Progresión aritméticaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

En matemáticas, una progresión aritmética es una serie de números tales que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera de la secuencia es una constante, cantidad llamada diferencia de la progresión o simplemente diferencia o incluso "distancia".

Por ejemplo, la sucesión 3, 5, 7, 9, 11,... es una progresión aritmética de constante (o diferencia común) 2.

Contenido

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1 Término general de una progresión aritmética 2 Interpolación de términos diferenciales 3 Suma de términos de una progresión aritmética

o 3.1 Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos

o 3.2 El término central de una progresión aritmética o 3.3 Suma de todos los términos de una progresión aritmética

4 Véase también

[editar] Término general de una progresión aritmética

El término general de una progresión aritmética es aquel en el que se obtiene cualquier término sumándole la diferencia al término anterior. El término de una progresión aritmética es la expresión que nos da cualquiera de sus términos, conocidos alguno de ellos y la diferencia de la progresión. La fórmula del término general de una progresión aritmética es:

Donde d es un número real llamado diferencia. Si el término inicial de una progresión aritmética es y la diferencia común es , entonces el término -ésimo de la sucesión viene dada por

,    n = 0, 1, 2,... si el término inicial se toma como el cero.

   n = 1, 2, 3,... si el término inicial se toma como el primero.

La primera opción ofrece una fórmula más sencilla, pero emplea una terminología más confusa, ya que no es común en el lenguaje el uso de "cero" como ordinal. Generalizando, sea la progresión aritmética:

de diferencia

tenemos que

...

sumando miembro a miembro todas esas igualdades, y simplificando términos semejantes, obtenemos:

(I)

expresión del término general de la progresión, conocidos su primer término y la diferencia. Pero también podemos escribir el término general de otra forma. Para ello consideremos los términos y ( ) de la progresión anterior y pongámolos en función de :

Restando ambas igualdades, y trasponiendo, obtenemos:

(II)

expresión más general que (I) pues nos da los términos de la progresión conociendo uno cualquiera de ellos, y la diferencia.

Dependiendo de que la diferencia de una progresión aritmética sea positiva, nula o negativa, tendremos:

d>0: progresión creciente. Cada término es mayor que el anterior.d=0: progresión constante. Todos los términos son iguales.d<0: progresión decreciente. Cada término es menor que el anterior.

[editar] Interpolación de términos diferenciales

Interpolar k términos diferenciales entre dos números y dados, es formar una progresión aritmética de términos, siendo el primero y el último. El problema consiste en encontrar la diferencia de la progresión.

Apliquemos (II), , teniendo en cuenta que , , y :

de dónde, si despejamos d:

(III)

Por ejemplo, queremos interpolar 3 términos diferenciales entre 2 y 14. Calculamos la diferencia de la progresión según (III) haciendo a = 2, b = 14, k = 3

Los términos a interpolar serán , , y .

Ahora ya tenemos la progresión aritmética pedida:

2, 5, 8, 11, 14

[editar] Suma de términos de una progresión aritmética

Consideraremos en primer lugar algunas propiedades de la suma de términos de una progresión aritmética. En particular nos fijaremos en la suma de los dos términos extremos, el primero y el último, así como en la suma de aquéllos cuyos lugares sean equidistantes de los extremos de la progresión. Seguidamente estudiaremos el término central de una progresión aritmética con un número impar de términos. Finalmente se generalizará a todos los términos de la progresión.

[editar] Suma de los dos términos extremos, y suma de los términos equidistantes de aquéllos

Arriba se han escrito los siete primeros términos de la progresión aritmética de término general an = 5n. Se comprueba que la suma de los términos primero y último es igual a la suma de dos términos equidistantes a éstos, e igual al doble del término central. Esta importante propiedad va a permitir determinar la suma de todos los términos de una progresión aritmética, por grande que ésta sea.

Sea la progresión aritmética de diferencia d :

Sumemos el primer y último términos:

(IV)

Veamos ahora la suma de dos términos equidistantes de los extremos. Éstos serán de la forma a1 + k y an − k, siempre que (n − k) > 0.

Aplicando (I)

Sumamos y obtenemos:

el mismo resultado que el obtenido para .

Concluímos por tanto que la suma del primer y último términos de una progresión aritmética es igual a la suma de dos términos equidistantes de los extremos:

[editar] El término central de una progresión aritmética

En una progresión aritmética con un número impar de términos, término central ac es aquél que por el lugar que ocupa en la progresión equidista de los extremos a1 y an de ésta.

Sea la progresión aritmética a1, a2, a3,...., ac,...., an-2, an-1, an de diferencia d, y término central ac. De acuerdo con la expresión del término general en (I)

pero para el término central

sustituímos este valor de c y resolvemos:

(V)

y comparando con (IV) es evidente que:

Resumiendo, hemos demostrado que:

(VI)

Esta propiedad nos va a permitir calcular la suma de todos los términos de una progresión aritmética.

[editar] Suma de todos los términos de una progresión aritmética

La suma de los términos en un segmento inicial de una sucesión aritmética se conoce a veces como serie aritmética. Existe una fórmula para las series aritméticas. La suma de los n primeros valores de una sucesión finita viene dada por la fórmula:

donde a1 es el primer término y an el último. Demostrémoslo.

Sea una progresión aritmética de término general y de diferencia d:

aplicando la propiedad conmutativa de la suma:

Sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores, y aplicando la propiedad asociativa de la suma:

pero según IV, y según VI sabemos que todas las sumas indicadas entre paréntesis tienen el mismo valor que a1 + an, de manera que:

(VII)

ya tenemos la suma de todos los términos de una progresión aritmética conociendo sus términos extremos, y el número total de aquéllos. La utilidad de (VII) se comprende mejor cuando nos las vemos con un número muy grande de términos en una progresión. Por ejemplo, ¿cuánto suman los cien mil primeros múltiplos de 5? El resultado es inmediato:

más de veinticinco mil millones, y lo hemos calculado en cinco segundos.

Así también, para hallar la suma de los n primeros enteros positivos:

lo que también se conoce como número triangular.

Una historia muy conocida es la del descubrimiento de esta fórmula por Carl Friedrich Gauss cuando su profesor de tercero de primaria pidió a sus alumnos hallar la suma de los 100 primeros números y calculó el resultado de inmediato: 5050.

Esto se puede explicar más detalladamente:

(por la propiedad conmutativa de la suma, se pueden expresar los sumandos en este orden)

(hay n/2 sumandos al sumar los terminos anteriores, el n con el 1, el n-1 con el 2, etc)

Progresión geométricaDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

Una Progresión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 345 = 15 × 3135 = 45 × 3405 = 135 × 3

y así sucesivamente.

Aunque es más fácil aplicando la fórmula:

Siendo el término en cuestión, el primer término y la razón:

Así quedaría si queremos saber el 6º término de nuestra progresión

Contenido

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1 Ejemplos de progresiones geométricas 2 Suma de términos de una progresión geométrica

o 2.1 Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica o 2.2 Suma de términos infinitos de una progresión geométrica

3 Véase también 4 Enlaces externos

[editar] Ejemplos de progresiones geométricas

La progresión 1, 2 ,4 ,8 ,16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.

La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.

La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.

Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7 Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0.

Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden

explícitamente que en la definición.

[editar] Suma de términos de una progresión geométrica

[editar] Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

[editar] Suma de términos infinitos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1, tiende hacia 0, de modo que:

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:

Interés simpleDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegación, búsqueda

Es el que se obtiene cuando los intereses producidos durante el tiempo que dura una inversión se deben únicamente al capital inicial. Cuando se utiliza el interés simple, los intereses son función únicamente del capital principal, la tasa de interés y el número de períodos.

Su fórmula está dada por:

Despejado las variables Capital, Tasa y Tiempo se obtiene:

Donde:

IS: Es el interés Simple CI: Es el Capital Inicial i: Es la tasa de interés expresada en tanto por uno, que al ser multiplicada por

100, quedará expresada en tanto por ciento. t: Es el tiempo expresado en años.

Interés compuesto

De Wikipedia, la enciclopedia libre Saltar a navegación, búsqueda El interés compuesto representa el costo del dinero, beneficio o utilidad de un

capital Inicial (PV) o principal a una tasa de interés (i) durante un período (t), en el cual los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial, es decir, se capitalizan.

Para un período sería -- Valor final (VF) = Valor inicial (V) más interés

Ahora, intercambiando por y por para un primer período se obtiene:

Ahora empleando esto para un segundo período

Ahora empleando esto para un tercer período

generalizando se obtiene la fórmula de interés compuesto:

donde: es el valor final; es el valor inicial; interés del período y el número de

períodos

[editar] Despeje de los elementos de la fórmula de interés compuesto

Si se despeja de la ecuación inicial el Principal, se obtiene:

Despejando , se obtiene:

Despejando se obtiene:

, que también puede escribirse: