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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA

UNIDAD ZACATENCO

PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS EN CAÑONES

TESIS

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO CIVIL

PRESENTA HUGO MARTÍNEZ HERNÁNDEZ

ASESORES Dr. ESTEBAN FLOREZ MÉNDEZ

Dr. ALEJANDRO RODRÍGUEZ CASTELLANOS

ZACATENCO, MÉXICO D. F., DICIEMBRE DEL 2012

Agradecimientos. A mis mentores, el Dr. Esteban Flores Méndez y el Dr. Alejandro Rodríguez Castellanos, quienes me apoyaron y brindaron su confianza e instrucción para la elaboración de la presente obra. A mi padre Teófilo Martínez Olas y mi madre Úrsula Hernández Murrieta, quienes me han motivado en la toma de mis decisiones, dándome su bondad, su incondicional apoyo moral y su experiencia para facilitarme el camino de la vida. A mis maestros, que me acompañaron en este recorrido durante la carrera; abrevando en su sabiduría, les otorgo mi sincero reconocimiento por su valiosa contribución a mi formación de ingeniero y como ser humano. A mis amigos, con quienes he compartido los buenos momentos, y que siempre han estado a mi lado en situaciones difíciles, además de estimularme a nunca renunciar a mis sueños. Al Instituto Politécnico Nacional, ya que me ha dado la oportunidad de ser uno de sus discípulos, de demostrar mis capacidades y de tener una identidad. Pero sobre todo, me dio la posibilidad de alcanzar este sueño.


i

ÍNDICE GENERAL

Introducción………………………………………………………….…………. ii Antecedentes…………………………………………………………………… iii Marco Teórico………………………………………………………….……..... v Metodología………………………………………………………………….....

vi

CAPÍTULO I.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS I.1 Ecuaciones de Navier y la ecuación de onda…………………………… 1 I.1.1 Tensor de esfuerzos……………………………………………………... 1 I.1.2 Ecuaciones desplazamiento-deformación…………………………… 2 I.1.3 Ecuaciones de equilibrio……………………………………………….... 5 I.1.4 Ecuaciones de Navier……………………………………………………. 9 I.1.5 De las ecuaciones de Navier a la ecuación de Onda........................

10

CAPÍTULO II.- FORMULACION DEL METODO INDIRECTO DE ELEMENTOS FRONTERA

II.1 Método Indirecto de Elementos de Frontera (IBEM)............................ 14 II.2 Funciones de Green Bidimensionales..................................................

16

CAPÍTULO III.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA III.1 Análisis de los desplazamientos provocados por la incidencia de ondas P, SV y de Raleigh en un cañón....................................................

18

III.2 Condensación por mínimos cuadrados..............................................

18

CAPÍTULO IV.- EJEMPLOS NUMÉRICOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

IV.1 Resultados en el dominio de la frecuencia......................................... 21 IV.2 Resultados en el dominio del tiempo................................................ 23 IV.3 Comparación entre las geometrías semicircular, semielíptica y triangular................................................................................................

29

IV.4 Resultados del IBEM aplicando condensación por mínimos cuadrados...............................................................................................

34

Conclusiones........................................................................................... vii Recomendaciones.................................................................................... viii Bibliografía............................................................................................... ix Índice de Figuras……………………………………………………………… xii Índice de Tablas………………………………………………………………. xiv Anexos

ANEXO A. DEDUCCIÓN DE LAS REPRESENTACIONES INTEGRALES

ANEXO B. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL Y LAS FUNCIONES DE HANKEL

ANEXO C.- LA FUNCIÓN GAMMA


ii

Introducción

En este trabajo se explora un esquema de discretización “débil” orientada a reducir

el tamaño del sistema lineal de ecuaciones integrales resultado de la aplicación

del Método Indirecto de Elemento Frontera (IBEM, por sus siglas en inglés). De

hecho, se usan más puntos de colocación que incógnitas, sin embargo, la

imposición de las condiciones de frontera es hecha en el sentido de mínimos

cuadrados. Este tratamiento naturalmente admite el uso de mallas de gruesas o

finas para diversos perfiles, suaves o rápidamente variables, respectivamente. Se

estudian varias geometrías, ante incidencias de ondas planas P y SV y ondas

Rayleigh. Se comparan los resultados obtenidos mediante el IBEM tradicional (sin

ninguna reducción) con respecto a esta nueva propuesta. Se obtienen ahorros

significativos usando una la discretización mixta empleando el proceso de

condensación por mínimos cuadrados.

En el capítulo 1 se expone como es aplicado el Método de Elementos de Frontera

en forma numérica a diversos problemas que se presentan en la propagación de

ondas; en nuestro caso se aplicará a valles ante la incidencia de ondas P y SV y

ondas de Rayleigh.

En el segundo capítulo se propone hacer una modificación al BEM tradicional por

medio de una técnica llamada condensación por mínimos cuadrados, la cual

reduce el número de elementos de la matriz total, lo que permite la optimización

de los cálculos.

Los ejemplos de aplicación de esta técnica son presentados en el capítulo 3,

donde se muestran depósitos con distintas formas bajo la incidencia de ondas P y

SV, con diferentes ángulos de incidencia y un amplio rango de frecuencias. En

cada uno de ellos se hace uso del BEM tradicional para hacer una comparación de

los resultados obtenidos con ambos métodos.

Finalmente, en el capítulo 4, se hace un análisis de los resultados obtenidos con

ambos métodos para mostrar las ventajas y desventajas de esta formulación, y de

esta manera, poder hacer recomendaciones de cómo aplicar el método

desarrollado a problemas de interés en ingeniería sísmica.


iii

Antecedentes

El uso de ecuaciones integrales en física e ingeniería puede ser remontado al año

1886, en los trabajos de Somigliana, quien desarrolló la ecuación integral que

relaciona los desplazamientos con las tracciones en la frontera de un cuerpo

usando la reciprocidad (Love, 1927). Importantes descubrimientos en esta área,

como por ejemplo, la relación de integrales de superficie con integrales de

volumen, llevan los nombres de Gauss, Stokes y Green (Green, 1828, p. 72). Por

otra parte, el tratamiento de la teoría de ecuaciones integrales es debido a

Fredholm, en el inicio del siglo 20 (Mikhlin, 1957).

Los logros más importantes en la teoría de ecuaciones integrales fueron hechos

hasta los años 60, con el acceso a las computadoras. Las contribuciones

significativas son las de Kupradze, Mikhlin, Rizzo, Cruce, entre otros (Brebbia,

Telles & Wrobel, 1984). Una examen reciente de los métodos de integrales de

frontera en elastodinámica fue realizado en (Bouchon & Sánchez-Sesma, 2007).

En el Método de Elemento de Frontera (BEM, por sus siglas en inglés), el campo

en cualquier punto dentro de un dominio dado se expresa en términos de

integrales del campo en la frontera del dominio. Esto significa que la totalidad de la

información relativa al dominio está en la frontera. El BEM es llamado

comúnmente como método de integrales de frontera (BIE, por sus siglas en inglés)

y se clasifica en Método Directo y Método Indirecto. El primero relaciona las

variables físicas en un dominio dado con los valores que ellas toman en la frontera

y el segundo se basa en un campo desconocido, el cual es comúnmente una

distribución de fuentes auxiliares a lo largo de la frontera. En ambos métodos

fácilmente se cumplen las condiciones de radiación en el infinito y se pueden

manejar geometrías muy complejas.

Las primeras aplicaciones de los BIE consideraron las singularidades del

integrando, tales como las integrales de las funciones de Green y sus derivadas,

las cuales necesitan ser evaluadas en la localización de las fuentes. Los trabajos

pioneros como los de Wong & Jennings (1975) y Sills (1978), son buenos

ejemplos de estos esfuerzos. Para evitar las singularidades se han desarrollado

varias formulaciones (Sánchez-Sesma,1978; Sánchez-Sesma, Rosenblueth, 1979;

Sánchez-Sesma, Esquivel, 1979; Herrera, 1980; Wong, 1982; Sánchez-Sesma ,

Herrera, Avilés, 1982; Dravinski, 1982; Dravinski, 1983; Mossessian, Dravinski,

1987; Bravo, Sánchez-Sesma, Chávez-García, 1988; Imhof, 1996), en las que

tales singularidades fueron colocadas al exterior del dominio de interés. Estas

formulaciones son expresiones del método de soluciones fundamentales (MFS,

por sus siglas en inglés). En el MFS el campo es aproximado por una combinación

lineal de soluciones fundamentales expresadas en términos de fuentes ubicadas

fuera del dominio del problema. Sus coeficientes y las localizaciones de las


iv

fuentes son determinados al satisfacer las condiciones de frontera en el sentido de

mínimos cuadrados. Un estudio extenso del MFS y los métodos relacionados es

dado en Fairweather & Karageorghis (1998). En movimientos sísmicos muy

fuertes, varios estudios de propagación de ondas para perfiles irregulares pueden

ser considerados también como los MFS.

Una variación del IBEM fue presentada para tratar con problemas muy grandes de

efectos de sitio (Sánchez-Sesma, Vai & Dretta, 2001). La estrategia consistió en

construir una representación lineal de densidades de fuerza en términos de un

conjunto de cosenos. Solo una banda de números de onda fue retenida y reducida

a una forma considerable de tratamiento numérico (Sánchez-Sesma, Vai & Dretta,

2001). Los resultados sugieren que pueden hacerse mejoras significativas.

Algunas otras técnicas para mejorar el IBEM tradicional han sido aplicadas a

problemas en 3D. Por ejemplo Ortiz-Alemán, et al. (1998), consideraron un criterio

para reducir los requerimientos computacionales en problemas prácticos muy

grandes. En efecto, ellos trataron un criterio para convertir la matriz total y usaron

el método del gradiente biconjugado junto con un esquema iterativo para resolver

el sistema lineal de ecuaciones integrales resultante. Este tratamiento toma

ventaja de la significativa atenuación espacial mostrada por las funciones de

Green en 3D. Otra ventaja es que tiene una convergencia rápida a la solución para

problemas grandes, el ahorro en las operaciones en punto flotante y los requisitos

de almacenamiento. Por otra parte Gill-Zepeda, et al. (2002) modificaron la matriz

total obtenida por el IBEM tradicional y la transformaron en una matriz

particionada, donde se identifico una estructura matricial simple. En este enfoque,

también llamada técnica de condensación matricial estática, el sistema lineal de

ecuaciones es transformado en varios sistemas lineales pequeños de ecuaciones

que pueden ser resueltos usando menos memoria que el sistema original. Además

de que este enfoque tiene la ventaja de usar un menor tiempo de cálculo y

conserva la misma exactitud que la formulación original.


v

Marco Teórico

En este trabajo se presenta una aplicación del Método Indirecto de elementos

Frontera para calcular la respuesta de medios con diferentes configuraciones

topográficas sujetos a la incidencia de ondas P, SV y de Rayleigh. Esta técnica

numérica, la cual se basa en una representación integral del campo difractado de

tracciones y desplazamientos, puede ser vista como la aplicación numérica del

principio de Huygens, debido a que las ondas difractadas son construidas en las

fronteras desde donde ellas son precisamente irradiadas.

Como se mostrará más adelante, la representación integral del campo de

tracciones y de desplazamientos son soluciones de la ecuación de onda y que a

su vez satisfacen a la ecuación de Navier. Esto garantiza que la solución de estas

formas integrales proporcionan soluciones precisas para el caso de problemas de

propagación de ondas en medios elásticos.


vi

Metodología

A partir de la representación integral del campo de desplazamientos y de

tracciones, y de la suma correspondiente a los campos incidentes (acciones), se

proceda la aplicación de las condiciones de frontera. Estas condiciones de frontera

pueden establecerse para representar condiciones de superficie libre o de

continuidad (de desplazamientos y tracciones). Para el caso de superficies libres

es suficiente expresar que la suma del campo de tracciones libres mas difractas

debe ser igual a cero. Es decir, tracciones cero en la superficie.

Una vez establecida la condición de superficie libre, se procede a despejar los

campos difractados (incógnitas) y pasar del lado derecho de la ecuación a los

campos libres (acciones). Las ecuaciones resultantes tienen aún formas

integrales. Para aplicar el Método Indirecto de Elementos Frontera es necesario

dividir la superficie libre en pequeños elementos frontera (segmentos rectos) y

cuya incógnita es conocida como densidad de fuerza.

Dependiendo del número de segmentos en que se divida la frontera se tendrá un

sistema de ecuaciones de orden 2N para el caso de problemas bidimensionales y

3N para tridimensionales. El sistema de ecuaciones resultante es conocido como

del tipo Fredholm de segunda especie, expresado en el dominio de la frecuencia.

Para obtener la respuesta en el dominio del tiempo se emplea la Transformada

Discreta de Fourier.


II. FORMULACIÓN DEL MÉTODO INDIRECTO DE FRONTERA 1

CAPÍTULO I.- FUNDAMENTOS TEÓRICOS

I.1 Ecuaciones de Navier y la ecuación de onda

En el estudio de propagación de ondas se requiere encontrar un modelo

matemático que sea adecuado para resolver los diversos problemas que se

relacionan con este fenómeno. Para ello partimos de las ecuaciones de equilibrio.

I.1.1 Tensor de esfuerzos

Considerar un cuerpo el cual está sujeto a diferentes cargas arbitrarias en su

exterior (a este tipo de fuerzas se les llama fuerzas de superficie). Para conocer

la naturaleza de las fuerzas internas que se generan en el cuerpo se hacemos una

sección arbitraria a través del cuerpo. Tomando un elemento de área ΔA, se

define por ΔF a la fuerza resultante que actúa sobre ΔA. Si se denota por n al

vector unitario normal a ΔA, se tiene la siguiente definición.

Definición. Sean ΔA y ΔF, los definidos en la discusión anterior. Se le llama

vector de tracción o vector de esfuerzo a:

(I.1)

Figura 1. Vector de esfuerzo.

Si además, se tiene que ΔA es tal que su vector unitario normal coincide con los

ejes coordenados (los cuales tienen vectores unitarios , y ), el vector de

esfuerzo se puede escribir respectivamente como

(I.2a)

(I.2b)

(I.2c)

donde los coeficientes que multiplican a cada vector unitario en las ecuaciones

anteriores son llamados componentes de esfuerzo. A las componentes , y

, se les conoce como esfuerzos normales y a , , , , y ,

esfuerzos cortantes. Las nueve componentes de esfuerzo, en general, se escriben

en forma matricial



(I.3)

Por lo tanto, las ecuaciones 1.2 se pueden escribir como

(I.4)

Finalmente planteamos el caso en el que se tiene un plano con una orientación

arbitraria distinta a los ejes coordenados, el cual tiene vector unitario normal

En estas condiciones el vector de esfuerzo se puede

escribir como

(I.5)

O

(I.6)

En notación tensorial

(I.7)

Y en sus componentes

(I.8)

Figura 2. Tensor de esfuerzo.

I.1.2 Ecuaciones desplazamiento-deformación.

Determinación de la deformación de un medio sometido a desplazamientos

pequeños.



Figura 3. Construcción de las ecuaciones desplazamiento-deformación.

Definición. Se define la deformación longitudinal como:

(I.9)

Para la componente en x, se tiene de I.9

(I.10a)

(I.10b)

Si y son las componentes de un vector que define el desplazamiento del punto

A, del estado no deformado al deformado (ver figura 3), para desplazamientos

pequeños, el punto B se desplaza una cantidad y ;

entonces, para A’B’ se tiene

(I.11)

Finalmente, se eleva al cuadrado I.10b y se iguala con I.11,

(I.12a)

(I.12b)

Ya que los desplazamientos son pequeños, en I.12b se pueden despreciar los

términos de segundo orden, por lo tanto se llega a:

(I.13)



Análogamente,

(I.14a)

(I.14b)

Definición. La deformación angular (respecto al sistema coordenado

rectangular) se define por:

(I.15)

Donde es el éngulo después de la deformación. Para el caso de la figura 3, de

I.15,

(I.16)

Por la suposición de que los desplazamientos son pequeños, se tiene .

Entonces, en I.16,

(I.17)

El denominador en I.17 se simplificó al notar que . En I.17 Es

obvio que . De forma similar:

(I.18a)

(I.18b)

Como representa las componentes de un vector de desplazamiento (ver figura

3), se obtiene la siguiente definición.

Definición. Tensor de deformación.

(I.19)

En I.19, hay dos casos posibles: e , los cuales, respectivamente, se

muestran en seguida.

(I.20a)

(1.20b)



Dado que y que , se reconoce que I.20a

representa a las ecuaciones I.13 e I.14. De la misma forma, I.20b es I.17 e I.18,

multiplicadas por 1/2.

I.1.3 Ecuaciones de equilibrio

Se sabe por los principios de la estática que si un cuerpo está en equilibrio, todas

sus partes también deben estarlo. A continuación desarrollamos las ecuaciones

que debe cumplir un cuerpo que está en equilibrio.

Considerar un cuerpo sujeto a una distribución arbitraria de fuerzas de superficie y

fuerzas de cuerpo F (se definen como todas aquellas que son proporcionales a la

masa del cuerpo). Tal cuerpo tiene como frontera la superficie S y tiene un

volumen V. Por lo tanto, las fuerzas de superficie y de cuerpo resultantes son,

respectivamente

(I.21)

Entonces por equilibrio,

(I.22)

Para poder sumar estas 2 integrales, es necesario hacer una manipulación

matemática que involucra el teorema de la divergencia de Gauss, el cual se

menciona a continuación.

Teorema de Gauss. Sea S una superficie continua por partes y V el volumen que

es encerrado por S. Si es un campo vectorial continuo y tiene primera derivada

continua en V, es válida la siguiente igualdad:

(I.23)

Haciendo uso de la notación indicial, la ecuación I.23 se expresa como

(I.24)

Primeramente expresamos la integral de superficie en función de sus

componentes de esfuerzo, es decir, sustituimos I.8 en la primera integral de I.21

(I.25)



De esta forma ya es posible aplicar I.24 a I.25, dando como resultado

(I.26)

Como las 2 integrales de I.22ya son del mismo tipo, usando I.26 se obtiene

(I.27)

Puesto que I.27 debe ser verdadera para cualquier V necesariamente se debe

tener

(I.28)

I.28 representa las Ecuaciones de equilibrio en condiciones estáticas. Si el

cuerpo se encuentra en movimiento es necesario utilizar el Principio de D’

Alembert para establecer las ecuaciones de equilibrio. Por lo tanto, se considera

también la fuerza de inercia y se incluye en la condición de equilibrio I.22, donde

es la densidad del material.

(I.29)

Con un desarrollo análogo al presentado anteriormente se llega a las Ecuaciones

de equilibrio en su forma más general:

(I.30)

La forma escalar de I.30 es

(I.31a)

(I.31b)

(I.31c)

En seguida se deduce que la matriz de las componentes de esfuerzo I.3, es

simétrica, al aplicar el Principio del Momento Angular; afirma que la suma de los

momentos de todas las fuerzas actuantes en un cuerpo debe ser nula. Antes de

continuar, mencionamos el símbolo de permutación que nos será de utilidad

posteriormente.



Definición. Símbolo de permutación .

(I.32)

Sea el vector de posición desde un punto arbitrario hasta

cada una de las fuerzas de superficie y de cuerpo; por lo tanto los momentos de

cada fuerza serán respectivamente:

(I.33)

entonces el momento resultante es

(I.34)

o usando el símbolo de permutación I.32 para los productos vectoriales en I.34

(I.35)

Según el principio del momento angular, el momento resultante debe ser cero, por

lo que se tiene en I.35

(I.36)

y sustituyendo I.8 en I.36

(I.37)

De esta forma es posible transformar la integral de superficie de I.37 a una integral

de volumen por medio de I.24; usando este hecho en I.37,

(I.38)



Como

(I.39)

Entonces, sustituyendo I.39 en I.38

(I.40)

Además, si utilizamos I.28 en el segundo término de I.40

(I.41)

Pero como V es arbitrario, para que se cumpla la igualdad en I.41 es necesario

que

(I.42)

Que en forma escalar resulta

(I.43a)

(I.43b)

(I.43c)

Esto demuestra que la matriz de esfuerzos I.3 es simétrica. Ahora se puede

escribir I.30 como

(I.44)

La forma escalar de I.44 es

(I.45a)

(I.45b)

(I.45c)



I.1.4 Ecuaciones de Navier.

Los materiales que tienen un Módulo de Elasticidad invariante en cualquier

dirección son llamados Isotrópicos. Para estos materiales, se verifica la siguiente

ecuación que relaciona el esfuerzo con la deformación, la cual es la ley de Hooke

para este tipo de materiales

(I.46)

Las constantes y se conocen como constante de Lamé y Módulo de Rigidez

al Cortante, respectivamente. En forma escalar I.46 representa a

(I.47a)

(I.47b)

(I.47c)

(I.47d)

(I.47e)

(I.47f)

Donde se les llama, respectivamente, Razón de Poisson y Módulo de

Elasticidad a

(I.48a)

(I.48b)

Por otra parte, sustituyendo el tensor de deformación en sus dos casos

(ecuaciones I.20) en I.46 se llega a

(I.49)

que en forma escalar representa 6 ecuaciones:

(I.50a)

(I.50b)

(I.50c)

(I.50d)

(I.50e)

(I.50f)



Finalmente si se sustituyen I.49 en I.44 se obtienen las ecuaciones de Navier:

(I.51)

La forma mejor conocida de I.51 se obtiene con la notación vectorial

(I.52)

Donde es una función vectorial con segundas derivadas

parciales continuas. La forma escalar de 1.52 es:

(I.53a)

(I.53b)

(I.53c)

I.1.5 De las ecuaciones de Navier a la ecuación de Onda

Es posible llegar a la ecuación de Onda a partir de I.52; si se sustituye la siguiente

identidad para el laplaciano de una función vectorial (ec. I.54a), se llega a una

forma equivalente de las ecuaciones de Navier (ec. I.54c).

(I.54a)

(I.54b)

(I.54c)

Se suponen independientemente dos casos:

(I.55a) (I.55b)

Y sustituyendo las ecuaciones I.55 en I.54c, sin considerar fuerzas de cuerpo,

(I.56a)

(I.56b)

Además, tomando en cuenta las ecuaciones 1.55 para la identidad I.54a, las

expresiones I.56 toman la forma

(I.57a)

(I.57b)



Haciendo

(I.58a)

(I.58b)

Entonces, despejando el laplaciano en las ecuaciones I.57 y usando las

igualdades I.58, se llega a la ecuación de onda:

(I.59a)

(I.59b)

A continuación se analizarán las propiedades de las ondas que se propagan en un

medio, a partir de las ecuaciones 1.59. Una onda plana propagándose con

velocidad en la dirección de un vector unitario , se puede representar por la

siguiente expresión, donde es un vector normal unitario al plano de la onda:

(I.60)

Sustituyendo I.60 en I.52, en ausencia de fuerzas de cuerpo,

(I.61a)

(I.61b)

(I.61c)

(I.61d)

(I.61e)

Como en general, la función que define a la onda en 1.60 es diferente de cero,

I.61e se puede reducir a

(I.62)

Para conocer la naturaleza de las ondas definidas por I.60, en I.62 hacemos el

producto escalar con el vector que define al plano de la onda y despejamos a :

(I.63a)

(1.63b)

(I.63c)

(I.63d)



A partir de I.63c, se deduce que la onda es precisamente la obtenida en I.59a, ya

que las velocidades coinciden; además, como se efectuó el producto escalar

para obtener I.63b, tomando en cuenta que en general , el

desplazamiento es paralelo al plano de la onda y la velocidad está dada por I.63d.

Finalmente, la propiedad I.55a muestra que no hay rotación en las partículas del

medio. A este tipo de ondas se les llama Ondas P, primarias o de compresión.

Análogamente, haciendo el producto vectorial con el vector , en I.62:

(I.64a)

(I.64b)

(I.64c)

(I.64d)

Se comprueba que I.64c es la onda representada por I.59b; el producto vectorial

realizado para obtener 1.64c indica que el desplazamiento es perpendicular al

plano de la onda, la propiedad I.55b demuestra que no hay cambio de volumen en

las partículas del medio y la velocidad está dada por I.64d. Por lo anterior, a este

tipo de ondas se les conoce como Ondas S, secundarias o de cortante.

Finalmente, se obtiene la ecuación de Onda por medio del siguiente teorema.

Teorema (o descomposición) de Helmholtz. Cualquier campo vectorial continuo

por partes , puede ser representado por la suma del gradiente de un potencial

escalar más el rotacional de un potencial vectorial . Es decir:

(I.65)

La descomposición de Helmholtz tiene propiedades análogas a las I.55:

(I.66a) (I.66b)

Sustituyendo I.65 en I.52 y despreciando las fuerzas de cuerpo, se llega a

(I.67)

Para que se cumpla la identidad 1.67 se deben anular el gradiente y el rotacional

de manera independiente

(I.68a)

(I.68b)

Despejando el laplaciano de I.68 y haciendo uso de las definiciones I.58



(I.69a)

(I.69b)

Las ondas P y S se ilustran en la figura 4.

Figura 4. Ondas P y S.



CAPÍTULO II.- FORMULACION DEL METODO INDIRECTO DE ELEMENTOS

DE FRONTERA

II.1 Método Indirecto de Elementos de Frontera (IBEM)

La formulación del problema elastodinámico con el IBEM expresa el campo de

ondas difractado como una integral sobre toda la frontera (Bouchon & Sánchez-

Sesma, 2007). Con esta misma idea, la propagación de ondas en medios

estratificados irregulares en 2D y 3D fue tratada en (Vai, Castillo-Covarrubias,

Sánchez-Sesma, Komatitsch & Vilotte, 1999; Sánchez-Sesma, Rodríguez-Zúñiga

& Pérez-Rocha, 1995; Luco, Wong & de Barros, 1990). Recientemente el IBEM ha

sido aplicado al estudio de la difracción de ondas elásticas en medios con

fracturas y cavidades (Rodríguez–Castellanos, Sánchez-Sesma, Hernández,

Rodríguez & Sauceda-Meza, 2005; Rodríguez-Castellanos, Luzón & Sánchez-

Sesma, 2005; Rodríguez-Castellanos, Sánchez-Sesma, Luzón & Martin, 2006;

Rodríguez–Castellanos, Ávila-Carrera & Sánchez-Sesma, 2007; Ávila-Carrera,

Rodríguez-Castellanos, Sánchez-Sesma & Ortiz-Alemán, 2009).

El IBEM está basado en una representación integral del campo difractado de

desplazamientos y se expresa en términos de las densidades de fuerza aplicadas

a lo largo de las superficies que, una vez que se cumplen las condiciones de

frontera, se convierten en interfaces o superficies libres. En problemas armónicos

(en los que la dependencia del tiempo es dado por el factor , la frecuencia

circular , es omitida) esta representación es hecha usando la función de Green

, la cual es el desplazamiento del punto en la dirección , debido a la

aplicación de una fuerza armónica unitaria aplicada en el punto en la dirección :

(II.1)

Las tracciones son dadas por:

(II.2)

Donde es la -ésima componente de la tracción en el punto asociado al

vector normal unitario , si desde el interior del medio, si

desde el exterior o si . es la función para la tracción

de Green, es decir, la tracción del punto en la dirección , asociado al vector

normal unitario , debido a la aplicación de una fuerza unitaria aplicada en el

punto en la dirección sobre . Las funciones de Green para la tracción se

pueden encontrar, por ejemplo, en (Rodríguez-Castellanos, Sánchez-Sesma,



Luzón & Martin, 2006; Rodríguez–Castellanos, Ávila-Carrera & Sánchez-Sesma,

2007; Sánchez-Sesma & Campillo, 1991).

El uso de la funciones de Green para un espacio completo es una ventaja de esta

formulación integral debido a sus formas simples y a que ha sido usado para

encontrar soluciones exactas en problemas de propagación de ondas en 2D y 3D

(ver (Vai, Castillo-Covarrubias, Sánchez-Sesma, Komatitsch & Vilotte, 1999;

Sánchez-Sesma & Campillo, 1991; Luzón, Sánchez-Sesma, Rodríguez-Zúñiga,

Posadas, García, Martín, Camacho & Navarro, 1997)).

Figura 5. Ejemplos de topografías superficiales ante incidencias de ondas P y SV.

Se muestran 3 configuraciones superficiales: a) cañón semicircular, b) cañón

semielíptico y c) cañón triangular.

También se pueden emplear las funciones de Green para el semiespacio, pero su

cálculo es más difícil y no representan ahorros sustanciales ((Beskos, 1987),

(Beskos, 1997)). Para las topografías en 2D de la Figura 1, la introducción de la

condición de frontera para la tracción en la superficie libre lleva a la ecuación

integral del tipo Fredholm de segundo clase. Suponiendo que las densidades de

fuerza son constantes sobre todos los elementos de frontera, se usa integración

numérica ó analítica de la función de Green y la ecuación II.2 puede ser expresada

como

(II.3)

Z

X

CAÑÓN

SEMICIRCULARa a

SUPERFICIE

LIBREA

a)

B

C

P

SV

Z

X

CAÑÓN

SEMIELÍPTICOa a

SUPERFICIE

LIBREA

b)

B

C

P

SV

b

Z

X

CAÑÓN

TRIANGULARa a

SUPERFICIELIBREA

c)

B

C

P

SV

a



Donde

(II.4)

En la ecuación (II.3), representa el número de elementos de frontera en la que

la superficie libre se ha discretizado. En general la frontera es discretizada en

segmentos lineales cuyo tamaño depende de la longitud de onda más corta (seis

elementos de frontera por cada longitud de onda). Para problemas en 2D, el

número de ecuaciones a resolver es . El término del lado derecho expresa la

contribución del campo libre. El campo difractado se escribe al usar la

representación integral de la ecuación II.1. La integral de la ecuación II.2 puede

ser calculada usando integración Gaussiana, excepto cuando , en cuyo caso

se puede demostrar que si el segmento es lineal y el punto esta al centro del

elemento, que la integral es igual a cero y de esta manera

(II.5)

Cuando se emplea una solución de referencia (como para el caso de un

semiespacio), los efectos debidos al truncamiento de las fronteras dicretizadas,

debido a su tamaño finito, son pequeños y comúnmente pueden ser despreciados;

esto es particularmente cierto si la superficie plana discretizada es de alrededor de

dos o tres veces el ancho de la topografía a estudiar. Si este es el caso, solo se

necesita resolver la ecuación II.3, la cual se puede escribir como

(II.6)

Donde es una matriz compleja, cuadrada y no simétrica, es el vector de

densidades de fuerza y es el vector correspondiente a la propagación de

ondas de campo libre.

II.2 Funciones de Green Bidimensionales.

Para un medio infinito, homogéneo e isótropo, las funciones de Green en 2

dimensiones para una onda que depende armónicamente del tiempo , donde

, es la frecuencia circular y es el tiempo, son:

(II.7)

(II.8)



Donde:

(II.9a)

(II.9b)

(II.9c)

(II.9d)

De las cuales

, es la Delta de

Kronecker,

es la función de Hankel de segundo especie y orden , son

las constantes de Lamé, es la densidad de masa, y son las velocidades de

las ondas S y P respectivamente.


III. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 18

CAPÍTULO III.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

III.1 Análisis de los desplazamientos provocados por la incidencia de ondas

P, SV y de Raleigh en un cañón.

Los casos mostrados en la Figura 1 se analizan con el IBEM tradicional. La malla

consta de 33 elementos lineales de frontera (ver figura 6 para el caso semicircular;

el mallado de las otras geometrías es análogo al mostrado), lo que hace posible

usar la ecuación II.3. Cada caso es 2D y tendrá incidencia de ondas P y SV con

ángulo de incidencia de 0 y 30° para ambas ondas; también se considerará la

incidencia de una onda de Rayleigh. La condición de frontera necesaria es

(III.1)

O

(III.2)

Y aplicando la ecuación II.3

(III.3)

Donde está dada por I.4 y es la frontera entre la superficie libre y el

medio. Claramente las incógnitas en el sistema de ecuaciones generado son las

.

Figura 6. Mallado de la frontera.

III.2 Condensación por mínimos cuadrados

En lo que sigue, se presenta la condensación del sistema de ecuaciones usando

el método de mínimos cuadrados. En vista de hasta qué grado de aproximación se

obtiene cuando el IBEM es aplicado con una estrategia de discretización débil, se

considera la solución “fuerte” (aquella sin condensación) como referencia. En

efecto, la exactitud del IBEM en esas condiciones ha sido estudiada antes

(Sánchez-Sesma & Campillo, 1991). Para los cálculos, el semiespacio tiene una



razón de Poisson de y la frecuencia normalizada es ,

donde es la velocidad de las ondas de cortante del medio y es el ancho del

cañón. No se considero la atenuación.

Cuando los puntos de colocación son más que los elementos de frontera el

sistema es sobre determinado. Un enfoque común para resolver este tipo de

sistema de ecuaciones es el método de mínimos cuadrados.

Figura 7. Criterio de condensación para un cañón semicircular. Las cruces indican

los elementos de frontera que fueron condensados.

Como un ejemplo, suponer que la densidad de fuerza es la misma para los ,

y -ésimos elementos de frontera, entonces sus correspondientes valores en la

matriz , , y pueden ser agrupados. En otras palabras,

las columnas , y necesitan ser sumadas, para convertirse en una sola

columna. Este criterio puede ser aplicado a varios elementos localizados lejos de

la irregularidad de la superficie (ver figura 2) y puede ser usado para hacer una

discretización de frontera más fina en algunos lugares donde se requieren

soluciones exactas. Una vez que se obtiene la matriz condensada , el sistema

de ecuaciones es sobre determinado.

En este ejemplo la matriz y el vector son las formas condensadas de

y , respectivamente, y se pueden expresar como sigue

(III.4a)



(III.4b)

El sistema determinado completamente se expresa en forma general como

(III.5)

Las ecuaciones normales para el problema de mínimos cuadrados de la ecuación

III.5 son

(III.6)

Donde denota la matriz conjugada transpuesta de y es la matriz

diagonal con los pesos. Este es un punto delicado que revela la flexibilidad de este

tratamiento. Esos pesos pueden ser seleccionados por el analista, quien decide

que condiciones de frontera tendrán más importancia. Si la discretización es

uniforme, el uso de pesos iguales implica una simple integración de Simpson. En

estos cálculos el peso de la matriz en unitario. El producto es una

matriz Hermitiana definida y positiva. En este caso las factorizaciones clásicas LU

y UDUH pueden ser usadas para resolver la ecuación 4.9.


IV. EJEMPLOS NUMÉRICOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS 21

CAPÍTULO IV.- EJEMPLOS NUMERICOS Y ANÁLISIS DE RESULTADOS

IV.1 Resultados en el dominio de la frecuencia.

Con el fin de investigar la aproximación obtenida con este enfoque, fueron

analizados y comparados algunos ejemplos con las soluciones del IBEM “fuerte”.

Los cálculos se realizaron variando el número de elementos de frontera (NBE)

usados en la discretización de la frontera. Una vez que el sistema fue reducido en

el sentido de mínimos cuadrados, se alcanzó un ahorro en el tiempo de cálculo. El

precio es la perdida de exactitud de los casos analizados.

Figura 8. Resultados de un cañón semicircular. Para desplazamientos verticales:

línea llena=RS, estrellas=AP1 y cuadrados=AP2. Para desplazamientos

horizontales: línea punteada=RS, diamantes=AP1 y cruces=AP2.

El modelo estudiado es un cañón con incidencias de ondas P y SV con ángulo de

incidencia , respecto del eje 3. La caracterización del medio y la frecuencia son

dadas por y , respectivamente. Considerando que la zona

de interés para evaluar los desplazamientos (o posiblemente esfuerzos) es en la

vecindad del cañón, la condensación de las fuentes de radiación desde las

fronteras fue hecha lejos de la irregularidad; esto significa cerca de los bordes del



modelo (ver figura 2). Fueron consideradas dos aproximaciones, una

condensando 8 NBE que reducen 17% el sistema de ecuaciones, y otra con 2

veces esta reducción (ver Tabla 1). En la Tabla 1, representa el número de

columnas de la matriz para la solución de referencia y para la matriz el

número de columnas que se reduce debido a esa condensación. Esta reducción

depende del grado de aproximación deseada y puede ser aplicada a partes de

modelos donde la exactitud no es necesaria, en primera instancia, pero es

necesario establecer el cumplimiento de las condiciones de frontera. Entonces, la

discretización más fina de la frontera y los requerimientos computacionales

pueden ser usados en regiones donde se esperan soluciones exactas.

Tabla 1. Reducción de las incógnitas en el proceso de condensación.

Caso NBE Reducción de (%)

Solución de Referencia (RS) 92 184 184 0

Aproximación 1 (AP1) 84 184 152 17

Aproximación 2 (AP2) 76 184 120 34

La Figura 3 muestra los resultados del análisis hecho para un cañón semicircular

bajo la incidencia de ondas P y SV con ángulos de incidencia de y

grados, respectivamente, con una frecuencia normalizada de . Las dos

aproximaciones (AP1 y AP2) generalmente dan valores que están cerca a la

solución de referencia en menos del 5%. La excepción es el movimiento vertical

en la superficie plana para la incidencia normal de ondas SV, para las cuales, las

amplitudes son varían de un 15 a 30%. En cualquier caso, el campo total en la

superficie del cañón es correcta ( ). Esta frecuencia de es el

límite superior que es usado en este enfoque. De hecho, para las 3 geometrías

consideradas, la solución se deteriora a altas frecuencias en el punto A de la parte

plana y en el borde del cañón (punto B, ver Figura 1). Esto es claro en la figura 4,

en el cual se representa la incidencia normal de ondas P.

De acuerdo al tiempo medido del CPU para el análisis de la solución de referencia

(RS, 7.6596 segundos), la aproximación 1 (AP1, 6.3804 segundos) y la

aproximación 2 (AP2, 6.1620 segundos), la reducción del costo computacional

para ambos casos extremos estudiados en la Figura 3, es 1.4976 segundos para

una sola frecuencia analizada. De hecho, para medios reales o más complejos, se

espera que la carga computacional pueda ser significativamente optimizada

debido al incremento de grados de libertad que se estén considerando (por

ejemplo, para problemas en 3D) y del rango de frecuencias que serían requeridas

para el análisis en el dominio del tiempo. Otra ventaja de este tratamiento de

optimización numérica está relacionada al hecho de que la matriz de coeficientes



resultante es Hermitiana, ya que la tasa de convergencia en métodos iterativos de

solución es mejor en sistemas de este tipo.

Figura 9. Desplazamientos verticales de los puntos A, B y C mostrados en la

figura 1. Se considero la incidencia normal de una onda P. Las líneas llenas

representan la solución de referencia (RS), la línea discontinua la aproximación 1

(AP1) y la línea punteada la aproximación 2 (AP2).

IV.2 Resultados en el dominio del tiempo

Los siguientes sismogramas muestran los resultados para la incidencia de ondas

P y SV con ángulos de 0 y 30°, en un cañón semicircular, semielíptico y triangular.

Se analizará primeramente el cañón semicircular. El sismograma izquierdo

corresponde a los desplazamientos en x y el derecho a los desplazamientos en z.



Figura 10. Desplazamientos provocados por la incidencia de una onda P con

ángulo de 0° en un cañón semicircular.

La simetría es evidente en ambas direcciones, lo que está de acuerdo con el

ángulo de incidencia de la onda. En el receptor 17, se observa que no existe

desplazamiento en la dirección x, como se esperaba. El desplazamiento horizontal

se registra primero en los receptores ubicados cerca de los límites de la

irregularidad. Después de haber llegado la onda a la superficie, hay

desplazamientos que son provocados por la difracción de la onda en otros

receptores. En cuanto al desplazamiento vertical, los desplazamientos se perciben

antes que nada en el centro de la irregularidad, ya que en este lugar es donde

incide la onda. Tales desplazamientos muestran amplitudes mayores comparadas

con los horizontales.



En este caso los desplazamientos no son simétricos, siendo esto correcto porque

la onda no incide simétricamente en la irregularidad. Los desplazamientos

horizontales se perciben en los receptores que se encuentran en la dirección del

ángulo de incidencia antes que en los de la dirección contraria. Se nota que en la

dirección x es más grande el efecto provocado por el ángulo de incidencia que el

de la irregularidad misma ya que hay movimientos más fuertes en los receptores

ubicados en la dirección de la incidencia; vuelve a aparecer en todos los

receptores el efecto de la difracción de la onda. Nuevamente en la dirección



vertical, existen desplazamientos grandes y puede verse que la onda afecta

primero al cañón, después a la región que está en la misma dirección de la

incidencia y finalmente al lado contrario; tales desplazamientos tienen magnitud

muy parecida en todos los receptores.

Figura 12. Desplazamientos provocados por la incidencia de una onda SV con


La simetría que se exige es apreciada en las dos direcciones analizadas. Aquí, la

onda se percibe más tempranamente dentro de la irregularidad en la dirección x.

En cuanto a la dirección z, en el receptor central no hay ningún desplazamiento y

en las cercanías del centro del cañón hay muy poco desplazamiento. Donde

empieza a aumentar la magnitud de los movimientos verticales es a partir del

receptor 23 y su respectivo simétrico.



Lo más relevante de este caso es la magnitud de los desplazamientos

horizontales; son mucho más grandes que los vistos anteriormente en ambas

direcciones. Los desplazamientos horizontales debidos a la difracción de la onda

en el receptor 33 y los cercanos a él, son más grandes que los provocados por la

misma onda; en el resto de los receptores la difracción sigue siendo grande. En la

dirección vertical, el efecto mayor está en los primeros receptores, notando que se

hace más fuerte cerca del bordo del cañón.



Figura 14. Desplazamientos provocados por la incidencia de una onda R en un

cañón semicircular.

Después de que la onda llega al cañón, esta se refleja al momento de tener

contacto con la irregularidad, lo cual se evidencia en la magnitud de la difracción,

la cual es grande por unos instantes posteriores a la incidencia de la onda. Dentro

de la irregularidad y en el extremo contrario, la onda es fuertemente disipada,

generando desplazamientos muy pequeños en tales regiones.

En seguida se presentan los resultados del cañón semielíptico. Como es evidente,

se pueden hacer observaciones similares a los resultados del cañón semicircular

en los casos de la incidencia de ondas P y SV, con ángulos de 0° y 30°.


ángulo de 0° en un cañón semielíptico.









Para el caso de la onda R, la onda nuevamente es reflejada cuando llega a la

irregularidad; dentro del cañón y en el otro extremo, el efecto de la onda es

disipada aproximadamente a la mitad de su magnitud en la dirección vertical; sin

embargo en la dirección horizontal casi no hay disipación.


cañón semielíptico.



Finalmente se muestran los resultados para el caso de un cañón triangular. Las

observaciones hechas en las geometrías anteriores son también aplicables en

cada caso correspondiente para las ondas P y SV.


ángulo de 0° en un cañón triangular.









El efecto de la onda R es similar al del cañón semicircular, como se parecía en la

fig. 19.


cañón triangular.

IV.3 Comparación entre las geometrías semicircular, semielíptica y

triangular.

En los sismogramas que siguen, se muestra el desplazamiento captado por un

receptor en las 3 geometrías analizadas; la parte inferior corresponde al cañón

semicircular, en el centro se representa al semielíptico y el restante al triangular;

en las figuras 25 a 34 los sismogramas izquierdo, central y derecho, corresponden

al primer receptor (el primero del lado izquierdo del modelo), el receptor central

(parte baja del cañón) y al último receptor (último receptor del lado derecho del

modelo), respectivamente (ver figura 6). Es decir, el primer receptor corresponde

al punto A, el segundo al B y el tercero se localiza simétricamente con el punto A,

estos localizados en la figura 1.




ángulo de incidencia de 0° en la dirección x para los cañones semicircular,

semielíptico y triangular.

El desplazamiento mayor se produce en el cañón semicircular y el menor en el

semielíptico. En el receptor ubicado en el centro de cada cañón no hay

desplazamiento y puede observarse la simetría en los receptores extremos (1 y

33), lo que es obvio de acuerdo al ángulo de incidencia de la onda.


ángulo de incidencia de 0° en la dirección z para los cañones semicircular,


En el caso de la dirección z, el desplazamiento es prácticamente igual en los 3

cañones entre más se aleja de la irregularidad, como se puede apreciar en los

sismogramas de tales receptores (parte izquierda y derecha en la figura), con

excepción de las ligeras variaciones debidas a los efectos de las ondas

difractadas. Donde se aprecia un cambio más considerable es en el receptor

central, el cual indica que el desplazamiento mayor ocurre en los cañones

semielíptico y semicircular, y el menor en el triangular.









Los desplazamientos en los extremos de los 3 cañones en ambas direcciones son

muy parecidos aunque se aprecia que es un poco mayor en el primer receptor en

la dirección x del semicircular. Donde hay mayor diferencia es en el centro de cada

irregularidad, donde los más afectados son el semicircular y el semielíptico.






En los extremos, el desplazamiento mayor es producido en el cañón semicircular,

y en menor magnitud, pareciéndose entre sí, los otros. No es así para el centro de

cada modelo ya que es notable que el cañón triangular tiene menor

desplazamiento.




Nuevamente en el receptor central no se percibe desplazamiento; y la geometría

con menor efecto de la onda es la semielíptica.




Se puede ver que el cañón con mayor desplazamiento provocado por la onda es el

semicircular, y donde es mayor, es en el receptor 1 y el 17.






Algo notorio en el desplazamiento vertical es que en el primer receptor el

desplazamiento es mayor en el cañón semicircular, en el 17 es el semielíptico y el

el último es en el triangular.

Figura 33. Desplazamientos provocados por la incidencia de una onda R en la

dirección x para los cañones semicircular, semielíptico y triangular.

Figura 34. Desplazamientos provocados por la incidencia de una onda R en la

dirección z para los cañones semicircular, semielíptico y triangular.

La onda R afecta en mayor magnitud el receptor 1 en ambas direcciones; se

siente más el efecto de la onda en la geometría semicircular. Sin embargo a



medida que nos alejamos de tal receptor en este mismo cañón se disipa este

efecto.

IV.4 Resultados del IBEM aplicando condensación por mínimos cuadrados

Los resultados obtenidos para las geometrías de la figura 1 se muestran en la

figura 4. Los campos de desplazamiento fueron calculados para los puntos A, B y

C para un rango grande de frecuencias ( ). El criterio de reducción

aplicado fue el mismo que en la tabla 1 y las características de los cañones son

las mismas como las mencionadas anteriormente ( y ). Los

receptores ubicados en la parte baja del cañón (puntos C) tienen un muy buen

acuerdo con la solución de referencia. Para los puntos A y B hay un muy buen

acuerdo para el cual está en el rango de interés en ingeniería sísmica y

sismología. Para frecuencias más grandes, los desplazamientos para ambas

aproximaciones son más pequeños que los obtenidos mediante la solución de

referencia (RS).


vii

Conclusiones

En este trabajo se ha revisado brevemente el Método Indirecto de Elementos de

Frontera (IBEM). Esta formulación ha sido utilizada en para modelar varios

problemas en elasticidad dinámica.

Los resultados obtenidos para los cañones estudiados muestran que el caso más

desfavorable es la geometría semicircular, y de los tipos de ondas que inciden en

los cañones, la que causa desplazamientos mayores es la tipo SV, con ángulo de

incidencia de 30°. En todos los casos tratados se observa el fenómeno de

difracción de las ondas incidentes.

Se presentó una nueva estrategia de discretización aplicada al sistema de

ecuaciones resultantes en el IBEM para reducir el número de ecuaciones y de

incógnitas. Esta estrategia lleva a un sistema sobre determinado de ecuaciones

que es resuelto por un proceso de condensación por mínimos cuadrados.

Naturalmente este enfoque permite el uso de mallas gruesas o finas, para perfiles

suaves o rápidamente variables, respectivamente. La recompensa se obtiene al

reducir el tiempo de cálculo y al obtener una matriz Hermitiana, a costa de la

pérdida de exactitud. Varios ejemplos fueron estudiados para comprarlos con los

resultados obtenidos en una solución de referencia. Los resultados obtenidos

mediante el proceso de condensación proporcionan amplitudes menores que las

soluciones de referencia. Sin embargo, hasta para la reducción más grande de

ecuaciones analizadas aquí (34%), los resultados estuvieron en muy buen

acuerdo para frecuencias dentro del rango de interés en la ingeniería ( ).


viii

Recomendaciones

Los casos solucionados en el presente trabajo se enfocaron a problemas

canónicos, los cuales son de mucho interés como una herramienta de validación

para otros métodos. Sin embargo, se recomienda aplicar la presente formulación a

los siguientes casos:

Geometrías irregulares en 2 y 3 dimensiones

Problemas con diferencia alta de impedancia

Problemas con grietas internas o superficiales

La aplicación del enfoque mostrado en la presente tesis a los casos anteriormente

enlistados servirá para valorar el grado de precisión alcanzado y su aceptación o

no en el campo ingenieril.


ix

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xii

INDICE DE FIGURAS

Figura 1. Vector de esfuerzo………………………………………………. 1 Figura 2. Tensor de esfuerzo…………………………………………….. 2 Figura 3. Construcción de las ecuaciones desplazamiento-

deformación………………………………………………………

3 Figura 4. Ondas P y S……………………………………………………… 13 Figura 5. Ejemplos de topografías superficiales bajo incidencias de

ondas P ySV……………..………………………………………..

15 Figura 6. Mallado de la frontera……………………………………………. 18 Figura 7. Criterio de condensación para un cañón semicircular……….. 19 Figura 8. Resultados de un cañón semicircular………………………….. 21 Figura 9. Desplazamientos verticales de los puntos A, B y C

mostrados en la figura 1………………………………………….

23 Figura 10. Desplazamientos provocados por la incidencia de una onda

P con ángulo de 0° en un cañón semicircular…………………


P con ángulo de 30° en un cañón semicircular………………..


SV con ángulo de 0° en un cañón semicircular………………..


SV con ángulo de 30° en un cañón semicircular………………


R en un cañón semicircular……………………………………...


P con ángulo de 0° en un cañón semielíptico………………….


P con ángulo de 30° en un cañón semielíptico………………..


SV con ángulo de 0° en un cañón semielíptico………………..


SV con ángulo de 30° en un cañón semielíptico………………


R en un cañón semielíptico………………………………………


P con ángulo de 0° en un cañón triangular…………………….


P con ángulo de 30° en un cañón triangular…………………...


SV con ángulo de 0° en un cañón triangular…………………..


SV con ángulo de 30° en un cañón triangular…………………


R en un cañón triangular…………………………………………

29


xiii

Figura 25. Desplazamientos provocados por la incidencia de una onda P con ángulo de incidencia de 0° en la dirección x para los cañones semicircular, semielíptico y triangular………………..


P con ángulo de incidencia de 0° en la dirección z para los cañones semicircular, semielíptico y triangular………………..


P con ángulo de incidencia de 30° en la dirección x para los cañones semicircular, semielíptico y triangular………………..


P con ángulo de incidencia de 30° en la dirección z para los cañones semicircular, semielíptico y triangular………………..


SV con ángulo de incidencia de 0° en la dirección x para los cañones semicircular, semielíptico y triangular………………..


SV con ángulo de incidencia de 0° en la dirección z para los cañones semicircular, semielíptico y triangular………………..


SV con ángulo de incidencia de 30° en la dirección x para los cañones semicircular, semielíptico y triangular……………


SV con ángulo de incidencia de 30° en la dirección z para los cañones semicircular, semielíptico y triangular……………


R en la dirección x para los cañones semicircular, semielíptico y triangular…………………………………………..


R en la dirección z para los cañones semicircular, semielíptico y triangular…………………………………………..

33


xiv

INDICE DE TABLAS

Tabla 1. Reducción de las incógnitas en el proceso de condensación. 22


A. DEDUCCIÓN DE LAS REPRESENTACIONES INTEGRALES

Anexos

ANEXO A. DEDUCCIÓN DE LAS REPRESENTACIÓNES INTEGRALES

Representación Integral de Somigliana.

Se deducirán las representaciones integrales del campo de desplazamientos y de

tracciones necesarias para aplicar el IBEM. Se empieza tomando la transformada

de Fourier de las ecuaciones de equilibrio (ecuación I.30).

(A.1)

Como la transformada de Fourier se hace en el dominio del tiempo el único

termino afectado en A.1 es la segunda derivada respecto de tal variable y cada

componente del desplazamiento queda en el dominio de la frecuencia; por lo

tanto

(A.2)

Sustituyendo la Ley de Hooke,

en A.2

(A.3)

Se sabe que si se aplica un impulso unitario, las soluciones a las ecuaciones de

Navier son las funciones de Green , por lo tanto:

(A.4a)

(A.4b)

(A.4c)

Multiplicando A.3 por , A.4c por ,

(A.5a)

(A.5b)

Restando A.5b de A.5a

(A.6)



Si se observa que

(A.7)

A.7 es válido porque

(A.8)

Se infiere, de A.7 y A.8, que A.6 se puede expresar como

(A.9)

De acuerdo a la definición de la Delta de Kronecker, en el segundo término del

lado derecho de A.9, el único término distinto de cero es el caso cuando , por

lo tanto A.9 se transforma en

(A.10)

Entonces, como A.10 es válida para todo el volumen del medio, al integrar se

obtiene

(A.11)

Aplicando el teorema de Gauss (ecuación 1.24) a la integral del lado izquierdo de

A.11

(A.11)

De inmediato se reconoce que el término positivo de la integral de superficie en

A.11 es el tensor de esfuerzo multiplicada por la función de Green y que el término

negativo es la tracción de Green multiplicada por la componente .

La última integral de A.11 se evalúa a partir de un proceso de límites donde se

pueden obtener 3 posibles valores de ella, los cuales son .

Agrupando términos

(A.12)



Representación Integral para el campo de desplazamientos y de tracciones.

Considerar un punto sobre la frontera del medio, es decir . En este caso

(A.13)

Si es una solución del problema exterior con tracción en su frontera y

considerando nulas las fuerzas de cuerpo A.13 se simplifica a

(A.14)

En la frontera ; sumando A.13 y A.14

(A.15)

A.15 se obtiene notando que

(A.16)

Si se hace

(A.17)

A.15 adopta la forma

(A.18)

Para cualquier . Si , la representación de y de la solución exterior

son respectivamente

(A.19a)

(A.19b)

Por lo que con un desarrollo análogo al deducir A.18 se llega al mismo resultado,

la ecuación A.18. Haciendo uso de las propiedades de las funciones de Green

(A.20)

Y cambiando los índices a

(A.21)



Como es obvio, A.17 representa una distribución de fuerzas en la frontera del

medio.

Recurriendo a la ley de Hooke (

) y al vector de tracción I.8, se

obtiene un caso particular de la representación de las tracciones del IBEM;

derivando A.21 y multiplicando por

(A.22)

Para ; es decir

(A.23)


B. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL Y LAS FUNCIONES DE HANKEL

ANEXO B. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE BESSEL Y LAS FUNCIONES DE

HANKEL

La siguiente ecuación diferencial es conocida como ecuación diferencial de

Bessel; las soluciones de tal ecuación dan lugar a las funciones de Bessel. A

continuación se mostrará cómo se llega a su solución.

(B.1)

El valor es el único punto singular regular de la ecuación; por lo tanto se

puede encontrar al menos una solución de la forma (Teorema de Frobenius)

(B.2)

Teniendo en cuenta B.2,

(B.3a)

(B.3b)

Sustituyendo B.3a, B.3b y B.2 en B.1

(B.4a)

(B.4b)

(B.4c)

(B.4d)

Para agrupar los términos en una sola expresión se hace un desplazamiento de

todas las potencias más grandes a la más pequeña; es decir se desplazará

a . Para eliminar al 2 se hace quedando

y como los índices de una sumatoria son “mudos”, se

puede hacer . De esta forma B.4d se escribe como

(B.5)



Para que se cumpla esta igualdad se debe tener

(B.6)

Ya que no se obtiene nada nuevo con hacer , en B.6,

(B.7)

La segunda suma solo genera nuevos términos a partir de . De B.7

Entonces

(B.8a) (B.8b)

Sustituyendo las ecuaciones B.8 en B.5, se genera un par de soluciones de la

ecuación diferencial sí no es un entero. Primero sustituiremos B.8a, suponiendo

que no es entero.

(B.9a)

(B.9b)

Entonces, de B.9b,

Del caso , se deduce lo siguiente:

(B.10)

Sustituyendo algunos valores de en B.10,se obtiene el término general de la

serie B.2



El patrón generado por B.10 se puede simplificar observando que

(B.11)

Además se cambiará el índice de a ya que los términos diferentes de cero en

B.10 tienen índice par. Sustituyendo B.11 en B.2

(B.12)

De manera similar, usando B.8b en B.5:

(B.13)

Los coeficientes y son las constantes arbitrarias necesarias para formar la

solución general de B.1.

Como es arbitraria, existe tal que

(B.14)

Además la función Gamma cumple la siguiente relación (C.2 Anexo C)

(B.15)

Usando B.14 y B.15 en B.12, sin tomar en cuenta la constante arbitraria (ya que

es la constante arbitraria de la solución general de la ecuación diferencial)



(B.16)

Similarmente, de B.13

(B.17)

Las ecuaciones B.16 y B.17 se les conoce como Funciones de Bessel de índice

y respectivamente. Si la solución general de B.1 es

(B.18)

Funciones de Bessel de segunda clase.

Si , la función de Bessel de segunda clase y de índice se define por

(B.19)

Cuando , la función de Bessel de segunda clase se define por el límite

(B.20)

Que se obtiene al aplicar la regla de L’Hopital; además con la definición B.20, las

funciones de Bessel de primer y segundo tipo son linealmente independientes; por

lo tanto para cualquier la solución general de la ecuación de Bessel es

(B.21)

Funciones de Hankel.

Las funciones de Hankel son funciones de variable compleja en las que sus partes

real e imaginaria se definen por medio de las funciones de Bessel de primera y

segunda clase, respectivamente.

La función de Hankel de índice y clase 1 se define por

(B.22)

Y la función de Hankel de índice y clase 2 se define por

(B.23)



Ambas funciones tienen aplicaciones importantes; como se vio anteriormente, las

funciones de Green, necesarias para aplicar el IBEM, se definen a partir de las

funciones de Hankel.


C. LA FUNCIÓN GAMMA

ANEXO C. LA FUNCIÓN GAMMA

Se le conoce también como función factorial generalizada, ya que permite

extender el concepto del factorial ordinario a valores que no son enteros. Hay

varias formas de definirla, pero la que permite obtener sus propiedades más

fácilmente, es una integral.

Definición. Función Gamma.

(C.1)

A partir de la definición C.1 obtendremos dos propiedades básicas de la función

gamma.

1.- Relación de recurrencia.

(C.2)

Demostración. Sustituyendo en la definición

(C.3)

Integrando C.3 por partes, ; por lo

tanto

(C.4)

Ya que la ultima integral en C.4 es C.1.

2.- Función Gamma en x=1/2.

(C.5)

Demostración. A partir de la definición C.1

(C.6)

Haciendo el cambio en C.6

(C.7)


C. LA FUNCIÓN GAMMA

Usando el hecho de que la integración es independiente de la variable utilizada, se

tiene

(C.8)

Elevando al cuadrado C.7 y utilizando C.8

(C.9)

C.9 expresa que se integrará la función en la región correspondiente al

primer cuadrante del plano . En seguida se hace el cambio de variables a

coordenadas polares, . Entonces de C.9

(C.10)

Despejando, se obtiene C.5.

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