Trabajo y Energía

Dinámica I

Autores: Cantos Pluas Joel Di Lorenzo León Israel Piedra Pineda Robert Revelo losa David Tumbaco Toala Renato

PROLOGO

Presentamos a los estudiantes de la universidad politécnica salesiana (UPS)

sede Guayaquil un proyecto de Dinámica I en el cual realizaremos la

resolución de un ejercicio que tiene que ver con respecto al tema de Trabajo y

Energía.

La dinámica es la parte de la física que describe la evolución en el tiempo

de un sistema físico en relación a las causas que provocan los cambios

de estado físico y/o estado de movimiento. El objetivo de la dinámica es

describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema físico,

cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución

para dicho sistema de operación.

ÍNDICE

1. Presentación

2. Introducción

3. Diseño y Elaboración del proyecto

4. Planteamiento del problema

5. Idea o solución

6. Ejecución del problema

7. Trabajo Practico

8. Recomendaciones

9. Conclusión

10. Materiales

PRESENTACIÓN

La formulación del proyecto está presente en la vida cotidiana en especial en nuestra carrera como la ingeniería, y no siempre ha sido fácil su comprensión y análisis. El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos, relativistas o cuánticos), pero también en la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se desarrollaran los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, dejándose para otros artículos el estudio de la dinámica en sistemas no-mecánicos.

La dinámica estudia el movimiento de los objetos y de su respuesta a las fuerzas. Las descripciones del movimiento comienzan con una definición cuidadosa de magnitudes como el desplazamiento, el tiempo, la velocidad, la aceleración, la masa y la fuerza.

Isaac Newton demostró que la velocidad de los objetos que caen aumenta continuamente durante su caída. Esta aceleración es la misma para objetos pesados o ligeros, siempre que no se tenga en cuenta la resistencia del aire (rozamiento). Newton mejoró este análisis al definir la fuerza y la masa, y relacionarlas con la aceleración.

Para los objetos que se desplazan a velocidades próximas a la velocidad de la luz, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría de la relatividad de Albert Einstein. Para las partículas atómicas y subatómicas, las leyes de Newton han sido sustituidas por la teoría cuántica. Pero para los fenómenos de la vida diaria, las tres leyes del movimiento de Newton siguen siendo la piedra angular de la dinámica (el estudio de las causas del cambio en el movimiento).

.

INTRODUCCIÓN

La primera contribución importante se debe a Aristóteles. Aristóteles

define, el movimiento, lo dinámico, como "La realización acto, de una

capacidad o posibilidad de ser potencia, en tanto que se está

actualizando". El problema está en que Aristóteles invierte el estudio de la

cinemática y dinámica, estudiando primero las causas del movimiento y

después el movimiento de los cuerpos.

Este error dificultó el avance en el conocimiento del fenómeno del

movimiento hasta, en primera instancia, San Alberto Magno, que fue

quien advirtió este error, y, en ultima instancia hasta, Galileo Galilei e

Isaac Newton. De hecho, Thomas Bradwardine, en 1328, presentó en su

De proportionibus velocitatum in motibus una ley matemática que

enlazaba la velocidad con la proporción entre motivos a fuerzas de

resistencia; su trabajo influyó la dinámica medieval durante dos siglos,

pero, por lo que se ha llamado un accidente matemático en la definición

de «acrecentar», su trabajo se descartó y no se le ha dio reconocimiento

histórico en su día.1

Ya con Galileo sus experimentos sobre cuerpos uniformemente

acelerados condujeron a Newton a formular sus leyes fundamentales del

movimiento, las cuales presentó en su obra principal Philosophiae

Naturalis Principia Mathematica Los científicos actuales consideran que

las leyes que formuló Newton dan las respuestas correctas a la mayor

parte de los problemas relativos a los cuerpos en movimiento, pero

existen excepciones.

En particular, las ecuaciones para describir el movimiento no son

adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la

velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente

pequeños comparables a los tamaños moleculares.

La comprensión de las leyes de la dinámica clásica le ha permitido al

hombre determinar el valor, dirección y sentido de la fuerza que hay que

aplicar para que se produzca un determinado movimiento o cambio en el

cuerpo. Por ejemplo, para hacer que un cohete se aleje de la Tierra, hay

que aplicar una determinada fuerza para vencer la fuerza de gravedad

que lo atrae; de la misma manera, para que un mecanismo transporte una

determinada carga hay que aplicarle la fuerza adecuada en el lugar

adecuado.

DISEÑO Y ELABORACIÓN DEL PROYECTO

La dinámica, es una parte de la mecánica que estudia el movimiento, a

partir del concepto causa lista que, si la velocidad de un cuerpo varía, es

debido a una causa. La causa que provoca este cambio es lo que en la

actualidad le llamamos fuerza, palabra que deriva del latín “forrita”, y

cuyo concepto deriva de la palabra griega “δΰναμιζ” (dynamiz), de donde

surge el nombre de dinámica.

Por lo antes expuesto, podemos decir que la dinámica es la parte de la

física que estudia las fuerzas, y debemos definir cuantitativamente el

concepto fuerza para darle carácter de magnitud física.

Dentro del modelo que expondremos, consideraremos que un cuerpo

es puntual, si los efectos de rotación o giro sobre si mismo los podemos

despreciar, modelizándolo como un cuerpo sin extensión, un punto.

El primer hombre que conocemos, que intentó definir

cuantitativamente la fuerza, fue Isaac Newton (1642-1727)

sistematizando la dinámica, por lo que comenzaremos analizando su

modelo y sus consecuencias.

En su libro “Philosophiae naturalis principia matemática” publicado en

1687 en Latín (idioma culto de la época), Newton comienza realizando un

conjunto de definiciones de las cuales transcribimos, de la publicación en

inglés de la tercera edición, las que consideramos más importantes a los

efectos de poder entender su modelo.

Cálculo en dinámica

A través de los conceptos de desplazamiento, velocidad y aceleración es

posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar

cómo han sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre

de cinemática. Por el contrario, la dinámica es la parte de la mecánica que

se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la acción

de las fuerzas.

El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del

movimiento y su integración. Para problemas extremadamente sencillos

se usan las ecuaciones de la mecánica newtoniana directamente

auxiliados de las leyes de conservación. La ecuación esencial de la

dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) F=m*a

donde F es la resultante de las fuerzas aplicadas, el m la masa y la a la

aceleración.

Trabajo y energía

Se denomina trabajo infinitesimal realizado por una fuerza sobre una partícula que experimenta un desplazamiento elemental, al producto escalar de la fuerza por el desplazamiento.

Obsérvese el carácter escalar del trabajo cuyas dimensiones son ML2T-2 siendo el Julio la unidad en el S.I.

Si pretendemos calcular el trabajo finito entre dos posiciones (A y B) habríamos de integrar la expresión (1.1)

Si pretendemos calcular el trabajo finito entre dos posiciones (A y B) habríamos de integrar la expresión (1.1) quedándonos:

A y B, límites de integración (posiciones de la partícula); C, línea de ciculación (trayectoria).

En general el trabajo realizado sobre una partícula depende de la fuerza que lo realiza, de las posiciones inicial y final y de la trayectoria seguida por la partícula.

En el caso particular de una fuerza constante que coincide en dirección y sentido con el desplazamiento:

Quedándonos la expresión particular para el trabajo aprendida en cursos anteriores..

Se define potencia instantánea a la variación con el tiempo del trabajo... P=dT/dt, P=Fdr/dt, P=Fv; la potencia media se obtendría multiplicando la fuerza escalarmente por el incremento de la velocidad. La ecuación de dimensiones de la potencia es ML2T-3 y su unidad en el S.I. el watio; otras unidades utilizadas son el caballo de vapor (CV=735 w) y el caballo de vapor inglés (HP=746w).

Teorema del trabajo y de la energía cinética

Sea F la fuerza neta aplicada a una partícula que se mueve a través de una trayectoria C entre las posiciones A y B...

Sabemos que

Al ser F la fuerza neta (Newton; F=ma,F=mdv/dt),sustituyendo nos queda:

El trabajo total realizado sobre una partícula que se desplaza entre dos posiciones A y B a través de C coincide con la variación de la energía cinética de la partícula entre ambas posiciones.

Sistema de Unidades SI

El Sistema Internacional de Unidades (abreviado SI del francés: Le

Système International d'Unités), también denominado Sistema

Internacional de Medidas, es el nombre que recibe el sistema de

unidades que se usa en todos los países y es la forma actual del sistema

métrico decimal. El SI también es conocido como «sistema métrico»,

especialmente en las naciones en las que aún no se ha implantado para su

uso cotidiano. Fue creado en 1960 por laConferencia General de Pesos y

Medidas, que inicialmente definió seis unidades físicas básicas.

En 1971 se añadió la séptima unidad básica, el mol.

Una de las principales características, que constituye la gran ventaja

del Sistema Internacional, es que sus unidades están basadas en

fenómenos físicos fundamentales. La única excepción es la unidad de la

magnitud masa, el kilogramo, que está definida como «la masa del

prototipo internacional del kilogramo» o aquel cilindro de platino e iridio

almacenado en una caja fuerte de la Oficina Internacional de Pesos y

Medidas.

Las unidades del SI son la referencia internacional de las indicaciones

de los instrumentos de medida y a las que están referidas a través de una

cadena ininterrumpida de calibraciones o comparaciones. Esto permite

alcanzar la equivalencia de las medidas realizadas por instrumentos

similares, utilizados y calibrados en lugares apartados y por ende

asegurar, sin la necesidad de ensayos y mediciones duplicadas, el

cumplimiento de las características de los objetos que circulan en el

comercio internacional y su intercambiabilidad.

W = mg(N) (g = 9.81 m/s^2)

Segunda ley de Newton o Ley de fuerza

La segunda ley del movimiento de Newton dice que el cambio de

movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa y ocurre según la

línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime.

Esta ley explica qué ocurre si sobre un cuerpo en movimiento (cuya

masa no tiene por qué ser constante) actúa una fuerza neta: la fuerza

modificará el estado de movimiento, cambiando la velocidad en módulo o

dirección. En concreto, los cambios experimentados en la cantidad de

movimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se

desarrollan en la dirección de esta; esto es, las fuerzas son causas que

producen aceleraciones en los cuerpos. Consecuentemente, hay relación

entre la causa y el efecto, esto es, la fuerza y la aceleración están

relacionadas. Dicho sintéticamente, la fuerza se define simplemente en

función del momento en que se aplica a un objeto, con lo que dos fuerzas

serán iguales si causan la misma tasa de cambio en el momento del

objeto.

En términos matemáticos esta ley se expresa mediante la relación:

Donde es la cantidad de movimiento y la fuerza total. Si

suponemos la masa constante y nos manejamos con velocidades que no

superen el 10% de la velocidad de la luz podemos reescribir la ecuación

anterior siguiendo los siguientes pasos:

Sabemos que es la cantidad de movimiento, que se puede escribir

m.V donde m es la masa del cuerpo y V su velocidad.

Consideramos a la masa constante y podemos escribir

aplicando estas modificaciones a la ecuación anterior:

Que es la ecuación fundamental de la dinámica, donde la constante de

proporcionalidad, distinta para cada cuerpo, es su masa de inercia.

Veamos lo siguiente, si despejamos m de la ecuación anterior obtenemos

que m es la relación que existe entre y . Es decir la relación que hay

entre la fuerza aplicada al cuerpo y la aceleración obtenida. Cuando un

cuerpo tiene una gran resistencia a cambiar su aceleración (una gran

masa) se dice que tiene mucha inercia. Es por esta razón por la que la

masa se define como una medida de la inercia del cuerpo.

Por tanto, si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula no es

cero, esta partícula tendrá una aceleración proporcional a la magnitud de

la resultante y en dirección de ésta. La expresión anterior así establecida

es válida tanto para la mecánica clásica como para la mecánica relativista,

a pesar de que la definición de momento lineal es diferente en las dos

teorías: mientras que la dinámica clásica afirma que la masa de un cuerpo

es siempre la misma, con independencia de la velocidad con la que se

mueve, la mecánica relativista establece que la masa de un cuerpo

aumenta al crecer la velocidad con la que se mueve dicho cuerpo.

De la ecuación fundamental se deriva también la definición de la

unidad de fuerza o newton (N). Si la masa y la aceleración valen 1, la

fuerza también valdrá 1; así, pues, el newton es la fuerza que aplicada a

una masa de un kilogramo le produce una aceleración de 1 m/s². Se

entiende que la aceleración y la fuerza han de tener la misma dirección y

sentido.

La importancia de esa ecuación estriba sobre todo en que resuelve el

problema de la dinámica de determinar la clase de fuerza que se necesita

para producir los diferentes tipos de movimiento: rectilíneo uniforme

(m.r.u), circular uniforme (m.c.u) y uniformemente acelerado (m.r.u.a).

Si sobre el cuerpo actúan muchas fuerzas, habría que determinar

primero el vector suma de todas esas fuerzas. Por último, si se tratase de

un objeto que cayese hacia la tierra con una resistencia del aire igual a

cero, la fuerza sería su peso, que provocaría una aceleración descendente

igual a la de la gravedad.

Concepto de trabajo

Se denomina trabajo infinitesimal, al producto escalar del vector fuerza

por el vector desplazamiento.

Donde Ft es la componente de la fuerza a lo largo del

desplazamiento, ds es el módulo del vector desplazamiento dr, y q el

ángulo que forma el vector fuerza con el vector desplazamiento.

El trabajo total a lo largo de la trayectoria entre los puntos A y B es la

suma de todos los trabajos infinitesimales

Su significado geométrico es el área bajo la representación gráfica de la

función que relaciona la componente tangencial de la fuerzaFt, y el

desplazamiento s.

Ejemplo:

Calcular el trabajo necesario para estirar un muelle 5 cm, si la

constante del muelle es 1000 N/m.

La fuerza necesaria para deformar un muelle es F=1000·x N, donde x es

la deformación. El trabajo de esta fuerza se calcula mediante la integral

El área del triángulo de la figura es

(0.05·50)/2=1.25 J

Cuando la fuerza es constante, el trabajo se obtiene multiplicando la

componente de la fuerza a lo largo del desplazamiento por el

desplazamiento.

W=Ft·s

Ejemplo

Calcular el trabajo de una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de

aplicación se traslada 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y

del desplazamiento son 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

Si la fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido, el trabajo es

positivo

Si la fuerza y el desplazamiento tienen sentidos contrarios, el trabajo es

negativo

Si la fuerza es perpendicular al desplazamiento, el trabajo es nulo.

Concepto de energía cinética

Supongamos que F es la resultante de las fuerzas que actúan sobre una

partícula de masa m. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia

entre el valor final y el valor inicial de la energía cinética de la partícula.

En la primera línea hemos aplicado la segunda ley de Newton; la

componente tangencial de la fuerza es igual a la masa por la aceleración

tangencial.

En la segunda línea, la aceleración tangencial at es igual a la derivada

del módulo de la velocidad, y el cociente entre el desplazamiento ds y el

tiempo dt que tarda en desplazarse es igual a la velocidad v del móvil.

Se define energía cinética como la expresión

El teorema del trabajo-energía indica que el trabajo de la resultante de

las fuerzas que actúa sobre una partícula modifica su energía cinética.

Ejemplo:

Hallar la velocidad con la que sale una bala después de atravesar una

tabla de 7 cm de espesor y que opone una resistencia constante

de F=1800 N. La velocidad inicial de la bala es de 450 m/s y su masa es de

15 g.

El trabajo realizado por la fuerza F es -1800·0.07=-126 J

La velocidad final v es

Fuerza conservativa. Energía potencial

Una fuerza es conservativa cuando el trabajo de dicha fuerza es igual a

la diferencia entre los valores iniciales y final de una función que solo

depende de las coordenadas. A dicha función se le denomina energía

potencial.

El trabajo de una fuerza conservativa no depende del camino seguido

para ir del punto A al punto B.

El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de un camino cerrado

es cero.

Ejemplo

Sobre una partícula actúa la fuerza F=2xyi+x2j N

Calcular el trabajo efectuado por la fuerza a lo largo del camino cerrado ABCA.

La curva AB es el tramo de parábola y=x2/3.

BC es el segmento de la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3) y

CA es la porción del eje Y que va desde el origen al punto (0,1)

El trabajo infinitesimal dW es el producto escalar del vector fuerza por el vector desplazamiento

dW=F·dr=(Fxi+Fyj)·(dxi+dyj)=Fxdx+Fydy

Las variables x e y se relacionan a través de la ecuación de la

trayectoria y=f(x), y los desplazamientos infinitesimales dx y dy se

relacionan a través de la interpretación geométrica de la

derivada dy=f’(x)·dx. Donde f’(x) quiere decir, derivada de la funciónf(x)

con respecto a x.

Vamos a calcular el trabajo en cada unos de los tramos y el trabajo total

en el camino cerrado.

Tramo AB

Trayectoria y=x2/3, dy=(2/3)x·dx.

Tramo BC

La trayectoria es la recta que pasa por los puntos (0,1) y (3,3). Se trata

de una recta de pendiente 2/3 y cuya ordenada en el origen es 1.

y=(2/3)x+1, dy=(2/3)·dx

Tramo CD

La trayectoria es la recta x=0, dx=0, La fuerza F=0 y por tanto, el

trabajo WCA=0

El trabajo total

WABCA=WAB+WBC+WCA=27+(-27)+0=0

El peso es una fuerza conservativa

Calculemos el trabajo de la fuerza peso F=-mg j cuando el cuerpo se

desplaza desde la posición A cuya ordenada es yA hasta la posición B cuya

ordenada es yB.

La energía potencial Ep correspondiente a la fuerza conservativa peso

tiene la forma funcional

Donde c es una constante aditiva que nos permite establecer el nivel

cero de la energía potencial.

La fuerza que ejerce un muelle es conservativa

Como vemos en la figura cuando un muelle se deforma x, ejerce una

fuerza sobre la partícula proporcional a la deformación x y de signo

contraria a ésta.

Para x>0, F=-kx

Para x<0, F=kx

El trabajo de esta fuerza es, cuando la partícula se desplaza desde la

posición xA a la posición xB es

La función energía potencial Ep correspondiente a la fuerza

conservativa F vale

El nivel cero de energía potencial se establece del siguiente modo:

cuando la deformación es cero x=0, el valor de la energía potencial se

toma cero, Ep=0, de modo que la constante aditiva vale c=0.

Principio de conservación de la energía

Si solamente una fuerza conservativa F actúa sobre una partícula, el

trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y final

de la energía potencial

Como hemos visto en el apartado anterior, el trabajo de la resultante de

las fuerzas que actúa sobre la partícula es igual a la diferencia entre el

valor final e inicial de la energía cinética.

Igualando ambos trabajos, obtenemos la expresión del principio de

conservación de la energía

EkA+EpA=EkB+EpB

La energía mecánica de la partícula (suma de la energía potencial más

cinética) es constante en todos los puntos de su trayectoria.

Comprobación del principio de conservación de la energía

Un cuerpo de 2 kg se deja caer desde una altura de 3 m.

Calcular

La velocidad del cuerpo cuando está a 1 m de altura y

cuando llega al suelo, aplicando las fórmulas del movimiento

rectilíneo uniformemente acelerado

La energía cinética potencial y total en dichas posiciones

Tomar g=10 m/s2

Posición inicial x=3 m, v=0.

Ep=2·10·3=60 J, Ek=0, EA=Ek+Ep=60 J

Cuando x=1 m

Ep=2·10·1=20 J, Ek=40, EB=Ek+Ep=60 J

Cuando x=0 m

Ep=2·10·0=0 J, Ek=60, EC=Ek+Ep=60 J

La energía total del cuerpo es constante. La energía potencial

disminuye y la energía cinética aumenta.

Fuerzas no conservativas

Para darnos cuenta del significado de una fuerza no conservativa,

vamos a compararla con la fuerza conservativa peso.

El peso es una fuerza conservativa.

Calculemos el trabajo de la fuerza peso cuando la partícula se traslada

de A hacia B, y a continuación cuando se traslada de B hacia A.

WAB=mg x

WBA=-mg x

El trabajo total a lo largo el camino cerrado A-

B-A, WABA es cero.

La fuerza de rozamiento es una fuerza no conservativa

Cuando la partícula se mueve de A hacia B, o de B hacia A la fuerza de

rozamiento es opuesta al movimiento, el trabajo es negativo por que la

fuerza es de signo contrario al desplazamiento

WAB=-Fr x

WBA=-Fr x

El trabajo total a lo largo del

camino cerrado A-B-A, WABA es

distinto de cero

WABA=-2Fr x

Balance de energía

En general, sobre una partícula actúan fuerzas conservativas Fc y no

conservativas Fnc. El trabajo de la resultante de las fuerzas que actúan

sobre la partícula es igual a la diferencia entre la energía cinética final

menos la inicial.

El trabajo de las fuerzas conservativas es igual a la diferencia entre la

energía potencial inicial y la final

Aplicando la propiedad distributiva del producto escalar obtenemos

que

El trabajo de una fuerza no conservativa modifica la energía mecánica

(cinética más potencial) de la partícula.

Ejemplo 1

Un bloque de masa 0.2 kg inicia su movimiento hacia arriba, sobre un

plano de 30º de inclinación, con una velocidad inicial de 12 m/s. Si el

coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0.16. Determinar:

La longitud x que recorre el bloque a lo largo del plano hasta que se

para

La velocidad v que tendrá el bloque al regresar a la base del plano

Cuando el cuerpo asciende por el plano inclinado

La energía del cuerpo en A es EA=½0.2·122=14.4 J

La energía del cuerpo en B es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x J

El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de A a

B es

W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·x=-0.272·x J

De la ecuación del balance energético W=EB-EA, despejamos x=11.5

m, h=x·sen30º=5.75 m

Cuando el cuerpo desciende

La energía del cuerpo en B

es EB=0.2·9.8·h=1.96·h =0.98·x=0.98·11.5=11.28 J

La energía del cuerpo en la base del plano EA==½0.2·v2

El trabajo de la fuerza de rozamiento cuando el cuerpo se desplaza de B a

A es

W=-Fr·x=-μ·mg·cosθ·x=-0.16·0.2·9.8·cos30·11.5=-3.12 J

De la ecuación del balance energético W=EA-EB, despejamos v=9.03 m/s.

Ejemplo 2

Una partícula de masa m desliza sobre una superficie en forma de

cuarto de circunferencia de radio R, tal como se muestra en la figura.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula son:

El peso mg

La reacción de la superficie N, cuya dirección es radial

La fuerza de rozamiento Fr, cuya dirección es tangencial y cuyo sentido

es opuesto a la velocidad de la partícula.

Descomponiendo el peso mg, a lo largo de la dirección tangencial y

normal, escribimos la ecuación del movimiento de la partícula en la

dirección tangencial

mat=mg·cosθ-Fr

Donde at=dv/dt es la componente tangencial de la aceleración.

Escribimos en forma de ecuación diferencial la ecuación del movimiento

Calculamos el trabajo Wr realizado por la fuerza de rozamiento. La

fuerza de rozamiento es de sentido contrario al desplazamiento

Teniendo en cuenta que el deslazamiento es un

pequeño arco de circunferencia dl=R·dθ y que

El trabajo realizado por la fuerza no conservativa Fr vale

Si el móvil parte del reposo v=0, en la posición θ=0. Cuando llega a la

posición θ

La energía cinética se ha incrementado en mv2/2.

La energía potencial ha disminuido en mgRsenθ.

El trabajo de la fuerza de rozamiento es igual a la diferencia entre la

energía final y la energía inicial o bien, la suma de la variación de energía

cinética más la variación de energía potencial.

El trabajo total de la fuerza de rozamiento cuando la partícula describe

el cuarto de círculo es

Ecuaciones del movimiento

Existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que

permitan predecir la evolución en el tiempo de un sistema mecánico en

función de las condiciones iniciales y las fuerzas actuantes. En mecánica

clásica existen varias formulaciones posibles para plantear ecuaciones:

La mecánica newtoniana que recurre a escribir

directamente ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden en

términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este sistema conduce a

ecuaciones difícilmente integrables por medios elementales y sólo se usa

en problemas extremadamente sencillos, normalmente usando sistemas

de referenciainerciales.

La mecánica lagrangiana, este método usa también ecuaciones

diferenciales ordinarias de segundo orden, aunque permite el uso de

coordenadas totalmente generales, llamadascoordenadas generalizadas,

que se adapten mejor a la geometría del problema planteado. Además las

ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia sea

éste inercial o no. Además de obtener sistemas más fácilmente integrables

el teorema de Noether y las transformaciones de coordenadas permiten

encontrar integrales de movimiento, también llamadas leyes de

conservación, más sencillamente que el enfoque newtoniano.

La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior pero en él las

ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales ordinarias son de

primer orden. Además la gama de transformaciones de coordenadas

admisibles es mucho más amplia que en mecánica lagrangiana, lo cual

hace aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades

conservadas.

El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de

una ecuación diferencial en derivadas parciales mediante el método

de separación de variables, que resulta el medio más sencillo cuando se

conocen un conjunto adecuado de integrales de movimiento.

Diagrama de cuerpo libre

Un diagrama de cuerpo libre es una representación gráfica utilizada a

menudo por físicos e ingenieros para analizar las fuerzas que actúan

sobre un cuerpo libre. El diagrama de cuerpo libre es un elemental caso

particular de un diagrama de fuerzas. En español, se utiliza muy a

menudo la expresión diagrama de fuerzas como equivalente a diagrama

de cuerpo libre, aunque lo correcto sería hablar de diagrama de fuerzas

sobre un cuerpo libre o diagrama de fuerzas de sistema aislado. Estos

diagramas son una herramienta para descubrir las fuerzas desconocidas

que aparecen en las ecuaciones del movimiento del cuerpo. El diagrama

facilita la identificación de las fuerzas y momentos que deben tenerse en

cuenta para la resolución del problema. También se emplean para el

análisis de las fuerzas internas que actúan en estructuras

Lo que hay que incluir

El esquema del cuerpo debe llegar solo al nivel de detalle necesario. Un

simple esbozo puede ser suficiente y en ocasiones, dependiendo del

análisis que se quiera realizar, puede bastar con un punto.

Todas las fuerzas externas se representan

mediante vectores etiquetados de forma adecuada. Las flechas indican la

dirección y magnitud de las fuerzas y, en la medida de lo posible, deberían

situarse en el punto en que se aplican.

Solo se deben incluir las fuerzas que actúan sobre el objeto, ya sean

de rozamiento, gravitatorias, normales, de arrastre o de contacto. Cuando

se trabaja con un sistema de referencia no inercial, es apropiado

incluir fuerzas ficticias como la centrífuga.

Se suele trabajar con el sistema de coordenadas más conveniente, para

simplificar las ecuaciones. El sentido del eje x puede hacerse coincidir con

la dirección de descenso de un plano inclinado, por ejemplo, y así la

fuerza de rozamiento sólo tiene componente en esa coordenada, mientras

que la normal sigue el eje y. La fuerza gravitatoria, en este caso, tendrá

componentes según los dos ejes, mg sen (theta) in el x y mg cos (theta) en

el y, donde theta es el ángulo que forma el plano con la superficie

horizontal

Cinemática

Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten

definir inequívocamente la posición de cualquier punto de un espacio

euclídeo (o más generalmente variedad diferenciable). En física clásica se

usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales, caracterizados

por un punto denominado origen y un conjunto de ejes perpendiculares

que constituyen lo que se denomina sistema de referencia Podemos

llamarla bidimensional.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Los bloque A y B mostrados en la figura tienen masa de 3.863 kg y 2.159

kg respectivamente. Determine la distancia de B recorre desde el punto

donde es liberado del reposo hasta el punto en que su rapidez es de 2m/s.

IDEA O SOLUCION

TRABAJO PRÁCTICO

Realizando los planos básicos del trabajo practico

Cálculos del proyecto

Realizando el trabajo practico del proyecto

Construcción de las cajas del proyecto

RECOMENDACIONES

Al realizar este proyecto las recomendaciones como grupo es que

siempre hay que tener en cuenta que cualquier ejercicio por fácil sencillo

o difícil que sea siempre se lo tiene que realizar con un debido proceso en

el cual se tiene que plantear el ejercicio primero realizar tomando muy en

cuenta el método por el cual se lo realiza y no solo comprobarlo haciendo

cálculos si no también la comprobación en realizando la maqueta

probando con pesos más grandes de los que se puede calcular.

En la elaboración de este proyecto se toma en cuenta la realización

correcta la maqueta que tiene que estar muy bien hecha para que pueda

funcionar de forma correcta de acuerdo con los datos que se obtienen

después de realizar los cálculos.

CONCLUCIÓN

La finalidad del análisis de las estructuras es determinar las fuerzas

externas (componentes de reacción) y las fuerzas internas (resultantes de

esfuerzos). Las fuerzas deben satisfacer las condiciones de equilibrio y

producir deformaciones compatibles con la continuidad de la estructura y

las condiciones de apoyo. Como ya se ha visto, las ecuaciones de

equilibrio no son suficientes para determinar las fuerzas desconocidas en

una estructura estáticamente indeterminada y es necesario

complementarlas con relaciones.

MATERIALES

Los materiales que usamos para hacer la maqueta son:

- Madera

- Taladro

- Tuercas

- Arandelas

- Pintura

- Metro

- Lápiz

- Escuadra

- Perno

- Tornillos

- Aglomerado

- Lija

- Franela

BIBLIOGRAFIA

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http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Libro_de_visitas

http://es.wikibooks.org/wiki/F%C3%ADsica/Din%C3%A1mica

http://html.rincondelvago.com/fisica-dinamica_1.html

http://www.monografias.com/trabajos-pdf/dinamica-fisica/dinamica-fisica.shtml

http://www.fisica-facil.com/Temario/Dinamica/Teorico/Newton/Dinamica.htm

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Ing. Ángel Acosta

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Joel Cantos Israel Di Lorenzo

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Robert Piedra David Revelo

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Renato Tumbaco

“…solo se fracasa cuando se deja de intentar…”