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PROPORCIONALIDAD

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Def in ic ión de proporc i ón

Proporc ión es una igua ldad entre dos razones.

Constante de proporc ional idad

Propiedades de las proporc iones

En una proporc ión de l producto de l os med ios es igua l a l

producto de l os extremos.

En una proporc ión o en una ser ie de razones igua les ,

l a suma de l os antecedentes d iv id ida entre la suma de l os

consecuentes es igua l a una cua l qu iera de las razones.

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Si en una proporc ión cambian entre s í l os med ios o extremos la

proporc ión no var ía .

Cuarto proporc ional

Es uno cua l qu iera de los términos de una proporc ión.

Para ca l cu l ar l o se d i v ide por e l opuesto , e l producto de l os otros

dos términos .

Medio proporc ional

Una proporc ión es cont inua s i t iene l os dos med ios igua les .

Para ca l cu l ar e l med io proporc iona l de una proporc ión cont inua se

extrae l a ra í z cuadrada de l producto de l os extremos .

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Tercero proporcional

En una proporc ión cont inua , se denomina tercero

proporc iona l a cada uno de l os términos des igua les .

Un tercero proporc iona l es i gua l a l cuadrado de l os

términos i gua les , d i v id ido por e l término des i gua l .

Dos magn i tudes son d i rectamente proporc iona les c uando , a l

mult ip l i car o d i v id i r una de e l l as por un número cua l qu iera , la otra

queda mu l t ip l i cada o d iv id ida por e l m ismo número .

Se estab lece una re lac ión de proporc iona l idad d i recta entre dos

magn i tudes cuando :

A más c orresponde más .

A menos c orresponde menos .

Son magn i tudes d irectamente proporc iona les , e l peso de un producto y su

prec io .

S i 1 kg de tomates cuesta 1 € , 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50

cént imos .

Es dec i r :

A más k i l ógramos de tomate más euros .

A menos k i l ógramos de tomate menos euros .

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Tamb ién son d irectamente proporc iona les :

E l espac io recorr ido por un móv i l y e l t i empo emp leado .

E l vo l umen de un cuerpo y su peso .

La l ong i tud de l os l ados de un po l í gono y su á rea .

Aplicaciones de la proporcionalidad directa

Reg l a de tres s imp le y d i recta

Repartos d i rectamente proporc iona les

Porcentajes

Cons i s te en que dadas dos cant idades correspond ientes a

magn i tudes d irectamente proporc iona les , c a l cu l ar l a cant idad de una de

estas magn i tudes correspond iente a una cant idad dada de l a otra

magn i tud .

La reg la de tres d i recta l a ap l i caremos cuando entre l a s

magn i tudes se estab lecen l as re l ac iones :

A más más .

A menos menos .

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Ejemp los

Un automóv i l recorre 240 km en 3 horas . ¿Cuántos k i l ómetros hab rá

recorr ido en 2 horas?

Son magn i tudes d irectamente proporc iona les , ya que a menos horas

recorrerá menos k i l ómetros .

240 km 3 h

x km 2 h

Ana compra 5 kg de patatas , s i 2 kg cuestan 0 .80 € ,

¿cuánto pagará Ana?

Son magn i tudes d irectamente proporc iona les , ya que a más

k i l os , más euros .

2 kg 0 .80 €

5 kg x €

Cons i s te en que dadas unas magn i tudes de un mismo t ipo y una

magn i tud tota l , ca lcu lar l a parte correspond iente a cada una de las

magn i tudes dadas.

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Ejemp lo

Un abue lo reparte 450 € entre sus tres n ietos de 8 , 12 y 16 años de

edad ; proporc iona lmente a sus edades . ¿Cuánto corresponde a cada uno?

L l amamos x , y , z a l as cant idades que l e corresponde a cada uno .

1º E l reparto proporc iona l es :

2º Por l a prop iedad de l as razones i gua les :

3º Cada n ieto rec ib i rá :

PROPORCIONALIDAD

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Un porcentaje es un t ipo de reg la de tres d i recta en e l que una

de las cant idades es 100.

Ejemp los de porcentajes

Una moto cuyo prec io era de 5 .000 € , cuesta en l a actua l idad 250 €

más . ¿Cuá l es e l p orcentaje de aumento?

5000 € 250 €

100 € x €

E l 5%.

A l adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen

un descuento de l 7 .5% . ¿Cuánto hay que pagar por e l veh ícu l o?

100 € 7 .5 €

8800 € x €

8800 € − 660 € = 8140 €

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Tamb ién se puede ca l cu l ar d i rectamente de l

s i gu iente modo :

100 € 92 .5 €

8800 € x €

E l prec io de un ordenador es de 1200 € s in

IVA. ¿Cuánto hay que pagar por é l s i e l IVA es de l

16%?

100 € 1 16 €

1200 € x €

Dos magn i tudes son inversamente proporc iona les cuando, a l

mu l t ip l i car o d i v id i r una de e l l as por un número cua l qu iera, l a otra

queda d iv id ida o mu l t ip l i cada por e l mismo número.

Se estab lece una re lac ión de proporc iona l i dad inversa entre dos

magn i tudes cuando :

PROPORCIONALIDAD

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A más c orresponde menos .

A menos c orresponde más .

Son magn i tudes inversamente proporc iona les , l a ve l oc idad y e l

t iempo :

A más ve l oc idad corresponde menos t i empo .

A menos ve l oc idad cor responde más t i empo .

Un veh ícu l o tarda en rea l i zar un trayecto 6 horas s i s u ve l oc idad e s

de 60 km/h , pero s i dob l amos l a ve l oc idad e l t iempo d i sminu i rá a l a m itad .

Es dec i r , s i l a ve l oc idad es de 120 km/h e l t i empo de l trayecto será de 3

horas .

Apl icac iones de la proporc ional idad inversa

Reg l a de tres s imp le i n versa

Repartos i nversamente proporc iona les

Cons i s te en que dadas dos cant idades correspond ientes a

magn i tudes inversamente proporc iona les , ca l cu lar la cant idad de una

de estas magn i tudes correspond iente a una cant idad dada de la otra

magn i tud.

PROPORCIONALIDAD

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La reg la de tres inversa l a ap l i caremos cuando entre l a s

magn i tudes se estab lecen l as re l ac iones :

A más menos .

A menos más .

Ejemp lo

Un gr ifo que mana 18 l de agua por m i nuto tarda 14 horas en l l enar

un depós i to . ¿Cuánto t ardar ía s i s u cauda l fuera de 7 l por m inu to?

Son magn i tudes i nversamente proporc iona les , ya que a menos l i t ros

por m i nuto tardará más en l l enar e l depós i to .

18 l /min 14 h

7 l /min x h

3 obreros construyen un muro en 12 horas , ¿cuánto tardarán

en constru i r l o 6 obreros?

PROPORCIONALIDAD

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Son magn i tudes i nversamente proporc iona l es , ya que a más

obreros tardarán menos horas .

3 obreros 12 h

6 obreros x h

Dadas unas magn i tudes de un mismo t ipo y una magn i tud tota l ,

debemos hacer un reparto d i rectamente proporc iona l a l as inversas de

las magn i tudes.

Ejemp lo

Tres hermanos ayudan a l manten imiento fami l i ar entregando

anua lmente 5900 € . S i sus edades son de 20 , 24 y 32 años y l as

aportac iones son i nversamente proporc iona le s a l a edad , ¿cuánto aporta

cada uno?

1º Tomamos l os i nversos :

2º Ponemos a común denominador :

3º Rea l i zamos un reparto d i rectamente proporc iona l a l os

numeradores : 24 , 20 y 15 .

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La reg la de tres compuesta se emp lea cuando se re l ac ionan tres o

más magn i tudes , de modo que a par t i r de l as re l ac iones estab lec idas

entre l as magn i tudes c onoc idas obtenemos l a desconoc ida .

Una reg la de tres compuesta se compone de var ias reg las de tres

s imp les ap l i cadas suces i vamente .

Como entre l as magn i tudes se pueden estab lecer re l ac iones de

proporc iona l idad d irecta o inversa , podemos d i s t ingu i r tres casos de

reg la de tres compuesta :

Regla de tres compuesta d irecta

PROPORCIONALIDAD

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Ejemp lo

Nueve gr i fos ab iertos durante 10 horas d ia r i as han consumido una

cant idad de agua por va l or de 20 € . Aver iguar e l prec io de l vert ido de 15

gr i fos ab iertos 12 horas durante l os m ismos d ías .

A más g r i fos , más euros Directa .

A más horas , más euros Directa .

9 gr i fos 10 horas 20 €

15 gr i fos 12 horas x €

Regla de tres compuesta inversa

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Ejemp lo

5 obreros traba jando , trabajando 6 horas d iar i as construyen un

muro en 2 d í as . ¿Cuánto t ardarán 4 obreros t rabajando 7 horas d iar i as?

A menos obreros , más d í as Inversa .

A más horas , menos d ías Inversa .

5 obreros 6 horas 2 d ías

4 obreros 7 horas x d ías

Regla de tres compuesta mixta

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Ejemplo

Si 8 obreros rea l i zan en 9 d ías trabajando a razón de 6 horas por

d ía un muro de 30 m . ¿Cuántos d ías neces i tarán 10 obreros trabajando 8

horas d i ar i as para rea l i zar l os 50 m de muro que fa l tan?

A más obreros , menos d ías Inversa .

A más horas , menos d ías Inversa .

A más metros , más d ías Directa .

8 obreros 9 d ías 6 horas 30 m

10 obreros x d í as 8 horas 50 m

Ejercicios y problemas de proporcionalidad

1Ca l cu l ar e l término desconoc ido de l as s i gu i entes proporc iones :

1

2

3

PROPORCIONALIDAD

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4

5

2Dos ruedas están un idas por una correa t ransmisora . La pr imera

t iene un rad i o de 25 cm y l a segunda de 75 c m. Cuando l a pr imera ha dado

300 vue l tas , ¿cuántas vue l tas habrá dado l a segunda?

3Seis personas pueden v i v i r en u n hote l durante 12 d ías por 792 € .

¿Cuánto costará e l hote l de 15 personas durante ocho d í as?

4Con 12 botes conten i endo cada uno ½ kg de p intura se han p intado

90 m de verja de 80 cm de a l tura . Ca l cu l ar cuántos botes de 2 kg de

p intura serán necesar ios para p in tar u na verja s im i l ar de 120 cm de

a l tura y 200 metros de l ong i tud .

5 1 1 obreros l abran un campo rectangu l ar de 220 m de l argo y 48 de

ancho en 6 d ías . ¿Cuántos obreros serán necesar ios para l abrar otro

campo aná l ogo de 300 m de l argo por 56 m de ancho en c inco d ías?

6 Se i s gr i fos , tardan 10 horas en l l enar un depós i to de 400 m³ de

capac idad . ¿Cuántas horas tardarán cuatro gr i fos en l l enar 2 depós i tos

de 500 m³ cada uno?

7De l os 800 a l umnos de un co l eg io , han i do de v i a je 600 . ¿Qué

porcentaje de a l umnos ha ido de v i a je?

8Una moto cuyo prec i o era de 5 .000 € , cuesta en l a actua l idad 25 0

€ más . ¿Cuá l es e l p orcentaje de aumento?

PROPORCIONALIDAD

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9Al adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un

descuento de l 7 .5% . ¿Cuánto hay que pagar por e l veh ícu l o?

10Al comprar un mon i tor que cuesta 450 € nos hacen un descuento

de l 8% . ¿Cuánto tenemos que pag ar?

11 Se vende un art í cu l o con una gananc ia de l 15% sobre e l prec io de

costo . S i se ha comprado en 80 € . Ha l l a e l prec io de venta .

12 Cuá l será e l prec io que hemos de marcar en un art ícu l o cuya

compra ha ascend ido a 180 € para ganar a l vender l o e l 10% .

13 ¿Qué prec io de venta hemos de poner a un art í cu l o comparado a

280 € , para perder e l 12% sobre e l prec io de venta?

14Se vende un ob jeto perd iendo e l 20% sobre e l prec io de compra .

Ha l l ar e l prec io de venta de l c i t ado art ícu l o cuyo va l or de compra fue de

150 € .

Ejercicios y problemas resueltos de proporcionalidad

Ca l cu l ar e l término desconoc ido de l as s i gu ientes proporc iones :

1

2

PROPORCIONALIDAD

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3

4

5

2

Dos ruedas están un idas por una correa t ransmisora . La pr imera



25 cm 300 vue l tas

75 cm x vue l t as

Se is personas pueden v i v i r en un hote l durante 12 d ías por 792 € .


6 personas 12 d ías 792 €

15 personas 8 d ías x €

PROPORCIONALIDAD

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Con 12 botes conten i endo cada uno ½ kg de p intura se han p in tado




½ kg 90 · 0 .8 m² 12 botes

2 kg 200 · 1 .2 m² x botes

1 1 obreros l abran un c ampo rectangu l ar de 2 20 m de l argo y 48 de



220 · 48 m² 6 d ías 1 1 obreros

300 · 56 m² 5 d ías x obreros

Se is gr i fos , tardan 1 0 horas en l l enar un depós i to de 400 m³ de



6 gr i fos 10 horas 1 depós i to 400 m³

4 gr i fos x horas 2 depós i tos 500 m³

PROPORCIONALIDAD

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De l os 800 a l umnos de un co l eg io , han ido de v i a je 600 . ¿Qué


800 a l umnos 600 a l umnos

100 a l umnos x a l umnos

Al adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un


100 € 7 .5 €

8800 € x €

8800 € − 660 € = 8140 €

Tamb ién se puede ca l cu l ar d i rectamente de l s i gu iente modo :

100 € 92 .5 €

8800 € x €

PROPORCIONALIDAD

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E l prec io de un ordenador es de 1200 € s i n IVA. ¿Cuánto hay que

pagar por é l s i e l IV A es de l 16%?

100 € 1 16 €

1200 € x €

A l comprar un mon i tor que cuesta 450 € nos hacen un descuento de l

8% . ¿Cuánto tenemos que pagar?

100 € 92 €

450 € x €

Se vende un art í cu l o con una gananc ia de l 15% sobre e l prec io de


100 € 1 15 €

80 € x €

PROPORCIONALIDAD

- 22 –



Cuá l será e l prec io que hemos de marcar en un art í cu l o cuya compra

ha ascend ido a 180 € para ganar a l vender l o e l 10% .

venta compra

100 € 90 €

x € 180 €

¿Qué prec io de venta hemos de poner a un a rt í cu l o comparado a 280

€ , para perder e l 12% sobre e l prec io de venta?

venta compra

100 € 1 12 €

x € 280 €

Se vende un ob jeto perd iendo e l 20% sobre e l prec io de compra .


150 € .

100 € 80 €

150 € x €

PROPORCIONALIDAD

- 23 –



Ejercicios y problemas de proporcionalidad

1Un abue lo reparte 45 0 € entre sus tres n ie tos de 8 , 12 y 16 años

de edad ; proporc iona lmente a sus edades . ¿Cuánto corresponde a cada

uno?

2 Se asoc ian tres i nd i v iduos aportando 500 0 , 7500 y 9000 € . A l

cabo de un año han ganado 6 450 € . ¿Qué cant idad cor responde a cada

uno s i hacen un reparto d i rectamente p roporc iona l a l os cap i ta l es

aportados?

3 Se reparte una cant idad de d inero , entre tres personas ,

d i rectamente proporc i ona l a 3 , 5 y 7 . Sab iendo que a l a segunda l e

corresponde 735 € . Ha l l ar l o que l e corresponde a l a pr imera y tercera .

4Se reparte d inero en proporc ión a 5 , 10 y 13 ; a l menor l e

corresponden 2500 € . ¿Cuánto corresponde a l os otros dos?

5Tres hermanos ayudan a l manten imiento fami l i ar entregando

anua lmente 5900 € . S i sus edades son de 20 , 24 y 32 años y l as

aportac iones son i nversamente proporc iona le s a l a edad , ¿cuánto aporta

cada uno?

6Repart i r 420 € , entre tres n iños en partes i nversamente

proporc iona les a sus edades , que son 3 , 5 y 6 .

Un abue lo reparte 450 € entre sus tres n ietos de 8 , 12 y 16 años de

edad ; proporc iona lmente a sus edades . ¿Cuánto corresponde a cada uno?

PROPORCIONALIDAD

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Se asoc ian tres i nd i v i duos aportando 5000 , 7500 y 9000 € . A l cabo

de un año han g anado 6 450 € . ¿Qué cant idad corresponde a cada uno s i

hacen un repar to d i rectamente proporc iona l a l os cap i ta l es aportados?



2Una moto cuyo prec i o era de 5 .000 € , cuesta en l a actua l idad 25 0

€ más . ¿Cuá l es e l p orcentaje de aumento?

PROPORCIONALIDAD

- 25 –



3Al adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un


4Al comprar un mon i tor que cuesta 450 € nos hacen un descuento

de l 8% . ¿Cuánto tenemos que pag ar?

5 Se vende un art í cu l o con una gananc ia de l 15% sobre e l prec io de


6 Cuá l será e l prec io que hemos de marcar en un ar t ícu l o cuya

compra ha ascend ido a 180 € para ganar a l vender l o e l 10% .

7 ¿Qué prec io de venta hemos de poner a u n art í cu l o comparado a

280 € , para perder e l 12% sobre e l prec io de venta?

8Se vende un ob jeto perd iendo e l 20% sobre e l prec io de compra .


150 € .



800 a l umnos 600 a l umnos

100 a l umnos x a l umnos

Al adqu i r i r un veh ícu l o cuyo prec io es de 8800 € , nos hacen un


PROPORCIONALIDAD

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100 € 7 .5 €

8800 € x €

8800 € − 660 € = 8140 €

Tamb ién se puede ca l cu l ar d i rectamente de l s i gu iente modo :

100 € 92 .5 €

8800 € x €

E l prec io de un ordenador es de 1200 € s i n IVA. ¿Cuánto hay que

pagar por é l s i e l IV A es de l 16%?

100 € 1 16 €

1200 € x €

A l comprar un mon i tor que cuesta 450 € nos hacen un descuento de l

8% . ¿Cuánto tenemos que pagar?

100 € 92 €

450 € x €

PROPORCIONALIDAD

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Se vende un art í cu l o con una gananc ia de l 15% sobre e l prec io de


100 € 1 15 €

80 € x €

Cuá l será e l prec io que hemos de marcar en un art í cu l o cuya compra

ha ascend ido a 180 € para ganar a l vender l o e l 10% .

venta compra

100 € 90 €

x € 180 €

¿Qué prec io de venta hemos de poner a un a rt í cu l o comparado a 280

€ , para perder e l 12% sobre e l prec io de venta?

venta compra

100 € 1 12 €

x € 280 €

PROPORCIONALIDAD

- 28 –



Se vende un ob jeto perd iendo e l 20% sobre e l prec io de compra .


150 € .

100 € 80 €

150 € x €

Ejercicios y problemas de regla de tres

1Dos ruedas están un idas por una correa t ransmisora . La pr imera



2Seis personas pueden v i v i r en u n hote l durante 12 d ías por 792 € .


3Con 12 botes conten i endo cada uno ½ kg de p intura se han p intado




4 1 1 obreros l abran un campo rectangu l ar de 220 m de l argo y 48 de



PROPORCIONALIDAD

- 29 –



5 Se i s gr i fos , tardan 10 horas en l l enar un depós i to de 400 m³ de



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