Término general de una progrezión aritmética

La fórmula del término general de una progresión aritmética (an) se encuentra sin más que observar que:

an = a1 + (n - 1) r

Si la razón de una progresión aritmética es positiva, la progresión es creciente; es decir cada término es mayor que el anterior.

Si la razón de una progresión aritmética es cero, la progresión es constante, es decir, tiene todos sus términos iguales.

Si la razón de una progresión aritmética es negativa, la progresión es decreciente, es decir, cada término es menor que el anterior.

Ejercicio: cálculo del término general de una progresión aritmética

1.- Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9, ... ¿Cuál es su término general?

Resolución:

an = a1 + (n - 1) r Se trata de una progresión aritmética de diferencia

an = 1 + (n - 1) 2 r = 2 y primer término a1 = 1. El término general es, por tanto

an = 2n-1

2.- determinar el 57º término de la progresión 13,1 ,53,73,3 ,113,………. la razón se determina 1- -

13

= 23

Datos operación

a1 =13 an = a1 + (n - 1) r planteamos la formula

an = ¿? an = 13 + (57 - 1)

23

remplazamos los datos conocidos

n = 57 an =1133 encontramos los resultados

r =23

3.- Calcular a qué altura sobre el suelo se encuentra una persona que vive en un 6º piso, sabiendo que los bajos del edificio tienen una altura de 4 m y que entre cada dos pisos consecutivos hay un desnivel de 2,8 m.

Resolución: Así pues, se está en el caso de una progresión aritmética en la que el primer término es 4 (altura a la que se encuentra el primer piso) y la diferencia es 2,8.

an = a1 + (n - 1) r Es claro que si se considera la sucesión de las alturas de los pisos, la razón

an = 4 + (n - 1) · 2,8 Entre cada vivienda y la anterior es constante e igual a 2,8 m.

a6 = 4 + (6 - 1) · 2,8 El problema se resuelve calculando el término 6º

a6= 18

4.- determinar el 1º termino cuando 135 es el 9º termino ………………………108, 117 , 126, 135

Datos operación

a1 =¿? an = a1 + (n - 1) r planteamos la formula

an = 135 a1 = an - (n - 1) r despejamos la variable 1º termino

n = 9 a1 =135- (9 - 1) 9 remplazamos los datos conocidos

r =135-126=9 a1= 63 encontramos los resultados

Interpolación de medios aritméticos

an = a1 + (n - 1) r se despeja la razón para encontrar el 2º ,3º,4º……termino

r = an−a1n−1

Ejercicio: interpolación de medios aritméticos

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25.

Resolución:

La progresión es: -18, a1, a2, a3, a4, a5, 25.

Aplicando la fórmula obtenida con a = -18 y b = 25.

r = an−a1n−1 sustituimos los datos en la formula

r = 25+187−1 y encontramos la razón de la progresión

r = 436

Sumamos la razón a cada

Termino para encontrar en siguiente número

La progresión aritmética que se buscaba es:

Cantidad de términos en una progresión

an = a1 + (n - 1) r se despeja “n” para encontrar la cantidad de termino

n = an−a1r

+1 donde el valor de n deber ser un numero entero

Ejemplo

Cuantos números tiene las progresión si a1 = 1 y an = 45 y razón = 2

Datos operación

a1 = 1 n = an−a1r +1 planteamos la formula

an = 45 n= 45−12 +1 remplazamos los datos conocidos

n = ¿? n = 23 encontramos los resultados

r = 2

Términos equidistantes de una progresión aritmética

El interés de las progresiones aritméticas no acaba en el cálculo del término general. Estudiando más detalladamente algunos modelos de progresiones aritméticas, se pueden deducir propiedades de enorme interés:

Estos dos resultados son iguales por ser r + s = u + v.

Ejercicio: cálculo de términos equidistantes en una progresión aritmética

En una progresión aritmética se sabe que a1 = -2,…, a32 = 91, a16 = 43. Encontrar a17.

Resolución:

Puesto que 1 + 32 = 16 + 17

33 = 33, por la propiedad de los términos equidistantes,

a1 + a32 = a16 + a17

-2 + 91 = 43 + a17 despejo como una ecuación normal

a17 = 46

Interpolación de medios aritméticos

an = a1 + (n - 1) r se despeja la razón para encontrar el 2º ,3º,4º……termino

r = an−a1n−1

Suma de términos consecutivos de una progresión aritmética

Esta fórmula no sólo sirve para sumar los primeros términos de una progresión aritmética sino para sumar cualesquiera n términos consecutivos.

Es muy conocida la anécdota según la cual a Carl Frederich Gauss (1777-1855), cuando contaba con diez años de edad, le propusieron en la escuela primaria de su aldea natal que sumara los 100 primeros números naturales. Ante el asombro del profesor, apenas éste había acabado de dictar el problema, Gauss dio la solución: 5 050.

Lo que este insigne matemático observó fue que la suma 1 + 100 era igual a

2 + 99, igual a 3 + 98, ... etc. es decir, sólo tuvo que darse cuenta de que contaba con 50 parejas de números, cada una de las cuales sumaba 101. Así, se limitó a multiplicar: 50 · 101 = 5 050.

Ejercicio: suma de términos de una progresión aritmética

Sumar los veinte primeros términos de la progresión: -5, 4, 13, 22, 31, 40

Resolución:

La razón es r = 9 pero se requiere el termino 20º

a20 = -5 + (20 - 1) · 9 así que encontramos el termino 20º por formula de ultimo termino

a20 = -5 + 19·9

a20 = 166 luego remplazo el ultimo termino en la sumatoria de términos

y obtengo el resultado

S20 = 1610 es el resultado del problema

Dada la progresión aritmética 8, 3, -2, -7, -12,..., sumar los términos comprendidos entre a24 y a36.

Resolución:

La razón r = -5.

an = a1 + (n - 1) utilizando la formula encontramos el termino 24º y 36º

a24 = 8 + 23 · (-5) = -107

a36 = 8 + 35 · (-5) = -167

Entre ambos hay 36 - 23 = 13 términos.

¿Cuántos términos de la progresión -11, -4, 3, 10, ... hay que tomar para que su suma sea 570?

Resolución:

Datos : Se sabe que

a1 = -11,

d = 7

an = -11 + (n - 1) 7 = 7n - 18

Sn = 570.

Se ha de calcular n:

despejar es “n”

1140 = 7n2 - 29n

7n2 - 29n - 1140 = 0

Se resuelve la ecuación de 2.º grado: n= −b±√b2−4∗a∗c2∗a

Practico

Ejercicio: cálculo del término general de una progresión aritmética

Sea la sucesión 1, 3, 5, 7, 9,.............. ¿Cuál es su término general?

Sea la sucesión 2, 4, 6, 8, 10,……….. ¿Cuál es su término general?

Sea la sucesión 1, 4, 7, 10,…………...¿Cuál es su término general?

Sea la sucesión 12,56,76,32,116

,................¿Cuál es su término general?

Sea la sucesión 1, 74,52,132

, ..................¿Cuál es su término general?

Sea la sucesión 2, 103,143,6 ,223

, ............¿Cuál es su término general?

Sea la sucesión 2, 7, 12, 17, ............¿Cuál es su término general?

Sea la sucesión 6, 3, 0, -3, -6, -9, , ... ¿Cuál es su término general?

Hallar el término 30º de la progresión 1, 4, 7, 10,………….

Hallar el término 30º de la progresión 2, 7, 12, 17………..

Hallar el término 30º de la progresión 1, 3, 5, 7, 9,..............

Hallar el término 30º de la progresión 2, 4, 6, 8, 10……….

Hallar el término 30º de la progresión 6, 3, 0, -3, -6, -9……..

Hallar el término 30º de la progresión 2, 103,143,6 ,223

,…………

Hallar el término 30º de la progresión 1, 74,52,132

,…………..

Hallar el término 30º de la progresión 12,56,76,32,116

,................

Hallar el término 1º de la progresión si 23º termino=54 …………………,45, 48, 51, 54

Hallar el término 1º de la progresión si 15º termino=32 …………………, 23, 26, 29, 32

Hallar el término 1º de la progresión si 32º termino=144 …………………, 123, 130, 137, 144

Hallar el término 1º de la progresión si 7º termino=50 …………………, 35, 40, 45, 50

Hallar el término 1º de la progresión si 20º termino=530 …………………,455, 480, 505, 530

Hallar el término 1º de la progresión si 14º termino= 132

…………………,92,5 ,112,6 ,132

Hallar el término 1º de la progresión si 24º termino= 376

…………………,53,196,143,376

Hallar el término 1º de la progresión si 43º termino= 334

………………, 912,134,234,334

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25

Interpolar dos medios aritméticos entre 3 y 12

Interpolar diez medios aritméticos entre 2 y 52

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25

Interpolar cinco medios aritméticos entre -18 y 25

Ejercicio: cálculo de términos equidistantes en una progresión aritmética

En una progresión aritmética se sabe que a1 = -2,…, a32 = 91, y a16 = 43. Encontrar a17.

En una progresión aritmética se sabe que a11 = 2,…, a9 = 41, y a13 = 56. Encontrar a7

En una progresión aritmética se sabe que a3 = 3,…, a13 = 91, y a11 = 85. Encontrar a5

En una progresión aritmética se sabe que a2 = -4,…, a12 = 11, y a9 = 7. Encontrar a5.

En una progresión aritmética se sabe que a3 = 12,…, a7 = 34, y a6 = 25. Encontrar a4.

En una progresión aritmética se sabe que a5 = 14,…, a12 = 45, y a9 = 25. Encontrar a8.

En una progresión aritmética se sabe que a7 = 23,…, a23 = 56, y a11 = 34. Encontrar a19.

En una progresión aritmética se sabe que a8 = 45…, a32=79, y a22 = 56. Encontrar a18.