pronosticos en modelos con umbrales · si corriste con los de a pie, y te cansaron, ¿cómo...

CENTRO DE INVESTIGACION ENMATEMATICAS A.C.

PRONOSTICOS EN

MODELOS CON UMBRALES

T E S I SQue para obtener el Grado de:

Maestro en Ciencias

con Orientacion en

Probabilidad y Estadıstica

P r e s e n t a

Adan Uribe Bravo

Director de Tesis:

Dra. Graciela Gonzalez

Farıas

Guanajuato, Gto., Enero de 2015

.

Resumen

En este trabajo se analizan las propiedades de los pronósticos del modelo TAR(2;p,p)mediante su representación VAR y se utiliza el concepto de verosimilitud predictivaperfil para la predicción de observaciones futuras. De acuerdo con los resultados delejercicio de simulación, los pronósticos en el modelo TAR obtenidos mediante el métodode verosimilitud predictiva, presentan mejores desempeños que los pronósticos bajo elmodelo AR, considerando la función de pérdida error cuadrático medio de pronóstico(ECMP).

iii

Si corriste con los de a pie, y te cansaron,¿cómo contenderás con los caballos?Y si en la tierra de paz no estabas seguro,¿cómo harás en la espesura del Jordán?

Jeremías 12:5

v

Agradecimientos

A Dios: el Padre, el Hijo y el Espíritu Santo.

A mis pilares de fortaleza, papá y mamá, ¡Los amo muchísimo! ¡Gracias por todo!. Ami inspiración para nunca comprometer mi integridad y ser lo mejor que puedo ser, miverdadera y primer amiga y roca, mi querida hermana, Elsa. La palabra agradecimientose queda corta en este caso, ellos son sin duda lo mejor y lo más importante de mi vida.

Un agradecimiento especial para la Dra. Graciela González Farías. No tengo pala-bras para agradecer su paciencia, apoyo y amable disposición para dirigir este trabajo,por sus valiosas sugerencias que enriquecen el escrito final. Al Dr. Nelsón Omar MurielTorrero y al Dr. José Luis Batún Cutz. Gracias por sus comentarios y sugerencias quefueron muy importantes en la etapa final de mi tesis y que aportaron mucho valor queenriqueció el contenido de ésta, gracias por su tiempo y esfuerzo.

A mis compañeros de maestría, con los cuales pudimos llevar adelante todos los cur-sos y con los cuales todos los sacrificios y esfuerzos se podían encarar con una sonrisa.En este sentido quiero en particular mencionar a Carlos Durán, Javier Rivera, RodrigoGachuz, Ernesto Ramos, Miríam Báez, Miguel Ángel Sánchez, Georges Bucybaruta,Jonás Arista, Nicolás Kuschinski, Gerardo Ortega, Eneida Tuyud y Flor Sermeño, loscuales además de ser mis compañeros de Maestría son grandes amigos.

Al Centro de Investigación en Matemáticas A.C. (CIMAT) por la formación acadé-mica que me ofrecío.

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACyT) por la beca recibida pararealizar mis estudios de Maestría.

vii

.

viii

Índice general

1 Introducción 11.1 Estructura de la tesis 3

2 Modelos Autorregresivos por Umbrales 52.1 Introducción 52.2 Estacionariedad en modelos TAR 82.3 Identificación de modelos TAR 122.4 Estimación en modelos TAR 18

2.4.1 Mínimos Cuadrados 192.4.2 Máxima Verosimilitud 202.4.3 Propiedades asintóticas de los estimadores de máxima verosimilitud 25

3 Pronósticos vía Verosimilitud Predictiva 293.1 Verosimilitud Predictiva 303.2 Verosimilitud predictiva en el modelo lineal AR(p) 313.3 Verosimilitud predictiva en el modelo TAR(2;p,p) 343.4 Error Cuadrático Medio de Pronóstico 38

3.4.1 Representación VAR del modelo TAR(2;p,p) 41

4 Simulación y Resultados 494.1 Resultados asumiendo que yt sigue un proceso TAR(2;2,2) 51

4.1.1 Resultados para el caso 1 544.1.2 Resultados para el caso 4 594.1.3 Resultados para el caso 18 63

4.2 Resultados asumiendo que yt sigue un proceso TAR(2;6,6) 694.2.1 Resultados para el caso 7 724.2.2 Resultados para el caso 13 764.2.3 Resultados para el caso 17 81

ix

4.3 Resultados asumiendo que yt sigue un proceso TAR(2;1,1) 864.4 Resultados asumiendo que yt sigue un proceso TAR(2;3,3) 894.5 Resultados asumiendo que yt sigue un proceso TAR(2;4,4) 924.6 Resultados asumiendo que yt sigue un proceso TAR(2;5,5) 95

5 Resumen 99

Apéndice A 101

Apéndice B 103

Apéndice C 107

Apéndice D 109

Bibliografía 129

x

Capítulo 1

Introducción

Durante mucho tiempo se trabajó exclusivamente en la parte lineal univariante deseries de tiempo; sin embargo, en años recientes se ha cambiado el énfasis a estudiary entender los efectos de la no linealidad, así como extenderse a la parte multivaria-da a través por ejemplo de la representación VAR (Vector Autoregressive Models). Loque nos interesa estudiar en este trabajo es un caso particular de modelos no linealestemporales, llamados modelos por umbrales, que intentan identificar y modelar fenóme-nos no lineales, así como la de tener buenos pronósticos basados en la historia de la serie.

Los modelos por umbrales más populares en la literatura, son los llamados modelosautorregresivos por umbrales TAR (Threshold AutoRegressive Models). Esta clase demodelos fue introducida por Tong a partir de una secuencia de artículos que culminaronen el de Tong y Lim (1980)1, como modelos alternativos para describir series de tiemposperiódicas. Los modelos TAR se caracterizan por el “principio del umbral” (thresholdprinciple). La idea fundamental de este principio es la introducción de regímenes apartir de umbrales, permitiendo así el análisis de sistemas estocásticos complejos, apartir de subsistemas simples. Dichos regímenes se activan cuando determinada varia-ble sobrepasa un valor umbral. La principal característica de estos modelos radica en lacapacidad para capturar ciclos límite, irreversibilidad en el tiempo, asimétrias, frecuen-cias dependientes de amplitudes y fenómenos de saltos, los cuales en general no puedenser capturados por modelos lineales.

1Una presentación detallada de la teoría se encuentra en Tong (1983, 1990) y también en Hansen(1996, 1997,1999a, 1999b, 2000).

1

Los modelos TAR se caracterizan por ser localmente lineales y permitir capturar laheterocedasticidad condicional en los residuos (volatilidad). Una de las claves del éxitodel modelo TAR está en que es relativamente simple de especificar, estimar e interpretar.

Un modelo por umbrales está compuesto de modelos lineales, entre los que el pro-ceso irá cambiando dependiendo de la variable umbral. Debido a la linealidad de losdiferentes regímenes el uso de modelos TAR será ventajoso respecto a otros modelosno lineales en el momento de la generación y evaluación de pronósticos h pasos haciaadelante. Dacco y Satchell (1999) identifican que al evaluar y cuantificar el desempeñode los pronósticos fuera de la muestra observada mediante sus respectivos Errores cua-dráticos Medios de Pronóstico (ECMP), los pronósticos no lineales obtenidos con losmodelos TAR no son en general mejores que los pronósticos provenientes de un modelodel tipo lineal autorregresivo (AR por sus siglas en inglés). Russell-Noriega (2006) pro-pone usar la verosimilitud predictiva para obtener los estimadores de los parámetros ylos pronósticos en modelos TAR(2;1,1), con ella resuelve el problema identificado en vir-tud de que bajo ésta, los desempeños de los pronósticos en modelos TAR(2;1,1) tienenmenor error que los pronósticos correspondientes bajo el modelo lineal, considerandola función de pérdida error cuadrático medio. Además Russell-Noriega (2006) identifi-ca que el problema del mal desempeño de los pronósticos en modelos TAR(2;1,1), sedebe principalmente a problemas de especificaciones incorrectas, como la clasificaciónincorrecta de las observaciones en cada uno de los regímenes (Dacco y Satchell (1999)),así como estimaciones incorrectas del parámetro umbral implican desempeños pobresde los pronósticos bajo un TAR(2;1,1).

El objetivo de este trabajo de tesis es analizar las propiedades de los pronósticos delmodelo TAR(2;p,p), la estimación de los parámetros del modelo se realiza viá máximaverosimilitud y para la predicción de observaciones futuras se utiliza el concepto de laverosimilitud predictiva perfil que ha probado ser eficiente en el modelo TAR(2;1,1).

2

De acuerdo con los resultados obtenidos del ejercicio de simulación, los pronósticosen el modelo TAR, obtenidos mediante el método de verosimilitud predictiva presentanmejores desempeños que los pronósticos bajo el modelo AR, ya que los valores de lafunción de pérdida para los distintos horizontes de pronóstico son más pequeños en elmodelo por umbrales que en el modelo lineal.

1.1. Estructura de la tesis

La tesis consta de 5 capítulos. En este primer capítulo se han introducido los ob-jetivos de la tesis. A lo largo de esta tesis nos centramos en un tipo de modelos nolineales, que son los modelos por umbrales, por ello el capítulo 2 contiene una revisióndel modelo TAR, sus propiedades teóricas, como son la estacionariedad y ergodicidad.También presentamos el procedimiento de identificación del modelo TAR, además sediscute el proceso de estimación basado en los métodos de mínimos cuadrados y demáxima verosimilitud, asimismo las propiedades asintóticas de los estimadores bajo pa-rámetro umbral conocido y desconocido.

Los principales resultados de la tesis se encuentran en los capítulos 3 y 4. En elcapítulo 3 se introduce el concepto de verosimilitud predictiva y bajo el supuesto denormalidad en los errores obtenemos la correspondiente función de verosimilitud predic-tiva para el modelo AR(p) y el modelo TAR(2;p,p). El capítulo 4, presenta un análisisdel ejercicio de simulación implementado para la obtención de pronósticos, así comola cuantificación de sus desempeños mediante la función de pérdida error cuadráticomedio de pronóstico (ECMP).

Por último en el capítulo 5 se presentan las conclusiones generales del trabajo detesis.

3

Capítulo 2

Modelos Autorregresivos porUmbrales

2.1. Introducción

En esta sección se introduce el modelo TAR (por sus siglas en inglés Threshold Au-toregressive), el cual permite analizar series de tiempos que presentan comportamientosno lineales, así como conceptos que nos permiten establecer las condiciones que debecumplir un modelo TAR para sea que estacionario y ergódico.

A lo largo de los años se han ido proponiendo diferentes tipos de modelos que inten-tan explicar diferentes fenómenos no lineales tales como: ciclos límites, irreversibilidaden el tiempo, asimétrias, frecuencias dependientes de amplitudes y fenómenos de saltos.Los modelos por umbrales, fueron propuestos por primera vez por Tong (1978) y discu-tido en detalle por Tong y Lim (1980), Tong (1983) y Tsay (1989). Estudios realizadossobre diferentes conjuntos de datos indican que los modelos no lineales son más flexiblespara capturar las características de los datos y, en algunos casos, pueden mejorar la ca-lidad del ajuste y la capacidad de predicción del modelo. Tiao y Tsay (1994) consideranque estos avances no significan que los modelos lineales sean menos útiles, al contrario,los modelos lineales nos proporcionan una primera aproximación que puede resultar degran ayuda como primera estimación de algunos parámetros.

5

Los denominados modelos por umbrales, se caracterizan por el «principio del um-bral» (threshold principle). La idea fundamental de este principio es la introducciónde regímenes a partir de umbrales, permitiendo así el análisis de sistemas estocásticoscomplejos, a partir de subsistemas simples. Una característica común de estos modeloses que suponen la presencia de diferentes regímenes, permitiendo que la serie de tiempobajo estudio para cada régimen tenga distinta media media, varianza y estructura decorrelación.

Muchas de las series de tiempo encontradas en la práctica presentan característicasque no corresponden con las características teóricas de las trayectorias de los modeloslineales, tales como la irreversibilidad del tiempo, no normalidad, ciclos asimétricos,relación no lineal entre variables rezagadas, y la sensibilidad a las condiciones iniciales.Dado que los modelos de series de tiempo lineal no pueden dar cuenta de este tipo decomportamiento no lineal, es sólo con el relativamente reciente desarrollo de los mo-delos de series de tiempo no lineales y la metodología que tales características se hanmodelado con éxito (Tong, 1983,1990).

Una clase útil de los modelos de series de tiempo no lineales son los modelos TAR(autorregresivos por umbral), los cuales son una simple extensión de los modelos AR esla clase de los modelos AR-no lineales y se definen como

yt = f (yt−1, yt−2, ..., yt−p) + εt,

donde f es una función aleatoria tal que f : Rp → R y εt es una sucesión de variablesaleatorias independientes e idénticamente distribuidas N (0, σ2

ε) con σ2ε <∞.

Cuando f es una función lineal por partes, obtenemos el caso especial de modelosautorregresivos por umbrales o TAR que fueron propuestos primeramente por Tong(1978, 1983, 1990). El aspecto principal de estos modelos es cambiar los parámetrosde un modelo autorregresivo lineal de acuerdo con el nivel de una variable observablellamada variable umbral.

6

Definición. Se dice que la serie yt sigue un modelo TAR (r; p1, ..., pr) con variableumbral Zt−d y r regímenes, si yt puede expresarse de la siguinete forma:

yt = α0,k +

pk∑i=1

α1,kyt−i + εk,t para γk−1≤Zt−d < γk.

Donde k = 1, 2, ...,r y d un entero positivo, en nuestro caso conocido. Los númerosenteros no negativos p1,. . . ,pr denotan los órdenes autorregresivos de yt en cada régimen.Los errores εk,t se consideran como una sucesión de variables aleatorias normalesindependientes con media cero y varianza σ2

k, donde εi,t y εj,t son independientessi i 6= j. Los números reales γj satisfacen

−∞ = γ0 < γ1 < ... < γr =∞,

y son denominados los umbrales del proceso Zt que definen los r regímenes para elsistema y d es conocido como el parámetro de rezago ó de retardo de la variable umbralen el modelo. La partición γk−1≤Zt−d < γk se refiere a el k−ésimo régimen del modeloen la ecuación. Observemos que el modelo TAR es un modelo lineal por pedazos en elespacio de Zt−d, pero es no lineal por pedazos en el tiempo. Si la variable umbral Zt−destá dada por rezagos o funciones de la serie misma yt, se identifica al modelo como unmodelo SETAR (Selft Exciting Threshold Autoregressive).

Téngase en cuenta que, en cada uno de los r regímenes, la serie de tiempo yt esun modelo lineal AR(pk), k=1, 2, ...,r. Así, cuando r = 1, yt es un modelo AR(p); sinembargo, cuando r ≥ 2, todos los r modelos lineales son diferentes.

7

El modelo TAR captura las asimetrías y características cíclicas de las series tempo-rales. Las características más interesantes de este modelo son que permite, por un lado,evaluar la presencia de no linealidades, y por otro, capturar ciclos límite (que puedenser asimétricos), puntos límites e irreversibilidad temporal. Se refiere al lector a Tong(2010) para ver un estudio más amplio de los modelos TAR.

2.2. Estacionariedad en modelos TAR

Al igual que en todo estudio de procesos estocásticos, las propiedades de estacio-nariedad y ergodicidad para el caso de series de tiempo no lineales son fundamentalespara garantizar las propiedades asintóticas de los estimadores para cada uno de losparámetros en el modelo. Para verificar los supuestos de estacionariedad y ergodicidaden modelos no lineales es necesario representar a la serie de tiempo como una cadenade Markov y establecer que la cadena es ergódica.

Sea π una medida de probabilidad en un espacio medible (X ,B), donde B denota laσ−álgebra de Borel de X . Sea y1, y2, ... una cadena de Markov homogénea1 y denotemospor

P (x,A) = P (yt+1 ∈ A | yt = x) ,

la probabilidad de que la cadena se mueva del estado x ∈ X al conjunto A ∈ B, luegosea

P n (x,A) = P (Yt+n ∈ A | yt = x) ,

la probabilidad de transición en n pasos, además sea π la distribución estacionaria deyt, es decir,

π (A) =

ˆXP (x,A)π (dx) ,

y sea‖µ‖ := sup

A∈B

∣∣µ (A)∣∣,

la norma de variación total y µ es medida de probabilidad.

1Veasé; Markov Processes: Characterization and Convergence de Ethier y Kurtz 2005.

8

Para el estudio de la estacionariedad en modelos TAR se reescriben en forma de unmodelo general autorregresivo no lineal

yt = f (yt−1, ..., yt−p) + εt, (2.1)

siendo f una función lineal a trozos, y donde el proceso εt es una sucesión devariables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Al ser el proceso yt

una serie temporal, asumamos que εt es independiente de yt−j, j ≥ 1. Ahora, seanYt = (yt, ..., yt−p+1)′ y εt = (εt, ..., 0)′, entonces, a partir del modelo 2.1, se deduce queYt es una cadena de Markov definida como

Yt = f (Yt−1) + εt,

donde f (Yt−1) = (h (yt−1, ..., yt−p) ; yt−1, ..., yt−p+1)′ . Para que el proceso yt sea estacio-nario es necesario que Yt sea estacionario. El concepto de estacionariedad en cadenasde Markov esta relacionado con con el concepto de que un proceso sea geométricamenteergódico.

Definición. (Proceso Geométricamente Ergódico) El proceso yt es geométricamenteergódico si existe una medida de probabilidad π, una constante ρ ∈ (0, 1), una funciónh : X → R medible no negativa y π−integrable tal que

‖P n (x, ·)− π (·)‖ ≤ ρnh (x) , x∈ X ,

donde ‖·‖ es la norma de variación total.

En el trabajo de González y Gonzalo (1998) se dan las propiedades de estacionarie-dad y ergodicidad de los modelos TAR de primer orden, sin constante y con variableumbral Zt−d, cuya representación matemática es

yt = [α1I (Zt−d ≤ γ1) + . . .+ αnI (Zt−d ≤ γn)] yt−1 + εt

= δtyt−1 + εt,

(2.2)

donde δt = [α1I (Zt−d ≤ γ1) + . . .+ αnI (Zt−d ≤ γn)], I (·) es la función indicadora, εtes una variable de error, d es el parámetro de retardo o rezago y γ1 < γ2 < ... < γn sonlos valores de umbral.

9

Los procesos εt y Zt satisfacen las siguientes condiciones:

(A1).- Los proceso εt, Zt−d son estrictamente estacionarios y ergódicos.

(A2).- E (εt | Ft−1) = 0 y E (ε2t | Ft−1) = σ2.

(A3).- Para algún τ > 1, E (ε2τt | Ft−1) ≤ B <∞.

(A4).- E (max (0, log |ε1|)) <∞.

(A5).- El supremo esencial de |ε1| <∞, es decir,

ess sup |ε1| = ınf x : Pr (|ε1| < x) = 0 <∞.

(A6).- ε1 admite una función de densidad de probabilidad continua y positiva.

Los supuestos (A1) y (A4) son necesarios para estacionariedad estricta, mientras queel supuesto (A5) es necesario para estacionariedad en covarianza. El supuesto (A6) serequiere para ergodicidad geométrica. Los supuestos (A2) son las consideraciones es-tándar para especificar que el proceso de error εt es una secuencia de martingalas endiferencias condicionalmente homocedástica. (A2) conjuntamente con (A3) se utilizapara obtener algunos de los resultados asintóticos del proceso TAR.

A continuación se mencionan las condiciones bajo las cuales el modelo TAR esestacionario y ergódico:

Teorema. (Teorema de estacionariedad TAR). Sea yt un proceso generado a partirdel modelo TAR dado en la ecuación 2.2, donde el proceso de error εt satisface lossupuestos (A1), (A4) y (A5) enunciados arriba. Sea también Zt−d la variable umbral,la cual cumple el supuesto (A1). Si E (|δ2

t |) < 1; entonces el proceso Yt es estrictamenteestacionario. Por otra parte, si

∞∑j=1

(E

(j∏t=1

∣∣δ2t

∣∣))2

<∞,

el proceso es también débilmente estacionario.

10

El teorema anterior establece las condiciones bajo las cuales el proceso yt es estricta-mente estacionario, y estás se basan en que se cumplan los supuestos (A1) y (A4) paralos procesos εt, Zt−d. Sin embargo, esto no garantiza la existencia de los momentosy de aquí que necesitemos asumir que el proceso εt cumple con la condición (A5)para garantizar que el proceso yt es estacionario en covarianzas. Note que el Teoremaanterior no requiere que la variable umbral Zt−d sea una secuencia de observacionesindependientes del proceso εt.

Corolario. Considere el modelo TAR de dos regímenes de primer orden, denotadocomo TAR(2;1,1) con rezago d y dado por la siguiente expresión:

yt = [α1I (Zt−d ≤ γ) + α2I (Zt−d > γ)] yt−1 + εt

= δtyt−1 + εt,

donde la variable umbral Zt−d se supone un proceso de variables aleatorias independien-tes e idénticamente distribuidas y mutuamente independientes del proceso de erroresεt , con p = Pr (Zt−d ≤ γ). Entonces, si E (δ2

t ) < 1, el proceso yt es estacionario encovarianzas.

Corolario. Considere el modelo TAR(2;1,1) de primer orden con Zt−d un proceso deMarkov de orden N. Entonces si E (δ2

t ) < 1 y p1|2,...,2 ≥ p1|1,...,1 el proceso es estacionarioen covarianzas. p1| j,...,j es la probabilidad de iniciar en el estado uno dado que durantelos N periodos anteriores el proceso estuvo en el estado j = 1, 2. Cuando N = 1, tenemosque para que el proceso sea estacionario en covarianzas debe cumplirse que: E (δ2

t ) < 1

y p1|2 ≥ p1|1.

Corolario. Considere nuevamente el modelo TAR(2;1,1) de primer orden con Zt−d unproceso de Markov de orden N y αi = 1 y |αj| < 1, i 6= j, i, j = 1, 2. Entonces el procesoyt es estacionario en covarianzas.

El Corolario anterior introduce los modelos TAR con una raíz unitaria en uno de losregímenes, denotados por González y Gonzalo (1998) como modelos TUR, los cualesson una alternativa para la modelación de series económicas, como por ejemplo las tasasde interés.

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Teorema. (Teorema de ergodicidad TAR). Sea yt generado a partir del modelo TAR(2;1,1)y que satisface las condiciones del teorema de estacionariedad, más el supuesto (A6).Entonces, yt es geométricamente ergódico.

Las demostraciones de los Corolarios y los teoremas de estacionariedad y ergodici-dad en modelos TAR, se encuentran en el trabajo de González y Gonzalo (1998).

El interés de este trabajo se centra en el estudio de los modelos TAR de orden p,con dos régimenes, denotado por TAR(2; p, p) sin constante con variable umbral Zt−d,con condiciones iniciales y1, ..., yp, Z0, ..., Zd cuya representación matemática es

yt =

p∑i=1

α1iyt−i+εt si Zt−d ≤ γ

p∑i=1

α2iyt−i + εt si Zt−d > γ,

(2.3)

oyt = h (Yt−1, Zt−d, α) + εt, t ≥ 1,

para algún α = (α′1, α′2, γ, d)∈ R2p+1×1, 2, ..., p donde Yt−1 = (yt−1, yt−2, ..., yt−p)

′,αj = (αj1, αj2, ..., αjp)

′ ∈ Rp, j = 1, 2 y para y ∈ Rp y z ∈ Rp,

h (y, z, α) =

(p∑i=1

α1iyi

)I (zd ≤ γ) +

(p∑i=1

α2iyi

)I (zd > γ) ,

donde los errores εt ∼iidN(0, σ2) .

2.3. Identificación de modelos TAR

En esta sección se describe el procedimiento de identificación del modelo TAR, esdecir, comprobar si el modelo TAR resume de manera adecuada la información con-tenida por los datos. El método de identificación esta basado en dos ideas básicas, laordenación del proceso respecto a la variable umbral, para así conseguir agrupar lasobservaciones pertenecientes a cada régimen de comportamiento como ya hicieron Pe-truccelli y Davies (1986) y Tsay (1998) y el uso de la estimación recursiva para asípoder detectar un posible cambio estructural en la secuencia de estimaciones. El con-traste propuesto por Tsay (1998) ha sido uno de los más empleados a lo largo de la

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literatura, debido, principalmente, a que el valor del umbral γ no influye en el contraste,por lo que no es necesario asumir ningún tipo de estructura previa en el modelo TARcontrastado.

El uso de un modelo lineal para explicar un conjunto de datos que presenten algúntipo de fenómeno no lineal, provocará que el modelo no pueda recoger toda la infor-mación contenida en los datos. El problema radica en cómo identificar estos fenómenosy cómo identificar la no linealidad. Una herramienta para comprobar la existencia deno linealidad en el proceso es el uso de contrastes de hipótesis. La realización de uncontraste de linealidad es una buena forma de comprobar si el modelo TAR empleadoresume de manera adecuada la información contenida por los datos. Existen dos clasesde contrastes de linealidad, por una parte están los contrastes generales que no asumenningún tipo de estructura no lineal en los datos, sino que solo contrastan la falta delinealidad en los mismos. Por otra parte, están aquellos contrastes específicos que nospermiten comprobar si un tipo de fenómeno no lineal en particular es correcto parael proceso estudiado. En particular, en esta tesis nos hemos centrado en los contrastesespecíficos.

Los contrastes específicos tienen como hipótesis alternativa la existencia de un mo-delo no lineal. Para contrastar la existencia de modelos por umbrales existen diferentestipos de propuestas. Los más empleados son contrastes de Razón de Verosimilitud (Chany Tong, 1990; Hansen, 1996, 1999; Ling y Tong, 2005) y contrastes basados en los resi-duales predictivos (Petruccelli y Davies, 1986; Tsay, 1998).

El procedimiento para modelado de los modelos autorregresivos por umbrales se basaen la propuesta de Tsay (1998) para modelos de umbrales multivariados. Tsay proponeun proceso computacionalmente sencillo para la construcción de modelos TAR. Estaprueba permite verificar la adecuación a los datos de un modelo no lineal TAR. En elestadístico de prueba se contrasta la hipótesis nula de linealidad (H0 : yt ∼ TAR (1))

contra la hipótesis alternativa de no linealidad (Ha : yt ∼ TAR (r) , r > 1) explicadapor la presencia de umbrales, el estadístico se desarrolla a partir de una regresión or-denada estimada por el método de mínimos cuadrados, con base en la cual se calculanlos residuales predictivos, que posteriormente son usados para el cálculo del estadísticode prueba.

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Para ajustar el modelo TAR a una colección de datos, hay que seleccionar la es-tructura autorregresiva, en primer lugar, se selecciona el orden p a través de la funciónde autocorrelación (ACF) y la función de autocorrelación parcial (PACF). De acuerdoal orden p, definimos el intervalos de los posibles valores para d, es decir, tomamos0 < d ≤ p, entonces, podemos calcular el estadístico de prueba.

La segunda etapa para la modelación por medio de un TAR es probar la no linealidadusando el estadístico de prueba propuesto por Stay (1998). El estadístico de prueba secalcula como sigue: Se ordenan los datos de la variable umbral Zt por magnitud y sea(i) el índice de tiempo de la i-ésima observación más paqueña de Zt, luego consideremosla regresión ordenada

yt(i) = X′t(i)β + εt(i), i = 1, ..., T − p,

donde X′t(i) =(1, yt(i)−1, . . . , yt(i)−k

)y t (i) es el índice de tiempo de la variable umbral

Zt ordenada.

Una característica importante de la regresión ordenada es que transforma efecti-vamente un modelo por umbrales en un problema de punto de cambio, es decir, losdatos son agrupados de tal forma que todas las observaciones en un grupo siguen elmismo modelo lineal AR, ya que la regresión está ordenada según el orden creciente dela variable umbral de Zt−d.

Luego se estima la regresión anterior por el método de mínimos cuadrados ordi-narios para las primeras m observaciones, Tsay (1998) propone un rango para m ∈(

3√T , 5√T)y se obtiene el vector de parámetros estimados βm . Usando el algoritmo

de mínimos cuadrados recurrentes, el siguiente paso es calcular los residuales predictivosdados por

et(m+1) = yt(m+1) −X′t(m+1)β,

y los residualess predictivos estandarizados:

ηt(m+1) =et(m+1)[

1 + X′t(m+1)VmXt(m+1)

]1/2 ,

14

donde

Vm =

[m∑i=1

Xt(i)X′t(i)

]−1

,

yt(m+1) y X′t(m+1) son, respectivamente, la próxima observación de la variable respuestay de las regresoras, que son incluídas en la regresión ordenada.

Tsay (1998) demuestra que si yt es lineal, entonces el estimador de mínimos cua-drados recursivos de la regresión ordenada es consistente, además que los residualespredictivos son ruido blanco, consecuentemente los residuales predictivos están no co-rrelacionados con el regresor Xt(i), en lugar de, si yt se modela por un modelo porumbrales, entonces los residuales predictivos no son ruido blanco, debido a que el esti-mador de minímos cuadrados es sesgado, en este caso, los residuales de predicción estáncorrelacionados con el regresor.

A continuación se estima la regresión

ηt(l) = X′t(l)ω + εt(l), l = m0 + 1, ..., T − p,

donde m0 denota el punto inicial de la estimación de mínimos cuadrados recurrentes yT representa el tamaño de la muestra.

Finalmente se prueba la hipótesis H0 : ω = 0 contra la alternativa Ha : ω 6= 0

usando el estadístico de prueba:

C = [T − 2p−m− 1] ln |S0|+ ln |S1| ,

donde

S0 =1

T − p−m

T−p∑t=m+1

η2t(l),

y

S1 =1

T − p−m

T−p∑t=m+1

e2t(l).

Bajo la hipótesis nula de linealidad y algunas condiciones de regularidad, el estadís-tico C es asintóticamente una variable aleatoria χ2 con k + 1 grados de libertad.

15

Si se detecta no linealidad en la serie, se procede a identificar los parámetros estruc-turales: el número de regímenes del modelo r, los órdenes de los procesos autoregresivosp1, ..., pr (para cada régimen se define un proceso AR(pi)), los valores de los umbra-les γ1, ..., γr−1 que permiten determinar cada uno de los regímenes y el parámetro deretardo d de la variable umbral Zt−d. El método para la localización de los umbralesy la identificación de los órdenes autorregresivos es el planteado por Tsay (1998). Elproblema más difícil puede ser la especificación del número de regímenes, es decir, laidentificación de r. En algunas aplicaciones, la experiencia y la información sustantivapueden proporcionar información útil sobre la elección del r. En otros, la complejidadcomputacional y los datos pueden restringir r a un número pequeño, como 2 ó 3. Cuan-do r es desconocido, se puede dividir los datos en subgrupos de acuerdo a los percentilesempíricos de Zt−d y utilizar el estadístico de prueba C para detectar cualquier cambiode modelo dentro de cada subgrupo. Este análisis puede proporcionar una estimaciónpreliminar de r y algunas posibles ubicaciones para los umbrales.

Los criterios de selección de modelos son empleados para encontrar el orden óptimode un modelo paramétrico basándose en los datos observados, siendo el orden óptimoaquel que minimice el criterio de selección empleado. Para ver una amplia comparativade multiples criterios de selección existentes para modelos por umbrales puede verse,por ejemplo, Kapetanios (2001).

Supóngase que se conocen Zt y r y asúmase que 0 ≤ pi ≤ p y 1 ≤ d ≤ p, se usael criterio de información Akaike (AIC) para la selección del modelo y estando definidocomo

AIC (p1, ..., pr) =r∑j=1

[nj log

(σj

2)

+ 2 (pj + 1)],

donde

σ2j =

1

nj

nj∑t=1

e2(j)t ,

e(j)t y nj, los residuales y el número de observaciones en el j-ésimo régimen y respec-tivamente. Este criterio se caracteriza por una formulación simple y una fácil aplicación.

Hurvich y Tsai (1989) propusieron una modificación del AIC para obtener una co-rrección del sesgo, el criterio de información de Akaike corregido (AICc, corrected Akaike

16

Information Criteria). El AICc hallado por Wong y Li (1998) está definido como

AICc([p1, ..., pr]) =r∑j=1

[nj log

(σj

2)

+nj (nj + pj + 1)

(nj − pj − 3)

].

Este criterio proporciona, cuando la muestra es pequeña, mejores resultados queel AIC. McQuarrie et al. (1997) muestra que la corrección del sesgo del AICc no esadecuada e indica que el AIC y AICc son ambos inconsistentes. Por ello propusieron uncriterio de información asintóticamente insesgado. La forma del AICu (unbiased AkaikeInformation Criteria), deducida por De Gooijer (2001) es

AICu (p1, ..., pr) = AICc([p1, ..., pr]) +r∑j=1

[nj log

nj

nj − pj − 2

].

Un problema de los criterios de información basados en la idea de Akaike es quela selección de los ordenes autorregresivos no es consistente. Una de las propuestasmás populares que soluciona el problema de la falta de consistencia es el criterio deinformación Bayesiano (BIC, Bayesian Information Criteria). La forma del criterio BICserá

BIC (p1, ..., pr) =r∑j=1

[nj log

(σj

2)

+ (pj + 1) log (nj)].

Si se compara el AIC y el BIC vemos que la diferencia básica entre ambos crite-rios radica en que este último penaliza más sobre los modelos con un número mayorde parámetros estimados (debido a la sustitución del 2 por log (nj)), obteniendose asímodelos de orden inferior a los obtenidos a partir del AIC y corrigiendo, por tanto, latendencia a la sobreestimación observada en éste último.

Ahora solo falta calcular los parámetros estructurales de rezago d y los valores de losumbrales γi. Sin pérdida de generalidad, explicitaremos el funcionamiento del algoritmopropuesto por Hansen (1996) para un TAR(2; p1, p2). En este método, pensado paramodelos de regresión, la estimación de los coeficientes se realiza utilizando mínimoscuadrados ordinarios y la estimación del umbral también se realiza mediante mínimoscuadrados tomando como estimador aquel valor que minimiza la suma de errores alcuadrado (Chan 1993 y Hansen 1999a). Lo más novedoso de la propuesta de Hansen esla teoría asintótica no estandar que elabora y que le permite probar la existencia de unoo varios umbrales y también determinar la distribución asintótica de los coeficientes.

17

Entonces tenemos el siguiente modelo

yt =

X′tΦ1 + σ1εt

X′tΦ2 + σ2εt

si Zt−d ≤ γ

si Zt−d > γ,

donde X′t = (1, yt−1, . . . , yt−p), Φ1 = (φ10, φ11, ..., φ1p1), Φ2 = (φ20, φ21, ..., φ2p2) y asu-mimos que Zt−d es estacionaria. Entonces los estimadores de mínimos cuadrados son

Φi (γ, d) =

(nj∑t=1

XtX′t

)−1( nj∑t=1

Xty′t

),

y

σ2i (γ, d) =

∑njt=1

(yt −X′tΦi (γ, d)

)(yt −X′tΦi (γ, d)

)′ni − pi

.

Denotemos a la suma de los cuadrados de los residuales por

S (γ, d) = (n1 − p1) σ21 (γ, d) + (n2 − p2) σ2

2 (γ, d) ,

entonces los estimadores de mínimos cuadrados condicionales de γ y d son obtenidospor (

γ, d)

= arg mınγ,d

S (γ, d) ,

donde 1 ≤ d ≤ p y γ ∈ R0.

Una vez que se han localizado los umbrales e identificado los órdenes autorregresi-vos, se procede a ajustar el modelo TAR, estimando los parámetros de cada régimenempleando la técnica de mínimos cuadrados o máxima verosimiltud.

2.4. Estimación en modelos TAR

La estimación de los parámetros del modelo TAR(2;p,p) se hace mediante los mé-todos de mínimos cuadrados y máxima verosimilitud.

18

2.4.1. Mínimos Cuadrados

En esta sección se asume que en el modelo TAR(2;p,p) los valores de d y p son cono-cidos, es decir, solo se necesitan estimar los parámetros α1, α2 y la desviación estárdarσ en cada régimen. Supongase que el proceso es estacionario y ergódico y que d = 1.Además que los errores εt y la variable umbral Zt−1 son independientes.

Los estimadores por mínimos cuadrados de los coeficientes autorregresivos

αi = (αi1, αi2, ..., αip)′ ,

con i = 1, 2, considerando γ fijo, son aquellos valores α1, α2 ∈ R que minimizan lasiguiente suma de cuadrados

T∑t=p+1

(yt − E (yt | Ft−1; θ))2 ,

donde θ = (α′1, α′2, σ)′ es el vector de parámetros en el modelo TAR, T es el tamaño de

la muestra observada, Ft−1 es la σ−álgebra generada por yt−1, yt−2, ... y

E (yt | Ft−1; θ) =

(p∑i=1

α1iyt−i

)I (Zt−d ≤ γ) +

(p∑i=1

α2iyt−i

)I (Zt−d > γ) ,

es la esperanza condicional de yt dado Ft−1.

Luego dados los valores observados yt−1, yt−2, ...yT , tenemos que los estimadores demínimos cuadrados condicionales α1 (γ) y α2 (γ) , para los vectores de parámetros α1

y α2 respectivamente, se obtienen minimizando la suma de cuadrados de los residualesen cada régimen

T∑t=p+1

(yt − (α11yt−1 + α12yt−2 + ...+ α1pyt−p))2 I (Zt−d ≤ γ) ,

yT∑

t=p+1

(yt − (α21yt−1 + α22yt−2 + ...+ α2pyt−p))2 I (Zt−d > γ) ,

19

entonces α1 (γ) y α2 (γ) están dados por las siguientes ecuaciones:

α1i (γ) =

T∑t=p+1

ytI (Zt−d ≤ γ) yt−i −p∑

j=1,j 6=i

T∑t=p+1

α1jyt−jI (Zt−d ≤ γ) yt−i

T∑t=p+1

I (Zt−d ≤ γ) y2t−i

,

y

α2i (γ) =

T∑t=p+1

ytI (Zt−d > γ) yt−i −p∑

j=1,j 6=i

T∑t=p+1

α2jyt−jI (Zt−d > γ) yt−i

T∑t=p+1

I (Zt−d > γ) y2t−i

,

luego el estimador para σ2, está dado por:

σ2 (γ) =T∑

t=p+1

(yt − E (Yt | Ft−1; α1 (γ) , α2 (γ)))2

=T∑

t=p+1

(yt − ((∑p

i=1 α1iyt−i) I (Zt−d ≤ γ) + (∑p

i=1 α2iyt−i) I (Zt−d > γ)))2.

Russell-Noriega (2006) demuestra que los estimadores α1 (γ) , α2 (γ) y σ2 (γ) para γfijo son estimadores consistentes y asintóticamente normales. La estimación para γ seda por medio de un procedimiento de búsqueda directa, de tal forma que dicho valorminimice el valor de la varianza σ2 (γ).

2.4.2. Máxima Verosimilitud

En este sección describiremos el procedimiento de máxima verosimilitud para la es-timación de los parámetros en el modelo TAR(2;p,p).

Sea yt un proceso TAR(2;p,p) sin constante y variable umbral Zt−d, con condiciones

20

iniciales y1, ..., yp, Z0, ..., Zp−1, con representación

yt =

p∑i=1

α1iyt−i+εt si Zt−d ≤ γ

p∑i=1

α2iyt−i+εt si Zt−d > γ

donde εt ∼iidN(0, σ2) .

Sea δti = (α1iI (Zt−d ≤ γ) + α2iI (Zt−d > γ)), entonces podemos reescribir al modeloTAR(2;p,p) como

yt = δt1yt−1 + δt2yt−2 + ...+ δtpyt−p + εt.

Supongase ahora que el parámetro de retardo es d = 1, además que Zt−1 es unproceso AR(1) estacionario con |ρ| < 1 y µt ∼iidN

(0, σ2

µ

), es decir,

Zt−1 = ρZt−2 + µt.

Además se cumple que εt es independiente de Zt−1, entonces la función de verosi-militud puede escribirse como:

L(α1, α2, σ

2, γ, ρ, σ2µ; yt, Zt

)=

T∏t=p+1

f (yt | yt−1, ..., yt−p, Zt−1;;α1, α2, σ2, γ)

×f1

(Zt−1 | Zt−2; ρ, σ2

µ

)gϑ (Y1,Zt−d)

=T∏

t=p+1

f (yt − h (Y1,Zt−d, ϑ)σ2)

×f1

(Zt−1 − h1 (Zt−2, ρ) , σ2

µ

)gϑ (Y1,Zt−d) ,

donde ϑ = (α1, α2, γ)′. Consideraremos la función de verosimilitud condicional del

21

vector de parámetros θ =(α1, α2, σ

2, γ, ρ, σ2µ

)′ dada por

L(α1, α2, σ


)=

∏Tt=p+1 f (yt − h (yt−1, ..., yt−p, Zt−1,ϑ) ;σ)

×f1 (Zt−1 − h1 (Zt−2, ρ) ;σµ) .

Para una serie observada y1, ..., yT , Z0, ..., ZT−1, con distribución normal con mediacero y varianza σ2, obtenemos que la función de verosimilitud condicional de θ, dadala muestra es

L(α1, α2, σ


)=

∏Tt=p+1 f (yt | yt−1, ..., yt−p, Zt−1;;α1, α2, σ

2, γ)

×f1

(Zt−1 | Zt−2; ρ, σ2

µ

)= 1

σT−p exp

[− 1

2σ2

T∑t=p+1

(yt − δt1yt−1 − δt2yt−2 − ...− δtpyt−p)2

]

× 1

σT−pµ

exp

[− 1

2σ2µ

T∑t=p+1

(Zt−1 − ρZt−2)2

],

luego la logverosimilitud es:

l(α1, α2, σ

2, γ, ρ, σ2µ

)= − (T − p) log (σ)−

T∑t=p+1

(yt − δt1yt−1 − δt2yt−2 − ...− δtpyt−p)2

− (T − p) log (σµ)−T∑

t=p+1

(Zt−1 − ρZt−2)2 .

Derivandol(α1, α2, σ

2, γ, ρ, σ2µ

)∂σ2

,

e igualando a cero, se obtiene la siguiente expresión para la varianza estimada:

σ2 (α1, α2, γ) =1

T − p

T∑t=p+1

(yt − δt1yt−1 − δt2yt−2 − ...− δtpyt−p)2 ,

luego las derivadas parciales de la log verosimilitud con respecto a δti, i = 1, ..., p satis-

22

facen la ecuación:

∂l

∂δti=

2

T − p

T∑t=p+1

(yt − δt1yt−1 − δt2yt−2 − ...− δtpyt−p)∂δtiyt−i∂δti

,

es decir, se tiene que

∂l

∂α1i

=2

T − p

T∑t=p+1

(yt − α11yt−1 − α12yt−2 − ...− α1pyt−p) I (Zt−d ≤ γ) ,

y∂l

∂α2i

=2

T − p

T∑t=p+1

(yt − α21yt−1 − α22yt−2 − ...− α2pyt−p) I (Zt−d > γ) .

Igualando las ecuaciones anteriores a cero obtenemos los estimadores de máximaverosimilitud (EMV) para α1i y α2i como función del parámetro γ

α1i (γ) =

T∑t=p+1

ytItyt−i −p∑

j=1,j 6=i

T∑t=p+1

α1jyt−jItyt−i

T∑t=p+1

Ity2t−i

,

y

α2i (γ) =

T∑t=p+1

yt (1− It) yt−i −p∑

j=1,j 6=i

T∑t=p+1

α2jyt−j (1− It) yt−i

T∑t=p+1

(1− It) y2t−i

,

donde It = I (Zt−1 ≤ γ), entonces el estimador de máxima verosimiltud para σ2 comofunción de γ está dado por

σ2 (γ) = σ2 (α1, α2, γ) =1

T − p

T∑t=p+1

(yt − δt1 (γ) yt−1 − δt2 (γ) yt−2 − ...− δtp (γ) yt−p

)2

,

23

donde

δti =

α1i (γ)

α2i (γ)

si Zt−1 ≤ γ

si Zt−1 > γ.

De manera análoga obtenemos los estimadores MV para ρ y σ2µ :

ρ =

T∑t=p+1

Zt−1Zt−2

T∑t=p+1

Z2t−2

y σ2 (ρ) =1

T − p

T∑t=p+1

(Zt−1 − ρZt−2)2 .

Los estimadores de máxima verosimilitud para los parámetros α1, α2 y σ2 están enfunción de un valor fijo γ. No es posible derivar la función de log verosimilitud conrespecto al parámetro γ debido a que esta no es continua en los puntos Z0, ..., ZT−1, eneste caso se recomienda estimar el parámetro por medio de un método de búsqueda.

Una vez calculados los EMV para γ fijo, se evalúa la función de log verosimilituden estos valores obteniendo la función de log verosimilitud perfil,

lp (γ) = l(α1 (γ) , α2 (γ) , σ2, ρ, σ2

µ

)= − (T − p) log (σ)− 1

2σ2

T∑t=p+1


)2

− (T − p) log (σµ)− 12σ2µ

T∑t=p+1

(Zt−1 − ρZt−2)2 .

Notemos que ρ y σµ no dependen de γ por lo que podemos considerar la siguiente

24

función de log verosimilitud perfil para maximizar respecto al parámetro γ :

l∗p (γ) = − (T − p) log (σ)− 1

2σ2

T∑t=p+1


)2

= − (T − p) log (σ)− T−p2σ2 σ

2

= − (T−p)2

log

(1

T − p

T∑t=p+1


)2)− T−p

2.

Maximizar l∗p (γ) en la ecuación anterior es equivalente a minimizar −l∗p (γ) , es decir,se minimiza

(T − p)2

log

(1

T − p

T∑t=p+1


)2),

con respecto a γ. Este procedimiento nos da una infinidad de valores de γ, Qian (1998)propone tomar como γ el valor de γ que minimice:

ınf arg mınγ∈Γ

(T − p)2

log

1

T − p

T∑t=p+1


)2

,

donde Γ =[mın (Zt−1) ,max (Zt−1)

].

2.4.3. Propiedades asintóticas de los estimadores de máxima

verosimilitud

Supongase que los errores εt tienen distribución arbitraria con media cero y cuartomomento finito y consideremos el modelo TAR(2;p,p) dado por la ecuación

yt = α0,k +

pk∑i=1

α1,kyt−i + εk,t para γk−1≤Zt−d < γk,

Sea f la función de densidad de ε2, F la función de distribución correspondiente a fy sea R la recta real (−∞,∞) . Supondremos que ε2 tiene distribución conocida y queσ se involucra en el modelo modificando la escala, i.e., el modelo TAR(2;p,p) se puede

25

escribir de la siguiente manera

yt = h (Yt−1, Zt−d, α) + σεt, t ≥ 2,

para algún ϑ = (α′1, α′2, γ)∈ R2p+3, d ∈ 1, 2, ..., p , donde

Yt−1 = (y0, y−1, ..., y−p+1)′ , Zt−1 = (Zt−d, ..., Zt−d−p+1)′ ,

αj = (αj0, αj1, ..., αjp)′ ∈ Rp+1, j = 1, 2,

y para y ∈ Rp y z ∈ Rp,

h (y, z,ϑ) =

(α10 +

p∑i=1

α1iyi

)I (zd ≤ γ) +

(α20 +

p∑i=1

α2iyi

)I (zd > γ) .

los errores εt son iidN(0, σ2) y

Zt−d = ρZt−d−1 + µt,

donde |ρ| < 1 y los errores µt ∼iidN(0, σ2

µ

).

Debido a que Zt tiene su propia dinámica se tiene que los estimadores de ρ y σ2µ

cumplen las propiedades de los modelos AR(1): fuertemente consistentes y asintótica-mente normales, ver Fuller (1996).

Además tenemos los siguientes supuestos

SC1. f (y) > 0 para toda y ∈ R y f ´ es absolutamente continua y existe casi entodas partes, ϕ = f´/f y I (f) =

´∞∞ ϕ2 (y) f (y) dy <∞

SC2. ϕ es Lip(1).

SC3. ϕ es derivable y la derivada ϕ´ es Lip (1).

SC4. E |ε2|4 <∞ y E |µ2|4 <∞.

26

Teorema. (Consistencia de los estimadores de MV). Suponga que Yt, Zt del modeloTAR es estacionario y ergódico y que se cumplen las condiciones SC1-SC4. EntoncesθT es un estimador fuertemente consistente de θ.

La demostración del Teorema se encuentra en el trabajo de Russell Noriega (2006).Russell-Noriega (2006) demuestra que los EMV para γ conocido son estimadores con-sistentes y asintóticamente normales. Bajo normalidad en los errores los estimadores deMC y MV son iguales. Para γ desconocido y bajo ciertas condiciones de regularidad sedemuestra también que los estimadores de MV son consistentes.

27

Capítulo 3

Pronósticos vía VerosimilitudPredictiva

El cálculo de predicciones es una de las tareas esenciales cuando se trabaja con seriestemporales. Existen dos tipos de caminos que se pueden emplear para calcular predic-ciones, por una parte el uso de modelos que expliquen el comportamiento de los datos,permitirá además obtener predicciones a partir de ellos. Mientras que otra opción es eluso de técnicas de predicción no paramétricas que sin explicar el comportamiento dela serie permitirán calcular predicciones. En esta tesis se ha centrado en el cálculo depredicciones empleando el primer enfoque.

Un modelo por umbrales está compuesto de modelos lineales, entre los que el procesoirá cambiando dependiendo de la variable umbral. Debido a la linealidad de los diferentesregímenes el uso de modelos TAR será ventajoso respecto a otros modelos no lineales ala hora de calcular predicciones de manera sencilla. Para ello es necesario conocer a querégimen pertenece la variable en el instante de tiempo a predecir, es decir, se necesitaconocer el valor de la variable umbral Zt−d. Russell-Noriega (2006) propone el métodoVerosimilitud Predictiva, con el cual estima y obtiene pronósticos que toma en cuentala estructura no lineal de los modelos TAR y evalúa los desempeños de los pronósticosbajo esta alternativa y obtiene que los pronósticos a través de un modelo TAR resultanmás satisfactorios en términos de sus ECM que los pronósticos generados a partir deun modelo autorregresivo lineal (AR).

29

3.1. Verosimilitud Predictiva

Para generar y cuantificar los desempeños de los pronósticos h-pasos adelante enlos modelos TAR se puede usar verosimilitud predictiva. La verosimilitud predictivapronostica conjuntamente la serie TAR y la variable umbral que determina el compor-tamiento en cada uno de los regímenes en el modelo, aprovechando así las característicasde no linealidad que caracterizan al proceso.

Una idea preliminar de verosimilitud predictiva aparece en un artículo por Fisher(1956) para el modelo binomial, los dos primeros aportes sobre este concepto fuerondados por Lauritzen (1974) y Hinkley (1979), donde se introduce explícitamente eltérmino verosimilitud predictiva. Otras referencias importantes en esta temática inclu-yen Mathiasen (1979), Lejeune, Faulkenberry (1982), Levy, Perng (1984), Butler (1986,1989) y Davison (1986). Bjørnstad (1990) proporciona una revisión valiosa y comple-ta de verosimilitud predictiva contabilizando 14 propuestas, mientras Bjørnstad (1996)presenta razones filosóficas para el empleo de la verosimilitud predictiva, de acuerdocon una versión general del principio de verosimilitud.

Sea Y = y el valor observado de la variable aleatoria Y , el problema consiste enpredecir valores no observados z de Z. Supongase que (Y, Z)′ tiene una densidad de pro-babilidad, denotada por fθ(y, z) , o equivalentemente denotada por f(y, z; θ), donde θ esel vector de parámetros desconocidos y se denota por f(z|y; θ) a la función de densidadcondicional . Sea θ el estimador de máxima verosimilitud para θ basado en los datosy, y θw el estimador de máxima verosimilitud basado en w = (y, z)′ . Supongase queY = (y1, ..., yT )′ , contiene la muestra observada de tamaño T y Z = (yT+1, ..., yT+h)

′ lamuestra no observada sobre la cual se desea hacer inferencias.

La noción de verosimilitud predictiva se deriva del hecho de que en el problema depredicción hay dos cantidades desconocidas: la observación futura z y θ el parámetro delmodelo. De acuerdo con el principio de verosimilitud formulado por Berger y Wolpert(1984), toda la evidencia está contenida en la función de probabilidad conjunta

L(z, θ; y) = f(y, z; θ),

donde partimos de la verosimilitud base para y observado, y el objetivo es desarrollar

30

una función de verosimilitud para z, digamos L (z | y) eliminando θ de L(z, θ; y). A lafunción L (z | y) con las características anteriores se le conoce como verosimilitud pre-dictiva. Aquí, no se presentan todas las diferentes nociones de verosimilitud predictiva,se concentra sólo en aquellas obtenidas usando la maximización y, en particular, se vaa considerar la verosimilitud predictiva perfil (Lp) recomendada por Bjørnstad (1990),ya que Lp posee las siguientes propiedades para la predicción: resulta invariante bajoparametrizaciones del modelo, asintóticamente consistente, invariante bajo cambios deescala de z, aplicable cuando la suficiencia no proveé una reducción de los datos y tam-bién cuando Y y Z no son independiantes, como en nuestro caso ya que los terminosde la serie estan correlacionados.

La probabilidad predictiva perfil de Mathiasen (1979) consiste en eliminar el paráme-tro de estorbo θ por medio de la maximización de la siguiente función de verosimilitud.

Lp (z | y) = supθ f(y, z; θ)

= L(z, θw; y

).

Intuitivamente, la motivación de la función de verosimilitud predictiva Lp es comosigue: para z el vector de parámetros de interés y θ el vector de parámetros de estorbo,se obtienen los valores más probables para θ dado w dando como resultado la funciónde verosimilitud Lp (z | y) . En inferencia paramétrica esta verosimilitud corresponde ala verosimilitud perfil, introducida por Kalbfleisch y Sprott (1970) y de aquí el nombrede verosimilitud predictiva perfil.

3.2. Verosimilitud predictiva en el modelo lineal AR(p)

Se muestra la función de verosimilitud predictiva para el modelo AR(p). Para ello,sea yt un proceso autorregsivo de orden p, entonces

yt = φ1yt−1 + ...+ φpyt−p + ηt,

donde todas las raíces de 1−φ1L−φ2L2− ...−φpLp = 0 estan fuera del circulo unitario

y ηt ∼iidN(0, σ2

η

)y el vector de parámetros a estimar es θ =

(φ1, ..., φp, σ

2η

).

Sea y = (y1, ..., yT )′ el vector de los datos observados, y∗ = (yT+1, .., yT+h)′ el vector

31

de observaciones futuras con h horizontes sobre las cuales se desea hacer inferencias yyp = (Y1, ..., YT )′ un vector de orden (p× 1) cuya matriz de covarianzas es

σ2ηVp =

γ0 γ1 γ2 . . . γp−1

γ1 γ0 γ1 . . . γp−2

γ2 γ1 γ0 . . . γp−3

......

... . . . ...γp−1 γp−2 γp−3 . . . γ0

,

entonces la función de densidad de las primeras p observaciones es

fYp,...,Y1 (yp, ..., y1;θ) = (2π)−p/2∣∣σ−2η V−1

p

∣∣1/2 exp[− 1

2σ2ηy′pV

−1p yp

]= (2π)−p/2

(σ−2η

)p/2 ∣∣V−1p

∣∣1/2 exp[− 1

2σ2ηy′pV

−1p yp

].

Para las observaciones restantes de la muestra (yT+1, .., yT+h), condicionando sobrelas primeras t− 1 observaciones, la observación t−ésima es gaussiana con media

φ1yt−1 + ...+ φpyt−p,

y varianza σ2η. Sólo las p observaciones más recientes son importantes para esta distri-

bución. Por lo tanto para t > p

fYt|Yt−1,...,Y1 (yt | yt−1, ..., y1;θ) = fYt|Yt−1,...,Yt−p (yt | yt−1, ..., yt−p;θ)

= 1√2πσ2

η

exp(− (yt−φ1yt−1−...−φpyt−p)2

2σ2η

).

Tenemos que la función de densidad conjunta para w = (y,y∗) esta dada por

f (w,θ) = f (y1, y2, ..., yp−1, yp, ..., yT+h;θ)

= fYp,Yp−1,...,Y1 (yp, yp−1, ..., y1;θ)

×T+h∏t=p+1

fYt|Yt−1,...,Yt−p (yt | yt−1, ..., yt−p;θ) .

32

Luego la verosimilitud basada en y para θ y y∗ es:

L (θ,y,y∗) = (2π)−p/2(σ−2η

)p/2 ∣∣V−1p

∣∣1/2 exp[− 1

2σ2ηy′pV

−1p yp

]

×T+h∏t=p+1

1√2πσ2

η

exp

(−(yt − φ1yt−1 − ...− φpyt−p)2

2σ2η

),

entonces la logverosimilitud es

l (θ,y,y∗) = −p log (ση) + 12

log∣∣V−1

p

∣∣− 12σ2ηy′pV

−1p yp

− (T + h− p) log (ση)−T+h∑t=p+1

(yt−φ1yt−1−...−φpyt−p

)2

2σ2η

.

Luego la log-verosimilitud condicional a las primeras p−observaciones es

l (θ,y,y∗) = − (T + h− p) log (ση)−T+h∑t=p+1

(yt − φ1yt−1 − ...− φpyt−p

)2

2σ2η

,

derivando respecto a σ2η y φi respectivamente e igualando a cero, tenemos las siguientes

expresiones para los estimadores de σ2η y φi,

σ2η (y∗;φ1, ..., φp) =

1

T + h− p

T+h∑t=p+1

(yt − φ1yt−1 − φ2yt−2 − ...− φpyt−p)2 ,

y

φi (y∗) =

T+h∑t=p+1

ytyt−i −p∑

j=1,j 6=i

T+h∑t=p+1

φjyt−jyt−i

T∑t=p+1

y2t−i

,

luego el estimador de la varianza está dado por:

σ2η (y∗) =

1

T + h− p

T+h∑t=p+1

(yt − φ1 (y∗) yt−1 − φ2 (y∗) yt−2 − ...− φp (y∗) yt−p

)2

.

33

Entonces la log-verosimilitud predictiva perfil condicional para y está dada por:

lp (y∗ | y) = lp

(y∗, φ1 (y∗) , ..., φp (y∗) , σ2

η (y∗) y)

= − 12σ2η(y∗)

T+h∑t=p+1


)2

− (T+h−p)2

log (ση (y∗))

= − (T+h−p)2

log (ση (y∗))− T+h−p2

.

Maximizar la ecuación anterior con respecto al vector y∗ es equivalente a minimizarla expresión −lp con respecto a y∗ y esto a su vez es equivalente a minimizar el término:

σ2η (y∗) =

1

T + h− p

T+h∑t=p+1


)2

,

con respecto y∗ debido a que la función logaritmo es una función creciente. Finalmentelos valores de y∗ = (yT+1, .., yT+h)

′ encontrados son los pronósticos vía verosimilitudpredictiva.

3.3. Verosimilitud predictiva en el modelo TAR(2;p,p)

En esta sección se implementa el concepto de verosimilitud predictiva perfil paraobtener h pronósticos hacia adelante para la serie de tiempo Yt.

Consideremos ahora el modelo TAR(2; p,p) dado por

y∗t = δ∗t1y∗t−1 + δ∗t2y

∗t−2 + ...+ δ∗tpy

∗t−p + εt, para t = T + 1, ..., T + h,

donde εt ∼iidN(0, σ2) y sea Z∗t un proceso AR(1) estacionario con µt ∼iidN(0, σ2

µ

);

y

δ∗ti =

α1i si Z∗t−1 ≤ γ

α2i si Z∗t−1 > γ.

Además sea y = (y1, ..., yT )′, y∗ =(y∗T+1, .., y

∗T+h

)′,z = (z0, ..., zT )′, z∗ =(z∗T+1, .., z

∗T+h

)′.34

Se definew = (y′,y∗′)

′y v = (z′, z∗′)

′,

entonces se puede escribir el modelo TAR(2; p,p), para t = p+ 1, ..., T, T + 1, ..., T + h,

como:wt = δt1wt−1 + ...+ δtpwt−p + εt,

donde δti está dada por:

δti = α1iI (vt−1 ≤ γ) + α2iI (vt−1 > γ) .

Podemos ver que la función de verosimilitud para(y∗, z∗, α1, α2, σ

2, γ, ρ, σ2µ

)en fun-

ción de (y, z) , entonces

L(α1, α2, σ

2, γ, ρ, σ2µ;y,y∗, z, z∗

)= 1

σT+h−p exp

[− 1

2σ2

T∑t=p+1

(wt − δt1wt−1 − δt2wt−2−

...− δtpwt−p)2]× 1

σT+h−pµ

exp

− 12σ2µ

T∑t=p+1

(vt − ρvt−1)2

.Luego la función de log-verosimilitud para (w,v), está dada por:

l(α1, α2, σ

2, γ, ρ, σ2µ;y,y∗, z, z∗

)= − (T + h− p) log (σ)− 1

2σ2

T∑t=p+1

(wt − δt1wt−1 − δt2wt−2−

...− δtpwt−p)2− (T + h− p) log (σµ)− 1

2σ2µ

T∑t=p+1

(vt − ρvt−1)2 .

Entonces derivando la función de log-verosimilitud respecto a los parámetros, igua-lando a cero y resolviendo las respectivas derivadas parciales, obtenemos las siguientesexpresiones para los estimadores

σ2 (y∗, α1, α2, γ) =1

T + h− p

T+h∑t=p+1

(wt − δt1wt−1 − δt2wt−2 − ...− δtpwt−p)2 ,

35

α1i (y∗, γ) =

T+h∑t=p+1

Itwtwt−i −p∑

j=1,j 6=i

T+h∑t=p+1

α1jItwt−jwt−i

T∑t=p+1

Itw2t−i

,

y

α2i (y∗, γ) =

T+h∑t=p+1

(1− It)wtwt−i −p∑

j=1,j 6=i

T+h∑t=p+1

α2j (1− It)wt−jwt−i

T∑t=p+1

(1− It)w2t−i

,

donde It = I (vt−1 ≤ γ) y

ρ (z∗) =

T+h∑t=p+1

vtvt−1

T+h∑t=p+1

v2t−1

y σ2µ (z∗, ρ) =

1

T + h− p

T∑t=p+1

(vt − ρvt−1)2 .

Ahora sustituyendo α1 y α2 en la expresión para σ2, obtenemos :

σ2 (y∗, γ) =1

T + h− p

T+h∑t=p+1

(wt − δt1 (y∗, γ)wt−1 − δt2 (y∗, γ)wt−2 − ...− δtp (y∗, γ)wt−p

)2

,

(3.1)donde

δti (y∗, γ) =

α1i (y∗, γ) si Zt−1 ≤ γ

α2i (y∗, γ) si Zt−1 > γ.

Igualmente, sustituyendo ρ en la expresión para σ2µ tenemos que:

σ2µ (z∗, ρ) =

1

T + h− p

T+h∑t=p+1

(vt − ρ (z∗) vt−1)2 .

Nuevamente evaluando la función de log-verosimilitud en estos valores, se obtiene

36

la función de log-verosimilitud perfil para (y∗, z∗) ,

lp (y∗, z∗, γ | y, z) = l(y∗, z∗, α1 (y∗, γ) , α2 (y∗, γ) , σ2 (y∗, γ) , ρ (z∗) , σ2

µ (z∗, ρ) ,y, z)

= − (T+h−p)2

log

[1

T+h−p

T∑t=p+1

(wt − δt1 (y∗, γ)wt−1−

...− δtp (y∗, γ)wt−p

)2]− (T+h−p)

hlog

(1

T+h−p

T∑t=p+1

(vt − ρ (z∗) vt−1)2

)

− (T + h− p) ,(3.2)

Como se tenía anteriormente maximizar lp (y∗, z∗, γ | y, z) en la ecuación anterior esequivalente a minimizar −lp (y∗, z∗, γ | y, z) , es decir, se minimiza

(T+h−p)2

log

[1

T+h−p∑T

t=p+1

(wt − δt1 (y∗, γ)wt−1 − ...− δtp (y∗, γ)wt−p

)2]

+ (T+h−p)h

log

(1

T+h−p

T∑t=p+1

(vt − ρ (z∗) vt−1)2

),

con respecto a (y∗, z∗, γ). Bajo el supuesto de que el parámetro de umbral γ es fijo,debemos minimizar respecto a (y∗, z∗) para obtener los pronósticos correspondientedigamos y∗ y z∗. Los valores y∗, z∗ son los pronósticos por verosimilitud predictivapara y∗ y z∗ respectivamente, bajo parámetro de umbral γ fijo.

37

3.4. Error Cuadrático Medio de Pronóstico

Sea yt un proceso estacionario en covarianza y ergódico. Supongase que yt esun proceso AR (p), es decir,

yt = φ1yt−1 + ...+ φpyt−p + µt,

donde µt ∼iidN(0, σ2

µ

), se tiene que un proceso AR (p) puede ser reescrito como un

proceso AR (1) p-dimensional de la siguiente manera

Yt = AYt−1 + Ut,

donde

Yt =

yt

yt−1

yt−2

...yt−p+1

p×1

, A =

φ1 φ2 . . . φp−1 φp

1 0 . . . 0 0

0 1 . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 . . . 1 0

p×p

y Ut =

µt

0

0...0

p×1

.

Además

V ar (Ut) = E (UtU′t) = ΣU =

σ2µ 0 . . . 0 0

0 0 . . . 0 0

0 0 . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 . . . 0 0

p×p

.

Entonces iterando h-pasos hacia adelante se satisface

YT+h = AhYT + UT+h +AUT+h−1 + ...+Ah−1UT+1.

Sea Yt un proceso conocido, el objetivo es calcular predicciones a un horizonte hdada la información contenida en dicho proceso mediante

YT+h|T = f (YT , ..., Y1) ,

38

donde la función f (·), si se asume una función de pérdida cuadrática, será la esperanzacondicionada, es decir,

YT+h|T = ET(YT+h| t | FT

).

Definase a YT+h|T como la predicción de YT+h basado en FT , es decir, la informa-ción disponible hasta el tiempo T . Denotando por YT+h = YT+h|T el pronóstico h-pasosadelante para la serie Yt.

Entonces el pronóstico h pasos adelante está dado por:

YT+h = AhYT .

Luego el error a un horizonte de predicción es

UT+1 = YT+1 − YT+1

= AYT + UT+1 −AYT

= UT+1,

para 2 horizontes se tiene

UT+2 = AYT+2 + UT+2 −A2YT

= A (AYT + UT+1) + UT+2 −A2YT

= AUT+1 + UT+2,

entoncesUT+h = YT+h − YT+h

= UT+h +AUT+h−1 + ...+Ah−1UT+1.

Por lo tanto el corrrespondiente ECMP a un paso del proceso AR(1) p-dimensional

39

esECMPAR

1 = E(YT+1 − YT+1

)2

= V ar(UT+1

)= V ar (UT+1)

= ΣU ,

para 2 pasos hacia adelante tenemos

ECMPAR2 = V ar

(UT+2

)= V ar (AUT+1 + UT+2)

= V ar (UT+2) +AV ar (UT+1)A′

= ΣU +AΣUA′,

luego para h pasos adelante se satisface

ECMPARh =

h−1∑j=0

AjΣUAj′.

Nótese que se cumple que

ECMPARh = ΣU +AECMPAR

h−1A′.

40

3.4.1. Representación VAR del modelo TAR(2;p,p)

Recordemos la representación matemática de un modelo TAR de dos regímenes,de orden p, con rezago d = 1 e intercepto igual a cero en cada uno de los regímenes,denotado como TAR(2;p, p) y dado por la ecuación:

yt =

p∑i=1

α1iyt−i+εt si Zt−1 ≤ γ

p∑i=1

α2iyt−i + εt si Zt−1 > γ,

donde εt es independiente de Zt−1 y ambos procesos son estacionarios y ergódicos,es decir,

Zt−1 = ρZt−2 + µt,

con |ρ| < 1, µt ∼iidN(0, σ2

µ

)y εt ∼iidN(0, σ2) . Consideremos que el proceso yt

es estacionario y ergódico.

Sea δti = (α1iI (Zt−d ≤ γ) + α2iI (Zt−d > γ)), entonces el modelo TAR(2;p,p) sepuede reescribir como

yt = δt1yt−1 + δt2yt−2 + ...+ δtpyt−p + εt. (3.3)

Cuando deseamos realizar un análisis similar al de Dacco y Satchell (1999), quienespresentan un trabajo dirigido al estudio de los modelos Regime-Switching en relación aldesempeño de los pronósticos, es decir, cuando pensamos al modelo TAR(2,p,p) dadopor la ecuación (3.3) en una versión simplificada de la ecuación, éste se reduce a

yt = δt + εt,

con δt = φ1I (Zt−1 ≤ γ) + φ2I (Zt−1 > γ) , tal que

Pr (I (Zt−1 ≤ γ) = 1) = p (γ) y Pr (I (Zt−1 ≤ γ) = 0) = 1− p (γ) .

El modelo yt anterior corresponde al caso de cambio de media solamente. Dacco y Sat-chell muestran que el periodo en el modelo yt tiene un efecto en la predicción no linealque hace que la predicción lineal pueda parecer más eficiente. Por ello se buscan nuevas

41

formas de integrar este efecto, una de ellas es mediante verosimilitud predictiva comose ha discutido hasta este punto.

Para facilitar la notación usaremos la representación de vectores autorregresivosVAR (por sus siglas en inglés) los cuales describimos a continuación. Los modelos VARes una generalización de los modelos AR al caso de un vector de n variables yt. Estosmodelos han cobrado una gran importancia en las últimas décadas en el campo de laeconometría y la economía. Los modelos VAR son modelos que relacionan entre sí variasvariables (n variables), y en los que el valor que toma cada una de ellas en un períodode tiempo se relaciona con los valores que toma esa misma variable y todas las demásvariables en períodos anteriores.

Definición 1. Se dice que la serie Yt sigue un modelo VAR (p), si Yt puede expresarsede la siguiente forma:

Yt = Φ1Yt−1 + Φ2Yt−2 + ...+ ΦpYt−p + ξt.

Donde Yt, Yt−1, . . . , Yt−p son los vectores(n × 1) que contienen los valores de lasvariables en los períodos t, t − 1, . . . , t − p; Φ1, Φ2,. . . , Φp son matrices (n × n) quecontienen los parámetros del modelo y ξt es un vector (n× 1) de perturbaciones alea-torias que cumple ξt ∼ iidNn(0,Ω).

Sean

Yt =

yt

yt−1

yt−2

...yt−p+1

p×1

, Bt =

δt1 δt2 . . . δtp−1 δtp

1 0 . . . 0 0

0 1 . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 . . . 1 0

p×p

y Wt =

εt

0

0...0

p×1

,

entonces el modelo TAR(2;p,p) lo podemos escribir como un TAR(2;1,1) p-dimensionalcomo

Yt = BtYt−1 +Wt, (3.4)

42

es decir, el modelo TAR(2;1,1) p-dimensional tiene una representación VAR(1), donde

V ar (Wt) = E (WtW′t) = ΣW =

σ2 0 . . . 0 0

0 0 . . . 0 0

0 0 . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 . . . 0 0

p×p

.

Bajo la representación VAR es factible expresar las formulaciones de la media yvarianza, para ello se procede como Nicholls y Quinn (1983) lo hacen para los mo-delos autorregresivos con coeficientes aleatorios, reescribiendo el modelo TAR(2;1,1)p-dimensional como:

Yt = (M +Dt)Yt−1 +Wt, (3.5)

donde

M =

0 0 . . . 0 0

1 0 . . . 0 0

0 1 . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 · · · 1 0

p×p

y Dt =


0 0 . . . 0 0

0 0 . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 . . . 0 0

p×p

.

Definimos los siguientes vectores

L =[

1, 0, . . . 0, 0]′

y Bt =[δt1, δt2, . . . δtp−1, δtp

],

por lo que Dt es el producto Kronecker1 de los vectores L y Bt, es decir,

Dt = L⊗Bt,

y se cumple queV ar (Wt) = E (WtW

′t)

= E((L⊗ εt) (L⊗ εt)′

)= (LL′)⊗ E (ε2

t )

= J⊗ σ2

= ΣW ,

1Ver Apéndice A.

43

y

J =

1 0 . . . 0

0 0 . . . 0...

... . . . ...0 0 . . . 0

p×p

.

Notemos que la representación VAR(1) del modelo TAR dada en (3.4) y (3.5) es lamisma, es decir,

Bt = M + L⊗Bt.

Además sea Zt−1 una serie de tiempo estacionaria e independiente del proceso Wt talque

p (γ) = Pr (I (Zt−1 ≤ γ) = 1) y 1− p (γ) = Pr (I (Zt−1 ≤ γ) = 0) .

Supongase ahora que los parámetros en el modelo (3.4) son conocidos. Entonces losprimeros momentos del proceso δti se obtienen como sigue:

E (δti) = E (α1iI (Zt−d ≤ γ) + α2iI (Zt−d > γ))

= α1iE (I (Zt−d ≤ γ)) + α2iE (I (Zt−d > γ))

= α1iPr (Zt−1 ≤ γ) + α2iPr (Zt−1 > γ)

= α1ip (γ) + α2i (1− p (γ)) ,

yE (δ2

ti) = E (α1iI (Zt−d ≤ γ) + α2iI (Zt−d > γ))2

= E (α21iI (Zt−d ≤ γ) + α2

2iI (Zt−d > γ))

= α21iE (I (Zt−d ≤ γ)) + α2

2iE (I (Zt−d > γ))

= α21ip (γ) + α2

2i (1− p (γ)) .

44

Además

E (δtiδtj) = E(

(α1iI (Zt−d ≤ γ) + α2iI (Zt−d > γ)) (α1jI (Zt−d ≤ γ) + α2jI (Zt−d > γ))

)

= E (α1iα1jI (Zt−d ≤ γ) + α2iα2jI (Zt−d > γ))

= α1iα1jE (I (Zt−d ≤ γ)) + α2iα2jE (I (Zt−d > γ))

= α1iα1jp (γ) + α2iα2j (1− p (γ)) ,

entonces

E (Dt ⊗Dt) = E


0 0 . . . 0 0

0 0 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 0 0

⊗


0 0 . . . 0 0

0 0 . . . 0 0...

.... . .

......

0 0 . . . 0 0

= E

δ2t1 δt1δt2 . . . δt1δtp δt2δt1 δ2

t2 . . . δt2δtp . . . δtpδt1 δtpδt2 . . . δ2tp

0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0...

.... . .

......

.... . .

......

......

. . ....

0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0

p2×p2

= p (γ)B1 + (1− p (γ))B2,

donde

Bj =

α2i1 αi1αi2 . . . αi1αip αi2αi1 α2

i2 . . . αi2αip . . . αipαi1 αipαi2 . . . α2ip

0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0...

.... . .

......

.... . .

......

......

. . ....

0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0

p2×p2

para j = 1, 2.

45

Teorema 2. Sea V ∈Mn×n (R) que satisface la ecuación

V = MVN′ + G, (3.6)

donde M, N y G ∈ Mn×n (R) . Entonces si (I −N⊗M) es invertible, existe unaúnica solución dada por2

vec (V) = (I −N⊗M)−1 vec (G) .

Demostración:Aplicando el operador vec a (3.6) se tiene que

vec (V) = vec (MVN′) + vec (G) ,

entonces por propiedades del operador vec se obtiene

vec (V) = (N⊗M) vec (V) + vec (G) .

Luego(I −N⊗M) vec (V) = vec (G) ,

por ser (I −N⊗M) invertible, se concluye que

vec (V) = (I −N⊗M)−1 vec (G) .

El siguiente corolario establece las condiciones bajo las cuales el proceso Yt es esta-cionario:

Corolario 3. El proceso Yt generado por (3.4) es estacionario si y sólo si µ = E (Y0)

satisface Mµ = µ y V = E (Y0Y′

0) satisface

vec (V) =(M ⊗M + C

)vec (V) + vec

(J⊗ σ2

), (3.7)

donde C = E (Dt ⊗Dt) .

Demostración: ver Nicholls & Quinn (1983, pag. 18).

2Ver Apéndice A, para ver definición del operador vec.

46

La solución de (3.7) implica que(I −M ⊗M − C

)es invertible, es decir, que el

radio espectral3 de la matriz M ⊗M + C es menor que 1, el cual es denotado por

ρ(M ⊗M + C

)< 1.

Por el Teorema y Corolario anterior se deduce que la media y la matriz de covarianzadel proceso Yt están dadas por

E (Yt) = 0,

yvec (V) = (I −M ⊗M − C)−1vec

(J⊗ σ2

).

Procedemos a dar una expresion más explícita de la matriz de covarianza del procesoYt, para ello calculemos M ⊗M , es decir,

M ⊗M =

0 0 . . . 0 0

M 0 . . . 0 0

0 M . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 · · · M 0

.

Definamos las siguientes matrices

Λj =

p (γ)αi1α11 + (1− p (γ))α2iα21 . . . . . . p (γ)αi1α1p + (1− p (γ))α2iα2p

0 . . . . . . 0

0 . . . 0... . . . ...0 · · · 0

para j = 2, ..., p,

3Ver Apéndice B.

47

para j = 1 tenemos que

Λ1 =

−1 + p (γ)α211 + (1− p (γ))α2

21 . . . . . . p (γ)α11α1p + (1− p (γ))α21α2p

0 . . . . . . 0

0 . . . 0... . . . ...0 · · · −1

.

Entonces

(Ip2×p2 −M ⊗M + C

)=

−Λ1 −Λ2 . . . −Λp−1 −Λp−M Ip×p . . . 0 0

0 −M . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 . . . Ip×p 0

0 0 · · · −M Ip×p

.

Por lo tanto

vec (V) =

−Λ1 −Λ2 . . . −Λp−1 −Λp−M Ip×p . . . 0 0

0 −M . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 . . . Ip×p 0

0 0 · · · −M Ip×p

−1

vec(J⊗ σ2

).

Como se mencionó anteriormente la representación VAR del modelo autorregresivo porumbrales nos facilita la obtención de la media y de la matriz de covarianzas del mode-lo TAR(2;p,p) pero los errores cuadráticos medios de pronóstico asociados al procesorequieren ser calculados numéricamente como se muestra en el capítulo 4.

48

Capítulo 4

Simulación y Resultados

En este capítulo se analizan los comportamientos de los pronósticos h pasos haciaadelante en los modelos TAR y AR. Se cuantifican los desempeños de los pronósticospor medio de la función de pérdida Error Cuadrático Medio de Pronóstico (ECMP). Lacomparación de la función de pérdida ECMP para los modelos TAR(2;p,p) y AR(p) serealiza considerando los pronósticos para cada modelo obtenidos mediante el métodode verosimilitud predictiva perfil, al cual denotarémos como método VPP.

A continuación se da una descripción del algoritmo implementado, para la obtenciónde los pronósticos. Por el principio de verosimilitud, los pronósticos para los h valoresno observados para yt y Zt−1 serán aquellos valores que maximicen la función de log-verosimilitud perfil de forma conjunta, dada por la ecuación 3.1, es decir, optimizamosla log verosimilitud perfil en función de los valores de yT+1, . . . , yT+h y ZT , . . . , ZT+h−1.Para ello primeramente se simulan 400 realizaciones para la variable umbral Zt−1 con600 observaciones con h pasos hacia adelante, con h = 5, 6, 8, 10, 12 y 15, cada unarespectivamente según el valor de h, considerando que Zt−1 sigue un proceso AR(1) es-tacionario con errores gaussianos y coeficiente autorregresivo igual a 0.5. A partir de lasseries simuladas, se simulan 400 series considerando el modelo TAR(2;p,p) de tamaño605, 606, 608, 610, 612 y 615 para p = 1, 2, 3, 4, 5 y 6 respectivamente. Para cada unade las series simuladas, con γ conocido, consideramos las primeras 600 observacionessimuladas para la estimación de los parámetros mediante máxima verosimilitud bajolos posibles modelos: un TAR(2; p, p) y un AR(p) . Posteriormente, se obtienen los co-rrespondientes errores de pronósticos para cada uno de los pronosticos y a continuación

49

se calcula la función de pérdida ECMP1. Después se calcula la desviación absoluta dela mediana (DAM)2 de los 400 valores obtenidos de la función de pérdida ECMP paracada uno de los horizontes de pronósticos.

Para la comparación con el modelo alternativo lineal AR(p), hacemos lo propio, esdecir, obtenemos los pronósticos vía el método de verosimilitud predictiva, calculamoslos errores de pronóstico considerando las últimas h observaciones para cada una delas 400 series TAR(2;p,p) simuladas y posteriormente obtenemos los valores de la fun-ción pérdida ECMP. Se compara los desempeños de las pérdidas asociadas al modeloTAR(2; p, p) contra las pérdidas asociadas al modelo AR(p), mediante los cocientes parah=1, 2, 3,..., 13, 14 y 15 de los valores para la función de pérdida en el AR(p) entre losvalores de la función de pérdidas en el modelo TAR(2; p, p) . Valores de los cocientesmayores que uno, implican que la pérdida asociada al modelo TAR(2; p, p) para el hori-zonte de pronóstico en cuestión es menor en magnitud que la pérdida asociada al modeloAR(p), concluyendo que los desempeños de los pronósticos en el modelo TAR(2; p, p)

son mejores que los pronósticos en el modelo AR(p) para cada horizonte de pronóstico.

Los escenarios simulados, se dan en función de los valores de los parámetros de losregímenes, es decir, una raíz unitaria en uno de los regímenes, coeficientes autorregre-sivos con signos iguales y diferentes, considerando las posibilidades de que estos seaniguales o diferentes en magnitud en los regímenes, y de las probabilidades de domi-nancia en cada uno de los regímenes dada por P (Zt−1 ≤ γ), donde ésta probabilidadnos indica si hay igual dominancia en cada uno de los regímenes (mismo porcentaje deobservaciones en el régimen 1 y 2), o un régimen dominante y consideramos dos valorespara la varianza asociada al proceso de error del modelo por umbrales, σ2 = 1 y σ2 = 4.Las situaciones analizadas abarcan una gran variedad de situaciones posibles, por ellosólo presentaremos los proceso autorregresivo de segundo y sexto orden, es decir, losmodelos TAR(2; 2, 2) y TAR(2; 6, 6), mientras que para los TAR(2; p, p) para p = 3, 4

1El ECMP se define como:ECMP = (yiobs − yi)2

donde

yiobs es el valor observado de la serie para el i-ésimo horizonte.

yi es el valor pronósticado de la serie para el i-ésimo horizonte.

2Ver Apéndice C

50

y 5, presentamos las tablas de los casos simulados y la estimación de los parámetrosmediante máxima verosimilitud. Los resultados del ejercicio de simlación nos dan herra-mientas para identificar cuál de las alternativas estudiadas es la más adecuada y bajoque condiciones o características se observa dicha mejora.

4.1. Resultados asumiendo que yt sigue un proceso

TAR(2;2,2)

El método de verosimiltud predictiva involucra conjuntamente al modelo de TAR(2;p,p)para yt y el modelo para la variable umbral Zt−1, entonces para obtener los pronósticosbajo esta alternativa, obtenemos los pronósticos conjuntos para yT+h y ZT+h−1, bajo elcriterio de que los valores encontrados son los valores más plausibles con respecto a laverosimilitud predictiva para el modelo. En esta sección supondremos que yt sigue unproceso autorregresivo de segundo orden, con dos regímenes y parámetro d = 1 y quese denota por TAR(2;2,2),

yt =

α11yt−1 + α12yt−2 + εt si Zt−1 ≤ γ

α21yt−1 + α22yt−2 + εt si Zt−1 > γ,

con εt ∼ iidN (0, σ2), mientras que Zt−1 ∼ AR(1) sigue un proceso autorregresivoestacionario con errores ruido blanco gaussiano, es decir,

Zt−1 = ρZt−2 + ut,

con |ρ| < 1 y ut ∼ iidN (0, σ2u), y se pronostican 6 pasos hacia adelante, entonces h = 1,

2, 3, 4, 5 y 6.

El porcentaje de observaciones en el primer y segundo régimen dependen del valordel parámetro γ. Como Zt−1 ∼ AR(1), se tiene que los valores del parámetro depen-derán de los porcentajes de observaciones postulados para cada uno de los regíme-nes, es decir, para garantizar una proporción de p observaciones en el régimen uno y(1− p) en el régimen dos, tenemos que P (Zt−1 ≤ γ) = p, entonces γ = Φ−1 (p), dondeZt−1 ∼ N (0, σ2

u/1−ρ2).

51

La primera parte del análisis consiste en obtener los estimadores de los parámetrospara los dos modelos considerados, por medio del método de máxima verosimilitud. LaTabla 4.1 contiene cada uno de los escenarios considerados en el ejercicio de simulación,el objetivo es analizar los comportamientos de los pronósticos en el modelo TAR(2;2,2)contra los pronósticos en el modelo AR(2) bajo cada una de las alternativas de pronós-tico, con parámetro umbral γ conocido, para cada uno de los renglones de valores en laTabla 4.1.

Identificación Régimen 1 Régimen 2 P (Zt−1 ≤ γ)α11 α12 α21 α22

Caso 1 0.8 0.2 0.25 0.37 0.50Caso 2 1.25 -0.43 1.5 -0.9 0.50Caso 3 -0.23 -0.09 -0.47 -0.31 0.50Caso 4 -0.34 -0.13 -0.55 -0.17 0.75Caso 5 0.43 0.57 -0.2 -0.5 0.75Caso 6 -0.5 -0.28 -0.16 0.32 0.75Caso 7 0.8 0.1 0.9 -0.1 0.50Caso 8 0.18 0.53 0.13 0.72 0.50Caso 9 0.5 -0.9 0.3 0.2 0.50Caso 10 -0.3 -0.4 -0.2 -0.7 0.50Caso 11 0.15 0.2 0.72 0.28 0.75Caso 12 0.25 -0.43 0.52 -0.17 0.75Caso 13 0.6 -0.9 -0.9 -0.2 0.75Caso 14 0.4 -0.95 0.8 -0.3 0.50Caso 15 1 -0.1 0.93 -0.2 0.75Caso 16 0.8 0.2 0.35 0.48 0.75Caso 17 0.5 -0.8 0.47 -0.75 0.50Caso 18 0.6 0.35 -0.60 -0.35 0.50Caso 19 -0.35 -0.48 0.8 0.2 0.50Caso 20 0.81 0.15 0.75 0.23 0.75Caso 21 -0.49 0.35 -0.67 0.28 0.75Caso 22 1 -0.3 0.95 -0.42 0.50Caso 23 0.95 -0.45 1 -0.5 0.50Caso 24 0.227 0.282 0.307 0.186 0.75Caso 25 0.179 0.146 0.265 0.337 0.75

Tabla 4.1: Parámetros utilizados en el ejercicio de simulación para el TAR(2;2,2) yAR(2).

La siguiente Tabla 4.2 presenta los promedios de los 400 valores estimados en cadauna de las series simuladas, por máxima verosimilitud, es decir, se cuenta con 400

52

estimaciones para cada uno de los parámetros bajo cada modelo. Los valores φ1, φ2

y σ2AR corresponden a los parámetros estimados en el modelo AR(2). Mientras que

α11, α12, α21, α22 y σ2TAR corresponden a los parámetros estimados bajo el modelo

TAR(2;2,2).

IdentificaciónModelo Modelo Autorregresivo Threshold

Autorregresivo Lineal Régimen 1 Régimen 2σ2TARφ1 φ2 σ2

AR α11 α12 α21 α22

Caso 1 0.795 0.201 0.996 0.797 0.198 0.246 0.368 0.993Caso 2 1.248 -0.430 0.997 1.250 -0.431 1.496 -0.898 0.994Caso 3 -0.230 -0.093 0.992 -0.228 -0.096 -0.471 -0.312 0.989Caso 4 -0.343 -0.131 0.996 -0.345 -0.134 -0.546 -0.165 0.993Caso 5 0.431 0.565 0.998 0.428 0.566 -0.197 -0.505 0.995Caso 6 -0.500 -0.279 0.998 -0.500 -0.279 -0.162 0.317 0.994Caso 7 0.799 0.095 0.998 0.798 0.094 0.898 -0.102 0.995Caso 8 0.180 0.523 0.995 0.180 0.521 0.131 0.713 0.991Caso 9 0.501 -0.898 0.991 0.502 -0.900 0.300 0.196 0.989Caso 10 -0.301 -0.399 0.997 -0.298 -0.399 -0.201 -0.697 0.993Caso 11 0.145 0.200 0.997 0.143 0.200 0.716 0.273 0.993Caso 12 0.249 -0.430 0.996 0.250 -0.431 0.515 -0.170 0.992Caso 13 0.597 -0.897 1.003 0.597 -0.898 -0.897 -0.200 1.000Caso 14 0.398 -0.946 0.998 0.397 -0.944 0.801 -0.299 0.995Caso 15 1.000 -0.104 0.991 0.998 -0.103 0.932 -0.206 0.988Caso 16 0.797 0.199 0.994 0.797 0.198 0.346 0.478 0.991Caso 17 0.498 -0.797 0.994 0.498 -0.798 0.467 -0.746 0.991Caso 18 0.598 0.347 0.993 0.595 0.348 -0.597 -0.349 0.990Caso 19 -0.347 -0.478 0.998 -0.350 -0.481 0.798 0.197 0.995Caso 20 0.805 0.150 1.002 0.803 0.151 0.747 0.228 0.999Caso 21 -0.487 0.348 1.000 -0.486 0.348 -0.667 0.278 0.996Caso 22 0.997 -0.299 0.994 0.994 -0.296 0.949 -0.421 0.991Caso 23 0.949 -0.448 0.999 0.952 -0.449 0.9970 -0.496 0.995Caso 24 0.2244 0.2817 0.995 0.2229 0.2806 0.3090 0.1872 0.992Caso 25 0.1802 0.1418 0.998 0.1799 0.1419 0.2682 0.3300 0.995

Tabla 4.2: Promedios de los estimadores por MV, bajo los modelos TAR(2;2,2) y AR(2).

Se grafican los 400 valores estimados en cada uno de los escenarios simulados, ypara cada uno de los parámetros estimados se ve que los histogramas tienen un com-portamiento distribucional normal ya que teóricamente la distribución asintótica de loscoeficientes autorregresivos es gaussiana. Como el número de escenarios simulados es

53

grande e incluir todos los resultados implica una gran cantidad de información, es porello que sólo se muestran los resultados completos para algunos de los casos identificadosen la Tabla 4.2, estos casos contemplan escenarios muy distintos entre sí, como funciónde los valores de los parámetros, así como características interesantes en relación almodelo supuesto.

4.1.1. Resultados para el caso 1

A continuación se presentan los resultados obtenidos para el caso 1 del modeloTAR(2; 2, 2), donde los parámetros utilizados para la simulación son:

Coeficientes del régimen 1: α11 = 0.8 y α12 = 0.2,

Coeficientes del régimen 2: α21 = 0.25 y α22 = 0.37,

con σ2 = 1 y P (Zt−1 ≤ γ) = 0.50.

Los valores estimados promedios de los parámetros bajo los modelos TAR(2;2,2) yAR(2) mediante máxima verosimilitud se muestran en la siguiente tabla:

Modelo Modelo Autorregresivo ThresholdAutorregresivo Lineal Régimen 1 Régimen 2

σ2TARφ1 φ2 σ2

AR α11 α12 α21 α22

0.795 0.201 0.996 0.797 0.198 0.246 0.368 0.993

Este caso es identificado por González y Gonzalo (1998) como modelo thresholdunit root.

La Figura 4.1 presenta nueve realizaciones del comportamiento gráfico del modeloTAR(2; 2, 2) considerado.

54

Figura 4.1: Realizaciones del modelo TAR(2;2,2), para el caso 1.

En la Figura 4.2 se muestra a los elementos del primer y segundo régimen delmodelo TAR como se separan por diferente color y se puede observar cómo el modeloTAR utiliza ambas series de acuerdo con el valor del umbral de la variable umbral Ztpara la construción del modelo TAR.

Figura 4.2: Gráfica de la clasificación de regímenes del modelo TAR(2;2,2) caso 1.

55

La siguiente Figura 4.3 presenta los histogramas de las 400 estimaciones de losparámetros para los modelos TAR(2; 2, 2) y AR(2) vía máxima verosimilitud, el primerrenglón de histogramas corresponden a las estimaciones del modelo AR(2), el segundoy tercer renglón de gráficas a los histogramas del primer y segundo regímen del modeloTAR(2;2,2).

Figura 4.3: Histogramas de los parámetros estimados, bajo los modelos TAR(2;2,2) yAR(2) caso 1.

Las líneas verticales en cada uno de los histogramas asociados al modelo TAR y ARcorresponden a los verdaderos valores de los parámetros.

A continuación se grafican los errores de pronóstico para cada horizonte de pronósti-co. La Figura 4.4 contiene las gráficas de cajas para los errores de pronóstico, de dondese observa que la variabilidad de los errores de pronóstico para el caso lineal son másgrandes que en el caso TAR(2;2,2).

56

Figura 4.4: Boxplots de los errores de pronóstico, TAR(2;2,2) caso 1.

La siguiente Figura contiene los comportamientos gráficos de la DAM de las funcio-nes de pérdida ECMP .

Figura 4.5: Función de pérdida ECMP de uno a seis pasos, TAR(2;2,2) caso 1.

De la Figura 4.5 se observa que los valores de la función de pérdida ECMP del mo-delo TAR(2;2,2) es menor que los valores de las función de pérdida ECMP en el modeloAR(2) en la obtención de los pronósticos.

La Tabla 4.3 contiene los cocientes de los valores para la función de pérdida ECMPen el modelo AR(2), entre los valores respectivos en el modelo TAR(2;2,2), para el caso1 con σ2 = 1.

57

50% de observaciones en el régimen 1.Horiz. pronós. Método VPP

h=1 1.201h=2 1.818h=3 2.382h=4 3.667h=5 4.167h=6 3.554

Tabla 4.3: Cociente de la función de pérdida ECMP, TAR(2;2,2) caso 1.

Los resultados de la Tabla 4.3, muestran que los pronósticos provenientes del modeloTAR(2;2,2) presentan mayor ganancia que los pronósticos h pasos adelante del modeloAR(2).

Por último la Figura 4.6 muestra la estimación del parámetro umbral, es decir, elvalor de γ que minimiza el valor de la varianza dada por la ecuación 3.1. La minimizaciónse resuelve por búsqueda directa realizando un barrido sobre todos los valores posibleentre el cuantil 15% y 85% de los valores de la variable umbral.

Figura 4.6: Gráfica de la estimación del parámetro umbral, TAR(2;2,2) caso 1.

58


Los resultados de las simulaciones que se presentan corresponden al caso en don-de los coeficientes autorregresivos en cada régimen son del mismo signo y cercanos enmagnitud, lo que equivale a que el modelo TAR(2; 2,2) simulado presenta un compor-tamiento similar al de un modelo AR(2), independientemente del valor de γ.

A continuación se presentan los resultados obtenidos para el caso 4 del modeloTAR(2; 2, 2) , donde los parámetros utilizados para la simulación son:

Coeficientes del régimen 1: α11 = −0.34 y α12 = −0.13.

Coeficientes del régimen 2: α21 = −0.55 y α22 = −0.17,

con σ2 = 1 y P (Zt−1 ≤ γ) = 0.75.



σ2TARφ1 φ2 σ2

AR α11 α12 α21 α22

-0.343 -0.131 0.996 -0.345 -0.134 -0.546 -0.165 0.993

La Figura 4.7 muestra el comportamiento gráfico de algunas realizaciones del modeloTAR(2;2,2) bajo los valores verdaderos de los parámetros.

59


En la Figura 4.8 se muestra como se realiza la clasificación de las observaciones delprimer y segundo régimen del modelo TAR, de acuerdo con el valor del umbral de lavariable umbral Zt.

Figura 4.8: Gráfica de la clasificación de regímenes para el modelo TAR(2;2,2), caso 4.

60

La Figura 4.9 contiene los histogramas de los parámetros estimados bajo máximaverosimilitud para los modelos TAR(2;2,2) y AR(2).


Los errores de pronósticos bajo los modelos TAR(2;2,2) y AR(2), se presentan enla Figura 4.10. Se observa que la variabilidad asociada a los errores de pronósticos hpasos adelante para los pronósticos bajo el modelo AR(2) es muy similar a los erroresbajo el modelo TAR(2;2,2).

61


La Figura 4.11 contiene los comportamientos de la función de pérdida ECMP paracada uno de los horizontes de pronóstico.

Figura 4.11: Función de pérdida ECMP de uno a seis pasos, TAR(2,2,2) caso 4.

La Tabla 4.4 contiene los cocientes de los valores para las función de pérdida ECMPdel modelo AR(2), entre los valores respectivos en el modelo TAR(2;2,2) para el caso4 con σ2 = 1. Observemos que los valores de los ECMP para el modelo AR(2) engeneral son menores que para el modelo TAR(2;2,2); sin embargo, esta ganancia esmínima, y podemos pensar que los desempeños de los pronósticos bajo ambos modelosson equivalentes.

62


h=1 0.990h=2 0.936h=3 0.917h=4 1.033h=5 0.969h=6 1.040


Para terminar con este caso, la siguente gráfica muestra la estimación del parámetroumbral, dicha estimación se hace por búsqueda directa realizando un barrido sobre todoslos valores posible entre el cuantil 15% y 85% de los valores de la variable umbral Zt,que minimizan a la varianza dada por la ecuación 3.1.

Figura 4.12: Gráfica de la estimación del parámetro umbral, TAR(2;2,2) caso 4 .


Se presentan los resultados obtenidos para el caso 18 del modelo TAR(2; 2, 2), eneste escenario de simulación los coeficientes autorregresivos en cada régimen son designo diferente y misma magnitud. Los parámetros utilizados para la simulación son:

Coeficientes del régimen 1: α11 = 0.60 y α12 = 0.35.

63

Coeficientes del régimen 2: α21 = −0.60 y α22 = −0.35,

con σ2 = 1 y P (Zt−1 ≤ γ) = 0.50.



σ2TARφ1 φ2 σ2

AR α11 α12 α21 α22

0.598 0.347 0.993 0.595 0.348 -0.597 -0.349 0.990

64

En la Figura 4.13 se observan varias realizaciones del modelo TAR(2;2,2).


La Figura 4.14 muestra a los elementos del primer y segundo régimen del modeloTAR, como se separan por diferente color de acuerdo con el valor del umbral de lavariable umbral Zt para la construción del modelo TAR.

65

Figura 4.14: Gráfica de la clasificación de regímenes para el modelo TAR(2;2,2), caso18.

En la Figura 4.15 se muestra los histogramas para los 400 valores estimados paracada uno de los parámetros de interés.

Figura 4.15: Histogramas de los parámetros estimados, bajo los modelos TAR(2; 2,2) yAR(2).

Los errores de pronósticos bajo los modelos TAR(2;2,2) y AR(2), se presentan enla Figura 4.16. Observamos que los errores de pronósticos h pasos adelante para los

66

pronósticos bajo el modelo TAR(2;2,2) son menores que bajo el modelo AR(2).


De las gráficas de cajas de la Figura 4.16 queda claro que los valores de la funciónde pérdida para el modelo TAR(2;2,2) serán menores que los respectivos valores de lasfunción de pérdida bajo el modelo AR(2). La Figura 4.16 contiene los comportamientosde la funciones de pérdida para cada uno de los horizontes de pronóstico.

Figura 4.17: Función de pérdida ECMP de uno a seis pasos, TAR(2;2,2) caso 18.

La Tabla 4.5 contiene los cocientes de los valores para las función de pérdida ECMPdel modelo AR(2) entre los valores respectivos en el modelo TAR(2;2,2). Nótese quelos valores de los ECMP para el modelo TAR(2; 2,2) en general son menores que parael modelo AR(2), es decir, el desempeño de los pronósticos bajo el modelo TAR(2;2,2)son mejores que el desempeño de los pronósticos bajo el modelo lineal AR(2).

67


h=1 1.047h=2 1.402h=3 1.431h=4 2.284h=5 2.354h=6 2.588


Para completar el caso 18, la Figura 4.18 muestra la gráfica de la estimación delparámetro umbral, la cual se hace por búsqueda directa realizando un barrido sobretodos los valores posible entre el cuantil 15% y 85% de los valores de la variable umbralZt.


68


TAR(2;6,6)

En esta sección se supondrá que yt sigue un proceso autorregresivo de sexto orden,con dos regímenes y parámetro d = 1 y que denotamos por TAR(2;6,6),

yt =

α11yt−1 + α12yt−2 + α13yt−3 + α14yt−4 + α15yt−5 + α16yt−6 + εt si Zt−1 ≤ γ

α21yt−1 + α22yt−2 + α23yt−3 + α24yt−4 + α25yt−5 + α26yt−6 + εt si Zt−1 > γ,

con εt ∼ iidN (0, σ2) y Zt−1 ∼ AR(1) , es decir, Zt−1 = ρZt−2 + ut, con |ρ| < 1 yut ∼ iidN (0, σ2

u), y en este caso se pronosticaron 15 pasos hacia adelante, entoncesh = 1, 2, 3,...,13,14 y 15.

La Tabla 4.6 contiene cada uno de los escenarios considerados en el ejercicio desimulación, el objetivo es analizar los comportamientos de los pronósticos en el modeloTAR(2;6,6) contra los pronósticos en el modelo AR(6) bajo cada una de las alternativasde pronóstico, con parámetro umbral γ conocido, para cada uno de los renglones devalores en la Tabla 4.6.

69

Tabla4.6:

Parám

etrosutilizado

sen

elejerciciode

simulaciónpa

rael

TAR(2;6,6)yAR(6).

70

Lasigu

ienteTa

blapresenta

losprom

ediosde

los40

0valoresestimad

osen

cada

unade

lasseries

simulad

as,p

ormáx

ima

verosimilitud,

esde

cir,se

cuenta

con400estimacionespa

racada

unode

lospa

rámetrosba

jocada

mod

elo.

Losvaloresφ

1,

φ2,φ

3,φ

4,φ

5,φ

6yσ

2 ARcorrespo

nden

alospa

rámetrosestimad

osen

elmod

eloAR(6).Mientrasqu

eα

11,α

12,α

13,α

14,α

15,

α16,α

21,α

22,α

23,α

24,α

25,α

26yσ

2 TARcorrespo

nden

alospa

rámetrosestimad

osba

joel

mod

eloTA

R(2;6,6).

Tabla4.7:

Promediosde

losestimad

ores

porMV,b

ajolosmod

elos

TAR(2;6,6)yAR(6).

71


A continuación se presentan los resultados obtenidos para el caso 7 del modeloTAR(2; 6, 6), donde los parámetros utilizados para la simulación son:

Coeficientes del régimen 1:

α11 = −0.049, α12 = −0.196, α13 = −0.258, α14 = −0.037, α15 = −0.121 y α16 = −0.063.


α21 = −0.331, α22 = −0.017, α23 = −0.153, α24 = −0.081, α25 = −0.154 y α26 = −0.046,

con σ2 = 1 y P (Zt−1 ≤ γ) = 0.50.


Modelo φ1 φ2 φ3 φ4 φ5 φ6 σ2AR

Lineal -0.0480 -0.1964 -0.2552 -0.0367 -0.1208 -0.0651 0.994Modelo Threshol α11 α12 α13 α14 α15 α16 σ2

TAR

Régimen 1 -0.0500 -0.1982 -0.2533 -0.0362 -0.1225 -0.06560.983Modelo Threshol α21 α22 α23 α24 α25 α26

Régimen 2 -0.329 -0.0174 -0.1516 -0.0805 -0.1526 -0.0484

La Figura 4.19 presenta diferentes realizaciones del proceso yt ∼ TAR(2;6,6), bajolos valores verdaderos de los parámetros, podemos observar que hay un comportamientohomogenéo de las realizaciones.

72


La Figura 4.20 muestra a las series yt y Zt. En la gráfica los elementos del primery segundo régimen del modelo TAR se separan por diferente color y se puede observarcómo el modelo TAR utiliza ambas series de acuerdo con el valor del umbral de lavariable umbral Zt para la construción del modelo TAR.

Figura 4.20: Clasificación de regímenes dado el parámetro y la variable umbral,TAR(2;6,6) caso 7.

73

La Figura 4.21 presenta los histogramas de las 400 estimaciones de los parámetrospara los modelos TAR(2;6,6) y AR(6), el primer renglón de histogramas corresponden alas estimaciones del modelo autorregresivo lineal, el segundo y tercer renglón de gráficasa los histogramas de las estimaciones del primer y segundo régimen respectivemente delmodelo autorregresivo por umbrales. Las líneas verticales en cada uno de los histogramasasociados al modelo TAR y AR indican los verdadedos valores de los parámetros bajoeste escenario de simulación.


En la Figura 4.22 se puede ver las gráficas de cajas para los errores de pronósticos,de donde se observa que la variabilidad de los errores de pronóstico para el caso linealson más grandes que en el caso TAR(2;6,6).

74


Para enriquecer la observación anterior se grafica la desviación absoluta de la me-diana de los errores de pronóstico, bajo cada alternativa de obtención de pronóstico.

Figura 4.23: Función de pérdida ECMP de uno a quince pasos, TAR(2;6,6) caso 7.

Observese de la Figura 4.23, que los valores de la función de pérdida ECMP en elmodelo TAR(2;6,6) son menores que los valores de la función de pérdida ECMP en elmodelo AR(6).

La Tabla 4.8 contiene los cocientes de los valores para la función de pérdida ECMPen el modelo AR(6), entre los valores respectivos en el modelo TAR(2;6,6).

75

50 % de observaciones en el régimen 1.Horiz. pronós. Método VPP Horiz. pronós. Método VPP Horiz. pronós. Método VPP

h=1 2.432 h=6 2.999 h=11 2.719h=2 2.793 h=7 2.442 h=12 2.923h=3 2.479 h=8 3.104 h=13 2.234h=4 2.599 h=9 2.782 h=14 2.254h=5 2.526 h=10 2.450 h=15 2.498


Los resultados de la tabla anterior, indican que los desempeños de los pronósticos hpasos adelante para el modelo TAR(2;6,6) considerando la función de pérdida ECMPson mejores que los desempeños de los pronósticos bajo el modelo AR(1) .

La Figura 4.24 muestra la estimación del parámetro umbral, la cual se hace porbúsqueda directa realizando un barrido sobre todos los valores posible entre el cuantil15% y 85% de los valores de la variable umbral Zt.

Figura 4.24: Gráfica de la estimacion del parámetro umbral, TAR(2;6,6) caso 7.


A continuación se presentan los resultados obtenidos de la simulación para el caso13 del modelo TAR(2; 6, 6), en este caso los parámetros tienen las misma magnitud yson de diferente signo. Los parámetros utilizados para la simulación son:


α11 = 0.2713, α12 = 0.1584, α13 = 0.0874, α14 = 0.2392, α15 = 0.1217 y α16 = 0.1091.

76


α21 = −0.2713, α22 = −0.1584, α23 = −0.0874,

α24 = −0.2392, α25 = −0.1217 y α26 = −0.1091,

con σ2 = 1 y P (Zt−1 ≤ γ) = 0.50.

Los valores estimados promedios de los parámetros bajo los modelos TAR(2;6,6) yAR(6), mediante máxima verosimilitud se muestran en la siguiente tabla:


Lineal 0.2693 0.1567 0.0884 0.2357 0.1201 0.1073 0.990Modelo Threshol α11 α12 α13 α14 α15 α16 σ2

TAR

Régimen 1 0.2716 0.1539 0.08610 0.2373 0.1176 0.11020.980Modelo Threshol α21 α22 α23 α24 α25 α26

Régimen 2 -0.2738 -0.1589 -0.08484 -0.2393 -0.1237 -0.1099

La Figura 4.25 muestra algunas realizaciones del proceso bajo el escenario descritoarriba, se observa el comportamiento homogéneo de las series a través del tiempo.

77


La Figura 4.26 muestra a los elementos del primer y segundo régimen del modeloTAR separarse por diferente color y se observa cómo el modelo TAR utiliza ambas seriesde acuerdo con el valor del umbral de la variable umbral Zt para su construción.

Figura 4.26: Gráfica de la clasificación de regímenes dado el parámetro y la variableumbral, TAR(2;6,6) caso 13.

78

Los histogramas correspondientes a las estimaciones de los parámetros bajo cadamodelo y considerando el método de estimación de máxima verosimilitud se presentanen la Figura 4.27.


Los errores de pronósticos para cada horizonte de pronóstico se encuentran en laFigura 4.28. Las gráficas de cajas indican que los pronósticos h pasos adelante en elTAR(2;6,6) es superior al caso AR(6).

79


Los comportamientos de las funciones de pérdida para cada horizonte de pronósticose presentan en las dos primeras gráficas de la Figura 4.29.


La siguiente tabla muestra los resultados de los cocientes de las funciones de pérdida.Los resultados de la Tabla 4.10 indican que los desempeños de los pronósticos parael modelo TAR(2;6,6) en comparación con los desempeños de los pronósticos bajo elmodelo AR(6) son mejores.

50 % de observaciones en el régimen 1Horiz. pronós. Método VPP Horiz. pronós. Método VPP Horiz. pronós. Método VPP



80

Para completar los resultados bajo este escenario se presentan en la Figura 4.30 laestimación del parámetro umbral, la cual se hace por búsqueda directa realizando unbarrido sobre todos los valores posible entre el cuantil 15% y 85% de los valores de lavariable umbral Zt.



La característica relevante de este caso es que los coeficiente autorregresivo en cadauno de los regímenes en el modelo TAR(2;6,6) son cercanos al caso de raíz de unitaria; sinembargo, globalmente el modelo es estacionario. Presentamos los resultados obtenidospara este caso, donde los parámetros utilizados para la simulación son:


α11 = 0.1331, α12 = 0.2243, α13 = 0.0927, α14 = 0.1566, α15 = 0.2916 y α16 = 0.1017.


α21 = 0.0843, α22 = 0.1537, α23 = 0.3651, α24 = 0.1109, α25 = 0.0381 y α26 = 0.1638,

con σ2 = 1 y P (Zt−1 ≤ γ) = 0.75.

Los valores estimados promedios de los parámetros bajo los modelos TAR(2;6,6) yAR(6) vía máxima verosimilitud se muestran en la siguiente tabla:

81


Lineal 0.1325 0.2246 0.0904 0.1532 0.2919 0.0997 0.984Modelo Threshol α11 α12 α13 α14 α15 α16 σ2

TAR

Régimen 1 0.1325 0.2262 0.0910 0.1525 0.2912 0.09810.974Modelo Threshol α21 α22 α23 α24 α25 α26

Régimen 2 0.0847 0.1463 0.3603 0.1083 0.0414 0.1629

Cabe mencionar que en el modelo TAR ambos regímenes estan cerca del caso deraíz unitaria y por ende la variabilidad asociada al proceso presenta comportamientosde crecimiento y decrecimiento tal y como se observa en las gráficas en la Figura 4.31que contiene algunas realizaciones del proceso en cuestión.


La Figura 4.32 muestra a las series yt y Zt. En la gráfica se puede observar cómo elmodelo TAR utiliza el valor del umbral de la variable umbral Zt para su construción.

82

Figura 4.32: Gráfica de la clasificación de regímenes dado el parámetro y la variableumbral, TAR(2;6,6) caso 17.

La Figura 4.33 muestra los histogramas para los 400 valores estimados para cadauno de los parámetros de interés.


83

Los errores de los pronósticos bajo los modelos TAR(2;6,6) y AR(6), para cadauno de los métodos estudiados se presentan en la Figura 4.34. Observemos que lavariabilidad asociada a los errores de pronósticos h pasos adelante para los pronósticosbajo el modelo TAR(2;6,6) son mucho menores que bajo el modelo AR(6).


A partir de las gráficas de cajas de la Figura 4.34 queda claro que los valores de lafunción de pérdida para el modelo TAR(2;6,6) son menores que los respectivos valores delas función de pérdida bajo el modelo AR(6). La Figura 26 contiene los comportamientosde la funciones de pérdida para cada uno de los horizontes de pronóstico.


Se presentan los cocientes de los valores de las funciones de pérdida cuando elporcentaje de observaciones en el primer régimen son del 75%, identificado en la Tabla4.6 como caso 17. Los resultados se encuentran en la Tabla 4.10 y la conclusión es que lospronósticos bajo el modelo TAR(2;6,6) presentan mejor desempeño que los pronósticosbajo el modelo AR(6).

84

75 % de observaciones en el régimen 1.Horiz. pronós. Método VPP Horiz. pronós. Método VPP Horiz. pronós. Método VPP



Para complementar el análisis del caso 17, la Figura 4.6 muestra la estimación delparámetro umbral, es decir, el valor de γ que minimiza el valor de la varianza dadapor la ecuación 3.1. La minimización se resuelve por búsqueda directa realizando unbarrido sobre todos los valores posible entre el cuantil 15% y 85% de los valores de lavariable umbral.


85


TAR(2;1,1)

Considere ahora la versión estacionaria del modelo TAR dada por la ecuación 2.3 ysupongamos que yt sigue un proceso autorregresivo de primer orden, con dos regímenesy parámetro d = 1, dado por la siguiente ecuación

yt =

α1yt−1 + εt si Zt−1 ≤ γ

α2yt−1 + εt si Zt−1 > γ,

que denotamos por TAR(2; 1, 1), donde εt ∼ iidN (0, σ2) y Zt−1 ∼ AR(1) , es decir,

Zt−1 = ρZt−2 + ut,

con |ρ| < 1 y ut ∼ iidN (0, σ2u), en este caso se pronostican 5 pasos hacia adelante,

entonces h = 1, 2, 3, 4 y 5.

En este caso la condición de estacionariedad en el modelo TAR(2;1,1) está es-tablecida en función de E (δ2

t ), donde el parámetro δt tiene la siguiente definiciónδt = φ1I (Zt−1 ≤ γ) + φ2I (Zt−1 > γ) y la expresión para el segundo momento de δtestá dada por la ecuación:

E(δ2t

)= α2

1p+ α22 (1− p) y p = P (Zt−1 ≤ γ) .

Mostramos solamente los escenarios considerados en el ejercicio de simulación parael análisis de los comportamientos de los pronósticos en el modelo TAR(2;1,1) contralos pronósticos en el modelo AR(1) con parámetro de umbral γ conocido, para mayorinformación consulte Russell Noriega (2006).

86

A continuación la Tabla 4.11 muestra los 20 casos considerados en el ejercicio desimulación, el objetivo es analizar los comportamientos de los pronósticos en el modeloTAR(2;1,1) contra los pronósticos en el modelo AR(1) bajo cada una de las alternativasde pronóstico, con parámetro umbral γ conocido.

Identificación Régimen 1 Régimen 2 P (Zt−1 ≤ γ) E (δ2t )α1 α2

Caso 1 -0.1 1 0.50 0.505Caso 2 -0.1 1 0.75 0.250Caso 3 1 -0.1 0.75 0.753Caso 4 1 0.1 0.50 0.505Caso 5 0.1 1 0.75 0.258Caso 6 -0.8 -0.6 0.50 0.500Caso 7 -0.8 0.6 0.75 0.500Caso 8 0.6 -0.8 0.75 0.430Caso 9 -0.4 -0.6 0.50 0.260Caso 10 -0.4 0.6 0.50 0.260Caso 11 -0.4 0.6 0.75 0.210Caso 12 0.6 -0.4 0.75 0.310Caso 13 -0.4 0.4 0.50 0.160Caso 14 0.4 -04 0.75 0.160Caso 15 -0.95 0.95 0.75 0.903Caso 16 0.95 -0.95 0.75 0.903Caso 17 -0.9 1 0.50 0.905Caso 18 -0.9 1 0.75 0.858Caso 19 1 -0.90 0.75 0.952Caso 20 0.90 1 0.50 0.905


87

La siguiente Tabla presenta los promedios de los 400 valores estimados en cadauna de las series simuladas, mediante máxima verosimilitud. Los valores φ1 y σ2

AR

corresponden a los parámetros estimados en el modelo AR(1). Mientras que α1, α2 yσ2TAR corresponden a los parámetros estimados bajo el modelo TAR(2;1,1) y E

(δ2t

)se

calcula sustituyendo los valores estimados del modelo TAR(2;1,1).

IdentificaciónModelo Modelo Autorregresivo Threshold

E(δ2t

)Autorregresivo Lineal Régimen 1 Régimen 2φ1 σ2

AR α1 α2 σ2TAR

Caso 1 -0.100 0.998 -0.100 0.993 0.996 0.499Caso 2 -0.098 0.994 -0.097 0.996 0.993 0.257Caso 3 0.997 0.995 0.997 -0.099 0.993 0.749Caso 4 0.997 1.002 0.995 0.098 1.001 0.501Caso 5 0.100 0.998 0.099 0.999 0.996 0.259Caso 6 -0.796 0.998 -0.795 -0.598 0.996 0.496Caso 7 -0.798 0.996 -0.798 0.593 0.995 0.567Caso 8 0.598 0.998 0.598 -0.794 0.996 0.428Caso 9 -0.400 0.993 -0.398 -0.600 0.991 0.262Caso 10 -0.398 1.003 -0.400 0.602 1.001 0.264Caso 11 -0.400 0.995 -0.401 0.600 0.994 0.213Caso 12 0.599 0.999 0.598 -0.392 0.997 0.309Caso 13 0.400 0.995 -0.393 -0.395 0.997 0.160Caso 14 -0.399 0.996 0.399 0.399 0.998 0.162Caso 15 -0.946 0.994 -0.946 0.947 0.992 0.897Caso 16 0.947 0.993 0.947 -0.946 0.992 0.898Caso 17 -0.899 0.996 -0.897 0.995 0.994 0.898Caso 18 -0.897 0.998 -0.897 0.994 0.997 0.851Caso 19 0.997 0.994 0.997 -0.899 0.993 0.948Caso 20 0.897 0.992 0.897 0.997 0.990 0.900

Tabla 4.12: Promedios de los estimadores por MV, bajo los modelos TAR(2;1,1) yAR(1).

88


TAR(2;3,3)

Supóngase que yt sigue un proceso autorregresivo de tercer orden, con dos regímenesy parámetro d=1 y que denotamos por TAR(2;3,3),

yt =

α11yt−1 + α12yt−2 + α13yt−3 + εt si Zt−1 ≤ γ

α21yt−1 + α22yt−2 + α23yt−3 + εt si Zt−1 > γ,

con εt ∼ iidN (0, σ2) y Zt−1 ∼ AR(1) , es decir, Zt−1 = ρZt−2 + ut, con |ρ| < 1 yut ∼ iidN (0, σ2), y en este caso se pronosticaron 8 pasos hacia adelante, entoncesh = 1, 2, 3,...,7 y 8.

La Tabla 4.13 contiene cada uno de los 25 escenarios considerados en el ejercicio desimulación, interesa estudiar los desempeños de los pronósticos en el modelo TAR(2;3,3)contra los pronósticos en el modelo AR(3) bajo cada una de las alternativas de pronós-tico, con parámetro umbral γ conocido.

89

Identificación Régimen 1 Régimen2 P (Zt−1 ≤ γ)α11 α12 α13 α21 α22 α23

Caso 1 0.438 -0.176 0.504 0.378 -0.367 0.341 0.50Caso 2 1 -0.25 -0.3 0.95 -0.15 -0.4 0.75Caso 3 0.85 -0.17 -0.5 0.6 0.1 -0.17 0.50Caso 4 0.3 0.5 0.2 0.2 0.4 0.35 0.50Caso 5 -0.87 -0.23 0.4 -0.75 0.5 0.6 0.50Caso 6 -1 -0.5 0.3 -0.56 -0.25 0.47 0.75Caso 7 -0.3 -0.45 0.5 -0.6 -0.5 0.1 0.50Caso 8 0.45 0.25 0.30 0.15 0.2 0.09 0.75Caso 9 0.4 0.6 -0.3 0.6 0.4 -0.5 0.50Caso 10 0.7 -0.45 0.25 0.85 0.13 -0.6 0.75Caso 11 -0.5 0.3 0.2 -0.7 0.4 0.6 0.50Caso 12 0.5 0.4 -0.1 0.8 0.2 -0.4 0.50Caso 13 0.1 0.25 0.33 0.4 0.5 0.1 0.75Caso 14 0.5 -0.3 0.1 0.7 -0.6 0.4 0.50Caso 15 -0.14 -0.27 -0.42 0.6 0.15 0.25 0.75Caso 16 -0.16 0.45 -0.37 -0.2 0.19 -0.23 0.50Caso 17 0.5 0.32 0.18 0.01 0.14 0.23 0.75Caso 18 -0.526 0.319 -0.127 -0.492 0.185 -0.064 0.50Caso 19 -0.094 -0.751 0.415 0.157 -0.583 0.309 0.50Caso 20 0.649 -0.541 0.859 0.738 -0.691 0.947 0.50Caso 21 0.97 0.6809 -0.749 0.851 0.795 -0.936 0.75Caso 22 0.1734 0.3295 0.4971 0.2103 0.3975 0.3551 0.50Caso 23 0.017 0.231 0.157 0.558 0.265 0.177 0.75Caso 24 0.4891 0.19674 0.3117 -0.4891 -0.19674 -0.3117 0.50Caso 25 0.377 0.422 0.201 0.098 0.138 0.219 0.50


La siguiente Tabla 4.14 presenta la media de los 400 valores estimados para cadauna de las series simuladas, vía máxima verosimilitud, es decir, se cuenta con 400estimaciones para cada uno de los parámetros bajo los modelos AR(3) y TAR(2;3,3).

90

Losvaloresφ

1,φ

2,φ

3yσ

2 ARcorrespo

nden

alospa

rámetrosestimad

osen

elmod

eloAR(3).

Mientrasqu

eα

11,α

12,α

13

α21,α

22,α

23yσ

2 TARcorrespo

nden

alospa

rámetrosestimad

osba

joel

mod

eloTA

R(2;3,3).

Tabla4.14

:Promediosde

losestimad

ores

porMV,b

ajolosmod

elos

TAR(2;3,3)yAR(3).

91


TAR(2;4,4)

Sea yt un proceso autorregresivo de cuarto orden, con dos regímenes y parámetrod=1 y que denotamos por TAR(2;4,4),

yt =

α11yt−1 + α12yt−2 + α13yt−3 + α14yt−4 + εt si Zt−1 ≤ γ

α21yt−1 + α22yt−2 + α23yt−3 + α24yt−4 + εt si Zt−1 > γ,

con εt ∼ iidN (0, σ2) y Zt−1 = ρZt−2 + ut, con |ρ| < 1 y ut ∼ iidN (0, σ2u), es decir,

Zt−1 ∼ AR(1). En este caso se pronosticaron 10 pasos hacia adelante, por lo que h = 1,2, 3,...,8 , 9 y 10.

La Tabla 15 contiene cada uno de los 25 casos considerados en la simulación, elobjetivo es realizar un amplio ejercicio de simulación donde se compare los desempeñosde los pronósticos en el modelo TAR(2;4,4) contra los pronósticos en el modelo AR(4)bajo cada una de las alternativas de pronóstico, con parámetro umbral γ conocido.

92


La siguiente Tabla 4.16 presenta los promedios de los 400 valores estimados en cadauna de las series simuladas, mediante máxima verosimilitud.

Los valores φ1, φ2, φ3, φ4 y σ2AR corresponden a los parámetros estimados en el

modelo AR(4). Mientras que α11, α12, α13, α14 α21, α22, α23, α24 y σ2TAR corresponden

a los parámetros estimados bajo el modelo TAR(2;4,4).

93

Tabla4.16

:Promediosde

losestimad

ores

porMV,b

ajolosmod

elos

TAR(2;4,4)yAR(4).

94


TAR(2;5,5)

Supóngase ahora que yt sigue un proceso autorregresivo de quinto orden, con dosregímenes y parámetro d = 1 y que denotamos por TAR(2;5,5),

yt =

α11yt−1 + α12yt−2 + α13yt−3 + α14yt−4 + α15yt−5 + εt si Zt−1 ≤ γ

α21yt−1 + α22yt−2 + α23yt−3 + α24yt−4 + α25yt−5 + εt si Zt−1 > γ,

con εt ∼ iidN (0, σ2) y Zt−1 ∼ AR(1), es decir, Zt−1 = ρZt−2 + ut, con |ρ| < 1 yut ∼ iidN (0, σ2

u), y en este caso se pronosticaron 12 pasos hacia adelante, entoncesh = 1, 2, 3,...,10,11 y 12.

A continuación la Tabla 4.17 muestra los 20 casos considerados en el ejercicio desimulación, el objetivo es analizar los comportamientos de los pronósticos en el modeloTAR(2;5,5) contra los pronósticos en el modelo AR(5) bajo cada una de las alternativasde pronóstico, con parámetro umbral γ conocido.

95


96

LaTa

bla4.18

presenta

alospa

rámetrosestimad

osde

losmod

elos

TAR(2;5,5)yAR(5)medianteel

métod

ode

máx

ima

verosimilitud.

Losv

aloresφ

1,φ

2,φ

3,φ

4,φ

5yσ

2 ARcorrespo

nden

alosp

arám

etrose

stim

ados

enelmod

eloAR(5).Mientrasq

ueα

11,α

12,α

13,α

14,α

15,α

21,α

22,α

23,α

24,α

25yσ

2 TARcorrespo

nden

alospa

rámetrosestimad

osba

joel

mod

eloTA

R(2;6,6).

Tabla4.18

:Promediosde

losestimad

ores

porMV,b

ajolosmod

elos

TAR(2;5,5)yAR(5).

97

Capítulo 5

Resumen

A lo largo de esta tesis se han ido mostrando resultados que han permitido cumplirel principal objetivo que nos planteamos al iniciarla, extender el modelo TAR(2;1,1) aun TAR(2;p,p) para la obtención de pronósticos, utilizando el concepto de la verosi-militud predictiva perfil que ha probado ser eficiente en el modelo TAR(2;1,1). Comoextensión del modelo TAR(2;1,1) se involucró la representación VAR del modelo TARque permite verificar la condición de estacionariedad, mediante el radio espectral.

Una vez realizada la extención del modelo no lineal de umbrales TAR, mediantela verosimilitud predictiva perfil, se calcularon los pronósticos empleando el principiode verosimilitud, el cual dice que los pronósticos para los h valores no observados sonaquellos valores de las series Yt y Zt−1 que maximizan la función de log verosimilitudperfil, es decir, la verosimilitud predictiva considera toda la información de manera con-junta, utilizando así las propiedades probabilísticas de la variable umbral, lo cual hacemás eficiente el proceso de optimización. Se evaluó el desempeño de los pronósticos ge-nerados en relación a los obtenidos con un modelo autorregresivo lineal para diferenteshorizontes de predicción, empleando la función de pérdida ECMP.

99

El siguiente cuadro muestra un resumen de los resultados obtenidos del ejercicio desimulación. En la primera fila identificamos al modelo TAR simulado, por simplicidaddenotamos al modelo TAR(2;p,p) como TAR(p) para p=1,2,..., 5 y 6. En la segunda ytercer fila mostramos el porcentaje de la veces que el modelo TAR es más eficiente alobtener pronósitico que el modelo AR, se consideró dos valores para la varianza asociadaal proceso de error, σ2 = 1 y σ2 = 4 respectivamente.

TAR(1) TAR(2) TAR(3) TAR(4) TAR(5) TAR(6)70% 76% 96% 80% 96% 100%85% 88% 100% 100% 100% 100%

Los ejemplos numéricos presentados y la comparación, basada en el ECMP mues-tran que los pronósticos TAR mediante verosimilitud predictiva son más eficientes ypresentan un mejor desempeño que los pronósticos del modelo AR al menos para loscasos simulados. Para poder usar la verosimilitud predictiva perfil para la obtención depronósticos en el modelo TAR se requiere un estudio de simulación más extensivo paratomar decisiones claras sobre las ventajas de ésta.

100

Apéndice A

Producto Kronecker de matrices yOperador Vec

Definición 4. Sean Am×n y Bp×q dos matrices. Se define el producto Kronecker deellas como la matriz, de dimensiones mp× nq,

A⊗B =

a11B a12B . . . a1nB

a21B a22B . . . a2nB...

... . . . ...am1B am2B . . . amnB

= (aijB)ij ;

i = 1, 2, ...,m

j = 1, 2, ..., n.

Por ejemplo, el producto Kronecker de las siguientes matrices

A =

[3 4 −1

2 0 0

]y B =

[5 −1

3 3

]

es

A⊗B =

15 −3 20 −4 −5 1

9 9 12 12 −3 −3

10 −2 0 0 0 0

6 6 0 0 0 0

y

B⊗A =

15 20 −5 −3 −4 1

10 0 0 −2 0 0

9 12 −3 9 12 −3

6 0 0 6 0 0

.

101

Definición 5. Sea Xn×q. Se define el operador vec(X) como el vector de dimensiónnq× 1 formado al apilar las columnas de X una tras otra de izquierda a derecha, o sea,si notamos por columnas X = [x1,x2...,xq], entonces

vec (X) =

x1

x2

...xq

.

Entonces el operador vec para las matrices A y B es

vec (A) =

3

4

−1

2

0

0

y vec (B) =

5

−1

3

3

.

El radio espectral está estrechamente relacionado con el comportamiento de la conver-gencia de la sucesión de potencias de una matriz, como muestra el siguiente teorema:

Teorema 6. Si A, B, C y Dson matrices de manera que se puedan formar los productoscorrespondientes y supongamos que A y B son inversibles, entonces

1. vec (ABC) = (C′ ⊗A) vec (B).

2. tr(AB) = (vec (B′))′ vec (A) = (vecB)′ vec (A′).

3. (A⊗B) (C⊗D) = (AC)⊗ (BD) .

4. (A⊗B)−1 = A−1 ⊗B−1, (A⊗B)′ = A′ ⊗B′.

102

Apéndice B

Radio Espectral

Definición 7. Sea A una matriz n × n. El espectro de una matriz es el conjunto desus valores propios, lo representamos por

σ (A) = λ : λ es valor propio de A ,

apareciendo cada uno tantas veces como indique su multiplicidad algebraica.

Definición 8. Sea A una matriz n×n. El radio espectral de la matriz es el módulomáximo de sus valores propios, lo representamos por

ρ (A) = max |λ| : λ es valor propio de A .

El radio espectral está estrechamente relacionado con el comportamiento de la con-vergencia de la sucesión de potencias de una matriz, como muestra el siguiente teorema:

Teorema 9. Sea A ∈Mn×n (R) y ρ (A) su radio espectral, entonces:

lımk→∞

Ak = 0 si y solo si ρ (A) < 1.

El teorema que sigue es el teorema fundamental de las formas canónicas de Jordan,y dice esencialmente que toda matriz cuadrada, mediante un cambio de base, se puedellevar a una forma canónica de Jordan:

Teorema 10. (Forma canónica de Jordan) Sea A ∈ Mn×n (R) con eigenvalores

103

λ1, ..., λn. Entonces existe una matriz P no singular tal que

Λ := P−1AP =

Λ1 0

. . .

0 Λn

o A = PΛP−1, (B.1)

donde

Λi =

λi 1 0 0

0 λi 1 0... . . . . . . ...

0 0. . . 1

0 0 . . . . . . λi

es bloque de Jordan de tamaño ri × ri y valor propio λi.

La forma canónica de Jordan tiene algunas implicaciones importantes. Por ejemplo,implica que

Aj =(PΛP−1

)j= PΛjP−1,

y

Λji =

λji

(j1

)λj−1i . . .

(j

ri−1

)λj−ri+1i

0 λji . . .(

jri−2

)λj−ri+2i

... . . . ...0 0 . . . λji

,donde

(pq

)= p!

(p−q)!q! denota el coeficiente binomial.

Tenemos las siguientes consecuencias: Supongamos que A es una matriz m×m realcon eigenvalores λ1, ..., λn. tales que todos tienen módulo menor que 1, es decir, |λi| < 1

para i = 1, ..., n. Además sean Λ y P las matrices dadas en B.1.

1. Aj = PΛjP−1 → 0.

2.∞∑j=0

Aj = (Im −A)−1existe.

3. La sucesión Aj, j = 0, 1, 2, ..., es absolutamente sumable, es decir,

∞∑j=0

|αkl,j| <∞,

104

para todo k, l = 1, ...,m, donde αkl,j es un elemento de Aj.

Recordemos que un proceso AR(p)

yt = A1yt−1 + ··· + Apyt−p + ut,

con errores gaussianos, puede ser reescrito como un AR(1) p-dimensional, es decir,

Yt = AYt−1 + Ut,

donde

Yt =

yt

yt−1

yt−2

...yt−p+1

p×1

, A =

A1 A2 . . . Ap−1 Ap

1 0 . . . 0 0

0 1 . . . 0 0...

... . . . ......

0 0 . . . 1 0

p×p

y Ut =

ut

0

0...0

p×1

.

Se cumple que Yt es estable si

det (Ip −Az) 6= 0 para |z| ≤ 1.

Tenemos entonces la siguiente teorema que relaciona la estacionariedad débil y elradio espectral:

Teorema 11. Sea A una matriz m×m. Entonces

ρ (A) < 1⇔ det (Ip −Az) 6= 0 ∀ |z| ≤ 1,

es decir, el polinomio det (Ip −Az) no tiene raíces en el circulo unitario complejo.

105

.

106

Apéndice C

Desviación Absoluta de la Mediana

La desviación absoluta de la mediana (DAM) (median absolute deviation MAD eninglés) es una medida de dispersión o propagación estadística, alrededor de la mediana.En otras palabras, este valor proporciona alguna indicación de la variabilidad o diver-sidad de los datos alrededor de la mediana. Este parámetro, también conocido comodesviación estándar robusta, se define para un conjunto de datos univariados X1, ..., Xn

como:

DAM = 1.4826 ∗mediana (|Xi–mediana X1, ..., Xn|) ,

donde la constante toma un valor de 1.4826 para que la estimación sea consistentecon la desviación estándar en el modelo gausiano. La DAM fue propuesta por primeravez por Hampel en 1974.

Debido a que la DAM utiliza la mediana para las puntuaciones de la desviación, esmás robusta que la desviación estándar como una medida de dispersión. Es decir, esmenos susceptible a la influencia de los valores atípicos (outliers) en comparación conla desviación estándar. En la desviación estándar, las distancias de la media se elevanal cuadrado, por lo que las grandes desviaciones tienen un mayor peso, y por lo tantolos valores extremos pueden influir fuertemente en ella. En la DAM, las desviaciones deun pequeño número de valores extremos son irrelevantes.

107

.

108

Apéndice D

Código desarrollado

En este anexo se muestra el código del programa escrito en el lenguaje R, versión 3.0.3,que fue usado para la estimación y predicción de los modelos TAR(2; p, p) y AR(p),para p = 1, 2, 3, 4, 5 y 6, tratados en este documento. El programa R puede obtenerselibremente en http://cran.r-project.org.

TAR

1 ######################################2 rm( l i s t=l s ( a l l . names=TRUE) )3 #l i b r e r í a que nos permite guardar l o s parámetros en formato XLS.4 l i b r a r y (WriteXLS)5 t e s tP e r l ( )6 ######################################7 #Simulares 400 s e r i e s de tamaño 615 .8 #Simularemos y ca l cu la remos l o s parámetros de un modelo AR(p) .9 #Se est imarán l o s parámetros mediante mínimos cuadrados para que10 #e s t o s va l o r e s sean de arranque para l a v e r o s im i l i t ud p r ed i c t i v a p e r f i l11 #Primero , s imularemos 1015 datos un au t o r r e g r e s i v o de orden P=6.12 ######################################13 #func ión que nos permite conocer e l tiempo que tarda e l programa .14 ######################################15 ptm<−proc . time ( )16 #Número de s e r i e s s imuladas17 kk=40018 #Orden de l au t o r r e g r e s i v o19 p=620

109

http://cran.r-project.org

21 #Observac iones de l modelo TAR( 2 ; p , p) simulado22 m=101523 #Observac iones de l a s e r i e para es t imac ión de parámetros24 T=60025 #Número de va l o r e s a p r ed e c i r26 h=1527 #Número de obse rvac i one s para es t imac ión de parámetros y p r ed i c c i ón28 l =61529 # Matriz que guarda l o s parámetros est imados de l proceso30 # Autor reg re s ivo Yt~AR(6)31 A<−matrix (0 , nco l=6,nrow=kk )32 #Vector que guarda l a var ianza de l proceso Yt~AR(6)33 V1<−c ( )34 #Vector que guarda l a var ianza de l proceso Yt~TAR(2 ; 6 , 6 )35 V2<−c ( )36 cont=137 #Rea l i z a c i on e s de l proceso Autor reg re s ivo Threshold Yt~TAR(2 ; 6 , 6 )38 g r a f i<−c (20 ,51 ,73 ,135 ,188 ,242 ,278 ,331 ,400)39 Gra f i<−matrix (0 , nco l=T, nrow=9)40 #Matriz que guarda l o s parámetros est imados de l régimen 141 # de l Threshold Yt~TAR(2 ; 6 , 6 )42 B1<−matrix (0 , nco l=p , nrow=kk )43 #Matriz que guarda l o s parámetros est imados de l régimen 244 # de l Threshold Yt~TAR(2 ; 6 , 6 )45 B2<−matrix (0 , nco l=p , nrow=kk )46 #Matriz que guarda l o s e r r o r e s de l proceso Autor reg re s ivo Yt~AR(6)47 EAR<−matrix (0 , nco l=h , nrow=kk )48 #Matriz que guarda l o s e r r o r e s de l proceso Autor reg re s ivo49 # Threshold Yt~TAR(2 ; 6 , 6 )50 ETAR<−matrix (0 , nco l=h , nrow=kk )51 #Matriz que guarda l o s ECMP de l proceso Autor r eg re s ivo Yt~AR(6)52 ECMAR<−matrix (0 , nco l=h , nrow=kk )53 #Matriz que guarda l o s ECMP de l proceso Autor r eg re s ivo54 # Threshold Yt~TAR(2 ; 6 , 6 )55 ECMTAR<−matrix (0 , nco l=h , nrow=kk )56 #Matriz que guarda l a s s imu lac i one s de l modelo TAR57 Gyth<−matrix (0 , nco l=l , nrow=kk )58 #Matriz que guarda l o s p r onó s t i c o s de l modelo TAR para cada s imulac ión59 Gpth<−matrix (0 , nco l=h , nrow=kk )60 #Matriz que guarda l o s e r r o r e s de p ronós t i c o de l modelo TAR61 Geth<−c ( )62

110

6364 #Empezamos e l proceso de s imulac ión65 f o r ( j in 1 : kk )66 67 #Desv iac ión estandar de l proceso Autor reg re s ivo Yt~AR(6)68 #y de l Threshold Yt~TAR(2 ; 6 , 6 )69 Sd=170 #Desv iac ión estandar de l proceso Autor reg re s ivo Umbral Zt~AR(1)71 Sd1=172 #Coe f i c i e n t e s de l primer régimen73 ar1=c ( −0 .253 , −0 .0734 ,0 .025 ,0 .0642 , −0 .0386 ,0 .0216)74 #Coe f i c i e n t e s de l segundo régimen75 ar2=c ( −0 .718 , −0 .1178 ,0 .019 ,0 .0876 ,0 .0751 ,0 .0964)76 #Porcenta je de l número de obse rvac i one s en e l primer régimen77 pz=0.75078 #Porcenta je de l número de obse rvac i one s en e l segundo régimen79 pz1=1−pz80 #Valor de l c o e f i c i e n t e de l a va r i ab l e umbral Zt~AR(1)81 rho=0.582 ######################################83 #va lo r de l umbral ,84 gamma=qnorm(pz ,mean=0, sd=sq r t (1 /(1−rho^2) ) )85 #Vector de e r r o r e s con d i s t r i b u c i ó n Normal .86 enorm=matrix (0 , nco l=1,nrow=(m−p) )87 enorm=rnorm ( (m−p) ,0 , sd=Sd)88 #######################################################################89 # Simulamos y ca lcu lamos l o s parámetros de un modelo TAR( 2 ; p , p)90 # suponiendo umbral conoc ido . Se estiman l o s parámetros mediante91 # mínimos cuadrados para que e s t o s va l o r e s sean de arranque para92 # la v e r o s im i l i t ud p r ed i c t i v a p e r f i l . Se crean l a s func i one s93 # ind i cado ra s que nos d i ran a que régimen pertenecen l a s obse rvac i one s .94 #######################################################################95 I t1=func t i on ( zt , umbral )96 97 return ( i f e l s e ( zt<=umbral , 1 , 0 ) )98 99 I t 2=func t i on ( zt , umbral )100 101 return ( i f e l s e ( zt>umbral , 1 , 0 ) )102 103104

111

105 #######################################################################106 #Se simulan 1016 datos de l a va r i ab l e umbral Zt con parámetro rho=0.5107 # y normal (0 , 1 ) . Simulando z0 , z1 , . . . , z1015 .108 #######################################################################109 M=m+1110 zt . aux=as . matrix ( arima . sim (model=l i s t ( ar=c ( rho ) ) ,n=M, sd=Sd1 ) )111 zt1=zt . aux [ (m−l +1) : (M−15) ]112 zt2=zt . aux [ (M−14) :M]113 zth=c ( )114 zth=zt1115 f o r ( t in 1 : h)116 117 zth [T+1+t ]= zt2 [ t ]118 119 #simulando l o s va l o r e s de yt120 yt . aux=matrix (0 , nco l=1,nrow=m)121 c o l o r e s<−c ( )122 #Valores i n i c i a l e s de yt . aux1 , yt . aux2 , . . . , yt . aux6 .123 yt . aux [1 ]=0 .327124 yt . aux [2 ]=0 .327125 yt . aux [3 ]=0 .327126 yt . aux [4 ]=0 .327127 yt . aux [5 ]=0 .327128 yt . aux [6 ]=0 .327129 c o l o r e s [ 1 : 6 ]=2130 #######################################################################131 #ca lcu lando y7 , . . . , y1015132 #######################################################################133 f o r ( t in (p+1) :m)134 135 i f ( z t . aux [ t]<=gamma)136 137 yt . aux [ t ]=ar1 [ 1 ] ∗yt . aux [ t−1]+ar1 [ 2 ] ∗yt . aux [ t−2]+ar1 [ 3 ] ∗yt . aux [ t−3]138 +ar1 [ 4 ] ∗yt . aux [ t−4]+ar1 [ 5 ] ∗yt . aux [ t−5]139 +ar1 [ 6 ] ∗yt . aux [ t−6]+enorm [ t−p ]140 c o l o r e s [ t ]=2141 142 e l s e143 144 yt . aux [ t ]=ar2 [ 1 ] ∗yt . aux [ t−1]+ar2 [ 2 ] ∗yt . aux [ t−2]+ar2 [ 3 ] ∗yt . aux [ t−3]145 +ar2 [ 4 ] ∗yt . aux [ t−4]+ar2 [ 5 ] ∗yt . aux [ t−5]146 +ar2 [ 6 ] ∗yt . aux [ t−6]+enorm [ t−p ]

112

147 c o l o r e s [ t ]=4148 149 150 #######################################################################151 #################est imac ión de parámetros mediante mínimos cuadrados152 #######################################################################153 yth1=yt . aux [ (m−l +1) : (m−15) ]154 yth2=yt . aux [ (m−14) :m]155 yth=c ( )156 yth=yth1157 i f ( g r a f i [ cont]==j )158 159 Gra f i [ cont , ]= yth160 cont=cont+1161 162 f o r ( t in 1 : h)163 164 yth [T+t ]=yth2 [ t ]165 166 Gyth [ j , ]= yth167 xth<−matrix (0 , nco l=l , nrow=p)168 f o r ( t in 1 : l )169 170 f o r ( i in 1 : p )171 172 xth [ i , t ]=yt . aux [ (m−l )+t−i ]173 174 175 Xth<−matrix (0 , nco l=l , nrow=(2∗p) )176 f o r ( t in 1 : l )177 178 Xth [ , t ]= t ( c ( t ( xth [ , t ] ) ∗ I t 1 ( zt . aux [ t+(m−l ) ] , gamma) ,179 t ( xth [ , t ] ) ∗ I t 2 ( zt . aux [ t+(m−l ) ] , gamma) ) )180 181 Sumth<−Xth$ %$∗$ %$ t (Xth)182 Sumth1<−c ( )183 f o r ( t in 1 : ( 2 ∗p) )184 185 Sumth1 [ t ]=sum(Xth [ t , ] ∗yth )186 187 thetath . hat<−s o l v e (Sumth) $ %$∗$ %$Sumth1188 a1=thetath . hat [ 1 : p ]

113

189 b1=thetath . hat [ ( p+1) : ( p∗ 2) ]190 sigmath=sum( ( yth−t (Xth) $ %$∗$ %$ thetath . hat ) ^2)191 sigmath . hat=sigmath/ l192 sigmath . hat193 #######################################################################194 #Estimación de l parámetro rho de l proceso au t o r r e g r e s i v o Zt~AR(1)195 #######################################################################196 rhot<−0197 zz1=0198 zz2=0199 L=l+1200 f o r ( t in (p+1) :L)201 202 zz1=zth [ t ] ∗ zth [ t−1]+zz1203 zz2=zth [ t−1]^2+zz2204 205 rhot=zz1 / zz2206 sigma . rho=0207 f o r ( t in (p+1) :L)208 209 sigma . rho=(zth [ t ]− rhot ∗ zth [ t−1])^2+sigma . rho210 211 sigmah . rho=sigma . rho/ (L−p)212 sigmah . rho213 #######################################################################214 # Se ca l cu l an l o s parámetros de Yt~TAR(2 ; 6 , 6 ) mediante l a v e r o s im i l i t ud215 # pr ed i c t i v a p e r f i l . La func ión log . p r ed i c est ima l o s parámetros de l216 # modelo Yt~TAR(2 ; 6 , 6 ) .217 #######################################################################218 log . p r ed i c=func t i on ( a l f a )219 220 de l t a1<−c ( )221 de l t a2<−c ( )222 de l t a3<−c ( )223 de l t a4<−c ( )224 de l t a5<−c ( )225 de l t a6<−c ( )226 suma1=0227 suma1=(l−p) ∗ l og ( sq r t ( a l f a [ ( 2 ∗p+1) ] ) )228 rhot=a l f a [ ( 2 ∗ (p+1) ) ]229230

114

231 f o r ( i in 1 : l )232 233 de l t a1 [ i ]= a l f a [ 1 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)+a l f a [ 7 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)234 de l t a2 [ i ]= a l f a [ 2 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)+a l f a [ 8 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)235 de l t a3 [ i ]= a l f a [ 3 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)+a l f a [ 9 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)236 de l t a4 [ i ]= a l f a [ 4 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)+a l f a [ 1 0 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)237 de l t a5 [ i ]= a l f a [ 5 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)+a l f a [ 1 1 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)238 de l t a6 [ i ]= a l f a [ 6 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)+a l f a [ 1 2 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)239 240 sumath=0241 f o r ( t in (p+1) : l )242 243 sumath=(yth [ t ]− de l ta1 [ t ] ∗yth [ t−1]−de l ta2 [ t ] ∗yth [ t−2]244 −de l ta3 [ t ] ∗yth [ t−3]−de l ta4 [ t ] ∗yth [ t−4]245 −de l ta5 [ t ] ∗yth [ t−5]−de l ta6 [ t ] ∗yth [ t−6])^2+sumath246 247 sumath=(1/ (2 ∗ a l f a [ ( 2 ∗p+1) ] ) ) ∗sumath248 sumarho1=0249 sumarho1=(l−p) ∗ l og ( sq r t ( a l f a [ ( 2 ∗ (p+1)+1) ] ) )250 sumarhoth=0251 f o r ( t in (p+1) :L)252 253 sumarhoth=(zth [ t ]− rhot ∗ zth [ t−1])^2+sumarhoth254 255 sumarhoth=(1/ (2 ∗ a l f a [ ( 2 ∗ (p+1)+1) ] ) ) ∗ sumarhoth256 x<−suma1+sumath257 y<−sumarho1+sumarhoth258 return (x+y)259 260 g=c ( thetath . hat , sigmath . hat , rhot , sigmah . rho )261 g=as . numeric ( g )262 thre . hat=optim (g , l og . pred ic , lower=c ( g [1 ]−1 , g [2 ]−1 , g [3 ]−1 ,263 g [4 ]−1 , g [5 ]−1 , g [6 ]−1 , g [7 ]−1 , g [8 ]−1 , g [9 ]−1 ,264 g [10]−1 , g [11]−1 , g [12 ] −1 ,0 .4 , g [ 14 ] −1 ,0 . 3 ) ,265 upper=Inf , method=’L−BFGS−B ’ )266 thre . hat=thre . hat$par267 thre . hat1=nlminb ( thre . hat , l og . pred ic , lower=c ( thre . hat [1 ]−1 ,268 thre . hat [2 ]−1 , thre . hat [3 ]−1 , thre . hat [4 ]−1 ,269 thre . hat [5 ]−1 , thre . hat [6 ]−1 , thre . hat [7 ]−1 ,270 thre . hat [8 ]−1 , thre . hat [9 ]−1 , thre . hat [10]−1 ,271 thre . hat [11]−1 , thre . hat [12 ] −1 ,0 .01 ,272 thre . hat [14 ] −1 ,0 .01) , upper=In f )

115

273 thre . hat1=thre . hat1$par274 #######################################################################275 B1 [ j , ]= thre . hat1 [ 1 : p ]276 B2 [ j , ]= thre . hat1 [ ( p+1) : ( 2 ∗p) ]277 V2 [ j ]= thre . hat1 [ ( 2 ∗p)+1]278 #######################################################################279 # La func ión pronosticosTH r e a l i z a l a p r ed i c c i ón de va l o r e s f u tu ro s de280 # la s e r i e Threshold Yt y l a va r i ab l e Threshold Zt .281 #######################################################################282 pronosticosTH=func t i on (v )283 284 f o r ( t in 1 : h)285 286 yth [T+t ]=v [ t ]287 288 f o r ( t in 1 : h)289 290 zth [T+1+t ]=v [ h+t ]291 292 de l t a1<−c ( )293 de l t a2<−c ( )294 de l t a3<−c ( )295 de l t a4<−c ( )296 de l t a5<−c ( )297 de l t a6<−c ( )298 f o r ( i in 1 : l )299 300 de l t a1 [ i ]= thre . hat1 [ 1 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)301 +thre . hat1 [ 7 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)302 de l t a2 [ i ]= thre . hat1 [ 2 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)303 +thre . hat1 [ 8 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)304 de l t a3 [ i ]= thre . hat1 [ 3 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)305 +thre . hat1 [ 9 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)306 de l t a4 [ i ]= thre . hat1 [ 4 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)307 +thre . hat1 [ 1 0 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)308 de l t a5 [ i ]= thre . hat1 [ 5 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)309 +thre . hat1 [ 1 1 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)310 de l t a6 [ i ]= thre . hat1 [ 6 ] ∗ I t 1 ( zth [ i ] , gamma)311 +thre . hat1 [ 1 2 ] ∗ I t 2 ( zth [ i ] , gamma)312 313 sumathp=0314

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315316 f o r ( t in (p+1) : l )317 318 sumathp=sumathp+(yth [ t ]− de l ta1 [ t ] ∗yth [ t−1]−de l ta2 [ t ] ∗yth [ t−2]319 −de l ta3 [ t ] ∗yth [ t−3]−de l ta4 [ t ] ∗yth [ t−4]320 −de l ta5 [ t ] ∗yth [ t−5]−de l ta6 [ t ] ∗yth [ t−6])^2321 322 sumarhothp=0323 f o r ( t in (p+1) :L)324 325 sumarhothp=sumarhothp+(zth [ t ]− thre . hat [ ( 2 ∗ (p+1) ) ] ∗ zth [ t−1])^2326 327 return ( (L−p) ∗ l og ( sumarhothp/ (L−p) )+( l−p) ∗ l og ( sumathp/ ( l−p) ) )328 329 w=c ( yth2 , zt2 )330 w=as . numeric (w)331 pronosTh=optim (w, pronosticosTH )332 pronosTh=pronosTh$par333 pronosTh1=pronosTh [ 1 : 1 5 ]334 #######################################################################335 #Se c a l c u l a e l e r r o r para l o s p r onó s t i c o s de l proceso Autor reg re s ivo336 #Threshold Yt~TAR(2 ; 6 , 6 )337 #######################################################################338 erth=yth2−pronosTh1339 ETAR[ j , ]= erth340 ECMTAR[ j , ]= erth^2341 pronosTh2=pronosTh [ 1 6 : 3 0 ]342 Geth [ j ]=sum( erth ^2)343 Gpth [ j , ]= pronosTh1344 #######################################################################345 #Estimación de l o s parámetros de l modelo l i n e a l AR(p)346 #######################################################################347 y1=yt . aux [ (m−l +1) : (m−15) ]348 y2=yt . aux [ (m−14) :m]349 yar=c ( )350 yar=y1351 ######################################352 f o r ( t in 1 : h)353 354 yar [T+t ]=y2 [ t ]355 356

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357358 #######################################################################359 #Se ca l cu l an l o s parámetros por mínimos cuadrados como360 #parámetros i n i c i a l e s361 #######################################################################362 x<−matrix (0 , nco l=l , nrow=p)363 f o r ( t in 1 : l )364 365 f o r ( i in 1 : p )366 367 x [ i , t ]=ar . aux [ (m−l )+t−i ]368 369 370 Sum<−x$ %$∗$ %$ t (x )#$ %$ ind i c a mu l t i p l i c a c i ó n de matr i ce s .371 Sum1<−c ( )372 f o r ( t in 1 : p)373 374 Sum1 [ t ]=sum(x [ t , ] ∗yar )375 376 theta . hat<−s o l v e (Sum) $ %$∗$ %$Sum1377 sigma=sum( ( yar−t ( x ) $ %$∗$ %$ theta . hat ) ^2)378 sigma . hat=sigma/ l379 sigma . hat=as . numeric ( sigma . hat )380 sigma . hat381 #######################################################################382 # Se ca l cu l an l o s parámetros de Yt~AR(6) mediante l a v e r o s im i l i t ud383 # pr ed i c t i v a p e r f i l .384 # La func ión log . p e r f i l est ima l o s parámetros de l modelo Yt~AR(6) .385 #######################################################################386 log . p e r f i l=func t i on ( a l f a )387 388 suma1=(( l−p) ) ∗ l og ( sq r t ( a l f a [ ( p+1) ] ) )389 suma2=0390 f o r ( t in (p+1) : l )391 392 suma2=(yar [ t ]− a l f a [ 1 ] ∗yar [ t−1]− a l f a [ 2 ] ∗yar [ t−2]− a l f a [ 3 ] ∗yar [ t−3]393 −a l f a [ 4 ] ∗yar [ t−4]− a l f a [ 5 ] ∗yar [ t−5]− a l f a [ 6 ] ∗yar [ t−6])^2+suma2394 395 suma2=(1/ (2 ∗ a l f a [ ( p+1) ] ) ) ∗suma2396 return ( suma1+suma2 )397 398 f=c ( theta . hat , sigma . hat )

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399 f=as . numeric ( f )400 hat=optim ( f , l og . p e r f i l , lower=c ( f [1 ]−1 , f [2 ]−1 , f [3 ]−1 , f [4 ]−1 , f [5 ]−1 ,401 f [ 6 ] −1 ,0 .009) , upper=Inf , method=’L−BFGS−B ’ )402 hat=hat$par403 optimo2=nlminb ( hat , l og . p e r f i l , lower=c ( hat [1 ]−1 , hat [2 ]−1 , hat [3 ]−1 ,404 hat [4 ]−1 , hat [5 ]−1 , hat [6 ] −1 ,0 .009) , upper=In f )405 EMV<−optimo2$par406 #######################################################################407 A[ j , ]=EMV[ 1 : p ]408 V1 [ j ]=EMV[ p+1]409 #######################################################################410 # La func ion pronosticosAR ca l cu l an l o s p r onó s t i c o s de l Autor r eg re s ivo411 # Yt~AR(6) mediante l a v e r o s im i l i t ud p r ed i c t i v a p e r f i l412 #######################################################################413 pronosticosAR=func t i on (y )414 415 f o r ( t in 1 : h)416 417 yar [T+t ]=y [ t ]418 419 sumap=0420 f o r ( t in (p+1) : l )421 422 sumap=(yar [ t ]−EMV[ 1 ] ∗yar [ t−1]−EMV[ 2 ] ∗yar [ t−2]−EMV[ 3 ] ∗yar [ t−3]423 −EMV[ 4 ] ∗yar [ t−4]−EMV[ 5 ] ∗yar [ t−5]−EMV[ 6 ] ∗yar [ t−6])^2+sumap424 425 return ( sumap/ (T+h−p) )426 427 pronosAr=optim (y2 , pronosticosAR )428 pronosAr=pronosAr$par429 #Se ca l cu l an l o s e r r o r e s430 er=y2−pronosAr431 EAR[ j , ]= er432 ECMAR[ j , ]= er^2433 434 ####################################################435 ####################################################436 #### Direcc i ón donde se guardaran l a s imagenes ####437 ####################################################438 setwd ( "/Users / Inv i tado /Desktop/ imagenes /TAR6/" )439 # Graficamos l o s histogramas de l o s parámetros estimados , se promedian ,440 # es dec i r , se saca l a media para cada parámetro de l a s 400

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441 # s imu lac i one s de l a s s e r i e s .442 #######################################################################443 # Histogramas de l o s parámetros de l modelo au t o r r e g r e s i v o Yt~AR444 #######################################################################445 png ( "TAR6−15−1.png" , width=20, he ight=8, un i t s=’ in ’ , r e s =300)446 par (mfrow=c (3 , 7 ) , lwd=1)447 h i s t (A[ , 1 ] , main="Modelo AR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ s l a t e g r ay4 ’ ,448 xlab="" , ylab="" , border=4)449 ab l i n e ( v=ar1 [ 1 ] , c o l=’ red4 ’ )450 a11=mean(A[ , 1 ] )451 h i s t (A[ , 2 ] , main="Modelo AR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ ye l low2 ’ ,452 xlab="" , ylab="" , border=4)453 ab l i n e ( v=ar1 [ 2 ] , c o l=’ red4 ’ )454 a12=mean(A[ , 2 ] )455 h i s t (A[ , 3 ] , main="Modelo AR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ pa l e tu rquo i s e 1 ’ ,456 xlab="" , ylab="" , border=4)457 ab l i n e ( v=ar1 [ 3 ] , c o l=’ red4 ’ )458 a13=mean(A[ , 3 ] )459 h i s t (A[ , 4 ] , main="Modelo AR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ v i o l e t ’ ,460 xlab="" , ylab="" , border=4)461 ab l i n e ( v=ar1 [ 4 ] , c o l=’ red4 ’ )462 a14=mean(A[ , 4 ] )463 h i s t (A[ , 4 ] , main="Modelo AR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ tu rquo i s e3 ’ ,464 xlab="" , ylab="" , border=4)465 ab l i n e ( v=ar1 [ 5 ] , c o l=’ red4 ’ )466 a15=mean(A[ , 5 ] )467 h i s t (A[ , 6 ] , main="Modelo AR\nMáxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ s l a t e b l u e ’ ,468 xlab="" , ylab="" , border=4)469 ab l i n e ( v=ar1 [ 6 ] , c o l=’ red4 ’ )470 a16=mean(A[ , 6 ] )471 h i s t (V1 , main="Modelo AR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ pink ’ ,472 xlab="" , ylab="" , border=4)473 ab l i n e ( v=Sd^2 , c o l=’ red4 ’ )474 v1=mean(V1)475 a1=c ( a11 , a12 , a13 , a14 , a15 , a16 , v1 )476 #######################################################################477 # Histogramas de l o s parámetros de l primer régimen478 #######################################################################479 h i s t (B1 [ , 1 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ s l a t e g r ay4 ’ ,480 xlab="Régimen 1" , ylab="" , border=4)481 ab l i n e ( v=ar1 [ 1 ] , c o l=’ red4 ’ )482 b11=mean(B1 [ , 1 ] )

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483 h i s t (B1 [ , 2 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ ye l low2 ’ ,484 xlab="Régimen 1" , ylab="" , border=4)485 ab l i n e ( v=ar1 [ 2 ] , c o l=’ red4 ’ )486 b12=mean(B1 [ , 2 ] )487 h i s t (B1 [ , 3 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " ,488 co l=’ pa l e tu rquo i s e 1 ’ , x lab="Régimen 1" , ylab="" , border=4)489 ab l i n e ( v=ar1 [ 3 ] , c o l=’ red4 ’ )490 b13=mean(B1 [ , 3 ] )491 h i s t (B1 [ , 4 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ v i o l e t ’ ,492 xlab="Régimen 1" , ylab="" , border=4)493 ab l i n e ( v=ar1 [ 4 ] , c o l=’ red4 ’ )494 b14=mean(B1 [ , 4 ] )495 h i s t (B1 [ , 5 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ tu rquo i s e3 ’ ,496 xlab="Régimen 1" , ylab="" , border=4)497 ab l i n e ( v=ar1 [ 5 ] , c o l=’ red4 ’ )498 b15=mean(B1 [ , 5 ] )499 h i s t (B1 [ , 6 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ s l a t e b l u e ’ ,500 xlab="Régimen 1" , ylab="" , border=4)501 ab l i n e ( v=ar1 [ 6 ] , c o l=’ red4 ’ )502 b16=mean(B1 [ , 6 ] )503 h i s t (V2 , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ pink ’ ,504 xlab="" , ylab="" , border=4)505 ab l i n e ( v=Sd^2 , c o l=’ red4 ’ )506 v2=mean(V2)507 b1=c ( b11 , b12 , b13 , b14 , b15 , b16 , v2 )508 #######################################################################509 # Histogramas de l o s parámetros de l segundo régimen510 #######################################################################511 h i s t (B2 [ , 1 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ s l a t e g r ay4 ’ ,512 xlab="Régimen 2" , ylab="" , border=4)513 ab l i n e ( v=ar2 [ 1 ] , c o l=’ red4 ’ )514 b21=mean(B2 [ , 1 ] )515 h i s t (B2 [ , 2 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ ye l low2 ’ ,516 xlab="Régimen 2" , ylab="" , border=4)517 ab l i n e ( v=ar2 [ 2 ] , c o l=’ red4 ’ )518 b22=mean(B2 [ , 2 ] )519 h i s t (B2 [ , 3 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " ,520 co l=’ pa l e tu rquo i s e 1 ’ , x lab="Régimen 2" , ylab="" , border=4)521 ab l i n e ( v=ar2 [ 3 ] , c o l=’ red4 ’ )522 b23=mean(B2 [ , 3 ] )523 h i s t (B2 [ , 4 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ v i o l e t ’ ,524 xlab="Régimen 2" , ylab="" , border=4)

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525 ab l i n e ( v=ar2 [ 4 ] , c o l=’ red4 ’ )526 b24=mean(B2 [ , 4 ] )527 h i s t (B2 [ , 5 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ tu rquo i s e3 ’ ,528 xlab="Régimen 2" , ylab="" , border=4)529 ab l i n e ( v=ar2 [ 5 ] , c o l=’ red4 ’ )530 b25=mean(B2 [ , 5 ] )531 h i s t (B2 [ , 6 ] , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ s l a t e b l u e ’ ,532 xlab="Régimen 2" , ylab="" , border=4)533 ab l i n e ( v=ar2 [ 6 ] , c o l=’ red4 ’ )534 b26=mean(B2 [ , 6 ] )535 h i s t (V2 , main="Modelo TAR\n Máxima Vero s im i l i tud " , c o l=’ pink ’ ,536 xlab="Varianza " , ylab="" , border=4)537 ab l i n e ( v=Sd^2 , c o l=’ red4 ’ )538 v2=mean(V2)539 b2=c ( b21 , b22 , b23 , b24 , b25 , b26 , v2 )540 dev . o f f ( )541 #################################################################542 #######################Parámetros est imados######################543 #################################################################544 ar1545 a1546 ######################547 ar1548 b1549 ######################550 ar2551 b2552 #################################################################553 #################################################################554 ## Errore s de p ronó s t i c o para h−pasos ade lante (h=1 , . . . , h=15) ###555 #################################################################556 #Se ca l cu l an l o s e r r o r e s de p ronó s t i c o mediante l a func ión mad557 #median abso lu t e dev i a t i on558 #################################################################559 Ept<−c ( )560 Epa<−c ( )561 f o r ( i in 1 : h )562 563 Ept [ i ]=mad(ETAR[ , i ] , c en t e r=median (ETAR[ , i ] ) , constant =1.4826)564 Epa [ i ]=mad(EAR[ , i ] , c en t e r=median (EAR[ , i ] ) , constant =1.4826)565 566

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567 #################################################################568 ####### Graficamos l o s Boxplots de l o s e r r o r e s de p ronós t i c o569 ####### de l Modelo TAR y AR.570 #################################################################571 png ( "TAR6−17−2.png" , width=15, he ight=8, un i t s=’ in ’ , r e s =300)572 par (mfrow=c (1 , 2 ) )573 colnames (ETAR) <−c ( "h=1" , "h=2" , "h=3" , "h=4" , "h=5" , "h=6" , "h=7" , "h=8" ,574 "h=9" , "h=10" , "h=11" , "h=12" , "h=13" , "h=14" , "h=15" )575 boxplot (ETAR, co l =1:15 ,main="Errore s de Pronóst i co modelo TAR \n576 Método de Vero s im i l i tud Pred i c t i va " , at =1:15)577 colnames (EAR) <−c ( "h=1" , "h=2" , "h=3" , "h=4" , "h=5" , "h=6" , "h=7" , "h=8" ,578 "h=9" , "h=10" , "h=11" , "h=12" , "h=13" , "h=14" , "h=15" )579 boxplot (EAR, c o l =1:15 ,main="Errore s de Pronóst i co modelo AR \n580 Método de Vero s im i l i tud Pred i c t i va " , at =1:15)581 dev . o f f ( )582 #######################################################################583 ##### Errore s de Pronóst i co modelo TAR584 ##### Método de Vero s im i l i tud Pred i c t i va585 #######################################################################586 Ept587 #######################################################################588 ##### Errore s de Pronóst i co modelo AR589 ##### Método de Vero s im i l i tud Pred i c t i va590 #######################################################################591 Epa592 #######################################################################593 ######### Graficamos Errore s de Pronóst i co de uno a quince pasos594 ######### de l Modelo TAR y AR595 #######################################################################596 png ( "TAR6−17−3.png" , width=15, he ight=8, un i t s=’ in ’ , r e s =300)597 p l o t (Ept , main="Errore s de Pronóst i co " , type=" l " , c o l="blue " ,598 ylim=c (0 ,max(Epa) +0.2) , xlab=’ ’ , y lab=’ ’ )599 legend ( " top r i gh t " , l egend=c ( "TAR−VP" , "AR−VP" ) , lwd=3, c o l=c ( " blue " ,600 " red " ) , bty="n" )601 l i n e s ( 1 : 1 5 , c (Epa) , type=" l " , c o l=" red " )602 dev . o f f ( )603 #######################################################################604 ### Cociente de l a func ión de pérdida e r r o r e s de p ronó s t i c o ########605 #######################################################################606 cpro1<−Epa/Ept607 cpro1608

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609 #######################################################################610 ####### Cálculo de l Error Cuadrático Medio de Pronóst i co ########611 #######################################################################612 Ecmpt<−c ( )613 Ecmpa<−c ( )614 f o r ( i in 1 : h )615 616 Ecmpt [ i ]=mad(ECMTAR[ , i ] , c en t e r=median (ECMTAR[ , i ] ) , constant =1.4826)617 Ecmpa [ i ]=mad(ECMAR[ , i ] , c en t e r=median (ECMAR[ , i ] ) , constant =1.4826)618 619 #######################################################################620 ####### Graficamos l o s Boxplots de l o s ECMP de l Modelo TAR y AR #######621 #######################################################################622 png ( "TAR6−17−4.png" , width=15, he ight=8, un i t s=’ in ’ , r e s =300)623 par (mfrow=c (1 , 2 ) )624 colnames (ECMTAR) <− c ( "h=1" , "h=2" , "h=3" , "h=4" , "h=5" , "h=6" , "h=7" , "h=8" ,625 "h=9" , "h=10" , "h=11" , "h=12" , "h=13" , "h=14" , "h=15" )626 boxplot (ECMTAR, co l =1:15 ,main="ECMP modelo TAR \n627 Método de Vero s im i l i tud Pred i c t i va " , at =1:15)628 colnames (ECMAR) <− c ( "h=1" , "h=2" , "h=3" , "h=4" , "h=5" , "h=6" , "h=7" , "h=8" ,629 "h=9" , "h=10" , "h=11" , "h=12" , "h=13" , "h=14" , "h=15" )630 boxplot (ECMAR, co l =1:15 ,main="ECMP modelo AR \n631 Método de Vero s im i l i tud Pred i c t i va " , at =1:15)632 dev . o f f ( )633 #######################################################################634 ####### ECMP modelo TAR Método Vero s im i l i tud Pred i c t i va ##########635 #######################################################################636 Ecmpt637 #######################################################################638 ####### ECMP modelo AR Método Vero s im i l i tud Pred i c t i va ##########639 #######################################################################640 Ecmpa641 #######################################################################642 # Graficamos ECMP de uno a quince pasos de l Modelo TAR y AR #########643 #######################################################################644 png ( "TAR6−17−5.png" , width=15, he ight=8, un i t s=’ in ’ , r e s =300)645 p l o t (Ecmpt , main="Errore s Cuadrát icos Medios de Pronóst i co " , type=" l " ,646 co l="blue " , yl im=c (0 ,max(Ecmpa) +0.2) , xlab=’ ’ , y lab=’ ’ )647 legend ( " top r i gh t " , l egend=c ( "TAR−VP" , "AR−VP" ) , lwd=3,648 co l=c ( " blue " , " red " ) , bty="n" )649 l i n e s ( 1 : 1 5 , c (Ecmpa) , type=" l " , c o l=" red " )650 dev . o f f ( )

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651 #######################################################################652 ############# Cociente de l a func ión de pérdida ECMP ############653 #######################################################################654 cpro2<−Ecmpa/Ecmpt655 cpro2656 #########################################################657 # índ i c e que nos d i c e en que s e r i e simulada se obtuvo un menor ECMP658 N<−which . min (Geth )659 #######################################################################660 ####### Graficamos l a s e r i e Yt~TAR donde se obtuvo un menor ECMP661 #######################################################################662 #Graficamos l a s e r i e de tiempo de 550 a 615663 png ( "TAR6−15−6.png" , width=10, he ight=5, un i t s=’ in ’ , r e s =300)664 xy<−t s (Gyth [N, 5 5 0 : 6 1 5 ] , s t a r t =550 ,end=615)665 p l o t ( xy , type="o" , c o l=" black " ,main=" Se r i e simulada de l proceso666 Yt~TAR(2 ; 6 , 6 ) " , ylim=c (min ( xy )−4,max( xy )+4) , xlab=’Tiempo ’ ,667 ylab=’Yth ’ ) l egend ( " top r i gh t " , l egend=c ( " Pronós t i co s " ,668 "Datos observados " ) , lwd=3, c o l=c ( " blue " , " black " ) , bty="n" )669 l i n e s (601 : 615 , c (Gpth [N, ] ) , type="o" , c o l="blue " )670 dev . o f f ( )671 #######################################################################672 ############### C l a s i f i c a c i ó n por Régimen ###################673 #######################################################################674 co l o r=c o l o r e s [ (m−l +1) :m]675 xx=seq (1 , l , 1 )676 xxt=seq (1 , ( l −1) ,1 )677 #######################################################################678 ########## Graficamos como se r e a l i z a l a c l a s i f i c a c i ó n por régimen679 ########## de l a s e r i e Yt~TAR dado l a va r i ab l e umbral Zt~AR680 #######################################################################681 png ( "TAR6−15−7.png" , width=20, he ight =10, un i t s=’ in ’ , r e s =300)682 par (mfrow=c (2 , 1 ) )683 p l o t ( seq ( 1 , (T+h) ,1 ) , yth , type=’n ’ , x lab=’ ’ , y lab=’ yt ’ , yl im=c (min ( yth ) ,684 max( yth )+6) ,main=’ C l a s i f i c a c i ó n por Régimen ’ )685 legend ( " t o p l e f t " , c ( "Régimen 1" , "Régimen 2" ) , c o l = c ( ’ red ’ , ’ b lue ’ ) ,686 text . c o l = c ( ’ red ’ , ’ b lue ’ ) , l t y = c (2 , 2 ) , pch = c (20 ,18) )687 segments ( xx [ xxt ] , yth [ xxt ] , xx [ xxt +1] , yth [ xxt +1] , c o l=co l o r )688 p l o t . t s ( zth , yl im=c (min ( zth ) ,max( zth )+3) )689 ab l i n e (h=gamma, c o l=’ red ’ )690 legend ( " top r i gh t " , l egend=c ( "Parámetro Umbral" , s ub s t i t u t e (gamma==group691 ( "" , l i s t ( x11 ) , "" ) , l i s t ( x11=round (gamma, 4 ) ) ) , "" , exp r e s s i on ( phi=)) ,692 lwd=3, c o l=c ( " red " , "white " , "white " , "white " ) , bty="n" )

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693 dev . o f f ( )694 #######################################################################695 ########### Graficamos 9 r e a l i z a c i o n e s de l modelo TAR ###########696 #######################################################################697 png ( "TAR6−15−8.png" , width=15, he ight=8, un i t s=’ in ’ , r e s =300)698 par (mfrow=c (3 , 3 ) , lwd=1)699 p l o t . t s ( Gra f i [ 1 , ] , main="Rea l i z a c i ón TAR(2 ; 6 , 6 ) Caso 15" ,700 xlab=’ S e r i e ’ , y lab=’Tiempo ’ , c o l =1)701 p l o t . t s ( Gra f i [ 2 , ] , main="Rea l i z a c i ón TAR(2 ; 6 , 6 ) Caso 15" ,702 xlab=’ S e r i e ’ , y lab=’Tiempo ’ , c o l =2)703 p l o t . t s ( Gra f i [ 3 , ] , main="Rea l i z a c i ón TAR(2 ; 6 , 6 ) Caso 15" ,704 xlab=’ S e r i e ’ , y lab=’Tiempo ’ , c o l =3)705 p l o t . t s ( Gra f i [ 4 , ] , main="Rea l i z a c i ón TAR(2 ; 6 , 6 ) Caso 15" ,706 xlab=’ S e r i e ’ , y lab=’Tiempo ’ , c o l =4)707 p l o t . t s ( Gra f i [ 5 , ] , main="Rea l i z a c i ón TAR(2 ; 6 , 6 ) Caso 15" ,708 xlab=’ S e r i e ’ , y lab=’Tiempo ’ , c o l =5)709 p l o t . t s ( Gra f i [ 6 , ] , main="Rea l i z a c i ón TAR(2 ; 6 , 6 ) Caso 15" ,710 xlab=’ S e r i e ’ , y lab=’Tiempo ’ , c o l =6)711 p l o t . t s ( Gra f i [ 7 , ] , main="Rea l i z a c i ón TAR(2 ; 6 , 6 ) Caso 15" ,712 xlab=’ S e r i e ’ , y lab=’Tiempo ’ , c o l =7)713 p l o t . t s ( Gra f i [ 8 , ] , main="Rea l i z a c i ón TAR(2 ; 6 , 6 ) Caso 15" ,714 xlab=’ S e r i e ’ , y lab=’Tiempo ’ , c o l =8)715 p l o t . t s ( Gra f i [ 9 , ] , main="Rea l i z a c i ón TAR(2 ; 6 , 6 ) Caso 15" ,716 xlab=’ S e r i e ’ , y lab=’Tiempo ’ , c o l =9)717 dev . o f f ( )718 #######################################################################719 ################ Resultados cont i ene l o s parámetros estimados ,720 ################ e r r o r e s de pronóst i co , l o s ECMP y l o s r e s p e c t i v o s721 ################ coc i e n t e s de l o s modelos TAR y AR.722 #######################################################################723 Resultados<−data . frame (Ar=c ( a1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ,724 Re1=c (b1 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ,Re2=c (b2 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 ) ,725 Coci=c ( cpro1 ) , Etar=c (Ept ) , Ear=c (Epa) , Coci2=c ( cpro2 ) ,726 Ectar=c (Ecmpt) , Ecar=c (Ecmpa) )727 WriteXLS( ’ Resultados ’ , ExcelFileName="TAR615 . x l s " )728 #######################################################################729 ################ Estimación de l parámetro Umbral ###############730 #######################################################################731 # La func ión gamma. est imadas1 minimiza l a menos l o g v e r o s im i l i t u d p e r f i l732 #######################################################################733734

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735 gamma. est imadas1=func t i on ( gamas )736 737 logve ro th=func t i on ( beta )738 739 de l ta11<−c ( )740 de l ta21<−c ( )741 de l ta31<−c ( )742 de l ta41<−c ( )743 de l ta51<−c ( )744 de l ta61<−c ( )745 f o r ( t in 1 : l )746 747 de l ta11 [ t ]=beta [ 1 ] ∗ I t 1 ( zth [ t ] , gamas )+beta [ 7 ] ∗ I t 2 ( zth [ t ] , gamas )748 de l ta21 [ t ]=beta [ 2 ] ∗ I t 1 ( zth [ t ] , gamas )+beta [ 8 ] ∗ I t 2 ( zth [ t ] , gamas )749 de l ta31 [ t ]=beta [ 3 ] ∗ I t 1 ( zth [ t ] , gamas )+beta [ 9 ] ∗ I t 2 ( zth [ t ] , gamas )750 de l ta41 [ t ]=beta [ 4 ] ∗ I t 1 ( zth [ t ] , gamas )+beta [ 1 0 ] ∗ I t 2 ( zth [ t ] , gamas )751 de l ta51 [ t ]=beta [ 5 ] ∗ I t 1 ( zth [ t ] , gamas )+beta [ 1 1 ] ∗ I t 2 ( zth [ t ] , gamas )752 de l ta61 [ t ]=beta [ 6 ] ∗ I t 1 ( zth [ t ] , gamas )+beta [ 1 2 ] ∗ I t 2 ( zth [ t ] , gamas )753 754 sumath1=0755 f o r ( t in (p+1) : l )756 757 sumath1=(yth [ t ]−de l ta11 [ t ] ∗yth [ t−1]−de l ta21 [ t ] ∗yth [ t−2]758 −de l ta31 [ t ] ∗yth [ t−3]−de l ta41 [ t ] ∗yth [ t−4]759 −de l ta51 [ t ] ∗yth [ t−5]−de l ta61 [ t ] ∗yth [ t−6])^2+sumath1760 761 return ( ( ( l−p) / 2) ∗ l og ( sumath1/ ( l−p) ) )762 763 #Minimizando l a l o g v e r o s im i l i t u d .764 gamamini=optim ( c ( thre . hat1 [ 1 : ( 2 ∗p) ] ) , l ogve ro th )765 Gamma=gamamini$ va lue766 return (Gamma)767 768 #######################################################################769 ### El problema de minimización de l a menos l o g v e r o s im i l i t u d se770 ### r e a l i z a barr i endo sobre todos l o s v a l o r e s p o s i b l e ent r e e l c u an t i l771 ### 15% y 85% de l o s va l o r e s de l a va r i ab l e umbral .772 #######################################################################773 ### Re j i l l a donde se buscará e l parámetro Umbral774 #######################################################################775 r e j i l l a=seq ( quan t i l e ( zth , p=0.15) , quan t i l e ( zth , p=0.85) ,776 ( quan t i l e ( zth , p=0.85)−quan t i l e ( zth , p=0.15) ) / 1500)

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777 #######################################################################778 ### Número de p a r t i c i o n e s de l i n t e r v a l o779 #######################################################################780 l l= length ( r e j i l l a )781 est imadas . gammas=c (0 , l l )782 f o r ( i in 1 : l l )783 784 est imadas . gammas [ i ]=gamma. est imadas1 ( r e j i l l a [ i ] )785 786 #######################################################################787 ############ Graficamos l a g r á f i c a que muestra donde se a lcanza e l788 ############ va lo r minimo de l va l o r umbral789 #######################################################################790 png ( "TAR6−15−9.png" , width=15, he ight=8, un i t s=’ in ’ , r e s =300)791 p l o t ( r e j i l l a , est imadas . gammas , type=’ l ’ , c o l=’ blue ’ , x lab=expr e s s i on ( hat (

gamma) ) ,792 ylab="Gammas est imadas " ,main="Estimación de l parámetro Umbral" )793 gamma. minima<−which . min ( est imadas . gammas)794 gamma. estimada<− r e j i l l a [ gamma. minima ]795 legend ( " top r i gh t " , l egend=c ( s ub s t i t u t e ( hat (gamma) == group ( "" , l i s t ( x11 ) , ""

) ,796 l i s t ( x11=round (gamma. estimada , 4 ) ) ) , "" , exp r e s s i on ( phi =)) , lwd=3,797 co l=c ( "white " , "white " , "white " ) , bty="n" )798 #Gamma estimada usando l a func ión optim799 gamma. estimada800 gamma801 dev . o f f ( )802 proc . time ( )−ptm

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pronosticos en modelos con umbrales · si corriste con los de a pie, y te cansaron, ¿cómo...

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