projecte hermes - joaquim rigola i manel soria · 2019. 10. 11. · termodinamica i aplicar-ho a...

TERMODINAMICA (220015)

GRAU EN ENGINYERIA EN VEHICLESAEROESPACIALS (PLA 2010)

GRAU EN ENGINYERIA EN TECNOLOGIESAEROESPACIALS (PLA 2010)

CONTINGUT 3: El Primer Principi de laTermodinamica

Joaquim Rigola i Manel Soria

El primer principi de la Termodinamica

Objectiu

Formular el primer principi de laTermodinamica i aplicar-ho a sistemes

◮ 3.1- Treball en Termodinamica

◮ 3.2- El primer principi en sistemes tancats

◮ 3.3- Efectes termics

◮ 3.4- El primer principi en sistemes oberts

◮ 3.5- Aplicacions del primer principi ensistemes oberts

Treball en Termodinamica (1/4)

Es la transferencia d’energia a traves de lafrontera del sistema com a resultat d’una forcaque actua produint un desplacamentÆW = Fdx

on F es una forca generalitzada i dx undesplacament generalitzat.

∑ÆW = ∑ Fidxi


Si suposem que la forca i el desplacament tenen la mateixadireccio: ÆW = Fdx

El sımbol Æ s’utilitza enlloc de ∂ per indicar que el treball noes una diferencial exacta, i per tant no es una propietat delsistema, si no que depen del proces:

W =∫ 2

1ÆW 6= W2 −W1

En canvi,

∫ 2

1dV = V2 −V1

SIGNES:

◮ W > 0: treball fet per el sistema

◮ W < 0: treball fet sobre el sistema


◮ Proces quasiestatic: aquell en que tots elsestats es desvien de l’equilibri de manerainfinitesimal. Per tant, tots els estats pels quepassa el sistema es poden considerard’equilibri. Les equacions d’estat son valides acada punt del proces. Cada punt del proces espot representar a un diagrama Termodinamic(ex. Pv)

◮ Proces irreversible: Es diu que un proces esirreversible si quan un cop ha succeit, resultaimpossible retornar el sistema i l’entorn alsseus respectius estats inicials.

◮ Proces reversible: Es aquell proces on tantl’estat com l’entorn es poden retornar als seusestats inicials.


◮ Exemple de proces irreversible: Un objecteamb una certa velocitat inicial llisca per sobreuna superfıcie amb la que frega, fins quefinalment s’atura. Es converteix energiacinetica en calor i el proces no es pot invertirper recuperar-la.

◮ Exemple de proces reversible: Un pendul esmou, sense fregament, convertint energiapotencial en energia cinetica i a la inversa.

◮ Tots els processos ’real’ son no-quasiestatics iirreversibles.

Exemple de proces irreversible

El treball empleat en arrossegar dos blocs de fusta, amb unacerta friccio amb el terra, es dissipa de forma irreversible enforma de calor i provoca un augment mesurable en latemperatura del terra. S’aprecia que al bloc mes pesatl’augment de temperatura es mes gran, al ser major la forcade friccio (proporcional al coeficient de friccio i a la forcanormal) i per tant el treball. La foto es de Vollmer iMollmann, Infrared Thermal Imaging.

◮ Perque es irreversible aquest proces?

Treball d’expansio/compressio en processos

quasiestatics reversibles (1/2)

◮ Treball de frontera. Area de la corba delproces en un diagrama PV

◮ El treball de frontera en un proces qualsevoldepen de la trajectoria

◮ El treball de frontera en un cicle es l’areaencerclada

Figures del llibre de “Termodinamica” de K. Wark

Treball d’expansio/compressio en processos

quasiestatics reversibles (2/2)

◮ En el cas d’un cilindre pisto V = Ax → dV = Adx

(seccio constant)ÆW = Fdx = pAdx = pdVA mes tenim:

◮ Proces quasiestatic: Fext = Fint

◮ Nomes actuen les forces de pressio, pext = pintÆW = Fintdx = pintdV = Fextdx = pextdV

◮ dV > 0 → Expansio: elsistema fa treball.

◮ dV < 0 → Compressio: elsistema rep treball.

◮ Si dV = 0 (no hi ha canvis devolum), el treball es zero permes grans que siguin les forces

W12 =∫ 2

1pintdV =

∫ 2

1pextdV

Treball quasiestatic reversible: Casos

particulars (1/2)

◮ Suposant que les forces son unicamentdegudes a pressions (i.e., l’unic treball queactua es l’associat a la frontera mobil

ÆW = Fextdx = Fintdx = PintdV = PdV

◮ En aquests casos, el treball quasiestaticreversible es igual a:ÆW = PdV

Treball quasiestatic reversible: Casos

particulars (2/2)

◮ Proces isocoric (Vconstant):

W =∫ 2

1PdV = 0

◮ Proces isobaric (Pconstant):

W =∫ 3

2PdV = P(V3 − V2)

◮ Proces isotermic (T constant):

W =∫ 3

1PdV =

∫ 3

1

mrT

VdV = mrT [ln(V )]31

= mrT (ln(V3)− ln(V1))

= mrT ln

(

V3

V1

)

= mrT ln

(

P1

P3

)

Treball d’expansio quasiestatic irreversible

Fext = Fint − FfÆW = Fextdx = Fintdx − Ff dx

=Fint

AdV −

Ff

AdV

= pintdV −Ff

AdV

W =

∫ 2

1pintdV −

Ff

A(V2 − V1) =

∫ 2

1pdV −W f

El sistema dona menys treball: V2 > V1 , W f > 0 →W <

∫ 21 pdV

Treball de compressio quasiestatic

irreversible

Fext = Fint + FfÆW = Fextdx = Fintdx + Ff dx

=Fint

AdV +

Ff

AdV

= pintdV +Ff

AdV

W =∫ 2

1pintdV +

Ff

A(V2 − V1) =

∫ 2

1pdV +W f

El treball es mes negatiu (es a dir, necessita mes treball de

compressio): V2 < V1 , W f < 0 → W <∫ 21 pdV

En ambdos casos podem escriure:

W =∫ 2

1pdV − |W f |

Energia en Termodinamica (1/3)

◮ En general, un sistema tancat pot intercanviar treballi/o calor amb l’entorn.c

◮ Considerarem els sistemes adiabatics, que unicamentpoden intercanviar treball amb l’entorn.

◮ Hi ha moltes maneres de que un sistema tancatintercanvii treball amb el medi (per exemple: mecanic,electric).

◮ No obstant, s’ha observat que el treball net fet per osobre un sistema adiabatic unicament depen delsestats inicial i final.

Figures del llibre de “Termodinamica” de K. Wark


◮ El treball en procesos adiabatics es unafuncio d’estat, que anomenem ENERGIA,E.

◮ La variacio d’energia entre dos estatsentre els que s’ha produit un treballadiabatic es defineix com:

E2 − E1 = −Wad

◮ Wad es el treball per a qualsevol procesadiabatic entre els dos estats.


◮ Considerarem variacions d’energia degudesa tres tipus de contribucions:

1. Energia cinetica : associada al moviment

2. Energia potencial gravitatoria.

3. Els altres canvis d’energia s’inclouen en laanomenada ENERGIA INTERNA U

∆E = ∆Ec +∆Ep+∆U

◮ Per a analitzar el primer principi ensistemes tancats, unicament consideraremsignificatives les variacions d’energiainterna, ∆E = ∆U

U2 − U1 = −Wad

Calor en Termodinamica

◮ Introduirem la calor de forma indirecta

La calor en un proces qualsevol de 1 fins a 2, es ladiferencia entre U2 −U1 i el treball involucrat en elproces:

Q12 = (U2 −U1)− (−W12)

Si el proces entre 1 i 2 fos adiabatic, aleshores, Q12 = 0,U2 −U1 = −Wad

◮ La expressio anterior es el 1er principi per asistemes tancats

U2 −U1 = Q12 −W12

Tant Q12 com W12 depenen del proces. En formadiferencial, escriurem:

dU = ÆQ − ÆWCriteri de signes per a W i Q?

◮ El calor rebut pel sistema es positiu

◮ El treball realitzat pel sistema es positiu

Mecanismes de transferencia de calor (1/4)

◮ La calor es transfereix per tresmecanismes: conduccio, conveccio iradiacio

◮ Tots ells requereixen de la existencia d’unadiferencia de temperatures

◮ Tots ells es direccionen en el sentit de latemperatura mes alta cap a la mes baixa


◮ En un medi solid o en un fluid en repos, latransferencia de calor per conduccio Qcond

ve donada per la Llei de Fourier, on lacalor per unitat de superficie es

q = −�∇TOn � es la conductivitat termica del medi (aquesta propietatdepen de cada material i en general es funcio de latemperatura)El signe menys indica que el vector de calor es contrari algradient de temperatures

◮ El fluxe de calor per conduccio en una direcciosera

Qcond = −�A∆T

∆x=lim∆x→0

−�AdT

dx


◮ El fluxe de calor per conveccio entre unasuperfıcie solida a temperatura Ts i unmedi fluid en contacte a temperatura Tf

ve donat per la Llei de Newton

Q = hA(Ts − Tf )On h es el coeficient de transferencia de calor per conveccio.Aquest valor NO es ni una propietat del fluid ni unapropietat del solid, sino que depen de al forma del solid, dela velocitat del fluid, etc.


◮ Un cos a una temperatura Ts emet unaquatitat de calor en forma de radiaciotermica, donada per la Llei deStefan-Boltzman

Q = ��AT 4s

On � es una propietat de la superfıcie del medi solid, isempre val 0 < � < 1, mentre que � es la constant deStefan-Boltzman � = 5.67 · 10−8W /m2K 4.

Per altra banda, aquesta superfıcie interactua amb laradiacio que li arriba d’altres superficies, absorvint-ne unfactor � i reflexant-ne un factor 1−�

◮ La calor neta per radiacio entre un cos i lessuperfıcies internes d’un recinte molt mes granque l’envolta completament com l’aire sera:

Q = ��A(T 4s −T 4

aire)

Casos particulars del Primer Principi (1/3)

Processos a volum constantPer un treball d’expansio/compressio reversible,ÆW = PdV

dU = ÆQ − ÆW = ÆQ − PdV

Si el sistema no canvia de volum, dV = 0,

dU = ÆQv

En un sistema tancat i un proces a volum constant(sense intercanvi de treball), la calor es igual a lavariacio d’energia interna.


Processos a pressio constant. Entalpia

◮ Es defineix l’entalpia com unacombinacio de propietats (R. Mollier)

H = U + PVCom que H nomes depen de funcions d’estat,es per tant tambe una funcio d’estat.En un proces arbitrari, les variacions d’entalpia espoden calcular com:

dH = dU +PdV +VdP

Si la pressio es constant, dP = 0. Si el treball esreversible, ÆW = PdV i aleshores:dH = dU + ÆW = ÆQ − ÆW + ÆW = ÆQp

dH = ÆQp

En un sistema tancat i un proces a pressioconstant, la calor es igual a la variacio d’entalpia.


Cicles

◮ Un cicle es un proces que comenca i acaba almateix estat.

◮ La variacio de qualsevol funcio d’estat al llargd’un cicle es nul.la.

◮ Per tant en aquests casos, ∆U = ∆H = 0

Aplicant el primer principi en un cicle, tenim

Qcicle −Wcicle = ∆Ucicle = 0

Usualment, el considerarem el cicle descomposat enuna serie de procesos, i escriurem la expressioanterior com:

ΣcicleQ = ΣcicleW

Capacitat calorıfica (1/2)

Considerem un sistema tancat que experimenta un proces enel que absorveix una quantitat de calor Q12. Podem observardos fenomens diferents segons la regio del diagrama PVT enla que ens trobem:

◮ Zones monofasiques (ex., gas): la seva temperaturavaria passant des de T1 a T2. El calor rebuts’anomena CALOR SENSIBLE

◮ Zones d’equilibri de fases (ex. lıquid-vapor): no variala temperatura sino la fraccio de cada fase (ex. eltıtol). El calor rebut s’anomena CALOR LATENT

En el cas de que el calor rebut sigui SENSIBLE, s’anomenacapacitat calorıfica mitja al quocient:

C =Q12

T2 −T1

La capacitat calorıfica es: C = lim∆T→0Q∆T = ÆQ

dT

C =ÆQdT

La capacitat calorıfica especıfica es: c = Cm

[ JkgK

]No te sentit parlar de capacitat calorıfica quan la calor eslatent.

Capacitat calorıfica (2/2)

Segons quin sigui el tipus de proces, per la mateixa quantitatde calor Q12, la variacio de temperatures sera diferent.Casos particulars:

◮ Capacitat calorıfica en processos a pressio constant

CP =ÆQP

dT=

(

∂H∂T

)

P

◮ Capacitat calorıfica en processos a volum constant

CV =ÆQV

dT=

(

∂U∂T

)

V

Expressions generals per a dU i dH

◮ Considerem U = U(T ,V )

dU =(

∂U∂T

)

VdT +

(

∂U∂V

)

TdV = CV dT +

(

∂U∂V

)

TdV

◮ Considerem H = U(T ,P)

dH =(

∂H∂T

)

PdT +

(

∂H∂P

)

TdP = CPdT +

(

∂H∂P

)

TdP

Experiment de Joule. Variacions d’U i H

en gasos ideals. Gasos perfectes (1/6)

Experiment de JouleDos recipients comunicats per una valvula tancadas’introdueixen en un bany d’aigua. Un d’ells esta ple d’ungas a pressio P i l’altre buit. El bany d’aigua es adiabatic.S’espera a que el conjunt arribi a la temperatura d’equilibriT .

S’obre la valvula, fins que la pressio als dos recipientss’iguala, i s’espera a que el recipient recuperi l’estatd’equilibri. Aleshores s’observa la variacio de temperatura del’aigua.Si es repeteix l’experiment per pressions cada cop mesbaixes, s’observa que la la variacio de la temperatura del’aigua tendeix a zero quan la pressio inicial tendeix a cero.



Suposem que estem en un cas on la temperatura de l’aiguaes zero.Apliquem el primer principi a l’aigua:∆U = Q −W

◮ W = 0 ja que el volum del recipient que conte l’aiguano ha variat.

◮ ∆U = 0 ja que l’aigua no ha variat ni la pressio ni latemperatura.

◮ Aleshores, la calor tranferida als dos recipients ha deser tambe zero.

Apliquem el primer principi a l’aire:∆U = Q −W

◮ El treball es zero perque l’expansio es realitza sensevencer cap forca exterior.

◮ La calor es zero per que si no, la temperatura del’aigua hauria variat.

Per tant, tenim un gas a pressio baixa, en el que P i V hanvariat, pero ∆U = 0

ConclusioEn un gas ideal U no depen ni de P ni de V sino unicamentde T .



dUgeneral= CV dT +

(

∂U∂V

)

T

dVg .i .= CV dT

dUg .i .= CV dT

Donat que H = U + PV = U + nRT ,l’entalpia H d’un gas ideal tambe es funciounicament de T :

dHgeneral= CPdT +

(

∂H∂P

)

T

dPg .i .= CPdT (1)

dHg .i .= CPdT (2)



◮ Model de GAS IDEAL

PV = nRT

du = cV dT

dh = cPdT

(on cP i cV depenen de T )En realitat, es pot arribar a la segona condicioa partir de la primera sense necesitat de fer capexperiment.



◮ Relacio de Mayer

Per a un gas ideal,h = u(T ) + Pv = u(T ) +RT

Derivant respecte de T ,

dh

dT=

du

dT+R

cp = cv +R

cp − cv = R



◮ Model de GAS PERFECTE

PV = nRT

du = cV dT

dh = cPdT

(on cP i cV NO depenen de T )Aixo ens permet escriure: ∆u = cV∆T ,∆h = cP∆TEls valors de cP i cV per a gasos perfectes monoatomics idiatomics es poden determinar analıticament:

◮ Gasos monoatomics cP = 52R, cV = 3

2R, = CPCV

= 1.66

◮ Gasos diatomics cP = 72R, cV = 5

2R, = CPCV

= 1.4

Processos adiabatics reversibles en gasos

perfectes (1/3)

Suposem que tenim un gas perfecte en un sistema tancat iadiabatic. El sistema experimenta un proces reversible entreels estats 1 i 2. Anem a determinar una relacio entre P1T1v1i P2T2v2.

◮ 1er PPI, adiabatic, reversible:

du = Æq− Æw = −Æw = −Pdv

◮ Gas perfecte:

du = cV dT

◮ A partir de la relacio de Mayer cp − cv = R

i utilitzant =cpcv, podem posar cv = R −1 , aleshores:

du =R − 1

dT

Combinant la primera expressio i la ultima, tenim que:

−Pdv =R − 1

dT


perfectes (2/3)

−Pdv =R − 1

dT

−RT

vdv =

R − 1dT

−Rdv

v=

R − 1

dT

T

− ( − 1)dv

v=

dT

T

Integrem entre 1 i 2:

−∫ 2

1( − 1)

dv

v=

∫ 2

1

dT

T

− ( − 1) ln

(

v2

v1

)

= ln

(

T2

T1

)

ln (v2/v1)−( −1) = ln (T2/T1)

(v1/v2) −1 = (T2/T1)

T1v −11 = T2v

−12


perfectes (3/3)

Utilitzant l’equacio termica d’estat del gas idealPV = nRT tenim que:

T1V −11 = T2V

−12

T1P1− 1 = T2P

1− 2

P1V 1 = P2V

2

El treball es pot posar com:

w = −∆u = −cv (T2 −T1)

= −R − 1

(T2 − T1)

=1

1− (P2v2 − P1v1)

Processos adiabatics i isotermics de gasos

perfectes. Representacio en diagrames Pv(1/2)

Suposem un gas perfecte que experimentaprocessos reversibles adiabatics i isoterms en un enun sistema tancat. Representem els processos enun diagrama Pv i volem saber com son les corbesd’aquests processos.

◮ Isoterm: Pv = RT = C , P = C/v

◮ Adiabatic: Pv = C , P = C/v Quina de les dues corbes te major pendent ?

Processos adiabatics i isotermics de gasos

perfectes. Representacio en diagrames Pv(2/2)

◮ Isoterma:

(

∂P∂v

)

T

=∂

∂v

(

C

v

)

= −C

v2= −

Pv

v2= −

P

v

◮ Adiabatica:

(

∂P∂v

)

ad

=∂

∂v

(

C

v ) = − Cv +1

P=C/v= − P

v

Per tant, el pendent de la adiabatica es vegadesel de la isoterma:

(

∂P∂v

)

ad

= (

∂P∂v

)

T

Processos politropics (1/7)

En un gas ideal les equacions que descriuen elsprocessos mostren:

◮ Pressio constant: P = C ; Es pot escriurecom: PV 0 = C

◮ Isoterm: PV 1 = C

◮ Adiabatic: PV = C

◮ Isocor: V = C ; Es pot escriure comLimn→∞PV n = C


Els procesos politropics son quasiestaticsreversibles de gasos perfectes, on l’equacio quedescriu el proces depen de l’ındex de politropian:

PV n = C TV n−1 = C TP1−nn = C

Donats dos punts 1 i 2 en un diagrama PV , espot trobar una politropica amb un cert ındex n

que els uneixi. Aixo no implica que dos puntsestiguin units per un unic proces reversible, siescollim un punt 3, podem anar de 1 a 3 i de 3a 2 per politropiques.

◮ El pendent d’una politropica en undiagrama PV es:

(

∂P∂v

)

pol

=∂

∂v

(

C

vn

)

= −nC

vn+1= −n

P

v


◮ Calor absorbit/cedit en un procespolitropic

Definim la capacitat calorifica d’un proces politropic com:

c =ÆqdT

Per als procesos politropics, c es una funcio de l’index depolitropia n. Per determinar-la, hem de relacionar la variaciode temperatures amb el calor en un proces politropic. En ungas perfecte que experimenta un proces reversible:

du = Æq− ÆwcvdT = cdT −Pdv

(cv − c)dT = −Pdv = −RT

vdv

cv − c

R

dT

T= −

dv

v

lnT2

T1= ln

(

v1

v2

)R

cv−c

T2vR

cv−c

2 = T1vR

cv−c

1


◮ Calor absorbit/cedit en un procespolitropic

Ara observem que la definicio d’un proces politropic es:Tvn−1 = C

n =R

cv − c+1 =

R + cv − c

cv − c=

cp − c

cv − c

Per tant, podem relacionar la c d’un proces politropic ambl’ındex de politropia n

n =cp − c

cv − c


◮ Relacio de c versus n en processospolitropics

c = cvn− n− 1

◮ n = 0 (pressio constant),Pv0 = P = C

Aleshores, c = cv = cp iÆq = cpdT

◮ n → 1 (isoterm), PV 1 = C

Aleshores, c → ∞, es a dir latemperatura no varia per mesgran que sigui el flux de calor.

◮ n = , (adiabatic), PV = C

Aleshores, c = 0, es a dirÆq = 0 encara que latemperatura canvi.

◮ n → ∞, (isocor), V = C

Alesores, c → cv i Æq = cvdT


◮ Calor en un proces politropicÆq = cdT

q =∫ 2

1cdT = cv

n− n− 1

∆T (3)

◮ Treball en un proces politropic

w12 =∫ 2

1Pdv =

∫ 2

1

c

vndv =

1

1− n(P2v2 −P1v1) (4)

o be, aplicant el primer ppi, podem calcular el treball a partirdel calor:Æw = Æq − du = cdT − cvdT = (c − cv )dT

w = (c − cv )∆T

w = cv1− n− 1

∆T

◮ Relacio entre calor i treball en un proces politropic

q

w=

cvn− n−1∆T

cv1− n−1∆T

= − n − 1

(5)


◮ Significat del signe negatiu de c

Per a valors de n entre n = 1 (isoterm) i n = , (adiabatic)c es negatiu. Es a dir, fluxes de calors entrants al sistemaprovoquen disminucions de temperatura, i a la inversa. Quinsentit te aixo ?Estudiem el valor de q/w per valors de n entre 1 i .El 1er PPI als procesos amb n entre 1 i , que tenenrelacions q/w entre 1 i 0:

∆u = q −w

∆u

w=

q

w− 1

∆u

w= [1 : 0]− 1 = [0 : −1]

∆u = [0 : −w ]

cv∆T = [0 : −w ]Si suposem que el sistema fa treball w > 0, rebra calorq/w > 0 → q > 0, la seva energia interna disminuira∆u ≤ 0 i la seva temperatura tambe, ∆T < 0. El sistema fames treball que la calor rebuda, disminuınt de la seva energiainterna.

Equilibri local

Per un sistema tancat en equilibri lespropietats son uniformes. En el cas de sistemesoberts aixo no es pot aplica. Les propietats delsistema NO son uniformes: depenen de laposicio i del temps.

Hipotesi de l’equilibri local

A cada instant la variacio de qualsevolpropietat en la direccio del fluxe es prou lentaper poder suposar que localment hi haequilibri. Aquesta suposicio es equivalent a lade proces quasi-estatic en sistemes tancats.

Equacio de conservacio de la massa (1/3)

Considerem un sistema obert (o volum de control) i unaquantitat fixa de massa m.

◮ A l’instant t, una partd’aquesta massa esta a puntd’entrar: me i una part mvc (t)esta a dintre del sistema

◮ A l’instant t +∆t una partmvc (t +∆t) esta a dintre delsistema i una part ms acabade sortir.

S’ha de complir:

m = me +mvc (t) = ms +mvc (t +∆t)

mvc (t +∆t)−mvc (t) = me −ms

mvc (t +∆t)−mvc (t)

∆t=

me

∆t−

ms

∆t


Considerem un sistema obert (o volum de control) i unaquantitat fixa de massa m. Si fem el lımit quan ∆t → 0, ensqueda:

dmvc

dt= me − ms

On me ,ms indiquen les quantitats de massa entrant/sortintper unitat de temps. que anomenarem fluxes massics.En general, hi haura mes d’una entrada/sortida:

dmvc

dt= Σeme −Σs ms (6)

Aquesta equacio, que expresa la conservacio de la massa enun sistema obert tambe s’anomena equacio de continuitatIntegrant al llarg d’un increment de temps ∆t,

∆mvc = Σeme −Σsms

Conservacio de la massa en flux estacionariEn flux estacionari, les propietats del sistema no varien alllarg del temps. En particular la massa del sistema mvc . Pertant,

Σeme = Σsms


◮ Avaluacio dels cabals massics

El cabal massic s’hauria d’avaluar considerant que lavelocitat no es la mateixa a cada punt de l’entrada i niperpendicular a la superfıcie:

m =∫

A�c · dA

On c es el vector velocitat i dA es el vector diferencial normala la superficie a cada punt. Si suposem que la velocitat esperpendicular a la frontera i igual a tots els punts, tindrem:

m = �cAEn un sistema obert en regim estacionari, amb unicamentuna entrada i una sortida, tindrem:�eceAe = �scsAs

◮ Cabal massic, massa per unitat de temps, �cA, kg/s◮ Cabal volumetric, volum per unitat de temps, cA,

m3/s

En un sistema en flux estacionari, amb una entrada i unasortida, la equacio de continuitat es �eceAe = �scsAs , peroceAe 6= csAs .

Primer principi en sistemes oberts (1/5)

Energia total que te la massa estudiada m:

E(t) = Evc (t) +me(ue +c2e2

+ gze)

E(t +∆t) = Evc (t +∆t) +ms (us +c2s2

+ gzs)

Com que la massa considerada no varia, podem aplicar-li el1er principi per a sistemes tancats:

E(t +∆t)− E(t) = Q −W

En qualsevol cas NO podem dir queEvc (t +∆t)− Evc (t) = Q −W


Evc (t +∆t) +ms (us +c2s2

+ gzs)

−Evc (t)−me (ue +c2e2

+ gze ) = Q −W

Evc (t +∆t)− Evc (t) +ms(us +c2s2

+ gzs)

−me(ue +c2e2

+ gze) = Q −W

Si dividim per ∆t i prenem el lımit quan ∆t → 0, alsehores:

dEvc

dt+ ms(us +

c2s2

+ gzs )− me(ue +c2e2

+ gze) = Q − W


Treball en sistemes obertsEl terme de treball de la eq. anterior inclou tot el treball fetper la massa m a la que s’hi ha aplicat el primer principi.Aquest terme inclou 3 tipus de treball:

◮ Treball del volum de control wvc : El treball delvolum de control al desplacar-se les seves parets (comen el cas d’un sistema tancat).

◮ Treball axial wa : treball associat a la rotacio d’uneix.

◮ Treball de fluxe: treball associat a posar/treure unaquantitat de massa al volum de control.

Æwfluxe = Fdx


La velocitat c amb la que esta entrant la massa es:

c =dx

dt

Per tant, Æwfluxe = Fdx = PAcdt

El terme �Ac es el cabal massic:�Ac =dm

dt→ Ac =

1� dm

dt= v

dm

dtÆwfluxe = Pvdm

dtdt = Pvdm

A la entrada, el medi fa treball sobre el sistema:(Æwfluxe )e = −Pevedme

A la sortida, el sistema fa treball sobre el medi:(Æwfluxe )s = Psvsdms

Per tant, el terme de treball total queda:Æw = Psvsdms −Pevedme + Æwvc + Æwa


I la expressio del primer principi per casos amb una solaentrada i sortida, queda:

dEvc

dt+ ms

(

us +c2s2

+ gzs +Psvs

)

−me

(

ue +c2e2

+ gze +Peve

)

=

Q − Wa − Wvc

En funcio de la entalpia:

dEvc

dt+ ms

(

hs +c2s2

+ gzs

)

−me

(

he +c2e2

+ gze

)

=

Q − Wa − Wvc

En general, hi haura diverses entrades/sortides:

dEvc

dt+ ∑

s

[

ms

(

hs +c2s2

+ gzs

)]

−∑e

[

me

(

he +c2e2

+ gze

)]

=

Q − Wa − Wvc

Primer principi en sistemes oberts de flux

estacionari

Per a flux no estacionari, amb una entrada i una sortida,tenim:

dEvc

dt+ ∑

s

[

ms

(

hs +c2s2

+ gzs

)]

−∑e

[

me

(

he +c2e2

+ gze

)]

=

Q − Wa − Wvc

Per al flux estacionari, hi ha diferents termes que son 0:

◮ Evc es constant, per tant, dEvcdt

= 0

◮ Wvc = 0 ja que el volum del sistema no pot variar

◮ Per la eq. de continuitat, (�cA)e = (�cA)e = m

Per tant tenim,

Q − Wa = m

(

∆h+∆c2

2+ g∆z

)

On ∆h = hs − he , ∆c2 = c2s − c2e , ∆z = zs − ze .Dividint per m, tindrem la expressio anterior per unitat demassa:

q −wa = ∆h+∆c2

2+ g∆z

Equacions PvT per sistems oberts de flux

estacionari

Per a flux no estacionari, amb una entrada i una sortida,tenim:Per processos adiabatics, reversibles i de gas perfecte

pv = ctn

T v −1 = ctn

T p(1− )/ = ctn

wa = −∆h = cp(T1 −T2)

wa =

1− (p2 v2 − p1v1)

Per processos politropicspvn = ctn

T vn−1 = ctn

T p(1−n)/n = ctn

n =cp − c

cv − cc = cv

n− n− 1

q = c∆T wa = (c − cp)∆T

wa =n

1− n(p2v2 − p1v1)

3.5 APLICACIONS DEL PRIMER

PRINCIPI EN SISTEMES OBERTS (1/3)

projecte hermes - joaquim rigola i manel soria · 2019. 10. 11. · termodinamica i aplicar-ho a...

Documents