Propiedades de los Reales

Dra. Noemí L. Ruiz Limardo 2004-2005 © Derechos Reservados

Objetivos de lección

Descubrir las propiedades de los números RealesIdentificar las propiedades de los números Reales que ilustra un ejercicio dado

Ejercicio de Exploración

InstruccionesA continuación aparecen unos ejercicios que ilustran diferentes ecuaciones.Escribe las ecuaciones de cada ejercicio en tu libreta. Estudia la parte izquierda y la parte derecha de cada ecuación y determina qué cambió.Cada grupo de ejercicios ilustra un solo tipo de cambioContesta las preguntas que aparecerán más adelante en tu libreta.

Ejercicio 1

-2 + 3 = 3 + -27 + 1/7 = 1/7 + 7-6 + -2 = -2 + -6

3 + (a + b) = (a + b) + 3

x + (2 . 8) = (2 . 8) + x3x – 7 = -7 + 3x

Exploración Ejercicio 1¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación (el orden de los números o la forma como están agrupados)?¿Qué operación matemática se afectó con el cambio: suma o multiplicación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Ejercicio 2

3 . (-5) = (-5) . 3

2x = x . 2(a + b) 2 = 2 (a + b)

(-6) . ab = ab . (-6)

½ . (10 + 4) = (10 + 4) . ½

(6 – 8) . (2 + 3) = (2 + 3) . (6 – 8)

Exploración Ejercicio 2¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación (el orden de los números o la forma como están agrupados)?¿Qué operación matemática se afectó con el cambio: suma o multiplicación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Análisis de Ejercicios 1 y 2

Conmutar significa intercambiar de orden.La propiedad que asegura que al intercambiar el orden de los números se obtiene el mismo el resultado se llama: Conmutativa.Si la operación que se afecta es suma, se llama Conmutativa de la Suma.Si la operación que se afecta es multiplicación se llama Conmutativa de la Multiplicación.

Propiedad Conmutativa

A continuación aparece la forma general

de expresar la propiedad conmutativa:Conmutativa de la Suma

a + b = b + aConmutativa de la Multiplicación

a . b = b . a

Ejercicio 3

(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)-7 + (-1 + 5) = (-7 + -1) + 5

(2x + 5) + 10 = 2x + (5 + 10)(-1 + 5) + 4 = -1 + (5 + 4)x + (y + 2) = (x + y) + 2

Exploración Ejercicio 3¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación (el orden de los números o la forma como están agrupados)?¿Qué operación matemática se afectó con el cambio: suma o multiplicación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Ejercicio 4

(-1 . 5) . 4 = -1 . (5 . 4)

(xy) . 2 = x . ( y . 2)

-5 (ab) = (-5a) . B

-7 . (-1 . 5) = (-7 . -1) . 5

(2x . 5) . 10 = 2x . (5 . 10)

Exploración Ejercicio 4¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación (el orden de los números o la forma como están agrupados)?¿Qué operación matemática se afectó con el cambio: suma o multiplicación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Análisis de Ejercicios 3 y 4

Asociar significa agrupar.La propiedad que asegura que al cambiar la agrupación de los números se obtiene el mismo el resultado se llama: Asociativa.Si la operación que se afecta es suma, se llama Asociativa de la Suma.Si la operación que se afecta es multiplicación se llama Asociativa de la Multiplicación.

Propiedad Asociativa

A continuación aparece la forma general

de expresar la propiedad asociativa:Asociativa de la Suma

(a + b) + c = a + (b + c)Asociativa de la Multiplicación

(a . b ). c = a . (b . c)

Ejercicio 5

3 ( 4 + 1) = 12 + 37 ( x - y) = 7x - 7y

a (-2 + 5) = -2a + 5a-2 (5 + -4) = -10 + 8

12x + 24 = 12 (x + 2)5 + 15x = 5 ( 1 + 3x)

Exploración Ejercicio 5¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación?¿Qué operaciones matemáticas se incluyen en cada ecuación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Análisis de Ejercicio 5Esta propiedad es la única que une dos operaciones en en el mismo ejercicio: suma y multiplicación. Recuerda que la resta se puede ver como una suma de opuestos, por tanto solo decimos suma y no resta.Esta propiedad asegura que al multiplicar un número por una suma se obtiene el mismo resultado que multiplicar el número por cada uno de los sumandos en forma individual.

Análisis de Ejercicio 5

Esto significa que la multiplicación de un número por una suma se distribuye en la suma de las multiplicaciones, del número por cada uno de los sumandos.Por esto, esta propiedad se llama: Propiedad Distributiva.

Propiedad Distributiva

A continuación aparece la forma general

de expresar la propiedad distributiva:

Propiedad Distributiva a (b + c) = ab + ac

Ejercicio 6

7 + 0 = 7-2 + 0 = -2

0 + 3/5 = 3/50 + ab = ab-xy + 0 = -xy

Exploración Ejercicio 6¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación?¿Qué operación matemática se incluye en cada ecuación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Análisis de Ejercicios 6En cada una de las ecuaciones se suma 0 y el resultado que se obtiene es el número al cual se le ha sumado 0. La propiedad que asegura que al sumar 0 a cualquier número, el número no pierde su identidad, esto significa que se obtiene como resultado el mismo número, se llama: Identidad.En este caso, como la operación es suma la propiedad se llama: Identidad de la Suma.

Ejercicio 7

3 . 1 = 3

-6 . 1 = -6

1. a = a

1 . -xy = -xy

2/5 . 1 = 2/5

Exploración Ejercicio 7¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación?¿Qué operación matemática se incluye en cada ecuación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Análisis de Ejercicios 7En cada una de las ecuaciones se multiplica por 1 y el resultado que se obtiene es el número al cual se ha multiplicado por 1. La propiedad que asegura que al multiplicar cualquier número por 1, el número no pierde su identidad, es decir, se obtiene como resultado el mismo número, se llama: Identidad.En este caso, como la operación es multiplicación la propiedad se llama: Identidad de la Multiplicación.

Propiedad de IdentidadA continuación aparece la forma general de expresar la propiedad de identidad:

Identidad de la Suma a + 0 = a

Identidad de la Multiplicación a . 1 = a

Ejercicio 8

2 + -2 = 0-5 + 5 = 0

¼ + -¼ = 0-2/3 + 2/3 = 00.4 + -0.4 = 0

Exploración Ejercicio 8¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación?¿Qué operación matemática se incluye en cada ecuación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Análisis de Ejercicio 8En cada una de las ecuaciones se suma el opuesto de cada número y se obtiene como resultado 0, que es el elemento identidad de la suma. Recuerda que el opuesto de un número se halla cambiando el signo del número: positivo o negativo.La propiedad que asegura que al sumar dos números opuestos se obtiene como resultado 0, se llama: Inverso de la suma.

Ejercicio 9

2/5 . 5/2 = 1

-3/4 . -4/3 = 12 ½ = 1

1/3 . 3 = 1

1/6 . 6 = 1

-7 . -1/7 = 1

Exploración Ejercicio 9¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación?¿Qué operación matemática se incluye en cada ecuación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Análisis de Ejercicio 9En cada una de las ecuaciones se multiplica por el recíproco de cada número y se obtiene como resultado 1, que es el elemento identidad de la multiplicación. Recuerda que el recíproco de un número se construye invirtiendo las cantidades en el numerador y denominador, cuando el número está expresado como fracción.

Análisis de Ejercicio 9Recuerda que si el número es entero al escribirlo como fracción se coloca sobre 1 (ejemplos: 2/1, 7/1, -5/1).La propiedad que asegura que al multiplicar dos recíprocos se obtiene como resultado 1, se llama: Inverso de la multiplicación.

Propiedad de InversosA continuación aparece la forma

general de expresar la propiedad de

inversos:Inverso de la Suma

a + = 0

(-a)

(Opuestos)

(1/a)(Recíprocos)

Inverso de la Multiplicación

a . = 1

Ejercicio 10

5 . 0 = 0

-2 . 0 = 0

½ . 0 = 0

0 . (-8) = 0

0 . (1.9) = 0

0 . (-13/9) = 0

Exploración Ejercicio 10¿Qué tienen en común las ecuaciones anteriores?¿Qué cambio se observa de la parte izquierda a la parte derecha de cada ecuación?¿Qué operación matemática se incluye en cada ecuación?Expresa en tus propias palabras lo que ilustra esta propiedad.

Análisis de Ejercicio 10En cada una de las ecuaciones se multiplica por 0 y se obtiene como resultado 0. La propiedad que asegura que al multiplicar cualquier número por 0 se obtiene 0, se llama: Multiplicativa del 0.

Propiedad Multiplicativa del 0

A continuación aparece la forma general de expresar la propiedad de

multiplicativa del 0 :

Propiedad Multiplicativa del Cero a . 0 = 0 . a = 0

Propiedades de los Reales

Resumen de las Propiedades de los

Reales Identidad

De la Suma De la

Multiplicación Inverso

De la Suma De la

Multiplicación Distributiva

Conmutativa De la Suma De la

Multiplicación Asociativa

De la Suma De la

Multiplicación

Practica identificar la propiedad

Ejercicio de Identificar la Propiedad

InstruccionesA continuación aparecen unos ejercicios que ilustran propiedades de los Reales.Estudia la parte izquierda y la parte derecha de cada ecuación y determina qué propiedades de los Reales ilustra cada ejercicio. Recuerda que el nombre de la propiedad incluye la operación matemática que ilustra.Después que hayas contestado el ejercicio, haz clic sobre el botón que contiene número del ejercicio para ver la respuesta.

Identifica la Propiedad

(6 + 8) + 2 = (8 + 6) + 2(6 + 8) + 2 = 6 + (8 + 2)(6 + 8) + 2 = 6 + (2 + 8)3 . (4 + 1) = (4 + 1) . 33 . (4 + 1) = (1 + 4) . 33 . (4 + 1) = 12 + 36 . (5 + -2) = 30 – 12

1

2

3

4

6

7

5

Identifica la Propiedad

–18 + 18 = 0–18 . 0 = 0-18 . -1/18 = 1-18 + 0 = -18-18 . 1 = -185 . (6 . -2) = (5 . 6 ) . -2(7 – 6) + 3 = (-6 + 7) + 3

8

9

10

11

12

13

14

Identifica la Propiedad

(-2 . 5) + 4 = 4 + (5 . -2)(-3 . 3) + 1 = (3 . -3) + 18 + 12 = (4 + 6) . 2(-1 . 3) . 5 = (5 . -1) . 36 . 0 = 07 + 0 = 70 . -2 = 0

15

16

17

18

19

20

21

Identifica la Propiedad

-3 = -3 + 00 = -9 + 90 + 0 = 00 . 0 = 00 . 35 = 35

22

23

24

25

26

Oprime

aquí

para salir

Contestación a Ejercicio

Conmutativa de la Suma

Contestación a Ejercicio

Conmutativa de la Multiplicación

Contestación a Ejercicio

Conmutativa de la Suma y

Conmutativa de la Multiplicación

Contestación a Ejercicio

Asociativa de la Suma

Contestación a Ejercicio

Conmutativa de la Sumay

Asociativa de la Suma

Contestación a Ejercicio

Conmutativa de la Multiplicacióny

Asociativa de la Multiplicación

Contestación a Ejercicio

Asociativa de la Multiplicación

Contestación a Ejercicio

Distributiva

Contestación a Ejercicio

Identidad de la Suma

Contestación a Ejercicio

Identidad de la Multiplicación

Contestación a Ejercicio

Inverso de la Suma

Contestación a Ejercicio

Inverso de la Multiplicación

Contestación a Ejercicio

Multiplicativa del Cero

Contestación a Ejercicio

Identidad de la Sumae

Inverso de la Suma

Contestación a Ejercicio

Ninguna de las Propiedades.No es la Multiplicativa del Cero ya que al multiplicar por cero el resultado no es cero.