REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN

DIVISIÓN DE ESTUDIOS PARA GRADUADOS

MAESTRÍA EN EDUCACIÓN. MENCIÓN: CURRÍCULO

PROPUESTA DE ARTÍCULO PARA EL SEGUNDO TRABAJO

EL ABP 4x4 : estrategia para desarrollar competencias transversales

MARTA SALAS ZAMBRANOC.C. No 32738483 DE BARRANQUILLA – COLOMBIA

CÁTEDRA: TRANSVERSALIDAD

PROFESORA: DRA. ESPERANZA BRAVO

JUNIO DE 2016

TRANSFORMACIÓN DEL LENGUAJE NATURAL AL LENGUAJE ALGEBRAICO EN EDUCACIÓN MEDIA GENERAL

Una de las pretensiones de la educación matemática es, desde los estándares que plantea el Misterio de Educación Nacional, que los estudiantes puedan realizar actividad matemática, donde relacionen lo que aprenden en la escuela con lo que se presenta en la vida cotidiana y así, consecuentemente, realizar transformaciones. Estas transformaciones se ven reflejadas en la toma de decisiones que los estudiantes deben hacer en situaciones que requieren de análisis matemático en pro de un bienestar económico, social o cultural (por ejemplo, elegir un acceder a un producto o no dependiendo de su precio). Según Ministerio de Educación Nacional [MEN] (2003, p. 52), la actividad matemática implica procesos como son: - Formulación, tratamiento y resolución de problemas - Modelación - La comunicación - El razonamiento - La formulación, comparación y ejercitación de procedimientos Las transformaciones antes mencionadas, pueden ser posibles en la medida que el sujeto sea matemáticamente competente.

Desde hace muchos años, diversos investigadores han promovido el uso de la historia como un instrumento pedagógico más, con la idea de utilizar aquellos aspectos del desarrollo histórico de una ciencia, en nuestro caso las matemáticas, que nos permitan hacer más simple y efectiva nuestra tarea de enseñar. Esta idea está fundamentada en la convicción de que en la enseñanza de las ciencias no es posible dejar de establecer vínculos con la filosofía de la disciplina que se pretende transmitir, ya que los paradigmas o visiones filosóficas aceptados juegan un papel activo en el decurso científico y educativo. Por otra parte, la visión filosófica de una ciencia que se adopte para su enseñanza está íntimamente ligada con su desarrollo histórico. La relación entre la ideología, la historia y la práctica educativa misma se convierte en palanca teórica importante para la comprensión de los problemas de la enseñanza de la ciencia en sí. A este respecto, RUIZ (1997) señala: "La concepción del uso de la historia en la educación varía en función de la filosofía de las matemáticas que se posea. Y este constituye uno de los ejemplos más importantes de la relación entre la ideología o la filosofía y la práctica educativa matemática." En el caso de las matemáticas, es relevante mencionar también que el uso apropiado de su historia en el proceso de enseñanza permite poner en perspectiva el papel integral de las matemáticas en el desarrollo social de la humanidad.

Se puede, entonces, utilizar la historia del desarrollo del pensamiento matemático en el proceso educativo, de diversas formas y con distintos objetivos.

A partir del siglo XVIII comenzó una tendencia clave en el pensamiento matemático, que algunos autores llamaron “la algebratización de las matemáticas”; a lo largo de la historia, el álgebra ha ido de la mano con la aritmética. Pero existen matices, ya que la aritmética es la ciencia de los objetos concretos, esto es, de los números, en cambio el álgebra es, en esencia, la doctrina de las operaciones matemáticas analizadas desde un punto de vista abstracto y genérico, independientemente de los números u objetos concretos (Sierra, 2010). Si se toma en cuenta la enseñanza del álgebra desde una perspectiva de la

realidad, son muchos los estudiantes que muestran apatía por las matemáticas y algunos hasta cierta aversión; al respecto, según Sierra (2010) menciona que los docentes de matemática tienen siempre un gran reto, mostrar la utilidad de las matemáticas a sus estudiantes y el provecho de la misma en sus vidas. Cuando se explica álgebra, esta relación parece menos visible, pero no por ello es menos tangible. Por consiguiente, se debe mostrar a los estudiantes el álgebra como una herramienta útil para resolver problemas de la vida cotidiana. En efecto, al momento de enseñar álgebra en educación media general, el docente se basa en dar propiedades que ya están, y en problemas meramente sintácticos con los que los estudiantes no se volverán a topar en sus vidas. Y es que en la enseñanza tradicional no se tiene suficientemente en cuenta las dificultades en la comprensión, por parte del estudiante, del tratamiento algebraico para la solución de problemas.

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS COMO INSTRUMENTO PEDAGÓGICO

Las matemáticas a través de la historia la podemos contar de la siguiente forma teniendo en cuenta los recursos pedagógicos:

Utilizar algún pasaje de la historia a modo de anécdota, como recurso de motivación: Se refiere a hechos históricos aislados, ya sea del desarrollo de las matemáticas mismas o de la vida de algún matemático cuya contribución al avance en la comprensión del tema en cuestión haya tenido alguna valía.

Introducir un concepto a través de la presentación de algún problema y el análisis de cómo se resolvió históricamente. Pone en evidencia el contexto intelectual en que se desarrolla el problema planteado. Además, muestra la estructura interna de los mecanismos conceptuales que permiten resolver un problema, no mediante el aprendizaje mecánico de los algoritmos que se utilicen sino basados en la comprensión del problema y de los conceptos involucrados en la solución del mismo.

Recorrer el desarrollo histórico de un área de las matemáticas, tratando de reproducir el proceso de aprendizaje de esa área con base en el recorrido completo. La historia de las matemáticas es parte esencial de la historia del razonamiento humano: si vamos a los orígenes de un concepto podremos comprender el modo como se introdujo en el contexto correspondiente, si analizamos el camino recorrido, a lo largo del desarrollo de un tema, podremos encontrar los métodos que fueron utilizados con más éxito, para comprender los distintos elementos que lo fueron tejiendo hasta llegar a ser dominado tanto en su comprensión como en el uso apropiado de los algoritmos involucrados.

"Aprender de Los Maestros". Sobre todo en niveles de aprendizaje más avanzados, se puede recurrir a lecturas de escritos originales de los grandes pensadores que desarrollaron las ideas del pensamiento matemático, lo cual permite al estudiante dilucidar el proceso del desarrollo lógico de una idea. Man Keung Siu (1996) quien dicta un curso sobre "Desarrollo de las ideas matemáticas" en la Universidad de Hong Kong menciona: ". con respecto al pensamiento matemático trato de permitir que los estudiantes experimenten cómo es que los matemáticos realizan sus trabajos, ellos verán así que el enfoque lógico y axiomático ejemplificado en los Elementos de Euclides no es el único camino." (Traducción de la autora).

Al hacer uso de la historia en la educación matemática se suele recurrir a las referencias históricas con fines ilustrativos. Este recurso metodológico permite captar la atención del estudiante, haciendo el aprendizaje más placentero, o bien mostrando el lado humano de las matemáticas, muchas veces escondido en el mar de contenidos de un programa de estudios. Eves (1969), resume estas ventajas diciendo: "Estas historias y anécdotas han probado ser muy útiles porque aumentan el interés, para añadir sazón y un toque de entretenimiento, para introducir el elemento humano, para inspirar al estudiante, para inculcar respeto y admiración por los grandes creadores, para darle un tirón hacia atrás al interés decaído, para forjar relaciones con la historia cultural, o para subrayar algún concepto o idea." (Traducción de la autora).

Al pretender integrar el uso de la historia de las matemáticas de manera óptima, se debe sustentar una vinculación coherente y eficaz con el proceso educativo. Para lograr este propósito, es necesario aprovechar otros recursos que permiten estructurar el proceso de enseñanza con base en el devenir histórico completo. Para utilizar la historia de manera apropiada en el proceso didáctico, es necesario conocerla, sin embargo, cualquiera que sea el recurso que se vaya a utilizar, se debe saber escoger aquellos aspectos del desarrollo histórico de las mismas que permitan facilitar el aprendizaje, porque a veces la manera como la humanidad aprendió es más dolorosa y tortuosa que la manera como el tiempo nos ha enseñado a abordar el conocimiento.

Para los estudiantes un camino difícil es pasar de la aritmética al algebra. A la humanidad le llevó siglos recorrer este camino, con muchos errores, tropiezos y verdades a medias. Con avances y retrocesos en el desarrollo del álgebra el hombre fue logrando comprender y describir verdades generales, que no se formulan para un objeto en particular. Es decir, logró dar el paso del pensamiento concreto a la abstracción. Tomando esto en cuenta, no es difícil entender la dificultad que suelen tener muchos estudiantes cuando dan los primeros pasos en el terreno del álgebra, sobre todo porque muchas veces se aborda su enseñanza como una serie de reglas que relacionan letras y números sin ningún fundamento y que el alumno debe memorizar y aprender a aplicar a ciegas. Según Jean Piaget (epistemólogo suizo, 1896-1980) el conocimiento progresa porque hay un

desarrollo mental durante el proceso de aprendizaje. Piaget indicó que la adolescencia es el comienzo del período de razonamiento de las operaciones formales, pero otros estudios muestran que, la capacidad del adolescente para pensar formalmente depende del aprendizaje acumulado y de la educación que ha tenido. De hecho, las últimas investigaciones de la psicología genética plantean que el alumno que comienza la enseñanza secundaria (alrededor de los trece años) se encuentra aún en el apogeo del pensamiento operatorio concreto y en lenta transición hacia el pensamiento formal. El niño con pensamiento concreto construye sobre datos conocidos y razona sobre lo que está presente. La persona con pensamiento formal puede generar la búsqueda de propiedades generales, puede ir más allá de lo tangible, puede dar justificación lógica a sus juicios.

El aprendizaje del álgebra requiere del pensamiento formal o proposicional. Si queremos un aprendizaje exitoso del álgebra por parte del alumno, debemos recorrer el camino despacio, tratando de respetar esa transición del desarrollo intelectual del estudiante.

Las investigadoras argentinas Leonor Norma Coso y Rosa Ana La Menza (1999), proponen observar las distintas etapas del desarrollo histórico del álgebra y tratar de reproducir este proceso con nuestros estudiantes; es decir, recorrer el camino paso a paso con el fin de propiciar el mejor entendimiento de la materia, conforme el estudiante va logrando el paso del pensamiento concreto a la abstracción.

Los adolescentes, al comenzar el estudio del álgebra, traen las nociones y los enfoques que usan en aritmética. Sin embargo, el álgebra no es simplemente una generalizaciónde la aritmética; aprender álgebra no es solo hacer explícito lo que estaba implícito en la aritmética. El álgebra requiere un cambio en el pensamiento del estudiante, que va de las situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre números y operaciones (Kieran & FilloyYagϋe, 1989).

ETAPAS EN EL DESARROLLO HISTORICO DEL ALGEBRA

Dantzig (1947) señala tres etapas en el desarrollo histórico del álgebra: la retórica, la sincopada y la simbólica.

Etapa retórica: En esta etapa no se utilizan los símbolos, los problemas se describen en su totalidad a base de palabras. Se utiliza el pensamiento concreto pues el lenguaje que se usa asigna cada palabra al objeto al que se refiere. Un ejemplo de un problema es el planteado en el libro "Lilavati" del gran matemático hindú del siglo doce, Báskara:

"La quinta parte de un enjambre de abejas se posa sobre una flor de kadamba, la tercera parte en una flor de silinda, el triple de la diferencia entre estos dos números vuela sobre una flor de krutja y una abeja vuela indecisa de una flor de pandanus a un jazmín. Dime, hermosa niña, ¿cuál es el número de abejas?"

La historia de Lilavati es una bella anécdota para ser contada, aparece en el libro "El hombre que calculaba" del escritor hindú Malba Taham, se puede encontrar también en BOYER (1985).

El lenguaje abstracto del álgebra, en el que se manejan objetos intencionalmente despojados de su significado en el mundo físico, está aún lejos de quien está interesado en el objeto mismo. De acuerdo con el desarrollo intelectual del estudiante, podríamos abordar primero la solución de algunos problemas planteados en estos términos, antes de introducir el lenguaje y simbolismo abstractos propios del álgebra.

Es importante saber escoger un problema apropiado para la clase, la manera de abordar su solución, y el papel del educador y del estudiante para resolver éstos. Lo simple suele ser mejor punto de partida que lo difícil, podemos iniciar con problemas tan simples como:

En 1994, German Silva de México ganó la maratón de Nueva York con un tiempo de dos horas, once minutos y veintiún segundos. Ese mismo año, Cosmas N'Deti de Kenia ganó la maratón de Boston con un tiempo cuatro minutos y seis segundos más rápido que el de Silva. ¿Cuánto tardó N'Deti en correr la maratón de Boston?

Un productor de naranjas utiliza, para el transporte del producto, cajas de madera que pesan dos kilogramos cada una. Cada naranja pesa doscientos gramos y el peso total de una caja llena de naranjas es de diez kilogramos, ¿cuántas naranjas se empacan en cada caja?

Un padre pagó cinco mil seiscientos colones por las entradas al cine para él y sus tres hijos escolares. La entrada de adultos cuesta ochocientos colones más que la de niños, ¿cuánto cuesta la entrada para adultos?

George Bernard Shaw (dramaturgo irlandés, 1856-1950, Premio Nobel en 1925) expresa: En última instancia, la solución de los problemas no consiste en hacer, ni en dejar de hacer, sino en COMPRENDER; porque donde hay verdadera comprensión, no hay problemas."

Etapa sincopada: En este período algunas palabras de uso frecuente se empiezan a abreviar hasta llegar a olvidar su origen, lo cual va produciendo símbolos que no tienen conexión evidente con lo que representan. Un buen

ejemplo de esto es el uso del signo menos (-), que fue expresado durante mucho tiempo, sobre todo en Europa, por la palabra latina completa minus , después pasó a usarse la letra m con una raya encima, hasta que desapareció la letra y quedó en uso únicamente la raya como el signo de la resta.

Suele decirse que los hindúes fueron los primeros en sincopar la escritura, aunque hay ejemplos de esta práctica desde los griegos. En el álgebra de Brahmagupta (quien vivió en la India Central alrededor del año 628), la suma se indica por yuxtaposición de los términos, en la resta se coloca un punto sobre el sustraendo y en la división, el divisor se coloca debajo del dividendo. Para las multiplicaciones y el cálculo de raíces, así como para las incógnitas, se usaban abreviaciones, o a veces la primera letra de alguna palabra apropiada. Es importante observar que esta es una etapa de transición, pues esto no quiere decir que estos símbolos se usasen como lenguaje lógico, con una sintaxis rigurosa. El lenguaje retórico siguió dominando la escritura por mucho tiempo, en la India podemos observar este hecho en el lenguaje de Báskara varios siglos después.

Teniendo en cuenta los problemas resueltos en forma retórica podemos hacer la transición hacia la abstracción. Por ejemplo, en vez de entrar de lleno en las definiciones de parte numérica, parte literal, monomios, monomios semejantes y suma de monomios, podemos empezar con algo tan sencillo como:

"En la biblioteca del colegio hay mil trescientos veinte libros y trescientas revistas. En la semana de la lectura, los estudiantes lograron reunir otros doscientos diez libros y cincuenta y tres revistas, ¿cuántos libros y cuántas revistas tendremos a disposición ahora?"

Solución retórica:

mil trescientos veinte libros más doscientos diez libros son mil quinientos treinta libros,

trescientas revistas más cincuenta y tres revistas son 

trescientas cincuenta y tres revistas.

Solución sincopada:

1320 L + 210 L = 1530 L 300 R + 53 R = 353 R

Podemos escribir a continuación una sola ecuación, la cual nos permite analizar lo realizado; libros se suman con libros, revistas con revistas:

1320L + 300R + 210L + 53R = 1530L + 353R

Respuesta: En la biblioteca tenemos ahora 1530 libros y 353 revistas para disfrutar. ¡Claramente no podríamos decir que tenemos 1883 libros!

Antes de pasar al lenguaje simbólico, tanto en la primera como en la segunda etapa, es importante insistir en el manejo correcto de la operatoria algebraica (conmutatividad, asociatividad, distributividad, operaciones con enteros, racionales, raíces, potencias) porque no debemos ovidar que estamos dando el paso de la aritmética al álgebra. Esto se debe hacer a través de la solución de problemas y ejemplos concretos y no mediante una presentación axiomática de las propiedades en cuestión.

Etapa simbólica: Conforme se da el paso hacia la abstracción aparece el lenguaje simbólico, donde las letras tienen un significado independiente de aquello que representan. Este lenguaje permite pasar de trabajar únicamente con expresiones particulares, a comprender, plantear y resolver expresiones generales. Podemos decir que el álgebra comienza su etapa simbólica a partir de los trabajos de François Viète (abogado francés, 1540-1603) quien empieza a diferenciar la aritmética del álgebra al distinguir entre lo que llama "logística numerosa" (cálculo con números) y "logística speciosa" (cálculo con letras). Así, introdujo el uso sistemático de las vocales para representar las incógnitas y las consonantes para las cantidades conocidas. La simbología actual, que utiliza las primeras letras del alfabeto para las constantes y las últimas para las variables, aparece en el siglo XVII con René Descartes y la Geometría Analítica (filósofo, físico y matemático francés, 1596-1650).

Una ventaja del lenguaje simbólico es que nos libera de las ambigüedades del lenguaje cotidiano. La transmisión de conocimientos está basada en la comunicación efectiva de los mismos. Una vez tenemos dominio operativo sobre los símbolos, con verdadera comprensión de los conceptos que estos representan, podemos trabajar con base en un sistema lógico riguroso. Con relación al proceso educativo, es importante recordar el cambio mental significativo que se lleva a cabo al pasar del pensamiento concreto al pensamiento formal. Esta transformación en la manera de pensar no puede verse sino como un proceso lento y progresivo, el alumno no adquiere el dominio del lenguaje proposicional porque le hagamos memorizar una lista de símbolos y reglas para operar con ellos pues, aún cuando llegue a manejarlos hábilmente en forma mecánica, si no hay comprensión no hay avance en el desarrollo intelectual. Podemos reforzar esta idea con las palabras de Bertrand Russell (filósofo inglés, 1872-1947, Premio Nobel de Literatura en 1950 "Incluso el niño más inteligente tropieza con grandes dificultades cuando empieza a estudiar álgebra. El empleo de letras es un misterio que no parece tener otra finalidad que la confusión. Es casi imposible, al principio, que el alumno no piense que toda letra figura en lugar de un número determinado que el profesor muy bien habría podido indicar.

El hecho es que con el álgebra se enseña por primera vez al espíritu a examinar verdades generales, verdades que no se formulan únicamente valederas para tal o cual cosa particular sino para cualquiera de todo un grupo de cosas. En la facultad de comprender y describir esas verdades reside el dominio del intelecto sobre todo el mundo de cosas reales y posibles; y la aptitud para ocuparse de lo general en sí es uno de los dones que debería otorgar una educación matemática."

Usando un ejemplo sencillo, como el analizado anteriormente sobre los libros y revistas en la biblioteca del colegio, podemos dar el paso hacia el lenguaje simbólico abstracto.

Solución simbólica:

En la ecuación:

1320L + 300R + 210L + 53R = 1530L + 353R

Las letras L y R pueden representar cualquier objeto o concepto, podemos entonces utilizar cualquier otra letra y escribir, por ejemplo,

1320 a + 300 b + 210 a + 53 b = 1530 a + 353 b,

o también,

1320 x + 300 y + 210 x + 53 y = 1530 x + 353 y.

En este momento tiene cabida la discusión sobre los conceptos de parte numérica, parte literal, monomios, monomios semejantes, suma de monomios.

La historia revela la búsqueda de sistemas de representación más eficaces que permitieron solucionar muchos problemas de tipo geométrico y numérico, de ahí que la perspectiva histórica del desarrollo del lenguaje algebraico sirve para elaborar una propuesta didáctica que presente al álgebra como una herramienta poderosa para solucionar problemas aritméticos, geométricos y de otras disciplinas

A partir de la introducción de un mejor simbolismo dado por Viete se enriquece el avance del álgebra, con el aporte además de grandes matemáticos como Descartes, Steven, Oughtred, Harriot, Chuquet quienes introducen nuevos símbolos para las operaciones, desigualdades y notación para exponentes como consecuencia de la creciente demanda científica que se ejercía sobre ellos; tal vez muchos de ellos no llegaron a percibir lo que el simbolismo podría significar a favor del álgebra. Muchos cambios en los símbolos se efectuaron por accidente, el

uso de símbolos para las incógnitas tuvo un ascenso lento, la historia nos muestra que se relacionan dos estadios del símbolo; cómo número o soporte para organizar un sistema de numeración y otro como incógnita (número o algo abstracto). Pasaron muchos años para que el hombre extrajera conceptos abstractos; los orígenes del concepto de variable y variación están en la necesidad de representar magnitudes físicas y su cambio con respecto al tiempo.

Este recorrido por la evolución del lenguaje algebraico, desde el planteamiento y solución en forma verbal, a las abreviaturas de algunas palabras y la incursión del símbolo para representar la incógnita y sus potencias fue realmente lento y lleno de limitantes, tardaron siglos para usar el simbolismo y enriquecerlo, sin embargo a pesar de las limitaciones, sentaron las bases y construyen poco a poco lo que hoy se conoce como lenguaje algebraico.

Lenguaje algebraico: Es una forma de traducir a símbolos y números lo que normalmente tomamos como expresiones particulares. De esta forma se pueden manipular cantidades desconocidas con símbolos fáciles de escribir lo que permite simplificar teoremas, formular ecuaciones e inecuaciones y el estudio de cómo resolverlas. Es un lenguaje que nos ayuda a resolver problemas matemáticos mostrando generalidades. El lenguaje algebraico nace en la civilización musulmana en el periodo de AL-Khwarizimi durante la edad media. Su función principal es establecer y estructurar un idioma que ayuda a generalizar las distintas operaciones que se desarrollen dentro de la aritmética donde solo ocurren los números y sus operaciones aritméticas elementales (+ -x %).

Una expresión algebraica es una cadena de representaciones perteneciente al lenguaje algebraico, el cual puede contener variables, números, así como también operaciones aritméticas. El Término, es una expresión algebraica donde hay solo operaciones de multiplicación y división de letras y números, donde la letra puede estar elevada a una potencia. El termino independiente solo consta de un valor numérico, en tanto los términos semejantes son los que tienen debidamente la misma parte de letras (parte literal) y varían solo su coeficiente. Estos solo se pueden sumar y restar, si los términos no son semejantes ya no es posible, lo que si es posible es dividir o multiplicar todo tipo de termino. El grado de un término puede ser de grado absoluto, lo cual es la suma de los exponentes de cada letra, o puede ser un término de grado relativo en lo cual se toma en cuenta la letra y su exponente.

Los signos de agrupaciones se usan para cambiar el orden de las operaciones, se indica dentro de estos cuál de las operaciones debe realizarse en primer lugar, estos símbolos son el paréntesis (), el corchete [], y la llave {}. Se utilizan también signos de relación tales como <, menor que; > mayor que; y =; igual a.

El lenguaje algebraico se constituye principalmente de las letras del alfabeto del cual las primeras letras por lo general son las que determinan valores conocidos o datos del problema, (aunque se puede utilizar cualquier letra del alfabeto). Se utilizan también algunos vocablos griegos. En general las letras X; Y y Z se utilizan como las incógnitas o variables de la expresión algebraica.

Los siguientes son ejemplos de las expresiones algebraicas más usadas, en forma verbal y escrita:

La suma de dos números a + b

La resta o diferencia de dos números 

X – y

El producto de dos números abEl cociente de dos números X/y

El cociente de la suma de dos números, sobre la diferencia

a+b/a-b

El doble de un número 2X

El doble de la suma de dos números  2(a+b)

El triple de la diferencia de dos números 

3(x-y)

La mitad de un número  X/2

La mitad de la diferencia de dos númerosEl cuadrado de la suma de dos números 

(x-4)/2

El triple del cuadrado de la suma de dos números.La suma de 3 números  A+b+c

La semi suma de dos números. (a+b)/2

Si se toma como referencia la psicología del aprendizaje dentro del contexto escolar, los adolescentes que cursan el primer año de Educación media General, oscilan entre las edades de 12 y 14 años de edad, su pensamiento va más allá de lo concreto, su nivel lógico se fortalece cada día, entonces, en este momento el estudiante está apto para iniciar un curso de álgebra, sin embargo, no se puede desconocer que en esta etapa el estudiante ha trabajo en aritmética y en geometría, elementos que le han propiciado un acercamiento al concepto de variable y al manejo de símbolos(González, 2012). Pero los docentes deben incentivar la colaboración y el aprendizaje por descubrimiento para que tenga sentido para los estudiantes. Los errores aparecen en el trabajo de los estudiantes cuando se enfrentan a conocimientos novedosos que los obligan a hacer una revisión o reestructuración de lo que ya saben.

Los errores son intentos razonables pero no exitosos de adaptar un conocimiento adquirido a una nueva situación. Se entiende que el error tendrá distintas procedencias, pero siempre se considera como un esquema cognitivo inadecuado y no sólo como consecuencia de falta de conocimiento de un despiste (Ruano & Socas & Palarea, 2008). Pero además, también es falta de estrategias basadas en el aprendizaje significativo por parte de los docentes de matemática.

Existen dificultades en la comprensión del algebra. Palarea (1999) en su investigación refleja que durante los últimos años ha aumentado el interés por el estudio de las dificultades de la enseñanza/aprendizaje que el álgebra escolar ha generado, ha sido enorme, tanto desde la perspectiva del investigador como la del profesor. Pero, a pesar de las investigaciones, los problemas que plantean no han sido resueltos y lo que debe ser enseñado y aprendido en álgebra, está aún por determinarse.

Continúa generándose preguntas en torno a la naturaleza del álgebra y a los procesos de pensamiento implicados, que aún no tienen repuestas: Entre otras

¿Qué hace que la compresión del álgebra escolar sea una tarea difícil para la mayoría de los estudiantes?

¿Qué induce a muchos estudiantes recurrir a memorizar reglas del álgebra? ¿Son los contenidos matemáticos relacionados con el álgebra visto en

educación media general la fuente del problema? ¿Es la forma en que es enseñada el álgebra lo que causa carencia de dar

sentido a la materia? ¿Es inapropiado el acercamiento de los estudiantes a las tareas algebraicas

para aprender de la materia en cuestión? ¿Dónde están las dificultades en el traslado del lenguaje natural o común al

lenguaje algebraico?

En el contexto escolar se puede observar que existen dificultades para la compresión del lenguaje algebraico; al respecto Socas (2011) explica que las

dificultades son organizadas en cinco grandes categorías que describen la procedencia de estas dificultades; dos asociadas a la propia disciplina, complejidad de los objetos de las Matemáticas y procesos de pensamiento matemático, una tercera relacionada con los procesos de enseñanza, desarrollados para el aprendizaje de las Matemáticas; la cuarta está asociada a los procesos de desarrollo cognitivo de los estudiantes, y la quinta y última, está asociada a actitudes afectivas y emocionales desarrolladas hacia las Matemáticas. De ahí que sea necesario incorporar al desarrollo curricular del álgebra actividades y proyectos “Open-ended”, cuestiones o proyectos de resolución abierta donde el estudiante pueda dar una serie de respuestas correctas; considerándose dentro de los problemas “Open-ended” a una larga clase de problemas abiertos, tanto en los datos como en el objetivo, proyectos de trabajo, en la mayor parte de los problemas de la vida real, el planteo de problemas a partir de unos datos, etc., situaciones en las que se insiste más en el proceso que en la solución. Sin embargo cabe resaltar que las actividades y proyectos “Open-ended” presentan cierta complejidad a la hora de evaluar, al tener que escoger entre las diversas vías, antes que en las soluciones mismas. Aparecen de este modo aspectos como “la fluidez” entendida como el número correcto de diferentes respuestas o aproximaciones a la resolución del problema; “la originalidad” entendida como presentaciones “poco comunes” de la actividad; o “la flexibilidad”, entendida como el número de presentaciones matemáticamente diferentes o alternativas, etc. (Socas, 2011). Lo importante es que hay que enseñar álgebra y en esta investigación se va a insistir en cómo traducir problemas expresados en palabras comunes.

El álgebra, desde el comienzo de la vida escolar siempre ha sido el tema donde los estudiantes han tenido mayor dificultad en su aprendizaje, por su amplia definición en sus conceptos y propiedades, por las diferentes interpretaciones que tienen de ella y por la forma que algunos profesores la ponen en escena ante ellos. Recordando las palabras de Cogollo (2006, p. 13) cuando cita a Booth (1990) diciendo que: El álgebra es reconocida como la piedra en el zapato en la escuela, tanto en el presente como en el pasado. Los estudios históricos de los desarrollos del álgebra en la educación en el siglo XX muestran que el álgebra en la escuela secundaria no ha cambiado mucho en los últimos años. Sin intención, el álgebra ha funcionado como medio para captar los aprendices más capaces (unos cuantos felices que entienden y disfrutan el poder del álgebra) que el resto, quienes la recuerdan y la experimentan como una combinación exclusiva de letras y números. Los estudiantes muestran ciertas dificultades, en algunas situaciones (la errada interpretación de los conceptos y de las propiedades, la no adecuada representación de enunciados en lenguaje simbólico y en la representación de expresiones algebraicas en lenguaje natural, etc.), en este proceso de aprendizaje. Estas dificultades hacen que los estudiantes pierdan motivación y animo por las matemáticas y más en especial por el algebra. Sin olvidar, claro está, lo que dice Cogollo (2006, p. vii) “el profesor, la mayor parte del tiempo ignora la verdadera interpretación que el estudiante da a los conceptos

matemáticos”, de ahí que se tenga que hacer un mayor énfasis en las interpretaciones que se le da a lo expresado por los estudiantes.

Por lo anterior es importante trabajar lo que es el lenguaje natural y el lenguaje simbólico, y la variable, teniendo en cuenta las dificultades con las que se encuentran los estudiantes en este camino de construcción del concepto de variable, pasando por el lenguaje. El proceso de enseñanza aprendizaje del algebra encierra cierta problemática como son las interpretaciones y la utilización que los estudiantes hacen del lenguaje El pensamiento variacional tiene que ver con el tratamiento matemático de la variación y el cambio, el pensamiento variacional puede describirse aproximadamente como una manera de pensar dinámica, que intenta producir mentalmente sistemas que relacionen variables. Pero no hay que desconocer que el lenguaje forma una parte importante en ese pensar dinámicamente, pues es a partir de este que el sujeto comprende, comunica y expresa los patrones que observa y detecta en situaciones de variación. En este sentido, agregamos que los contextos juegan un papel fundamental en la construcción de la variación, es decir, que los estudiantes a partir de situaciones cotidianas, como ir a la tienda o salir a pasear, van identificando y construyendo la palabra y el significado de variación, para después ponerla en escena ante el álgebra y sus problemas numéricos.

Los métodos algebraicos más antiguos surgieron porque los matemáticos comenzaron a interesarse por las operaciones que se pueden realizar con números cualesquiera y por las propiedades de estas operaciones.

En los inicios de las matemáticas las fórmulas y las ecuaciones, así como sus soluciones, se expresaban verbalmente. La utilización del lenguaje simbólico (por ejemplo, los signos que representan las operaciones aritméticas o las letras para nombrar a las incógnitas) que agilizó el cálculo y facilitó los desarrollos se introdujo muy tardíamente.

Entre los numerosos problemas aritméticos hallados en los papiros egipcios, se puede encontrar ya alguno de tipo algebraico, como por ejemplo, la siguiente ecuación que hemos recogido del famoso papiro de Rhind (1650 a. C.): “un montón y una séptima parte del mismo es igual a 24”.

Esta ecuación, si se escribe en el actual lenguaje simbólico, quedaría así:

x + 1/7 .x = 24

donde x expresa el “montón” al que se refiere el autor de dicho papiro.

Los babilonios tuvieron gran conocimiento de las técnicas algebraicas y los griegos, más tarde, se valieron de la Geometría para resolver problemas algebraicos.

La palabra Álgebra tiene su origen en el título del libro Hisab al-jabr w’ al-muqabalah que fue escrito en Bagdad hacia el año 825 por el más importante matemático musulmán de la época llamado al Khwarizmi. Los métodos de resolución de ecuaciones, que aparecen en este tratado, constituyeron un enorme avance para el desarrollo posterior del Álgebra.

De la fase del álgebra retórica, en la que los razonamientos eran verbales, se pasó al Álgebra sincopada; sincopado significa abreviado.

La notación simbólica y los signos de operaciones a los que hemos aludido anteriormente, fueron introducidos por los matemáticos franceses Viète y Descartes en los siglos XVI y XVII.

El álgebra, actualmente, se halla presentado en toda la matemática y en la física, pues los problemas geométricos, aritméticos o físicos se expresan de ese modo con más sencillez.

Aplicaciones pedagógicas

El docente debe conocer los conocimientos previos del estudiante, o sea, debe asegurarse que el contenido a presentar pueda relacionarse con las ideas previas, ya que conocer lo que sabe el estudiante ayuda en la planificación.

Organizar los materiales en el aula de manera lógica y jerárquica, ya que no sólo importa el contenido, sino la forma en que se presenta a los estudiantes.

La motivación es un factor fundamental para que el estudiante se interese por aprender; el hecho de que el estudiante se sienta contento en su clase, con actitud favorable y buena relación con el docente, hará que se motive para aprender, para ello sería positivo ambientar el aula de clases con carteleras informativas en relación a contenidos y anécdotas de la matemática, además ayudaría la implementación de juegos didácticos que involucren temas matemáticos que relacionen situaciones de la vida cotidiana creando así interés en los estudiantes por aprender matemática.

El docente debe utilizar ejemplos, por medio de dibujos, diagramas, fotografías o la misma realidad, para enseñar los conceptos.

Rescatando las ideas planteadas en este trabajo, podemos afirmar que, el uso adecuado de la historia de las matemáticas, como parte del proceso educativo de la disciplina, va más allá de la simple contextualización, pues, se puede utilizar el

conocimiento histórico de modos diversos y con distintos objetivos. Esto permite aprovechar aquellos aspectos históricos que hagan más efectiva la enseñanza, así como, también, poner en perspectiva el papel protagónico que ha tenido el desarrollo del pensamiento matemático en el desarrollo social de la humanidad.

En esta línea de acción, hemos mencionado algunas opciones que pueden ser útiles en la tarea de enseñanza que nos ocupa, cuales son, el uso de anécdotas, el estudio del contexto histórico de la solución de un problema concreto, el desarrollo histórico completo de un tema o de un área de las matemáticas y, en etapas más avanzadas, el estudio directo de los trabajos originales de algún matemático.

Para poder utilizar cualquiera de estos recursos con éxito, es necesario tener conocimiento del proceso histórico de lo que se enseña. Solo así, será posible escoger aquellos aspectos de la historia de las matemáticas que permitan facilitar el aprendizaje, manteniendo siempre un vínculo coherente con la filosofía y la práctica educativa. En este sentido, es importante que los programas de estudio de los estudiantes de matemática educativa incluyan una formación básica en historia de las matemáticas.

El proceso de aprendizaje requiere de un desarrollo intelectual que se va dando paso a paso, conforme aprendemos, el intelecto se desarrolla; conforme nuestra manera de pensar evoluciona, somos capaces de aprender más y mejor. Tampoco debemos olvidar que el aprendizaje se da como un proceso integral, no sólo se aprende en el aula sino que gran parte de nuestros conocimientos son adquiridos, a través de nuestros sentidos, en cada una de nuestras vivencias. El trabajo del aula consiste en ampliar, ordenar, limpiar, separar, sistematizar, desarrollar esos conocimientos. El alumno es más receptivo y aprende mejor cuando comprende lo que se le enseña, cuando le encuentra sentido a lo que se le propone.

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Lenguaje algebraico | La Guía de Matemática http://matematica.laguia2000.com/general/lenguaje-algebraico#ixzz4BE91vtOP

EDUCERE - Investigación arbitrada - ISSN: 1316-4910 - Año 18 - Nº 59 - Enero – Abril

Transformación del lenguaje naturalal lenguaje algebraico en educación media general

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