progresiones aritmetica y geometrica
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Matemáticas para las finanzas
PROGRESIONES
ARITMETICA Y GEOMETRICA
Progresiones• Conocida como una sucesión es un conjunto infinito de
números ordenados que tienen un comportamiento comúnentre si.
• A los números que forman la sucesión se les llama términos ytodas las sucesiones tienen un primer término seguido de otrosque cumplen con una regla entre ellos.
• Una sucesión se puede representar mediante una expresiónque permite conocer el valor de cada término sabiendo ellugar (n) que ocupa.
• Estudiaremos las más conocidas:Progresión Aritmética y Progresión Geométrica
Ejemplos• A) 1, 6, 11, 16……
• B) 45, 40, 35, 30
• C) 10, 20, 40, 80……
• D) 24, 12, 6, 3
• ¿Cuáles progresiones crecen y cuales decrecen?
• ¿Qué operaciones aritméticas corresponde a cadaprogresión?
Progresión Aritmética Una progresión aritmética es una sucesión de
números llamados términos, en la que cualquier
término es el resultado de sumar al anterior una
cantidad constante (positiva o negativa), llamada
diferencia común y se calcula como:
Un término n menos el que le antecede
1 nn aad
Progresión Aritmética 1, 6, 11, 16… donde se observa que la cantidad
constante que se suma es 5:
1 + 5 = 6
6 + 5 = 11
11 + 5 = 16
Y en 45, 42, 39, 36 se observa que la cantidad que se suma
es: -3
45 - 3 = 42
42 - 3 = 39
39 - 3 = 36
Progresión Aritmética• Para calcular el enésimo término de cualquier
progresión aritmética utilizamos:
𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 𝑑
• Donde:• 𝑎𝑛 = último término
• n = número de términos
• 𝑎1 = primer término
• d = la diferencia común
Ejemplo:
4, 8, 12, 16, 20, 24
El primer termino es (𝑎1) es 4.
La diferencia común (d) es 4, pues 8 – 4 = 4, 12 – 4 = 4.
El número de términos (n) es 6.
Primer termino: 𝑎1 = 4
Segundo termino: 𝑎1 + d = 4 + 4 = 8
Tercer termino: 𝑎1 + 2d = 4 + 2(4) = 12
Cuarto termino: 𝑎1 + 3d = 4 + 3(4) = 16
Quinto termino: 𝑎1 + 4d = 4 + 4(4) = 20
Sexto termino: 𝑎1 + 5d = 4 + 5(4) = 24
Progresión Aritmética• Además la suma de los n primeros términos de este tipo de
sucesiones se puede calcular como:
𝑆 =𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
• Donde:
• S = es la suma de los n términos• 𝑎𝑛 = último término
• n = número de términos
• 𝑎1 = primer término
• d = la diferencia común
Progresión Geométrica• Es una sucesión de números llamados
términos, de tal forma que cada uno deellos, después del primero, se obtienemultiplicando el termino anterior por unacantidad constante (entero o fracción,positivo o negativo) llamada razón común.
1
n
n
aa
r
Progresión Geométrica• 6/3, 12/3, 24/3….
• La razón común es r = 2 dado que:
• 6/3 * 2 = 12/3• 12/3 * 2 = 24/3
• Los elementos de una progresión geométrica son:
• 𝑎1 = primer término
• r = la razón común• 𝑎𝑛 = último término o enésimo termino
• n = número de términos
Progresión Geométrica• Para calcular el enésimo término tenemos:
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑟𝑛−1
• Donde :
• 𝑎1 = primer término
• r = la razón común• 𝑎𝑛 = último término o enésimo termino
• n = número de términos
Progresión Geométrica• La suma de los n primeros términos se podría
calcular como:
𝑆 =𝑎1(𝑟
𝑛 − 1)
𝑟 − 1
• Cuando r ≠ 1
• 𝑎1 = primer término
• r = la razón común
• n = número de términos
FIN