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Equation Chapter 1 Section 1

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Resolución de ecuaciones en derivadas parciales

mediante métodos numéricos. Aplicación a

problemas de control.

Autor: Sergio Fuentes Navarro

Tutor: José Ángel Acosta Rodríguez

Dep. de Ingeniería de Sistemas y Automática

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

Proyecto Fin de Carrera

Ingeniería Aeronáutica

Resolución de ecuaciones en derivadas parciales

mediante métodos numéricos. Aplicación a

problemas de control.

Autor:

Sergio Fuentes Navarro

Tutor:

José Ángel Acosta Rodríguez

Profesor titular

Dep. de Ingeniería de Sistemas y Automática

Escuela Técnica Superior de Ingeniería

Universidad de Sevilla

Sevilla, 2015

Proyecto Fin de Carrera: Resolución de ecuaciones en derivadas parciales mediante métodos numéricos.

Aplicación a problemas de control.

Autor: Sergio Fuentes Navarro

Tutor: José Ángel Acosta Rodríguez

El tribunal nombrado para juzgar el Proyecto arriba indicado, compuesto por los siguientes miembros:

Presidente:

Vocales:

Secretario:

Acuerdan otorgarle la calificación de:

Sevilla, 2015

El Secretario del Tribunal

Agradecimientos

A mi familia, por no dejar de apoyarme en ningún momento.

A mi tutor, José Ángel.

1

ResumenEl presente trabajo tiene como objeto el estudio del uso de dos métodos

numéricos (método de los residuos ponderados y método de los elementos fini-tos) para la aproximación de ecuaciones en derivadas parciales y su posterioraplicación a un problema de control automático: el péndulo invertido. Se pre-sentará una explicación general de ambos métodos con varios ejemplos sacadosde diferentes campos de la ingeniería y se presentarán los resultados obtenidosde la aplicación al problema de control. El lenguaje de programación en el quese ha escrito el código es MATLAB, habiendo hecho uso del Symbolic MathToolbox (toolbox de cálculo simbólico). En el Anexo se encuentran los códigoscomentados.

Al final del trabajo se recogen las conclusiones obtenidas y posibles líneasde trabajo a seguir.

Índice general

I Introducción 5

1. Presentación del problema 61.1. Motivación y objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Introducción a la resolución de ecuaciones diferenciales . . . . . . 6

1.2.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Métodos numéricos 8

2. Método de los residuos ponderados 102.1. Desarrollo teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.1. Aproximación de funciones mediante residuos ponderados 102.1.2. Selección de los pesos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1.3. Aproximación a la solución de ecuaciones diferenciales . . 14

2.1.3.1. Condiciones de borde satisfechas por las funcio-nes de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.3.2. Condiciones de borde no satisfechas por las fun-ciones de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.4. Consideraciones sobre la convergencia . . . . . . . . . . . 152.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1. Aproximación de una función de una variable . . . . . . . 162.2.2. Aproximación de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . 18

2.2.2.1. Caso unidimensional: se satisfacen las condicio-nes de borde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.2.2. Caso bidimensional: Problema de torsión . . . . 202.2.2.3. Variación del problema de torsión. No se satis-

facen las condiciones de borde . . . . . . . . . . 212.3. Comentarios finales sobre el MRP . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Método de los elementos finitos 233.1. Teoremas para el cálculo de integrales y derivadas . . . . . . . . 233.2. Desarrollo teórico del Método de los elementos finitos . . . . . . 25

3.2.1. Tipos de elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1.1. Elemento unidimensional . . . . . . . . . . . . . 27

2

ÍNDICE GENERAL 3

3.2.1.2. Elementos bidimensionales . . . . . . . . . . . . 283.2.2. Condiciones sobre las funciones de pequeño soporte . . . . 313.2.3. Elementos isoparamétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2.3.1. Unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.3.2. Bidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1. Planteamiento de un problema unidimensional. Formula-

ción débil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.2. Ejemplos de cálculo de matriz de rigidez . . . . . . . . . . 37

3.4. Propiedades de K y F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4. Sistema péndulo invertido 414.1. Descripción del sistema mecánico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Descripción del controlador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3. Planteamiento de la resolución de la ecuación en derivadas par-

ciales asociada al sistema péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.3.1. Condiciones de contorno aproximadas . . . . . . . . . . . 45

5. Método de los residuos ponderados 475.1. Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.1. Consideraciones previas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.1.1.1. Necesidad de un dominio no simétrico . . . . . . 485.1.1.2. Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.1.3. Traslación del problema . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.2. Solución con Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.2.1. Aproximación mediante polinomios . . . . . . . 545.1.2.2. Aproximación sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . 565.1.2.3. Condiciones de contorno originales . . . . . . . . 58

5.1.3. Comentarios finales sobre el método de Galerkin . . . . . 635.2. Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2.1. Dirac en el dominio y Galerkin en el contorno . . . . . . . 645.2.2. Comentarios finales sobre el método de Dirac . . . . . . . 72

5.3. Resumen de resultados y conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . 72

6. Método de los elementos finitos 746.1. Primer Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.1.1. Planteamiento del residuo y mallado . . . . . . . . . . . . 746.1.2. Matrices elementales. Elementos isoparamétricos . . . . . 756.1.3. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.1.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2. Segundo Orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2.1. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.3. Problemática asociada a la resolución mediante elementos rectan-gulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

ÍNDICE GENERAL 4

7. Trabajo futuro 85

8. Anexo 878.1. Código para residuos ponderados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

8.1.1. Galerkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.1.2. Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2. Código para elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.2.1. Segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Parte I

Introducción

5

Capítulo 1

Presentación del problema

1.1. Motivación y objetivosEl objetivo de este proyecto de fin de carrera es continuar con la línea de

trabajo realizada en [1] y [2]. Ambos proyectos estudiaban la resolución de unaecuación en derivadas parciales usando métodos numéricos: el método de lasdiferencias finitas en [1] y el método de los elementos finitos mediante Freefem(lenguaje de programación y software desarrollado para la resolución de ecua-ciones en derivadas parciales usando el método de elementos finitos) así comouna variación del método de las diferencias finitas en [2].

Este proyecto busca resolver el mismo problema a través de caminos distin-tos. El método de los residuos ponderados no usa malla alguna sobre el dominio,a diferencia de los anteriores. En base a los resultados obtenidos de este métodose analizan las soluciones provenientes del método de los elementos finitos.

1.2. Introducción a la resolución de ecuacionesdiferenciales

A la hora de hacer un estudio cuantitativo de un fenómeno físico es nece-sario plantear un sistema de ecuaciones diferenciales (ordinarias o en derivadasparciales) sobre una cierta región del espacio y sujeto a las correspondientescondiciones iniciales y/o de borde. El siguiente paso es encontrar la solución dedichas ecuaciones. No obstante, en la mayoría de los casos esto no es trivial.Debido a la complejidad de la geometría o la distribución de cargas, no siemprees posible encontrar soluciones analíticas de forma sencilla: sólo las ecuacionesmás simples pueden ser resueltas de forma exacta.

Para solventar esta dificultad se procede a aproximar de forma numérica laecuación: mediante una discretización del dominio se convierte un problema deinfinitos grados de libertad en un problema algebraico que involucre un ciertonúmero finito de parámetros. En este texto se presentará el método de los re-

6

CAPÍTULO 1. PRESENTACIÓN DEL PROBLEMA 7

siduos ponderados y el método de los elementos finitos con el fin de, siguiendola estrategia recién expuesta, aproximar de forma numérica una ecuación enderivadas parciales.

1.2.1. NotaciónA continuación, vamos a introducir la notación utilizada a lo largo de este

texto en lo que se refiere a ecuaciones diferenciales.Consideremos una ecuación diferencial, sobre un dominio Ω de contorno Γ ,

escrita como:

A(u) = L(u) + p = 0 en Ω (1.1)

donde L es un operador diferencial lineal actuando sobre la función a deter-minar u y p es independiente de u. Como ilustración de esta notación ponemos elcaso de la ecuación de Poisson, de aplicación, por ejemplo, a la hora de calcularel potencial electrostático dada una densidad de carga:

∇2V = − ρ

ε0(1.2)

siendo V el potencial, ρ la densidad de carga y ε0 la permitividad del vacío.Entonces, en coordenadas cartesianas:

L(V ) =∂2V (x, y)

∂x2+∂2V (x, y)

∂y2(1.3)

p(x, y) =ρ

ε0(1.4)

Las condiciones de contorno se expresan de forma similar:

B(u) =M(u) + r = 0 en Γ (1.5)

conM(u) un operador lineal adecuado y r independiente de u. Por ejemplo,las condiciones de borde de Dirichlet y Neumann (valor de la función y dela derivada de la función en la frontera, respectivamente) para una ecuacióndiferencial quedan:

M(u) = u r = −u en Γu (1.6)

M(u) = −k ∂u∂n

r = −σ en Γσ (1.7)

Parte II

Métodos numéricos

8

9

En esta segunda parte se presentan los dos métodos numéricos que se apli-carán al problema de estudio, ya adelantados en la introducción: el método delos residuos ponderados y el método de los elementos finitos. Dividiremos loscapítulos correspondientes a la explicación de estos métodos en una primeraparte teórica y una segunda parte con varios ejemplos.

Capítulo 2

Método de los residuosponderados

El método de los residuos ponderados (MRP) es un método de aproximaciónque propone una solución compuesta por la suma del producto de una serie defunciones, llamadas funciones de prueba, por unos coeficientes a determinar(nuevas incógnitas). A través de una formulación integral que tiene como objeti-vo la minimización del error medio se hallan los valores de dichos coeficientesy con ello se construye la aproximación.

2.1. Desarrollo teóricoEste apartado teórico presenta el MRP aplicado a la aproximación de funcio-

nes y de ecuaciones diferenciales, un apartado dedicado a la selección de ciertasfunciones (relevantes a la hora de la aplicación del MRP) así como algunoscomentarios sobre convergencia.

2.1.1. Aproximación de funciones mediante residuos pon-derados

Vamos a introducirnos en el estudio del MRP a través de una de sus posiblesaplicaciones, la aproximación de funciones. El objetivo será aproximar la funciónφ en el dominio Ω.

Partiremos de una aproximación del tipo:

φ ≈ φ = ψ +

M∑m=1

Nmam (2.1)

siendo ψ la función que verifica las condiciones de borde (en todos o en alguno

10

CAPÍTULO 2. MÉTODO DE LOS RESIDUOS PONDERADOS 11

de los bordes), Nm las funciones de prueba y am las nuevas incógnitas, esto es,los parámetros a determinar para generar la aproximación. En los bordes dondela función ψ ajuste la solución, las funciones de prueba habrán de ser nulas.Estas funciones tienen que ser continuas en el dominio de integración.

Como ya se ha adelantado, se busca que el residuo medio ponderado enel dominio de integración sea nulo. Comenzamos, pues, definiendo el residuocomo:

RΩ = φ− φ en Ω (2.2)

siendo φ la solución exacta (función que se pretende determinar) y φ su aproxi-mación. Se pretende que este error, ponderado con una serie de funciones (quemás adelante se abordarán en mayor detalle) e integrado en todo el dominio,sea nulo. De forma análoga, en las fronteras donde no queden satisfechas lascondiciones de borde existirá, además, un residuo RΓ, aunque de momento, porcomodidad, supondremos que se verifican todas las condiciones de borde y esteerror es nulo. Expresando lo anterior de forma matemática:

ˆ

Ω

WlRΩdΩ = 0 l = 0, 1, 2, ..,M (2.3)

Introduciendo (2.1) en (2.3) se llega a un sistema algebraico deM ecuacionesy M incógnitas del que se hallan los coeficientes que hacen el residuo medionulo (la solución será exacta en los bordes donde ψ aproxime la función; engeneral, en el interior, el error será distinto de cero).

Desarrollando (2.3) conocida la aproximación (2.1):

ˆ

Ω

WlRΩdΩ =

ˆ

Ω

Wl(φ− φ)dΩ =

ˆ

Ω

Wl(φ− ψ −M∑m=1

Nmam)dΩ = (2.4)

ˆ

Ω

Wl(φ− ψ)dΩ−ˆ

Ω

Wl

M∑m=1

Nmam = 0

De las propiedades de las integrales sabemos que la integral de una suma esigual a la suma de las integrales, luego:

ˆ

Ω

Wl(φ− ψ)dΩ−∑

am

ˆ

Ω

WlNmdΩ = 0 (2.5)

lo que puede escribirse como:

Ka = f (2.6)

Siendo K la matriz de coeficientes del sistema, cuyos elementos son:

Klm =

ˆ

Ω

WlNmdΩ, (2.7)


f el vector de términos independientes, de componentes:

fl =

ˆ

Ω

Wl(φ− ψ)dΩ (2.8)

y a el vector de incógnitas a = [a1, a2, ..., aM ].

2.1.2. Selección de los pesosLas variaciones sobre el MRP se basan principalmente en la elección de las

funciones con los que se pondera el error (de aquí en adelante se usará pesospara referirse a ellas). Las técnicas más comunes son colocación por puntos,colocación por subdominios, mínimos cuadrados y Galerkin (véase [5, capítulo1] ). Se describen sucintamente a continuación para el caso unidimensional (laidea es extensible a mayor dimensión).

Colocación por puntos. Los pesos se definen mediante una delta deDirac centrada en el punto elegido. Esto es:

Wl = δ(x− xl) (2.9)

con δ(x − xl) la función delta de Dirac, centrada en xl, que cumple lassiguientes propiedades:

δ(x− xl) = 0 si x 6= xl

δ(x− xl) =∞ si x = xl(2.10)

ˆ

x

f(x)δ(x− xl)dx = f(xl) (2.11)

donde el índice l va recorriendo todos los puntos, xl, donde se han situadolas deltas.

Sustituyendo (2.9) en (2.7) y (2.8) se obtiene:

Klm = Nm |x=xl(2.12)

fl = (φ− ψ) |x=xl(2.13)

Colocación por subdominios. Las funciones de peso se definen comosigue:

Wl =

1 si xl < x < xl+1

0 si x < xl o x > xl+1

(2.14)

En este caso, xl y xl+1 representan las coordenadas de los extremos delsubdominio l-ésimo. Con un desarrollo similar se llega a:


Klm =

ˆ

x

Nmdx (2.15)

fl =

ˆ

x

(φ− ψ)dx (2.16)

Mínimos cuadrados. Se trata de minimizar el cuadrado del residuo (dis-tancia entre solución y aproximación) en cada punto. Se pretende minimi-zar:

F (a1, ..., aM ) =

ˆ

Ω

(φ− φ)2dΩ (2.17)

Para minimizar, se iguala la derivada parcial de la función F (a1, ..., aM ) conrespecto a cada uno de los parámetros a cero:

∂F

∂al= 0 para l = 1, 2, ...,M (2.18)

Teniendo en cuenta (2.1) se obtiene:

∂F

∂al= Nl (2.19)

Entonces, F es mínimo cuando:ˆ

Ω

(φ− φ)NldΩ (2.20)

expresión que comparada con (2.3) lleva a que ambas sean iguales si Nl = Wl

obteniéndose en este caso las siguientes expresiones para la matriz K y el vectorf:

Klm =

ˆ

Ω

NlNmdΩ (2.21)

fl =

ˆ

Ω

Nl(φ− ψ)dΩ (2.22)

Galerkin. Las funciones de peso son las mismas que las funciones deprueba, es decir, Nl = Wl. Si se introduce esto en las ecuaciones (2.7) y(2.8) se tiene:

Klm =

ˆ

Ω

NlNmdΩ (2.23)


fl =

ˆ

Ω

Nl(φ− ψ)dΩ (2.24)

Expresiones que coinciden con las del caso de mínimos cuadrados. La matrizK resultante es simétrica, lo que supone una gran ventaja en términos compu-tacionales.

2.1.3. Aproximación a la solución de ecuaciones diferen-ciales

Se hará aquí una distinción de casos, según las condiciones de borde sean ono satisfechas por las funciones de prueba.

2.1.3.1. Condiciones de borde satisfechas por las funciones de prueba

Partimos de (1.1). Si se propone una aproximación de u, dada por u ≈u = ψ +

∑Nmam con la función ψ aproximando las condiciones de borde y

Nm aproximando la solución en el dominio, y se introduce en (1.1) se ve que,en general, el segundo miembro de la igualdad será distinto de cero por estarusando una aproximación: este es el error que se comete. Ponderando con lospesos correspondientes e integrando en el dominio:

ˆ

Ω

WlRΩdΩ =

ˆ

Ω

WlA(u)dΩ =

ˆ

Ω

Wl(L(u) + p)dΩ = (2.25)

ˆ

Ω

Wl[L(ψ +

M∑m=1

amNm)]dΩ +

ˆ

Ω

WlpdΩ = 0

Reagrupando, se obtiene:

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ 1 ≤ l ≤M y 1 ≤ m ≤M (2.26)

fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ +

ˆ

Ω

WlL(ψ)dΩ 1 ≤ l ≤M (2.27)

expresiones que llevan al problema algebraico Ka+ f = 0 .

2.1.3.2. Condiciones de borde no satisfechas por las funciones deprueba

Que las condiciones de borde no queden satisfechas se traduce en ψ = 0. Laaproximación propuesta pasa a ser u ≈ u =

∑Nmam. Hay que tener en cuenta

que, en este caso, aparecerá, además del error en el dominio al aproximar A(u)


por A(u) un error en el borde igual a B(u). Matemáticamente seguimos unproceso análogo al anterior, la ponderación e integración del residuo:

ˆ

Ω

WlRΩdΩ +

ˆ

Γ

WlRΓdΓ = 0 (2.28)

donde las Wl son los pesos utilizados al ponderar el residuo en el contorno.Estos pesos pueden elegirse distintos a los pesos usados para la ponderación enel dominio. Con un desarrollo similar al anterior:

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ +

ˆ

Γ

WlM(Nm)dΓ 1 ≤ l ≤M y 1 ≤ m ≤M

(2.29)

fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ +

ˆ

Γ

WlrdΓ 1 ≤ l ≤M (2.30)

Ka+ f = 0 (2.31)

2.1.4. Consideraciones sobre la convergenciaAntes de pasar a los ejemplos, cabe preguntarse cómo puede conocerse cuán-

do la solución aportada por el MRP es lo suficientemente precisa. La convergen-cia es algo que debe estudiarse siempre que se utilicen técnicas de aproximación:rara vez conoceremos la solución exacta de una ecuación, de donde nace la ne-cesidad de un criterio para determinar la exactitud.

Para el estudio de la convergencia del MRP, en general, se van obteniendosucesivas soluciones, cada una de ellas con un parámetro más que la anterior,hasta que se ve que la solución obtenida apenas difiere al aumentar el númerode parámetros en las aproximaciones propuestas.

El método ha convergido, pero ¿ha convergido a la solución real? En estetexto se asumirá que la convergencia es a la solución real del problema. En el casode algunos problemas físicos puede hacerse un análisis de conservación de masa,conservación de energía, equilibrio o estabilidad entre otros para determinar lafactibilidad de la solución.

2.2. EjemplosUtilizando los resultados teóricos obtenidos en la sección anterior vamos

a analizar algunos ejemplos del uso del MRP para la aproximación tanto defunciones como de ecuaciones diferenciales.


2.2.1. Aproximación de una función de una variableEmpleando el MRP vamos a encontrar una aproximación a una cierta función

y mostrar las diferencias halladas en el resultado cuando se utiliza cada uno delos tipos de funciones de peso anteriormente descritos. La función a aproximares:

φ(x) = −(0,1 +x

3)sen(1,7πx) x ∈ [0, 1]

Se propone una aproximación con una función que satisfaga las condicionesde borde y dos funciones de prueba que aproximen en el dominio:

φ = ψ + a1N1 + a2N2

ψ = 0,350574030895811x

N1 = x(1− x)

N2 = x2(1− x)

Se comprueba que las Nm son nulas en los extremos del intervalo y ψ cumplelas condiciones de borde.

Colocación por puntos. Con dos puntos: x1 = 0,25 y x2 = 0,75.

K11 = N1(x1) = 0,1875 K12 = N2(x1) = 0,046875

K21 = N1(x2) = 0,1875 K22 = N2(x2) = 0,140625

f1 = φ(x1)− ψ(x1) = −0,2659113

f2 = φ(x2)− ψ(x2) = −0,0032116 Despejando:[a1

a2

]=

[−2,1358546−2,87064426

]Colocación por subdominios. Dos subdominios: el primero entre elorigen y el punto medio del segmento; el otro, de punto medio a final.Entonces, x1 = 0, x2 = 0,5 y x3 = 1.

K11 =0,5´0

N1(x)dx = 0,083333 K12 =0,5´0

N2(x)dx = 0,0260416

K21 =1

0,5

N1(x)dx = 0,0833333 K22 =1

0,5

N2(x)dx = 0,0572916


f1 =0,5´0

[φ(x)− ψ(x)]dx = −0,11234019

f2 =1

0,5

[φ(x)− ψ(x)]dx = −0,02452481 Dando como parámetros:[a1

a2

]=

[−2,226236221−2,8100923155

]Mínimos cuadrados. Las expresiones coinciden con las de Galerkin((2.23) y (2.24)).

K11 =1

0.

N1(x)N1(x)dx = 1/30 K12 =1

0.

N1(x)N2(x)dx = 1/60

K21 =1

0.

N2(x)N1(x)dx = 1/60 K22 =1

0.

N2(x)N2(x)dx = 1/105

f1 =1

0

N1(x)[φ(x)− ψ(x)]dx = −0,03053668742

f2 =1

0

N2(x)[φ(x)− ψ(x)]dx = −0,01192414968

Resolviendo [a1

a2

]=

[−2,32066211519−2,80912298519

]La Figura 2.1 muestra la función original y las gráficas de las distintas apro-

ximaciones.

Figura 2.1: Aproximación de una función mediante MRP.


2.2.2. Aproximación de ecuaciones diferencialesPresentamos 3 casos: un problema unidimensional, uno bidimensional y una

variación de este para ejemplificar el uso del MRP tanto si se satisfacen lascondiciones de borde como si no.

2.2.2.1. Caso unidimensional: se satisfacen las condiciones de borde

Nos disponemos a usar el MRP para resolver la ecuación:

∂2u

∂x2− u = 0

con las condiciones: u = 0 en x = 0

u = 1 en x = 1

en el intervalo x ∈ [0, 1] . Esas condiciones pueden reescribirse como:M(u) = u en x = 0

M(u) = u en x = 1r = 0 en x = 0

r = −1 en x = 1

La solución exacta de la ecuación es una combinación lineal de senos y co-senos hiperbólicos:

u(x) = Acosh(x) +Bsenh(x)

u(0) = A = 0

u(1) = Bsenh(1) = 1→ B =1

senh(1)

Por tanto:

u(x) = senh(x)/senh(1)

Para la función ψ adoptamos:

ψ = x

y las funciones de aproximación Nm serán de tipo sinusoidal:

Nm(x) = sen(mπx) m = 1, 2, ...,M

En este problema:


L() =∂2()

∂x2− ()

p = 0

Tomaremos M=2 y como funciones de peso el método de colocación (conx1 = 1/3 y x2 = 2/3) y de Galerkin de cara a una comparación.

Colocación.

K11 = (1 + π2)sen(π/3) K12 = (1 + 4π2)sen(2π/3)

K21 = (1 + π2)sen(2π/3) K22 = (1 + 4π2)sen(4π/3)

f1 = −1/3 f2 = −2/3

[a1

a2

]=

[−0,053120,004754

]Galerkin

K11 = 0,5(1 + π2) K12 = 0

K21 = 0 K22 = 0,5(1 + 4π2)

f1 = −1/π f2 = 1/2π

[a1

a2

]=

[−0,058570,007864

]La Figura 2.2 muestra la función original y las gráficas de las distintas apro-

ximaciones.


Figura 2.2: Comparación Galerkin-Colocación por puntos.

2.2.2.2. Caso bidimensional: Problema de torsión

Este ejemplo está sacado de [5, capítulo 1]. El problema de torsión (bidi-mensional) queda definido por la ecuación:

∇2Ψ =∂2Ψ(x, y)

∂x2+∂2Ψ(x, y)

∂y2= −2αG Ψ = 0 en Γ

φ es la función de tensión, α el giro por unidad de longitud y G el módulo deelasticidad trasversal. Hallada la función de tensión pueden obtenerse, primero,los esfuerzos, y por integración, el momento torsor T :

T = 2

ˆΨ(x, y)dxdy

Tomaremos por simplicidad αG = 1 y un dominio rectangular −3 ≤ x ≤ 3 ,−2 ≤ y ≤ 2. Las funciones de prueba elegidas son:

φ1(x, y) = cos(πx/6)cos(πy/4)

φ2(x, y) = cos(πx/2)cos(πy/4)

φ3(x, y) = cos(πx/6)cos(3πy/4)

funciones que cumplen las condiciones de borde. Para este problema, el ope-rador diferencial L y la función p son:

L() =∂2()

∂x2+∂2()

∂y2

p = 2


con lo que, si usamos el método de Galerkin:

Klm = −3ˆ

−3

2ˆ

−2

φl(∂2φm∂x2

+∂2φm∂y2

)dydx

fl =

3ˆ

−3

2ˆ

−2

2φldydx

Debido a la ortogonalidad de las funciones de prueba, el sistema de ecuacio-nes resulta diagonal y la solución es inmediata: a1

a2

a3

=

4608/13π4

−4608/135π4

−4608/255π4

2.2.2.3. Variación del problema de torsión. No se satisfacen las con-

diciones de borde

Resolvemos el mismo problema de torsión del apartado anterior pero ahoralas funciones de prueba elegidas no cumplirán las condiciones de borde y serán,para una aproximación con 5 términos:

φ1 = 4− y2

φ2 = x2φ1

φ3 = y2φ1

φ3 = y2x2φ1

φ5 = x4φ1

Volviendo a plantear el residuo y teniendo en cuenta el error que se produceen el borde:

3ˆ

−3

2ˆ

−2

(∂2Ψm

∂x2+∂2Ψm

∂y2)dydx+

2ˆ

−2

[WlΨ

]|x=3dy −

2ˆ

−2

[WlΨ

]|x=−3dy = 0

llegando al sistema:


6,7 −44 43,7 80 813,6−12 −333,6 105,6 355,2 −5748,711,7 −16 159,1 389,5 −547,29,6 −163,2 433,4 1971,6 −3932,4−237,6 −3156,7 432 1473,7 −46239,4

a1

a2

a3

a4

a5

=

12361648

194,4

a1

a2

a3

a4

a5

=

1,1713−0,1440−0,08890,0254−0,0004

2.3. Comentarios finales sobre el MRP

Las funciones de prueba utilizadas en los ejemplos anteriores son de carácterglobal, esto es, se aplican sobre todo el dominio y han de satisfacer ciertascondiciones en el contorno: la calidad de la solución obtenida está en directarelación con la elección de estas funciones. Por tanto, dicha elección se tornaelemento clave en el problema y como cabría esperar la dificultad crece con ladimensión del problema. Un conjunto de funciones de prueba inapropiado podríadar lugar a una matriz K mal condicionada, dificultando o imposibilitando laresolución del sistema. Si algo se le puede reprochar al MRP es precisamenteeso, el no aportar una metodología sistemática para la determinación de lasfunciones de aproximación.

Capítulo 3

Método de los elementosfinitos

Antes de comenzar con la teoría del método de elementos finitos, vamos aocuparnos en la siguiente sección de enunciar una serie de elementos teóricosque serán de utilidad en los cálculos que se lleven a cabo en este capítulo.

3.1. Teoremas para el cálculo de integrales y de-rivadas

A continuación se recuerdan varios resultados (extraídos de [5, capítulos 1 y2]) que serán de interés para los cálculos venideros:

Teorema de Green. Sea una función u y el operador diferencial dv,definidas en un dominio bidimensional Ω cuyo contorno es Γ, entonces:ˆ

Ω

u∂v

∂xdxdy =

ˆ

Γ

uvnxdΓ−ˆ

Ω

v∂u

∂xdxdy (3.1)

ˆ

Ω

u∂v

∂ydxdy =

ˆ

Γ

uvnydΓ−ˆ

Ω

v∂u

∂ydxdy (3.2)

siendo nx, ny los cosenos directores de la normal saliente n al contorno ce-rrado Γ que rodea a Ω. La integración se realiza en sentido antihorario.

Cambio de variables. Sea una función real integrable f definida en elintervalo [x1, x2] (f : [x1, x2] → R) y sea x una función continuamentediferenciable que cumple x(ξ1) = x1y x(ξ2) = x2, entonces:

x2ˆ

x1

f(x)dx =

ξ2ˆ

ξ1

f(x(ξ))∂x(ξ)

∂ξdξ

23

CAPÍTULO 3. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 24

El término ∂x(ξ)∂ξ se denomina Jacobiano de la transformación. Puede

reescribirse, entonces:

x2ˆ

x1

f(x)dx =

ξ2ˆ

ξ1

f(x(ξ))|J |dξ

Regla de la cadena. Sea una función f integrable y diferenciable (f :[x1, x2]→ R) y x una función continuamente diferenciable (x : [ξ1, ξ2]→[x1, x2]). Entonces:

∂

∂ξ[f(x(ξ))] =

∂[f(x(ξ))]

∂x

∂x(ξ)

∂ξ(3.3)

Cuadratura de Gauss. La cuadratura de Gauss aproxima el valor deuna integral por un sumatorio de los valores de la función ponderados porunos ciertos coeficientes en un número finito de puntos:

x2ˆ

x1

f(x)dx =

N∑i=1

f(xi)Wi

donde los coeficientesWi se pueden interpretar como el ancho del rectángulocuya altura es f(xi). Nos centramos aquí en la cuadratura de Gauss-Legendre,de interés a la hora de aproximar funciones polinómicas, con una normalizacióndel dominio tal que la variable independiente va desde −1 a 1. Usando n puntosesta cuadratura permite conocer el valor exacto de una integral siempre que lafunción polinómica sea de orden 2n − 1. Si la función no cumple esta condi-ción o no es polinómica se obtiene una aproximación. Esta regla de cuadraturapuede ser extendida a más dimensiones: suponiendo un dominio bidimensional,tenemos:

1ˆ

−1

1ˆ

−1

f(ξ, η)dξdη =

N1∑i=1

N2∑j=1

g(ξi, ηj)WiWj

Sin profundizar matemáticamente, nos limitaremos a usar aquí los puntos ypesos que se obtienen de una cuadratura con 2 puntos, siendo estos puntosP = ± 1√

3y los pesos asociados, ambos, W = 1 (véase [4, capítulo 6]).

Como ejemplo, se desea calcular el valor de la integral:

1ˆ

−1

1ˆ

−1

9ξ2η2dξdη

El número de puntos de integración será:

2 = 2n− 1→ n = 1,5


al tener que tomar un número entero de puntos, se usarán 2 puntos paraambas variables. Los puntos de integración y pesos son:

ξ1 = η1 = − 1√3

ξ2 = η2 =1√3

W1 = W1 = 1

W2 = W2 = 1

El resultado de la cuadratura coincide con el de la integral, siendo el valorde esta 4.

3.2. Desarrollo teórico del Método de los elemen-tos finitos

En contrapartida a la visión global del MRP, se presenta en esta secciónel Método de los elementos finitos (MEF). La idea de este método es parecidaa la del MRP, es decir, transformar una ecuación diferencial en un sistemaalgebraico proponiendo una aproximación para la solución en función de unaserie de parámetros (las nuevas incógnitas) y llegando a un sistema de ecuacioneslineales:

Ka = f (3.4)

del que despejar el vector a y poder reconstruir la aproximación y dondeK y f tienen el mismo significado que en el MRP: matriz de coeficientes delsistema y vector de términos independientes, provenientes de una integracióndel residuo, ponderado por unos ciertos pesos, en la región de estudio.

Se suele denominar matriz de rigidez a la matriz K y vector de fuerzasal vector f. La interpretación de los elementos K y f depende del contexto delproblema que se está tratando. Por ejemplo, si se está llevando a cabo un cálculoestructural, el elemento (i, j) de K relaciona los desplazamientos del nodo jcon las fuerzas aplicadas en el nodo i , esto es, la componente i del vector defuerzas; si se trata de un problema de transferencia de calor, el elemento (i, j)representa la relación entre la temperatura del nodo j y el flujo de calor en elnodo i (componente j del vector f ), etc.

En general, las fórmulas para el cálculo deK y f vendrán dadas por integralescuyo integrando dependerá del problema que se esté tratando. En la sección3.3 se ejemplifica el desarrollo matemático necesario para llegar, a partir de laecuación diferencial que se pretenda resolver, a las expresiones particulares dela matriz de rigidez y del vector de fuerzas.

Al final de la sección 2.3 ya quedaron indicados los problemas de condicio-namiento de la matriz K debidos a que las funciones de aproximación debían


Figura 3.1: Dominio Ω al aplicar el MEF.

cumplir una serie de condiciones en los bordes. El MEF propone como alterna-tiva la división del dominio en regiones más pequeñas y la reconstrucción portramos de la solución. El dominio, esquematizado en la Figura 3.1 , pasa a es-tar dividido en una serie de regiones o subdominios, llamados a partir de aquíelementos, no superpuestos, de forma que:

Ω =

NE∑i=1

Ωe

Γ =

NE∑i=1

Γe

De esta forma, (2.28) puede reescribirse como:

ˆ

Ω

WlRΩdΩ +

ˆ

Γ

WlRΓdΓ =

NE∑i=1

ˆ

Ωe

W el R

eΩdΩe +

NE∑i=1

ˆ

Γe

W el R

eΓdΓ = 0

donde las variables con superíndice e hacen referencia al dominio elementaly NE es el número de elementos en los que se ha dividido el dominio. Puedenemplearse distintos tipos de elemento dentro del mismo dominio y distintasfunciones en cada elemento. La aproximación de φ es por tramos, lo que puede


traer consigo algún tipo de discontinuidad en las funciones o sus derivadas, algoque habrá que tener en cuenta para la formulación del problema. Como funcionesde aproximación se tomaran funciones de pequeño soporte o de soportecompacto, asociadas a cada nodo, que se definen como aquellas funciones queson nulas en todos los nodos excepto sobre el que se han definido. Puedenexpresarse como:

Hi(−→rj ) = δij (3.5)

siendo δij la delta de Kronecker:

δij =

1 si i = j

0 si i 6= j

y donde el vector −→rj = (xj,1, xj,2, ..., xj,n) representa las variables de quedepende el problema. Estas Hi serán calculadas en el apartado siguiente parael caso de elementos unidimensionales y bidimensionales, donde −→rj = (xj) y−→rj = (xj , yj) respectivamente. Pueden extenderse, por supuesto, al caso tridi-mensional siguiendo el mismo principio.

La aproximación que se lleva a cabo es la siguiente:

u ≈n∑i=1

uiHi (3.6)

siendo ui el valor de la función en cada uno de los n nodos y Hi la funciónde pequeño soporte correspondiente al nodo i-ésimo.

3.2.1. Tipos de elementoSe presentan aquí los elementos más usados al tratar problemas a través de

la metodología los elementos finitos para problemas unidimensionales y bidi-mensionales y se calculan las funciones de pequeño soporte correspondientes acada caso.

3.2.1.1. Elemento unidimensional

Sea un dominio unidimensional, como el que se ve en la Figura 3.2, con 2nodos. Se define en cada nodo una función lineal en x:


Figura 3.2: Dominio unidimensional.

H1 =xi+1 − x

hi

H2 =x− xihi

donde hi = xi+1−xi, esto es, la longitud del elemento. Se ve que que cumplelo expresado por la ecuación (3.5), esto es:

H1(xi) = 1

H1(xi+1) = 0

H2(xi) = 0

H2(xi+1) = 1

Al tenerse dos nodos, puede proponerse por tanto una aproximación linealen cada elemento. Particularizando (3.6):

u = u1H1(x) + u2H2(x)

Se podrían calcular las funciones de pequeño soporte para un elemento uni-dimensional con, por ejemplo, tres nodos, sin más que proponer Hi parabólicasy obtener el valor de las constantes a partir de la condición (3.5).

3.2.1.2. Elementos bidimensionales

En este apartado se llega a las expresiones generales de las funciones deforma para elementos triangulares y cuadriláteros.

Elementos triangulares


Elementos triangulares con 3 nodos, como el que se ve en la Figura 3.3 , permitenuna aproximación mediante un polinomio de grado uno en x e y :

u(x, y) = a1 + a2x+ a3y

o de otra manera:

u(x, y) = [1 x y]

a1

a2

a3

Figura 3.3: Elemento triangular. 3 Nodos.

Si sustituimos para cada nodo llegamos a: u1

u2

u3

=

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y2

a1

a2

a3

y despejando los coeficientes:

a1

a2

a3

=1

2A

x2y3 − x3y2 x3y1 − x1y3 x1y2 − x2y1

y2 − y3 y3 − y1 y1 − y2

x3 − x2 x1 − x3 x2 − x1

u1

u2

u3

,donde:

A =1

2det

1 x1 y1

1 x2 y2

1 x3 y2

,en el caso de que la numeración de los nodos se lleve a cabo en el sentido

contrario al de las agujas del reloj y donde A representa el área del elementotriangular. En la programación del MEF, la numeración de los nodos debe seguirsiempre el mismo sentido para cada elemento del dominio.

De la ecuación (3.6) tenemos, en este caso, una aproximación del tipo:

u = u1H1(x, y) + u2H2(x, y) + u3H3(x, y)


con:

H1(x, y) =1

2A[(x2y3 − x3y2) + (y2 − y3)x+ (x3 − x2)y] (3.7)

H2(x, y) =1

2A[(x3y1 − x1y3) + (y3 − y1)x+ (x1 − x3)y] (3.8)

H3(x, y) =1

2A[(x1y2 − x2y1) + (y1 − y2)x+ (x2 − x1)y] (3.9)

Elementos cuadriláteros

Un elemento como el de la Figura 3.4, al tener cuatro nodos, permite una apro-ximación polinómica con cuatro términos:

u(x, y) = a1 + a2x+ a3y + a4xy

que conduce, con un procedimiento análogo al usado para el caso triangular,a unas funciones de forma:

H1(x, y) =1

4bc(b− x)(c− y) (3.10)

H2(x, y) =1

4bc(b+ x)(c− y) (3.11)

H3(x, y) =1

4bc(b+ x)(c+ y) (3.12)

H4(x, y) =1

4bc(b− x)(c+ y) (3.13)

Figura 3.4: Elemento rectangular. 4 Nodos.


3.2.2. Condiciones sobre las funciones de pequeño soporteSean (1.1) y (1.5) las expresiones generales de una ecuación diferencial y

de las condiciones de borde asociadas, que pueden, como se hizo al explicarel MRP, ponderarse, integrarse y sumarse para hallar el residuo ponderado.Viendo la estructura de la ecuación, en la que aparecen los operadores L yM,cabe preguntarse cuáles son las condiciones que deben cumplir las funcionesde pequeño soporte para poder utilizarse en la formulación del problema porelementos finitos. Estas son 3 (véase [6]):

Continuidad. En la interfaces entre elementos, las funciones de pruebay cualquiera de sus derivadas (hasta orden N-1, siendo N el orden de laderivada más alta que aparece en el residuo) deben ser continuas.

Completitud. La solución aproximada ha de ser capaz de representarcualquier variación de la función incógnita en el dominio. Si la función deaproximación fuese un polinomio tipo ao + a1x+ ...+ aN+1x

N , todos loscoeficientes ao, a1, ..., aN+1 deben ser distintos de cero.

Isotropía espacial. La función de ser invariante a cambios en el sistemade coordenadas. Por ejemplo, ante un cambio de ejes la solución no semodificaría.

Estas condiciones son de aplicación también para los pesos.

3.2.3. Elementos isoparamétricosVamos a hacer un cambio de variable que nos llevará del dominio/ formula-

ción global donde se define el problema (en coordenadas físicas) a otro dominio/formulación local (coordenadas naturales) donde resulta más ventajosa la re-solución del problema. En los casos en los que las matrices y vectores son muycomplicados de calcular (dominios o ecuaciones diferenciales muy complejas )se requiere un método de integración numérico y al hacer la adimensionaliza-ción del dominio que se verá a continuación la aplicación de cualquier métodonumérico se vuelve mucho más sencilla.

Además, usaremos las mismas funciones de forma para aproximar la geome-tría y la función incógnita. Entonces:

x =

NE∑i=1

Hi(ξ, η)xi (3.14)

y =

NE∑i=1

Hi(ξ, η)yi (3.15)

u =

NE∑i=1

Hi(ξ, η)ui (3.16)


Cuando se usan las mismas funciones de forma para la interpolación de lageometría y de la función incógnita estamos usando los denominados elementosisoparamétricos.

3.2.3.1. Unidimensionales

Se toma un elemento 1D como el de la Figura 3.5 en el que se colocan losnodos en los puntos ξ1 = −1 y ξ2 = 1. Esta normalización será útil a la hora decalcular integrales posteriormente.

Figura 3.5: Elemento unidimensional isoparamétrico.

Las funciones de forma serán:

H1(ξ) =1

2(1− ξ)

H2(ξ) =1

2(1 + ξ)

siendo ξ la variable espacial que recorre el elemento, moviéndose en el inter-valo [-1,1]. Sin más que sustituir se ve que se verifica (3.5).

Este elemento puede estar localizado en cualquier punto del sistema de coor-denadas físicas. Vamos a relacionar esta posición (x1 y x2 del elemento, consus correspondientes valores u1 y u2) con las coordenadas naturales a través de(3.14):

x = H1(ξ)x1 +H2(ξ)x2

y por (3.16):

u = H1(ξ)u1 +H2(ξ)u2


3.2.3.2. Bidimensionales

Como en el caso anterior, obtenemos las funciones de pequeño soporte paraelementos triangulares y cuadriláteros.

Elementos triangulares

Un elemento triangular de 3 nodos como el de la Figura 3.6 permite definir unasfunciones de forma tal que:

H1(ξ, η) = 1− ξ − η

H2(ξ, η) = ξ

H3(ξ, η) = η

con ξ y η las nuevas variables espaciales cuyo recorrido es el intervalo [0,1].Se comprueba que las funciones así definidas cumplen (3.5).

Figura 3.6: Elemento triangular en coordenadas naturales. 3 Nodos.

Cuadriláteros

Para un elemento cuadrilátero con 4 nodos como el de la Figura 3.7 se definenlas funciones de forma:

H1(ξ, η) =1

4(1− ξ)(1− η) (3.17)

H2(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1− η) (3.18)

H3(ξ, η) =1

4(1 + ξ)(1 + η) (3.19)

H4(ξ, η) =1

4(1− ξ)(1 + η) (3.20)


Figura 3.8: Cuadrilátero en coordenadas físicas.

Figura 3.7: Cuadrilátero en coordenadas naturales.

En este caso, las variables espaciales que permiten definir la geometría delcuadrilátero varían en el intervalo [-1,1]. Sustituyendo los valores extremos deestas variables vemos que verifican (3.5).

Siempre que se sea consistente con la numeración de los nodos (sentido ho-rario o antihorario), se puede transformar un cuadrilátero con una forma yorientación cualquiera, como el de la Figura 3.8, en otro como el de la Figura3.7, en coordenadas naturales, donde es más sencilla la resolución del problema.Las variables físicas quedan expresadas en función de las naturales a través de(3.14) y (3.15).

Si seguimos el ejemplo del laplaciano, según (3.26) aparecerán términos conderivadas de las funciones de forma en x e y . Para el cálculo usando un elementoisoparamétrico, por la regla de la cadena, que se enuncia en (3.3), se tiene:

∂

∂ξ=

∂

∂x

∂x

∂ξ+

∂

∂y

∂y

∂ξ

∂

∂η=

∂

∂x

∂x

∂η+

∂

∂y

∂y

∂η

Matricialmente: [∂∂ξ∂∂η

]=

[∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

] [ ∂∂x∂∂y

]


siendo:

J =

[∂x∂ξ

∂y∂ξ

∂x∂η

∂y∂η

](3.21)

la matriz jacobiana de la transformación. Nosotros vamos buscando la rela-ción inversa, luego invertimos la matriz y despejamos:[ ∂

∂x∂∂y

]= J−1

[∂∂ξ∂∂η

](3.22)

quedando por tanto completamente definidas las derivadas.Podría haberse tomado otra distribución de nodos: es típico tomar los lla-

mados elementos lagrangianos, siendo estos elementos cuadrilátero de 8 o 9nodos (hay un nodo en cada vértice, otro en el punto medio de cada lado y elnoveno en el origen de coordenadas), cuyas funciones de forma quedan definidaspor los polinomios de Lagrange:

Ini (ξ) =(ξ − ξ0) · · · (ξ − ξi−1)(ξ − ξi+1) · · · (ξ − ξn)

(ξi − ξ0) · · · (ξi − ξi−1)(ξi − ξi+1) · · · (ξi − ξn)

Hij = Ini (ξ)Imj (η)

3.3. Ejemplos

3.3.1. Planteamiento de un problema unidimensional. For-mulación débil.

Se plantea un problema cuya formulación fuerte es:−d

2u(x)dx2 + u(x) = f(x) 0 ≤ x ≤ 1

f(x) = x

u(0) = 0, u(1) = 0

(3.23)

Al encontrarnos una derivada de segundo orden procedemos a la integra-ción por partes del primer término del primer miembro. Dicho de otra manera,hacemos uso de la formulación débil del problema:

1ˆ

0

Wi(−d2u(x)

dx2+ u(x)− f(x))dx = 0

1ˆ

0

dWi

dx

du

dxdx−

[Wi

du

dx

]|10 +

1ˆ

0

Wiudx =

1ˆ

0

Wif(x)dx


Vamos a tomar unas funciones de peso que cumplan Wi(0) = Wi(1) = 0,que anulan el segundo sumando, llegando a:

1ˆ

0

dWi

dx

du

dxdx+

1ˆ

0

Wiudx =

1ˆ

0

Wif(x)dx

Tomando la división del dominio que se aprecia en la Figura 3.9 se puedeproponer una serie de funciones elementales del tipo:

Nei =

he − (x− xi)he

Nej =

x− xihe

Figura 3.9: Dominio unidimensional. 5 Elementos.

En la Figura 3.9 se aprecian los 5 elementos en que queda dividido el dominioal usar 6 nodos.

Si nuestra aproximación es u ≈ u =∑Nmam, en cada elemento (2 nodos

por elementos) se tiene, como se vio anteriormente, que ue = uiNei + ujN

ej .

Como pesos, W ei = Ne

i . Se obtiene, por tanto:

Keij =

xi+1ˆ

xi

(dNidx

dNjdx

+NiNj)dx (3.24)

F ei =

xi+1ˆ

xi

f(x)Nidx (3.25)

El nuevo sistema algebraico al que se llega nos proporciona la solución (elvalor de la función) en los nodos. A partir de u ≈ u =

∑Nmam conocemos el

valor de u en todo el dominio.


3.3.2. Ejemplos de cálculo de matriz de rigidezA modo de ilustración, basándonos en la ecuación del Laplaciano, de apli-

cación en muchos campos de la física (permite, por ejemplo, modelar el flujo deun fluido incompresible, irrotacional y no viscoso) vamos a llegar a las expresio-nes de la matriz de rigidez K y calcularla en para un elemento triangular y unelemento rectangular (ejemplo extraído de [4]).

Comenzamos determinando la expresión del residuo ponderado para el pro-blema:

∂2u(x, y)

∂x2+∂2u(x, y)

∂y2= 0

sujeto a: u = u enΓu∂u∂n = q enΓn

Γu ∪ Γn = Γ

Γu ∩ Γn = Ø

De aplicar (2.28), se llega a que existe un término a aproximar cuya derivadaes de orden 2:

ˆ

Ω

w(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2)dΩ +

ˆ

Γu

(wu)dΓu +

ˆ

Γn

(w∂u

∂n)dΓn = 0

Integrando por partes el primer sumando, usando el Teorema de Green (ecua-ciones (3.1) y (3.2)) se llega finalmente a una expresión de la matriz de rigideztal que:

Klm =

ˆ

Ω

(∂w

∂x

∂u

∂x+∂w

∂y

∂u

∂y)dΩ (3.26)

Elemento triangular

Aquí desarrollaremos la ecuación (3.26) para un elemento triangular. Sin másque sustituir u por su aproximación mediante las funciones de pequeño soportey siendo los pesos w iguales a Hi se tiene que:

Kelm =

ˆ

Ωe

(∂w

∂x

∂u

∂x+∂w

∂y

∂u

∂y)dΩ =

ˆ

Ωe

(

∂H1

∂x∂H2

∂x∂H3

∂x

∂H1

∂x∂H2

∂x∂H3

∂x

+

∂H1

∂y∂H2

∂y∂H3

∂y

∂H1

∂y∂H2

∂y∂H3

∂y

)dxdy


Usando (3.7), (3.8) y (3.9) e integrando:

Kelm =

k11 k12 k13

k21 k22 k23

k31 k32 k33

k11 =

1

4A[(x3 − x2)2 + (y2 − y3)2]

k12 =1

4A[(x3 − x2)(x1 − x3) + (y2 − y3)(y3 − y1)]

k13 =1

4A[(x3 − x2)(x2 − x1) + (y2 − y3)(y1 − y2)]

k22 =1

4A[(x1 − x3)2 + (y3 − y1)2]

k23 =1

4A[(x1 − x3)(x2 − x1) + (y3 − y1)(y1 − y2)]

k33 =1

4A[(x2 − x1)2 + (y1 − y2)2]

Elementos rectangulares.

Procediendo de forma análoga:

Kelm =

ˆ

Ωe

(∂w

∂x

∂u

∂x+∂w

∂y

∂u

∂y)dΩ =

ˆ

Ωe

(

∂H1

∂x∂H2

∂x∂H3

∂x∂H4

∂x

∂H1

∂x∂H2

∂x∂H3

∂x∂H4

∂x

+

∂H1

∂y∂H2

∂y∂H3

∂y∂H4

∂y

∂H1

∂y∂H2

∂y∂H3

∂y∂H4

∂y

)dxdy

Explícitamente, el primer término, a modo de ejemplo, sería:

K211 =

bˆ

−b

cˆ

−c

(∂H1

∂x

∂H1

∂x+∂H1

∂y

∂H1

∂y)dydx =

c2 + b2

3bc

De hecho, todos los términos de la diagonal tienen el mismo valor. El restode términos:

k12 =b2 − 2c2

6bc


k13 = −b2 + c2

6bc

k14 =c2 − 2b2

6bc

k23 = k14

k24 = k13

k34 = k12

Los términos que faltan son conocidos al ser la matriz simétrica. Esta y otraspropiedades serán objeto del apartado siguiente.

3.4. Propiedades de K y FA partir del problema ejemplo de la sección 3.23 se presentarán algunas

propiedades de la matriz K y el vector F, introducidos en el apartado 3.2 yrelacionados por la ecuación (3.4):

Aditividad . La integral de una suma es igual a la suma de las integrales,luego la integral en el dominio Ω es igual a la suma de las integrales enlos diferentes elementos Ωe. Se tiene, para la matriz de rigidez K :

Kij =

ˆ

Ω

(∂Wi

∂x

∂Wi

∂x+∂Wj

∂y

∂Wj

∂y)dΩ =

NE∑i=1

ˆ

Ωe

(∂W e

i

∂x

∂W ei

∂x+∂W e

j

∂y

∂W ej

∂y)dΩ =

NE∑i=1

Keij

Se puede proceder de forma análoga para el vector de cargas f (del ejemplounidimensional, expresión (3.25)):

fi =

1ˆ

0

f(x)Widx =

NE∑i=1

ˆ

Ωe

f(x)W ei dx =

NE∑i=1

F ei

Tras calcular todas las integrales en los distintos elementos, estos se ensam-blan para dar lugar al sistema completo en los grados de libertad definidos.

K es una matriz banda. Consecuencia natural al usar funciones de pe-queño soporte. Kij será distinto de 0 en los casos de elementos compartanun nodo, dando lugar a una banda de elementos distintos de 0 (fuera dela banda todos serán nulos). El ancho de la banda depende de la elección(numeración) de los nodos. Por ejemplo, podría tener una estructura deeste tipo, para 5 nodos:

CAPÍTULO 3. MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS 40∗ ∗ 0 0 0∗ ∗ ∗ ∗ 00 ∗ ∗ ∗ 00 ∗ ∗ ∗ ∗0 0 0 ∗ ∗

En el caso de ejemplo, K es, además, simétrica. Al intercambiar los índices

i y j en (3.24), se comprueba que Kij = Kji.Estas propiedades son de consideración a la hora de ahorrar tiempo de cálculo

(programación del método).

Capítulo 4

Sistema péndulo invertido

4.1. Descripción del sistema mecánicoEste apartado se centra en la exposición y descripción del sistema sobre el que

posteriormente se aplicarán los métodos numéricos anteriormente explicados: elpéndulo invertido, extraído de [3]. El sistema del péndulo invertido es un sistemamecánico de dos grados de libertad, formado por una varilla de inercia I1 a laque está acoplada en su extremo superior un disco de inercia I2 y masa m. Losgrados de libertad del sistema son el ángulo que forma la varilla con la verticaly el ángulo que forma un radio de referencia con la vertical, respectivamente(en la Figura 4.1, θ y ϕ). El objetivo es mantener la varilla vertical, empleandopara ello un controlador que actúa sobre el disco: el giro del disco viene de laaplicación de un par motor v que es función de la posición de la varilla.

41

CAPÍTULO 4. SISTEMA PÉNDULO INVERTIDO 42

Figura 4.1: Esquema del sistema péndulo invertido.

Las ecuaciones que gobiernan el problema son las de Lagrange:[I1 + I2 I2I2 I2

] [Θϕ

]+

[−mglsin(x)

0

]=

[01

]v

Por simplicidad en la representación, se aplica el siguiente cambio de coor-denadas:

q1 = Θ

q2 = Θ + ϕ

con lo que se obtiene finalmente:

I1q1 + I2q2 −mglsen(q1) = 0

I2q2 = v

que reescrito en forma matricial (despejando las variables q1 y q2):[q1

q2

]=

[−mglsen(θ)/I1

0

]+

[01

]v


4.2. Descripción del controladorEn [3] se propone el siguiente controlador para q1, q2:

uc = ((GT ·G)−1)·(GT · (DV −Md ·DVd))− kd · (GT ) · (M−1d · p)

siendo:

G =

[−11

]

p =

[p1

p2

]=

[q1

q2

]DV = mglsen(q1)

DVd =

[mglγ1

(−sen(q1)) + kp(−γ2γ1 )(q2 − γ2γ1q1

kp(q2 − γ2γ1q1)

]con γ1, γ2 parámetros de control:

γ1 = Md(1, 1) +Md(1, 2)

γ2 = Md(2, 1) +Md(2, 2)

y Md,mgl, kd y kp las ganancias de control. El sistema que ha de resolversees:

q1

q2

p1

p2

=

p1

p2

mglsen(q1)0

+

00−11

uc(q1, q2, p1, p2)

Anteriormente ya introdujimos el vector DVd , que recoge las derivadas delpotencial V (q1, q2). Este potencial se calcula resolviendo la siguiente ecuaciónen derivadas parciales:

γ1∂V

∂q1+ γ2

∂V

∂q2= −mglsen(q1)

con γ1 < 0, γ2 6= 0 y las condiciones de contorno:∂2V∂q21|(q1,q2)=(0,0) = k1 k1 > 0

∂2V∂q21

∂2V∂q22− ∂2V

∂q1∂q2|(q1,q2)=(0,0) = k2 k2 > 0

(4.1)

y cuya solución es:


V (q1, q2) =mgl

γ1cos(q1) +

kp2

(q2 −γ2

γ1q1)2

Para las variables de control tomaremos los siguientes valores:γ1, = −1 γ2 = 4

mgl = 10, kp = kd = 1,

siendo entonces nuestra ecuación:

− ∂V∂q1

+ 4∂V

∂q2= −10sen(q1) (4.2)

y su solución:

V (q1, q2) = −10cos(q1) + 0,5(q2 + 4q1)2 (4.3)

Ahora, las derivadas parciales buscadas:

∂V

∂q1= −10sen(q1) + 4q2 + 16q1

∂V

∂q2= q2 + 4q1

4.3. Planteamiento de la resolución de la ecua-ción en derivadas parciales asociada al siste-ma péndulo

Esta sección recoge el esquema planteado para resolver la ecuación en de-rivadas parciales que nace del problema del péndulo invertido. La ecuación aresolver y sus condiciones de contorno asociadas vienen dadas por (4.3) y (4.1)respectivamente. Estas condiciones de contorno son complicadas, por los que sepropondrá una aproximación que facilite el cálculo.

Definiéndose:

α =mgl

γ1β =

kp2

γ =γ1

γ2

se reescribe la solución:

V (q1, q2) = αcos(q1) + β(q2 − γq1)2

En la subsección 4.2 se tomaba para γ1 y γ2 los valores de −1 y 4 respecti-vamente, luego α < 0.

Examinando la solución, vemos que es simétrica respecto del origen. Enefecto:


V (−q1,−q2) = αcos(−q1) + β(−q2 + γq1)2 = αcos(q1) + β(−1)2(q2 − γq1)2

= αcos(q1) + β(q2 − γq1)2

Por tanto, solo es necesario resolver en un cuadrante.La Figura 4.2 muestra la solución real (obtenida para el intervalo −π ≤ x ≤

π,−π ≤ y ≤ π, por hacer las variables x e y referencia a ángulos).

Figura 4.2: Solución Exacta de la ecuación diferencial.

4.3.1. Condiciones de contorno aproximadasAl tener (4.1) como condiciones de borde, no podremos usarlas para resolver

el problema. Sin embargo, si nos apoyamos en ellas podemos inferir condicionesde borde válidas para el problema que estamos tratando, como por ejemplo:

V (q10, q2) = −αcos(q10) + β(q2 − γq10)2 frontera 1

V (q1f , q2) = −αcos(q1f ) + β(q2 − γq1f )2 frontera 2

V (q1, q20) = −αcos(q1) + β(q20 − γq1)2 frontera 3

V (q1, q2f ) = −αcos(q1) + β(q2f − γq1)2 frontera 4

El dominio de integración será un cuadrilátero como el de la Figura 4.3 enla que se ha indicado las fronteras para mayor claridad.


Figura 4.3: Recinto de integración para el MRP.

Estamos ante una ecuación en derivadas parciales de primer orden, luego, deestas 4 condiciones de contorno solo podrán usarse 2. No obstante, en seccionesposteriores se analizará el efecto de introducir un término corrector de segundoorden si fuese necesario, pudiendo por tanto usarse las 4 condiciones de bordey, presumiblemente, obtener una solución de mayor precisión.

Por último, comentar que α y γ son datos del problema. El único parámetrode control es β: modificando su valor podemos hacer que en estas condiciones decontorno prime el término sinusoidal (β bajo) o el término parabólico (β alto).

Capítulo 5

Método de los residuosponderados

De acuerdo a lo expuesto en la sección 2, concretamente en 2.1.3, se planteala ecuación diferencial en la forma dada por (1.1) con las condiciones de contornoexpresadas según la expresión (1.5). Por tanto, definiendo(x, y) = (q1, q2):

L() = γ1∂V

∂x+ γ2

∂V

∂y

p = mglsen(x)

M() = u

ri = −φisiendo φi el valor de la condición de contorno de la frontera i.Tenemos que resolver el problema en el cuadrado definido por −π ≤ x ≤

π y−π ≤ y ≤ π , al representar ángulos las variables x e y. Sin embargo,empezaremos por un cuadrilátero de dimensiones genéricas x0 ≤ x ≤ xf ey0 ≤ y ≤ yf . Al comienzo de la siguiente sección haremos un análisis de laecuación a resolver y sus condiciones de contorno que nos indicará la forma finaldel recinto de integración, es decir, el valor de los extremos x0, xf , y0, yf . Vamosa dividir el análisis según las funciones de peso elegidas sean las de Galerkin olas de Dirac.

5.1. Galerkin

5.1.1. Consideraciones previasVamos a analizar las posibles aproximaciones que podemos proponer en bus-

ca de resultados intermedios que faciliten la resolución del problema.

47


5.1.1.1. Necesidad de un dominio no simétrico

En esta sección se demuestra la inviabilidad de usar funciones de peso deGalerkin en un dominio simétrico. Distinguimos dos posibles casos según eltipo de aproximación propuesta.

Caso 1 Supongamos una aproximación del tipo:

V = ψ +

M∑m=1

Nmam

con una función ψ capaz de aproximar las condiciones en los bordes (al serun recinto bidimensional, el imponer el valor de la función en los 4 bordes noes en absoluto trivial; de hecho, no se ha encontrado un función que cumplatales requisitos. No obstante, puede suponerse conocida un función ψ capazde satisfacer dichas condiciones), y que las distintas funciones de aproximaciónNm(x, y) sean nulas en los bordes, esto es:

Nm(x0, y) = 0 (5.1)

Nm(xf , y) = 0 (5.2)

Nm(x, y0) = 0 (5.3)

Nm(x, yf ) = 0 (5.4)

En este caso, estaríamos haciendo una propuesta como la desarrollada en lasubsección 2.1.3.1, luego las expresiones de la matriz K y el vector f son (2.26)y (2.27) respectivamente:

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ 1 ≤ l ≤M y 1 ≤ m ≤M

fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ +

ˆ

Ω

WlL(ψ)dΩ 1 ≤ l ≤M

para un sistema Ka + f = 0. Vamos a desarrollar la expresión de K. Serecuerda que el método de Galerkin toma como funciones de peso las mismasque de aproximación, Wl = Nm.

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ =

ˆ

x

ˆ

y

Nl(γ1∂Nm∂x

+ γ2∂Nm∂y

)dxdy (5.5)

Dada la simetría respecto a x − y , vamos a quedarnos solo con el primertérmino de la integral (el análisis es análogo para el segundo término):


I1 =

ˆ

x

ˆ

y

Nlγ1∂Nm∂x

dxdy

Para los términos diagonales (l = m) se tiene:

I1 =

ˆ

x

ˆ

y

Nlγ1∂Nl∂x

dxdy = γ1

ˆ

x

ˆ

y

Nl∂Nl∂x

dxdy

Y por la regla de la cadena se deduce que:

Nl∂Nl∂x

=1

2

∂

∂x(N2

l )

luego:

I1 = γ1

ˆ

x

ˆ

y

1

2

∂

∂x(N2

l ) =γ1

2

ˆ

x

ˆ

y

∂

∂x(N2

l )dxdy

e integrando respecto a x:

I1 =γ1

2

ˆ

y

[N2l (xf , y)−N2

l (x0, y)]dy

pero según (5.1) y (5.2) esta integral es nula. Por la simetría existente en laecuación (5.5) respecto a x-y, la segunda parte de la integral es nula tambiénteniendo en cuenta (5.3) y (5.4). Entonces, se llegaría a una matriz cuya diagonales nula y por tanto muy mal condicionada y dando lugar a malas soluciones.

Caso 2 Ahora supongamos una aproximación del tipo:

V =

M∑m=1

Nmam

ψ = 0

Al desarrollo anterior habrá que añadirle el error que se produce en el borde.Esto ya se explicó en la subsección 2.1.3.2, y las expresiones de K y f son (2.29)y (2.30) respectivamente:

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ +

ˆ

Γ


fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ +

ˆ

Γ

WlrdΓ 1 ≤ l ≤M


Ka+ f = 0

Volvemos a analizar la primera de las integrales de la matriz K, que esexactamente la misma que se acaba de analizar, luego se llega de nuevo a:

I1 =γ1

2

ˆ

y

[N2l (xf , y)−N2

l (x0, y)]dy

Ahora las funciones de prueba no tienen por qué ser nulas en los bordes,pero si analizamos en qué caso va a anularse esta integral, vemos que:

N2l (xf , y)−N2

l (x0, y) = 0→ I1 = 0

N2l (xf , y) = N2

l (x0, y)

Nl(xf , y) = ±Nl(x0, y)

al ser el dominio simétrico, x0 = −xf , por lo que:

Nl(xf , y) = ±Nl(−xf , y)

Es decir, siempre que las funciones de prueba sean pares o impares (lamayoría de las funciones típicas en los métodos numéricos) esta integral seránula y aportará a la matriz K únicamente ceros en la diagonal.

Con esto concluimos la inviabilidad del uso de Galerkin en un recinto simé-trico. Aunque en esta segunda forma de abordar el problema hay una segundacontribución a K, se ha comprobado que esta no llegaba a ser suficiente parallegar a un sistema bien condicionado y además se pierde completamentetoda la información que contiene el operador L(), esto es, la ecuacióndiferencial a resolver (salvo la parte que no depende de V ): cualquier otra ecua-ción que cumpliese la misma estructura, es decir, que al aplicar Galerkin llevasea una integral doble de una función por su gradiente, daría el mismo resultado.

Por ello y teniendo en cuenta el hecho de que, al tener la solución simetríarespecto del origen, sólo es necesario calcularla en un cuadrante, el cálculo sellevará a cabo en recintos asimétricos en un único cuadrante. A partir de ahora,el dominio de integración será el primer cuadrante, donde 0 ≤ x ≤ xf e 0 ≤ y ≤yf y las condiciones de contorno se impondrán sobre las de la frontera 1’ y 3’definidas en la Figura 5.1.


Figura 5.1: Recinto de integración: primer cuadrante.

Al ser muy difícil encontrar una función que cumple las condiciones de losbordes se ha pasado directamente a una aproximación del tipo:

V =

M∑m=1

Nmam

ψ = 0

por lo que:

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ +

ˆ

Γ


fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ +

ˆ

Γ

WlrdΓ 1 ≤ l ≤M

para Galerkin y Dirac.

5.1.1.2. Segundo Orden

Vamos a introducir en la ecuación un término corrector de segundo orden yver cómo afecta a las expresiones de K y f. Si añadimos un término de segundoorden, la ecuación resultante es:

γ1∂V

∂x+ γ2

∂V

∂y+ ε(

∂2V

∂x2+∂2V

∂y) = −mglsen(x)

con ε 1, variando respecto de la ecuación original únicamente en el ope-rador diferencial L , que pasaría a ser:


L′() = γ1∂()

∂x+ γ2

∂()

∂y+ ε(

∂2()

∂x2+∂2()

∂y)

y, al ser lineal, puede expresarse como:

L′ = L1 + L2

con L1,L2 los operadores del primer y segundo orden respectivamente. Portanto, no tenemos más que cambiar el operador L en las integrales (2.29) y(2.30) para ver la aportación del segundo orden:

Klm =

ˆ

Ω

WlL′(Nm)dΩ +

ˆ

Γ

WlM(Nm)dΓ =

ˆ

Ω

WlL1(Nm)dΩ

+

ˆ

Ω

WlL2(Nm)dΩ +

ˆ

Γ

WlM(Nm)dΓ = KOrd(1)lm +

ˆ

Ω

WlL2(Nm)dΩ

fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ +

ˆ

Γ

WlrdΓ

El vector f no cambia con respecto al problema de primer orden. Para K,hay que añadir un término al resultado obtenido del primer orden. En concreto:

KOrd(2)lm

ˆ

Ω

WlL2(Nm)dΩ

Vamos a desarrollar esta integral:

ˆ

Ω

WlL2(Nm)dΩ =

ˆ

x

ˆ

y

WlL2(Nm)dxdy =

ˆ

x

ˆ

y

Wlε(∂2Nm∂x2

+∂2Nm∂y

)dxdy

Vemos cómo las funciones de prueba deben ser ahora, además de integrables,derivables de clase C2. Para relajar un poco las condiciones sobre estas funcionesse va a hacer uso de la formulación débil del problema usando el Teorema deGreen introducido al final de la subsección 3.2.3.1. Entonces tendríamos:

ˆ

x

ˆ

y

Wlε∂2Nm∂x2

dxdy = −ˆ

x

ˆ

y

ε∂Wl

∂x

∂Nm∂x

dxdy +

ˆ

Γ

Wl∂Nm∂x

nxdΓ

ˆ

x

ˆ

y

Wlε∂2Nm∂y2

dxdy = −ˆ

x

ˆ

y

ε∂Wl

∂y

∂Nm∂y

dxdy +

ˆ

Γ

Wl∂Nm∂y

nydΓ


Sumando:

−ˆ

x

ˆ

y

ε∂Wl

∂x

∂Nm∂x

dxdy+

ˆ

Γ

Wl∂Nm∂x

nxdΓ−ˆ

x

ˆ

y

ε∂Wl

∂y

∂Nm∂y

dxdy+

ˆ

Γ

Wl∂Nm∂y

nydΓ =

KOrd(2)lm = −

ˆ

x

ˆ

y

ε(∂Wl

∂x

∂Nm∂x

+∂Wl

∂y

∂Nm∂y

)dxdy +

ˆ

Γ

Wl∂Nm∂n

dΓ (5.6)

La adición de este término de segundo orden permitiría forzar 4 condicionesde borde en lugar de 2.

5.1.1.3. Traslación del problema

Lo último a tener en cuenta antes de empezar a proponer la solución es que esconveniente, por el tipo de aproximación llevada a cabo, realizar una traslacióndel problema. En efecto, analizando la solución se ve que en el origen el valorde esta es:

V (0, 0) =mgl

γ1cos(0) +

kp2

(0− γ2

γ10)2 =

mgl

γ1= α = −10

La aproximación será de la forma u = a1N1 + ... + aMNM . Si las Nm sondistintos tipos de polinomios en x-y o funciones trigonométricas, estas se anula-rán en el origen dando, por lo tanto, una aproximación de valor 0 en el origen,cuando debería ser de -10, aunque la forma de la solución a la que se llegasefuese la correcta. Es decir, la solución será (pudiera ser) correcta pero desplaza-da en el eje Z un valor de 10. Para corregir esto, antes de empezar los cálculos,se añadirá a la solución y a las condiciones de contorno una constante de valor10, que no hace más que trasladar la solución en el eje Z (se puede añadir unaconstante a la solución de una ecuación diferencial y esta seguirá siendo soluciónde la ecuación original).

Con todo esto dicho, pasemos a buscar soluciones.

5.1.2. Solución con GalerkinNuestro recinto de integración será el comprendido por 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ π.

Vamos a probar distintos tipos de funciones de aproximación, analizando losresultados y sacando las conclusiones pertinentes. Para cada tipo de función sehallará el error absoluto y relativo (en tanto por ciento), siendo estos la diferenciaentre la solución exacta de la ecuación, que es (4.3) , y la aproximación, definidoscomo:

Errorabsoluto = |Sol. exacta− Sol. aproximada|

Errorrelativo = 100 ∗ |(Sol. exacta− Sol. aproximada)|Sol. exacta

El código que resuelve esta parte se encuentra en 8.1.1 dentro del Anexo.


5.1.2.1. Aproximación mediante polinomios

El primer tipo de función de aproximación empleada será:

Nm = xm + ym

empezando con m=1,2,3. En la Figura 5.2 se ve que la solución generadano tiene nada que ver con la solución real. Las figuras 5.3 y 5.4 recogen ladistribución de ese error.

00.5

11.5

22.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

x

Solucion Aproximada

y

Figura 5.2: Solución aproximada MRP. Suma de potencias de polinomios.


00.5

11.5

22.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

x

Error Relativo

y

Figura 5.3: Error relativo MRP. Suma de potencias de polinomios.

00.5

11.5

22.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

50

100

150

x

Error Absoluto

y

Figura 5.4: Error absoluto MRP. Suma de potencias de polinomios.

No tiene mucho sentido el seguir aumentado M (número de funciones deaproximación) visto que la solución particular a la que se llega no tiene nadaque ver con la que buscamos.


5.1.2.2. Aproximación sinusoidal

El segundo tipo de función propuesta es de tipo sinusoidal:

Nm = cos(πxm)cos(πym)

Las Figuras 5.5, 5.6 y 5.7 muestran la forma de la solución y los erroresrelativo y absoluto respectivamente.

Figura 5.5: Solución aproximada MRP. Funciones sinusoidales.


Figura 5.6: Error Relativo MRP. Funciones sinusoidales.

Figura 5.7: Error absoluto MRP. Funciones sinusoidales.

De nuevo, vemos que no es la solución que buscamos.


5.1.2.3. Condiciones de contorno originales

A la vista de estos resultados, cabe preguntarse qué puede está fallando. Seprocede a revisar las condiciones de contorno originales del problema para bus-car alguna pista. Las expresiones (4.1) muestran la dependencia de la solucióncon la segunda derivada. Esas condiciones vienen de imponer que el determi-nante del Hessiano sea positivo. Sabiendo que la solución es nula en el origen yteniendo en cuenta las condiciones sobre las derivadas se proponen las siguientesfunciones de forma:

N1 = x2

N2 = x4

N3 = y2

N4 = xy

Estas funciones cumplen las condiciones anteriormente citadas (valor nulo enel origen y condiciones de contorno originales). Entonces, usando las condicionesde contorno aproximadas y estas funciones de aproximación los resultados a losque se llega son los que aparecen en las Figuras 5.8, 5.9 y 5.10

0

0.51

1.52

2.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

50

100

150

x

Solucion Aproximada

y

Figura 5.8: Solución aproximada MRP. Cumpliendo también condiciones de con-torno originales. M=4.


00.5

1

1.52

2.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

x

Error Relativo

y

Figura 5.9: Error Relativo MRP. Cumpliendo también condiciones de contornooriginales. M=4.

00.5

1

1.52

2.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

x

Error Absoluto

y

Figura 5.10: Error absoluto MRP. Cumpliendo también condiciones de contornooriginales. M=4.

Estas soluciones sí son las que buscamos. Ahora, el error relativo no pasadel 7% y el absoluto no es mayor que 2.5. Vamos a añadir términos a nuestras


funciones de forma para ver si se consigue una aproximación más precisa. Lasfunciones que añadamos tiene que cumplir, por supuesto, las mismas restriccio-nes.

M=5

Añadiendo un término más, N5 = x6, la solución mejora, como se ve en lasFiguras 5.11, 5.12 y 5.13.

0

0.51

1.52

2.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

50

100

150

x

Solucion Aproximada

y

Figura 5.11: Solución aproximada MRP. Cumpliendo también condiciones decontorno originales. M=5.

00.5

1

1.52

2.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

x

Error Relativo

y



00.5

11.5

22.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

x

Error Absoluto

y


El error relativo ahora es inferior al 1% y el en términos absolutos la apro-ximación no difiere de la solución exacta en más de 0.14.

M=6

Añadiendo una sexta función N6 = x8:

00.5

11.5

22.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

50

100

150

x

Solucion Aproximada

y

Figura 5.14: Solución aproximada MRP. Cumpliendo también condiciones decontorno originales. M=6.


00.5

11.5

22.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

x

Error Relativo

y


00.5

11.5

22.5

33.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

x 10-3

x

Error Absoluto

y


A la vista de las imágenes vemos que la aproximación es muy buena. Au-mentando el número de términos, el error disminuye: el método converge a una(la) solución del problema. No es necesario añadir el término de segundo orden


vista la calidad de los resultados.

5.1.3. Comentarios finales sobre el método de GalerkinLa comparación se ha llevado a cabo en:

1

5Mxfin=

1

5Mπ

puntos, es decir, a mayor grado de la función de interpolación, más puntospara comparar y mayor precisión.

Fijándonos detenidamente, vemos que la forma de las funciones coincide conel desarrollo de Taylor de la solución:

V (x, y) = αcos(x) + β(y − γx)2 ' α(1− x2

2+x4

4!− x6

6!+ ...) + β(y − γx)2

En efecto, si probásemos:

N1 = x2

N2 = 1− cos(x)

N3 = y2

N4 = xy

teniendo en cuenta en N2 el 1 delante del coseno para que la función seanula en el origen, se llega a la solución exacta.

La conclusión es clara: para que se pueda aproximar correctamente es nece-sario, además trasladar la solución, que las funciones de forma:

1. Tengan un valor nulo en el origen.

2. Su segunda derivada tenga un valor constante en el origen (condiciones decontorno exactas).

A fin de evitar los inconvenientes que presenta el método de Galerkin para lamatriz K en la integral de dominio, proponemos en el próximo apartado unaaproximación que sigue utilizando el método de Galerkin para la integral en elcontorno mientras que para el dominio se utiliza el método de Dirac.


5.2. DiracComo ya se comentó en la sección 2, se propone una aproximación del tipo:

V =

M∑m=1

Nmam

por lo que:

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ +

ˆ

Γ


fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ +

ˆ

Γ

WlrdΓ 1 ≤ l ≤M

Ka+ f = 0

5.2.1. Dirac en el dominio y Galerkin en el contornoSe tomará las funciones de peso para el dominio de Dirac y para el contorno

de Galerkin. Esto puede hacerse al ser independientes los pesos usados en eldominio y en el contorno, como se explicó en 2.1.3.2 . Entonces, los pesos serán:

Wl = δ(x− xl)δ(y − yl)

Wl = Nm

No tendremos aquí el problema de la paridad de las Nm por la estructurade la integral. Por las propiedades de la delta de Dirac expuestas en (2.10):

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ +

ˆ

Γ

WlM(Nm)dΓ = L(Nm) |x=xl,y=yl +

ˆ

Γ

NlNmdΓ

fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ +

ˆ

Γ

WlrdΓ = p |x=xl,y=yl +

ˆ

Γ

NlrdΓ

Cabe plantearse la siguiente pregunta: ¿dónde colocar las deltas de Dirac ycuántas son necesarias para una buena aproximación? La respuesta en profun-didad a esta pregunta queda más allá de lo que se pretende estudiar en estetrabajo. Se optará por hallar la solución del problema proponiendo sucesivasaproximaciones con un número creciente de términos y con distintas colocacio-nes de las deltas por el dominio y comentar los resultados.

Las funciones de aproximación serán las que cumplan las condiciones ex-puestas en la subsección anterior. Se mostrará el resultado de usar otro tipo defunciones para verificar nuevamente la validez de la conclusión a la que se llegó.


Al conocer ya la forma de la solución, por no aportar nada nuevo y a efectosde reducir espacio, aquí solo presentaremos las gráficas de la distribución delerror, que aportará la información necesaria sobre la convergencia de la apro-ximación a la solución. Al final de la sección se resumirán los resultados másrelevantes en una tabla.

Para Dirac, el código empleado se encuentra en el Anexo en 8.1.2.

M=4Comenzamos con M = 4, es decir:

N1 = x2

N2 = x4

N3 = y2

N4 = xy

y mostramos la distribución de deltas y su correspondiente error absoluto yrelativo.

Para el caso 1, tenemos una distribución de deltas como la de la Figura 5.17.

Figura 5.17: Distribución deltas. Caso 1.

Para el caso 2, la distribución es como la de la Figura 5.18

Figura 5.18: Distribución deltas. Caso 2.


Como se puede apreciar, el primer caso distribuye una delta por cada cua-drante (si se dividiese el dominio de integración en 4 cuadrantes imaginarios),mientras que la segunda coloca las deltas de forma equiespaciada sobre la rectay = x. Esta segunda distribución es más sencilla de implementar en función deM; en cambio, en el caso 1 hay que ir añadiendo cada término a mano en funcióndel número de deltas que se deseen colocar.

Caso 1

Para el caso 1, las distribuciones de error se recogen en las Figuras 5.19 y5.20.

Figura 5.19: Error absoluto Dirac. M=4. Caso 1.


Figura 5.20: Error relativo Dirac. M=4. Caso 1.

Caso 2

Para el caso 2, las Figuras 5.19 y 5.20 muestran el error cometido.




Se aprecia la influencia de la distribución de las deltas en el dominio en laprecisión de la solución. Las que están distribuidas tal como en el caso 1 (más omenos uniformemente por el dominio) generan una aproximación con una mayorprecisión, aunque, con 4 términos, la precisión es menor que la del método deGalerkin.

M=5Añadimos un nuevo término, N5 = x6, para ver si mejora la solución. Hay

que añadir una nueva delta al dominio, luego, siguiendo el tipo de distribucióndel caso M = 4:

Para el caso 1, tenemos una distribución de deltas como la de la Figura 5.23.

Figura 5.23: Distribución deltas M=5. Caso 1.

Para el caso 2, la distribución es como la de la Figura 5.24


Figura 5.24: Distribución deltas M=5. Caso 2.

Volvemos a separar los resultados para cada caso.

Caso 1

Para el caso 1, las distribuciones de error se recogen en las Figuras 5.25 y5.26.




Caso 2

Para el caso 2, las Figuras 5.25 y 5.26 muestran el error cometido.




Como se dijo al principio de la sección, para verificar las condiciones impues-tas sobre las funciones de prueba, se intenta una aproximación con:

Nm = xm + ym

que, como se vio anteriormente, no satisfacen dichas condiciones y con Ga-lerkin no aportaban una buena solución. Las Figuras 5.29 y 5.30 muestran elerror al que lleva una aproximación como esta.

Figura 5.29: Error absoluto: Dirac con suma polinomios.


Figura 5.30: Error relativo: Dirac con suma polinomios.

5.2.2. Comentarios finales sobre el método de DiracDesde un principio se pudo ver que este método no es eficiente a la hora de la

programación. Cada vez que se añaden términos han de colocarse en el dominioa mano en función de los puntos en los que se piensa (se sabe) que puedenfavorecer una aproximación de mejor calidad, y la situación de estas deltas esclave para llegar a un resultado preciso. Además, dada M , es decir, la cantidadde funciones de interpolación (misma cantidad que deltas), la colocación de lasdeltas influye muchísimo en el resultado final. Por estos motivos el método esdifícil de automatizar para un cálculo computacional y no es de gran interéspráctico.

5.3. Resumen de resultados y conclusionesEn este último apartado resumimos los resultados más importantes a los que

hemos llegado y las conclusiones que de ellos se derivan.Las siguientes condiciones son fundamentales para poder llegar a resultados

correctos:

1. Necesidad de una traslación de la solución para hacer coincidir el origende coordenadas con el vértice del paraboloide solución.

2. Necesidad de que las funciones de aproximación cumplan las condicionesde contorno originales.

Además, hay que recordar la inviabilidad de usar el método de Galerkin en undominio simétrico.

A partir de ahora, comparamos la precisión de cada aproximación. En laTabla 5.1 se recogen los máximos de los errores absolutos y relativos según eltipo de aproximación empleada, para M=5.


Dominio/Contorno eabs erel ( %)

Galerkin/Galerkin 0.1316 0.7321Dirac/Galerkin (caso 1) 0.05201 0.3127Dirac/Galerkin (caso 2) 0.1176 0.1663

Cuadro 5.1: Máximos del error para el MRP. M=5.

De aquí se ve que sea cual sea el método se llega a una buena precisión(errormenor al 1% en términos relativos, que se pueden reducir aún más incremen-tando M); no es necesario añadir un término corrector de segundo orden.

El método de Dirac tiene una precisión algo mayor, estando esta ligadaa la forma en que se distribuyan estas deltas en el dominio: el caso 2 (repartouniforme por el dominio) muestra un mejor resultado, para un mismo valor de M,en términos relativos. El hecho de poder colocar los pesos donde se desee permitecolocar más allí donde el error sea mayor y con ello mejorar la aproximación;en cambio, el método de Galerkin no tiene noción alguna de lo que pasa en eldominio en el que está integrando (concentración local del error que se aprecia,con Galerkin, en el entorno del origen). Con Dirac, mediante prueba y error sepodría ir mejorando la solución; no obstante, no es algo demasiado eficiente nisistemático.

Capítulo 6

Método de los elementosfinitos

En esta sección se muestra la aplicación del método de los elementos fini-tos al problema del péndulo invertido. Se analiza, como en el caso del MRP,únicamente un cuadrante (el primero, concretamente). El código utilizado seencuentra en el Anexo en 8.2.1. Allí se explica las diferencias que hay en elcódigo según se quiera usar el planteamiento de primer o segundo orden.

6.1. Primer Orden

6.1.1. Planteamiento del residuo y malladoEl problema se plantea de forma ligeramente distinta al MRP: se considera la

integración del residuo en el dominio y posteriormente se aplican las condicionesde contorno. A partir de (2.30) y (2.29) y anulando las partes correspondien-tes al residuo en el borde (este se tendrá en cuenta más adelante al aplicarlas condiciones de contorno) la matriz K y el vector f adoptan las siguientesexpresiones:

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ

fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ

Ka+ f = 0

El dominio de estudio es, como en la solución de residuos ponderados, uncuadrado en el que x e y varían entre 0 y π, el cual va a ser dividido en elementoscuadriláteros con 4 nodos por elemento, siendo Nx y Ny el número de nodos

74


que hay en el eje x−y respectivamente. En la Figura 6.1 se muestra un ejemplode mallado realizado para Nx = Ny = 3 (en todos los casos, Nx será igual aNy), así como la numeración de nodos y elementos que se emplearán en nuestraformulación del problema.

Figura 6.1: Mallado para MEF.

6.1.2. Matrices elementales. Elementos isoparamétricosUna vez planteado el residuo y hecho el mallado, debemos hallar las matrices

elementales para luego ensamblarlas. La matriz elemental de un elemento e decoordenadas nodales (x1, y1),(x2, y1),(x1, y2) y (x2, y2) tiene la siguiente forma:

Kelm =

y2ˆ

y1

x2ˆ

x1

Hl(x, y)(γ1∂Hm(x, y)

∂x+ γ2

∂Hm(x, y)

∂y)dxdy (6.1)

fel =

y2ˆ

y1

x2ˆ

x1

Hl(x, y)mglsen(x)dxdy (6.2)

Para facilitar la resolución de estas ecuaciones vamos a hacer un cambio devariable que nos llevará a un sistema de coordenadas paralelo al original perocon el origen en el centro del elemento e. Este cambio es:

x′ = x− b

y′ = y − c


siendo:b = (x2 − x1)/2

c = (y2 − y1)/2,

esto es, la base y la altura del elemento rectangular e (como vamos a tomarNx = Ny y , el elemento será un cuadrado, por lo que b = c). Entonces, lasfunciones de forma son (3.10), (3.11), (3.12) y (3.13). Si unimos esto con (6.1)y (6.2) se llega a:

Kelm =

cˆ

−c

bˆ

−b

Hl(x′, y′)(γ1

∂Hm(x′, y′)

∂x′+ γ2

∂Hm(x′, y′)

∂y′)dx′dy′

fel =

cˆ

−c

bˆ

−b

Hl(x′, y′)mglsen(x′)dx′dy′

con lo que, al ser todos los elementos estos del mismo tipo (b = c en todos loselementos) y tener todos las mismas funciones de forma, estas integrales valen lomismo para cada uno de ellos, por lo que solo se necesita calcular una y despuésensamblarla en los grados de libertad que correspondan.

Por ejemplificar la teoría que se explicó en el capítulo 3 se va a optar por unaformulación con elementos isoparamétricos y a la aproximación de esta integralmediante cuadratura gaussiana. Para el cambio a isoparamétrico, comenzamospor calcular el jacobiano. De la ecuación (3.21), tenemos que calcular las siguien-tes derivadas parciales, teniendo en cuenta que x e y vienen dadas por (3.14),(3.15) y que las funciones de forma ahora son (3.17), (3.18), (3.19) y (3.20):

∂x

∂ξ= 0,25(−x1(1− η) + x2(1− η) + x3(1 + η)− x4(1 + η))

∂y

∂ξ= 0,25(−y1(1− η) + y2(1− η) + y3(1 + η)− y4(1 + η))

∂x

∂η= 0,25(−x1(1− ξ)− x2(1 + ξ) + x3(1 + ξ) + x4(1− ξ))

∂y

∂η= 0,25(−y1(1− ξ)− y2(1 + ξ) + y3(1 + ξ) + y4(1− ξ))

Teniendo en cuenta que:x1 = x4

x2 = x3

y1 = y4


y2 = y3

b =x2 − x1

2

c =y2 − y1

2

El valor de las derivadas es:

∂x

∂ξ= b

∂y

∂ξ= 0

∂x

∂η= 0

∂y

∂η= c

Por lo tanto, el valor del jacobiano es:

J =

[b 00 c

]cuyo determinante es:

|J | = bc

Se pueden obtener entonces las derivadas parciales de las funciones de apro-ximación respecto de x−y a partir de (3.22). Solo queda, tras haber ensambladolas matrices elementales, aplicar las condiciones de contorno.

6.1.3. Condiciones de contornoEn esta sección vamos a comentar el algoritmo empleado para aplicar las

condiciones de contorno, extraído de [4, página 55] . Conocido el valor de lafunción v en el nodo iCB , el algoritmo cambia el valor de f y K según:

f′

i = fi − v ∗K(i, iCB)

Kii = 1

fiCB= v

Además, el resto de elementos de K en la fila y columna i son nulos. Loselementos Kij que no pertenezcan a la fila o columna iCB quedan inalterados.


Vamos a ilustrar el algoritmo empleado para aplicar las condiciones de con-torno en un caso unidimensional, por sencillez, aunque la idea es la misma parael caso bidimensional que nos ocupa. El sistema al que se llega tras ensamblarlas matrices y vectores elementales es del tipo:

k111 k1

12 0 · · · 0 0 0k1

21 k122 + k2

11 k212 · · · 0 0 0

0 k221 k2

22 + k311 · · · 0 0 0

0 0 k321 · · · 0 0 0

......

.... . .

......

...0 0 0 · · · kN−2

22 + kN−111 kN−1

12 0

0 0 0 · · · kN−121 kN11 + kN−1

22 kN12

0 0 0 · · · 0 kN21 kN22

∗

u1

u2

u3

u4

...uN−2

uN−1

uN

=

f11

f12 + f2

1

f22 + f3

1

f32 + f4

1...

fN−3N−3 + fN−2

N−2

fN−21 + fN−1

1

fN−12

=

F1

F2

F3

F4

...FN−2

FN−1

FN

En los nodos extremos las condiciones de borde son conocidas, es decir,

u1 = v1 y uN = vN , así que la forma final del sistema a resolver tras aplicar elalgoritmo es:

1 0 0 · · · 0 0 00 k1

22 + k211 k2

12 · · · 0 0 00 k2

21 k222 + k3

11 · · · 0 0 00 0 k3

21 · · · 0 0 0...

......

. . ....

......

0 0 0 · · · kN−222 + kN−1

11 kN−112 0

0 0 0 · · · kN−121 kN11 + kN−1

22 00 0 0 · · · 0 0 1

∗

u1

u2

u3

u4

...uN−2

uN−1

uN

=

v1

F2 − v1k121

F3

F4

...FN−2

FN−1v − kN12

vN


6.1.4. ResultadosEn la Tabla 6.1 se muestran los errores máximos (relativos y absolutos) a

los que se llega para este problema en función de Nx. En este caso, los puntosde comparación de la solución exacta y la aproximación son los propios nodos.

Nx eabs erel Nx eabs erel

10 7.9188e+12 5.5459e+12 40 1.9343e+11 1.2861e+1220 9.3616e+11 1.0950e+12 50 1.2011e+10 8.2349e+1030 4.0958e+10 1.8999e+11 60 5.3012e+10 6.9837e+12

Nx eabs erel

70 1.0102e+09 7.6096e+1080 1.0935e+09 4.7790e+1190 2.3571e+08 6.8935e+10

Cuadro 6.1: Errores máximos para el MEF. Primer orden.

Los resultados no son buenos (el método no converge), por lo que se procedea añadir el término de segundo orden.

6.2. Segundo OrdenEn la sección anterior se analizó el efecto del término de segundo orden en las

expresiones, llegando a que era necesario añadir a la matriz de primer orden eltérmino (5.6), quedándose inalterado el vector f. Vemos que aparece la siguienteintegral de borde:

ˆ

Γ

Wl∂Nm∂n

dΓ

Los bordes van a considerarse como elementos unidimensionales de 2 nodos:así, las funciones de aproximación serán del tipo:

N1(s) = 1− s

L

N2(s) =s

L

siendo s la variable que recorre el borde y L la longitud del borde. Si miramosmás detenidamente esta integral de borde, apoyándonos en la Figura 6.2 vemosque esta integral se anula siempre.


Figura 6.2: Normal en los bordes (MEF).

Supongamos que esa integral se realiza en el borde 1, es decir, s = y , y elvalor de la normal es n = −ux , teniendo ux la dirección del eje x o lo que es lomismo, la integral:

ˆ

Γ1

Wl∂Nm∂n

dΓ = −ˆ

y

Wl∂Nm(y)

∂xdy = 0

En cualquier borde habrá de derivarse con respecto a la otra variable, de lacual N no es función, luego la integral es nula. Por tanto:

Klm =

ˆ

Ω

WlL(Nm)dΩ−ˆ

x

ˆ

y

ε(∂Wl

∂x

∂Nm∂x

+∂Wl

∂y

∂Nm∂y

)dxdy

fl =

ˆ

Ω

WlpdΩ

Ka+ f = 0

6.2.1. ResultadosLa Tabla 6.2 resume, de forma similar a como se hizo para el caso de primer

orden, los errores en función de Nx para un valor de ε = 0,001:


N eabs erel N eabs erel

10 9.5333e+10 1.0603e+11 40 9.6413e+10 8.2626e+1120 3.7880e+10 8.2615e+10 50 1.0464e+10 3.1374e+1130 1.4193e+10 1.9697e+11 60 2.4895e+09 1.9146e+12

N eabs erel

70 9.7680e+09 9.2827e+1180 5.1194e+08 3.2872e+1190 1.0057e+09 3.6023e+11

Cuadro 6.2: Errores máximos para el MEF. Segundo Orden.

6.3. Problemática asociada a la resolución me-diante elementos rectangulares

Vemos que el método no nos da la solución que buscamos. Examinandolas matrices elementales k y la global del sistema K que se obtienen en losdistintos cálculos, vemos que en la diagonal de la matriz global, en los nodosque no pertenecen a los bordes, que llamaremos a partir de ahora «interiores» encontraposición a los nodos del borde que denominaremos «exteriores», el valorque aparece es 0 (sea para el caso de primer o de segundo orden: la diferenciaes únicamente en un pequeño número de nodos respecto del total), lo que sueleser un signo de mal condicionamiento.

Ya hemos visto que tras la aplicación de las condiciones de contorno obten-dremos una matriz K en la que habrá elementos de valor 1 en nodos exteriores(se tratará de bloques de matrices identidad si hay varios nodos pertenecientesal borde situados de forma consecutiva) y sumas de elementos pertenecientesa varias matrices k. Nos centramos por tanto en lo que pasa en los grados delibertad de los nodos interiores.

El valor un elemento cualquiera de la diagonal K es igual a la traza dela matriz elemental k. En efecto, cualquier nodo interior está rodeado de 4elementos. La aportación de cada elemento al nodo es el valor de uno de loselementos de la diagonal de la matriz elemental k (cada nodo aporta un valordistinto de la diagonal, luego la suma de los 4 es la suma de la diagonal de lamatriz k), que, recordamos, es la misma para todos los elementos. Entonces,vamos a calcular el valor de esta suma con el fin de intentar averiguar por quése anula.

4∑i=1

kii =

4∑i=1

bˆ

−b

cˆ

−c

Hi(x, y)(γ1∂Hi(x, y)

∂x+ γ2

∂Hi(x, y)

∂y)dxdy

Separamos la integral en dos:


γ1

4∑i=1

bˆ

−b

cˆ

−c

Hi(x, y)∂Hi(x, y)

∂xdxdy + γ2

4∑i=1

bˆ

−b

cˆ

−c

Hi(x, y)∂Hi(x, y)

∂y)dxdy

Analizamos en primer lugar el primer sumatorio. Como ya se hiciera al desa-rrollar la ecuación en el MRP, vamos a usar la regla de la cadena. En efecto:

Hi(x, y)∂Hi(x, y)

∂x=

1

2

∂

∂x(H2

i (x, y))

por lo que:

γ1

4∑i=1

bˆ

−b

cˆ

−c

Hi(x, y)∂Hi(x, y)

∂xdxdy =

γ1

2

4∑i=1

bˆ

−b

cˆ

−c

∂

∂x(H2

i (x, y))dxdy

γ1

2

cˆ

−c

4∑i=1

(H2i (b, y)−H2

i (−b, y))dy

Donde hemos introducido el sumatorio dentro de la integral por la linealidadde la integral (la integral de la suma es igual a la suma de las integrales).Evaluamos las funciones de forma en los puntos (b, y), (−b, y) y elevamos alcuadrado para luego sustituir en la expresión que acabamos de hallar:

H21 (b, y) = 0

H22 (b, y) = (

c− y2c

)2

H23 (b, y) = (

c+ y

2c)2

H24 (b, y) = 0

H21 (−b, y) = (

c− y2c

)2

H22 (−b, y) = 0

H23 (−b, y) = 0

H24 (−b, y) = (

c+ y

2c)2

Calculamos:


4∑i=1

(H2i (b, y)−H2

i (−b, y)) = 0

La segunda integral se analiza de forma análoga:

Hi(x, y)∂Hi(x, y)

∂x=

1

2

∂

∂x(H2

i (x, y))

γ2

4∑i=1

bˆ

−b

cˆ

−c

Hi(x, y)∂Hi(x, y)

∂y)dxdy =

γ2

2

4∑i=1

bˆ

−b

cˆ

−c

∂

∂x(H2

i (x, y))dxdy

γ2

2

bˆ

−b

4∑i=1

(H2i (x, c)−H2

i (x,−c))dx

Para calcular el sumatorio necesitamos los siguientes valores:

H21 (x, c) = 0

H22 (x, c) = 0

H23 (x, c) = (

b+ x

2b)2

H24 (x,−c) = (

b− x2b

)2

H21 (x,−c) = (

b− x2b

)2

H22 (x,−c) = (

b+ x

2b)2

H23 (x,−c) = 0

H24 (x,−c) = 0

Entonces:

4∑i=1

(H2i (x, c)−H2

i (x,−c)) = 0

Se demuestra así que la suma de los elementos de la diagonal de la matrizelemental es nula y por tanto, la matriz global tendrá en su diagonal un 1 si


el nodo es exterior y un 0 si se trata de un nodo interior, lo que hace que elcondicionamiento de la matriz sea malo.

Otra forma más corta de demostrarlo es notar que la función:

f(x, y) =

4∑i=1

Hi(x, y)(γ1∂Hi(x, y)

∂x+ γ2

∂Hi(x, y)

∂y)

es impar (puede hacerse fácilmente con alguna herramienta de cálculo sim-bólico) y se está integrando en un recinto simétrico, luego el valor de la integrales 0.

6.4. ConclusionesEn esta sección hemos visto que la aplicación del MEF a la ecuación diferen-

cial que estamos tratando, usando elementos rectangulares, no da los resultadosesperados. Hemos demostrado que con las funciones de aproximación típicasen formulaciones de elementos finitos usando elementos rectangulares, dada laecuación diferencial que pretendemos aproximar y la geometría del dominio queestamos tratando, llegamos a un sistema mal condicionado, luego ha de descar-tarse este tipo de elementos a la hora de resolver el problema.

Podemos relacionar estos resultados con los resultados obtenidos aplicandoel MRP. La semejanza entre ambos problemas es notoria: en el caso de que seseleccionase un único elemento, las integrales a las que se llega son las mismasen ambos métodos (MRP con Galerkin como pesos), luego, si ya vimos que erannecesarias unas ciertas condiciones sobre las funciones de forma para que seobtuviese la solución correcta, es de esperar que las funciones de aproximaciónen elementos finitos tengan que cumplir condiciones semejantes.

Capítulo 7

Trabajo futuro

En esta última sección se enumeran posibles ampliaciones de este proyec-to.Por el lado de los residuos ponderados:

1. Estudio más exhaustivo de la influencia de la distribución de las deltas deDirac en el dominio.

2. Estudio de caso en el que se use únicamente deltas de Dirac como pesos(para dominio y contorno).

3. En cuanto al código, abandonar la herramienta simbólica y usar cuadratu-ras (por ejemplo, dlbquad, cuadratura para integrales dobles) reduciendoasí el tiempo de cálculo sin sacrificar en exceso la precisión.

Para elementos finitos:Como se indicó al final de la sección anterior, cabe esperar que las funciones

de aproximación deban satisfacer ciertas condiciones. Siguiendo con las ideasdel MRP, podría implementarse el MEF usando las funciones de aproximaciónque eran allí apropiadas.

En la sección 3.2.1.2 se describe el procedimiento para, usando este tipo deaproximación, es decir,

u = a1·1 + a2x2 + a3y

2 + a4xy

obtener las funciones de pequeño soporte correspondientes para llegar a unensamblado sencillo. En este punto, hay que tener en cuenta una de las con-diciones que deben cumplir el polinomio de interpolación: completitud. Elpolinomio debe ser completo hasta el grado máximo de este, luego, se podríausar un elemento cuadrilátero de 8 nodos y obtener las funciones de pequeñosoporte a partir de

u = a1·1 + a2x+ a3y + a4xy + a5x2 + a6y

2 + a7xy2 + a8x

2y

85

CAPÍTULO 7. TRABAJO FUTURO 86

Es sencillo encontrar en la bibliografía las expresiones de las Hm para ele-mentos isoparamétricos lagrangianos de 9 nodos o elementos de 8 nodos, llama-dos serendípitos (en el capítulo 3 ya se explicó cómo obtener las funciones depequeño soporte Hm a partir de su definición).

Capítulo 8

Anexo

Presentamos los códigos, comentados, que se han escrito para este trabajo.

8.1. Código para residuos ponderados

8.1.1. GalerkinDefinición del dominio y datos del problema (parámetros de control), asícomo definición de x e y como variables simbólicas:

1 c l e a r a l l2 c l c3 c l o s e a l l4

5 syms x y r e a l6 x0=0;7 x f i n=pi ;8 y0=0;9 y f i n=x f i n ;

10

11 gamma1=−1;12 gamma2=4;13 gamma=gamma2/gamma1 ;14 beta =0.5 ;15 mgl=10;16 a l f a=mgl/gamma1 ;

Condiciones de contorno (y su traslación), y de ψ,L(ψ) y p:

87

CAPÍTULO 8. ANEXO 88

1 ccont=[ a l f a ∗ cos ( x0 )+beta ∗(y−gamma∗x0 ) ^2 , a l f a ∗ cos ( x f i n )+beta ∗(y−gamma∗ x f i n ) ^2 , a l f a ∗ cos ( x )+beta ∗( y0−gamma∗x ) ^2 ,a l f a ∗ cos ( x )+beta ∗( y f in−gamma∗x ) ^2 ] ’ ;

2

3 %% Tras l ac i ón4

5 ccont=ccont+10;6

7 Psi=0;8 Lpsi=0;9 p=mgl∗ s i n (x ) ;

Definición de las funciones de aproximación. Esta parte varía según lasfunciones de aproximación elegidas:

1 %% Aproximación s i n u s o i d a l2

3 f o r m=1:M4 N(m)=cos ( p i ∗x∗m) ∗ cos ( p i ∗y∗m) ;5 end6

7 %% Aproximación por suma de po l inomios8

9 f o r m=1:M10 N(m)=x^m+y^m;11 end12

13 %% Aproximación ten iendo en cuenta l a s cond i c i one s decontorno o r i g i n a l e s ( e l e g i r M)

14

15 N(1)=x^2;16 N(2)=x^4;17 N(3)=y^2;18 N(4)=x∗y ;19 N(5)=x^6;20 N(6)=x^8;21 M=length (N) ;

Definición de pesos W y del operador L(Nm):

1 W=N; %%Método de Galerk in2

3 LN=gamma1∗ d i f f (N, x )+gamma2∗ d i f f (N, y ) ;


Integrales (dominio):

1 f o r l =1:M2 f o r m=1:M3 i n t eg radork=W( l ) ∗LN(m) ;4 i n tx=in t ( integradork , x , x0 , x f i n ) ;5 Kdom( l ,m)=in t ( intx , y , y0 , y f i n ) ;6 end7 i n t e g r ado r f=W( l ) ∗( Lpsi+p) ;8 i n tx=in t ( i n t eg rado r f , x , x0 , x f i n ) ;9 fdom( l )=−i n t ( intx , y , y0 , y f i n ) ;

10 end

Para la frontera:

1 x f ront=[x0 , x f in , x , x ] ;2 y f ront=[y , y , y0 , y f i n ] ;3 r=−ccont ;4 f o r l =1:M5 f o r m=1:M6 s=1;7 syms x y r e a l8 x=xf ront ( s ) ;9 integrandoK=subs (W( l ) ∗N(m) ) ;

10 Kf1 ( l ,m)=in t ( integrandoK , y , y0 , y f i n ) ;11 syms x y r e a l12 s=3;13 y=yf ront ( s ) ;14 integrandoK=subs (W( l ) ∗N(m) ) ;15 Kf3 ( l ,m)=in t ( integrandoK , x , x0 , x f i n ) ;16

17 end18 syms x y r e a l19 s=1;20 i n t e g r a d o r f f r o n t=W( l ) ∗( Ps i+r ( s ) ) ;21 x=xf ront ( s ) ;22 f f r o n t 1 ( l )=−i n t ( subs ( i n t e g r a d o r f f r o n t ) ,y , y0 , y f i n ) ;23

24 syms x y r e a l25 s=3;26 i n t e g r a d o r f f r o n t=W( l ) ∗( Ps i+r ( s ) ) ;27 y=yf ront ( s ) ;28 f f r o n t 3 ( l )=−i n t ( subs ( i n t e g r a d o r f f r o n t ) ,x , x0 , x f i n ) ;29 end


Suma de las matrices calculadas en las dos partes anteriores y resolucióndel sistema algebraico:

1 Kf=Kf1+Kf3 ;2 f f r o n t =f f r o n t 1+f f r o n t 3 ;3

4 K=Kdom+Kf ;5 f=f f r o n t+fdom ;6 a=K\ f ’ ;7 syms x y r e a l

Soluciones, comparación y dibujo de resultados:

1 %% So luc i one s exacta y aproximada2

3 Exacto=a l f a ∗ cos ( x )+beta ∗(y−gamma∗x ) ^2+10;4 Sol=(Psi+N∗a ) ;5

6 %% Puntos de comparación7 xdom=x0 : ( x f in−x0 ) /(5∗ x f i n ∗M) : x f i n ;8 ydom=y0 : ( y f in−y0 ) /(5∗ y f i n ∗M) : y f i n ;9 n=length (xdom) ;

10 m=length (ydom) ;11

12

13 f o r i =1:n14 x=xdom( i ) ;15 f o r j =1:m16 y=ydom( j ) ;17 ExactoNum( i , j )=subs ( Exacto ) ;18 SolNum( i , j )=subs ( So l ) ;19 Error_absoluto ( i , j )=abs (ExactoNum( i , j )−SolNum( i , j ) ) ;20 Error_Relat ivo ( i , j )=(ExactoNum( i , j )−SolNum( i , j ) ) /(

ExactoNum( i , j )+eps ) ∗100 ;21 end22 end23

24 ErrorMax_rel =max(max( abs ( Error_Relat ivo ) ) )25 ErrorMinimo_rel =min (min ( abs ( Error_Relat ivo ) ) ) ;26

27 ErrorMax_abs =max(max( abs ( Error_absoluto ) ) )28 ErrorMinimo_abs =min (min ( abs ( Error_absoluto ) ) ) ;29

30 c l o s e a l l


31

32 f i g u r e (1 )33 s u r f (xdom , ydom , Error_absoluto )34 x l ab e l ( ’ x ’ )35 y l ab e l ( ’ y ’ )36 t i t l e ( ’ Error Absoluto ’ )37

38 f i g u r e (2 )39 s u r f (xdom , ydom , Error_Relat ivo )40 x l ab e l ( ’ x ’ )41 y l ab e l ( ’ y ’ )42 t i t l e ( ’ Error Re la t ivo ’ )43

44 f i g u r e (3 )45 s u r f (xdom , ydom , SolNum)46 x l ab e l ( ’ x ’ )47 y l ab e l ( ’ y ’ )48 t i t l e ( ’ So luc ion Aproximada ’ )49

50 f i g u r e (4 )51 s u r f (xdom , ydom , ExactoNum)52 t i t l e ( ’ So luc ion Exacta ’ )53 x l ab e l ( ’ x ’ )54 y l ab e l ( ’ y ’ )55

56 g r id on

8.1.2. DiracAquí solo se introducen las partes del código que sean distintas al de Galerkin

(colocación de las deltas e integrales en el dominio).

Colocación de las deltas en el dominio (en función de M y según sea elcaso 1 o 2).

1 %% Caso 1 ( independientemete de l va l o r de M)2 xdom=x0 : ( x f in−x0 ) /(M−1) : x f i n ;3 ydom=y0 : ( y f in−y0 ) /(M−1) : y f i n ;4 %% Caso 2 . E l e g i r ent r e M=4 o M=55 M=46 xdom=[ x f i n /3 , x f i n /3 ,2∗ x f i n /3 ,2∗ x f i n / 3 ] ;7 ydom=[ y f i n /3 ,2∗ y f i n /3 , y f i n /3 ,2∗ y f i n / 3 ] ;8 M=59 xdom=[ x f i n /3 , x f i n /3 ,2∗ x f i n /3 ,2∗ x f i n /3 , x f i n / 2 ] ;

10 ydom=[ y f i n /3 ,2∗ y f i n /3 , y f i n /3 ,2∗ y f i n /3 , y f i n / 2 ] ;


11

12 %% Representac ión de l a s d e l t a s en e l dominio13

14 xd i rac=xdom ; yd i rac=ydom ;15

16 f i g u r e (5 )17 p lo t ( xdirac , ydirac , ’ ro ’ )18 x l ab e l ( ’ x ’ ) % y l ab e l ( ’ y ’ )19 g r id on

Integrales (dominio):

1 f o r l =1:M2 f o r m=1:M3 i n t eg radork=W( l ) ∗LN(m) ;4 i n tx=in t ( integradork , x , x0 , x f i n ) ;5 Kdom( l ,m)=in t ( intx , y , y0 , y f i n ) ;6 end7 i n t e g r ado r f=W( l ) ∗( Lpsi+p) ;8 i n tx=in t ( i n t eg rado r f , x , x0 , x f i n ) ;9 fdom( l )=−i n t ( intx , y , y0 , y f i n ) ;

10 end

El resto del código es el mismo. Estos dos bloques se insertan después de ladefinición de las funciones Nm (sustituyendo al de las integrales en el dominiode Galerkin).

8.2. Código para elementos finitosSe expondrá, a fin de no ocupar espacio en exceso, el código referente al

segundo orden, haciendo los comentarios necesarios para su adaptación al primerorden.

8.2.1. Segundo ordenDefinición de los parámetros de control, del dominio y de variables ne-cesarias posteriormente (v. gr. número de nodos, grados de libertad porelemento, etc.).

1 c l e a r a l l2 c l c3 c l o s e a l l4

5 Nx=3;


6 Ny=Nx;7 ne l=(Nx−1)∗(Ny−1) ; %%Número de e lementos8 nnel=4; %% Nodos por elemento9 ngdl=1; %% Grados de l i b e r t a d por nodo

10 nnodos=Nx∗Ny; %%Número de nodos11

12 %% Valores usados para l a cuadratura de Gauss13 nglx=3;14 ngly=3;15 ngl =3;16

17 %% Grados de l i b e r t a d de l s i s tema18 g d l s i s t=nnodos∗ngdl ;19 gdlcadaelemento=nnel ∗ngdl ;20 gamma1=−1;21 gamma2=4;22 gamma=gamma2/gamma1 ;23 beta =0.5 ;24 mgl=10;25 a l f a=mgl/gamma1 ;26

27 %% Límites de l dominio28 x0=0;29 y0=0;30 x f i n=pi ;31 y f i n=x f i n ;32

33 %% Introducc ión coordenadas nodos ( g l o b a l e s )34 x=x0 : ( x f in−x0 ) /(Nx−1) : x f i n ;35 y=y0 : ( y f in−y0 ) /(Ny−1) : y f i n ;36 n=length (x ) ;37 m=length (y ) ;

Coordenadas nodales y conectividad (qué nodos corresponden a qué ele-mento). Es más sencillo entender esta parte del código si se tiene delantela distribución de nodos (Figuras 6.1 y 3.4):

1 %% Coordenadas noda les2 %% Var iab l e s para r e c o r r e r l o s nodos en3 %% hor i z on t a l (h) y v e r t i c a l ( v )4 h=1;5 v=1;6 f o r i =1:nnodos7 f o r j =1:2 ;8 i f j==1


9 c o o r d f i s i c a s ( i , j )=x (h) ;10 h=h+1;11 e l s e12 c o o r d f i s i c a s ( i , j )=y (v ) ;13

14 %% Si l l e g a a un nodo múl t ip lo de Nx ( e s t a r á en e lextremo derecho ) l l e v a h a 1 para poner l a scoordenadas de l s i g u i e n t e nodo en e l borde i z qu i e rdo (x0 )

15

16 i f h==Nx+117 h=1;18 v=v+1;19 end20

21 end22 end23 end24

25 %% Conect iv idad26

27 n i v e l =0;28 conec t i v idad=ze ro s ( nel , 4 ) ;29

30 %% Cálculo de qué nodos corresponden a cada elemento .31

32 f o r i =1: ne l33 i f i<=Nx−134 n i v e l =0; %% Esta r í a en l a f r on t e r a 3 ( l a "base ")35 e l s e36 n i v e l=f l o o r ( i /(Nx−1) ) ;37 i f rem( i , (Nx−1) )==038 end39 end40

41 f o r j =1:442 k=rem( i , (Nx−1) ) ;43 i f k==044 k=(Nx−1) ;45 end46 i f j==147 conec t i v idad ( i , j )=k+n i v e l ∗Nx;48 e l s e i f j==249 conec t i v idad ( i , j )=k+n i v e l ∗Nx+1;50 e l s e i f j==351 conec t i v idad ( i , j )=k+n i v e l ∗Nx+(Nx+1) ;


52 e l s e53 conec t i v idad ( i , j )=k+n i v e l ∗Nx+Nx;54 end55 end56 end

A continuación, las condiciones de borde: se definen los nodos del contorno(gdlborde) y el valor de la función en dichos nodos (valorborde):

1 %% CONDICIONES CONTORNO2 %% Problema de segundo orden . 4 cond i c i one s de contorno3 %% Esquema de l o s nodos en cada borde4 %−−−−−−−−−5 % | |6 % | |7 % | |8 %−−−−−−−−−9 %% Asi se ve que nodos corresponden a cada borde

10 %% ( para no poner 2 veces l a s e squ inas )11

12 nodosbase=1:Nx ;13 nodo s l a t i z q=Nx+1:Nx :Nx∗(Ny−1) ;14

15 %% A comentar , s i e s primer orden , e s t a s dos l i n e a s16

17 nodos la tder=2∗Nx:Nx :Nx∗(Ny−1) ;18 nodosarr iba=(Ny−1)∗Nx+1:1:Ny∗Nx;19

20 %% Para primer orden21

22 nodosborde=[nodosbase nodo s l a t i z q ] ;23

24 %% Para segundo orden25

26 nodosborde=[nodosbase nodo s l a t i z q nodos la tder nodosarr iba] ;

27 h=1; % Para i r r e c o r r i endo l o s nodos de cada borde28 j =1; % Para i r r e c o r r i endo l o s nodos de cada borde29 f o r i=nodosbase30 gdlborde ( j )=i ;31 va lorborde ( j )=a l f a ∗ cos ( x (h) )+beta ∗( y0−gamma∗x (h) ) ^2;32 h=h+1;33 j=j +1;34 end35 v=2;


36 f o r i=nodo s l a t i z q37 gdlborde ( j )=i ;38 va lorborde ( j )=a l f a ∗ cos ( x0 )+beta ∗( y (v )−gamma∗x0 ) ^2;39 v=v+1;40 j=j +1;41 end42 v=2;43 f o r i=nodos la tder44 gdlborde ( j )=i ;45 va lorborde ( j )=a l f a ∗ cos ( x f i n )+beta ∗( y (v )−gamma∗ x f i n )

^2;46 v=v+1;47 j=j +1;48 end49 h=1;50 f o r i=nodosarr iba51 gdlborde ( j )=i ;52 va lorborde ( j )=a l f a ∗ cos ( x (h) )+beta ∗( y f in−gamma∗x (h) )

^2;53 h=h+1;54 j=j +1;55 end

Para el primer orden, bastaría con comentar los bucles referentes a los nodosde la frontera 2 y 4 (los bucles de nodoslatder y nodosarriba en el trozo decódigo anterior).

Ahora, la parte referida al cálculo de las integrales (mediante cuadraturaGaussiana). Para el primer orden no hay más que igualar e (variable querepresenta a ε) a 0:

1 %I n i c i a l i z a c i ó n matr i ce s y ve c t o r e s2 f f=ze ro s ( sdof , 1 ) ;3 kk=ze ro s ( sdof , sdo f ) ;4 [ point2 , weight2 ]= f eg l qd2 ( nglx , ngly ) ;5 nd=ze ro s (1 , 2 ) ;6 xcoord=ze ro s (1 , 4 ) ;7 ycoord=ze ro s (1 , 4 ) ;8 e=10^(−3) ;9 k=ze ro s ( edof , edo f ) ;

10 f=ze ro s (1 , edof ) ;11

12 %%Calculamos l a matr iz para e l primer elemento13 f o r i =1: nne l %Para l o s 4 nodos de l elemento14 nd( i )=conec t i v idad ( i e l , i ) ;15 xcoord ( i )=c o o r d f i s i c a s (nd( i ) , 1 ) ;


16 ycoord ( i )=c o o r d f i s i c a s (nd( i ) , 2 ) ;17 end18

19 %%Int eg ra c i on numerica para l a matr iz e l ementa l20 b=(xcoord (2 )−xcoord (1 ) ) /2 ;21 f o r in tx =1: nglx22 x=point2 ( intx , 1 ) ;23 wtx=weight2 ( intx , 1 ) ;24 f o r in ty =1: ngly25 y=point2 ( inty , 2 ) ;26 wty=weight2 ( inty , 2 ) ;27 [ shape , dhdr , dhds ]= f e i s o q 4 (x , y ) ;28 jacob2=f e j a cob2 ( nnel , dhdr , dhds , xcoord , ycoord )

;29 det jacob=det ( jacob2 ) ;30 i nv jacob=inv ( jacob2 ) ;31 [ dhdx , dhdy]= f e d e r i v 2 ( nnel , dhdr , dhds , inv jacob )

;32 f o r i =1: edof33 f o r j =1: edof34 k ( i , j )=k ( i , j )+shape ( i ) ∗(gamma1∗dhdx (

j )+gamma2∗dhdy ( j )+e ∗( dhdx ( i ) ∗dhdx( j )+dhdy ( i ) ∗dhdy ( j ) ) ) ∗ det jacob ∗wtx∗wty ;

35 end36 f ( i )=f ( i )+mgl∗ shape ( i ) ∗ s i n (b∗x ) ∗ det jacob

∗wtx∗wty ;37 end38 end39 end40

41 f o r i e l =1: ne l %para todos l o s e lementos42

43 f o r i =1: nne l %Para l o s 4 nodos de l elemento44 nd( i )=conec t i v idad ( i e l , i ) ;45 end46 index=f e e l d o f (nd , nnel , ndof ) ;47 kk=feasmbl1 (kk , k , index ) ;48 f f=feasmbl1 f ( f f , f , index ) ;49 end

Aplicación de las condiciones de contorno y comparación:

1 %CONDICIONES DE CONTORNO2 [ kk , f f ]= f eap ly c2 (kk , f f , gdlborde , va lorborde , sdo f ) ;


3 %% Reso luc ion de l s i s tema4 s o l=kk\ f f ;5 x=x0 : ( x f in−x0 ) /(Nx−1) : x f i n ;6 y=y0 : ( y f in−y0 ) /(Ny−1) : y f i n ;7 cont=1;8 e s o l=ze ro s (Nx,Ny) ;9 f s o l=ze ro s (Nx,Ny) ;

10 e r r o r_r e l a t i v o=ze ro s (Nx,Ny) ;11 er ror_abso luto=ze ro s (Nx,Ny) ;12 f o r i =1:Nx13 f o r j= 1 :Ny14 f s o l ( j , i )=s o l ( cont ) ;15 f s o l=f s o l ’ ;16 e s o l ( i , j )=a l f a ∗ cos ( x ( i ) )+beta ∗( y ( j )+4∗x ( i ) ) ^2;17 cont=cont+1;18 end19 end20

21 %%En va lo r abso luto22 er ror_abso luto=abs ( e so l− f s o l ) ;23 %%En va lo r abso luto24 e r r o r_r e l a t i v o=abs ( ( e so l− f s o l ) ) . / ( e s o l+eps ) ;25

26 %%Máximo de l e r r o r abso luto27 Error_maximo_absoluto=max(max( error_abso luto ) ) ;28 %%Máximo de l e r r o r r e l a t i v o29 Error_maximo_relativo=max(max( e r r o r_r e l a t i v o ) ) ;

Las siguientes funciones han sido sacadas de [4, capítulos 2 a 6] :

feglqd2. Obtiene los puntos y pesos de la cuadratura.

feisoq4. Permite obtener las funciones de forma Hm y sus derivadas eva-luadas en los puntos de cuadratura.

fejacob2. Determina el jacobiano de la transformación.

feeldof. Prepara los grados de libertad donde ha de ensamblarse la matrizk y el vector f elementales.

feasmbl1. Permite montar la matriz del sistema kk a partir de las ele-mentales k.

feasmbl1f. Modificación que se ha hecho a la anterior para montar elvector f.

feaplyc2. Aplica las condiciones de contorno.

Índice de figuras

2.1. Aproximación de una función mediante MRP. . . . . . . . . . . . 172.2. Comparación Galerkin-Colocación por puntos. . . . . . . . . . . . 20

3.1. Dominio Ω al aplicar el MEF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Dominio unidimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Elemento triangular. 3 Nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4. Elemento rectangular. 4 Nodos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5. Elemento unidimensional isoparamétrico. . . . . . . . . . . . . . 323.6. Elemento triangular en coordenadas naturales. 3 Nodos. . . . . . 333.8. Cuadrilátero en coordenadas físicas. . . . . . . . . . . . . . . . . 343.7. Cuadrilátero en coordenadas naturales. . . . . . . . . . . . . . . . 343.9. Dominio unidimensional. 5 Elementos. . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.1. Esquema del sistema péndulo invertido. . . . . . . . . . . . . . . 424.2. Solución Exacta de la ecuación diferencial. . . . . . . . . . . . . . 454.3. Recinto de integración para el MRP. . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1. Recinto de integración: primer cuadrante. . . . . . . . . . . . . . 515.2. Solución aproximada MRP. Suma de potencias de polinomios. . . 545.3. Error relativo MRP. Suma de potencias de polinomios. . . . . . . 555.4. Error absoluto MRP. Suma de potencias de polinomios. . . . . . 555.5. Solución aproximada MRP. Funciones sinusoidales. . . . . . . . . 565.6. Error Relativo MRP. Funciones sinusoidales. . . . . . . . . . . . . 575.7. Error absoluto MRP. Funciones sinusoidales. . . . . . . . . . . . 575.8. Solución aproximada MRP. Cumpliendo también condiciones de

contorno originales. M=4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.9. Error Relativo MRP. Cumpliendo también condiciones de con-

torno originales. M=4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.10. Error absoluto MRP. Cumpliendo también condiciones de con-

torno originales. M=4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.11. Solución aproximada MRP. Cumpliendo también condiciones de

contorno originales. M=5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605.12. Error Relativo MRP. Cumpliendo también condiciones de con-

torno originales. M=5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

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ÍNDICE DE FIGURAS 100

5.13. Error absoluto MRP. Cumpliendo también condiciones de con-torno originales. M=5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.14. Solución aproximada MRP. Cumpliendo también condiciones decontorno originales. M=6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.15. Error Relativo MRP. Cumpliendo también condiciones de con-torno originales. M=6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.16. Error absoluto MRP. Cumpliendo también condiciones de con-torno originales. M=6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.17. Distribución deltas. Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.18. Distribución deltas. Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.19. Error absoluto Dirac. M=4. Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 665.20. Error relativo Dirac. M=4. Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.21. Error absoluto Dirac. M=4. Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 675.22. Error relativo Dirac. M=4. Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.23. Distribución deltas M=5. Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.24. Distribución deltas M=5. Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.25. Error absoluto Dirac. M=5. Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . 695.26. Error relativo Dirac. M=5. Caso 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.27. Error absoluto Dirac. M=5. Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . 705.28. Error relativo Dirac. M=5. Caso 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 715.29. Error absoluto: Dirac con suma polinomios. . . . . . . . . . . . . 715.30. Error relativo: Dirac con suma polinomios. . . . . . . . . . . . . . 72

6.1. Mallado para MEF. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2. Normal en los bordes (MEF). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

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