UNIVERSIDAD TECNICA FEDERICO SANTA MARIA

Problemas para olimpiadas. Semestre II-2015:

Problemas propuestos

Jose Poblete Madrid

problemas propuestos

problema 1(Desigualdad-medio)Sea a, b, c numeros reales positivos tales que abc = 1 .Probar que:

1√b + 1/a + 1/2

+1√

c + 1/b + 1/2+

1√a + 1/c + 1/2

>√

2

problema 2(Ecuacion-medio) Resolver la ecuacion

x! + y! + z! = 2v!

donde x, y, z son enteros positivos

problema 3(Ecuacion-dificil)Determinar todos los enteros positivos n para los cuales existen k ≥ 2 numerosracionales positivos a1, a2, ...., ak que satisfacen:

a1 + a2 + ... + ak = a1 · a2 · ... · ak = n

problema 4(geometria-facil)Considerar un hexagono con la propiedad de que todos sus angulos son iguales,perosus lados no son necesariamente iguales .Demostrar que la suma de las longitudes de dos de sus lados consecutivoses igual a la suma de las longitudes de sus respectivos lados opuestos.

problema 5(geometria-medio)Considerar un conjunto finito d epuntos en el plano con la propiedad de que ladistancia entre cualesquiera dos de ellos es a lo mas 1.Demostrar que el conjunto de puntos puede ser encerrado en

un circulo de radio√32

problema 6 (dificil) Determinar todos lo enteros positivos a, b, c, d con a < b < c < d tales que :

1

a+

1

b+

1

c+

1

d

sea un entero.

1