programas en mathematica10®

7/24/2019 Programas en Mathematica10

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Apndice A

Curvas. Prcticas con Mathematica

A.1. GEOMETRA DIERE!CIA" DE C#R$A% P"A!A%

A.1.1. "a curvatura de una curva p&ana ' &a &on(itud de arco

Prctica A.1.Defnir la estructura compleja J en R2

y escribir un programa

que calcule la curvatura de una curva plana .

J[{p1,p2}]{p2,p1 }

at

Kappa

Prctica A.).Calcular la curvatura de la fgura ochoy representar su grfca.Obsrvense los mximos los m!nimos y los puntos en los que se anula lacurvatura.

t

ocho

Kappa [ocho ] [ t] ;Simplify [ ]

Plot[Evaluate [Kappa[ocho ] [ t] , {t ,0,8} ]]

Prctica A.*.Calcular la curvatura del c!rculo y representar grfcamente dic"a#unci$n %&o deber!a ser constante'

t

circulo

Kappa[circulo ] [t] ; Simplify[ ]

Plot[Evaluate [Kappa[circulo ] [t] , {t ,0,10} ]]


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Prctica A.+.Defnir la #unci$n que expresa el m$dulo del vector de una curvay escribir la #unci$n longitud de arco como la integral indefnida de dic"a#unci$n. (inalmente defnir la #unci$n longitud entre dos valores del parmetrocomo la integral defnida del m$dulo del vector velocidad de la curva.

alpha

t

arcd

alphat

arclength

a, b

alpha

length

Prctica A.,.Calcular la #unci$n longitud de arco de la parbola semic)bica

(t2, t3) . Calcular su longitud entre los valores * y + del parmetro.

t

sc

length [1,2 ] [sc ] o tambin N[arclength [sc ] [2 ]arclength [ sc ] [1 ]]

Prctica A. -.Calcular la longitud de la cicloide desde el valor , al valor +- delparmetro as! como su #unci$n de longitud arco.

t

cicloide

length [0,2Pi ] [cicloide ]

arclength [cicloide ] [ t]

A.1.). Representacin (r/ca de curvas


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Prctica A. 0.or2as e3p&4cita ' para2trica5.epresentar grfcamentela catenaria la elipse de semiejes * y + y la circun#erencia de radio *. /agrfca resultante %es la de una circun#erencia' 01adir la opci$nAspectRatio->Automatic.

Plot[cosh [t] , {t ,2,2} ] ParametricPlot[ {cos [ t] ,2sin [t]} , {t ,0,2Pi } ]

ParametricPlot {cos [ t] , sin [ t]} , {t ,0,2Pi }

ParametricPlot[ {cos [ t] , sin [ t]} , {t ,0,2Pi } , AspectRatioAutomatic ]

Prctica A.6. $isua&i7acin si2u&tnea de varias (r/cas5. Defnir un

c$digo Mathematica2 una #unci$n que represente una #amilia decircun#erencias de centro (p , ) y radio a. Dibujar usando la defnici$n

anterior una circun#erencia de radio + centrada en el punto 3*+4. Dibujarusando dic"a defnici$n una circun#erencia de radio 5 centrada en el punto3+,4. 6uperponer ambos dibujos.

a

p, t

circunfer

Evaluate [circunfer [2 ] [1,2 ] [t] , {t ,0,2Pi }, AspectRatioAutomatic ]ParametricPlot

Evaluate [circunfer [3 ] [2,0 ] [ t] , {t ,0,2Pi } , AspectRatioAutomatic ]ParametricPlot

,Sho!

A.1.*. A&(unos e8e2p&os de curvas p&anas c&sicas

Prctica A.9. epresentar la llamada lemniscata de Bernoulli cuya

parametri7aci$n es "( t)=(acos t/(1+sen2

t) ,asentcos t/(1+sen2 t)), para t(0,2#) .


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a , bt

Epic

{6cos [t] ,6sin [ t]}, Evaluate [Epic [6,1 ] [t]] , {t , 0,2Pi },ParametricPlot

AspectRatioAutomatic =

>odifcar el valor del radio de la circun#erencia peque1a b y comprobar ladi#erencia entre las curvas que se generan. ?robar con los valores b @ ,.A + 5B.


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Prctica A.1*. /as epitrocoides e hipotrocoides son la ::me7cla;; de lastrocoides con las epicicloides y las "ipocicloides8 el c!rculo de radio * gira sobreotro c!rculo ::base;; de radio mayor bien por el exterior 3lo que generar laepitrocoide4 bien por el interior 3lo que generar la "ipotrocoide49 las fgurasdescritas por un punto interior 3epitrocoide o "ipotrocoide de tipo *4 y por unpunto exterior 3epitrocoide o "ipotrocoide de tipo +4 del c!rculo son las curvasbuscadas.


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Prctica A.1,.epresentar la curva tractri7.

t

tract

ParametricPlot[Evaluate [tract[t]] , {t ,0,Pi} , AspectRatioAutomatic ]

Prctica A.1-. Defnir una #unci$n que represente una #amilia de elipsescentradas en el origen de coordenadas y de semiejes a y b. epresentarusando dic"a defnici$n la elipse de semiejes 5 y +.

t

a, b el

ParametricPlot[Evaluate [el [3,2 ] [t]] , {t ,0,2Pi } , AspectRatioAutomatic ]

Prctica A.10.epresentar algunas de las espirales ms conocidas8 la espiral

logartmica "( t)=(ebt

cost,ebt

sent) con b=0.08 y t(0,12#) 9 la espiral de

Arqumedes cuya ecuaci$n en polares es *=a+ 9 la espiral hiperblica

*=a/+ 9 la espiral de Fermat *2=a2+ 9 y la espiral de Corn.

bt

esplog

ParametricPlot[Evaluate [esplog [0.08 ] [ t]] , {t ,0,12Pi }, AspectRatioAutomatic ]

t

espAr

ParametricPlot[Evaluate [espAr [t]] , {t ,0,12Pi} , AspectRatioAutomatic ] t :={cos[ t]/ t ,sin [t]/ t}

esphip


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ParametricPlot[Evaluate [esphip [ t]] , {t ,0,12Pi} , AspectRatioAutomatic ] t

esp)er

ParametricPlot[Evaluate [esp)er [t]] , {t ,4Pi /3,4Pi /3 }, AspectRatioAutomatic ] t

esp$or

ParametricPlot[Evaluate [esp$or [ t]] , {t ,2Pi ,2Pi} , AspectRatioAutomatic ]

Prctica A.16. /a uni$n de la curva "( t)=(3at/(1+ t3) ,3a t2/(1+t3)) y su

simtrica se denomina oliumde Descartes. epresentarla para a@*.

Obsrvese que esta curva tiene como as!ntota la recta y=%a 3en

nuestro caso y=%1 4.

tt

foli

ParametricPlot Evaluate [ foli [ t]] , {t ,1,100 } , AspectRatioAutomatic

ParametricPlot[Evaluate [ foli2 [ t] ] , {t ,1,100 }, AspectRatioAutomatic ] ,Sho!

ParametricPlot[{t ,t1 }, {t ,30,30 } , AspectRatioAutomatic ]

,Sho!

Prctica A.19.epresentar la brua de Agnesi3vase la prctica 0.5E4.


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ParametricPlot[{t , 279+ t2 }, {t ,10,10 } , AspectRatioA utomatic ]

Prctica A.):.epresentar la cardioide.

t

card

ParametricPlot[Evaluate [card [ t]] , {t ,20,20 }, AspectRatioAutomatic ]

Prctica A.)1.epresentar la cur!a de "lateau.

a, m, n

t

plateau

Evaluate [plateau [1,5,3 ] [ t]] , {t ,0,Pi} , AspectRatioAutomatic,ParametricPlot

PlotRange {{3.5,4 } , {4,4 } } =

Prctica A.)).epresentar la cur!a de #ilro$.

Plot[ log [|[sin [% ] /% ]|] , {% ,20,20 }, PlotPoints200,PlotRange {7,.2 } ]

Prctica A.)*.epresentar la cicloide de Ce!a.

ParametricPlot[ (1+2cos [2t]){cos [ t] , sin [t]} , {t ,0,2Pi }, AspectRatioAutomatic ]

Prctica A.)+.epresentar la cornoide.

{cos [ t](12sin [ t]2 ) , sin [t](1+2cos [ t]2 )} , {t ,0,2Pi },ParametricPlot

AspectRatioAutomatic

Prctica A.),.epresentar el triolium.


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ParametricPlot ,


Prctica A.)-.epresentar los %!alos de Cassini.

?ara representar curvas cuya ecuaci$n viene dada de #orma impl!cita "ayque cargar el paquete ImplicitPlot.

raphics -mplicitPlot

{. (isplay)unction=-dentity },/loc0

raphicsArray Sho!

2

{a , b }(%2+y2+a2)24a=b4/ 12hread [] , {% ,5,5 },

-mplicitPlot

1,

PlotPoints50,2ic0s3( { }3 {1.5,1.05,1,.95 })

Prctica A.)0.epresentar las concoides de &icomedes.

?ara utili7ar distintos colores en las representaciones grfcas es necesario

cargar el paquete Colors.

raphics $olors

2

4hit[ {b=1 } ,b (%a)2(%2+y2)=0] ,-mplicitPlot

2able raphicsArray

Sho!

, (isplay)unction-dentity , AspectRatioAutomatic ,{% ,3,3 }, 2ic0s

PlotRange {{1.1,3.1} , {2,2 } }, PlotStyle , {a ,0,2,1 /2 } ,

raphicsSpacing.05


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Prctica A.)6. epresentar la cur!a de Dumbbell.

-mplicitPlot[y2=(%4%6) , {% ,5,5 } , AspectRatioAutomatic ]

Prctica A.)9. epresentar la cur!a nudo.

-mplicitPlot[(%21)2=y2(3+2y) , {% ,2,2 } , AspectRatioAutomatic ] Prctica A.*:. epresentar las ros'ceas curvas cuya ecuaci$n en

coordenadas polares es r=cos (n+) . Obsrvese que si n6 es impar la

rosa tiene nptalos mientras que si n6 es par la rosa tiene (nptalos.

raphics raphics

cos [ nt] , {t ,0, (7od [ n+1,2 ]+1 )Pi } ,PolarPlot

2able raphicsArray

Sho!

, PlotStyle

Plot8abel2raditional)orm ['old)orm [n ]= n ] ,2ic0s

(isplay)unction-dentity , {n ,2,5 }

0"ora bien si n)p/qes un n)mero racional entonces la rosa se cierra en el

ngulo +=#9 donde 9 =1 sipes impar y 9=2 sipes par.

% ,y

:%y

/ 1 RationalEven:

Pi (enominator [ ]-f

{1/2, 1/3,2/3,1/4, 3/4, 1/5,2/5,3/5 }


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cos [ t] ,PolarPlotPartition

raphicsArraySho!

% ,y

:%y

/ 1RationalEven:

{t ,0,Pi (enominator [ ]-f

Plot8abel2raditional)orm [n=-nput)orm [ ]] , PlotPoints100,

,PlotStyle

(isplay)unction-dentity ,2ic0s /3{1/2,1/3,2/3,1/4,3 /4,1/5, 2/5,3 /5 },4 ,4, {1,1 }, {}

(inalmente si nes irracional la rosa ms espectacular tiene infnitos ptalos.

n=cos [ t] , {t ,0,30Pi} ,Plot8abel2raditional)orm [ ]

PolarPlotraphicsArray

Sho!

,PlotPoints100,(isplay)unction-dentity , 2ic0s

PlotStyle 3{E , Pi ,2}

A.1.+. Gr/cas de ;unciones de/nidas a tro7os

Prctica A.*1. epresentar grfcamente un tringulo.


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t

t


14/39

triangulo=8ine [{{0,0 } , {1,1 }, {0.5,1 } , {0,0 }}] ;Sho! [raphics [ triangulo ]]

(is0[{2,3} ,1 ] ;Sho! [raphics [ ] , AspectRatioAutomatic ]

[{2,3 } ,1 ];Sho! [raphics [ ] , AspectRatioAutomatic ]

Prctica A.*,.


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AspectRatioAutomatic , PlotRange {{2.5,21 } , {.5,5 }} , {t ,0, 592Pi40 , 2Pi40} t

trocoide2

lineabase=8ine [{{2,0 }, {10,0 }}] ; puntos={PointSie [ .006 ]} ;

{{ray8evel [.9 ] ,raphics

Append2o [puntos , Point[ trocoide 2 [ t]]] ;Sho! (o

(is0[{t/2, 1/2 } ,1 ]}, [{t/2, 1/2 } ,1/2 ] , 8ine[ {{t/2,1 /2 } ,trocoide2 [ t]}] ,

lineabase, puntos} , AspectRatioAutomatic , PlotRange {{2.5,21 } , {.5,5 } } ,

{t ,0, 1002Pi40 , 2Pi40} Prctica A.*0.Construir una animaci$n que genere la astroide. Facer lo mismopara una "ipotrocoide y una epitrocoide.

astroide [ t] 6cos [ t]+2cos [3 t] ,6sin [ t]2sin [3 t] ;

circulobase= [{0,0 } ,8 ]; puntos= {PointSie [ .01 ]} ;

{ [{6cos [t] ,6sin [ t] },2 ] ,raphics

Append2o [puntos , Point[astroide [ t]]] ;Sho! (o

8ine [{{6cos[ t] ,6sin [t]} ,astroide [ t]}] , circulobase , puntos} , AspectRatioAutomatic , PlotRangeAll , {t ,0,2Pi ,.05 }

Prctica A.*6.Construir una animaci$n que genere la bruja de 0gnesi. stapuede obtenerse de la siguiente #orma8 t$mese una circun#erencia de radio r

con centro en el punto (0, r) 9 trcese una recta desde el origen de

coordenadas y sean "y *los puntos de corte de la misma con la circun#erencia

y con la recta y=2 r respectivamente.


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es aquel que tiene como coordenada+la abscisa de *y como coordenada$laordenada de ".

f1=ParametricPlot[{cos [ t] ,1+sin [t]} , {t ,0,2Pi }, (isplay)unction-dentity ] ;

f2=ParametricPlot[{t ,0 } , {t ,6,6 }, (isplay)unction-dentity ] ;

{2t , 21+t2 }, {t ,0, i0.001 } ,i=0, i2.1,i+0.1, f3=ParametricPlot

)or

(isplay)unction-dentity , PlotStyleR/$olor [1,0,0] ;

{2 t , 21+t2 }, {t ,0,i0.001 },f4=ParametricPlot

(isplay)unction-dentity ,PlotStyleR/$olor [1,0,0] ;

{f1, f2, f3, f4,raphics [8ine [{{0,0 } , {2 i ,2} }] ] ,Sho!

raphics [8ine [{{2i ,2 },{2i , 21+i2 }}] ] ,raphics[8ine [{{2i , 21+i2 },{ 21+i2, 21+ i2 }}]] , raphics [8ine [ {{0,0 }, {2i ,2 }}] ] ,raphics 8ine [{{2i ,2} ,{2 i ,

2

1+i2 }}] ,

raphics 8ine[{{2 i , 21+i2 },{21+i2, 21+i2 }}] , (isplay)unction. (isplay)unction , AspectRatioAutomatic , A%es)alse ,

PlotRangeAll

Prctica A.*9./a siguiente animaci$n muestra c$mo se trans#orman los $valosde Cassini cuando var!a el parmetro 3vase la prctica 0.+G4.

(%2+y2+1)24%2=b4,{% ,5,5 },PlotPoints50,-mplicitPlot

2able


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2ic0s , {b ,0.9,1.5,.02}

A.1.-. Evo&utas ' curvas para&e&as

Prctica A.+:.Defnir en c$digo Mathematica2una #unci$n que represente la

evoluta de una curva regular plana "(t) 3vase la defnici$n *.+.G4.

p1,p2{ ] {p2,p1}

J

alphat

evoluta

Prctica A.+1.Calcular usando la defnici$n anterior una parametri7aci$n dela evoluta de una elipse de semiejes ay b. epresentar grfcamente la elipsede semiejes *.A y * as! como su evoluta.

a, bt

elipse

Evaluate [{elipse [1.5,1 ] [ t] ,evoluta [elipse [1.5,1 ]][ t]}] , {t ,0,2Pi },ParametricPlot


Prctica A.+).Calcular una parametri7aci$n de la evoluta de la cisoide deparmetro a. epresentar grfcamente la cisoide de parmetro * as! como suevoluta.


18/39

t

a cisoide

Evaluate

[{cisoide [1 ] [ t] ,evoluta [cisoide [1 ]][ t]}

], {t ,2,2 } ,

ParametricPlot


Prctica A.+*. Calcular una parametri7aci$n de la evoluta de la tractri7.epresentar grfcamente la tractri7 as! como su evoluta.

t

tractri

Evaluate{ tractri [ t] ,evoluta [ tractri] [t]} , {t ,0,Pi } ,ParametricPlot


Prctica A.++. Calcular una parametri7aci$n de la evoluta de la cicloide.epresentar grfcamente la cicloide as! como su evoluta. Obsrvese que statambin es una cicloide 3vase el ejercicio *.*+4.

t

cicloide

Evaluate [ {cicloide [t] ,evoluta [cicloide ] [ t]}] , {t ,0,Pi } ,ParametricPlot


Prctica A.+,.Dise1ar un programa que defna la #unci$n curva paralela a

distancia sde una curva dada"(t)

3vase la defnici$n *.+.E4.


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alphast

curvapar

Prctica A.+-. epresentar la elipse de semiejes + y * y cuatro curvasparalelas a dic"a elipse para valores de scomprendidos entre , y *.

Evaluate [elipse [2,1 ] [ t]] , {t ,0,2Pi} , AspectRatio< Automatic ,ParametricPlot

PlotStyleR/$olor [1,0,0] ;

{curvapar[elipse [2,1 ]] [0.2] [t] ,Evaluate

ParametricPlot

curvapar [elipse [2,1 ] ][0.5 ] [ t] ,curvapar [elipse [2,1 ] ][0.7 ] [t] ,

curvapar [elipse [2,1 ] ][0.9 ] [ t]} , {t ,0,2Pi} , AspectRatioAutomatic

,Sho!

Prctica A.+0.epresentar en una sola fgura cuatro curvas paralelas a unalemniscata 3vase la prctica 0.H4. Fgase lo mismo para una cardioide3prctica 0.+,4 y una deltoide 3prctica 0.*+4.

A.). GEOMETRA DIERE!CIA" DE C#R$A% E! E" E%PACIO

A.).1. Representacin (r/ca de curvas a&a


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Prctica A.+9.epresentar la cbica torcida "( t)=(t , t2

, t3) .

t

3ct

ParametricPlot3( [Evaluate [ct[t]] , {t ,2,2 } , AspectRatioAutomatic ]

Prctica A.,:. 0lgunas de las espirales no planas ms #amosas son lassiguientes8

/a espiral concha8 "( t)=(a btcost , ab

tsent ,c b

t) .

/a espiral cnica8

"( t)=((ht)/hrcos(at) ,(ht)/hrsen(at) , t).

/a espiral es,rica8 "( t)=(costcos= , sentcos= ,> sen=) con ==arctgeb (t+c)

.

sta es la loxodroma de la es#era 3vase el ejercicio +.E4. /a espiral helicoidal o slin-$ 3es una espiral que se enrolla alrededor de

una "lice48 "( t)=( cost[1+acos (!t)] ,sent[1+acos (!t)] , ht+asen (!t)) .

a, b, c

tspiral3d

Evaluate [spiral3 d [1,1.08,1 ] [ t]] , {t ,10,30 }, PlotPoints150,ParametricPlot3(

?ie!Point {2,0,.5 }

h , r, at

spiralconica

Evaluate [spiralconica [1,0.8,1 .5] [t]] , {t ,0,70 },ParametricPlot3(

PlotPoints500,?ie!Point {2,0,.5 }


21/39

t

Sphs

ParametricPlot3( [Evaluate [Sphs [t]] , {t ,10Pi ,10Pi } ,PlotPoints500 ]

a, !, h

,t

Slin0y

ParametricPlot3( [Evaluate [Slin0y [ .4,40,.3 ] [ t]] , {t ,0,5Pi } ,PlotPoints1000 ]

Prctica A.,1.epresentar la cur!a de i!iani "( t)=a (1+cost,sent ,2 sen (2 t)) .


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Prctica A.,*.


23/39

Simplify [curvat[helice ] [ t]]

Simplify [ torsion [helice ] [ t] ]

Prctica A.,,.0plicar el ejercicio anterior a las curvas alabeadas recogidas en

las prcticas anteriores.

Apndice >

%uper/cies. Prcticas con Mathematica

>.1. E?EMP"O% DE %#PERICIE%

Prctica >.1. epresentar grfcamente el plano utili7ando distintasparametri7aciones del mismo 3obsrvese la di#erencia entre las curvascoordenadas4.

ParametricPlot3( {ucos [v ] , usin [v ] ,0 }, {u ,0,20 } , {v ,0,2Pi }

ParametricPlot3( [{u+v , v ,0 }, {u ,0,20 } , {v ,0,20 } ]

ParametricPlot3(

[{u , v ,0 } , {u ,0,20 }, {v ,0,20 }

]

Prctica >.).epresentar grfcamente la es#era utili7ando la parametri7aci$nde las coordenadas geogrfcas y la de la proyecci$n estereogrfca 3obsrvesede nuevo la di#erencia entre las curvas coordenadas4 y el elipsoide.

ParametricPlot3( [{sin [u ]cos [v ] , sin [u ] sin [v ] ,cos [u]} , {u ,0,Pi }, {v ,0,2Pi } ]

{ 2u

1+u2+v2,

2v

1+u2+v2,

u2+v21

1+u2+v2}, {u ,8,8}, {v ,8,8 }, PlotRangeAll ,

ParametricPlot3(

PlotPoints100

ParametricPlot3( [{2sin [u ] cos [v ] , sin [u ] sin [v ] ,cos [u ]} , {u ,0,Pi} , {v ,0,2Pi } ]

/a elipse que genera el elipsoide se puede observar #cilmente sie#ectuamos la rotaci$n entre , y -8


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ParametricPlot3( [{2sin [u ] cos [v ] ,sin [u ] sin [v ] ,cos [u ]} , {u ,0,Pi} , {v ,0,Pi } ]

Prctica >.*.epresentar grfcamente el cilindro y el cono de dos "ojas.

ParametricPlot3( [{cos [u ] , sin [u ] , v } , {u ,0,2Pi } , {v ,3,3 } ] ParametricPlot3( [{vcos [u ] , vsin [u ] , v }, {u ,0,2Pi } , {v ,3,3 } ]

Prctica >.+.epresentar grfcamente el paraboloide de revoluci$n.

ParametricPlot3( [{ucos [v ] , usin [v ] ,u2 } , {u ,2,2 }, {v ,0,2Pi } ]

Prctica >.,.epresentar grfcamente el toro de revoluci$n dependiendo dela distancia aal eje de la circun#erencia que lo genera.

a

u , v

2oro

ParametricPlot3( [Evaluate [2oro [2 ] [u ,v ]] , {u,0,2Pi } , {v ,0,2Pi }, PlotPoints40 ]

ParametricPlot3( Evaluate

[2oro [1 ] [ u , v ]

], {u ,0,2Pi } , {v ,0,2Pi} , PlotPoints40

ParametricPlot3( [Evaluate [2oro [0.5 ] [u,v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,0,2Pi }, PlotPoints40 ]

?ara visuali7ar mejor lo que ocurre en los dos )ltimos casos evaluar larotaci$n s$lo entre , y -. Como puede verse estas super#icies tienen puntossingulares y por tanto no son superfcies regulares.

ParametricPlot3( [Evaluate [2oro [1 ] [u ,v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0,Pi } , PlotPoints40 ]

ParametricPlot3( [Evaluate [2oro [0.5 ] [ u , v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,0,Pi }, PlotPoints40 ]

Prctica >.-.epresentar grfcamente los "iperboloides de una y dos "ojas.

ParametricPlot3( [{cosh [u ] cos [u ] , cosh [v ]sin [u ] ,sinh[v ]}, {u ,0,2Pi } , {v ,2,2 } ]


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ParametricPlot3( [{{u , v ,u2+v2+1} , {u , v ,u2+v2+1}}, {u ,2,2 }, {v ,2,2}]

Prctica >.0.epresentar con una animaci$n la de#ormaci$n del cilindro en elcono de dos "ojas por una #amilia uniparamtrica de "iperboloides de una "oja.

{cos [u ]+v (cos [u+ tPi20]cos [u ] ), sin [u ]+v (sin[u+ tPi20]sin [u ]),ParametricPlot3(

2able

2+4 v}, {u ,0,2Pi} , {v ,0,1}, A%es< )alse , /o%ed < )alse ,

PlotRange {{1,1 }, {1,1 }, {2,2 } } ,{t ,0,20 }

Prctica >.6.epresentar grfcamente el paraboloide "iperb$lico o silla demontar y la silla de montar del mono.

Plot3( [u2v2, {u ,3,3 } , {v ,3,3 } ,/o%Ratios Automatic ]

Plot3( [u33uv2, {u ,1,1 }, {v ,1,1 },/o%Ratios Automatic ]

Prctica >.9.epresentar grfcamente lapseudoesera.

{sin [ u ] cos [ v ] ,sin [ u ] sin [ v ] ,cos [ u ]+log [ tan [ u/2 ]]} ,ParametricPlot3(

{u ,0.01,1 }, { v ,0,2Pi }

Prctica >.1:.epresentar el gra#o de la #unci$n =sen (%+seny ) , % , y[0,4 #]

. Construir una animaci$n que muestre la rotaci$n de dic"a superfcie.

Plot3( [sin [%+sin [y ]] , {% ,0,4Pi } , {y ,0,4Pi }, PlotPoints30 ]

sin [%+sin [y ]] , {% ,0,4Pi} , {y ,0,4Pi } ,PlotPoints


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Prctica >.11. >ostrar el paraguas de 0hitne$ (u , v )=(uv,u,v2) .

Obsrvese que no es una superfcie regular en todo su rango pues presentaautointersecciones.

ParametricPlot3( [{uv , u , v2

} , {u ,3,3 }, {v ,3,3 }, PlotPoints30 ]

>.1.1. %uper/cies de revo&ucin

Prctica >.1). >ostrar las superfcies de revoluci$n obtenidas al rotaralrededor del eje1 algunas de las curvas defnidas en el apartado 0.*.5. stas

deben escribirse en la #orma "( v )=( f( v ) ,0, g (v )) para que estn contenidas en

el plano y=0 .

u, v

revol

a4 /a circun#erencia 3genera la es#era4.

vv

f

ParametricPlot3( [Evaluate [revol [u , v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,0,Pi } ]

b4 /a elipse 3genera el elipsoide4.

vv

f

ParametricPlot3( [Evaluate [revol [ u , v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,0,Pi } ]

c4 /a tractri7 3genera la pseudoes#era4.


27/39

vv

f

ParametricPlot3( [Evaluate [revol [u, v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0.01,Pi /2 } ]

d4 /a parbola 3genera el paraboloide de revoluci$n4.

vv

f

ParametricPlot3( [Evaluate [revol [ u , v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,0,4 } ]

e4 /a cisoide de Diocles.

vv

f

ParametricPlot3( [Evaluate [revol [u, v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,2,2} ]

#4 /a bruja de 0gnesi.

vv

f

ParametricPlot3( [Evaluate [revol [ u , v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,0,10 } ]

g4 /a fgura oc"o.vv

f


28/39

ParametricPlot3( [Evaluate [revol [u , v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,0,Pi } ]

>ostrar la grfca anterior pero evaluando la rotaci$n s$lo entre , y # . 0"ora

puede distinguirse claramente la fgura oc"o.

>.1.). %uper/cies no orienta.1*. epresentar la banda de >bius 3vase el ejemplo 5.*4parametri7ada por

(u , v )=(cosu+vcos(au /2)cosu,senu+vcos (au /2)senu , vsen(au/2)) con

u(0,2#) para distintos valores del parmetro a y obsrvese lo que

representa dic"o parmetro en la construcci$n de la superfcie.

a

u , v

7obius

ParametricPlot3( [Evaluate [7obius [1 ] [u , v ]] , {u ,0,2Pi }, { v ,0.5,0 .5} ]

ParametricPlot3( [Evaluate [7obius [2 ] [u , v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0.5,0.5} ]

ParametricPlot3( [Evaluate [7obius [3 ] [u , v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0.5,0 .5} ]

ParametricPlot3( [Evaluate [7obius [5 ] [u , v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0.5,0.5} ]

Prctica >.1+.epresentar la botella de #lein.

a

u , v

0leinb

(a+cos [u /2 ]sin [ v ]sin[u /2 ] sin [2 v ]) sin [u ] , sin [u/2 ]sin[v ]+cos [u /2 ]sin [2v ]}

Evaluate [0leinb [2 ] [u , v ]] , { v ,0,2Pi} , {u ,Pi /4,3Pi /2 },ParametricPlot3(


29/39

PlotPoints32,A%es

Cambiar los valores del parmetro aen la parametri7aci$n anterior de labotella de Klein y obsrvese c$mo var!a la superfcie.

Evaluate [0leinb [4 ] [u , v ]] , { v ,0,2Pi} , {u ,Pi /4,3Pi /2 },ParametricPlot3(

PlotPoints32,A%es

Prctica >.1,.6in embargo las representaciones de la botella de Klein msconocidas no corresponden a ninguna parametri7aci$n real8 se construyen atro7os uniendo de #orma adecuada diversas superfcies parametri7adas.epresentar las ::botellas de Klein;; ms usuales.

a4 ?rimera representaci$n8

u, v

bottom

fondo=ParametricPlot3( [Evaluate [bottom [u , v ]] , {u ,0,2Pi }, {v ,0,Pi} ] u, v

middle

medio=ParametricPlot3( [Evaluate [middle [u , v ]] , {u ,0,2Pi }, {v ,0,Pi } ] u, v

handle

mango=ParametricPlot3( Evaluate [handle [u , v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0,Pi }

u, v

thetop

techo=ParametricPlot3( [Evaluate [ thetop [u ,v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0,Pi } ]

all=Sho![mango , techo, medio , fondo ]

b4 6egunda representaci$n8


30/39

b%=6cos [u ](1+sin [u ]); by=16sin [u ] ;rad =4 (1cos [u]/2);

=-f[Pi.16. Considerar la siguiente #amilia de superfcies 3minimales4dependiente del parmetro a.


31/39

isomtrica del catenoide en el "elicoide para aentre , y -+. epresentar laanimaci$n.

r, t, a

a

Evaluate [[r2,t, a ]], {r ,1/6 ,6 }, {t ,0,2Pi} ,gr

PlotPoints35 , A%es)alse , ?ie!Point{1.481,2.293,2.000}

gr [0 ] ; gr [Pi /2 ] ;2able [ gr [a ] , {a ,0,Pi/2,(Pi /2)/6 }]

Prctica >.19.epresentar la primera superfcie de 6c"ercL.

u, v

scherc0

ParametricPlot3( [Evaluate [ scherc0[u , v ] ] , {u ,Pi /2 , Pi/2} , {v ,Pi /2 , Pi/2 }]

/a primera superfcie de 6c"ercL es una superfcie peri$dica y usualmentesuele representarse del siguiente modo8

d , e

u, v

scherc0gen

Evaluate [scherc0gen [3d ,3e ] [ u , v ]] ,ParametricPlot3(

2ableSho!

{u ,Pi /23e,Pi /23e }, {v ,Pi /23d , P i/23 d } , {e ,0,2} , {d ,0,2}

Prctica >.):.epresentar la segunda superfcie de 6c"ercL.

u , v

scherc02


32/39

ParametricPlot3( [Evaluate [scherc02 [u ,v ]] , {u,0.8,0.8 }, {v ,0.8,0 .8} ]

Prctica >.)1.epresentar la superfcie de .)).epresentar la superfcie de Catalan.

u, v

$atal

ParametricPlot3( [Evaluate [$atal [u , v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,5,5 },?ie!Point < {2,1,1 } ]

Prctica >.)*.epresentar la superfcie de 3iemann.

t, s

%

{1+2 r [ t]4+rF[ t]2r [t] r F F[ t]=0,hF[t]=r [t]2, r[0]=1,solu=N(Solve

rF[0 ]=0.5,h [0 ]=0}, {r [t] ,h [ t]}, {t ,2,1 } ,7a%Steps2000

Evaluate[ {h [ t]+r [ t]cos [ s ] , h [ t]+r [ t]sin [ s ] ,t}/ 1solu ] ,ParametricPlot3(

{t ,1,0.65 } , {s,0,2Pi } ,?ie!Point {1,6,2 }, PlotRangeAll


33/39

>.). "A C#R$AT#RA DE GA#%% @ "A C#R$AT#RA MEDIA

Prctica >.)+.Defnir #unciones que calculen los coefcientes de la primera#orma #undamental de una superfcie parametri7ada por4.

u , v

EE

u , v

))

u, v

Prctica >.),.Defnir #unciones que calculen los coefcientes de la segunda#orma #undamental de una superfcie parametri7ada por4.

u, v

(et[{@ {uu,uu}[uu,vv ] , @uu[uu,vv ] , @vv[uu,vv ]}] /ee

@uu[uu,vv ] 1 @uu[uu,vv ] @vv[ uu,vv ] 1 @vv[uu,vv ]GSimplify

( @uu[uu,vv ] 1 @vv[uu,vv ])2/ 1 {uuu,vvv }


34/39

u , v

(et[{@ {uu,vv }[uu,vv ] , @uu[uu,vv ] , @vv[uu,vv ]}]/

ff



u , v

(et[{@ {vv,vv }[uu,vv ] ,@uu[uu,vv ] , @vv[uu,vv ]} ]/



Prctica >.)-.Defnir #unciones que representen la curvatura de Mauss y la

curvatura media de una superfcie parametri7ada por4.

u , v

gauss

u , v

media

Prctica >.)0. Calcular los coefcientes de la primera y segunda #orma#undamental de algunas de las superfcies estudiadas en la secci$n anterior8 laes#era el toro el paraboloide el!ptico etc.


35/39

r

u , v

esfera

{EE [esfera [r ]][u , v ] , ))[esfera [r ]][u , v ] , [esfera [r ]][u , v ] N

{ee [esfera [r ]][u , v ] , ff[esfera [r ]][u , v ] ,[esfera [r ]] [u , v ] N

a, r

u, v

toro

{EE [ toro [a , r ]][u , v ] , ))[ toro [ a , r ]][u , v ] ,[ toro [a , r ]] [u , v ] N

{ee [ toro [a ,r ]][u , v ] , ff[toro [a , r ]][u , v ] , [ toro [a , r ]] [u , v ] N

u, v

parabel

{EE [parabel ] [u , v ] , ))[parabel ] [u , v ] , [parabel ] [u , v ] N

{ee [parabel ] [u , v ] , ff[parabel ] [u , v ] , [parabel ][u , v ] N

Prctica >.)6.Calcular la curvatura de Mauss y la curvatura media de lassuperfcies anteriores8 la es#era el toro el paraboloide el!ptico etc.

gauss [esfera [ r ]][ u , v ] ;gauss [ toro [ a ,r ] ][ u , v ] ; gauss [ toro [ a , r ]][u , v ]

media [esfera [r ]][u , v ] ; media [parabel ] [u , v ] ;media [parabel ] [u , v ]

Prctica >.)9. epresentar la grfca de la curvatura de Mauss y de lacurvatura media de las superfcies anteriores8 la es#era el toro el paraboloide

el!ptico etc.

ParametricPlot3( [Evaluate [ gauss [esfera [1 ]][u ,v ]] , {u ,0,2Pi }, {v ,0,2Pi } ]

ParametricPlot3( [Evaluate [media [esfera [1 ]][u , v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,0,2Pi } ]

ParametricPlot3( [Evaluate [ gauss [ toro [3,1 ]][u,v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0,2Pi } ]


36/39

ParametricPlot3( [Evaluate [media [ toro [3,1 ]][u , v ]] , {u ,0,2Pi} , {v ,0,2Pi } ]

ParametricPlot3( [Evaluate [ gauss [parabel ] [u , v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0,2Pi} ]

ParametricPlot3( [Evaluate [media [parabel ] [u ,v ]] , {u ,0,2Pi } , {v ,0,2Pi} ]

Prctica >.*:..*. GEOD%ICA%

Prctica >.*1.Defnir los s!mbolos de C"ristoel para una parametri7aci$n4.

u, v

4

u , v

[] [uu,vv ]@uuEE [] [uu,vv ]2))[] [uu,vv ] @uu))[] [uu,vv ]

111

+))[] [uu,vv ]@vvEE [] [uu,vv ] /(24[] [uu,vv ])/1 {uuu ,v v v }


37/39

u, v

[] [uu,vv ]@vvEE [] [uu,vv ]

121

))[] [uu,vv ]@uu [] [uu,vv ]/(24[][ uu,vv ])/ 1 {uu u,vv v }

u , v

2 [] [uu,vv ] @vv))[] [uu,vv ] [] [uu,vv ]@uu [] [uu,vv ]

221

))[] [uu,vv ]@vv [] [uu,vv ] /(24[] [uu,vv ])/ 1 {uu u ,v v v }

u, v

2EE [] [uu,vv ]@uu))[] [uu,vv ]EE [] [uu,vv ]@vvEE [] [uu,vv ]

112

))[] [uu,vv ]@uuEE [] [uu,vv ]/(24[] [uu,vv ])/ 1 {uuu ,v v v }

u , v

EE [] [ uu,vv ] @uu [] [uu,vv ]

122

))[] [uu,vv ]@vvEE [] [uu,vv ] /(24[][ uu,vv ])/ 1 {uu u,vv v }

u , v

EE [] [uu,vv ] @vv [] [uu,vv ]2))[] [uu,vv ]@vv))[] [uu,vv ]

222

+))[] [uu,vv ]@vv [] [uu,vv ]/(24[][ uu,vv ])/ 1 {uu u,vv v }


38/39

Prctica >.*).epresentar las geodsicas de la es#era.

u, v

{uF F[ s ]+uF[s ]2111 [][ u [s ] , v [s ] ]s1=N(Solve

+2u F[s ] v F[s ]121 [][u [s ] , v [s ]]+v F[s ]2 221[][ u [s ] , v [s ] ]=0,

vF F[ s ]+uF[s ]2 112 [][u [s ] , v [s ]]+2uF[s ] v F[s ] 122 [][u [s ] , v [s ]]

+v F[s ]2222 [][u [s ] , v [ s]]=0,

u [0 ]=Pi/2,v [0]=Pi/2,uF[0]=1,v F[0]=1}, {u [s ] , v [ s]},{s ,4,4 }

d 1=ParametricPlot3( [Evaluate [[u [s ] , v [s ]]/ 1 s1] , {s ,4,4 }]

d 2=ParametricPlot3( [Evaluate [[u ,v ]] , {u ,Pi /2 ,Pi /2}, {v ,0,2Pi} ] ; Sho! [d1,d 2]

Prctica >.**.epresentar las geodsicas del cilindro.

u, v

C

{uF F[ s ]+uF[s ]2111 [C][ u [s ] , v [s ]]s2=N(Solve

+2u F[ s ] v F[ s ] 121 [C][u [ s ] , v [ s ]]+v F[s]2221[C] [u [ s] , v [ s ]]=0,

vF F[ s ]+uF[s ]2 112 [ C][u [s ] , v [s ]]+2uF [s ] vF [s ] 122 [C][u [ s ] , v [s ] ]

+v F[s ]2222 [C][u [s ] , v [s ]]=0,u [0 ]=0,v [0]=0,u F[0]=1,v F[0]=5 },

{u [s ] , v [s]}, {s ,4,4 }

d 3=ParametricPlot3([Evaluate[C[u [s ] , v [ s ]] / 1 s2] , {s ,2,2},PlotPoints100]

d 4=ParametricPlot3( [Evaluate [C[u , v ]] , {u ,2 ,2} , {v ,0,2Pi}]; Sho! [d3,d 4 ]


39/39

Prctica >.*+.epresentar las geodsicas del elipsoide.

u, v

6

{uF F[ s ]+uF[s ]2111 [6][ u [s ] , v [s ] ]s3=N(Solve

+2u F[s ] v F[s ]121 [ 6][u [s ] , v [s ]]+v F[s ]2 221[6][ u [s ] , v [ s ] ]=0,

vF F[ s ]+uF[s ]2 112 [ 6][u [s ] , v [s ]]+2uF[s ] v F[ s ] 122 [6][u [s ] , v [s ]]

+v F[s ]2222 [6][u [ s ] , v [ s ]]=0,u [0 ]=0,v [0]=0,uF[0 ]=1,v F[0]=1},

{u [s ] , v [s]}, {s ,5,5 }

d 5=ParametricPlot3([Evaluate[6[u [s ] , v [s ] ] / 1 s1] , {s ,5,5 }, PlotRangeAll]

d 6=ParametricPlot3( [Evaluate [6[u , v ] ] , {u ,Pi /2 , Pi/2} , {v ,0,2Pi } ]; Sho! [d5,d 6]

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