proyecto fin de carrera algoritmo de mallado

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRIDESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

TELECOMUNICACION

PROYECTO FIN DE CARRERA

ALGORITMO DE MALLADO AUTOADAPTATIVO PARA LARESOLUCION DE PROBLEMAS ELECTROMAGNETICOS EN

TRES DIMENSIONES MEDIANTE EL METODO DE LOSELEMENTOS FINITOS

Juan Corcoles OrtegaSeptiembre de 2004

TITULO: ALGORITMO DE MALLADO AUTOADAPTATIVO PARA LA RESOLU-CION DE PROBLEMAS ELECTROMAGNETICOS EN TRES DIMENSIO-NES MEDIANTE EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

AUTOR: Juan Corcoles Ortega

TUTOR: Sergio Llorente Romano

PONENTE: Magdalena Salazar Palma

DEPARTAMENTO: Senales, Sistemas y Radiocomunicaciones

Miembros del tribunal calificador

PRESIDENTE:

VOCAL:

SECRETARIO:

FECHA DE LECTURA:

CALIFICACION:

UNIVERSIDAD POLITECNICA DE MADRID

ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE

TELECOMUNICACION

DEPARTAMENTO DE SENALES, SISTEMAS Y RADIOCOMUNICACIONES

PROYECTO FIN DE CARRERA

ALGORITMO DE MALLADO AUTOADAPTATIVO PARA LARESOLUCION DE PROBLEMAS ELECTROMAGNETICOS EN

TRES DIMENSIONES MEDIANTE EL METODO DE LOSELEMENTOS FINITOS

Autor:

Juan Corcoles Ortega

Tutor:

Sergio Llorente Romano

Ponente:

Magdalena Salazar Palma

Madrid, Septiembre de 2004

RESUMEN

El presente proyecto realiza el analisis electromagnetico mediante elementos finitos de es-tructuras resonantes tridimensionales (eventualmente multidielectricas) con la ayuda deun algoritmo de mallado autoadaptativo. Un algoritmo de mallado autoadaptativo es aquelcapaz de primeramente detectar las zonas del dominio bajo estudio donde se comete unmayor error en la solucion aproximada por el metodo de elementos finitos, y posteriormen-te refinar dichas regiones, o anadir mas grados de libertad a las mismas, de tal manera queen la siguiente iteracion la aplicacion del metodo proporcione una solucion mas precisa.Dicho algoritmo se aplica al problema de autovalores/autovectores (frecuencia de resonan-cia/campo ~E o ~H) generado por las ecuaciones de Maxwell en problemas electromagneticoscerrados y se analiza la convergencia del autovalor.Este proyecto ha sido financiado con una beca de colaboracion del Departamento de Sena-les, Sistemas y Radiocomunicaciones, dentro del Grupo de Microondas y Radar, otorgadapor el Ministerio de Educacion.

PALABRAS CLAVE

Elementos Finitos, Mallado Autoadaptativo, Tetraedros curl-conformes, Indicador de ErrorResidual, Indicador de Error Zienkiewicz-Zhu, Algoritmos de Refinamiento Local, Conver-gencia de Autovalores, Cavidades Resonantes, Resonadores Dielectricos.

A mis padres.

Agradecimientos

El primer agradecimiento, que siento absolutamente necesario, es para mis padres,Juan e Isabel, y mi hermana Isabel, por haber estado siempre ah, para lo bueno y paralo malo, por ayudarme, por aguantarme, por ensenarme cosas que jamas se aprenderan deningun libro ni en ninguna escuela, y por cien millones de motivos mas. Muchas gracias.

Mil gracias, como no, a mis yayos, Simon, Juana y Ascension, y a mi difunto abueloFidel, que sin duda estara orgulloso de ver donde he llegado. Se que todos se alegran porm mas que si fuesen ellos msmos.

Y por supuesto, gracias a mis tas Mari y Reme, que nunca han dejado de apoyarmey darme consejos.

Me gustara agradecer a Sergio, mi tutor, su ayuda, que sin duda va muchsimo masalla de las meras cuestiones tecnicas que hayan surgido.

Quiero aprovechar la oportunidad que tengo aqu de agradecer a Magdalena suconfianza y el hecho de haberme ofrecido la oportunidad de colaborar con el departamento.

Dar las gracias a Luis Emilio, pues en ocasiones, cuando daba por agotadas todaslas opciones, el siempre surga con una respuesta.

Gracias tambien a todos los integrantes del grupo por el excepcional ambiente detrabajo, y en especial becarios y doctorandos, por hacer que muchas tardes frente alordenador fuesen mas amenas de lo que jamas me habra imaginado.

No puedo olvidar aqu a todos mis companeros y amigos del C.M.U. San JuanEvangelista, no solo por hacer que estos cinco anos en Madrid hayan estado repletos deilusiones y experiencias, sino por convertir el Johnny en mi segunda casa, y a ellos en misegunda familia.

Y por supuesto, a mis amigos y companeros de siempre, los de Albacete, con losque compart quiza los mejores anos de mi vida, los del colegio y el instituto, y que enestos anos fuera de mi ciudad natal me han hecho comprender el verdadero sentido de laamistad. Gracias a todos.

Indice general

Indice general I

Indice de figuras V

Indice de tablas IX

1. Introduccion 1

1.1. El Metodo de los Elementos Finitos y su aplicacion al Electromagnetismo . 1

1.2. Algoritmos de mallado autoadaptativo y trabajo desarrollado . . . . . . . . 2

2. Analisis de cavidades resonantes mediante el MEF 7

2.1. Formulacion mediante elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1. Problema original, formulacion debil y discretizacion mediante ele-mentos curl-conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2. Formulacion Normalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Convergencia de autovalores en el MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3. Postproceso de la solucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.1. Calculo de ~V (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3.2. Calculo de ~V (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.3. Calculo de 1 ~V (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.4. Visualizacion grafica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3. Indicadores de Error para problemas electromagneticos de autovalores

en 3D 19

3.1. Errores a posteriori en el MEF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.1.1. Error Real VS Error Estimado en problemas electromagneticos . . . 19

3.1.2. Medida del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.3. Indicador VS Estimador del Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2. Indicador de Error Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1. Error Residual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.2. Error Residual para la formulacion normalizada . . . . . . . . . . . . 22

3.2.3. Residuo Interior o Volumetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.4. Residuo Singular en las Caras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Indicador de Error de tipo Zienkiewicz-Zhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3.1. Indicadores de error de tipo Zienkiewicz-Zhu mediante recuperacionpor parches con ajuste por mnimos cuadrados . . . . . . . . . . . . 28

3.3.2. Indicador basado en ~V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3.3. Indicador basado en 1 ~V . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

i

ii INDICE GENERAL

3.3.4. Indicador basado en ~V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.5. Consideracion de las condiciones de salto . . . . . . . . . . . . . . . 35

4. Algoritmos de refinamiento local para mallas tetraedricas 39

4.1. Algoritmo no 1 basado en la biseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.1.1. Descripcion del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.2. Implementacion computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2. Algoritmo no 2 basado en la octaseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.1. Descripcion del algoritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2. Implementacion computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2.3. Una solucion intuitiva a la posible aparicion de tetraedros degenerados 654.3. Medidas de calidad en tetraedros y mallados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3.1. Medidas de calidad de un tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3.2. Medida de calidad de la malla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4. Ejemplos y resultados numericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.1. Validacion de la solucion a la degeneracion de los tetraedros pro-puesta para el algoritmo no 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.4.2. Dependencia de los algoritmos con la calidad de las mallas inicialesy coste computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5. Resultados numericos: aplicacion a cavidades y resonadores dielectricos 85

5.1. Algoritmos de mallado autoadaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.1. Especificacion de la condicion de finalizacion . . . . . . . . . . . . . 86

5.1.2. Eleccion de los elementos a refinar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.1.3. Factores de ponderacion del indicador de error residual y parametro

de refinamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2. Cavidad rectangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1. Algoritmo autoadaptativo con indicadores de error de tipo residual . 885.2.2. Algoritmo autoadaptativo con indicadores de error de tipo

Zienkiewicz-Zhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.2.1. Algoritmo de refinamiento no 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.2.2.2. Algoritmo de refinamiento no 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 965.3. Cavidad tipo ridge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.1. Analisis del primer modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.3.2. Analisis del tercer modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1095.4. Cavidad con dielectrico en el centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.1. Analisis del primer modo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.4.2. Analisis del primer modo superior o segundo modo . . . . . . . . . . 1235.5. Cavidad rectangular cargada con dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

6. Conclusiones y trabajo futuro 153

A. Elementos tetraedricos curl-conformes de 2o orden subparametricos 157

A.1. Elementos curl-conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

A.2. Definicion del elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158A.3. El elemento de referencia o canonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

A.4. Transformacion geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

B. Integracion de funciones tridimensionales polinomicas en tetraedros 165

INDICE GENERAL iii

C. Glosario de smbolos y terminologa 169

Bibliografa 171

iv INDICE GENERAL

Indice de figuras

1.1. Estructura general de un algoritmo de mallado autoadaptativo . . . . . . . 4

4.1. Analoga 2D mostrando la diferencia entre una malla no conforme y unaconforme. Como se ve, en la primera existe lo que se denomina vertice colgante 39

4.2. Diagrama del algoritmo de refinamiento no 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3. Tipos de tetraedros segun sus marcas. La arista de refinamiento esta semuestra en rojo con la letra r mientras que las aristas marcadas se muestranen azul con la letra m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4. Pasos para la biseccion de un tetraedro. La arista de refinamiento esta semuestra en rojo con la letra r para el tetraedro padre y r1 y r2 para amboshijos mientras que las aristas marcadas se muestran en azul con la letra m,m1 y m2 igualmente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5. Transiciones entre los diferentes tipos de tetraedros producidos por el algo-ritmo basico de biseccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.6. Tetraedro con su correspondiente numeracion en vertices y aristas . . . . . 44

4.7. Diagrama de flujo del algoritmo de refinamiento no 1 . . . . . . . . . . . . . 54

4.8. Ejemplo que muestra el criterio a cumplir por las caras de un mallado arefinar por el algoritmo no 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.9. Clases de tetraedros segun el numero de aristas marcadas que poseen y sucorrespondiente division en subtetraedros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.10. Numeracion en las divisiones de cada clase de tetraedro . . . . . . . . . . . 58

4.11. Diagrama de flujo del algoritmo no 2 basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.12. Analoga en 2D (frente de caras) de la degeneracion de los tetraedros. Engris, los elementos inicialmente seleccionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.13. Esquema de mallas padre-hijo del algoritmo no 2 . . . . . . . . . . . . . . . 65

4.14. Diagrama de flujo del algoritmo no 2 completo. Las dos flechas a izquierda indican refinamiento siguiendo el algoritmo basico de la figura 4.11 . . . 67

4.15. Analoga en 2D (frente de caras) de la aplicacion de la solucion del algoritmono 2 para evitar la degeneracion de los tetraedros. En gris, los elementosinicialmente seleccionados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.16. Zona de refinamiento elegida en el cubo para la validacion de la solucion ala degeneracion en el algoritmo no 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.17. Malla inicial para el cubo 10 10 10. 12 elementos. (T ) = 0,7472191. . . 724.18. Malla final para el cubo 10 10 10 aplicando el algoritmo no 2 con la

solucion para la degeneracion. 461620 elementos. (T ) = 0,1676262. . . . . 724.19. Malla final para el cubo 101010 aplicando la version del algoritmo no 2

sin la solucion para la degeneracion. 448598 elementos. (T ) = 0,0080865053. 73

v

vi INDICE DE FIGURAS

4.20. Distribucion acumulada de calidades de la malla para las mallas original yfinales con el algoritmo no 2 con y sin solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.21. Evolucion de la calidad de la malla (T ) en funcion del numero de elementospara el algoritmo no 2 con y sin solucion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.22. Zonas de refinamiento elegidas para la piramide degenerada y la piramideregular. El valor de r se reduce en un factor de 0.9 para cada iteracion delalgoritmo no 2 y cada tres del no 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.23. Malla final para la piramide degenerada con el algoritmo no 1. 26975 ele-mentos. (T ) = 0,1865965. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.24. Malla final para la piramide degenerada con el algoritmo no 2. 26766 ele-mentos. (T ) = 0,042878415. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.25. Malla final para la piramide regular con el algoritmo no 1. 30292 elementos.(T ) = 0,4280632. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.26. Malla final para la piramide regular con el algoritmo no 2. 25838 elementos.(T ) = 0,2721259. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.27. Distribucion acumulada de calidades de la malla para las mallas original yfinales con el algoritmo no 1 y no 2 de la piramide degenerada. . . . . . . . 80

4.28. Distribucion acumulada de calidades de la malla para las mallas original yfinales con el algoritmo no 1 y no 2 de la piramide regular. . . . . . . . . . . 81

4.29. Coste computacional de los algoritmos no 1 y no 2 en el caso de la piramidedegenerada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.30. Coste computacional de los algoritmos no 1 y no 2 en el caso de la piramideregular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1. Mallado Inicial de la cavidad rectangular. 18 elementos. . . . . . . . . . . . 89

5.2. Convergencia del autovalor k20 del primer modo de la cavidad rectangularcon mallado uniforme y adaptado mediante el indicador de error residual. . 91

5.3. Convergencia del autovalor k20 para los dos primeros modos de la cavidadrectangular con una malla adaptada al primero mediante el indicador deerror residual y el algoritmo de refinamiento no 1. . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4. Convergencia del autovalor k20 para los dos primeros modos de la cavidadrectangular con una malla adaptada al primero mediante el indicador deerror residual y el algoritmo de refinamiento no 2. . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5. Convergencia del autovalor k20 del primer modo de la cavidad rectangularcon mallado uniforme y adaptado con los diferentes indicadores de error conel algoritmo de refinamiento no 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.6. Convergencia del autovalor k20 del primer modo de la cavidad rectangularcon mallado uniforme y adaptado con los diferentes indicadores de error conel algoritmo de refinamiento no 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.7. Mallado denso para la obtencion de valores precisos de numeros de onda enla cavidad ridge. 3833 elementos. (T ) = 0,3822556 . . . . . . . . . . . . . . 100

5.8. Mallado inicial para la cavidad ridge. 90 elementos. (T ) = 0,3813936 . . . 1015.9. Convergencia del autovalor k20 del primer modo de la cavidad ridge segun

los distintos metodos autoadaptativos. Formulacion ~H. . . . . . . . . . . . . 103

5.10. Mallado inicial para el analisis con formulacion ~E ce la cavidad ridge. 171elementos. (T ) = 0,3270671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.11. Convergencia del autovalor k20 del primer modo de la cavidad ridge segunel algoritmo de refinamiento usado con indicador residual. Formulacion ~E. . 105

INDICE DE FIGURAS vii

5.12. Campos ~E y ~H del primer modo de la cavidad tipo ridge. . . . . . . . . . . 106

5.13. Cortes en X = 0,4, Y = 0,1 y Z = 0,375 para el campo ~E del primer modode la cavidad tipo ridge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.14. Cortes en X = 0,4, Y = 0,1 y Z = 0,375 para el campo ~H del primer modode la cavidad tipo ridge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

5.15. Convergencia del autovalor k20 para el tercer modo de la cavidad ridge segunlos distintos metodos autoadaptativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.16. Malla final para el proceso con indicador de error Zienkiewicz-Zhu clase 3y algoritmo de refinamiento no 1 en cavidad ridge. 404 elementos. (T ) =0,3396284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.17. Malla final para el proceso con indicador de error de tipo residual y algorit-mo de refinamiento no 2 en cavidad ridge. 465 elementos. (T ) = 0,2169389 112

5.18. Campos ~E y ~H del tercer modo de la cavidad tipo ridge. . . . . . . . . . . . 113

5.19. Cortes en X = 0,4, Y = 0,1 y Z = 0,375 para el campo ~E del tercer modode la cavidad tipo ridge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

5.20. Cortes en X = 0,4, Y = 0,1 y Z = 0,375 para el campo ~H del tercer modode la cavidad tipo ridge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

5.21. Vistas de la cavidad con dielectrico en el centro . . . . . . . . . . . . . . . 116

5.22. Mallado inicial de la cavidad con dielectrico en el centro . 96 elementos.(T ) = 0,4651330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

5.23. Campos ~E y ~H del primer modo de la cavidad con dielectrico en el centrocalculados con sus respectivas formulaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

5.24. Cortes en X = 0,5, Y = 0,5 y Z = 0,5 para el campo ~E del primer modo dela cavidad con dielectrico en el centro con formulacion ~E. . . . . . . . . . . 121

5.25. Cortes en X = 0,5, Y = 0,5 y Z = 0,5 para el campo ~H del primer modode la cavidad con dielectrico en el centro con formulacion ~H. . . . . . . . . 122

5.26. Malla final obtenida tras el proceso autoadaptativo con formulacion ~E. Cor-te en X = 0,5. 1256 elementos. (T ) = 0,4045892 . . . . . . . . . . . . . . . 124

5.27. Malla final obtenida tras el proceso autoadaptativo con formulacion ~H.Corte en X = 0,5. 1102 elementos. (T ) = 0,4018410 . . . . . . . . . . . . . 125

5.28. Campos ~E y ~H del segundo modo de la cavidad con dielectrico en el centrocon Formulacion ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

5.29. Cortes en X = 0,5, Y = 0,5 y Z = 0,5 para el campo ~E del segundo modode la cavidad con dielectrico en el centro con Formulacion ~H. . . . . . . . . 127

5.30. Cortes en X = 0,5, Y = 0,5 y Z = 0,5 para el campo ~H del segundo modode la cavidad con dielectrico en el centro con Formulacion ~H. . . . . . . . . 128

5.31. Vistas de la cavidad cargada con dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.32. Mallado inicial de la cuarta parte de la cavidad cargada con dielectrico. 46elementos. (T ) = 0,4149189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.33. Detalle interior del mallado inicial de la cuarta parte de la cavidad cargadacon dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.34. k20 del primer modo de la cavidad cargada con dielectrico segun la formula-cion para los metodo autoadaptativos RES Alg. 1, RES Alg. 2, ZZ Alg. 1 yZZ Alg. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.35. k20 del cuarto modo de la cavidad cargada con dielectrico segun la formula-cion para los metodo autoadaptativos RES Alg. 1, RES Alg. 2, ZZ Alg. 1 yZZ Alg. 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

viii INDICE DE FIGURAS

5.36. Mallado final para el primer modo de la cavidad cargada con dielectrico conformulacion ~E, indicador de error residual y algoritmo de refinamiento no

2. 485 elementos. (T ) = 0,2181919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.37. Mallado final para el segundo modo de la cavidad cargada con dielectri-

co con formulacion ~E, indicador de error Zienkiewicz-Zhu y algoritmo derefinamiento no 2. 313 elementos. (T ) = 0,2588586 . . . . . . . . . . . . . . 139

5.38. Mallado final para el tercer modo de la cavidad cargada con dielectrico conformulacion ~H, indicador de error residual y algoritmo de refinamiento no

1. 494 elementos. (T ) = 0,4004977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1405.39. Mallado final para el cuarto modo de la cavidad cargada con dielectrico con

formulacion ~H, indicador de error Zienkiewicz-Zhu y algoritmo de refina-miento no 1. 398 elementos. (T ) = 0,3840674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.40. Campos ~E y ~H del primer modo en la cuarta parte de la cavidad cargadacon dielectrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5.41. Cortes en X = 0, Y = 0 y Z = 0,875 para el campo ~E del primer modo enla cuarta parte de la cavidad cargada con dielectrico. . . . . . . . . . . . . . 142

5.42. Cortes en X = 0, Y = 0 y Z = 0,875 para el campo ~H del primer modo enla cuarta parte de la cavidad cargada con dielectrico. . . . . . . . . . . . . . 143

5.43. Campos ~E y ~H del segundo modo en la cuarta parte de la cavidad cargadacon dielectrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5.44. Cortes en X = 0, Y = 0 y Z = 0,875 para el campo ~E del segundo modoen la cuarta parte de la cavidad cargada con dielectrico. . . . . . . . . . . . 145

5.45. Cortes en X = 0, Y = 0 y Z = 0,875 para el campo ~H del segundo modoen la cuarta parte de la cavidad cargada con dielectrico. . . . . . . . . . . . 146

5.46. Campos ~E y ~H del tercer modo en la cuarta parte de la cavidad cargadacon dielectrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.47. Cortes en X = 0, Y = 0 y Z = 0,875 para el campo ~E del tercer modo enla cuarta parte de la cavidad cargada con dielectrico. . . . . . . . . . . . . . 148

5.48. Cortes en X = 0, Y = 0 y Z = 0,875 para el campo ~H del tercer modo enla cuarta parte de la cavidad cargada con dielectrico. . . . . . . . . . . . . . 149

5.49. Campos ~E y ~H del cuarto modo en la cuarta parte de la cavidad cargadacon dielectrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.50. Cortes en X = 0, Y = 0 y Z = 0,875 para el campo ~E del cuarto modo enla cuarta parte de la cavidad cargada con dielectrico. . . . . . . . . . . . . . 151

5.51. Cortes en X = 0, Y = 0 y Z = 0,875 para el campo ~H del cuarto modo enla cuarta parte de la cavidad cargada con dielectrico. . . . . . . . . . . . . . 152

6.1. Analoga en dos dimensiones de la necesidad de adaptacion a la geometraoriginal de un algoritmo de refinamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

A.1. Tetraedro de Grado 2, elemento de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 161A.2. Transformacion geometrica entre un tetraedro real y el tetraedro canoncio . 162

B.1. Productos cruzados y no cruzados al elevar al cuadrado un polinomio . . . 167

Indice de tablas

2.1. Correspondencias para la ecuacion del doble rotacional . . . . . . . . . . . . 8

3.1. Vertices que definen las caras de un tetraedro (numeracion local) . . . . . . 25

3.2. Aristas que definen las caras de un tetraedro (numeracion local) . . . . . . 25

3.3. Coordenadas del punto medio de cada arista para la cuadratura por Gauss-Legendre en una cara de un tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4. Validez de los indicadores de tipo Zienkiewicz-Zhu segun los casos dadospor y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1. Definicion de las aristas del tetraedro en funcion de los vertices . . . . . . . 44

4.2. Definicion de las caras del tetraedro en funcion de las aristas (aristas copla-nares) y los vertices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3. Definicion de vertices para los tetraedros hijos segun la arista de refinamien-to del padre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4. Caras heredada, cortadas y nueva de los tetraedros hijo segun la arista derefinamiento del padre definiendo los vertices en los hijos tal como muestrala tabla 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.5. Vertices, condiciones de contorno y marcas para los tetraedros hijos proce-dentes de la biseccion cuando la arista de refinamiento del padre r() = 1 . 48






4.11. Vertices y condiciones de contorno para los cuatro primeros hijos (hijosexteriores) de un tetraedro primario de aristas base 3 y 5 . . . . . . . . . 59

4.12. Vertices y condiciones de contorno para los cuatro segundos hijos (hijosinteriores) de un tetraedro primario de aristas base 3 y 5 . . . . . . . . . 60

4.13. Vertices y condiciones de contorno para los cuatro hijos de un tetraedrosecundario tipo A cuando sus aristas marcadas son 1, 2 y 3 . . . . . . . 62

4.14. Vertices y condiciones de contorno para los cuatro hijos de un tetraedrosecundario tipo B cuando sus aristas marcadas son 2 y 4 . . . . . . . . . 63

ix

x INDICE DE TABLAS

4.15. Rotaciones necesarias en los tetraedros secundarios de tipo A para conseguirque sus aristas marcadas sean 1,2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.16. Rotaciones necesarias en los tetraedros secundarios de tipo B para conseguirque sus aristas marcadas sean 2 y 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.17. Calidades y proporciones en las mallas originales y obtenidas con ambosalgoritmos para las piramides degenerada y regular. T0: malla inicial. T1:malla final algoritmo no 1. T2: malla final algoritmo no 2. . . . . . . . . . . 80

5.1. Resultados para el primer modo de la cavidad rectangular con indicador deerror residual y algoritmo de refinamiento no 1. Valor exacto del numero deonda k0 = 3,088572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2. Resultados para el primer modo de la cavidad rectangular con indicador deerror residual y algoritmo de refinamiento no 2. Valor exacto del numero deonda k0 = 3,088572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.3. Indicadores de error residual para el primer modo de la cavidad rectangularusando el algoritmo de refinamiento no 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4. Indicadores de error residual para el primer modo de la cavidad rectangularusando el algoritmo de refinamiento no 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.5. Resultados para el primer modo de la cavidad rectangular con indicador deerror Zienkiewicz-Zhu clase 1 y algoritmo de refinamiento no 1. = 0,5.Valor exacto del numero de onda k0 = 3,088572 . . . . . . . . . . . . . . . . 93



5.8. Indicadores de error Zienkiewicz-Zhu clase 1 para el primer modo de lacavidad rectangular usando el algoritmo de refinamiento no 1. = 0,5. . . . 96









INDICE DE TABLAS xi

5.17. Numero de onda k0 del primer modo de la cavidad ridge para los distintosprocesos autoadaptativos. Formulacion ~H. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.18. Numeros de onda k0 del primer modo de la cavidad ridge para ambos al-goritmos de refinamiento con el indicador de error residual. Formulacion~E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

5.19. Numero de onda k0 del tercer modo de la cavidad ridge para los distintosprocesos autoadaptativos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

5.20. Numeros de onda k0 para el proceso autoadaptativo del primer modo dela cavidad con dielectrico en el centro segun ambas formulaciones. Valorobtenido con Ansoft HFSS c: k0 = 2,747427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

5.21. Indicadores de error residual para el primer modo de la cavidad con dielec-trico en el centro usando el algoritmo de refinamiento no 1. . . . . . . . . . 119

5.22. Valor del numero de onda del primer modo de la cavidad con dielectrico enel centro obtenido en cada iteracion segun la formulacion y error relativo

de la media de los mismos k0 =(

k( ~H)0 + k

(~E)0

)

/2 con respecto al valor

proporcionado por Ansoft HFSS c: k0 = 2,747427 . . . . . . . . . . . . . . 1195.23. Numeros de onda k0 para el proceso autoadaptativo del segundo modo de

la cavidad con dielectrico en el centro no 1. Formulacion ~H. Valor obtenidocon Ansoft HFSS c: k0 = 2,859478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

5.24. Combinaciones de pared magnetica y electrica para los plano de simetrade la cavidad cargada con dielectrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.25. Numero de onda calculado k0 para los diferentes procesos autoadaptativosdel primer modo de la cavidad cargada con dielectrico . . . . . . . . . . . . 133

5.26. Numero de onda calculado k0 para los diferentes procesos autoadaptativosdel segundo modo de la cavidad cargada con dielectrico . . . . . . . . . . . 134

5.27. Numero de onda calculado k0 para los diferentes procesos autoadaptativosdel tercer modo de la cavidad cargada con dielectrico . . . . . . . . . . . . . 135

5.28. Numero de onda calculado k0 para los diferentes procesos autoadaptativosdel cuarto modo de la cavidad cargada con dielectrico . . . . . . . . . . . . 136

5.29. Numero de onda k0 del primer y segundo modo para ambas formulacionessegun el metodo adaptativo seguido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

xii INDICE DE TABLAS

Captulo 1

Introduccion

1.1. El Metodo de los Elementos Finitos y su aplicacion al

Electromagnetismo

Los sistemas de radiocomunicaciones que soportan las nuevas y futuras aplicacionesmultimedia (sistemas de acceso radio, sistemas y redes por satelite , redes moviles de bandaancha, etc.) se estan desarrollando en la parte alta de la banda de microondas y en la bandade onda milimetricas. La razon fundamental es que dichas aplicaciones requieren anchos debanda elevados, por lo que se opta por frecuencias portadoras de valor alto donde ademasel espectro electromagnetico esta menos explotado. El aumento de la frecuencia de trabajoimplica sin embargo un diseno del subsistema de RF mas complejo y costoso.

En la parte baja de la banda de microondas las herramientas de diseno asistido porordenador (CAD) habituales son simuladores circuitales que utilizan modelos equivalentesde los diferentes componentes. Sin embargo los modelos simples usados por dichos simu-ladores impiden que esas herramientas puedan utilizarse a frecuencias altas. De hecho,la complejidad de los dispositivos de alta frecuencia requiere herramientas de diseno queefectuen un analisis electromagnetico de onda completa que permita caracterizar todos losefectos presentes en la estructura para as evitar tecnicas de diseno basadas en prueba yerror.

Actualmente, un solo dispositivo puede llegar a presentar una estructura intrinca-da que conste de varios conductores, dielectricos e incluso semiconductores de tamanoarbitrario y caractersticas fsicas complejas. La cada vez mayor variedad de geometrasy materiales de dichas estructuras, descartan, en general, el uso exclusivo de tecnicas decalculo analticas o semianalticas, tales como Transformacion Conforme, Separacion deVariables, Ajuste Modal, etc. Por tanto, en general, se hace preciso el empleo de un metodonumerico, bien en frecuencia o en tiempo, y sobre problemas con ecuaciones diferenciales,integrales o integro-diferenciales, como el Metodo de las Diferencias Finitas, el Metodo delos Momentos, el Metodo de Elementos Finitos, etc . . .

El Metodo de los Elementos Finitos (en adelante, MEF ) data de los primeros anos40, y aunque inicialmente fue concebido para el campo del calculo de estructuras, prontose llego a la evidencia de que era una tecnica de uso general para la resolucion numerica deproblemas formulados mediante ecuaciones en derivadas parciales. En el campo del electro-magnetismo, y mas en concreto en lo concerniente a microondas y ondas milimetricas, elmetodo de los elementos finitos no fue utilizado hasta finales de los anos 60; desde entoncessu popularidad en la resolucion de problemas en esta area ha crecido considerablemente

1

2 Introduccion

creando una especial actividad investigadora al respecto en los ultimos anos.

Es preciso mencionar que en esta memoria no se ha incluido ningun captulo niapendice especfico sobre el propio MEF. Se supone de antemano que el lector posee unacierta familiaridad en cuanto a la mecanica de aplicacion del metodo (generacion delmallado, discretizacion mediante funciones de base locales a cada elemento, ensambla-do, etc. . . ). En cualquier caso, para consultar dichas generalidades existen multitud delibros entre los cuales [Dhat and Touzot, 1981, Reddy, 1993] se suelen recomendar parauna primera lectura sobre el MEF. Entre los libros que tratan el MEF en el contextode su aplicacion a problemas electromagneticos de una forma genercia se pueden citar[Jin, 1993, Volakis et al., 1998].

De dichas generalidades, las mas relevantes con respecto a este trabajo son las concer-nientes a la transformacion geometrica y la numeracion local/global de elementos, nodos,etc. . . En la primera, se pasa del sistema real (x, y, z) a un sistema de coordenadas deno-minado canonico (, , ), de tal forma que los vertices de un tetraedro real (pertenecienteal primer sistema) sean (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en el sistema canonico. Hay quedestacar que todas las caras en un elemento finito, vistas desde el exterior, han de estardescritas por sus vertices en sentido anti-horario; de esta manera se asegura que al calcularel volumen del elemento, este siempre sea positivo. Con respecto a la numeracion se ha dediscernir entre la de tipo local, a nivel de elemento, y la de tipo global, a nivel de malla.Este criterio se puede aplicar a cualquier parte del elemento o la malla, como aristas, caras,vertices, etc. . . Por ejemplo, el vertice no 1 (numeracion local) de un tetraedro puede ser elvertice no 1250 (numeracion global) de la malla. En el caso de nodos y grados de libertadesta numeracion es de suma importancia a la hora de realizar el ensamblado para obte-ner matrices dispersas; diversos metodos de renumeracion se emplean para opitmizar estacuestion, habiendose escogido aqu el metodo de Gibbs (proporcionado por MODULEF1).

1.2. Algoritmos de mallado autoadaptativo y trabajo desa-

rrollado

Una de las caractersticas mas potentes del MEF reside en el hecho de que la con-tribucion de cada elemento es calculada de forma independiente y despues ensambladapara formar la solucion total. As pues, una alta densidad de grados de libertad puede serusada en las regiones donde la variacion del campo sea abrupta, mientras que un menornumero de los mismos puede ser asignado a regiones con una variacion del campo relati-vamente pequena. Diversas tecnicas basadas en diferentes indicadores o estimadores delerror de aproximacion se usan para decidir que partes del dominio han de ser refinadas, yaplicando recursivamente un algoritmo de refinamiento seleccionado se obtiene un malladoadaptado al comportamiento del campo en la estructura. Esta es la esencia del malladoautoadaptativo.

La estructura basica de un algoritmo o metodo de mallado autoadaptativo se mues-tra en la figura 1.1. Primeramente se genera una malla que en principio debera constarde pocos grados de libertad, a partir de la cual se resuelve el problema mediante el MEF.Posteriormente se realiza una indicacion o estimacion del error cometido, y se compruebasi se ha alcanzado cierta condicion de finalizacion, que puede ser del tipo estimacion pordebajo de un umbral, no de iteraciones maximo alcanzado, etc. . . Si es as, se procede alpostproceso de la solucion, que generalmente suele venir acompanado de alguna visua-

1al final del captulo se explicara que es MODULEF

1.2 Algoritmos de mallado autoadaptativo y trabajo desarrollado 3

lizacion grafica. Si la condicion no se cumple, se ha de seleccionar, atendiendo a alguncriterio, los elementos del mallado cuyo indicador de error sea mayor para su posteriorrefinamiento. Tras este refinamiento se obtiene una nueva malla (que dependiendo del re-finamiento empleado tendra bien un numero distinto de elementos, o nuevos grados delibertad anadidos, etc. . . con respecto a la de la iteracion anterior), que vuelve a ser usadapara resolver el problema mediante el MEF.

El trabajo desarrollado en este proyecto incluye las partes que no se muestran enlnea discontinua en la figura 1.1.

Las mallas usadas contienen tan solo elementos de tipo tetraedrico. Este tipo deelementos se prefiere, entre otros muchos motivos, por su capacidad de adaptacion a geo-metras complejas.

Los indicadores de error aqu desarrollados responden a dos tipos (posiblementelos mas ampliamente usados por los investigadores): uno de corte mas clasico que tra-dicionalmente ha sido usado en el MEF, denominado residual, y otro desarrollado masrecientemente conocido por los nombres de sus precursores, Zienkiewicz-Zhu. Aunque enla figura 1.1 no se especifica, segun se han implementado, para el calculo de los mismosse requiere una parte de lo que se podra denominar postproceso, aunque de una maneramuy basica. Logicamente, en la literatura se encuentran una gran variedad de tipos deindicadores de error.

Cuando se han seleccionado los tetraedros con mayor indicador de error, se puedeproceder a varios tipos de refinamiento; entre los mas conocidos se encuentran:

Refinamiento tipo h Se dividen los elementos seleccionados en dos o mas nuevos ele-mentos.

Refinamiento tipo p Se incrementa el orden de las funciones base de interpolacion enlos elementos seleccionados.

Refinamiento tipo r Se recolocan los nodos de la malla en una mejor distribucion delos mismos.

Tecnicas hbridas r h, h p Se trata de combinaciones de los algoritmos anteriores.

En este proyecto se llevara a cabo un refinamiento tipo h, por lo que los tetraedros se-leccionados que formen parte de la malla en una determinada iteracion se dividiran entetraedros mas pequenos que formaran parte de la malla de la siguiente iteracion; de estamanera se anaden mas grados de libertad al problema alla donde lo necesite.

Para comprobar la eficacia de las tecnicas de refinamiento y de indicacion del error,estas se aplicaran al analisis mediante el MEF de cavidades resonantes, donde se esperaobtener un grado de refinamiento mayor en las zonas de campo con variacion mas abrupta(y eventualmente, singularidades del campo).

Dentro de la parte concerniente al postproceso se ha desarrollado un modulo capazde dibujar los campos de mayor interes que presentan las estructuras analizadas, tanto enforma de vector (con sentido y magnitud), como en modulo, y tanto para la geometracompleta en 3D como para cortes de los planos mas interesantes.

Sin duda el lector encontrara interesante el glosario que se encuentra en el apendice C,pues posiblemente en algun momento de la lectura tenga que recurrir a el para descifrarel significado de algun smbolo que se haya quedado en el tintero.

La mayora del trabajo se ha implementado haciendo uso de las funciones y rutinasproporcionadas por MODULEF ([INRIA, 1999]), que es una librera de elementos finitos

4 Introduccion

Figura 1.1: Estructura general de un algoritmo de mallado autoadaptativo

1.2 Algoritmos de mallado autoadaptativo y trabajo desarrollado 5

de proposito general creada por el instituto de investigacion frances INRIA. Dos ejem-plos basicos de su uso que se emplean a modo de gua de iniciacion se encuentran en[Arnold and Narasimhan, 1994a, Arnold and Narasimhan, 1994b]. El lenguaje de progra-macion empleado por la misma y, por ende, en la implementacion de los distintos moduloses Fortran ([Intel, 2004]).

Ademas, para la creacion inicial de mallados se habra de emplear el software GID c,desarrollado en el instituto internacional de metodos numericos CIMNE, as como unamodificacion del mismo (Gid2Modulef, desarrollada por el departamento de Teora de laSenal de la Universidad de Alcala de Henares) para adaptar los mallados resultantes a lasestructuras de datos que maneja la biblioteca MODULEF. Para el modulo de dibujo se haempleado la potencia grafica proporcionada por MATLAB c([Mathworks, 2001]).

6 Introduccion

Captulo 2

Analisis de cavidades resonantes

mediante el MEF

2.1. Formulacion mediante elementos finitos

En esta seccion se resumen los pasos seguidos para resolver el problema de las cavi-dades resonantes mediante el metodo de los elementos finitos. No se pretende aqu hacerun desarrollo exhaustivo de todos, pues muchos no son faciles y llevan un desarrollo masintrincado que se ha obviado; para un mayor detalle consultar [Salazar-Palma et al., 1998,Garca-Castillo, 1998].

Es importante remarcar que en el tipo de problemas abordados los tensores depermitividad y permeabilidad se consideran reales y simetricos. Con este tipo de tensores,las componentes del campo estan en fase, por lo que la solucion del MEF puede elegirsecomo real sin perdida de generalidad. Aun as, se hace hincapie en que el metodo de loselementos finitos podra resolver problemas con dichos tensores complejos y no simetricos.

2.1.1. Problema original, formulacion debil y discretizacion mediante

elementos curl-conformes

Dado un dominio con una frontera las ecuaciones de Maxwell expresadas me-diante la ecuacion del doble rotacional tienen la forma del problema de valores propiossiguiente:

(f1 ~W ) = 2p ~W en n ~W = ~0 en Dirichlet

n f1 ~W en Neumman(2.1)

Las expresiones involucradas en la ecuacion 2.1 toman su valor de la tabla 2.1 segunla formulacion usada en el problema.

Para una aproximacion de la solucion ~W , tenemos que que el residuo no sera exac-tamente nulo:

R( ~W ) = (f1 ~W ) 2p ~W 0 (2.2)

donde ~W consiste en una combinacion lineal de un numero dado (numero de grados delibertad Nd) de funciones vectoriales (funciones base):

7

8 Analisis de cavidades resonantes mediante el MEF

Tabla 2.1: Correspondencias para la ecuacion del doble rotacional

Formulacion ~E Formulacion ~H

~W ~E ~H

f

p

Dirichlet Electrica Magnetica

Neumman Magnetica Electrica

~W =

Nd

i=1

~Nidi (2.3)

Teniendo en cuenta que la mayora de las veces se opera a nivel de elemento, obten-dramos, donde el ndice e se refiere a las mismas cantidades anteriores en un solo elemento,y Ne es el numero total de los mismos en la malla:

~W =

Ne

e=1

Ned

i=1

~N ei dei (2.4)

Multiplicando 2.2 por una funcion test ~W (que ha de cumplir ciertas especificacio-nes contempladas en [Garca-Castillo, 1998]), integrando e igualando a 0 por el Teoremade Mejor Aproximacion (consultar, por ejemplo, [Debnath and Mikusinski, 1990]), obte-nemos:

< ~W ;R( ~W ) >=

(

~W (f1 ~W ) 2 ~W p ~W)

d = 0 (2.5)

Teniendo en cuenta ahora las condiciones de contorno, as como identidades enel calculo vectorial como el teorema de Green (consultar [Marsden and Tromba, 1991,Salas and Hille, 1986]), la ecuacion 2.5 puede reescribirse como:

< ~W ;R( ~W ) >=

(

( ~W ) (f1 ~W ) 2 ~W p ~W)

d = 0 (2.6)

La ecuacion 2.6 es la formulacion debil del problema original (ecuacion 2.1).El siguiente paso es la discretizacion para obtener un sistema de ecuaciones alge-

braico. El vector ~W debe cumplir 2.6 para un numero finito M de funciones test ~W

independientes. Normalmente, este numero es igual al de grados de libertad, M = Nd. Siusamos el metodo de Galerkin donde las funciones test se eligen iguales a las funcionesvectoriales base ~Ni, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

< ~Ni;R( ~W ) >=

(

( ~Ni) (f1 ~W ) 2 ~Ni p ~W)

d = 0 i = 1, . . . , Nd

(2.7)

2.1 Formulacion mediante elementos finitos 9

Si la ecuacion 2.7 se aplica sobre el elemento e de la malla y se tiene en cuenta 2.4obtenemos:

{W e} = ([ke] 2[me]){de} (2.8)

keij =

e

( ~N ei ) (fe1 ~N ej )d, i, j = 1, . . . , N ed (2.9)

meij =

e

~N ei pe~N ej d, i, j = 1, . . . , N

ed (2.10)

donde N ed son los grados de libertad del elemento e,~N ei las funciones base de dicho ele-

mento, {de} el vector que agrupa los mencionados grados de libertad en el elemento, y fey pe son los tensores permeabilidad y permitividad (segun formulacion) en el elemento e

Realizando el proceso de ensamblado de las matrices [ke] y [me] en [K] y [M ] repec-tivamente, el sistema final puede escribirse como:

([K] 2[M ]){D} = 0 (2.11)En terminologa del MEF, [K] es la matrz de rigidez global, [M ] la matriz de masa

global, y {D} el vector que agrupa los grados de libertad globales del problema.

2.1.2. Formulacion Normalizada

Si realizamos la conversion

~Wn =

(p0) ~W (2.12)

teniendo en cuenta que

f = f0fr (2.13)

p = p0pr (2.14)

y, finalmente llevando a cabo un cambio de notacion para mayor sencillez:

~V = ~Wn (2.15)

= fr (2.16)

= pr (2.17)

la ecuacion 2.6 puede expresarse como

< ~V ;R(~V ) >=

(

( ~V ) (1 ~V ) k20 ~V ~V)

d = 0 (2.18)

donde ahora el autovalor del problema ha pasado a ser k20 en vez de 2. Siguiendo

los mismos pasos anteriores, se llega a un sistema final:

([K] k20[M ]){D} = 0 (2.19)


que es un sistema de autovalores / autovectores que tendra que ser resuelto. En estecaso, el autovalor k20 si se corresponde con el autovalor del problema original, mientras queel autovector {D} corresponde al vector de los grados de libertad (de los que algunos seranforzados a tener valor nulo para cumplir condiciones de contorno) que formaran parte dela interpolacion para hallar el autovector del problema ~V . En [Garca-Castillo, 1998] seaborda este tema con mayor detalle.

2.2. Convergencia de autovalores en el MEF

Dado que el problema que se va a analizar constituye inherentemente un problemade autovalores, es interesante comprobar la convergencia del error a priori que proporcionael metodo de los elementos finitos para este tipo de problemas.

Supongamos un problema de valores propios de orden 2s en un dominio con solu-cion exacta perteneciente a un espacio de Hilbert1 de orden r. Dicho dominio se discretizacon una malla cuasiuniforme: siendo he el diametro de la esfera circunscrita en el elementoe, tenemos que h = max(he); como cada elemento ha de ser de similar tamano se habrade cumplir h/he < , donde es un numero finito real. En concreto, definiendo el factorde uniformidad de una malla como:

FU =h

mn(he)(2.20)

En una malla totalmente uniforme, este factor sera igual a 1. Logicamente, engeometras complejas esto es difcil de conseguir. Suponemos que el orden de los elementosusados para la interpolacion es p. La solucion exacta puede ser regular y suficientementesuave (r > p), o no suficientemente suave (r < p); esto se puede deber a varias razones:contornos no suaves, cambios bruscos en las constantes fsicas que caracterizan los mediosdel dominio, excitaciones singulares y discontinuidades en las condiciones de contorno[Babuska, 1977]. En problemas electromagneticos, acoplos y efectos de proximidad entreconductores tambien producen soluciones no suaves. Segun [Salazar-Palma et al., 1998],asumiendo que h < 1 el error en el autovalor i-esimo vendra dado por la expresion:

|i i| C1h2(k+1s)k+1

s

i , k = mn(p, r) (2.21)

donde i es el valor exacto de dicho autovalor y i el computado.

Para problemas de segundo orden se obtiene:

|i i| C2h2kk+1i (2.22)

Como se observa, la convergencia para autovalores mayores en magnitud es mayorque para los mas pequenos. Es importante tambien ver que si la solucion que se esta inten-tando alcanzar es no suave, a pesar de usar elementos de orden p, el error en el autovalorviene determinado como si usasen elementos de orden r. En dichos casos, se entiende queuna malla cuasiuniforme el error de interpolacion es mayor en aquellos elementos localiza-dos en las regiones del dominio donde el comportamiento de la solucion es mas abrupto.As pues, si se generase una malla no uniforme con elementos mas pequenos en dichasregiones, los errores locales estaran todos en el mismo orden de magnitud. A tales mallas

1consultar [Salazar-Palma et al., 1998] apendice A para las cuestiones matematicas sobre espacios vec-toriales en relacion al metodo de los elementos finitos

2.3 Postproceso de la solucion 11

se les denomina consecuentemente mallas equilibradas. Para poder comparar en terminosde convergencia tales mallas con las uniformes, se habra de expresar el error en terminosdel numero de grados de libertad Nd, de tal manera que la expresion 2.22 queda como:

|i i| C3N 2

nmn(p,r)

d (2.23)

donde n es la dimension del problema; en nuestro caso n = 3. As pues, si se usan mallasequilibradas, obtendremos que:

|i i| C4N 2

np

d (2.24)

De esta ultima expresion se deduce que para elementos de segundo orden, comolos que se usaran en adelante, el error en el autovalor ha de converger al menos con unapendiente de 4/3. Esto sera facil de lograr para problemas que presenten una solucionsuave; el algoritmo autoadaptativo desarrollado intentara que tambien se alcance dichacota para cualquier problema, aun presentando este una solucion no suave.

2.3. Postproceso de la solucion

A continuacion se llevara a cabo una presentacion del desarrollo realizado para obte-ner el vector solucion y otras cantidades relacionadas con el mismo. Se ha de mantener pre-sente en todo momento que el tipo de elementos usados son los tetraedros curl-conformessubparametricos de 2o orden descritos en el apendice A; ademas, se recuerda que en to-do caso que los tensores de permitividad electrica y permeabilidad magnetica son reales,simetricos y constantes en el elemento.

2.3.1. Calculo de ~V (x, y, z)

Del Apendice A sabemos que la solucion interpolada en cada elemento toma la forma:

~V (x, y, z) = ~(, , ) = ([Je]T )1~V(, , )

Vx(x, y, z)

Vy(x, y, z)

Vz(x, y, z)

=

x(, , )

y(, , )

z(, , )

= ([Je]T )1

V(, , )

V(, , )

V(, , )

(2.25)

Expresando de forma matricial la funcion vectorial respecto de las coordenadas ca-


nonicas, la ecuacion 2.25 se puede escribir como:

~(, , ) = [i]{2}

x(, , )

y(, , )

z(, , )

=

i1,1 i1,2 i1,3 i1,4 i1,5 i1,6 i1,7 i1,8 i1,9 i1,10

i2,1 i2,2 i2,3 i2,4 i2,5 i2,6 i2,7 i2,8 i2,9 i2,10

i3,1 i3,2 i3,3 i3,4 i3,5 i3,6 i3,7 i3,8 i3,9 i3,10

1

2

2

2

(2.26)

donde [i] se define como la matriz de interpolacion y {2} como el vector de coordenadasde segundo orden. A su vez, teniendo en cuenta que al estar utilizando una transforma-cion geometrica subparametrica (de primer orden) ([Je]T )1 es una matriz de elementosconstantes, la matriz de interpolacion puede escribirse como:

[i] = ([Je]T )1[] (2.27)

Si expresamos matricialmente las funciones de interpolacion en el elemento canonico(ver Apendice A) obtenemos:

~N(k)

~N(k)

~N(k)

=

=

a1(k) a2(k) a3(k) a4(k) 0 F(k) G(k) D(k) J(k) H(k)

b1(k) b2

(k) b3(k) b4

(k) F (k) D(k) J+K(k) 0 E(k) I(k)

c1(k) c2(k) c3(k) c4(k) G(k) K(k) H(k) E(k) I(k) 0

1

2

2

2

(2.28)De donde podemos definir la matriz de interpolacion en el elemento canonico []

como la suma de las matrices de coeficientes de cada nodo por el correspondiente valor desu(s) grado(s) de libertad:

[] =

20

k=1

a1(k) a2(k) a3(k) a4(k) 0 F(k) G(k) D(k) J(k) H(k)

b1(k) b2

(k) b3(k) b4

(k) F (k) D(k) J+K(k) 0 E(k) I(k)

c1(k) c2(k) c3(k) c4(k) G(k) K(k) H(k) E(k) I(k) 0

dk (2.29)

De esta forma obtenemos:

~V (x, y, z) = ~(, , ) = ([Je]T )120

k=1

{ ~N (k)}dk = [i]{2} (2.30)


2.3.2. Calculo de ~V (x, y, z)Para el calculo de ~V (x, y, z) partimos de la definicion de rotacional:

~V (x, y, z) =

x y zx

y

z

Vx Vy Vz

=

Vzy

Vyz

Vxz Vzx

Vyx Vxy

(2.31)

Para calcular las derivadas parciales de ~V aplicamos la regla de la cadena en la ecua-cion 2.25 (consultar las referencias [Marsden and Tromba, 1991], [Salas and Hille, 1986]para las cuestiones referentes al calculo vectorial en tres dimensiones), obteniendo la igual-dad:

x

x

x

y

y

y

z

z

z

=

Vxx

Vxy

Vxz

Vyx

Vyy

Vyz

Vzx

Vzy

Vzz

x

x

x

y

y

y

z

z

z

(2.32)

donde el segundo multiplicando del termino de la derecha resulta ser la matriz jacobianade la transformacion geometrica.

De la ecuacion 2.32 se obtiene inmediatamente:

,, ~ = x,y,z ~V [Je]

x,y,z ~V = ,, ~[Je]1

x,y,z ~V = ([Je]T )1,, ~V[J

e]1

(2.33)

Expresando ahora ~ como en la ecuacion 2.30 y recordando que la unica dependenciacon (, , ) la presenta el vector de coordenadas de segundo orden {2} podemos escribir:

,, ~ = [i],,{2}

x

x

x

y

y

y

z

z

z

= [i]

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 0 0

0

0

0 2 0

0

0 0 2

(2.34)

Si introducimos la ecuacion anterior en la ecuacion 2.33, y teniendo nuevamente encuenta que al estar utilizando una transformacion geometrica subparametrica (de primerorden) [Je]1 es una matriz de elementos constantes, que definiremos como:

[j] = [Je]1 (2.35)

podemos expresar las derivadas parciales de ~V como:


x,y,z ~V = [i],,{2}[Je]1

Vxx

Vxy

Vxz

Vyx

Vyy

Vyz

Vzx

Vzy

Vzz

= [i]

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

2 0 0

0

0

0 2 0

0

0 0 2

j1,1 j1,2 j1,3

j2,1 j2,2 j2,3

j3,1 j3,2 j3,3

(2.36)

Desarrollando el segundo termino de la ecuacion anterior llegamos al producto ma-tricial:

i1,1 i1,2 i1,3 i1,4 i1,5 i1,6 i1,7 i1,8 i1,9 i1,10

i2,1 i2,2 i2,3 i2,4 i2,5 i2,6 i2,7 i2,8 i2,9 i2,10

i3,1 i3,2 i3,3 i3,4 i3,5 i3,6 i3,7 i3,8 i3,9 i3,10

0 0 0

j1,1 j1,2 j1,3

j2,1 j2,2 j2,3

j3,1 j3,2 j3,3

j1,12 j1,22 j1,32

j1,1 + j2,1 j1,2 + j2,2 j1,3 + j2,3

j1,1 + j3,1 j1,2 + j3,2 j1,3 + j3,3

j2,12 j2,22 j2,32

j2,1 + j3,1 j2,2 + j3,2 j2,3 + j3,3

j3,12 j3,22 j3,32

(2.37)

Realizando dicho producto, podemos expresar finalmente las derivadas parciales de~V como:

Vtnm

= (d(n,m)){1}

Vtnm

=(

d(n,m)0 d

(n,m)1 d

(n,m)2 d

(n,m)3

)

1

n = 1 . . . 3

m = 1 . . . 3

t1 = x t2 = y t3 = z

1 = 2 = 3 =

(2.38)

donde:

d(n,m)0 = in,2j1,m + in,3j2,m + in,4j3,m

d(n,m)1 = 2in,5j1,m + in,6j2,m + in,7j3,m

d(n,m)2 = in,6j1,m + 2in,8j2,m + in,9j3,m

d(n,m)3 = in,7j1,m + in,9j2,m + 2in,10j3,m

(2.39)


Introduciendo las derivadas parciales obtenidas mediante la ecuacion 2.38 en la de-finicion de rotacional (ecuacion 2.31) obtenemos finalmente:

~(, , ).= ~V (x, y, z) = [r]{1}

x(, , )

y(, , )

z(, , )

.=

( ~V )x(x, y, z)( ~V )y(x, y, z)( ~V )z(x, y, z)

=

r1,1 r1,2 r1,3 r14

r2,1 r2,2 r2,3 r24

r3,1 r3,2 r3,3 r34

1

(2.40)

donde {1} se define como vector de coordenadas de primer orden, mientras que [r] es lamatriz de interpolacion del rotacional definida por:

[r] =

(d(3,2)) (d(2,3))(d(1,3)) (d(3,1))(d(2,1)) (d(1,2))

(2.41)

2.3.3. Calculo de 1 ~V (x, y, z)Analogamente al procedimiento seguido en el apartado anterior, se calcularan pri-

mero las derivadas parciales de la funcion 1 ~V (x, y, z) necesarias para el calculo delrotacional de dicha funcion

Teniendo en cuenta que~V (x, y, z) puede ser expresado como una funcion vectorialdependiente de las coordenadas canonicas , , , tal y como muestra la ecuacion 2.40,podemos escribir:

1 ~V (x, y, z) = 1~(, , ) (2.42)

Aplicando como en la seccion 2.3.2 la regla de la cadena sobre esta ecuacion obte-nemos:

(1~)x

(1~)x

(1~)x

(1~)y

(1~)y

(1~)y

(1~)z

(1~)z

(1~)z

=

=

(1~V )xx

(1~V )xy

(1~V )xz

(1~V )yx

(1~V )yy

(1~V )yz

(1~V )zx

(1~V )zy

(1~V )zz

x

x

x

y

y

y

z

z

z

(2.43)

lo que inmediatamente nos conduce a:

x,y,z(1 ~V ) = ,,(1~)[Je]1 (2.44)

Expresando ahora de forma matricial la funcion ~ segun la ecuacion 2.40 y recordan-do que la unica dependencia con (, , ) la presenta el vector de coordenadas de primerorden {1} tenemos:

,,(1~) = []1[r],,{1} (2.45)


que insertado en la ecuacion 2.44 nos da:

x,y,z(1 ~V ) = []1[r],,{1}[Je]1

(1~V )xx

(1~V )xy

(1~V )xz

(1~V )yx

(1~V )yy

(1~V )yz

(1~V )zx

(1~V )zy

(1~V )zz

= []1[r]

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

[Je]1(2.46)

Finalmente, insertando las derivadas parciales obtenidas mediante la ecuacion ante-rior en la definicion de rotacional (ecuacion 2.31) llegamos a:

1 ~V =

(1~V )zy

(1~V )yz

(1~V )xz

(1~V )zx

(1~V )yx

(1~V )xy

=

p1

p2

p3

= {p} (2.47)

donde {p} se define, por similitud con los casos anteriores, como la columna de interpolaciondel rotacional doble. Por motivos que se veran mas adelante (consultar seccion 3.2.3)definimos por conveniencia la matriz de interpolacion del rotacional doble como:

[p] = [{p} [0]39] =

p1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

p2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

p3 0 0 0 0 0 0 0 0 0

(2.48)

De tal manera, 1 ~V (x, y, z) puede expresarse como:

1 ~V = [p]{2} (2.49)

2.3.4. Visualizacion grafica

Para poder visualizar cualquier cantidad de las calculadas anteriormente, habremosde especificar una serie de puntos xi, yi, zi y calcular el valor de dicha cantidad en esospuntos. Para ello habremos de encuadrar cada punto en el elemento que pertenezca, realizarla transformacion a las coordenadas canonicas y, finalmente, llevar a cabo la interpolaciona nivel local. La transformacion geometrica en los elementos usados viene dada por:

x

y

z

=

x1 x2 x3 x4

y1 y2 y3 y4

z1 z2 z3 z4

1

(2.50)

La ecuacion 2.50 puede ser facilmente expresada como:

x

y

z

=

x2 x1 x3 x1 x4 x1y2 y1 y3 y1 y4 y1z2 z1 z3 z1 z4 z1

+

x1

y1

z1

{v} = [Je]

+ {v1}

(2.51)


As pues, las coordenadas canonicas en el elemento de referencia del punto x, y, zvienen expresadas como:

= [Je]1 ({v} {v1}) (2.52)

Logicamente, a priori no se sabe a que elemento e pertenece el punto en cuestion.Para averiguarlo, una vez tenemos las coordenadas en el elemento canonico, estan han decumplir obligatoriamente:

0 10 1

0 1 (2.53)

Si no es as, el punto x, y, z pertenecera a otro elemento.Una vez tenemos las coordenadas , , basta aplicar las mismas a los vectores de

coordenadas {1} o {2} y multiplicar por la matriz correspondiente para calcular elvalor del vector deseado en el punto x, y, z. Con una cantidad suficiente de puntos sepuede realizar una representacion grafica de cualquiera de los vectores calculados en elpostproceso. Bajo esta idea se ha desarrollado un modulo de dibujo de que se hara uso enel capitulo 5 para visualizar los campos ~E y ~H.

Captulo 3

Indicadores de Error para

problemas electromagneticos de

autovalores en 3D

Para saber en que regiones la solucion calculada del campo modela de una maneramenos exacta la solucion verdadera, se habra de estimar o dar una indicacion del errorcometido tanto de manera global como a nivel de elemento. Como ya se ha comentadoen la introduccion, en este captulo se presentan dos tipos de indicadores de error queactualmente son ampliamente usados.

3.1. Errores a posteriori en el MEF

3.1.1. Error Real VS Error Estimado en problemas electromagneticos

El error cometido al resolver mediante el metodo de los elementos finitos un problemade tipo vectorial (sea campo ~E o ~H) toma la forma:

~ = ~V ~V (3.1)

donde ~V representa la solucion real del problema y ~V la obtenida mediante el MEF.Existen diferentes tipos de error, y el error total cometido es la suma de las contri-

buciones de los mismos. No es el proposito de este trabajo dar aqu una lista completay detallada de los mismos, que puede facilmente encontrarse en la literatura (consultar[Salazar-Palma et al., 1998], [Daz-Morcillo, 2000], [Nedelec, 1992]), aunque si cabe des-tacar que algunos, como los de discretizacion e interpolacion, son inherentes al propiometodo de elementos finitos, mientras que otros, como los de truncamiento, dependen delas capacidades computacionales de la maquina donde se lleve a cabo la implementacionde dicho metodo.

El propio hecho de hacer uso de un metodo numerico para resolver un problemaimplica que su solucion exacta no se conoce, por lo que su error real ~ tambien es imposibleconocerlo. Sin embargo, se puede conseguir un error estimado a posteriori ~e. Una vez mas,no es proposito mencionar aqu todos los tipos, pues en la bibliografa se pueden encontrarmultitud de clases de estimadores (residuales, complementarios, etc . . . ), destacandoseaqu la lista proporcionada en [Salazar-Palma et al., 1998].

19

20 Indicadores de Error para problemas electromagneticos de autovalores en 3D

Bien es cierto que, como ya sucedio con el propio MEF en sus inicios, la mayor partede la teora de estimacion de errores se ha desarrollado en el campo de la ingeniera civil,mecanica o de fluidos. Sin embargo, en los ultimos anos se han logrado un gran numero deavances en lo referente al campo del electromagnetismo, estando esta parcela en continuaevolucion.

3.1.2. Medida del error

Para realizar una medida fiable, una estimacion o indicacion del error cometido,recurrimos a calcular la norma sobre el vector ~e. De esta manera, particularizando yasobre los elementos que forman nuestro mallado, podemos obtener que la estimacion oindicacion del error total cometido viene dada por:

~eT =Ne

e=1

~ee (3.2)

donde Ne es el numero de elementos que componen la malla.

La norma elegida puede ser simplemente la norma L2 o la norma energa:

~eeL2 =

e~ee ~eed (3.3)

~eeE =

e~ee L ~eed (3.4)

donde L es el operador diferencial propio de la formulacion inicial del problema. En losproblemas que nos atanen, L = 1k20.

3.1.3. Indicador VS Estimador del Error

Hasta ahora se ha hablado de manera aparentemente indiferente sobre estimacion eindicacion del error. Muchos autores, de hecho, no realizan distincion entre ambas definicio-nes. Sin embargo aqu se adoptara la postura mencionada en [Salazar-Palma et al., 1998],donde por estimador de error se entiende una cantidad ~eT que conforme aumentan lasiteraciones en el proceso de mallado autoadaptativo se aproxima al error real cometido~, de tal manera que:

~eT /~ 1 (3.5)

La cantidad presentada en 3.5 se denomina ndice de efectividad y se aplica en pro-blemas de tipo determinista, como el analisis cuasiestatico de lneas de transmision, en[Salazar-Palma et al., 1998]. En la misma referencia, para problemas de autovalores (en2D), se introduce el concepto de indicador de error, que no constituye una verdadera esti-macion del mismo, pero que como su propio nombre refleja, indica las zonas con una mayorerror respecto al resto (elementos con ~ee mayores), y si el error total ~eT disminuyecon el paso de las iteraciones. As pues, en los problemas que se discuten en lo siguiente, altratarse de problemas de autovalores en 3D, se hablara siempre en terminos del indicadorde error, aunque quiza a veces se haga uso de la palabra estimador, bien por relajaciondada la ambiguedad que envuelve ambos terminos, bien por evitar repeticion continuadade una misma palabra.

3.2 Indicador de Error Residual 21

3.2. Indicador de Error Residual

Este indicador de error ha sido tradicionalmente usado desde los inicios de la estima-cion de error a posteriori en el MEF. En esta seccion primeramente se aplica la teora sobrelos problemas que se estan tratando con el tipo de elementos usados, para posteriormente,en las secciones 3.2.3 y 3.2.4, afrontar el calculo de los residuos implicados.

3.2.1. Error Residual

Una medida de la norma energa del error cometido en cada elemento se pue-de calcular a traves de los residuos en cada tetraedro mediante la expresion dada en[Daz-Morcillo, 2000] que constituye una extension de la que se puede encontrar en lareferencia [Salazar-Palma et al., 1998]:

~ee2 = fvh2e

f1e,minp

e~rev ~revd + fs

hef1e,min

p

nec

k=1

k /D

~resk ~resk

dk (3.6)

donde

f1e,mines el menor autovalor del tensor fe

1, esto es:

f1e,min= mn() (3.7)

sujeto a

[fe]1 [I] = [0] (3.8)

p es el orden de las funciones de interpolacion utilizadas, en nuestro caso:

p = 2 (3.9)

he es una medida del tamano del elemento, definida por el diametro de la esferacircunscrita en el tetraedro, o lo que es lo mismo, la longitud de su arista mas largao mayor distancia entre sus vertices.

he = max(lij), 1 i j 4 (3.10)

nec es el numero de caras del elemento, que en nuestro caso al tratarse de un tetraedroresulta:

nec = 4 (3.11)

El primer termino de la expresion 3.6 constituye una medida del residuo interno oresiduo volumetrico, que viene dado por:

~rev = fe1 ~W e 2ge ~W e (3.12)

El segundo termino de la expresion 3.6 representa una medida del residuo singularque se evalua en las caras del elemento que no presentan condiciones de contorno deDirichlet (donde es igual a 0). En este caso hay que considerar dos situaciones:


Caras interiores de la malla compartidas por dos elementos. El residuo es:

~resk |int = n (fe11 ~W e1 fe21 ~W e2) (3.13)

Caras pertenecientes a la frontera bajo condiciones de contorno de Neumann. Eneste caso el residuo sera:

~resk |Neumann = n fe1 ~W e (3.14)

Finalmente, fv y fs son factores de ponderacion de la medida de estos residuos quegeneralmente suelen cumplir:

fv + fs = 1, fv 0, fs 0 (3.15)

3.2.2. Error Residual para la formulacion normalizada

En este caso se puede demostrar facilmente que (consultar seccion 2.1.2 para masdetalles), elidiendo el ndice e, el indicador de error en el elemento queda como:

~e2 = fvh2

1min

p

~rv ~rvd + fs

h

1min

p

nc

k=1

k /D

~rsk ~rskdk (3.16)

El residuo interior o volumetrico viene ahora dado por:

~rv = 1 ~V k20~V (3.17)

Mientras que la expresion para el residuo singular en las caras es:

Caras interiores de la malla compartidas por dos elementos.

~rsk |int = n (11 ~V 1 21 ~V 2) (3.18)

Caras pertenecientes a la frontera bajo condiciones de contorno de Neumann.

~rsk |Neumann = n 1 ~V (3.19)

Caras pertenecientes a la frontera bajo condiciones de contorno de Dirichlet.

~rsk |Dirichlet = 0 (3.20)

El resto de los terminos (p, h, nc, fv, fs) permanecen inalterados.

3.2.3. Residuo Interior o Volumetrico

De las ecuaciones 2.30 y 2.49 sabemos que el residuo interior puede ser expresadocomo:

~rv = 1 ~V k20~V = ([p] k20 [][i]){2} (3.21)Si definimos la matriz de residuo volumetrico como:

[rv] = ([p] k20[][i]) (3.22)


tenemos que la ecuacion 3.21 se puede expresar de la siguiente manera:

~rv = [rv]{2} =

=

rvx,c rvx, r

vx, r

vx, r

vx,2 r

vx, r

vx, r

vx,2 r

vx, r

vx,2

rvy,c rvy, r

vy, r

vy, r

vy,2 r

vy, r

vy, r

vy,2 r

vy, r

vy,2

rvz,c rvz, r

vz, r

vz, r

vz,2 r

vz, r

vz, r

vz,2 r

vz, r

vz,2

1

2

2

2

(3.23)

Para realizar la medida de este residuo hemos de integrar en el elemento canonico,pues dicho residuo esta expresado en coordenadas canonicas. As pues, si queremos teneruna medida en nuestro dominio habremos de aplicar la formula del cambio de variablespara la integracion:

e|~rv(x, y, z)|2dxdydz =

|~rv(, , )|2|Je|ddd (3.24)

Si utilizamos, como es nuestro caso, elementos de 2o orden subparametricos, el de-terminante de la matriz jacobiana sera constante, por lo que finalmente podremos expresarla medida del residuo como:

e|~rv|2d = |Je|

( 1

=0

1

=0

1

=0|rv,x|2ddd +

+

1

=0

1

=0

1

=0|rv,y|2ddd +

+

1

=0

1

=0

1

=0|rv,z|2ddd

)

=

= |Je|3

n=1

1

=0

1

=0

1

=0|rv,tn |2ddd (3.25)

t1 = x t2 = y t3 = z

De la ecuacion 3.23 se obtiene que:

|rv,tn |2 = (rvtk,c+rvtk,

+rvtk,+rvtk,

+rvtk,22+rvtk,+r

vtk,

+rvtk,22+rvtk,+r

vtk,2

2)2

(3.26)

Refiriendo al lector al apendice B para realizar la cuadratura numerica de la integral 1=0

1=0

1=0 |rv,tn |2ddd, queda finalmente:


1

=0

1

=0

1

=0|rv,tn |2ddd =

=(rvtn,c)

2

6+

+2(rvtn,cr

vtn,

+ rvtn,crvtn, + r

vtn,cr

vtn,

)

24+

+2(rvtn,cr

vtn,

+ rvtn,rvtn, + r

vtn,cr

vtn,

+ rvtn,rvtn,

+ rvtn,crvtn,

+ rvtn,rvtn,

)

120+

+2(rvtn,r

vtn,

+ rvtn,rvtn,

+ rvtn,rvtn,

)

720+

+2rvtn,c(r

vtn,2

+ rvtn,2 + rvtn,2

) + (rvtn,)2 + (rvtn,)

2 + (rvtn,)2

60+

+2(rvtn,r

vtn,

+ rvtn,2rvtn, + r

vtn,

rvtn, + rvtn,2

rvtn,)

360+

+2(rvtn,r

vtn,

+ rvtn,2rvtn,

+ rvtn,rvtn,

+ rvtn,2rvtn,

)

360+

+2(rvtn,r

vtn,

+ rvtn,2rvtn,

+ rvtn,rvtn,

+ rvtn,2rvtn,)

360+

+2(rvtn,r

vtn,

+ rvtn,2rvtn,

+ rvtn,rvtn,

+ rvtn,2rvtn,

+ rvtn,rvtn,

+ rvtn,2rvtn,

)

2520+

+2rvtn,2r

vtn,2

+ (rvtn,)2 + 2rvtn,2r

vtn,2

+ (rvtn,)2 + 2rvtn,2r

vtn,2

+ (rvtn,)2

1260+

+2(rvtn,2r

vtn,

+ rvtn,2rvtn, + r

vtn,2

rvtn,)

120+

+2(rvtn,2r

vtn,

+ rvtn,2rvtn,

+ rvtn,2rvtn,

+ rvtn,2rvtn,

+ rvtn,2rvtn,

+ rvtn,2rvtn,

)

840+

+(rvtn,2)

2 + (rvtn,2)2 + (rvtn,2)

2

210(3.27)

3.2.4. Residuo Singular en las Caras

La evaluacion de la medida del residuo singular en cada cara

k /D

|~rsk |2dk (3.28)

presenta un nivel mayor de complejidad que la del residuo interior ya que si se trata deuna cara interior del mallado se ha de realizar la interpolacion a nivel local sobre dos ele-mentos distintos, tal y como indica la ecuacion 3.18 cuyas transformaciones geometricasson distintas y, por tanto, cuyas coordenadas canonicas no pueden agruparse dentro delmismo polinomio. Cabe la posibilidad de realizar una doble transformacion geometricade coordenadas del elemento de referencia al real (de 3 dimensiones a 3 dimensiones), y,posteriormente, una transformacion de la cara implicada a un triangulo canonico (de 3dimensiones a 2 dimensiones), pudiendo utilizar una cuadratura similar a la del apartadoanterior, esta vez sobre un triangulo. Sin embargo, tal operacion se antoja difcil si solo


Tabla 3.1: Vertices que definen las caras de un tetraedro (numeracion local)

Ci V(Ci)1 V

(Ci)2 V

(Ci)3

1 1 3 2

2 1 4 3

3 1 2 4

4 2 3 4

Tabla 3.2: Aristas que definen las caras de un tetraedro (numeracion local)

Ci A(Ci)1 A

(Ci)2 A

(Ci)3

1 3 1 2

2 4 3 6

3 1 4 5

4 2 5 6

se quiere hacer uso de la interpolacion local. Por ello se ha optado por una cuadratura deGauss-Legendre (consultar [Salazar-Palma et al., 1998]) que tan solo requiere la particu-larizacion de la funcion a integrar en determinados puntos. En concreto, como sabemos, elresiduo ~rsk presenta una dependencia tridimensional lineal, por lo que |~rsk |2 sera una fun-cion de orden 2. Para integrarla exactamente mediante la cuadratura de Gauss-Legendrebasta con obtener el valor en 3 puntos de la cara en cuestion. Elegiremos la opcion enla cual dichos 3 puntos corresponden a los puntos medios de las aristas. Logicamente,la integracion se realizara sobre un triangulo canonico, siendo necesaria establecer unatransformacion geometrica entre este y la cara sobre la cual se este midiendo el residuo.

Sea una cara C, esta sera la cara C1 para el elemento 1 y la cara C2 para el elemento 2.

C {1, 2, . . . , nc} (3.29)Ci {1, 2, 3, 4}, i = 1, 2 (3.30)

donde nc el el numero total de caras del mallado.Logicamente, la cara k en la ecuacion 3.28 sera k = C1 cuando estemos calculando

el indicador de error para el elemento 1, y k = C2 cuando lo hagamos para el elemento 2que comparte dicha cara.

La cara en cuestion estara compuesta por tres vertices V(Ci)j y tres aristas A

(Ci)j del

tetraedro al que pertenece (numeracion local).

A(Ci)j {1, 2, 3, 4, 5, 6}, j = 1, 2, 3, i = 1, 2 (3.31)

V(Ci)j {1, 2, 3, 4}, j = 1, 2, 3, i = 1, 2 (3.32)

Como es de esperar, segun sea el elemento 1 o el elemento 2, dichas ternas serandistintas. Las tablas 3.1 y 3.2 muestran la numeracion segun la cara en la que nos encon-tremos.

Posteriormente, al igual que se ha hecho con la cara, hay que establecer la corres-

pondencia entre aristas de forma global. Sea una arista A(C)m perteneciente a una cara C,


esta sera la arista A(C1)h para el elemento 1 y la arista A

(C2)l para el elemento 2.

A {1, 2, . . . , na},m = 1, 2, 3 (3.33)A

(C1)h {1, 2, 3, 4, 5, 6}, h = 1, 2, 3 (3.34)

A(C2)l {1, 2, 3, 4, 5, 6}, l = 1, 2, 3 (3.35)

Volviendo ahora a la ecuacion 3.28, vemos que esta se puede escribir como:

k /D

|~rsk |2dk =

k /D

|rsk,x|2dk +

+

k /D

|rsk,y|2dk +

+

k /D

|rsk,z|2dk =

=

3

n=1

k /D

|rsk,tn |2dk (3.36)

t1 = x t2 = y t3 = z

As pues, se habra de calcular el valor de |~rsk,tn |2 en el punto medio de cada aristaA

(C)m de las tres que componen la cara en la cual se quiere medir el residuo. Segun las

ecuaciones 2.40 y 3.18, esto puede expresarse como:

|~rsk |2

A(C)m

=

(

n (

[1]1[r1]{1}

A(C1)h

[2]1[r2]{1}

A(C2)l

))2

(3.37)

en el caso de una cara interior, o como, segun la ecuacion 3.19:

|~rsk |2

A(C)m

=

(

n (

[1]1[r1]{1}

A(C1)h

))2

(3.38)

en el caso que se trate de una cara perteneciente a la frontera con condicion de contornode tipo Neumann. El sentido de la normal n carece de importancia de este caso (da igualque se tome del elemento 1 al 2 o viceversa), pues al tomar el modulo al cuadrado delresiduo siempre obtendremos una funcion positiva.

En las ecuaciones anteriores [ri], i = 1, 2 es la matriz de interpolacion del rotacionalde cada elemento i, y

{1}

A(Ci)j

, j = 1, 2, 3, i = 1, 2 (3.39)

corresponde al vector de coordenadas de primer orden {1} particularizado en el puntomedio de la arista indicada por A

(Ci)j . La tabla 3.3 muestra las coordenadas , , que

corresponden a dicho punto medio segun la arista.Una vez tenemos el valor de la funcion en los puntos de interes habremos de pro-

ceder a multiplicar dichos valores por los pesos correspondientes y realizar el sumatorio.Sin embargo, dado que dicha cuadratura esta especificada en un triangulo canonico hemosde realizar una transformacion geometrica (x, y, z) (, , ) de tal manera que nuestracara de interes quede sobre el plano (, ) (sera igualmente valido sobre los planos (, )


Tabla 3.3: Coordenadas del punto medio de cada arista para la cuadratura por Gauss-Legendreen una cara de un tetraedro

A(Ci)j

1 1/2 0 0

2 1/2 1/2 0

3 0 1/2 0

4 0 0 1/2

5 1/2 0 1/2

6 0 1/2 1/2

o (, )). Notese que si la cara sobre la que queremos medir el residuo corresponde a lascaras 1, 2 o 3 del elemento i, sera valida la transformacion definida por [Jei ], pues dichascaras estaran sobre los planos (, ), (, ) y (, ). Sin embargo, por realizarlo de unamanera metodica, y ya que no podemos asegurar que se de siempre este caso, mas aun enlos residuos en la frontera de tipo Neumann, donde la cara pertenece unicamente a un ele-mento, definimos la transformacion geometrica arriba indicada siempre sobre el elementoanteriormente identificado como elemento 1. Siendo Vr el vertice del tetraedro 1 que nopertenece a la cara sobre la cual estamos calculando la integral, al que llamaremos verticerestante, utilizando las funciones base de Lagrange podemos escribir la transformacion quenecesitamos como:

x

y

z

=

x(C1)1 x

(C1)2 x

(C1)3 xr

y(C1)1 y

(C1)2 y

(C1)3 yr

z(C1)1 z

(C1)2 z

(C1)3 zr

1

(3.40)

donde x(C1)j , y

(C1)j z

(C1)j son las coordenadas de los vertices V

(C1)j , j = 1, 2, 3 y xr, yr, zr las

del vertice Vr.

La matriz jacobiana de dicha transformacion viene dada por:

[Jc] =

x

x

x

y

y

y

z

z

z

=

x(C1)2 x

(C1)1 x

(C1)3 x

(C1)1 xr x

(C1)1

y(C1)2 y

(C1)1 y

(C1)3 y

(C1)1 yr y

(C1)1

z(C1)2 z

(C1)1 z

(C1)3 z

(C1)1 zr z

(C1)1

(3.41)

Para ser estrictos, para que esta transformacion geometrica estuviese completamentebien definida habra de cumplirse |Jc| > 0. Sin embargo, con los propositos para los cualesse ha definido (realizar la integracion numerica del cuadrado del residuo singular) bastacon cambiar |Jc| por el valor absoluto de |Jc| cuando sea necesario.

Una vez tenemos la transformacion canonica, ya que esta posee una matriz jacobianaconstante, basta con realizar:

k /D

|rsk,tn |2dk = |Jc| 1

=0

1

=0|rsk,tn |2dd (3.42)


La integral en el segundo termino se realiza mediante la cuadratura de Gauss-Legendre ya mencionada:

1

=0

1

=0|rsk,tn |2dd =

3

m=1

wm|rsk,tn |2

A(C)m

(3.43)

donde wm corresponden a los pesos de Gauss-Legendre que en este caso son wm = 1/6,m =1, 2, 3.

Finalmente, de las ecuaciones 3.36, 3.42 y 3.43 tenemos que la medida del residuosingular en cada cara puede ser expresada como:

k /D

|~rsk |2dk =|Jc|6

3

n=1

3

m=1

|rsk,tn |2

A(C)m

(3.44)

3.3. Indicador de Error de tipo Zienkiewicz-Zhu

3.3.1. Indicadores de error de tipo Zienkiewicz-Zhu mediante recupera-

cion por parches con ajuste por mnimos cuadrados

Los indicadores de error de tipo Zienkiewicz-Zhu fueron presentados por primera vezen [Zienkiewicz and Zhu, 1987]. En ellos, se sustituye alguna cantidad obtenida medianteel metodo de los elementos finitos por esa misma cantidad recuperada o suavizada obte-nida a su vez de algun tipo de postproceso especfico, y se asume que esta ultima es masexacta que la anterior. Esta cantidad puede ser el campo solucion ~V , o alguna expresionrelacionada con el mismo (como ~V , etc.). Una vez mas, en la literatura se encuentrangran numero de ejemplos de aplicacion en otros campos de la ingeniera distintos del elec-tromagnetismo, donde suelen aparecer variables de tipo escalar; en muchos de esos casos,se toma como cantidad a recuperar el gradiente de dicha variable (consultar, por ejemplo,[Kunert and Nicaise, 2003, Zhang and Victory, 1996]), por lo que quiza la extrapolacioninmediata que se puede hacer a una cantidad de tipo vectorial sea su rotacional, comose propone en [Daz-Morcillo, 2000], aunque en dicha referencia el autor no especifica elmotivo de tal eleccion mas alla de que en el tipo de elementos usados el rotacional seaconstante en todo el elemento.

En nuestro caso, llamando ~ a la cantidad obtenida en un postproceso directo (segunlas expresiones deducidas en la seccion 2.3 y en la cual basaremos nuestro indicador,procederemos a aplicar una tecnica de recuperacion por parches para obtener una solucionsuavizada o recuperada de la misma, ~R . Entendemos por parche el conjunto de elementosque comparten un mismo vertice de la malla. As pues, habra tantos parches como verticesen la malla, aunque,como se describe mas adelante, no todos seran validos para realizarla recuperacion

El proceso de obtencion ~R comienza con el calculo del valor de la funcion ~ enel baricentro de cada tetraedro; la eleccion de este punto para elementos triangulareslineales se discute ampliamente en [Daz-Morcillo, 2000] y [Duran et al., 1991], y, aunqueno se corresponden con los elementos aqu usados, aplicaremos por extension este criterio.Seguidamente, para cada parche, se ha de calcular el vector cantidad en el parche, quedefinimos como ~P ; cada una de las componentes del mismo respondera a una funcion

3.3 Indicador de Error de tipo Zienkiewicz-Zhu 29

lineal tridimensional 1 de la forma:

Pti = cti0 + c

ti1 x + c

ti2 y + c

ti3 z = {P}(cti )

t1 = x, t2 = y, t3 = z(3.45)

donde:

{P} =

1

x

y

z

, (cti) =(

cti0 cti1 c

ti2 c

ti3

)

(3.46)

Para hallar los coeficientes (cti) de cada parche, realizaremos un ajuste por mnimoscuadrados de los valores en los puntos de muestro ti(xj , yj, zj) (baricentros de los ele-mentos que lo componen) a la funcion Pti . De la seccion 2.3 se recuerda que los valoresti(xj , yj, zj) se pueden obte

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