REVISTA MEXICANA DE FISICA 44 SUl'I.E~IENT() 3.53-58 DICIEMBRE 1998

Propagación de ondas pulsadas en un chiroplasma magnetizado

H. Torres-SilvaDepartamento de Electrónica, Facultad de !ngenieda, Universidad de Tarapacá

Casilla 6D, Arica, Chilee-mail: htorres@be/en.electa.uta.e/

Recibido el 20 de enero de 1998: aceptado el 26 de marzo de 1998

Los chiroplasmas al estar sometidos a un campo magnético constante. presentan parámetros constitutivos anisotr6picos. Para chiroplasmaselectrónicos. esta anisotropía elche ser descrita utilizando un tensor permitividad en lugar de la permitividad escalar usual. Cada miembrode este temor es tarnhién dependiente de la frecuencia. Este trabajo describe una formulación por diferencias finitas en el dominio deltiempo. que incorpora anisOIropía y dispersión de frecuencia <1 la vez, permitiendo así un análisis transiente de banda ancha de chiroplasmasmagneloaclivos. Se prescnlan resultados pz.ra la reflexión y la transmisión a través dc una capa magnetizada de chiroplasma que muestra elcrecimien!o de modos de una onda chiro transversal RCP. ESle modelo estratificado puede ser escalado a frecuencias de luz fotónica del soly densidad de plasma. para e~ludios de la propagación de ondas en la ionósfera contaminada por aerosoles y moléculas de CFe.

Dl'Jcriprores: Chiroplasmas; anisotropía; convolución; ionósfera

Whcn subjecI to a constant magnelic f¡cld. chiroplasmas exhibit anisotropic constitutive parameters. For electronic chiroplasmas, the focus ofthis papero Ihis anisotropy must he descrihed by using a permillivity lensor instcad 01'the usual scalar permittivity. Each rnember of this tensoris also highly frequency dependcn!. This paper describes a finitc difference time-domain formulation which incorporates both anisotropy andfrequcncy dispcrsion al the same time. enabling the wide-hand lransienl analysis of magnetoaetive chiroplasma. Results are shown for thereflcetion and transmission through a magnclized chiroplasma layer whieh show the growing modes in the RCP chiro transverse wave. Thisslatified model can be scaled to solar photonie frequcncies and plasma densily to sludy (he wave propagation in the ionosphere comaminaledby acrosols and CFC molecules.

Kt')...••.'ords: Chiroplasma: anisotropy; eonvolution: ionosphcre

PAes: 52.35.-g: 94.20.Bb

lo Introducción

El método de las diferencias finitas en el dominio del tiempo(FOTO) ha sido muy ulilizado para simular la propagaciónde ondas. Luebbers et al. (1], demostraron que la interacciónde ondas electromagnéticas transientes de banda ancha, conmateriales con permitividad dependiente de la frecuencia deltipo dc Debyc, podía ser eficientemente calculada extendien-do el mélodo FOTO, lal que incluya la convolución discre-la del campo eléctrico con la funci6n de susceplibifidad enel dominio del liempo. PosleriormenJe, Luebbers el al. [2]extendieron esta capacidad a plasmas con la formulación deDrude para la permilividad dependienJe de la frecuencia. Lasconvoluciones pueden realizarse recursivamente. Esto es po-sihle pueslo que las permitividades de Oebye y Drude son deprimer orden y las correspondientes funciones de susceptibi-lidad, en el dominio del tiempo. son exponenciales.

Para plasmas magnctizados las funcioncs de la pcrmitivi-dad en el dominio de la frecuencia son de segundo orden,y las susceplibilidades correspondienles en el dominio delticmpo son funcioncs seno y coseno amortiguadas exponen-cialmente. En este trabajo, por primera vez se ha hecho lacorrespondiente extensión del método FDTD para un chiro-plasma magnctizado estratificado La única modificación ne-cesaria del eficiente enfoque recursivo de Luebbers el al. [2],requiere que el número adicional almacenado sea complejo.

También las condiciones de estabilidad numérica para chiro-plasma son más restrictivas que las encontradas para un plas-ma convencional

El enfoque planteado en esle trabajo, considera la depen-dencia con la frecuencia de la pcrmitividad mediante la con.volución. Esto es, la integración en las relaciones constituti-vas del chiroplasma. Con es la técnica, el enfoque de la con-volución es completamente general y la elección entre estemélodo por sobre uno de los enfoques diferenciales dependede los recursos computacionales disponibles.

El análisis IransienJe de plasmas isotrópicos, usando elmélodo FOTD dependienle de la frecuencia. denominado(FD)2TD, fue presentado por Luebbers er al. [2]. Un estu-dio de transiente de plasmas magnetizados puede encontrar-se en Kashiwa el al. [3]. En este Irabajo, se generalizan esosestudios y se muestra como la anisotropía y la dispersión defrecuencia de los chiroplasmas magnelizados pueden ser efi-cienlemente lraladas con el mélodo FDTD, sin recurrir a lagran canJidad de memoria requerida por otros métodos.

Se debe nolar que el mélodo FDTD es un enfoque ma-croscópico y que el interés primario, de este trabajo. esestudiar como las ondas electromagnéticas interactúan conun chiroplasma magnetizado, mostrando en nuestro cálculonumérico la posibilidad de simular plasmas ionosféricos con-taminados con aerosoles.

54 H, TORRES-SILVA

n r(m+l)ó.t- 2:= E;+I-rn Jn "i:x,(T) dTm=O rnÓ,t

donde solamente las partes reales de Dz y DII se usan paracalcular los valores de campo actualizados. Oado que Ex YE" se presumen constantes en cada paso FDTD, tenemos:

2. Algoritmo para un chiroplasma

El estudio numérico de rclaciones de dispersión en el domi-nio de la frecuencia para chiroplasmas magnetizados ha sidorecientemente estudiado por Torres-Silva el al. [41. La im-plementación de la convolución de la susceptibilidad com-pleja, en el dominio del tiempo, no es la única dificultadque los chiroplasmas magneto-activos presentan al aplicar-se el método FOro. El otro problema es que las ecuacionesFOTO, para dos componentes de campo, deben resolverse si-multáneamente puesto que están acopladas por los términoschirales fuera de la diagonal. Las relaciones constitutivas eneste caso son:

(8)

Ó, en términos de los pasos discretos en el tiempo y de lassusceptibilidades complejas

donde 13es el efecto chira\.En el dominio del tiempo y usando la integral de convo-

lución, para las componentes x e y:

(11 )

(1+ XO )En+1 _ En _ vO E"+''xx:r Z J\.Zy 11

n-l (m+l)6.t

2:= E~-m 1 Xxx(T) dTm=l mó.t

n-1 (m+1)6.t

+ 2:= E~'-'" 1 Xx,(T)dTm=O ma.t

n r(m+l)ót-L E;+I-m J" \ZI/(T) dTm=l m8t

" 1(m+l)ó.l+ 2:= E~+'-rn Xxx(T) dTm=l m6.t

= £"+1 _ En + XO £"+1 _ X.O £n+lz x,:rx z Zll JI

+ ¡3[:y (E~+l - E~) + jk(E;+1 - E;)], (9)

n-l n-l

_ "'"' En-mÓXm + ~ En-mÓXrnL- z ' zx L- y , xym=O m=O

,,-1 /,(m+2)At+ 2:= E~-rn[Xxx(T)dT

m=O (m+l).o.1

1(rn+I)'"

- Xxx(T) dT]mó.t

+ ¡3[:y (E~+' - E~) + jk(E;+l - E;)]. (10)

La Ec. (10) queda como:

bn+1 bnx - x = (1 + XO )E,,+I _ E" - XO En+1

£0 xx Z % zy y

bn+1 _ bu• x

£0

y se desprende que:

(7)

(6)

(4)

(5)

Dx(t) ¡'-- = Ex(t) + Ex(t - T)Xxx(T)dT£0 o

-fa' E,(t - T)Xx,(T) dT + ¡3[~Ex(t) + jkE,(t)],

D,(t) = E,(t) + r' E,(t - T)X.,(T) dTéo Jo

r' v+ Jo Ex(t-T)X,x(T)dT-¡3[vxEx(t)+jkEx(t)],

Dx(w) = £0[1 + Xxx(w)J Ex(w) - jXx,(w)£oE,(w)

+ 13£0[:yEx(w) + jkE,(w)] , (1)

D,(w) = £0[1 + X,,(w)]E.(w) + jx,x(w)£oEx(w)

- 13£0[:x Ex(w) + jkEx(w)], (2)

D,(w) = £0[1 + X,,(w)]E,(w)

- 13£0[:x E,(w) - :y Ex (w)] , (3)

[)" ¡"'"_x = E~ + Ex(nC.t - T)Xxx(T) dT£0 o

["'" V)- Jo E,(nc.t-T)xx,(T)dT+¡3(8yE~+j¡3E;,

[)" 1"'"_, = E; + E,(nC.t - T)X,,(T) dT[o o["'" ( v+ Jo Ex(nC.t - T)X,x(T) dT - 13 vx E~ + jkE~),

Rev. Mu. Fís. 44 S3 (1998) 53-58

PROPAGACiÓN DE ONDAS PULSADAS EN UN C/JIROPLASMA MAGNETIZADO 55

+ il/ (\7 X }}n+ \/2) ,EO •

n

wn+1 = ""'""'Et1+1-m.ó.vOxx L x ,"xx

111=0

(13 )

n-¡

.pu = ""'""'En-m,6,0xz L x \xx.m::;Q

n-l n-}

1, = En + "En-m.ó.vffi + ""'""'En-IJl,Ó., 111\y Y L 11 '''YY L Z '\YJ.

m::;O m=O

Puesto que .ó.X~x tiene una dependencia exponencial deltiempo, la convoluci6n puede evaluarse recursivamente co-mo (vea Luebbers el al. [2]):

donde se entiende que solamente las partes reales de las can-tidades complejas, se usan en cada paso de la actualizaciónde los campos.

La evaluación de las cuatro convoluciones discretas, queaparecen en las ecuaciones anteriores. se simplifica muchodebido a la naturaleza exponencial de la susceptibilidad com-pleja en el dominio del tiempo.

Se define una convoluci6n discreta por:

6, resolviendo para los nuevos valores de campo,

I {{J[~ (En+1 _ En) + jk(En+1 _ En)]}.1 + \~x Dy:: Z y y

+ I: E;-m ilX~ + ~: (\7 X H"+l/2) J111=0

n-1 .ó." En-mil\~n + _/ (\7 X Hn+1/2) ]L y y Eo xm=O

n-l

En+1 = 1, [En _ ,,0 En+l + ""'""'En-m.ó.xmy 1 + .\O Y Xyx x L- y / 11'11'

IIY m=O

11-1

I [En + ,o En+1 + ~ E"-mii, m= 1+ ~O x \xy y ~ Z1.n

\xx 111=0

Mediante el mismo procedimiento:

Debe mencionarse que este resullado es una generaliza-ción del resultado informado por primera vez por Moghad.dam et al. 16]. dentro de un marco de simulaciones numéricasde la propagación de ondas electromagnéticas transientes enmedios no homogéneos.

Por lo tanto, cada convolución discreta requiere almace-nar un número complejo por celda. con dos multiplicacionescomplejas y una suma por operaci6n de actualización.

Por lo tanto, cada convoluci6n discreta requiere almacenar unnúmero complejo por celda. con dos multiplicaciones com-plejas y una suma por operaci6n de actualización. Esto esmucho más simple que los métodos descritos por Kashiwa elal. [3], y por Joseph et al. [5J.

El remanente del algoritmo actualización del FDTD chi-ral permanece igual que el del algoritmo tradicional FDTD.

La condición de estabilidad para el esquema 2DIFDTDpuede ser obtenida como:

(15)[1 1 ({J)2]!

vil/::; (ilX}2 + (ily)2 + 2 .

Estas tres ecuaciones pueden ser resueltas simultáneamente,dando para la componente x

- {J [~(En+l - En) + ~ (En+1 _ En)]aX. • ay x x.

E;+1 = k¡ [J\.\~.+ [(x (1 + X~x)]

-{JI:¡ o {[(.jk(I+X~,).\zz

[( o ) a o a] .+ 1+ Xxx ay - Xx. ax l\,

+ (;x E;' + jkE;) (1 + X~y)x~y

(:v E;' + jkE~)( 1+ X~x) (1+ x~,)}, (12)

donde:

n-l n-l

1,. - En + ""'""'En-m.ó.m _ ~ En-m.ó. \"1Jl\x - x L x \zy L y \XII

10=0 m=O

+ il/ (\7 X Hn+1/2) ,EO x

3, Modelo numérico y discusión

Para observar el efecto chiral y la rotaci6n chiro-Faraday, yel campo chiral generado, se considera un Illodelo unidimen-sional estratificado según el eje z.

Re\'. Mex. f'ís. ~ S3 (1998) 53-58

56 H. TORRES.SILVA

Las próximas consideraciones son las limitaciones de laexactitud y de la estabilidad respecto de ~z y ~t. Debeseñalarse que, para que la exactitud sea buena. ~z debe sermucho menor que la longitud de onda mínima de interés yque la dimensión mínima del dispersor. Para la estabilidad.los pasos de tiempo deben ser suficientemente pequeños. asílos valores de campo afectarán solamente los valores vecinosmás cercanos durante un intervalo de tiempo interno. Paraecuaciones unidimensionales. un criterio necesario de estabi-lidad es

c~t < ~z. ( 16)

inicial del pico del pulso. se tiene

Zp ')

E~(k) = Eo [ - In(O.OO1) e-,,~)-]. (20)

Para propagación en la dirección z positiva. los camposmagnéticos correspondientes están dados por:

donde

donde e es la velocidad de luz en el medio chira!. Una elec-ción conservadora es

In(O.OOI) In(O.OOl)J= (w.~z)2 = (w.2.c.Jtf (19)

Escribiendo (22) como una ecuación diferencia. apropia-da para excitar una onda propagándose. con zp como posición

donde Zo es la impedancia del espacio libre.La consideración final. antes de programar las ecuaciones

anteriores es absorber los pulsos. a medida que inciden en loslímites del espacio que define el problema. Existe importanteliteratura sobre las condiciones de contorno absorbentes enFOTO. Mur [7J. Higdon [8]. pero al igual que nuestra for-mulación permiten s610 incidencia normal. el problema sesimplifica apreciablemente en formulaciones 2-D y 3.D. Lageometría usada. en este caso. consiste en un medio unidi-mensional estratifkado por capas. Así. el medio simula el es.pacio lihre con la excepción de las capas 330 a 400 que sondel tipo de chiro-dieléctrico. Cada capa (~z) es de 6.0 Illm.tal que la porción dieléctrica es de 42 cm de espesor.

A continuación se muestra una sucesión de gráficos delcampo eléctrico \'ersus posición. en diferentes inlervalos detiempo. para un pulso incidente Gaussiano (Fig.l). La por-ción chiral tiene una permitividad relativa unitaria, wp es lafre(,:uencia de plasma. Wy es la frecuencia ciclotrónica, Ve: esla frecuencia de colisión de los electrones y represenla el me.canislllo de pérdida. La propagación y la rellexión del pul-so son claramente visibles. Donde: '-v'p = 0.9. wy = -0.5.Ve = 0.001. (J = 0.05 Yt, = 1.0.

(18)

( 17)c~t = 0.5~z.

este último criterio es el usado en este modelo de demostra-ción.

Se debe considerar también la excitación de la ecuacióndiferencia. Se puede discutir la conveniencia de usar diferen-tes formas de pulso, en referencia a su contenido de frecuen-cia. Es usual. sin embargo. escoger un pulso Gaussiano. Sihacemos Eo la amplitud máxima. zp la ubicación original delmáximo. y 2w~z la anchura de pulso con 0.001 Eo de am-plitud. entonces el campo eléctrico del pulso Gaussiano estádado por

020 PASOS DE TIEMPO 120 PASOS DE TIEMPO

~.,-"

i 8ti oo ::J

!i' !i'

~ ~

,., .,

o '00 200 300 .00"""DELTAZ

(a)

o '"O 200 300 .00 oDELTA Z

(h)

FIGURA 1. Campo eléctrico del pulso en diferentes posiciones y pasos del tiempo. (continua)

Rev. Mex. Fís. 44 S3 (1998) 53-58

PKOPAGACJÚ'\¡ DE O~DAS PULSADAS EN UN CHIROPLAS!\.1A MAGNETIZADO 57200 PASOS DE TIEMPO 350 PASOS DE TIEMPO

'" [<'-8 j13 o o '-~¡¡j

fe fe~ 5

o '00 200 300DELTA Z

'00-,

O ,"O 200 300DELTA Z

.00 000

(e) Id)

FIGURA 1 (continuación). Campo eléctrico del pulso en diferentes posiciones y pasos del tiempo.

020 PASOS DE TIEMPO 120 PASOS DE TIEMPO

O

'"<'-8 :1"u ow :¡¡j

fe5

-, o '"o 200 300 '00 500DELTA Z

la)

200 PASOS DE TIEMPO

'" '"<'- <'-~ 8lrl o 1"u¡¡j ~fe ó'5 5

500'00

DELTA Z

200 300DELTAZ

(h)

350 PASOS DE TIEMPO

'00o

,

V

o '00 200 300 •

o

-,

500200 300OELTAZ

o

(e) (d)

FIGURA 2. Campo eléctrico generado por el erecto Chiral.

Rel'. Mex. Ft". ~ S3 ( 199~O S_,-_~R

FIGURA 3. Pulsos l'ersus el parámetro chira!'

En las Figs. 2a-2d se muestra una sucesión de gráficos,donde el efeclo chiral /3 del pulso reflejado y Iransmilidoes evidente. Cuando el parámetro /3 es más grande que O. l.los pulsos reflejado y transmitido se desmoronan dehido ainestabilidades numéricas. Donde wp :;::: 0.9. wq :;::: -0.5.Ve = 0.001. /3 = 0.05 Y c, = 1.0

Según la leorra [9]. el campo generado liene que lenerla misma amplitud que el campo en dirección x, para daruna onda circularmente polarizada a la derecha. autofuncióndel medio chiraJ. pero al aumentar el factor chiral y el espe-sor aparecen las inestabilidades numéricas, lo que indica quese deben tomar precauciones en el cálculo. El espesor pue-de aumentarse siempre y cuando la frecuencia de plasma yciclotrónica disminuyan sustancialmente.

Finalmente la Fig. 3 muestra el pulso generado versus ¡3en régimen lineal, para valores diferentes de frecuencia ci-c1olrónica. Aquf se encontró que el campo eléctrico es casiconstante comparado con el comportamiento lineal cuandowg = O. Esto reneja la imponancia del campo magnético enel campo chiral generado. Donde: wp = 0.9. Ve = 0.001.Cabe señalar que este modelo estratificado y sus resultadospueden ser escalados a la frecuencia de un plasma ionosféricogenerado por el flujo fOlónico solar contaminado por aeroso-les y moléculas de CFC que afectan la capa de ozono.

58

01899

00120400'

.~O.---~.# -0,3

0003o.

~ //---~_:::::=-----

003 0,05 007 009BETA

11. TORRES-SILVA

Datos experimentales preliminares de conversión de po-larización lineal a circular y elíptica y de rotacion del pIa-no del campo eléctrico, ohtenidos del instrumento SBUV(Solar Backscattered Ultraviolet Radiometer). instalado e~el satélite NOAA-II (ReL 10). así lo confirman. Por otrolado. Angel el al. (111. muestran que la radiación solar ad-quiere una compom:nte circularmente polarizada debido amúltiples scattering de aerosoles. Tomando en cuenta estasreferencias y considerando que la chiralidad manosc6pica,de las moléculas aparece debido a la falla de simetría espejode ellas, se puede inferir que las moléculas de eFe puedenmodelarse como elementos chirales que al ser exitadas porla radiación solar liheran los átomos de dorina que destru4

yen catalíticamente el Olono. Como cada átomo dt~clorinapuede destruir millares de moléculas de Ozono antes de serneutralizado. el parámetro chiraltiene un efecto multiplicati-co apreciable.

El escalamiento se puede hacer para 12 longitudes de on-da desde 255 nm a .340 nm considerando 12 capas de 5 Kilipara poder comparar con los datos satelitales del SBUV y elalgoritmo de Bharlia el al. [121. El espesor de las capas enel modelo propuesto puede ser del orden de Kms ya que lafrecuencia de plasma y ciclotrónica de los electrones puedeser hasta seis ordenes de magnitud menor.

Básicamente el modelo propuesto es similar al modelooriginal de Chapman de una atmósfera de oxfgeno sin con.taminantes donde la ionización es producida por la radiaciónsolar ultravioleta 1131. La derivación original es restringidaa fotones monocromáticos donde no se considera el campomagnético terrestre ni contamlllantes. El hecho de consideraren este trabajo un pulso gaussiano también permite simularel efecto de las llamaradas solares que emiten fuerles pulsoselectromagnéticos.

Agradecimientos

Este trabajo se realizó gracias a los aportes del Fondo Nacio.nal de Ciencia y Tecnología. Proyecto FONDECYT, y de laUniversidad deTarapacá. Proyeclo Mayor.

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