Una progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno

de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la

progresión. Se suele reservar el término progresióncuando la secuencia tiene una

cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de

términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 3

45 = 15 × 3

135 = 45 × 3

405 = 135 × 3

1215 = 405 × 3

3645 = 1215 × 3

y así sucesivamente.

Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Índice

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1 Ejemplos de progresiones geométricas

2 Suma de términos de una progresión geométrica

o 2.1 Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

o 2.2 Suma de infinitos términos de una progresión geométrica

3 Véase también

4 Enlaces externos

Ejemplos de progresiones geométricas[editar · editar fuente]

La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5,

10, 20, 40.

La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es

una progresión geométrica con razón 1/4.

La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -

24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión

alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.

Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7

Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas

referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente

que en la definición.

Suma de términos de una progresión geométrica[editar · editar fuente]

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica[editar · editar fuente]

Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica

ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se

obtiene el término siguiente de esa progresión,

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

Sn r =a2+a3+ ... + an-1 + an + an r

Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an

_______________________________

Sn r - Sn = - a1 + an r

o lo que es lo mismo,

Sn ( r - 1 ) = an r - a1

Si se despeja Sn,

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se

conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede

expresar el término general de la progresión an como

Así, al sustituirlo en la fórmula anterior se tiene lo siguiente:

con lo que se obtiene la siguiente igualdad:

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión

geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

Si queremos calcular el resultado de una suma de n términos consecutivos, pero sin que empiece

en cero, debemos utilizar la expresión:

Suma de infinitos términos de una progresión geométrica[editar · editar fuente]

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad , la suma de los infinitos términos

decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si ,

tiende hacia 0, de modo que:

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la

unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:

MEDIDAS GEOMETRICAS

La geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra

y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de

las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que

incluyen paralelas,perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a

instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafoo el sistema de posicionamiento global (en

especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con

lasecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su

aplicación práctica en física

aplicada, mecánica,arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil

en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.

Índice

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1 Historia

2 Axiomas, definiciones y teoremas

o 2.1 Axiomas

3 Topología y geometría

4 Tipos de geometría

o 4.1 Otros tipos de geometría

5 Véase también

6 Enlaces externos

Historia[editar · editar fuente]

Artículo principal: Historia de la geometría.

Fragmentos de los Elementos de Euclides en los Papiros de Oxirrinco.

La geometría es una de las ciencias más antiguas. Inicialmente constituida en un cuerpo de

conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo

Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y DiodoroSículo.Euclides,

en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una

norma a seguir durante muchos siglos: lageometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y

planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas

geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y

la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas

planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La

geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que

analizanEuler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

Axiomas, definiciones y teoremas[editar · editar fuente]

Un teorema descubierto y probado por Arquímedes: una esfera tiene 2/3 delvolumen de su cilindrocircunscrito.

La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un

método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas

axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David

Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo

sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus

relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus

relaciones se denominan modelos.

Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material.

Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos

los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del

modelo tradicional.

Axiomas[editar · editar fuente]

La geometría esférica es un ejemplo de geometría no euclidiana.

En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos,

definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto

(el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al

analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o

la hiperbólica de NikoláiLobachevski.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en

el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o

planos. puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

Topología y geometría[editar · editar fuente]

El nudo de trébol.

El campo de la topología, que tuvo un gran desarrollo en el siglo XX, es en sentido técnico un tipo

de geometría transformacional, en que las transformaciones que preservan las propiedades de las

figuras son los homeomorfismos (por ejemplo, esto difiere de la geometría métrica, en que las

transformaciones que no alteran las propiedades de las figuras son las isometrías). Esto ha sido

frecuentemente expreso en la forma del dicho "la topología es la geometría de la página de goma".

Tipos de geometría[editar · editar fuente]

Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran:

Geometría euclidiana

Geometría plana

Geometría del espacio

Geometría no euclidiana

Geometría algebraica

Geometría analítica

Geometría clásica

Geometría de dimensiones bajas

Geometría descriptiva

Geometría diferencial

Geometría de curvas y superficies

Geometría de Riemann

Geometría diferencial de curvas

Geometría diferencial de hipersuperficies

Geometría diferencial de superficies

Geometría diferencial de variedades

Geometría diferencial discreta

Geometría proyectiva

Otros tipos de geometría[editar · editar fuente]

Geometría absoluta

Geometría afín

Geometría computacional

Geometría constructiva de sólidos

Geometría conforme

Geometría convexa

Geometría de incidencia

Geometría discreta

Geometría elíptica

Geometría esférica

Geometría finita

Geometría fractal

Geometría hiperbólica

Geometría molecular

Geometría ordenada

Geometría sagrada

Geometría sintética