programacion lineal

Investigacin de Operaciones

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Formulacin de un Modelo de Programacin Lineal

Para facilitar el planteamiento del modelo matemtico general de la PL considere

el siguiente problema:

La planta HBB fabrica 4 productos que requieren para su elaboracin: materia

prima de la cual hay una disponibilidad diaria de 180 libras, espacio de

almacenamiento del cual se dispone de 230 pies cbicos y un tiempo de

produccin de 8 horas/da. Para elaborar una unidad de cada uno de los productos

se necesitan los siguientes insumos:

Producto Materia

prima

lbs/unidad

Espacio

pies3/unidad

Tasa produccin

unidades/hora

Utilidades

$/unidad.

1 2 2 15 5

2 2 2.5 30 6.5

3 1.5 2 10 5

4 1 1.5 15 5.5

La gerencia desea determinar cuntas unidades de cada producto deben fabricarse

para maximizar el beneficio.

Solucin

A partir de esta descripcin cualitativa del problema se va a convertir en una forma

matemtica que se pueda resolver, este proceso se llama formulacin del

problema y tiene los siguientes pasos con sus caractersticas claves.

I) Identificacin de las variables de decisin.

Identificar las variables de decisin y obtener sus valores proporciona la solucin

del problema. Como los valores de estos elementos son desconocidos se les da un

smbolo. La eleccin de estas variables no es nica y no existen reglas fijas, sin

embargo se pueden formular algunas preguntas que son tiles en la identificacin

de un conjunto adecuado de variables de decisin.


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CARACTERSTICAS CLAVES

Qu elementos afectan los costos y/o ganancias como objetivo global?

Qu elementos se pueden elegir y/o controlar?

Qu decisiones se tienen que tomar?

Qu valores posibles constituyen una solucin para el problema?

La respuesta a estas preguntas es fabricar cuatro tipos de productos simbolizados

por:

X1 = cantidad de unidades a producir del producto 1




II) Identificacin de los datos del problema

La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las

variables de decisin. Para esto se requiere determinar los recursos disponibles.

Para nuestro ejemplo:

Cantidad de materia prima disponible (180 lbs/da)

Cantidad de espacio disponible (230 pies3)

Tiempo de produccin disponible (8 hrs/da).

CARACTERSTICA CLAVE.

La necesidad de determinar los datos del problema para lograr el objetivo al

desarrollar el problema y verificar si se necesita informacin adicional para

determinar las variables de decisin.


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III) Identificacin de la funcin objetivo

En esta parte se pretende expresar el objetivo organizacional en forma matemtica

usando las variables de decisin y los datos conocidos. Se puede considerar que

cada una de las variables de decisin tiene una funcin especifica dentro del

contexto del objetivo general (optimizar), con el fin de obtener un nico valor. Para

el caso:

Maximizar las utilidades a partir de los aportes o beneficios de cada unidad

fabricada ( por ejemplo, $5 el producto 1 (X1)), y totalizar todos los aportes para

las respuestas de las variables de decisin.

La funcin objetivo ser entonces:

Maximizar Z = 5X1 + 6.5X2 + 5X3 + 5.5X4

CARACTERSTICA CLAVE

La funcin objetivo depende de:

El enunciado del objetivo de manera verbal. Descomponer el objetivo en una suma, diferencia y/o producto de trminos

individuales (combinacin lineal)

Expresar los trminos individuales usando las variables decisorias y los datos.

IV) Identificacin de las restricciones.

Las restricciones son condiciones que las variables de decisin deben satisfacer

para constituir una solucin aceptable de un problema.

Estas pueden ser de limitaciones fsicas (horas de trabajo de una planta),

restricciones administrativas (satisfacer una demanda de un cliente especial),

restricciones externas que las puede dar el mercado, restricciones lgicas sobre las

variables (respuestas enteras).


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Considerando nuestro ejercicio se pueden dar restricciones por los recursos

disponibles como son, por ejemplo, la materia prima, ya que se disponen

nicamente 180 libras para los cuatro productos, de modo que:

2X1 + 2X2 + 1.5X3 +X4 180,

Adems se dispone de 230 pies3 de espacio de almacenamiento, lo que puede

traducirse como:

2X1 +2.5X2 + 2X3 + 1.5X4 230

y la tasa de produccin que est expresadas en unidades por hora, por lo que

tenemos que convertirla primero en horas por cada unidad, por ejemplo, si 15

unidades del producto 1 se producen en una hora, una unidad en cunto tiempo se

producir?. Entonces se tiene que las horas/ unidad de cada producto son: 1/15 =

.067 para el producto 1, 1/30 = 0.033 para el producto 2, 1/10 = 0.1 para el

producto 3 y 1/15 = 0.066 para el producto 4.

De este modo la restriccin del tiempo de produccin se puede expresar como:

1/15 X1 + 1/30 X2 +1/10 X3 + 1/15 X4 8

Las limitaciones son lgicas cuando la respuesta de las variables de decisin debe

ser positiva o sea la restriccin de no negatividad.

X1 0, X2 0, X3 0, X4 0.

CARACTERSTICA CLAVE.

Es importante tener en cuenta las variables de decisin y los datos del problema para definir cada una de las restricciones.

Expresarlas como una suma, diferencia o producto de cantidades individuales.

Establecer la magnitud de la direccin, teniendo en cuenta las limitaciones formuladas.


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Una vez reunidos todos estos elementos descritos se hace una formulacin

matemtica del problema de acuerdo a :

Maximizar: 5X1 +6.5X2 + 5X3 + 5.5X4 (ganancia)

Sujeta a:

2X1 + 2X2 + 1.5X3 + X4 180 (materia prima)

2X1 + 2.5X2 +2X3 + 1.5X4 230 (espacio)

1/15 X1 + 1/30 X2 +1/10 X3 + 1/15 X4 8 (tasa de produccin)

Xi 0 i = 1,2,3,4

Donde Xi representa el nmero de unidades a fabricar del producto i para

i=1,2,3,4


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Modelo general de la PL

Del ejemplo anterior, puede inducirse el siguiente modelo matemtico general de

la PL

Optimizar: X0 = C1X1 + C2X2 + . . . + CnXn (0)

Sujeta a a11X1 + a12X2 + . . . a1nXn ( , = ) b1 (1)

a21X1 + a22X2 + . . . a2nXn ( , = ) b2 (2)

. . . . .

. . . . .

. . . . .

am11X1 + am2X2 + . . . amnXn ( , = ) bm (m)

X1, X2, Xn 0 (*)

Donde:

X0 = funcin objetivo, la cual pude maximizarse o minimizarse

Xj = variable de decisin (actividad) j = 1, 2, . . . , n

Cj = coeficiente de la variable Xj en la funcin objetivo, o ms brevemente,

coeficiente objetivo de Xj

aij = consumo del recurso i por la actividad j, o alternativamente, coeficiente

tecnolgico de Xj en la restriccin i

bi = constante del lado derecho (generalmente recurso disponible) en la

restriccin i llamada tambin coeficiente de recurso


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El modelo matemtico general de la PL suele dividirse en: el objetivo (0), las

restricciones tecnolgicas o estructurales [de (1) a (m)] y las condiciones tcnicas

o de no-negatividad (*)

EJEMPLO 1 Una fbrica de juguetes fabrica dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes.

Se vende un soldado a 27 dlares y se usan 10 de dlares de materia prima. Cada

soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos

generales en 14 dlares. Se vende un tren a 21 dlares y se usan 9 dlares de

materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra

y los costos generales en 10 dlares. La produccin de soldados y trenes de madera

necesita dos tipos de trabajo especializado: carpintera y acabado. Un soldado

requiere 2 horas de acabado y 1 hora de carpintera. Un tren requiere 1 hora de

acabado y 1 hora de carpintera. Cada semana, la fbrica puede conseguir toda la

materia prima que se necesita, pero solamente dispone de 100 horas de acabado y

80 horas de carpintera. La demanda de los trenes no tiene lmite, pero se pueden

vender a lo ms 40 soldados semanalmente. La fbrica quiere maximizar su

ganancia semanal (ingresoscostos). Formule un modelo matemtico que se pueda utilizar para maximizar las ganancias de la fbrica.

Tomado de: Investigacin de Operaciones, Aplicaciones y algoritmos

Wayne L. Winston

Grupo Editorial Iberoamrica


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Solucin

(1) Resumen de datos

Precio de

venta ($)

Materia

prima ($)

Otros

costos ($)

Carpintera

(hr)

Acabado

(hr)

Demanda

Soldados 27 10 14 1 2 a lo ms 40

Trenes 21 9 10 1 1 ilimitada

Disponibilidad

de recurso

ilimitada 80 100

(2) Variables de decisin

X1 = el nmero de soldados producidos cada semana

X2 = el nmero de trenes producidos cada semana

(3) Funcin objetivo

Se deben expresar las ganancias y los costos semanales de la fbrica en funcin de

las variables de decisin X1 y X2. Entonces

Ingresos semanales = 27X1 + 21X2

Costos semanales de materia prima = 10X1 + 9X2

Costos semanales variables = 14X1 + 10X2

Entonces la fbrica quiere maximizar:

(27X1 + 21X2) (10X1 + 9X2) (14X1 + 10X2) = 3X1 + 2X2

De modo que el objetivo de la fbrica es elegir X1 y X2 para maximizar

3X1 + 2X2. Si representamos el valor de la funcin objetivo por X0 la funcin

objetivo de la fbrica es:

Maximizar X0 = 3X1 + 2X2


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(4) Restricciones

Restriccin 1. No se pueden usar ms de 100 horas de acabado por semana

Restriccin 2. No se pueden usar ms de 80 horas de carpintera por semana.

Restriccin 3. No se deben producir ms de 40 soldados por semana

La restriccin 1 se puede expresar como:

2X1 + X2 100

La restriccin 2 es:

X1 + X2 80

La restriccin 3 debe expresarse como:

X1 40

As el modelo completo es:

Maximizar X0 = 3X1 + 2X2

Sujeto a 2X1 + X2 100

X1 + X2 80

X1 40

X1, X2 0


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EJEMPLO 2

Una compaa que fabrica automviles de lujo y camiones lanz una campaa

ambiciosa de publicidad por televisin y decidi comprar comerciales de 1 minuto

en dos tipos de programas: series cmicas y juegos de ftbol. 7 millones de

mujeres y 2 millones de hombres ven cada comercial en series cmicas. 2 millones

de mujeres y 12 millones de hombres ven cada comercial en juegos de ftbol. Un

comercial de 1 minuto en una serie cmica, cuesta 50 000 dlares, y un comercial

de 1 minuto en un juego de ftbol cuesta 100 000 dlares. La compaa que por lo

menos 20 millones de mujeres y 24 millones de hombres vieran los comerciales.

Utilice la PL para determinar cmo la fbrica puede alcanzar sus requerimientos

publicitarios a un costo mnimo.

Tomado de: Investigacin de Operaciones, Aplicaciones y algoritmos

Wayne L. Winston

Grupo Editorial Iberoamrica

Solucin

(1) Resumen de datos

Mujeres

(millones)

Hombres

(millones)

Costo del comercial

(miles de $/min)

Series cmicas 7 2 50

Juegos de futbol 2 12 100

Audiencia esperada

(millones de personas)

Por lo menos 28 Por lo menos 24

(2) Variables de decisin

X1 = Nmero de comerciales de un minuto en series cmicas

X2 = Nmero de comerciales de un minuto en juegos de ftbol

(3) Funcin objetivo

La fbrica quiere minimizar el costo total de la publicidad (en miles de dlares)

Costo total de publicidad = costo de anuncios en series cmicas + costo de los

anuncios en juegos de ftbol.


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As la funcin objetivo de la fbrica es:

Minimizar X0 = 50X1 + 100X2

(4) Restricciones

Restriccin 1. Los anuncios tienen que llegar a por lo menos 28 millones de

mujeres

Restriccin 2. Los anuncios tienen que llegar a por lo menos 24 millones de

hombres

La restriccin 1 se puede expresar como:

7X1 + 2X2 28

La restriccin 2 es:

2X1 + 12X2 24

As el modelo completo es:

Minimizar X0 = 50X1 + 100X2

Sujeta a 7X1 + 2X2 28

2X1 + 12X2 24

X1, X2 0

programacion lineal

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