Proyecto: Red De Distribución Cerrada De Agua Potable Por El Método De Hardy Cross – Norma Os- 050

DEDICATORIA

El presente trabajo es dedicado a la

persona que día a día nos brinda

información, tiempo, comprensión

para ampliar nuestros

conocimientos.

RESUMEN:

En este trabajo se presentan dos versiones del Método de Hardy Cross para

analizar redes cerradas de tuberías. Empleando una ecuación particular de

resistencia para el cálculo de la pérdida de carga en los tramos de la red.

La primer, el Método de Hardy Cross emplea la ecuación de Hazen & Weisbach

operando simultáneamente, con la ecuación de Colebrook & White, para el cálculo

del coeficiente de fricción, f.

La segunda, el Método de Hardy Cross emplea la ecuación de DARCY &

WEISBACH

INTRODUCCION:

El agua es un elemento esencial para la vida, por lo que las antiguas civilizaciones

se ubicaron a lo largo de los ríos. Más tarde, los avances técnicos le permitieron al

hombre transportar y almacenar el agua, así como extraerla del subsuelo, por lo

cual los asentamientos humanos se han esparcido lejos de ríos y de otras fuentes

superficiales de agua.

Actualmente, su uso en las poblaciones es diverso, como lo es para consumo

humano, en el aseo personal, y en actividades como la limpieza doméstica y en la

cocción de los alimentos. Además se usa para fines comerciales, públicos e

industriales; también en la irrigación, la generación de energía eléctrica, la

navegación y en recreación.

De la misma forma que ha evolucionado el uso del agua, lo ha hecho el término

"abastecimiento de agua" que en nuestros días conlleva el proveer a las

localidades urbanas y rurales de un volumen suficiente de agua, con una calidad

requerida y a una presión adecuada.

Un sistema moderno de abastecimiento de agua se compone de instalaciones

para la captación, almacenamiento, conducción, bombeo, tratamiento y

distribución. La distribución es dotar de agua al usuario para su consumo.

Una red cerrada de tuberías es aquella en la cual los conductos o tuberías que la

componen se ramifican sucesivamente, conformando circuitos o anillos cerrados.

Un circuito es cualquier trayectoria cerrada que puede recorrer una partícula fluida,

partiendo desde un punto o nudo de la red, fluyendo por distintos tramos, hasta

llegar al punto de partida.

Las redes urbanas de distribución de agua potable, las redes de distribución de

gas para usuarios urbanos, las redes de distribución de agua en distritos de riego,

las redes de distribución de gas en sistemas de refrigeración, las redes de

distribución de aceite en sistemas de lubricación y las redes de distribución de aire

en sistema de ventilación, son ejemplos clásicos de conformación de redes

cerradas de tuberías. Sin embargo, en esta oportunidad, el análisis se centrará en

las redes de distribución de agua, cuya aplicación es de gran interés para los

profesionales de las Ingenierías Hidráulica, Minas, Civil, Industrial, Agrícola y

Sanitaria.

Las redes urbanas de distribución de agua forman ramificaciones sucesivas de

tuberías, siguiendo el trazado de las calles y vías de acceso, conformando

circuitos o anillos cerrados, de manera que el agua, en un nudo de la red, puede

venir por dos o más direcciones distintas, lo cual presenta la ventaja de no

interrumpirse el suministro en los eventos de reparación o de mantenimiento.

El análisis de una red cerrada de tuberías conduce al planteamiento de un sistema

de ecuaciones no lineales, de solución muy laboriosa, que solamente es posible

resolver por métodos de aproximaciones sucesivas, uno de los cuales es el

Método de Hardy Cross.

Este documento tiene como objetivo el presentar los conceptos básicos de redes

cerrada de distribución de agua, así como la metodología del análisis de la red

tomando en cuenta el Método de Hardy Cross, conclusiones y recomendaciones

para un correcto análisis de la red.

4.6 MARCO TEORICO

RED DE DISTRIBUCION

AGUERO PITTMAN, Roger “Agua Potable Para Población Rural”

La red de distribución es el conjunto de tuberías de diferentes diámetros,

válvulas, grifos y demás accesorios cuyo origen está en el punto de entrada al

pueblo (final de la línea de aducción) y que se desarrolla por todas las calles de la

población.

COMISIÓN NACIONAL DEL AGUA “Manual De Agua Potable,

Alcantarillado Y Saneamiento” Edición 2007

Una red de distribución (que se denominará en lo sucesivo red) es el conjunto de

tuberías, accesorios y estructuras que conducen el agua desde tanques de

servicio o de distribución hasta las tomas domiciliarias o hidrantes públicos. Su

finalidad es proporcionar agua a los usuarios para consumo doméstico, público,

comercial, industrial y para condiciones extraordinarias como el extinguir

incendios.

ORGANISACION PANAMERICANA DE LA SALUD “Guía Para El Diseño De

Redes De Distribución En Sistemas Rurales De Abastecimiento De Agua”

La red de distribución está considerada por todo el sistema de tuberías desde el

tanque de distribución hasta aquellas líneas de las cuales parten las tomas o

conexiones domiciliarias.

SISTEMA CERRADO:

AGUERO PITTMAN, Roger “Agua Potable Para Población Rural”

Son aquellas redes constituidas por tuberías interconectadas formando

mallas. Este tipo de red es el más conveniente y tratara de lograrse mediante la

interconexión de tuberías, a fin de crear un circuito cerrado que permita un servicio

más eficiente y permanente. En este sistema se eliminan los puntos muertos; si se

tiene que realizar reparaciones en los tubos, el área que se queda sin agua se

puede reducir a una cuadra, dependiendo de la ubicación de las válvulas.

ORGANISACION PANAMERICANA DE LA SALUD “Guía Para El Diseño De

Redes De Distribución En Sistemas Rurales De Abastecimiento De Agua”

El flujo de agua a través de ellas estará controlado por dos condiciones:

- El flujo total que llega a un nudo es igual al que sale.

- La pérdida de carga entre dos puntos a lo largo de cualquier camino, es siempre

la misma. Estas condiciones junto con las relaciones de flujo y pérdida de carga,

nos dan sistemas de ecuaciones, los cuales pueden ser resueltos por cualquiera

de los métodos matemáticos de balanceo.

En sistemas anillados se admitirán errores máximos de cierre:

- De 0,10mca de pérdida de presión como máximo en cada malla y/o

simultáneamente debe cumplirse en todas las mallas.

- De 0,01lps como máximo en cada malla y/o simultáneamente en todas las mallas

Se recomienda el uso de un caudal mínimo de 0,10 lps para el diseño de los

ramales.

Las redes cerradas no tendrán anillos mayores a 1km por lado.

METODO DE HARDY CROSS

ROCHA FELICES, Arturo “Hidráulica de tuberías y canales”

Es un método de tanteo y aproximaciones sucesivas, se determina las pérdidas de

carga en cada tramo, que resulta ser positiva o negativa.

AGUERO PITTMAN, Roger “Agua Potable Para Población Rural”

Es un método de tanteos o aproximaciones sucesivas, en el cual se supone una

distribución de caudales y se calcula el error en la perdida de carga de cada

circuito.

5. RESULTADOS:

EL MÉTODO DE HARDY CROSS

GENERALIDADES

El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el

cumplimiento de dos principios o leyes:

Ley de continuidad de masa en los nudos;

Ley de conservación de la energía en los circuitos.

El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de

carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen & Williams o,

bien, la ecuación de Darcy & Weisbach.

La ecuación de Hazen & Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de

diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las

pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross.

Ello obedece a que supone un valor constante para el coeficiente de rugosidad, C,

de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las

"pérdidas" de energía.

La ecuación de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi

nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el

coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie

interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez

depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las

tuberías.

Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la

suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de

Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor

particular, D Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o

corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de

todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red.

FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS

El método se fundamenta en las dos leyes siguientes:

1. Ley de continuidad de masa en los nudos: "La suma algebraica de los

caudales en un nudo debe ser igual a cero"

(1)

Dónde:

Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.

qi : Caudal concentrado en el nudo i

m : Número de tramos que confluyen al nudo i.

2. Ley de Conservación de la energía en los circuitos: "La suma algebraica de

las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser

igual a cero".

(2)

Dónde:

hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo Tij.

n : Número de tramos del circuito i

ECUACIONES BÁSICAS

La ecuación de Hazen & Williams originalmente expresa:

(3)

Dónde:

V : Velocidad del flujo, m/s.

C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.

D : Diámetro de la tubería, m.

Sf : Pérdida unitaria de carga (m/m).

(4)

Por continuidad, 

Luego:

(5)

De la cual resulta:

(6)

Dónde:

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

L : Longitud del tramo de tubería, m.

hf : Pérdida de carga, m.

La ecuación anterior se puede transformar de tal manera que el diámetro se

exprese en pulgadas y el caudal en l/s, obteniéndose la siguiente ecuación.

(7)

Haciendo:

(8)

Resulta:

(9)

La ecuación de Darcy & Weisbach expresa, en términos de velocidad del flujo, la

siguiente:

(10)

Donde f es el coeficiente de fricción, de Darcy

Y en términos del caudal, expresa:

(11)

Haciendo:

(12)

Resulta:

(13)

En general, la ecuación de pérdidas de carga por fricción expresa:

(14)

Dónde:

r : Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuación empleada

para el cálculo.

n : Exponente del caudal, que depende la ecuación de resistencia empleada.

n : 1.851, según la ecuación de Hazen & Williams.

n : 2.0 según la ecuación de Darcy & Weisbach.

El Método de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteración tras iteración, los

caudales en los tramos, con la siguiente ecuación general:

(15)

El coeficiente de fricción, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la

ecuación de Colebrook & White, que expresa lo siguiente:

(16)

Dónde:

K: El coeficiente de rugosidad de la tubería, mm.

D: Diámetro de la tubería, mm.

R: El número de Reynolds del flujo, adimensional.

Nótese que la relación k/D, en la ecuación (16) debe ser adimensional.

A su vez, el número de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuación:

(17)

Dónde:

v : Velocidad del flujo, m/s.

r : Densidad del fluido (agua), kg/m3.

m : Viscosidad dinámica del fluido, kg/m.s.

n : Viscosidad cinemática del fluido, m2/s.

D : Diámetro del conducto, m.

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

La ecuación (16) es una ecuación implícita para f y, por lo tanto, se resuelve

iterativamente, por ensayo y error, en la subrutina 400, aplicando el Método de

Newton & Raphson. Nótese que, para acelerar el cálculo de f, en esta subrutina se

emplea un valor inicial de f = X0, calculado con la siguiente fórmula:

(18)

CONVENCIONES

Los caudales Qij y sus correspondientes pérdidas de carga, hfij, y

velocidades, vij serán positivos si fluyen en sentido de las manecillas del

reloj, o negativos en sentido contrario.

La nomenclatura de los tramos Tij sólo requiere que el primer subíndice

represente el número de circuito al cual pertenece. El subíndice j es un

número consecutivo que inicia en 1 y termina en el número de tramos del

circuito considerado. Ejemplo, el tramo T2.4 es el cuarto tramo del circuito

No.2

En la nomenclatura de los tramos no se requiere designarlos siguiendo un

estricto orden consecutivo, como tampoco un sentido horario o anti horario.

Un tramo cualquiera de la red puede pertenecer a un único circuito, o a dos,

simultáneamente. En el primer caso, el número del circuito adyacente,

solicitado por los programas, es cero. En el segundo caso, se entrará el

número del otro circuito que lo camparte con el actual.

6. CONCLUSIONES

Si bien la ecuación de Hazen & Williams es muy práctica en el cálculo de

las pérdidas de carga en tuberías, deja también un poco de inconformidad

en cuanto que el coeficiente de resistencia, C, permanece constante, aún

con las variaciones del caudal y del número de Reynolds.

Como consecuencia de lo anterior, las "pérdidas" de energía por fricción, hf,

serán sobreestimadas en comparación con las calculadas con la ecuación

de Darcy & Weisbach.

Así mismo, el dimensionamiento de una red determinada, analizada con el

Método de Cross y la ecuación de Hazen & Williams, conduciría a la

especificación de diámetros mayores que los que se obtendrían si se

aplicara el mismo método con la ecuación de Darcy & Weisbach. Ello se

comprobaría cuando, de cumplir requerimientos de cargas de presión

mínima y máxima, se trata.

El Método de Cross programado con las ecuaciones de Darcy & Weisbach

y de Colebrook & White, no obstante ser más demorado en obtener la

precisión deseada, es más racional en cuanto al cálculo de las pérdidas de

carga, y conduce a la especificación de diámetros más económicos.

Debe quedar bien claro que, cualquiera sea la ecuación de resistencia que

utilice el Método de Cross, éste nunca ha sido un método de diseño, sino

una herramienta de análisis para redes cerradas de tuberías.

Si anteriormente los proyectistas de redes de acueducto evitaban el análisis

hidráulico con la ecuación de Darcy & Weisbach, dado lo dispendioso del

cálculo del factor de fricción, f, ahora no habrá más excusas para no

hacerlo. Más aún, si ambos programas requieren ser alimentados con los

mismos datos, excepto que el primero emplea C, y el segundo k, para

representar el coeficiente de resistencia de la tubería.

La diferencia en el tiempo de cálculos computacionales, a favor del Método

de Cross, Hazen & Williams, no es grande y tampoco compensa los

mayores costos debidos a tuberías de diámetro mayores.

7. RECOMENDACIONES

Se recomienda la difusión y el uso más generalizado del Método de Cross

con la ecuación de Darcy & Weisbach, en conjunción con la ecuación de

Colebrook & White.

Es más confiable un valor de k que el correspondiente a C.

El valor del coeficiente de viscosidad cinemática, v, debe introducirse lo

más acertado posible, es decir, para una temperatura del agua lo más real

posible.

8. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS:

o AGUERO PITTMAN, Roger “Agua Potable Para Población Rural”

o COMISIÓN NACIONAL DEL AGUA “Manual De Agua Potable,

Alcantarillado Y Saneamiento” Edición 2007

o ORGANISACION PANAMERICANA DE LA SALUD “Guía Para El Diseño

De Redes De Distribución En Sistemas Rurales De Abastecimiento De

Agua”

o ROCHA FELICES, Arturo “Hidráulica de tuberías y canales”

o http://ingenieriacivil.tutorialesaldia.com/red-de-distribucion-de-agua-potable-

abierta-o-cerrada/

9. ANEXOS:

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Se trata de analizar la red de la figura, aplicando las dos versiones del método de Cross.

Esquema de la red de tuberías del ejemplo.

Los resultados del análisis de la red

Luego de analizar la red de la figura, aplicando los dos métodos, se obtuvieron los resultados consignados en la figura 3 y la tabla 1.

Tabla1. Datos de la red resultados obtenidos

DATOS INICIALES DE LA RED

C = 125; k = 0.15 mm

METODO DE CROSS-

HAZEN & WILLIAMS

METODO DE CROSS-

DARCY & WEISBACH

Circuito No.

Tramo Longitud Diámetro Qinicial No.Circuito adyacente

QDEF Hf V QDEF hf v

m pulg mm l/s l/s m m/s l/s m m/s

I

1-1 600 16 400 180 0 195.711 3.526 1.557 196.076 3.094 1.560

*1-2 300 12 300 60 2 76.268 1.251 1.079 76.358 1.077 1.080

*1-3 300 8 200 10 3 25.011 1.144 0.796 25.249 1.004 0.804

*1-4 600 12 300 -70 4 -46.509 -1.001 -0.658 -45.841 -0.809 -0.649

1-5 600 16 400 -250 0 -234.289 -4.919 -1.864 -233.924 -4.367 -1.862

hf = 0.001 hf = -0.001

II

*2-1 300 12 300 -60 1 -76.268 -1.251 -1.079 -76.358 -1.077 -1.080

2-2 300 12 300 70 0 69.443 1.051 0.982 69.718 0.904 0.986

*2-3 300 8 200 -10 3 -11.257 -0.261 -0.358 -11.109 -0.212 -0.354

2-4 300 12 300 45 0 44.443 0.460 0.629 44.718 0.386 0.633

hf = -0.001 hf = -0.001

III

*3-1 300 8 200 -10 1 -25.011 -1.144 -0.796 -25.249 -1.004 -0.804

*3-2 300 8 200 10 2 11.257 0.261 0.358 11.109 0.212 0.354

3-3 300 8 200 25 0 25.700 1.203 0.818 25.827 1.049 0.822

*3-4 300 12 300 -45 4 -36.521 -0.320 -0.517 -36.091 -0.257 -0.511

 hf = 0.000 hf = 0.000

IV

*4-1 600 12 300 70 1 46.509 1.001 0.658 45.841 0.809 0.649

4-2 300 12 300 -80 0 -87.779 -1.622 -1.242 -88.082 -1.420 -1.246

*4-3 300 12 300 45 3 36.521 0.320 0.517 36.091 0.257 0.511

4-4 300 8 200 60 0 52.221 4.469 1.662 51.918 4.050 1.653

4-5 900 8 200 -20 0 -27.779 -4.168 -0.884 -28.082 -3.695 -0.894

 hf = 0.000 hf = -0.001

* Significa que el tramo pertenece a dos circuitos, simultáneamente