do i=1,6 do j=1,6 if(i==j)then n(1,i,j) = 1.0 else n(1,i,j) = 0.0 end if end do end do do i=1,6 do j=1,6 aux1(i,j) = n(1,i,j) end do end do do k=1,6 do i=1,6 do j=1,6 aux(i,j) = n(k,i,j) end do



end do mul = matmul(aux,a) traza = 0.0 do i=1,6 traza = traza + mul(i,i) end do cf(k) = -(traza/k) do i=1,6 do j=1,6 aux2(i,j) = cf(k)*n(1,i,j) end do end do aux3 = mul + aux2 do i=1,6 do j=1,6 if(k+1>6)exit n(k+1,i,j) = aux3(i,j) end do end do end do open(7,file='leverrier.txt') write(7,9) write(7,*) ' a(0 )= 1' do i=1,6 write(7,10) i,cf(i) end do write(7,30) do i=1,6 write(7,29) i write(7,'(8x,f12.4)') ((n(i,j,k),j=1,6),k=1,6) write(7,*) end do close(7) end program



CDIGOS DE LOS PROGRAMAS ESCRITOS EN MATLAB

%Matrices residuales MAT_VELOCIDAD=[0 0 0 0 -10.0000 3.8710; -0.4149 -28.0000 0.0714 10.0000 0 0; 0 33.3333 -0.0893 0 0 0; 0.2075 0 0 -10.0000 0 0; 0 33.3333 0 0 -5.0000 0; 0 0 0 0 5.0000 -1.2903]; [T,lambda]=eig(MAT_VELOCIDAD); [lambda]=eig(MAT_VELOCIDAD); T_INV=inv(T); R1=T(:,1)*T_INV(1,:); R2=T(:,2)*T_INV(2,:); R3=T(:,3)*T_INV(3,:); R4=T(:,4)*T_INV(4,:); R5=T(:,5)*T_INV(5,:); R6=T(:,6)*T_INV(6,:);

%Observabilidad

MAT_VELOCIDAD=[0 0 0 0 -10.0000 3.8710; -0.4149 -28.0000 0.0714 10.0000 0 0; 0 33.3333 -0.0893 0 0 0; 0.2075 0 0 -10.0000 0 0; 0 33.3333 0 0 -5.0000 0; 0 0 0 0 5.0000 -1.2903]; B_VELOCIDAD =[0; 1; 0; 0; 0; 0]; C_VELOCIDAD =[0.2075 0 0 0 0 0]; R_VELOCIDAD=zeros(6); for i=1:6 R_VELOCIDAD(i,:)=C_VELOCIDAD*mpower(MAT_VELOCIDAD,i-1); end disp(R_VELOCIDAD); RANGO_OBSERVABILIDAD=rank(R_VELOCIDAD,.0001); disp('El rango de la matriz es:'); disp(RANGO_OBSERVABILIDAD); if (RANGO_OBSERVABILIDAD==6) disp('El sistema es completamente observable'); else disp('El sistema no es completamente observable'); end

%Controlabilidad MAT_TENSION=[-0.2174 0.2174 0 0; 0 -357.143 357.143 -13192.5; 0 0 -1.73913 -14.0192; 19.5695 0 0 -19.5695];

B_TENSION =[0; 13192.5; 14.0192; 0];

C_TENSION =[1 0 0 0 ];

Q_TENSION=zeros(4);



for i=1:4 Q_TENSION(:,i)=mpower(MAT_TENSION,i-1)*B_TENSION; end RANGO_CONTROLABILIDAD=rank(Q_TENSION,.0001); disp(Q_TENSION); disp('El rango de la matriz es:'); disp(RANGO_CONTROLABILIDAD); if (RANGO_CONTROLABILIDAD==4) disp('El sistema es completamente controlable') else disp('El sistema no es completamente controlable') end

CONCLUSIONES En el regulador automtico de tensin se pudo observar que la aproximacin a la solucin tena ms error

usando mtodos explcitos como el de Runge Kutta o Euler, para la aproximacin por el mtodo trapezoidal era

ms estable ya que es un mtodo implcito y es ms exacto para sistemas rgidos como ste caso. Se puede

observar tambin en los valores propios obtenidos su parte real es ms positiva. El mtodo predictor corrector

est entre una aproximacin ms o menos precisa ya que es un mtodo explcito-implcito. Algo que hay que

destacar es que es un sistema completamente controlable y observable, por lo tanto se puede modificar su

estabilidad.

En el caso del regulador de velocidad se observ que es ms estable aunque es de mayor tamao que el

regulador automtico de tensin, por lo tanto se puede concluir que la estabilidad de un sistema no depende

tanto de su tamao si no de sus valores propios (su rigidez).

BIBLIOGRAFA

[1] Linear Systems: A State Variable Approach with Numerical Implementation by Raymond A. DeCarlo (14 mar

1989).

[2] State Variables for Engineers by Paul M. DeRusso, Rob J. Roy, Charles M. Close, Alan A. Desrochers (1997).

[3] Computer-Aided Analysis of Electronic Circuits, Algorithms and Computational Techniques, by Leon O. Ch.

(1975).

[4] Numerical Methods for Engineers by Steven Chapra and Raymond Canale (Jan 24, 2014).

[5] Introduction to Programming with Fortran: With Coverage of Fortran 90, 95, 2003, 2008 and 77 by ian

chivers and Jane Sleightholme (Feb 9, 2012).



[6] MATLAB for Electrical and Computer Engineering Students and Professionals with Simulink by Roland

Priemer (12 jul 2013).

[7] Matlab: A Practical Introduction to Programming and Problem Solving by Stormy Attaway Ph.D. Boston

University (19 jul 2013).

[8] Introduction to MATLAB for Engineers, 3rd Edition by William Palm III (McGraw-Hill 2010-02-08)

proyecto ii. análisis de sistemas de control

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