Propiedades de los Sistemas Lineales e Invariantes en el Tiempo

La respuesta al impulso de un sistema LTIC (h(t)), representa una descripción completa de las

características del sistema. Es decir la caracterización del modelo matemático que domina al

sistema.

h(t)x(t) y(t)

Respuesta

al Impulso

Salida del

sistema

Entrada del

sistema

Propiedad de memoria de un sistema LTIC.

Los sistemas sin memoria son aquellos en los que la salida en cualquier instante depende solo

del valor de entrada en ese instante. Los sistemas invariantes en el tiempo y sin memoria

obedecen a una relación de entrada salida de la forma:

y(t) = k x(t)

k � constante.

Un ejemplo claro de un sistema sin memoria es el siguiente:

Propiedad de causalidad de un sistema LTIC.

La salida de un sistema causal depende solamente de los valores y pasados de la entrada. Con

la integral Convolución se relaciona una propiedad equivalente al impulso de un sistema LTIC.

Para un sistema LTIC continuo, y(t) no deberá depender de x(λ) para λ > t.

Esto se cumple si:

h(t) = 0

para t < 0

y Ht L = ‡−∞

tx HλL h Ht − λL � λ

y Ht L = ‡0

∞

h HλL x Ht − λL � λ

h Ht L = u Ht L → ejemplodeunsistemacausal

h Ht L = 8 δ Ht + t 0L t 0 > 0< → nocausal

h Ht L = 8 δ Ht − t 0L t 0 ≥ 0< → causal

Sistemas LTI invertibles

Un sistema es invertible solo si se puede diseñar un sistema inverso que cuando se conecta en

cascada con el sistema original produce una salida igual a la entrada del sistema inicial.

Para h1(t), que represente la respuesta al impulso del sistema inverso:

y(t) = h1(t) * h(t) * x(t) = x(t)

h1(t) * h(t) = h(t) * h1(t) = δ(t)

Sistemas LTI estables

Un sistema es estable si cada entrada limitada produce una salida limitada. Para establecer las

condiciones bajo las cuales los sistemas LTI son estables, considere una entrada x(t) que esta

limitada en magnitud.

» x Ht L » B

» y Ht L » = À ‡−∞

∞

h HλL x Ht − λL � λ ÀÀ y Ht L À ‡

−∞

∞ À h HλL À À x Ht − λL À � λ

B ‡−∞

∞ À h HλL À � λ

El es estable si :

‡−∞

∞ » h HλL » � λ ∞

Es decir el sistema es estable si la respuesta

al impulso es absolutamente integrable.

Ejercicios

Determinar si los sistemas con respuesta al impulso que se presentan son causales o no

causales, con o sin memoria, estables o inestables.

a. h1(t) = te-2t

u(t) + e3t

u( - t) + δ(t -1 )

b. h2(t) = -3e2t

u(t)

c. h3(t) = 5δ(t + 5)

d. h4(t) = �� �����

��

Causalidad

Los literales: a, c, d son no causales, porque h(t) ≠ 0, cuando t < 0.

El literal b; es causal, ya que h(t) = 0, para t < 0. Se lo puede apreciar en la siguiente gráfica:

Memoria

La respuesta al impulso h(t), no es de la forma kδ(t) para ninguno de los sistemas, todo ellos

tienen memoria.

Estabilidad

(a)

‡−∞

∞ » h1 Ht L » �t = ‡0

∞

te −2 t � t + ‡

−∞

0e3 t

� t + 1

∗∗ ∗∗ ∗∗

I = ‡0

∞

te −2 t �t

a = −2 t t = −aê2

da = −2 dt dt = −daê2

I = ‡0

∞J −a

2N ea

�a

−2

I =1

4‡

0

∞

aea �a

u = a du = da

‡ v �v = ‡ ea �a = ea

I = uv − ‡ v �u

I = aea− ‡ ea

�a

I = aea− ea

I =1

48eaHa −1L< ƒƒƒƒƒƒƒ

0

∞

I =1

49e−2 t H−2 t −1L= ƒƒƒƒƒƒƒ

0

∞

I = e−2 t J −t

2−

1

4N ƒƒƒƒƒƒƒ

∞

0

I = 0J −∞ −1

4N − 1 J0 −

1

4N

I = Indeterminación.

Se puede concluir que el sistema del literal (a), es un sistema estable, porque nos da un valor

finito.

(b)

Como se puede apreciar en el resultado, la respuesta tiende al infinito, por lo tanto se trata de

un sistema inestable.

(c)

El sistema es estable.

(d) Ejercicio, determinar si el sistema es estable o no.

I = ‡0

∞

t e − 2 t � t + ‡

−∞

0

e3 t � t + ‡

−∞

∞

δ Ht − 1L � t

I =1

4+

1

3+ 1

I =19

12

I = ‡−∞

∞ » h2 Ht L » � t

I = ‡−∞

∞

3 e2 t � t

I = ‡0

∞

3 e2 t � t

I =3

2e2 t À

0

∞

I =3

2 He∞

− e0LI =

3

2 H∞ − 1L

I = ∞

I = ‡−∞

∞ » h3 Ht L » � t

I = ‡−∞

∞

5 δ Ht + 5L � t

I = 5

Sistemas descritos por Ecuaciones Diferenciales

La respuesta de muchos sistemas físicos se pueden expresar como función de ecuaciones

diferenciales, ejemplo de ello son las redes eléctricas y los sistemas con condensadores y

bobinas ideales.

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

Consideremos un sistema en tiempo continuo, descrito por la siguiente ecuación diferencial

entrada/salida.

Donde D es el operador de diferenciación que transforma la señal y(t) en su derivada y’(t). Para

la resolución de la ecuación es necesario tener las condiciones iníciales.

Componentes básicos de los sistemas

dN y HtL

dt N+ „

i=0

N- 1

aid i y HtLdt i

= ‚i=0

M

b id i x HtL

dt i

ai, i = 1, 2, 3, N - 1

j = 1, . . . , M

Son constantes reales y N > M

ikjjjjDN

+ ‚i=0

N- 1

ai Diy{zzzz y HtL =

ikjjjj‚

i=0

M

b i Diy{zzzz x HtL

Un sistema es compuesto por:

� Integradores.

� Multiplicadores por escala.

� Sumadores.

A su vez, estos componentes en electrónica se conforman de resistencias, condensadores y

amplificadores operacionales.

El integrador

Elemento básico en teoría de sistemas y sus aplicaciones.

∫x(t)

La ecuación diferencial de entrada salida para el integrador es:

Sumadores y restadores

y HtL = y Ht0L + ‡t 0

tx HλL � λ,

t ≥ t 0

dy HtLdt

= x HtL

‡ y HtL ' ‚t = ‡ x HtL ‚t

y HtL = ‡ x HtL ‚t

Si y Ht0L = 0, se dice que el integrador esta en reposo.

Multiplicador escalar

Ejemplo: Encontrar la ecuación diferencia que describe el sistema.

v2 HtL = y ' HtL = y1 HtL + 4 y HtL + 4 x HtLv2 HtL = dy HtL

dtv2 HtL dt = dy HtLy HtL = ‡ v2 HtL ‚ t

y' 1 HtL = v1 HtLy'' HtL = v ' 2 HtLy'' HtL = y' HtL + 4 y' HtL + 4 x' HtLy'' HtL = v1 HtL + 4 y' HtL + 4 x ' HtLy'' HtL = -y HtL + 2 x HtL + 4 ' y HtL + 4 x' HtLy'' HtL = 4 y' HtL - y HtL + 4 x ' HtL + 2 x HtLy'' HtL - 4 y' HtL + y HtL = 4 x ' HtL + 2 x HtL

Diagramas de Simulación para Sistemas

b0 b1

-a0 -a1

+ ∫ + ∫

x(t)

y(t)

+ ∫ +

bn-1 bn

-an-1

Primera forma canónica

Segunda forma canonica

+ ∫

bn

+

∫

bn‐1 bn‐2

+

∫

+

b1

+

b0

‐a0‐a0‐an‐2‐an‐1

+++

x(t)

y(t)

D Nv(t)

v(t)

Ejemplo1. Obtener el diagrama de simulación para el sistema LTI descrito por la siguiente

ecuación diferencial con coeficientes constantes.

y''(t) + 3y'(t) + 4y(t) = 2x''(t) ‐ 3x'(t) + x(t)

Primera forma canónica

D2@y Ht LD = D2@2 x Ht LD + D1@−3 x Ht L − 3 y Ht LD + D0@x Ht L − 4 y Ht LD

Dividimostodalaecuación para D

D2@y Ht LDD

=D2@2 x Ht LD + D1@−3 x Ht L − 3 y Ht LD + D0@x Ht L − 4 y Ht LD

Dy Ht L = 2 x Ht L + D−1@−3 x Ht L − 3 y Ht LD + D−2@x Ht L − 4y Ht LD

Segunda forma canónica

Cambiamos los diferenciales por la variable v, luego separamos la ecuación en dos partes. Tal

como se muestra a continuación.

y''(t) + 3y'(t) + 4y(t) = 2x''(t) - 3x'(t) + x(t) y(t) = 2v''(t) - 3v'(t) + v(t) v''(t) + 3v'(t) + 4v(t) = x(t) v''(t) = x(t) - 3v'(t) - 4v(t)